Za prigušene oscilacije, koeficijent prigušenja. Koeficijent prigušenja

U stvarnosti, slobodne vibracije nastaju pod djelovanjem sila otpora. Disipativne sile dovode do smanjenja amplitude oscilacija. Oscilacije čija se amplituda s vremenom smanjuje zbog gubitka energije nazivaju se prigušene.

Prigušene mehaničke vibracije

DEFINICIJA

Fizička veličina koja karakterizira brzinu slabljenja oscilacija naziva se koeficijent slabljenja. Koeficijent prigušenja može se označiti na različite načine: itd. Pod uvjetom da su sile trenja proporcionalne brzini tijela:

gdje je generalizirani koeficijent trenja, koeficijent prigušenja se smatra jednakim:

gdje je masa tijela koja oscilira.

Diferencijalna jednadžba oscilacija u prisutnosti prigušenja imat će oblik:

— ciklička frekvencija slobodnih vibracija sustava u odsutnosti trenja.

Jednadžba prigušenih oscilacija:

Gdje — frekvencija prigušenih oscilacija, — amplituda prigušenih oscilacija. - konstantna vrijednost koja ovisi o izboru vremenske referentne točke.

Koeficijent prigušenja može se definirati kao recipročna vrijednost vremena () tijekom kojeg se amplitude (A) smanjuju za e puta:

gdje je vrijeme za opuštanje. Odnosno, možete napisati:

Period prigušenih oscilacija jednak je:

s neznatnim otporom medija, ako je nejednakost zadovoljena: period oscilacije može se izračunati pomoću formule:

Povećanjem koeficijenta prigušenja povećava se period titranja. Treba napomenuti da se koncept perioda prigušenih oscilacija ne poklapa s konceptom neprigušenih oscilacija, jer se sustav, u prisustvu prigušenja, nikada ne vraća u svoje prvobitno stanje. Period prigušenih oscilacija je minimalni vremenski period tijekom kojeg sustav dva puta u jednom smjeru prođe ravnotežni položaj.

Povećanjem koeficijenta prigušenja oscilacija smanjuje se frekvencija oscilacija. Ako je , tada će frekvencija prigušenih oscilacija postati nula, dok se period povećava do beskonačnosti. Takve oscilacije gube periodičnost i nazivaju se aperiodične. Kada je koeficijent prigušenja jednak vlastitoj frekvenciji oscilacija, parametri sustava nazivaju se kritičnim.

Koeficijent prigušenja oscilacija povezan je s logaritamskim dekrementom prigušenja () izrazom:

Prigušene električne oscilacije

Svaki električni krug koji postoji u stvarnosti ima aktivni otpor, stoga se energija pohranjena u njemu tijekom vremena troši na ovaj otpor, dok se zagrijava.

U ovom slučaju, koeficijent prigušenja za električni krug izračunava se kao:

gdje je R otpor, L induktivitet kruga.

Frekvencija u elektromagnetskom krugu predstavljena je formulom:

Za RLC krug, kritični otpor () pri kojem oscilacije postaju aperiodične je otpor jednak:

pronađeno na

Jedinice koeficijenta prigušenja vibracija

Osnovna SI jedinica koeficijenta prigušenja je:

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Vježbajte	Koliki je koeficijent prigušenja ako amplituda njihala oscilira za vrijeme t=10 s. smanji za 4 puta?
Riješenje	Zapišimo jednadžbu prigušenih oscilacija njihala: Prema jednoj od definicija koeficijenta prigušenja: Provedimo izračune:
Odgovor

PRIMJER 2

Vježbajte	Oscilatorni krug sastoji se od prigušnice L, kondenzatora C i otpora R (slika 1). Nakon kojeg broja potpunih oscilacija (N) će se amplituda struje u krugu smanjiti za e puta?
Riješenje	Uvedimo sljedeće oznake: - početna vrijednost amplitude struje, - amplituda struje kroz N oscilacija, tada možemo pisati:

1.21. 3 PRIGUŠENE, PRISILNE OSCILACIJE

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija i njezino rješenje. Koeficijent prigušenja. Logaritamski špilvrijeme raspadanja.Faktor kvalitete oscilacijatjelesni sustav.Aperiodični proces. Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija i njezino rješenje.Amplituda i faza prisilnih oscilacija. Proces uspostavljanja oscilacija. Slučaj rezonancije.Samooscilacije.

Prigušenje oscilacija je postupno smanjenje amplitude oscilacija tijekom vremena, zbog gubitka energije oscilatornog sustava.

Prirodne oscilacije bez prigušenja su idealizacija. Razlozi slabljenja mogu biti različiti. U mehaničkom sustavu, vibracije su prigušene prisutnošću trenja. Kad se potroši sva energija pohranjena u oscilatornom sustavu, oscilacije će prestati. Stoga amplituda prigušene oscilacije smanjuje dok ne postane jednak nuli.

Prigušene oscilacije, kao i vlastite oscilacije, u sustavima koji su po prirodi različiti, mogu se promatrati s jednog stajališta - zajedničkih karakteristika. Međutim, takve karakteristike kao što su amplituda i period zahtijevaju redefiniranje, a druge zahtijevaju dodatak i pojašnjenje u usporedbi s istim karakteristikama za prirodne neprigušene oscilacije. Opće značajke i koncepti prigušenih oscilacija su sljedeći:

Diferencijalna jednadžba mora se dobiti uzimajući u obzir smanjenje vibracijske energije tijekom procesa osciliranja.

Jednadžba titranja je rješenje diferencijalne jednadžbe.

Amplituda prigušenih oscilacija ovisi o vremenu.

Frekvencija i period ovise o stupnju slabljenja oscilacija.

Faza i početna faza imaju isto značenje kao i za kontinuirane oscilacije.

Mehaničke prigušene oscilacije.

Mehanički sustav : opružno njihalo uzimajući u obzir sile trenja.

Sile koje djeluju na njihalo :

Elastična sila., gdje je k koeficijent krutosti opruge, x pomak njihala iz ravnotežnog položaja.

Sila otpora. Promotrimo silu otpora proporcionalnu brzini kretanja v (ova ovisnost je tipična za veliku klasu sila otpora): . Znak minus pokazuje da je smjer sile otpora suprotan smjeru brzine tijela. Koeficijent otpora r numerički je jednak sili otpora koja nastaje pri jediničnoj brzini kretanja tijela:

Zakon gibanja opružno njihalo - ovo je drugi Newtonov zakon:

m a = F pr. + F otpornost

S obzirom na to da oboje , drugi Newtonov zakon zapisujemo u obliku:

. (21.1)

Podijelimo li sve članove jednadžbe s m i sve ih pomaknemo na desnu stranu, dobivamo diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije:

Označimo gdje β – koeficijent slabljenja , , Gdje ω 0 – frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija u odsutnosti gubitaka energije u oscilatornom sustavu.

U novom zapisu diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija ima oblik:

. (21.2)

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda.

Ova linearna diferencijalna jednadžba rješava se promjenom varijabli. Predstavimo funkciju x, ovisno o vremenu t, u obliku:

.

Nađimo prvu i drugu derivaciju ove funkcije s obzirom na vrijeme, vodeći računa da je funkcija z također funkcija vremena:

, .

Zamijenimo izraze u diferencijalnu jednadžbu:

Predstavimo slične članove u jednadžbi i smanjimo svaki član za , dobivamo jednadžbu:

.

Označimo količinu .

Rješavanje jednadžbe su funkcije , .

Vraćajući se na varijablu x, dobivamo formule za jednadžbe prigušenih oscilacija:

Tako , jednadžba prigušenih oscilacija je rješenje diferencijalne jednadžbe (21.2):

Prigušena frekvencija :

(samo pravi korijen ima fizičko značenje, dakle ).

Period prigušenih oscilacija :

(21.5)

Značenje koje je stavljeno u pojam perioda za neprigušene oscilacije nije prikladno za prigušene oscilacije, jer se oscilatorni sustav nikada ne vraća u prvobitno stanje zbog gubitaka oscilacijske energije. U prisustvu trenja vibracije su sporije: .

Period prigušenih oscilacija je minimalni vremenski period tijekom kojeg sustav dva puta prolazi ravnotežni položaj u jednom smjeru.

Za mehanički sustav opružnog njihala imamo:

, .

Amplituda prigušenih oscilacija :

Za opružno njihalo.

Amplituda prigušenih oscilacija nije konstantna vrijednost, već se mijenja tijekom vremena, to brže što je koeficijent β veći. Stoga se definicija amplitude, dana ranije za neprigušene slobodne oscilacije, mora promijeniti za prigušene oscilacije.

Za mala prigušenja amplituda prigušenih oscilacija naziva se najveće odstupanje od ravnotežnog položaja tijekom razdoblja.

Karte Grafičke ovisnosti pomaka u odnosu na vrijeme i amplitude u odnosu na vrijeme prikazane su na slikama 21.1 i 21.2.

Slika 21.1 – Ovisnost pomaka o vremenu za prigušene oscilacije.

Slika 21.2 – Ovisnost amplitude o vremenu za prigušene oscilacije

Karakteristike prigušenih oscilacija.

1. Koeficijent prigušenja β .

Amplituda prigušenih oscilacija mijenja se prema eksponencijalnom zakonu:

Neka se amplituda oscilacije smanji za “e” puta tijekom vremena τ (“e” je baza prirodnog logaritma, e ≈ 2,718). Zatim, s jedne strane, , a s druge strane, pošto je opisao amplitude A zat. (t) i A zat. (t+τ), imamo . Iz ovih odnosa slijedi βτ = 1, dakle .

Vremenski interval τ , tijekom kojeg se amplituda smanjuje za “e” puta, naziva se vrijeme relaksacije.

Koeficijent prigušenja β – veličina obrnuto proporcionalna vremenu relaksacije.

2. Logaritamsko smanjenje prigušenja δ - fizikalna veličina numerički jednaka prirodnom logaritmu omjera dviju uzastopnih amplituda vremenski odvojenih periodom.

Ako je prigušenje malo, tj. vrijednost β je mala, tada se amplituda lagano mijenja tijekom razdoblja, a logaritamski dekrement može se definirati na sljedeći način:

,

gdje je A zat. (t) i A zat. (t+NT) – amplitude oscilacija u vremenu e i nakon N perioda, odnosno u vremenu (t + NT).

3. Faktor kvalitete Q oscilatorni sustav – bezdimenzijska fizikalna veličina jednaka umnošku veličine (2π) ν i omjera energije W(t) sustava u proizvoljnom trenutku vremena i gubitka energije tijekom jednog perioda prigušenih oscilacija:

.

Budući da je energija proporcionalna kvadratu amplitude, onda

Za male vrijednosti logaritamskog dekrementa δ, faktor kvalitete oscilatornog sustava jednak je

,

gdje je N e broj oscilacija tijekom kojih se amplituda smanjuje za “e” puta.

Dakle, faktor kvalitete opružnog njihala je Što je faktor kvalitete oscilatornog sustava veći, to je slabljenje manje, to će periodični proces u takvom sustavu duže trajati. Faktor kvalitete oscilatornog sustava - bezdimenzionalna veličina koja karakterizira rasipanje energije tijekom vremena.

4. Povećanjem koeficijenta β frekvencija prigušenih oscilacija opada, a period se povećava. Pri ω 0 = β frekvencija prigušenih oscilacija postaje jednaka nuli ω zat. = 0, i T zat. = ∞. U tom slučaju oscilacije gube svoj periodički karakter i nazivaju se aperiodičan.

Pri ω 0 = β, parametri sustava odgovorni za smanjenje vibracijske energije poprimaju vrijednosti tzv. kritično . Za njihalo s oprugom uvjet ω 0 = β bit će napisan na sljedeći način: odakle nalazimo količinu kritični koeficijent otpora:

.

Riža. 21.3. Ovisnost amplitude aperiodičnih oscilacija o vremenu

Prisilne vibracije.

Sve realne oscilacije su prigušene. Da bi se stvarne oscilacije događale dovoljno dugo, potrebno je povremeno obnavljati energiju oscilatornog sustava djelujući na njega vanjskom povremeno promjenjivom silom

Razmotrimo fenomen oscilacija ako vanjski (tjeranje) sila se mijenja s vremenom prema harmonijskom zakonu. U tom će slučaju u sustavima nastati oscilacije, čija će priroda, u jednom ili drugom stupnju, ponoviti prirodu pokretačke sile. Takve oscilacije nazivaju se prisiljeni .

Opći znakovi prisilnih mehaničkih vibracija.

1. Razmotrimo prisilne mehaničke oscilacije opružnog njihala, na koje djeluje vanjski (uvjerljiv ) periodična sila . Sile koje djeluju na njihalo, nakon što ga se pomakne iz ravnotežnog položaja, razvijaju se u samom oscilatornom sustavu. To su elastična sila i sila otpora.

Zakon gibanja (drugi Newtonov zakon) bit će zapisan na sljedeći način:

(21.6)

Podijelimo obje strane jednadžbe s m, uzmemo u obzir da , i dobijemo diferencijalna jednadžba prisilne oscilacije:

Označimo ( β – koeficijent slabljenja ), (ω 0 – frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija), sila koja djeluje na jedinicu mase. U ovim oznakama diferencijalna jednadžba prisilne oscilacije će imati oblik:

(21.7)

Ovo je diferencijalna jednadžba drugog reda s desnom stranom različitom od nule. Rješenje takve jednadžbe je zbroj dvaju rješenja

.

– opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe, tj. diferencijalna jednadžba bez desne strane kada je jednaka nuli. Znamo takvo rješenje - to je jednadžba prigušenih oscilacija, zapisana do točnosti konstante, čija je vrijednost određena početnim uvjetima oscilatornog sustava:

Ranije smo govorili da se rješenje može napisati u terminima sinusnih funkcija.

Ako razmotrimo proces oscilacija njihala nakon dovoljno dugog vremena Δt nakon uključivanja pogonske sile (slika 21.2), tada će prigušene oscilacije u sustavu praktički prestati. I tada će rješenje diferencijalne jednadžbe s desnom stranom biti rješenje.

Rješenje je posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe, tj. jednadžbe s desnom stranom. Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da će uz promjenu desne strane prema harmonijskom zakonu rješenje biti harmonijska funkcija (sin ili cos) s frekvencijom promjene koja odgovara frekvenciji Ω promjene desne strane - ručna strana:

gdje je A ampl. – amplituda prisilnih oscilacija, φ 0 – pomak faze , oni. fazna razlika između faze pogonske sile i faze prisilnog titranja. I amplituda A ampl. , i fazni pomak φ 0 ovise o parametrima sustava (β, ω 0) i o frekvenciji pogonske sile Ω.

Period prisilnih oscilacija jednaki (21.9)

Grafikon prisilnih vibracija na slici 4.1.

Sl.21.3. Grafikon prisilnih oscilacija

Stacionarne prisilne oscilacije također su harmonijske.

Ovisnosti amplitude prisilnih oscilacija i faznog pomaka o frekvenciji vanjskog utjecaja. Rezonancija.

1. Vratimo se mehaničkom sustavu opružnog njihala na koji djeluje vanjska sila koja se mijenja prema harmonijskom zakonu. Za takav sustav, diferencijalna jednadžba, odnosno njeno rješenje, imaju oblik:

, .

Analizirajmo ovisnost amplitude oscilacije i faznog pomaka o frekvenciji vanjske pokretačke sile; da bismo to učinili, pronaći ćemo prvu i drugu derivaciju x i zamijeniti ih u diferencijalnu jednadžbu.

Poslužimo se metodom vektorskog dijagrama. Jednadžba pokazuje da zbroj triju vibracija na lijevoj strani jednadžbe (Slika 4.1) mora biti jednak vibraciji na desnoj strani. Vektorski dijagram je napravljen za proizvoljni trenutak vremena t. Iz njega možete odrediti.

Slika 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Uzimajući u obzir vrijednost , ,, dobivamo formule za φ 0 i A ampl. mehanički sustav:

,

.

2. Proučavamo ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile i veličini sile otpora u oscilirajućem mehaničkom sustavu, koristeći te podatke konstruiramo graf . Rezultati studije prikazani su na slici 21.5, koja pokazuje da pri određenoj frekvenciji pokretačke sile amplituda oscilacija naglo raste. A taj porast je veći što je koeficijent prigušenja β manji. Kada amplituda oscilacija postane beskonačno velika.

Fenomen naglog povećanja amplitude prisilne oscilacije pri frekvenciji pogonske sile jednakoj , naziva se rezonancijom.

(21.12)

Krivulje na slici 21.5 odražavaju odnos a nazivaju se krivulje rezonancije amplitude .

Slika 21.5 – Grafikoni ovisnosti amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile.

Amplituda rezonantnih oscilacija će imati oblik:

Prisilne vibracije su neovlažen fluktuacije. Neizbježni gubici energije uslijed trenja kompenziraju se opskrbom energijom iz vanjskog izvora periodično djelujuće sile. Postoje sustavi u kojima neprigušene oscilacije nastaju ne zbog periodičnih vanjskih utjecaja, već kao rezultat sposobnosti takvih sustava da reguliraju opskrbu energijom iz stalnog izvora. Takvi sustavi nazivaju se samooscilirajući, a proces neprigušenih oscilacija u takvim sustavima je samooscilacije.

U samooscilirajućem sustavu mogu se razlikovati tri karakteristična elementa - oscilatorni sustav, izvor energije i povratni uređaj između oscilatornog sustava i izvora. Svaki mehanički sustav koji može izvoditi vlastite prigušene oscilacije (na primjer, njihalo zidnog sata) može se koristiti kao oscilatorni sustav.

Izvor energije može biti energija deformacije opruge ili potencijalna energija tereta u gravitacijskom polju. Uređaj s povratnom spregom je mehanizam kojim samooscilirajući sustav regulira protok energije iz izvora. Na sl. Na slici 21.6 prikazan je dijagram međudjelovanja različitih elemenata samooscilirajućeg sustava.

Primjer mehaničkog samooscilirajućeg sustava je satni mehanizam sa sidro napredak (slika 21.7.). Kotač za vožnju s kosim zubima kruto je pričvršćen na nazubljeni bubanj, kroz koji se baca lanac s utegom. Na gornjem kraju njihala nalazi se sidro (sidro) s dvije ploče od tvrdog materijala, savijene duž kružnog luka sa središtem na osi njihala. Kod ručnih satova uteg je zamijenjen oprugom, a njihalo balanserom – ručnim kotačem spojenim na spiralnu oprugu.

Slika 21.7. Satni mehanizam s klatnom.

Balanser izvodi torzijske vibracije oko svoje osi. Oscilatorni sustav u satu je njihalo ili balanser. Izvor energije je podignuti uteg ili navijena opruga. Uređaj koji se koristi za pružanje povratne informacije je sidro, koje omogućuje kotaču da okrene jedan zub u jednom poluciklusu.

Povratna veza se ostvaruje interakcijom sidra s kotačem. Pri svakom titraju njihala zub pogonskog kotača potiskuje vilicu sidra u smjeru kretanja njihala, predajući mu određeni dio energije, čime se nadoknađuju gubici energije uslijed trenja. Tako se potencijalna energija utega (ili upletene opruge) postupno, u odvojenim obrocima, prenosi na njihalo.

Mehanički samooscilirajući sustavi rašireni su u životu oko nas iu tehnologiji. Autooscilacije se javljaju u parnim strojevima, motorima s unutarnjim izgaranjem, električnim zvonima, žicama gudala, zračnim stupovima u cijevima puhačkih instrumenata, glasnicama pri govoru ili pjevanju itd.

Dok proučavate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije različite fizičke prirode opisuju se sa zajedničkih matematičkih pozicija. Ovdje je potrebno jasno razumjeti takve pojmove kao što su harmonijska oscilacija, faza, fazna razlika, amplituda, frekvencija, period oscilacije.

Mora se imati na umu da u svakom stvarnom oscilatornom sustavu postoji otpor medija, tj. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uvode se koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se oscilacije javljaju pod utjecajem vanjske sile koja se povremeno mijenja, tada se takve oscilacije nazivaju prisilnim. Oni će biti neprigušeni. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Kako se frekvencija prisilnih oscilacija približava frekvenciji vlastitih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Taj se fenomen naziva rezonancijom.

Kada prijeđete na proučavanje elektromagnetskih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetski valje elektromagnetsko polje koje se širi u prostoru. Najjednostavniji sustav koji emitira elektromagnetske valove je električni dipol. Ako dipol prolazi kroz harmonijske oscilacije, on emitira monokromatski val.

Tablica formula: oscilacije i valovi

Fizikalni zakoni, formule, varijable	Oscilacijske i valne formule
Jednadžba harmonijske vibracije: gdje je x pomak (odstupanje) fluktuirajuće veličine od ravnotežnog položaja; A - amplituda; ω - kružna (ciklička) frekvencija; α - početna faza; (ωt+α) - faza.
Odnos između perioda i kružne frekvencije:
Frekvencija:
Odnos između kružne frekvencije i frekvencije:
Periodi vlastitih oscilacija 1) opružno njihalo: gdje je k krutost opruge; 2) matematičko njihalo: gdje je l duljina njihala, g - ubrzanje slobodnog pada; 3) oscilatorni krug: gdje je L induktivitet kruga, C je kapacitet kondenzatora.
Prirodna frekvencija:
Zbrajanje oscilacija iste frekvencije i smjera: 1) amplituda rezultirajuće oscilacije gdje su A1 i A2 amplitude komponenti vibracija, α 1 i α 2 - početne faze komponenti vibracija; 2) početna faza nastale oscilacije
Jednadžba prigušenih oscilacija: e = 2,71... - baza prirodnih logaritama.
Amplituda prigušenih oscilacija: gdje je A 0 amplituda u početnom trenutku vremena; β - koeficijent prigušenja;
Koeficijent prigušenja: oscilirajuće tijelo gdje je r koeficijent otpora medija, m - tjelesna težina; oscilatorni krug gdje je R aktivni otpor, L je induktivitet kruga.
Frekvencija prigušenih oscilacija ω:
Period prigušenih oscilacija T:
Logaritamsko smanjenje prigušenja:
Odnos između logaritamskog dekrementa χ i koeficijenta prigušenja β:

OPĆE INFORMACIJE

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju zbog prvobitno dodijeljene energije u kasnijoj odsutnosti vanjskih utjecaja na oscilatorni sustav. Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske vibracije– oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina tijekom vremena mijenja prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

gdje je oscilirajuća veličina, a je ciklička frekvencija.

je rješenje ove jednadžbe. Ovdje je amplituda i početna faza.

Faza oscilacije.

Amplituda je najveća vrijednost oscilirajuće veličine.

Period titranja je vremenski period kroz koji se kretanje tijela ponavlja. Faza oscilacije se povećava tijekom perioda. . , - broj oscilacija.

Frekvencija oscilacija je broj potpunih oscilacija izvedenih u jedinici vremena. . . Mjereno u hercima (Hz).

Ciklička frekvencija je broj oscilacija izvedenih u sekundi. . Jedinica .

Faza titranja je veličina pod predznakom kosinusa i karakterizira stanje oscilatornog sustava u bilo kojem trenutku.

Početna faza – faza oscilacija u početnom trenutku vremena. Faza i početna faza mjere se u radijanima ().

Slobodne prigušene oscilacije– oscilacije, čija amplituda opada tijekom vremena zbog gubitaka energije stvarnog oscilatornog sustava. Najjednostavniji mehanizam smanjenja energije titranja je njezino pretvaranje u toplinu uslijed trenja u mehaničkim oscilatornim sustavima, kao i omski gubici i zračenje elektromagnetske energije u električnim oscilatornim sustavima.

Diferencijalna jednadžba slobodnih prigušenih oscilacija ima oblik

, (1)

Rješenje jednadžbe (1) u slučaju malog prigušenja (d 2<< ) имеет вид

Vremensko razdoblje tijekom kojeg se amplituda smanjuje e puta, zove se vrijeme opuštanja.

Prigušenje prekida periodičnost oscilacija, pa prigušene oscilacije nisu periodične. Međutim, ako je prigušenje malo, tada možemo uvjetno koristiti pojam perioda kao vremenskog intervala između dva uzastopna maksimuma (ili minimuma) fluktuirajuće veličine. Zatim se pomoću formule izračuna period prigušenih oscilacija

.

Ako A(t) I A(t+T) su amplitude dviju uzastopnih oscilacija koje odgovaraju trenucima vremena koji se razlikuju za period, tada je omjer

nazvao dekrement prigušenja, i njegov logaritam

– logaritamski dekrement prigušenja.

Veličina N e je broj oscilacija izvedenih tijekom vremena kada se amplituda smanjuje e jednom. Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati oscilatorni sustav.

Za karakterizaciju oscilatornog sustava koristi se koncept faktor kvalitete Q, što je za male vrijednosti logaritamskog dekrementa jednako

.

Sve stvarne harmonijske oscilacije nastaju pod utjecajem sila otpora, za čije svladavanje tijelo troši dio svoje energije, zbog čega se amplituda titranja s vremenom smanjuje, tj. oscilacije su prigušene.

Zamislimo graf prigušene oscilacije:

Derivacija diferencijalne jednadžbe prigušenog titranja. Osim elastične sile, na tijelo djeluje i sila otpora:

Gdje r – koeficijent otpora.

Prema drugom Newtonovom zakonu možemo napisati:

.

Podijelimo s masom m, dobivamo:

.

Uvedimo sljedeću oznaku: ,

gdje je β koeficijent prigušenja.

Dobili smo diferencijalnu jednadžbu prigušenog titranja:

.

Rješenje jednadžbe značajno ovisi o predznaku razlike,

Gdje ω - kružna frekvencija prigušenih oscilacija, ω 0 - kružna frekvencija vlastitih oscilacija sustava (bez prigušenja).

Za ω>0, rješenje diferencijalne jednadžbe bit će sljedeće:

.

Amplituda prigušene oscilacije u bilo kojem trenutku t određena je jednakošću:

Gdje A 0 – početna amplituda prikazana na grafikonu (vidi sl. 3).

Razdoblje T prigušene oscilacije određuje se formulom:

.

Brzina prigušenja (brzina kojom amplituda opada) određena je vrijednošću koeficijenta prigušenja β : više β amplituda se brže smanjuje.

Kako bi se okarakterizirala brzina raspada, uveden je koncept smanjenje prigušenje.

Dekrement prigušenja je omjer dviju susjednih amplituda odvojenih periodom:

U praksi se karakterizira stupanj prigušenja logaritamski dekrement prigušenje λ , jednak:

Izvedimo formulu koja povezuje logaritamski dekrement prigušenja λ s koeficijentom prigušenja β i period oscilacije T .

Stoga:

Izvedimo dimenziju koeficijenta prigušenja

.

Prisilne vibracije. Prisilne vibracije nazivaju se oscilacije koje se javljaju u sustavu kada je izložen vanjskoj sili koja se mijenja prema periodičnom zakonu.

Neka na sustav djeluje sila:

Gdje F 0 – maksimalna vrijednost,

ω - kružna frekvencija oscilacija vanjske sile.

Na sustav djeluju sila otpora i sila elastičnosti.

Uzimajući u obzir sve četiri sile, na temelju drugog Newtonovog zakona, pišemo:

.

Podijelimo obje strane jednakosti s m , dobivamo:

.

Uvedimo sljedeću oznaku:

Dobili smo diferencijalnu jednadžbu prisilnog osciliranja:

.

Zamislimo graf prisilnih oscilacija:

U početku amplituda oscilacija raste, a zatim postaje konstantna A .

Za stabilne prisilne oscilacije:

(vidi sliku 4)

Rezonancija. Ako ω 0 I β dani su za sustav, zatim amplituda A prisilnih oscilacija ima najveću vrijednost pri određenoj frekvenciji pogonske sile, tzv rezonantna . Postizanje maksimalne amplitude prisilnih oscilacija za zadano ω 0 I β nazvao rezonancija .

Rezonantna kružna frekvencija određena je formulom:

i rezonantna amplituda:

.

Ako nema otpora (β=0) , tada se amplituda neograničeno povećava.

Prikažimo na grafovima ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o kružnoj frekvenciji pogonske sile ω pri različitim vrijednostima koeficijenta prigušenja:

Na temelju oblika krivulje rezonancije, rezonancija može biti akutna kada β→0 , glupo – sa β→1 . (vidi sliku 5).

Prema mehanizmu pobude, rezonancija se dijeli na:

mehanički; akustični; elektromagnetski; paramagnetski; nuklearni magnetski.

Pojava rezonantnih pojava u tijelu može biti i korisna i štetna. Na primjer, percepcija zvuka temelji se na akustičnoj rezonanciji; infrazvuk može izazvati pucanje tkiva unutarnjih organa.

Samooscilacije. Tijekom prigušenih oscilacija energija sustava se troši na svladavanje otpora medija. Ako se ovaj gubitak energije nadoknadi, oscilacije će postati neprigušene. Ova izgubljena energija sustava može se nadoknaditi pomoću vanjskog izvora energije ili se to može učiniti tako da oscilirajući sustav sam kontrolira vanjski utjecaj.

Neprigušene oscilacije koje nastaju u sustavu zbog izvora energije koji nema oscilatorna svojstva nazivaju se samooscilacije , i sami sustavi – samooscilirajući .

Klasičan primjer samoosciliranja je sat: navijena opruga; podignuta težina je izvor energije; sidro – regulator opskrbe energijom iz izvora; visak ili ravnoteža – oscilatorni sustav.

Amplituda i frekvencija autooscilacija ovise o svojstvima samog autooscilirajućeg sustava.