Derivacija funkcije. Detaljna teorija s primjerima

Što je derivacija funkcije - to je osnovni matematički koncept koji je na istoj razini kao i integrali u analizi. Ova funkcija u određenoj točki daje karakteristiku brzine promjene funkcije u ovoj točki.
Koncepti kao što su diferencijacija i integracija, prvi se dešifrira kao radnja traženja derivata, drugi, naprotiv, vraća funkciju počevši od danog derivata.
Derivacijski izračuni igraju važnu ulogu u diferencijalnim izračunima.
Za jasan primjer, oslikajmo derivaciju na koordinatnoj ravnini.

u funkciji y=f(x) fiksiramo točke M u kojima (x0; f(X0)) i N f (x0+?x) svakoj apscisi postoji prirast u obliku?x. Inkrement je proces kada se mijenja apscisa, a zatim se mijenja i ordinata. Označava se kao?y.
Nađimo tangens kuta u trokutu MPN koristeći točke M i N za to.

tg? = NP/MP = ?u/?x.

As?x ide na 0. Sjecište MN sve je bliže tangenti MT i kutu? htjeti?. Stoga, tg? maksimalna vrijednost za tg?.

tg? = lim od?x-0 tg ? = lim od?x-0 ?y/?x

Tablica izvedenica

Ako izgovorite formulaciju svake derivativne formule. Tablicu ćete lakše zapamtiti.
1) Derivacija konstantne vrijednosti je 0.
2) X s prostim brojem jednak je jedan.
3) Ako postoji konstantan faktor, jednostavno ga izvadimo kao izvod.
4) Da biste pronašli izvedenu potenciju, trebate pomnožiti eksponent dane potencije s potencijom s istom bazom, čiji je eksponent za 1 manji.
5) Traženje korijena jednako je jedan podijeljeno s 2 od ovih korijena.
6) Derivacija jednog podijeljenog s X jednaka je jedan podijeljenom s X na kvadrat, s predznakom minus.
7) P sinus je kosinus
8) P kosinus jednak je sinusu s predznakom minus.
9) P tangens je jedan podijeljen kosinusom na kvadrat.
10) P kotangens je jednak jedan s predznakom minus, podijeljen sa sinusom na kvadrat.

Postoje i pravila u razlikovanju, koja se također lakše uče izgovaranjem naglas.

1) Vrlo jednostavno, n članova jednako je njihovom zbroju.
2) Derivacija u množenju jednaka je množenju prve vrijednosti s drugom, pribrajajući sebi množenje druge vrijednosti s prvom.
3) Derivacija pri dijeljenju jednaka je množenju prve vrijednosti s drugom, oduzimajući množenje druge vrijednosti s prvom. Razlomak podijeljen drugom vrijednošću na kvadrat.
4) Formulacija je poseban slučaj treće formule.

U ovoj lekciji nastavljamo proučavati derivacije funkcija i prelazimo na napredniju temu, naime derivacije umnožaka i kvocijenata. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerojatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, naime derivaciju potencije, zbroj i razliku. Konkretno, naučili smo da je derivacija zbroja jednaka njihovom zbroju, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju derivata kvocijenta i produkta, formule će biti mnogo kompliciranije. Počet ćemo s formulom za derivaciju produkta funkcija.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Za početak, da napravim malu lirsku digresiju. Činjenica je da ćemo osim standardne funkcije stepena - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji susresti i druge funkcije, naime $y=\sin x$, kao i $ y=\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.

Ako svi savršeno dobro znamo derivaciju funkcije potencije, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda što se tiče trigonometrijske funkcije, potrebno je posebno spomenuti. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\lijevo(tgx \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\lijevo( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ali ti jako dobro znaš ove formule, idemo dalje.

Što je derivat proizvoda?

Prvo, ono najvažnije: ako je funkcija umnožak dviju drugih funkcija, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:

Kao što vidite, ova je formula znatno drugačija i složenija od formula koje smo ranije gledali. Na primjer, derivacija zbroja izračunava se na elementarni način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivacija razlika, koja se također izračunava na elementarni način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje derivacija dviju funkcija koje su nam zadane u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:

Očito, sljedeća konstrukcija djeluje kao produkt, točnije, kao množitelj: $((x)^(3))$, možemo ga smatrati $f$, i $\left(x-5 \right) $ možemo smatrati $g$. Tada će njihov proizvod biti upravo proizvod dviju funkcija. Mi odlučujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Sada pobliže pogledajmo svaki od naših pojmova. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže stupanj $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3)) $. Izvadimo najmanji stupanj iz zagrada, ostavljajući u zagradama:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\lijevo(3\cdot 1\lijevo(x-5 \desno)+x \desno)= \\& =((x)^(2))\lijevo(3x-15+x \desno)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

To je to, pronašli smo odgovor.

Vratimo se našim problemima i pokušajmo ih riješiti:

Dakle, prepišimo:

Opet napominjemo da govorimo o umnošku umnoška dviju funkcija: $x$, koja se može označiti s $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koja se može označiti s $g$.

Dakle, opet imamo pred sobom produkt dviju funkcija. Da bismo pronašli derivaciju funkcije $f\left(x \right)$ ponovno ćemo koristiti našu formulu. Dobivamo:

\[\begin(align)& (f)"=\lijevo(x \desno)"\cdot \lijevo(\sqrt(x)-1 \desno)+x\cdot ((\lijevo(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Odgovor je pronađen.

Zašto faktorizirati izvedenice?

Upravo smo upotrijebili nekoliko vrlo važnih matematičkih činjenica, koje same po sebi nisu vezane uz derivacije, ali bez njihovog poznavanja svako daljnje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.

Prvo, rješavajući prvi problem i nakon što smo se već riješili svih znakova izvedenica, iz nekog smo razloga počeli faktorizirati ovaj izraz.

Drugo, pri rješavanju sljedećeg zadatka nekoliko smo puta prelazili s korijena na potenciju s racionalnim eksponentom i natrag, koristeći formulu 8-9 razreda, koju bi vrijedilo posebno ponoviti.

Što se tiče faktorizacije - zašto su potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? Zapravo, ako problem jednostavno kaže "pronađi derivaciju funkcije", tada ti dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas čekaju na svim vrstama ispita i kolokvija jednostavno pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je derivacija samo alat s kojim možete saznati, na primjer, porast ili pad funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu i faktorizirati je. I ovdje će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, puno je prikladnije i ugodnije raditi s funkcijom faktoriziranom u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo br. 1: ako se izvod može faktorizirati, to je ono što trebate učiniti. I odmah pravilo br. 2 (u suštini, ovo je gradivo za 8.-9. razred): ako problem sadrži korijen n-tog stupnja, a korijen je jasno veći od dva, tada se taj korijen može zamijeniti običnim stupnjem s racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gdje n― upravo taj stupanj ― bit će u nazivniku ovog razlomka.

Naravno, ako ispod korijena postoji neki stupanj (u našem slučaju to je stupanj k), onda ne ide nigdje, nego jednostavno završi u brojniku upravo tog stupnja.

Sad kad sve ovo razumijete, vratimo se na derivacije umnoška i izračunajmo još nekoliko jednadžbi.

Ali prije nego što prijeđem izravno na izračune, želio bih vas podsjetiti na sljedeće obrasce:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Razmotrimo prvi primjer:

Ponovno imamo produkt dviju funkcija: prva je $f$, druga je $g$. Da vas podsjetim na formulu:

\[((\lijevo(f\cdot g \desno))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Odlučimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\lijevo(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]

Prijeđimo na drugu funkciju:

Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupno će derivacija umnoška dviju funkcija biti jednaka:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=3\ cos x-\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\lijevo(((x)^(2))\cdot \cos x \desno))^(\prime ))+((\lijevo(4x\sin x \desno)) ^(\prime ))\]

Zapišimo to zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \desno)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ovaj izraz ne faktoriziramo jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Sada se vratimo našem izvornom zadatku i stavimo sve zajedno u jednu strukturu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor.

Prijeđimo na posljednji primjer - bit će najsloženiji i najobimniji u smislu izračuna. Dakle, primjer:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Računamo svaki dio zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Vraćajući se na izvornu funkciju, izračunajmo njezinu derivaciju kao cjelinu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

To je zapravo sve što sam vam htio reći o izvedenicama. Kao što vidite, glavni problem s formulom nije njezino pamćenje, već činjenica da uključuje prilično veliku količinu izračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na izvod kvocijenta, gdje ćemo se morati jako potruditi.

Što je derivacija kvocijenta?

Dakle, formula za izvod kvocijenta. Ovo je možda najsloženija formula u školskom tečaju derivata. Recimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije iz kojih također možemo ukloniti prost broj. Tada će se izračunati prema sljedećoj formuli:

Brojnik nas donekle podsjeća na formulu za izvod umnoška, ​​ali postoji znak minus između članova, a nazivniku je dodan i kvadrat izvornog nazivnika. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi:

Pokušajmo riješiti:

\[(f)"=((\lijevo(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \lijevo(x+2 \desno)-\lijevo(((x)^(2))-1 \desno )\cdot ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime )))(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))\]

Predlažem da ispišete svaki dio posebno i zapišete:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 1) (((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\lijevo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor. Prijeđimo na drugu funkciju:

Sudeći po činjenici da je njegov brojnik samo jedan, izračuni će ovdje biti malo jednostavniji. Dakle, napišimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))+4) \desno))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(\prime )))(( (\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Izračunajmo svaki dio primjera zasebno:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot 2x)(((\lijevo(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je količina izračuna znatno manja nego za prvu funkciju.

Koja je razlika između oznaka?

Pažljivi studenti vjerojatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo kao $f\left(x \right)$, au drugim slučajevima jednostavno pišemo $y$? Zapravo, s gledišta matematike nema apsolutno nikakve razlike – imate pravo koristiti i prvu i drugu oznaku, a na ispitima i kolokvijima neće biti nikakvih kazni. Za one koje to još zanima objasnit ću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\lijevo(x \desno)$, au drugim (mnogo češće) jednostavno $y$. Činjenica je da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onima koji čitaju naše izračune da govorimo upravo o algebarskoj interpretaciji funkcionalne ovisnosti. Odnosno, postoji određena varijabla $x$, razmatramo ovisnost o toj varijabli i označavamo je $f\lijevo(x \desno)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj tko čita vaše izračune, na primjer, inspektor, podsvjesno će očekivati ​​da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafikona i bez geometrije.

S druge strane, korištenjem zapisa u obliku \, tj. označavanjem varijable jednim jedinim slovom, odmah dajemo do znanja da nas ubuduće zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. zanima nas, prije svega, sve, u svom grafikonu. Sukladno tome, kada se suoči sa zapisom forme, čitatelj ima pravo očekivati ​​grafičke izračune, tj. grafikone, konstrukcije itd., ali, ni u kojem slučaju, analitičke transformacije.

Također bih želio skrenuti vašu pozornost na jednu značajku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi učenici misle da sam dao previše detaljne izračune, a mnoge bi mogli preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis omogućit će vam da se riješite uvredljivih pogrešaka i značajno povećate postotak točno riješenih zadataka, na primjer, u slučaju samostalne pripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - detaljno opišite svaki korak, zapišite svaki faktor, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti bolje rješavati takve primjere nego mnogi školski učitelji. Nadam se da je ovo jasno. Nabrojimo još nekoliko primjera.

Nekoliko zanimljivih zadataka

Ovaj put, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u izvedenicama koje se izračunavaju. Stoga vas podsjećam na sljedeće:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naravno, ne možemo bez izvoda kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Razmotrimo prvu funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Dakle, pronašli smo rješenje za ovaj izraz.

Prijeđimo na drugi primjer:

Očito je da će njezina derivacija biti složenija, makar samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Mi odlučujemo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(x\sin x)(\cos x) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo(x\sin x \desno) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Imajte na umu da imamo izvedenicu proizvoda. U ovom slučaju to će biti jednako:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vratimo se našim izračunima. Zapisujemo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\lijevo(\sin x+x\cos x \desno)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \lijevo(-\sin x \desno) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\lijevo(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

To je sve! Izračunali smo.

Kako derivaciju kvocijenta svesti na jednostavnu formulu za derivaciju umnoška?

I ovdje bih želio dati jednu vrlo važnu napomenu koja se tiče trigonometrijskih funkcija. Činjenica je da naša izvorna konstrukcija sadrži izraz u obliku $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se jednostavno može zamijeniti s $tgx$. Dakle, izvodimo kvocijent na jednostavniju formulu za izvod umnoška. Izračunajmo ponovno ovaj primjer i usporedimo rezultate.

Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Napišimo ponovno našu izvornu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ uzimajući u obzir ovu činjenicu. Dobivamo:

Računajmo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Sada, ako dobiveni rezultat usporedimo s onim što smo ranije dobili kad smo izračunali na drugačiji način, tada ćemo se uvjeriti da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira na koji način idemo kod izračuna derivacije, ako je sve točno izračunato, odgovor će biti isti.

Važne nijanse pri rješavanju problema

Zaključno, želio bih vam reći još jednu suptilnost u vezi s izračunavanjem derivata kvocijenta. Ono što ću vam sada reći nije bilo u originalnom scenariju video lekcije. Međutim, par sati prije snimanja učio sam s jednim od svojih studenata i baš smo razgovarali o temi kvocijentnih derivata. I, kako se pokazalo, mnogi studenti ne razumiju ovu točku. Dakle, recimo da trebamo izračunati hod uklanjanja sljedeće funkcije:

U principu, na prvi pogled u tome nema ničeg nadnaravnog. Međutim, u procesu izračuna možemo napraviti mnoge glupe i uvredljive pogreške, o kojima bih sada želio razgovarati.

Dakle, izračunavamo ovu derivaciju. Prije svega, napominjemo da imamo izraz $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se sljedeće formule:

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Osim toga, imamo i izraz $\frac(48)(x)$ - njime ćemo se baviti kroz izvod kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Dakle, odlučimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(48)(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(3((x)^(2)) \desno)) ^(\prime ))+10(0)"\]

S prvim terminom nema problema, pogledajte:

\[((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))=3\cdot ((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ali s prvim članom, $\frac(48)(x)$, trebate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi učenici brkaju situaciju kada trebaju pronaći $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada trebaju pronaći $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Odnosno, zbunjuju se kada je konstanta u nazivniku, a kada je konstanta u brojniku, odnosno kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.

Počnimo s prvom opcijom:

\[((\lijevo(\frac(x)(48) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(1)(48)\cdot x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

S druge strane, ako pokušamo učiniti isto s drugim razlomkom, dobit ćemo sljedeće:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\lijevo(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Međutim, isti bi se primjer mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na izvod kvocijenta, $\frac(1)(x)$ možemo smatrati potencijom s negativnim eksponentom, tj. dobivamo sljedeće :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

I tako, i tako smo dobili isti odgovor.

Tako se još jednom uvjeravamo u dvije važne činjenice. Prvo, ista derivacija može se izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ može se smatrati i izvodom kvocijenta i izvodom funkcije potencije. Štoviše, ako su svi izračuni izvedeni ispravno, odgovor će uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju izvedenice koje sadrže i varijablu i konstantu, fundamentalno je važno gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobivamo jednostavnu linearnu funkciju koju je lako izračunati. A ako je varijabla u nazivniku, tada dobivamo složeniji izraz s popratnim izračunima danim ranije.

U ovom trenutku lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete ništa o izvedenicama kvocijenta ili proizvoda, i općenito, ako imate bilo kakvih pitanja o ovoj temi, ne oklijevajte - idite na moju web stranicu , pišite, zovite, a ja ću svakako pokušati mogu li vam pomoći.

Derivacije same po sebi nisu složena tema, ali su vrlo opsežne, a ono što sada proučavamo koristit ćemo u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je bolje sve nesporazume vezane uz izračun derivata kvocijenta ili umnoška identificirati odmah, odmah. Ne kada su golema gruda nesporazuma, nego kada su mala teniska loptica s kojom se lako nositi.

Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferenciranja. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja izvedenica bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu izvodnice i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije.

Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz ispod znaka premijera rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Dalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, ​​zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja. Tablica izvoda i pravila diferenciranja dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj.

Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija "x" jednaka jedinici, a derivacija sinusa jednaka kosinusu. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Diferenciramo kao izvod zbroja u kojem drugi član ima konstantan faktor, može se uzeti iz predznaka izvoda:

Ako se ipak pojave pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom derivacija i najjednostavnijim pravilima razlikovanja. Upravo sada prelazimo na njih.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek jednaka nuli. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivacija stupnja. Kada rješavate zadatke, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivacija varijable na potenciju -1
5. Izvod kvadratnog korijena
6. Derivacija sinusa
7. Derivacija kosinusa
8. Derivacija tangente
9. Derivacija kotangensa
10. Derivacija arcsinusa
11. Derivacija arkosinusa
12. Derivacija arktangensa
13. Derivacija ark kotangensa
14. Derivacija prirodnog logaritma
15. Derivacija logaritamske funkcije
16. Derivacija eksponenta
17. Derivacija eksponencijalne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Derivacija zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom
3. Derivacija kvocijenta
4. Derivacija složene funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

diferencijabilne u nekoj točki, tada su funkcije diferencijabilne u istoj točki

i

oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantni član, tada su njihove derivacije jednake, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak diferencijabilan u istoj točki

i

oni. Derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge.

Korolar 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije:

Korolar 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilanu/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nekadašnji brojnik.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti više pravila razlikovanja odjednom, pa u članku ima više primjera na tim derivacijama"Derivacija umnoška i kvocijent funkcija".

Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovo je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi učenja izvedenica, no kako prosječan učenik riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne radi tu pogrešku.

A ako pri diferenciranju proizvoda ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je objašnjen u primjeru 10).

Druga česta pogreška je mehaničko rješavanje izvoda složene funkcije kao izvoda jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije razlomaka s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedite lekciju “Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima.”

Ako imate zadatak poput , tada ćete uzeti lekciju “Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija s derivacijom one druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju drugi član ima predznak minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čija je derivacija jednaka jedinici, i konstantu (broj), čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 se pretvara u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

A možete provjeriti rješenje zadatka derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnik, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika. Dobivamo:

Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u ovom primjeru, uzet s predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o izvodnicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda , onda lekcija za vas "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Koristeći pravilo diferenciranja umnoška i tablične vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Rješenje zadatka izvodnice možete provjeriti na online kalkulator izvedenica .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferenciranja kvocijenata, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnu vrijednost derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Ako slijedite definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ g na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte upotrijebiti ovu formulu za izračunavanje, recimo, derivacije funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno ćete zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo izdvojiti tzv. elementarne funkcije. To su relativno jednostavni izrazi, čije su derivacije odavno izračunate i tablice. Takve je funkcije prilično lako zapamtiti - zajedno s njihovim izvedenicama.

Izvodnice elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve dolje navedene. Derivati ​​ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, uopće ih nije teško zapamtiti - zato su elementarne.

Dakle, izvodnice elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Izvedenica
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−grijeh x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ul a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu uzeti iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito, elementarne funkcije se mogu zbrajati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, ne više osobito elementarne, već također diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivacija zbroja i razlike

Neka su zadane funkcije f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo govorili gore. Zatim možete pronaći izvod zbroja i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Može biti više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2 + grijeh x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa gledišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logična znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, tada je derivacija umnoška štrajk">jednako umnošku izvedenica. Ali jebite se! Izvodnica umnoška izračunava se pomoću potpuno drugačije formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, nego i studenti. Rezultat su netočno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− grijeh x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo kompliciraniji, ali opća shema se ne mijenja. Očito, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegova derivacija je derivacija zbroja. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da se u zadnjem koraku izvod faktorizira. Formalno, to nije potrebno učiniti, ali većina izvedenica se ne izračunava sama za sebe, već radi ispitivanja funkcije. To znači da će se nadalje derivacija izjednačiti s nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je faktorizirati izraz.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju također možete pronaći izvod:

Nije slabo, ha? Otkud minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez bočice. Stoga je bolje proučiti ga na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, pa sve što nam treba je formula za derivaciju kvocijenta:

Prema tradiciji, faktorizirajmo brojnik - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. Sredit će se f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Također ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći korištenjem gore navedenih pravila.

Što da napravim? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x zamjenjuje se sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom kvocijenta. Stoga je također bolje objasniti ga na konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 bit će lako x, tada dobivamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Derivaciju složene funkcije tražimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pozor! Izvodimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sada pogledajmo funkciju g(x). Očito ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. Zatim:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje izvoda zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) jer ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama, umjesto izraza "derivacija", koristim riječ "prim". Na primjer, udarac zbroja jednak je zbroju udaraca. Jel to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata svodi se na uklanjanje tih istih udaraca prema gore razmotrenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivaciju potencije s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5. Što ako ispod korijena postoji nešto otmjeno? Opet, rezultat će biti složena funkcija - vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite izvod funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao potenciju s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Derivaciju nalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Napravimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na kraju, povratak korijenima: