Dakle, duljina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata
. Duljina n-dimenzionalnog vektora izračunava se na sličan način
. Ako se sjetimo da je svaka koordinata vektora razlika između koordinata kraja i početka, tada ćemo dobiti formulu za duljinu segmenta, tj. Euklidska udaljenost između točaka.

Skalarni produkt dva vektora na ravnini umnožak je duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih:
. Može se dokazati da skalarni produkt dva vektora = (x 1, x 2) i = (y 1 , y 2) jednaka je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

U n-dimenzionalnom prostoru, skalarni umnožak vektora X= (x 1, x 2,...,x n) i Y= (y 1, y 2,...,y n) definiran je kao zbroj umnožaka njihovih odgovarajućih koordinata: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operacija međusobnog množenja vektora slična je množenju matrice retka matricom stupca. Naglašavamo da će rezultat biti broj, a ne vektor.

Skalarni produkt vektora ima sljedeća svojstva (aksiome):

1) Komutativno svojstvo: X*Y=Y*X.

2) Svojstvo distribucije u odnosu na zbrajanje: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Za svaki realni broj 
.

4)
, ako X nije nulti vektor;
ako je X nulti vektor.

Linearni vektorski prostor u kojem je dan skalarni umnožak vektora koji zadovoljava četiri odgovarajuća aksioma naziva se Euklidski linearni vektorprostor.

Lako je vidjeti da kada pomnožimo bilo koji vektor samim sobom, dobivamo kvadrat njegove duljine. Dakle, drugačije je duljina vektor se može definirati kao kvadratni korijen njegovog skalarnog kvadrata:.

Duljina vektora ima sljedeća svojstva:

1) |X| = 0H = 0;

2) |X| = ||*|X|, gdje je  realan broj;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky nejednakost);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nejednakost trokuta).

Kut  između vektora u n-dimenzionalnom prostoru određuje se na temelju koncepta skalarnog produkta. Zapravo, ako
, To
. Ovaj razlomak nije veći od jedan (prema nejednakosti Cauchy-Bunyakovskog), pa odavde možemo pronaći .

Dva vektora se nazivaju ortogonalni ili okomito, ako je njihov skalarni produkt jednak nuli. Iz definicije skalarnog umnoška proizlazi da je nulti vektor pravokutan na bilo koji vektor. Ako su oba ortogonalna vektora različita od nule, tada je cos= 0, tj.=/2 = 90 o.

Pogledajmo ponovno sliku 7.4. Sa slike se vidi da se kosinus kuta od nagiba vektora prema vodoravnoj osi može izračunati kao
, a kosinus kutanagiba vektora prema okomitoj osi je kao
. Ti se brojevi obično pozivaju kosinus smjera. Lako je provjeriti da je zbroj kvadrata kosinusa smjera uvijek jednak jedan: cos 2 +cos 2 = 1. Slično, pojmovi kosinusa smjera mogu se uvesti za prostore viših dimenzija.

Osnova vektorskog prostora

Za vektore možemo definirati pojmove linearna kombinacija,linearna ovisnost I neovisnost slično kao što su ovi koncepti uvedeni za retke matrice. Također je istina da ako su vektori linearno ovisni, onda se barem jedan od njih može izraziti linearno u terminima ostalih (tj. to je njihova linearna kombinacija). Vrijedi i obrnuto: ako je jedan od vektora linearna kombinacija ostalih, tada su svi ti vektori zajedno linearno ovisni.

Primijetimo da ako među vektorima a l , a 2 ,...a m postoji nulti vektor, tada je taj skup vektora nužno linearno ovisan. Zapravo, dobivamo l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ako, na primjer, koeficijent j na nultom vektoru izjednačimo s jedinicom, a sve ostale koeficijente s nulom. U tom slučaju neće svi koeficijenti biti jednaki nuli ( j ≠ 0).

Osim toga, ako je neki dio vektora iz skupa vektora linearno ovisan, tada su svi ti vektori linearno ovisni. Zapravo, ako neki vektori daju nulti vektor u svojoj linearnoj kombinaciji s koeficijentima koji nisu oba nula, tada se preostali vektori pomnoženi s nultim koeficijentima mogu dodati ovom zbroju proizvoda, i to će i dalje biti nulti vektor.

Kako odrediti jesu li vektori linearno ovisni?

Na primjer, uzmimo tri vektora: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) i a 3 = (3, 1, 4, 3). Kreirajmo od njih matricu u kojoj će biti stupci:

Tada će se pitanje linearne ovisnosti svesti na određivanje ranga ove matrice. Ako se ispostavi da je jednak tri, tada su sva tri stupca linearno neovisna, a ako se pokaže da je manji, to će značiti linearnu ovisnost vektora.

Budući da je rang 2, vektori su linearno ovisni.

Imajte na umu da bi rješenje problema također moglo započeti razmišljanjem koje se temelji na definiciji linearne neovisnosti. Naime, sastavite vektorsku jednadžbu  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, koja će imati oblik  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tada dobivamo sustav jednadžbi:

Rješavanje ovog sustava Gaussovom metodom svodit će se na dobivanje iste matrice koraka, samo što će imati još jedan stupac - slobodni članovi. Svi će oni biti nula, jer linearne transformacije nula ne mogu dovesti do drugačijeg rezultata. Transformirani sustav jednadžbi će imati oblik:

Rješenje ovog sustava bit će (-s;-s; s), gdje je s proizvoljan broj; na primjer, (-1;-1;1). To znači da ako uzmemo  l = -1; 2 =-1 i  3 = 1, tada je  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, tj. vektori su zapravo linearno ovisni.

Iz riješenog primjera postaje jasno da ako uzmemo broj vektora veći od dimenzije prostora, onda će oni nužno biti linearno ovisni. Zapravo, ako u ovom primjeru uzmemo pet vektora, dobili bismo matricu 4 x 5, čiji rang ne može biti veći od četiri. Oni. najveći broj linearno nezavisnih stupaca i dalje ne bi bio veći od četiri. Dva, tri ili četiri četverodimenzionalna vektora mogu biti linearno neovisna, ali pet ili više ne mogu. Prema tome, na ravnini ne mogu biti linearno neovisna više od dva vektora. Bilo koja tri vektora u dvodimenzionalnom prostoru su linearno ovisna. U trodimenzionalnom prostoru svaka četiri (ili više) vektora uvijek su linearno ovisna. I tako dalje.

Zato dimenzija prostor se može definirati kao najveći broj linearno neovisnih vektora koji se u njemu mogu nalaziti.

Skup od n linearno neovisnih vektora n-dimenzionalnog prostora R naziva se osnova ovaj prostor.

Teorema. Svaki vektor linearnog prostora može se prikazati kao linearna kombinacija baznih vektora, i to na jedinstven način.

Dokaz. Neka vektori e l , e 2 ,...e n tvore bazično-dimenzionalni prostor R. Dokažimo da je svaki vektor X linearna kombinacija ovih vektora. Budući da će zajedno s vektorom X broj vektora postati (n +1), ti (n +1) vektori će biti linearno ovisni, tj. postoje brojevi l , 2 ,..., n ,, koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +H = 0

U ovom slučaju, 0, jer inače bismo dobili l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, gdje nisu svi koeficijenti l , 2 ,..., n jednaki nuli. To znači da bi bazni vektori bili linearno ovisni. Stoga obje strane prve jednadžbe možemo podijeliti s:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

H = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

H = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

gdje je x j = -( j /),
.

Sada dokazujemo da je takav prikaz u obliku linearne kombinacije jedinstven. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedan prikaz:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Oduzimajmo od njega član po član prethodno dobiveni izraz:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Budući da su bazni vektori linearno neovisni, dobivamo da je (y j - x j) = 0,
, tj. y j ​​​​= x j . Dakle, izraz je ispao isti. Teorem je dokazan.

Izraz X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n naziva se raspad vektor X temeljen na e l, e 2,...e n, i brojevima x l, x 2,...x n - koordinate vektor x u odnosu na ovu bazu, ili u ovoj bazi.

Može se dokazati da ako su vektori različiti od nule n-dimenzionalnog euklidskog prostora ortogonalni u paru, onda oni tvore bazu. Zapravo, pomnožimo obje strane jednakosti l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 bilo kojim vektorom e i. Dobivamo  l (e l *e i) +  2 (e 2 *e i) +...+  n (e n *e i) = 0   i (e i *e i) = 0   i = 0 za  i.

Vektori e l , e 2 ,...e n n-dimenzionalnog oblika Euklidskog prostora ortonormirana baza, ako su ti vektori po paru ortogonalni i norma svakog od njih je jednaka jedinici, tj. ako je e i *e j = 0 za i≠j i |e i | = 1 zai.

Teorem (bez dokaza). U svakom n-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji ortonormirana baza.

Primjer ortonormirane baze je sustav od n jediničnih vektora e i , za koji je i-ta komponenta jednaka jedinici, a preostale komponente jednake su nuli. Svaki takav vektor naziva se ort. Na primjer, vektorski vektori (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1) čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Predavanje: Vektorske koordinate; skalarni produkt vektora; kut između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjeren segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj prikazani određenim točkama, onda one imaju svoje koordinate na ravnini ili u prostoru.

Ako svaka točka ima svoje koordinate, tada možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Recimo da imamo vektor čiji početak i kraj imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Za dobivanje koordinata zadanog vektora potrebno je od koordinata kraja vektora oduzeti odgovarajuće koordinate početka:

Za određivanje koordinata vektora u prostoru upotrijebite sljedeću formulu:

Točkasti umnožak vektora

Postoje dva načina za definiranje koncepta skalarnog proizvoda:

• Geometrijska metoda. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa kuta između njih.

• Algebarsko značenje. S gledišta algebre, skalarni umnožak dvaju vektora je određena veličina koja je dobivena kao rezultat zbroja umnožaka odgovarajućih vektora.

Ako su vektori zadani u prostoru, tada biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako pomnožite dva identična vektora skalarno, tada njihov skalarni produkt neće biti negativan:

• Ako se ispostavi da je skalarni produkt dva identična vektora jednak nuli, tada se ti vektori smatraju nulom:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni umnožak biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni umnožak ima komunikativno svojstvo, odnosno skalarni umnožak se neće promijeniti ako se vektori preurede:

• Skalarni produkt vektora koji nisu nula može biti jednak nuli samo ako su vektori okomiti jedan na drugi:

• Za skalarni produkt vektora vrijedi komutativni zakon u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa skalarnim produktom također možete koristiti svojstvo distribucije množenja:

Kut između vektora

U slučaju ravninskog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y) i b = (b x; b y) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y

Formula za skalarni produkt vektora za prostorne probleme

U slučaju prostornog problema, skalarni produkt vektora a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula za skalarni produkt n-dimenzionalnih vektora

U slučaju n-dimenzionalnog prostora, skalarni produkt vektora a = (a 1; a 2; ...; a n) i b = (b 1; b 2; ...; b n) može se pronaći pomoću sljedeća formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Svojstva skalarnog umnoška vektora

1. Skalarni produkt vektora sa samim sobom uvijek je veći ili jednak nuli:

2. Skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je nuli ako i samo ako je vektor jednak nultom vektoru:

a · a = 0<=>a = 0

3. Skalarni produkt vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula:

4. Operacija skalarnog množenja je komunikativna:

5. Ako je skalarni umnožak dva vektora različita od nule jednak nuli, onda su ti vektori ortogonalni:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacija skalarnog množenja je distributivna:

(a + b) c = a c + b c

Primjeri zadataka za izračunavanje skalarnog umnoška vektora

Primjeri izračunavanja skalarnog umnoška vektora za ravninske probleme

Odredite skalarni produkt vektora a = (1; 2) i b = (4; 8).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Nađite skalarni produkt vektora a i b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 6, a kut između vektora je 60˚.

Riješenje: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Odredite skalarni umnožak vektora p = a + 3b i q = 5a - 3 b ako su njihove duljine |a| = 3, |b| = 2, a kut između vektora a i b je 60˚.

Riješenje:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Primjer izračuna skalarnog umnoška vektora za prostorne probleme

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Primjer izračuna točkastog produkta za n-dimenzionalne vektore

Odredite skalarni umnožak vektora a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Riješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Umnožak vektora i vektora naziva se treći vektor definiran na sljedeći način:

2) okomit, okomit. (1"")

3) vektori su orijentirani na isti način kao i baza cijelog prostora (pozitivno ili negativno).

Označite: .

Fizičko značenje vektorskog umnoška

— moment sile u odnosu na točku O; - polumjer - vektor točke primjene sile, zatim

Štoviše, ako ga pomaknemo u točku O, tada bi trojka trebala biti orijentirana kao bazni vektor.

Točkasti umnožak vektora

Nastavljamo se baviti vektorima. Na prvom satu Vektori za lutke Razmotrili smo pojam vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu s tražilice, toplo preporučam čitanje gornjeg uvodnog članka, jer za svladavanje gradiva morate biti upoznati s terminima i oznakama koje koristim, imati osnovna znanja o vektorima i moći riješiti osnovne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme, au njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni produkt vektora. Ovo je JAKO VAŽNA aktivnost.. Pokušajte ne preskočiti primjere; oni dolaze s korisnim bonusom - vježba će vam pomoći da konsolidirate materijal koji ste prošli i postanete bolji u rješavanju uobičajenih problema u analitičkoj geometriji.

Zbrajanje vektora, množenje vektora brojem.... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Uz radnje o kojima smo već raspravljali, postoji niz drugih operacija s vektorima, naime: točkasti umnožak vektora, vektorski produkt vektora I mješoviti produkt vektora. Skalarni produkt vektora poznat nam je iz škole, druga dva produkta tradicionalno pripadaju kolegiju više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je jednostavan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE ODJEDNOM. Ovo posebno vrijedi za lutke; vjerujte mi, autor se apsolutno ne želi osjećati kao Chikatilo iz matematike. Pa ne iz matematike, naravno =) Pripremljeniji učenici mogu koristiti materijale selektivno, u određenom smislu, "dobiti" nedostajuće znanje, za vas ću biti bezopasni grof Drakula =)

Otvorimo konačno vrata i gledajmo s entuzijazmom što se događa kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog produkta vektora.
Svojstva skalarnog umnoška. Tipični zadaci

Koncept točkastog proizvoda

Prvo o kut između vektora. Mislim da svatko intuitivno razumije koliki je kut između vektora, ali za svaki slučaj, malo više detalja. Razmotrimo slobodne vektore različite od nule i . Ako nacrtate ove vektore iz proizvoljne točke, dobit ćete sliku koju su mnogi već zamislili mentalno:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na razini razumijevanja. Ako vam je potrebna stroga definicija kuta između vektora, pogledajte udžbenik; za praktične probleme, u načelu, to nam nije od koristi. Također OVDJE I OVDJE mjestimično ću zanemariti nulte vektore zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervirao sam posebno za napredne posjetitelje stranice koji bi mi mogli zamjeriti teoretsku nedovršenost nekih naknadnih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stupnjeva (0 do radijana), uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana u obliku dvostruke nejednakosti: ili (u radijanima).

U literaturi se simbol kuta često preskače i jednostavno piše.

Definicija: Skalarni umnožak dvaju vektora je BROJ jednak umnošku duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih:

Ovo je prilično stroga definicija.

Usredotočeni smo na bitne informacije:

Oznaka: skalarni produkt se označava sa ili jednostavno.

Rezultat operacije je BROJ: Vektor se množi s vektorom, a rezultat je broj. Doista, ako su duljine vektora brojevi, kosinus kuta je broj, tada je njihov umnožak također će biti broj.

Samo par primjera zagrijavanja:

Primjer 1

Riješenje: Koristimo formulu . U ovom slučaju:

Odgovor:

Vrijednosti kosinusa mogu se pronaći u trigonometrijska tablica. Preporučujem da ga ispišete - bit će potreban u gotovo svim dijelovima tornja i bit će potreban mnogo puta.

S čisto matematičke točke gledišta, skalarni umnožak je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stajališta problema fizike, skalarni produkt uvijek ima određeno fizikalno značenje, odnosno nakon rezultata mora biti naznačena jedna ili druga fizikalna jedinica. Kanonski primjer izračuna rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo skalarni umnožak). Rad sile mjeri se u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer, .

Primjer 2

Pronađite ako , a kut između vektora jednak je .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije.

Kut između vektora i vrijednosti točkastog produkta

U primjeru 1 skalarni produkt se pokazao pozitivnim, au primjeru 2 negativnim. Otkrijmo o čemu ovisi predznak skalarnog umnoška. Pogledajmo našu formulu: . Duljine vektora različitih od nule uvijek su pozitivne: , pa predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Da biste bolje razumjeli informacije u nastavku, bolje je proučiti kosinusni grafikon u priručniku Funkcijski grafikoni i svojstva. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već navedeno, kut između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako kutak između vektora začinjeno: (od 0 do 90 stupnjeva), zatim , I točkasti umnožak će biti pozitivan surežiran, tada se kut između njih smatra nulom, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da je , formula pojednostavljuje: .

2) Ako kutak između vektora tup: (od 90 do 180 stupnjeva), zatim , i sukladno tome, točkasti umnožak je negativan: . Poseban slučaj: ako vektori suprotnih smjerova, tada se razmatra kut između njih proširena: (180 stupnjeva). Skalarni produkt je također negativan, jer

Obratne tvrdnje su također istinite:

1) Ako je , onda je kut između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su susmjerni.

2) Ako je , tada je kut između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su u suprotnim smjerovima.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako kutak između vektora ravno: (90 stupnjeva), zatim skalarni proizvod je nula: . Vrijedi i obrnuto: ako , tada . Izjava se može sažeto formulirati na sljedeći način: Skalarni produkt dvaju vektora jednak je nuli ako i samo ako su vektori ortogonalni. Kratki matematički zapis:

! Bilješka : Da ponovimo osnove matematičke logike: Ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo ako", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz onoga slijedi ovo." Usput, koja je razlika od ikone jednosmjernog praćenja? Ikona navodi samo to, da "iz ovoga slijedi ovo", a nije činjenica da je suprotno. Na primjer: , ali nije svaka životinja pantera, tako da u ovom slučaju ne možete koristiti ikonu. Istovremeno, umjesto ikone Limenka koristiti jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući zadatak, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav će unos biti točan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj ima veliko praktično značenje, jer vam omogućuje da provjerite jesu li vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva točkastog produkta

Vratimo se na situaciju kada dva vektora surežiran. U ovom slučaju, kut između njih je nula, , a formula skalarnog umnoška ima oblik: .

Što se događa ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor poravnat sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektora, a označavaju se kao .

Tako, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu duljine zadanog vektora:

Iz ove jednakosti možemo dobiti formulu za izračunavanje duljine vektora:

Zasad se čini nejasnim, ali ciljevi lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema koji su nam također potrebni svojstva točkastog produkta.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj vrijede sljedeća svojstva:

1) – komutativni odn komutativni zakon skalarnog produkta.

2) – distribucija odn distributivni zakon skalarnog produkta. Jednostavno, možete otvoriti zagrade.

3) – asocijativni odn asocijativni zakon skalarnog produkta. Konstanta se može izvesti iz skalarnog umnoška.

Često svakakva svojstva (koja također treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da preslagivanje faktora ne mijenja umnožak: . Moram vas upozoriti da je u višoj matematici takvim pristupom lako zabrljati. Tako, na primjer, svojstvo komutativnosti nije istinito za algebarske matrice. Također nije istina za vektorski produkt vektora. Stoga je barem bolje istražiti sva svojstva na koja naiđete na tečaju više matematike kako biste razumjeli što možete, a što ne možete.

Primjer 3

.

Riješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. Što je ovo uopće? Zbroj vektora je točno definiran vektor koji se označava s . Geometrijska interpretacija akcija s vektorima može se pronaći u članku Vektori za lutke. Isti peršin s vektorom je zbroj vektora i .

Dakle, prema uvjetu, potrebno je pronaći skalarni umnožak. U teoriji, trebate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo duljine vektora i kut između njih. Ali uvjet daje slične parametre za vektore, pa ćemo ići drugim putem:

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Otvaramo zagrade prema pravilu za množenje polinoma, vulgarnu brzalicu možete pronaći u članku Kompleksni brojevi ili Integriranje frakcijsko-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Usput, svojstvo distribucije skalarnog produkta omogućuje nam otvaranje zagrada. Imamo pravo.

(3) U prvom i zadnjem članu kompaktno pišemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom članu koristimo komutabilnost skalarnog umnoška: .

(4) Predstavljamo slične pojmove: .

(5) U prvom članu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je spomenuta ne tako davno. U zadnjem mandatu, sukladno tome, radi ista stvar: . Drugi član proširujemo prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uvjete , i PAŽLJIVO izvršite završne izračune.

Odgovor:

Negativna vrijednost skalarnog produkta govori o tome da je kut između vektora tup.

Problem je tipičan, evo primjera kako ga sami riješiti:

Primjer 4

Naći skalarni produkt vektora i ako je poznato da .

Sada još jedan uobičajeni zadatak, samo za novu formulu za duljinu vektora. Oznaka će se ovdje malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Odredite duljinu vektora ako .

Riješenje bit će kako slijedi:

(1) Dajemo izraz za vektor .

(2) Koristimo formulu duljine: , a cijeli izraz ve djeluje kao vektor “ve”.

(3) Koristimo školsku formulu za kvadrat zbroja. Primijetite kako to ovdje funkcionira na čudan način: – zapravo, to je kvadrat razlike, i zapravo je tako. Oni koji žele mogu preuređivati ​​vektore: - događa se ista stvar, sve do preuređivanja članova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz prethodna dva problema.

Odgovor:

Budući da govorimo o duljini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Odredite duljinu vektora ako .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo cijediti korisne stvari iz točkastog proizvoda. Pogledajmo ponovno našu formulu . Koristeći pravilo proporcije, vraćamo duljine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamijenimo dijelove:

Koje je značenje ove formule? Ako su poznate duljine dvaju vektora i njihov skalarni umnožak, tada možemo izračunati kosinus kuta između tih vektora, a time i sam kut.

Je li točkasti umnožak broj? Broj. Jesu li duljine vektora brojevi? Brojke. To znači da je i razlomak broj. A ako je poznat kosinus kuta: , tada je korištenjem inverzne funkcije lako pronaći sam kut: .

Primjer 7

Nađite kut između vektora i ako je poznato da je .

Riješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi izračuna korištena je tehnička tehnika - otklanjanje iracionalnosti u nazivniku. Kako bih eliminirao iracionalnost, pomnožio sam brojnik i nazivnik s .

Pa ako , to:

Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija mogu se pronaći pomoću trigonometrijska tablica. Iako se to događa rijetko. U problemima analitičke geometrije puno češće podnese neki nespretni medo poput , a vrijednost kuta treba približno pronaći pomoću kalkulatora. Zapravo, takvu ćemo sliku vidjeti više puta.

Odgovor:

Opet, ne zaboravite naznačiti dimenzije - radijane i stupnjeve. Osobno, da bih očito “riješio sva pitanja”, preferiram naznačiti oba (osim ako uvjet, naravno, ne zahtijeva prikaz odgovora samo u radijanima ili samo u stupnjevima).

Sada se možete samostalno nositi sa složenijim zadatkom:

Primjer 7*

Zadane su duljine vektora i kut između njih. Pronađite kut između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko se sastoji od više koraka.
Pogledajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu treba pronaći kut između vektora i , pa treba koristiti formulu .

2) Nađite skalarni produkt (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odredite duljinu vektora i duljinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja podudara se s primjerom br. 7 - znamo broj , što znači da je lako pronaći sam kut:

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom skalarnom produktu. Koordinate. Bit će još lakše nego u prvom dijelu.

točkasti umnožak vektora,
zadan koordinatama u ortonormiranoj bazi

Odgovor:

Nepotrebno je reći da je baratanje koordinatama mnogo ugodnije.

Primjer 14

Nađi skalarni produkt vektora i ako

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne računati , nego trostruku odmah izvaditi izvan skalarnog umnoška i pomnožiti s njom posljednju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

Na kraju odjeljka provokativan primjer izračunavanja duljine vektora:

Primjer 15

Odredite duljine vektora , Ako

Riješenje: Metoda iz prethodnog odjeljka ponovno se sugerira: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

A njezina duljina prema trivijalnoj formuli :

Točkasti proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Također nije korisno kada se izračunava duljina vektora:
Stop. Ne bismo li trebali iskoristiti očito svojstvo duljine vektora? Što možete reći o duljini vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očito je da je duljina vektora jednaka umnošku modul brojevi po duljini vektora:
– znak modula “jede” mogući minus broja.

Tako:

Odgovor:

Formula za kosinus kuta između vektora koji su određeni koordinatama

Sada imamo potpune informacije za korištenje prethodno izvedene formule za kosinus kuta između vektora izraziti kroz vektorske koordinate:

Kosinus kuta između ravninskih vektora i , navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:
.

Kosinus kuta između prostornih vektora, navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:

Primjer 16

Dana su tri vrha trokuta. Pronađite (vrhni kut).

Riješenje: Prema uvjetima, crtež nije potreban, ali ipak:

Traženi kut je označen zelenim lukom. Sjetimo se odmah školske oznake kuta: – posebna pozornost na prosjek slovo - ovo je vrh kuta koji nam je potreban. Radi sažetosti, možete napisati i jednostavno .

Iz crteža je sasvim očito da se kut trokuta poklapa s kutom između vektora i, drugim riječima: .

Preporučljivo je naučiti kako mentalno izvršiti analizu.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni produkt:

A duljine vektora:

Kosinus kuta:

Upravo ovakav redoslijed izvršavanja zadatka preporučam za glupane. Napredniji čitatelji mogu napisati izračune "u jednom redu":

Evo primjera "loše" vrijednosti kosinusa. Dobivena vrijednost nije konačna, pa nema smisla oslobađati se iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo sam kut:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru kut se može izmjeriti i kutomjerom. Nemojte oštetiti poklopac monitora =)

Odgovor:

U odgovoru to ne zaboravljamo upitao o kutu trokuta(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti točan odgovor: i približnu vrijednost kuta: , pronađeno pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati kutove i provjeriti valjanost kanonske jednakosti

Primjer 17

Trokut je u prostoru određen koordinatama svojih vrhova. Odredite kut između stranica i

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Kratki završni odjeljak bit će posvećen projekcijama, koje također uključuju skalarni produkt:

Projekcija vektora na vektor. Projekcija vektora na koordinatne osi.
Kosinusi smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projicirajmo vektor na vektor; da bismo to učinili, izostavimo početak i kraj vektora okomice u vektor (zelene isprekidane linije). Zamislite da zrake svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti "sjena" vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DULJINA segmenta. Odnosno, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ je označen na sljedeći način: , "veliki vektor" označava vektor KOJI projekta, "mali indeksni vektor" označava vektor NA koji je projektiran.

Sam unos glasi ovako: “projekcija vektora “a” na vektor “be”.”

Što se događa ako je vektor "be" "prekratak"? Nacrtamo ravnu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor "a" će već biti projiciran na smjer vektora "be", jednostavno - na ravnu liniju koja sadrži vektor "be". Ista stvar će se dogoditi ako se vektor "a" odgodi u tridesetom kraljevstvu - i dalje će se lako projicirati na ravnu liniju koja sadrži vektor "be".

Ako kut između vektora začinjeno(kao na slici), zatim

Ako vektori ortogonalni, tada (projekcija je točka čije se dimenzije smatraju nulom).

Ako kut između vektora tup(na slici mentalno preuredite vektorsku strelicu), zatim (iste duljine, ali uz znak minus).

Nacrtajmo ove vektore iz jedne točke:

Očito, kada se vektor pomiče, njegova projekcija se ne mijenja