Trigonometrija u graditeljstvu. Dodatne primjene trigonometrije u životu

poravnaj=centriraj>

Trigonometrija- mikropresjek matematike u kojem se proučavaju odnosi između vrijednosti kutova i duljina stranica trokuta, kao i algebarski identiteti trigonometrijskih funkcija.
Postoje mnoga područja u kojima se koriste trigonometrija i trigonometrijske funkcije. Trigonometrija ili trigonometrijske funkcije koriste se u astronomiji, pomorskoj i zračnoj navigaciji, akustici, optici, elektronici, arhitekturi i drugim područjima.

Povijest nastanka trigonometrije

Povijest trigonometrije, kao znanosti o odnosima između kutova i stranica trokuta i drugih geometrijskih figura, proteže se više od dva tisućljeća. Većina tih relacija nije moguće izraziti uobičajenim algebarskim operacijama, pa je bilo potrebno uvesti posebne trigonometrijske funkcije, koje su u početku bile prikazane u obliku numeričkih tablica.
Povjesničari vjeruju da su trigonometriju stvorili drevni astronomi, a malo kasnije počela se koristiti u arhitekturi. Tijekom vremena djelokrug trigonometrije stalno se širio i danas obuhvaća gotovo sve prirodne znanosti, tehnologiju i niz drugih područja djelovanja.

Rana stoljeća

Poznato mjerenje kutova u stupnjevima, minutama i sekundama potječe iz babilonske matematike (uvođenje ovih jedinica u starogrčku matematiku obično se pripisuje 2. stoljeću pr. Kr.).

Glavno postignuće tog razdoblja bio je odnos između kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu, koji je kasnije postao poznat kao Pitagorin teorem.

Drevna grčka

Opći i logički koherentan prikaz trigonometrijskih odnosa pojavio se u starogrčkoj geometriji. Grčki matematičari još nisu identificirali trigonometriju kao zasebnu znanost; za njih je ona bila dio astronomije.
Glavno postignuće antičke trigonometrijske teorije bilo je rješenje u općem obliku problema "rješavanja trokuta", odnosno pronalaženja nepoznatih elemenata trokuta na temelju njegova tri zadana elementa (od kojih je barem jedan stranica).
Primijenjeni trigonometrijski problemi vrlo su raznoliki - npr. mogu se specificirati praktično mjerljivi rezultati djelovanja na navedene veličine (npr. zbroj kutova ili omjer duljina stranica).
Usporedno s razvojem ravninske trigonometrije, Grci su pod utjecajem astronomije jako unaprijedili sfernu trigonometriju. U Euklidovim Elementima postoji samo teorem na ovu temu o omjeru obujma kugli različitih promjera, no potrebe astronomije i kartografije uzrokovale su nagli razvoj sferne trigonometrije i srodnih područja – nebeskih koordinatnih sustava, teorije kartografskih projekcija , te tehnologija astronomskih instrumenata.

Srednji vijek

Prva specijalizirana rasprava o trigonometriji bila je rad srednjoazijskog znanstvenika (X-XI stoljeća) "Knjiga ključeva znanosti o astronomiji" (995-996). Cijeli tečaj trigonometrije sadržavao je glavno Al-Birunijevo djelo - “Masudov kanon” (Knjiga III). Uz tablice sinusa (u koracima od 15"), Al-Biruni je dao tablice tangenti (u koracima od 1°).

Nakon što su arapski traktati prevedeni na latinski u 12.-13. stoljeću, mnoge ideje indijskih i perzijskih matematičara postale su vlasništvo europske znanosti. Navodno, prvo upoznavanje Europljana s trigonometrijom dogodilo se zahvaljujući ziju, čija su dva prijevoda nastala u 12. stoljeću.

Prvo europsko djelo u potpunosti posvećeno trigonometriji često se naziva "Četiri rasprave o izravnim i obrnutim akordima" engleskog astronoma Richarda od Wallingforda (oko 1320.). Trigonometrijske tablice, često prevedene s arapskog, ali ponekad i izvorne, sadržane su u djelima niza drugih autora 14.-15. stoljeća. U isto vrijeme, trigonometrija je zauzela svoje mjesto među sveučilišnim kolegijima.

Novo vrijeme

Razvoj trigonometrije u moderno doba postao je iznimno važan ne samo za astronomiju i astrologiju, već i za druge primjene, prvenstveno topništvo, optiku i navigaciju tijekom dugih pomorskih putovanja. Stoga su nakon 16. stoljeća mnogi istaknuti znanstvenici proučavali ovu temu, uključujući Nikolu Kopernika, Johannesa Keplera, Francoisa Viètea. Kopernik je trigonometriji posvetio dva poglavlja u svojoj raspravi O rotaciji nebeskih sfera (1543). Ubrzo (1551.) pojavljuju se 15-znamenkaste trigonometrijske tablice Rheticusa, Kopernikova učenika. Kepler je objavio The Optical Part of Astronomy (1604).

Viet je u prvom dijelu svog “Matematičkog kanona” (1579.) uključio razne tablice, uključujući i trigonometrijske, au drugom dijelu dao je detaljan i sustavan, iako bez dokaza, prikaz ravne i sferne trigonometrije. Godine 1593. Viet je pripremio prošireno izdanje ovog velikog djela.
Zahvaljujući radovima Albrechta Durera rođen je sinusni val.

XVIII stoljeće

Trigonometrija je dala moderan izgled. U svojoj raspravi "Uvod u analizu beskonačnosti" (1748.) Euler je dao definiciju trigonometrijskih funkcija ekvivalentnu suvremenoj, te je u skladu s tim definirao inverzne funkcije.

Euler je negativne kutove i kutove veće od 360° smatrao dopuštenima, što je omogućilo definiranje trigonometrijskih funkcija na cijelom realnom brojevnom pravcu i njihovo proširenje na kompleksnu ravninu. Kada se postavilo pitanje proširenja trigonometrijskih funkcija na tupe kutove, predznaci tih funkcija prije Eulera često su netočno birani; mnogi su matematičari smatrali, na primjer, kosinus i tangens tupoga kuta pozitivnima. Euler je odredio ove predznake za kutove u različitim koordinatnim kvadrantima na temelju redukcijskih formula.
Euler nije proučavao opću teoriju trigonometrijskih nizova i nije proučavao konvergenciju dobivenog niza, ali je dobio nekoliko važnih rezultata. Konkretno, izveo je proširenja cjelobrojnih potencija sinusa i kosinusa.

Primjena trigonometrije

Na svoj su način u pravu oni koji kažu da trigonometrija nije potrebna u stvarnom životu. Pa, koji su njegovi uobičajeni aplikacijski zadaci? Izmjerite udaljenost između nedostupnih objekata.
Od velike je važnosti tehnika triangulacije, koja omogućuje mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji, između orijentira u zemljopisu i upravljanje satelitskim navigacijskim sustavima. Također je vrijedna pažnje primjena trigonometrije u područjima kao što su navigacijska tehnologija, teorija glazbe, akustika, optika, analiza financijskih tržišta, elektronika, teorija vjerojatnosti, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk i kompjutoriziranu tomografiju), farmacija, kemija, teorija brojeva ( i, kao posljedica toga, kriptografija), seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija i geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektroničko inženjerstvo, strojarstvo, računalna grafika, kristalografija itd.
Zaključak: trigonometrija je velika pomoć u našem svakodnevnom životu.

studija, čiji početak nalikuje malom valu, nakon čega se opaža sistolički porast. Mali val obično ukazuje na kontrakciju atrija. Početak uspona podudara se s početkom izbacivanja krvi u aortu. Na istoj vrpci možete vidjeti još jedan maksimalni vrh, koji signalizira zatvaranje polumjesečevih ventila. Oblik određenog segmenta maksimalnog porasta može biti vrlo raznolik, što dovodi do različitih rezultata ovog istraživanja. Nakon maksimalnog uspona, slijedi pad krivulje, koji se nastavlja do samog kraja. Ovaj segment apeksnog kardiograma prati otvaranje mitralnog zaliska. Nakon toga dolazi do laganog porasta vala. Označava brzo vrijeme punjenja. Cijeli preostali segment krivulje označava se kao vrijeme pasivnog punjenja ventrikula. Takav pregled desne klijetke može ukazati na moguće patološke abnormalnosti.

Srednja škola MBOU Tselinnaya

Izvijestite o trigonometriji u stvarnom životu

Pripremljeno i izvedeno

profesorica matematike

kvalifikacijska kategorija

Iljina V.P.

Selo Tselinny, ožujak 2014

Sadržaj.

1. Uvod .

2. Povijest nastanka trigonometrije:

Rana stoljeća.

Drevna grčka.

Srednji vijek.

Novo vrijeme.

Iz povijesti razvoja sferne geometrije.

3.Trigonometrija i stvarni život:

Primjena trigonometrije u navigaciji.

Trigonometrija u algebri.

Trigonometrija u fizici.

Trigonometrija u medicini i biologiji.

Trigonometrija u glazbi.

Trigonometrija u informatici

Trigonometrija u graditeljstvu i geodeziji.

4. Zaključak .

5. Popis literature.

Uvod

U matematici je već odavno ustaljena praksa da se mi učenici pri sustavnom učenju matematike tri puta susrećemo s trigonometrijom. Prema tome, čini se da se njegov sadržaj sastoji od tri dijela. Tijekom obuke ti su dijelovi vremenski odvojeni jedni od drugih i nisu slični jedni drugima kako po značenju koje se ulaže u objašnjenje osnovnih pojmova, tako i po aparaturi koja se razvija i po servisnim funkcijama (primjenama).

Doista, prvi put smo se susreli s trigonometrijskim gradivom u 8. razredu kada smo proučavali temu “Odnosi stranica i kutova pravokutnog trokuta”. Tako smo naučili što su sinus, kosinus i tangens i naučili rješavati ravninske trokute.

No, prošlo je neko vrijeme i u 9. razredu ponovno smo se vratili trigonometriji. Ali ova trigonometrija nije poput onoga što se prije proučavalo. Njegovi se odnosi sada određuju pomoću kruga (jedinice polukruga), a ne pravokutnog trokuta. Iako su još definirani kao funkcije kutova, ti su kutovi već proizvoljno veliki.

Prelaskom u 10. razred ponovno smo se susreli s trigonometrijom i vidjeli da se ona još više zakomplicirala, uveden je pojam radijanske mjere kuta, a trigonometrijski identiteti, formulacija zadataka i interpretacija njihovih rješenja izgledaju drugačije. . Uvode se grafovi trigonometrijskih funkcija. Na kraju se pojavljuju trigonometrijske jednadžbe. I sav se ovaj materijal pojavio pred nama kao dio algebre, a ne kao geometrija. I jako smo se zainteresirali za proučavanje povijesti trigonometrije, njezine primjene u svakodnevnom životu, jer korištenje povijesnih informacija od strane učitelja matematike nije obavezno prilikom izlaganja gradiva. Međutim, kako ističe K. A. Malygin, "... izleti u povijesnu prošlost oživljavaju nastavu, oslobađaju od mentalnog stresa, podižu interes za gradivo koje se proučava i doprinose njegovoj čvrstoj asimilaciji." Štoviše, materijal o povijesti matematike vrlo je opsežan i zanimljiv, budući da je razvoj matematike usko povezan s rješavanjem gorućih problema koji su se javljali u svim razdobljima postojanja civilizacije.

Upoznavši povijesne razloge nastanka trigonometrije, te proučavajući kako su plodovi rada velikih znanstvenika utjecali na razvoj ovog područja matematike i rješavanje specifičnih problema, mi, školarci, povećavamo interes za predmet. koji se proučava i vidjet ćemo njegov praktični značaj.

Cilj projekta - razvoj interesa za proučavanje teme "Trigonometrija" u kolegiju algebre i početak analize kroz prizmu primijenjene vrijednosti gradiva koje se proučava; proširenje grafičkih prikaza koji sadrže trigonometrijske funkcije; korištenje trigonometrije u znanostima kao što su fizika, biologija itd.

Povezanost trigonometrije s vanjskim svijetom, važnost trigonometrije u rješavanju mnogih praktičnih problema te grafičke mogućnosti trigonometrijskih funkcija omogućuju “materijalizaciju” znanja školaraca. To vam omogućuje bolje razumijevanje vitalne nužnosti znanja stečenog proučavanjem trigonometrije i povećava interes za proučavanje ove teme.

Ciljevi istraživanja:

1. Razmotrite povijest nastanka i razvoja trigonometrije.

2. Na konkretnim primjerima prikazati praktičnu primjenu trigonometrije u raznim znanostima.

3. Na konkretnim primjerima otkriti mogućnosti korištenja trigonometrijskih funkcija koje omogućuju pretvaranje „malo zanimljivih“ funkcija u funkcije čiji grafovi imaju vrlo originalan izgled.

“Jedna stvar ostaje jasna: svijet je strukturiran prijeteći i lijepo.”

N. Rubcov

trigonometrija - ovo je grana matematike u kojoj se proučavaju odnosi između vrijednosti kutova i duljina stranica trokuta, kao i algebarski identiteti trigonometrijskih funkcija. Teško je zamisliti, ali ovu znanost ne susrećemo samo na nastavi matematike, već iu svakodnevnom životu. Možda nismo ni slutili, ali trigonometrija se nalazi u znanostima poput fizike, biologije, igra važnu ulogu u medicini, a što je najzanimljivije, ni glazba i arhitektura ne mogu bez nje. Zadaci s praktičnim sadržajima imaju značajnu ulogu u razvoju vještina primjene teorijskih znanja stečenih u studiju matematike u praksi. Svakog studenta matematike zanima kako i gdje se stečeno znanje primjenjuje. Ovaj rad daje odgovor na ovo pitanje.

Povijest nastanka trigonometrije

Rana stoljeća

Poznato mjerenje kutova u stupnjevima, minutama i sekundama potječe iz babilonske matematike (uvođenje ovih jedinica u starogrčku matematiku obično se pripisuje 2. stoljeću pr. Kr.).

Glavno postignuće ovog razdoblja bio je odnos između nogu i hipotenuze u pravokutnom trokutu, koji je kasnije dobio ime.

Drevna grčka

Srednji vijek

U 4. stoljeću, nakon smrti antičke znanosti, centar razvoja matematike seli se u Indiju. Promijenili su neke pojmove trigonometrije, približivši ih suvremenim: na primjer, prvi su uveli u uporabu kosinus.
Prva specijalizirana rasprava o trigonometriji bila je rad srednjoazijskog znanstvenika (X-XI stoljeća) "Knjiga ključeva znanosti o astronomiji" (995-996). Cijeli tečaj trigonometrije sadržavao je glavno Al-Birunijevo djelo - “Masudov kanon” (Knjiga III). Uz tablice sinusa (u koracima od 15"), Al-Biruni je dao tablice tangenti (u koracima od 1°).

Prvo europsko djelo u potpunosti posvećeno trigonometriji često se naziva "Četiri rasprave o ravnim i obrnutim akordima" jednog engleskog astronoma (oko 1320.). Trigonometrijske tablice, često prevedene s arapskog, ali ponekad i izvorne, sadržane su u djelima niza drugih autora 14.-15. stoljeća. U isto vrijeme, trigonometrija je zauzela svoje mjesto među sveučilišnim kolegijima.

Novo vrijeme

Riječ “trigonometrija” prvi put se pojavljuje (1505.) u naslovu knjige njemačkog teologa i matematičara Pitiscusa.Ova riječ je grčkog podrijetla: trokut, mjera. Drugim riječima, trigonometrija je znanost o mjerenju trokuta. Iako se naziv pojavio relativno nedavno, mnogi koncepti i činjenice sada vezane uz trigonometriju bili su poznati već prije dvije tisuće godina.

Koncept sinusa ima dugu povijest. Zapravo, različiti omjeri segmenata trokuta i kruga (i, u biti, trigonometrijskih funkcija) nalaze se već u 8. stoljeću. PRIJE KRISTA e u djelima velikih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. Tijekom rimskog razdoblja te je odnose već prilično sustavno proučavao Menelaj (Ӏ st. pr. Kr.), iako nisu dobili poseban naziv. Moderni minus kut, na primjer, proučavan je kao umnožak polutetive na kojoj počiva središnji kut, ili kao tetiva udvostručenog luka.

U narednom razdoblju, matematiku su dugo najaktivnije razvijali indijski i arapski znanstvenici. U ӀV- Vstoljeća Osobito se poseban izraz pojavio u djelima iz astronomije velikog indijskog znanstvenika Aryabhate (476.-oko 550.), po kojemu je nazvan prvi indijski satelit Zemlje.

Kasnije je usvojen kraći naziv jiva. Arapski matematičari u ΙxV. riječ jiva (ili jiba) zamijenjena je arapskom riječi jaib (ispupčenost). Prilikom prevođenja arapskih matematičkih tekstova naXΙΙV. ova riječ je zamijenjena latinskim sinusom (sinus-savijanje, zakrivljenost)

Riječ kosinus mnogo je mlađa. Kosinus je skraćenica latinskog izrazaupotpuniti, dopunasinus, tj. "dodatni sinus" (ili na drugi način "sinus dodatnog luka"; zapamtitecosa= grijeh(90°- a)).

Kad se bavimo trigonometrijskim funkcijama, idemo znatno dalje od zadatka "mjerenja trokuta". Stoga je poznati matematičar F. Klein (1849-1925) predložio da se doktrina "trigonometrijskih" funkcija nazove drugačije - goniometrija (kut). Međutim, ovo ime nije zaživjelo.

Tangente su nastale u vezi s rješavanjem problema određivanja duljine sjene. Tangens (kao i kotangens, sekans i kosekans) uvodi se uxV. Arapski matematičar Abu-l-Wafa, koji je sastavio prve tablice za pronalaženje tangensa i kotangenata. Međutim, ta otkrića dugo su ostala nepoznata europskim znanstvenicima, a tangente su ponovno otkrivene uXΙVV. najprije engleski znanstvenik T. Braverdin, a kasnije njemački matematičar i astronom Regiomontanus (1467.). Naziv "tangenta" dolazi od lattanger(dodir), pojavio se 1583Tangenteprevodi se kao "tangenta" (zapamtite: tangenta je tangenta na jediničnu kružnicu)

Moderne oznakearcsin I arctgpojavljuju se 1772. godine u djelima bečkog matematičara Scherfera i poznatog francuskog znanstvenika J. L. Lagrangea, iako ih je nešto ranije razmatrao već J. Bernoulli, koji je koristio drugačiju simboliku. Ali ti su simboli postali općeprihvaćeni tek na krajuXVΙΙΙstoljeća. Prefiks "luk" dolazi iz latinskogarcusx, na primjer, je kut (moglo bi se reći i luk) čiji je sinus jednakx.

Dugo se trigonometrija razvijala kao dio geometrije, tj. činjenice koje sada formuliramo u terminima trigonometrijskih funkcija formulirane su i dokazane korištenjem geometrijskih pojmova i izjava. Možda su najveći poticaji za razvoj trigonometrije nastali u vezi s rješavanjem zadataka astronomije, koji su bili od velikog praktičnog interesa (npr. za rješavanje problema određivanja položaja broda, predviđanja pomrčina itd.)

Astronome su zanimali odnosi između stranica i kutova sfernih trokuta sastavljenih od velikih kružnica koje leže na kugli. A treba napomenuti da su se stari matematičari uspješno nosili s problemima koji su bili znatno teži od problema ravnih trokuta.

U svakom slučaju, u geometrijskom obliku mnoge nama poznate trigonometrijske formule otkrili su i ponovno otkrili starogrčki, indijski i arapski matematičari (međutim, formule za razliku trigonometrijskih funkcija postale su poznate tek god.XVΙӀ stoljeća - razvio ih je engleski matematičar Napier kako bi pojednostavio izračune s trigonometrijskim funkcijama. A prvi crtež sinusnog vala pojavio se 1634.)

Sastavljanje prve tablice sinusa C. Ptolomeja (dugo se zvala tablica akorda) bilo je od temeljne važnosti: pojavilo se praktično sredstvo za rješavanje niza primijenjenih problema, a prvenstveno problema astronomije.

Kada imamo posla s gotovim tablicama ili koristimo kalkulator, često ne razmišljamo o tome da je bilo vrijeme kada tablice još nisu bile izmišljene. Da bi ih sastavili, bilo je potrebno izvršiti ne samo veliku količinu izračuna, već i smisliti način sastavljanja tablica. Ptolomejeve tablice točne su do uključivo pet decimala.

Suvremeni oblik trigonometrije dao je najveći matematičarXV2. st. L. Euler (1707.-1783.), rođeni Švicarac, koji je godinama radio u Rusiji i bio član peterburške Akademije znanosti. Euler je prvi uveo poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo razmatrati funkcije proizvoljnog kuta i dobio redukcijske formule. Sve je to mali djelić onoga što je Euler uspio učiniti u matematici tijekom svog dugog života: ostavio je preko 800 radova i dokazao mnoge teoreme koji su postali klasični, a odnose se na razna područja matematike. Ali ako pokušate raditi s trigonometrijskim funkcijama u geometrijskom obliku, to jest, kao što su to činile mnoge generacije matematičara prije Eulera, moći ćete cijeniti Eulerove zasluge u sistematiziranju trigonometrije. Nakon Eulera trigonometrija je dobila novi oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati formalnom primjenom trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji i jednostavniji.

Iz povijesti razvoja sferne geometrije .

Opće je poznato da je euklidska geometrija jedna od najstarijih znanosti: već uIIIstoljeća prije Krista Pojavilo se Euklidovo klasično djelo, Elementi. Manje je poznato da je sferna geometrija tek nešto mlađa. Njegov prvi sustavni prikaz odnosi se naja- IIstoljeća. U knjizi "Sfere", koju je napisao grčki matematičar Menelaj (jac.), proučavana su svojstva sfernih trokuta; Posebno je dokazano da je zbroj kutova sfernog trokuta veći od 180 stupnjeva. Još jedan grčki matematičar Klaudije Ptolomej (IIV.). U biti, prvi je sastavio tablice trigonometrijskih funkcija i uveo stereografsku projekciju.

Kao i euklidska geometrija, sferna geometrija je nastala u rješavanju problema praktične prirode, a prvenstveno problema astronomije. Ti su zadaci bili potrebni, primjerice, putnicima i mornarima koji su plovili prema zvijezdama. A budući da je u astronomskim promatranjima zgodno pretpostaviti da se Sunce, Mjesec i zvijezde kreću po prikazanoj "nebeskoj sferi", prirodno je da je za proučavanje njihovog kretanja bilo potrebno poznavanje geometrije sfere. Stoga nije slučajno da je Ptolomejevo najpoznatije djelo naslovljeno "Velika matematička konstrukcija astronomije u 13 knjiga".

Najvažnije razdoblje u povijesti sferne trigonometrije povezano je s aktivnostima znanstvenika na Bliskom istoku. Indijski znanstvenici uspješno su riješili probleme sferne trigonometrije. Međutim, oni nisu koristili metodu koju je opisao Ptolemej i koja se temelji na Menelajevom teoremu o potpunom četverokutu. I u sfernoj trigonometriji koristili su projektivne metode koje su odgovarale metodama iz Ptolemejeve Analeme. Kao rezultat toga, dobili su skup specifičnih računalnih pravila koja su omogućila rješavanje gotovo svakog problema u sfernoj astronomiji. Uz njihovu pomoć, ovaj se zadatak u konačnici sveo na međusobno uspoređivanje sličnih ravnih pravokutnih trokuta. Pri rješavanju zadataka često se koristila teorija kvadratnih jednadžbi i metoda uzastopnih aproksimacija. Primjer astronomskog problema koji su indijski znanstvenici riješili uz pomoć pravila koje je on razvio je problem koji je Varahamihira razmatrao u djelu “Panga Siddhantika” (V- VI). Sastoji se od pronalaženja nadmorske visine Sunca, ako su poznati geografska širina mjesta, deklinacija Sunca i njegov satni kut. Kao rezultat rješavanja ovog problema, nakon niza konstrukcija, uspostavlja se relacija koja je ekvivalentna modernom kosinusnom teoremu za sferni trokut. Međutim, ova relacija i drugi ekvivalent teorema sinusa nisu generalizirani kao pravila primjenjiva na bilo koji sferni trokut.

Među prvim istočnjačkim znanstvenicima koji su se obratili raspravljanju o Menelajevom teoremu treba navesti braću Banu Moussa - Muhammad, Hassan i Ahmad, sinove Muse ibn Shakira, koji su radili u Bagdadu i studirali matematiku, astronomiju i mehaniku. Ali najranije sačuvano djelo o Menelajevom teoremu je “Rasprava o figuri sekanti” njihovog učenika Thabita ibn Qorra (836.-901.)

Traktat Sabita ibn Korre do nas je stigao u arapskom originalu. I to u latinskom prijevoduXIIV. Ovaj prijevod Geranda iz Cremone (1114.-1187.) postao je raširen u srednjovjekovnoj Europi.

Primijenjeni trigonometrijski problemi vrlo su raznoliki - npr. mogu se specificirati praktično mjerljivi rezultati djelovanja na navedene veličine (npr. zbroj kutova ili omjer duljina stranica).

Usporedno s razvojem ravninske trigonometrije, Grci su pod utjecajem astronomije jako unaprijedili sfernu trigonometriju. U Euklidovim Elementima postoji samo teorem na ovu temu o omjeru obujma kugli različitih promjera, no potrebe astronomije i kartografije uzrokovale su nagli razvoj sferne trigonometrije i srodnih područja – nebeskih koordinatnih sustava, teorije kartografskih projekcija , te tehnologija astronomskih instrumenata.

tečajevi.

Trigonometrija i stvarni život

Trigonometrijske funkcije našle su primjenu u matematičkoj analizi, fizici, informatici, geodeziji, medicini, glazbi, geofizici i navigaciji.

Primjena trigonometrije u navigaciji

Navigacija (ova riječ dolazi od latnavigatio- plovidba brodom) jedna je od najstarijih znanosti. Najjednostavniji navigacijski zadaci, poput određivanja najkraćeg puta i odabira smjera putovanja, suočavali su se s prvim moreplovcima. Trenutno te iste i druge probleme moraju rješavati ne samo mornari, već i piloti i astronauti. Pogledajmo detaljnije neke koncepte i zadatke navigacije.

Zadatak. Poznate su geografske koordinate - zemljopisna širina i dužina točaka A i B na zemljinoj površini:, i, . Potrebno je pronaći najkraću udaljenost između točaka A i B duž Zemljine površine (pretpostavlja se da je polumjer Zemlje poznat:R= 6371 km)

Riješenje. Prvo se prisjetimo da je zemljopisna širina točke M na zemljinoj površini vrijednost kuta koji radijus OM, gdje je O središte Zemlje, s ekvatorijalnom ravninom: ≤ i zemljopisna širina sjeverno od ekvator se smatra pozitivnim, a prema jugu negativnim (slika 1)

Duljina točke M je vrijednost diedralnog kuta između ravnina COM i SON, gdje je C Sjeverni pol Zemlje, a H je točka koja odgovara opservatoriju Greenwich: ≤ (istočno od meridijana Greenwich, zemljopisna dužina se smatra pozitivnom, prema zapadu - negativnom).

Kao što je već poznato, najkraća udaljenost između točaka A i B na zemljinoj površini je duljina manjeg od lukova velikog kruga koji povezuje A i B (takav luk se naziva ortodroma - u prijevodu s grčkog znači "ravno trčanje" ). Stoga se naš zadatak svodi na određivanje duljine stranice AB sfernog trokuta ABC (C je sjeverni pol).

Koristeći standardni zapis za elemente trokuta ABC i pripadnog trokuta OABC, iz uvjeta zadatka nalazimo: α = = - , β = (slika 2).

Kut C također nije teško izraziti preko koordinata točaka A i B. Po definiciji je ≤, dakle ili kut C =, ako je ≤, ili -, ako. Poznavanje = korištenje kosinusnog teorema: = + (-). Poznavajući i, prema tome, kut, nalazimo traženu udaljenost: =.

Trigonometrija u navigaciji 2.

Za ucrtavanje kursa broda na karti izrađenoj u projekciji Gerharda Mercatora (1569.) bilo je potrebno odrediti geografsku širinu. Prilikom plovidbe Sredozemnim morem u smjerovima doXVIIV. zemljopisna širina nije navedena. Edmond Gunther (1623.) prvi je upotrijebio trigonometrijska izračunavanja u navigaciji.

Trigonometrija pomaže izračunati učinak vjetra na let zrakoplova. Trokut brzine je trokut koji tvori vektor brzine zraka (V), vektor vjetra (W), vektor brzine na tlu (V P ). PU – kut smjera, UL – kut vjetra, KUV – kut smjera vjetra.

Odnos između elemenata navigacijskog trokuta brzine ima oblik:

V P = V cos DC + W cos UV; grijeh DC = * grijeh UV, tg HC =

Navigacijski trokut brzina rješava se pomoću računskih uređaja, na navigacijskom ravnalu i aproksimativno u mislima.

Trigonometrija u algebri.

Ovdje je primjer rješavanja složene jednadžbe pomoću trigonometrijske supstitucije.

S obzirom na jednadžbu

Neka , dobivamo

;

gdje: ili

uzimajući u obzir ograničenja koja dobivamo:

Trigonometrija u fizici

Gdje god imamo posla s periodičkim procesima i oscilacijama - bilo da je riječ o akustici, optici ili njihanju njihala, imamo posla s trigonometrijskim funkcijama. Formule oscilacija:

Gdje A– amplituda titranja, - kutna frekvencija titranja, - početna faza titranja

Faza oscilacije.

Kada su predmeti uronjeni u vodu, oni ne mijenjaju ni oblik ni veličinu. Cijela tajna je optički učinak koji čini da naš vid drugačije percipira predmet. Najjednostavnije trigonometrijske formule i vrijednosti sinusa kuta upada i loma zrake omogućuju izračunavanje konstantnog indeksa loma kada svjetlosna zraka prelazi iz medija u medij. Na primjer, duga nastaje jer se sunčeva svjetlost lomi od kapljica vode lebdećih u zraku prema zakonu refrakcije:

grijeh α /grijeh β = n 1 /n 2

Gdje:

n 1 - indeks loma prvog medija
n 2 - indeks loma drugog medija

α - upadni kut, β - kut loma svjetlosti.

Prodor nabijenih čestica Sunčevog vjetra u gornju atmosferu planeta određen je interakcijom magnetskog polja planeta sa Sunčevim vjetrom.

Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom polju naziva se Lorentzova sila. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom umnošku polja i brzine čestice.

Kao praktičan primjer, razmotrite fizički problem koji se može riješiti pomoću trigonometrije.

Zadatak. Na nagnutoj ravnini koja s horizontom zaklapa kut od 24,5 O , nalazi se tijelo mase 90 kg. Nađite silu kojom to tijelo pritišće nagnutu ravninu (tj. koliki pritisak tijelo vrši na tu ravninu).

Riješenje:

Nakon što smo označili osi X i Y, počinjemo graditi projekcije sila na osi, prvo koristeći ovu formulu:

ma = N + mg , zatim pogledajte crtež,

x : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N – mg cos24.5 0

N = mg cos 24,5 0

Zamijenimo masu i nalazimo da je sila 819 N.

Odgovor: 819 N

Trigonometrija u medicini i biologiji

Jedan od temeljna svojstvaživa priroda je ciklička priroda većine procesa koji se u njoj odvijaju.

Biološki ritmovi, bioritmovi– radi se o više ili manje pravilnim promjenama prirode i intenziteta bioloških procesa.

Osnovni zemaljski ritam- dnevni džeparac.

Model bioritmova može se izgraditi pomoću trigonometrijskih funkcija.

Da biste izradili model bioritma, morate unijeti datum rođenja osobe, referentni datum (dan, mjesec, godina) i trajanje prognoze (broj dana).

Čak se i neka područja mozga nazivaju sinusima.

Zidove sinusa formira dura mater, obložena endotelom. Lumen sinusa zjapi, ventili i mišićno tkivo, za razliku od drugih vena, nedostaju. U sinusnoj šupljini nalaze se fibrozne pregrade prekrivene endotelom. Iz sinusa krv teče u unutarnje jugularne vene, osim toga, postoji veza između sinusa i vena vanjske površine lubanje kroz rezervne venske otvore.

Kretanje ribe u vodi događa se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako popravite točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja.

Tijekom plivanja tijelo ribe ima oblik krivulje koja podsjeća na grafikon

funkcije g= tgx.

Trigonometrija u glazbi

Slušamo glazbu u formatump3.

Zvučni signal je val, evo njegovog "grafa".

Kao što vidite, iako je vrlo složena, to je sinusoida koja se pokorava zakonima trigonometrije.

U proljeće 2003. u Moskovskom umjetničkom kazalištu održana je prezentacija albuma "Trigonometrija" grupe "Noćni snajperisti", solistica Diana Arbenina. Sadržaj albuma otkriva izvorno značenje riječi "trigonometrija" - mjerenje Zemlje.

Trigonometrija u informatici

Trigonometrijske funkcije mogu se koristiti za točne izračune.

Koristeći trigonometrijske funkcije možete aproksimirati bilo koju

(u određenom smislu "dobra") funkcija, proširujući je u Fourierov red:

a 0 + a 1 cos x + b 1 grijeh x + a 2 cos 2x + b 2 grijeh 2x + a 3 cos 3x + b 3 grijeh 3x + ...

Pravilan odabir brojeva a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Gotovo svaku funkciju u računalu moguće je prikazati u obliku takvog (beskonačnog) zbroja s potrebnom točnošću.

Trigonometrijske funkcije korisne su pri radu s grafičkim informacijama. Potrebno je simulirati (opisati u računalu) rotaciju nekog objekta oko određene osi. Rotacija se događa pod određenim kutom. Da biste odredili koordinate točaka, morat ćete pomnožiti sa sinusima i kosinusima.

Justin Windell, programer i dizajner izGoogle Grafika Laboratorija , objavio je demo koji prikazuje primjere korištenja trigonometrijskih funkcija za stvaranje dinamičke animacije.

Trigonometrija u graditeljstvu i geodeziji

Duljine stranica i vrijednosti kutova proizvoljnog trokuta na ravnini međusobno su povezani određenim odnosima, od kojih se najvažniji nazivaju teoremi kosinusa i sinusa.

2ab

= =

U ovim formulama a,b, c- duljine stranica trokuta ABC koje leže na suprotnim kutovima A, B, C. Ove formule omogućuju nam da rekonstruiramo preostala tri elementa iz tri elementa trokuta - duljine stranica i kutova. Koriste se u rješavanju praktičnih problema, primjerice u geodeziji.

Sva “klasična” geodezija temelji se na trigonometriji. Budući da su se, zapravo, od davnina geodeti bavili “rješavanjem” trokuta.

Proces izgradnje zgrada, cesta, mostova i drugih objekata započinje izviđanjem i projektiranjem. Sva mjerenja na gradilištu provode se geodetskim instrumentima kao što su teodolit i trigonometrijska libela. Trigonometrijskim nivelmanom utvrđuje se visinska razlika između više točaka na zemljinoj površini.

Zaključak

Trigonometriju je zaživjela potreba za mjerenjem kutova, ali se s vremenom razvila u znanost o trigonometrijskim funkcijama.

Trigonometrija je usko povezana s fizikom i nalazi se u prirodi, glazbi, arhitekturi, medicini i tehnologiji.

Trigonometrija se reflektira u našim životima, a područja u kojima ima važnu ulogu će se širiti, pa je poznavanje njezinih zakona potrebno svima.

Veza između matematike i vanjskog svijeta omogućuje nam da “materijaliziramo” znanje školaraca. To nam pomaže da bolje razumijemo vitalnu potrebu znanja stečenog u školi.

Pod matematičkim problemom praktičnog sadržaja (problemom primijenjene prirode) podrazumijevamo problem čija radnja otkriva primjene matematike u srodnim akademskim disciplinama, tehnologiji iu svakodnevnom životu.

Priča o povijesnim razlozima nastanka trigonometrije, njenom razvoju i praktičnoj primjeni kod nas školaraca potiče interes za predmet koji proučavamo, oblikuje naš svjetonazor i unapređuje opću kulturu.

Ovaj će rad biti od koristi srednjoškolcima koji još nisu vidjeli ljepotu trigonometrije i nisu upoznati s područjima njezine primjene u životu koji ih okružuje.

Bibliografija:

Ostali odjeljci

Riječ "trigonometrija" prvi put pronađen (1505) u naslovu knjige njemačkog teologa i matematičara Pitiscusa. Podrijetlo ove riječi je grčko: xpiyrovov - trokut, tsetreso - mjera. Drugim riječima, trigonometrija je znanost o mjerenju trokuta. Iako se naziv pojavio relativno nedavno, mnogi koncepti i činjenice sada vezane uz trigonometriju bili su poznati već prije dvije tisuće godina.

Koncept ima dugu povijestsinus Zapravo, različiti omjeri segmenata trokuta i kruga (i, u biti, trigonometrijskih funkcija) pronađeni su već u 3. stoljeću. PRIJE KRISTA e. u djelima velikih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimsko doba te je odnose već prilično sustavno proučavao Menelaj (1. st. po Kr.), iako nisu stekli poseban naziv.

U narednom razdoblju, matematiku su dugo najaktivnije razvijali indijski i arapski znanstvenici. U IV-V stoljeću. Osobito se poseban izraz pojavio u djelima iz astronomije velikog indijskog znanstvenika Aryabhate (476. - oko 550.), po kojemu je nazvan prvi indijski satelit Zemlje. Segment je nazvao ardhajiva.

Kasnije je usvojen kraći naziv jiva. Arapski matematičari u 9.st. riječ jiva (ili jiba) zamijenjena je arapskom riječi jaib (ispupčenost). Prilikom prevođenja arapskih matematičkih tekstova u 12.st. ova je riječ zamijenjena latinicomsinus (sinus - zavoj, zakrivljenost).

Riječ kosinus mnogo je mlađa.Kosinus je skraćenica latinskog izraza complementy sinus, tj. "dodatni sinus" (ili na drugi način "sinus dodatnog luka"; zapamtite cos a = sin (90° - a)).

Tangente nastao u vezi s rješavanjem problema određivanja duljine sjene. Tangens (kao i kotangens, sekans i kosekans) uveden je u 10. stoljeću. Arapski matematičar Abul-Wafa, koji je sastavio prve tablice za pronalaženje tangensa i kotangenata. Međutim, ta otkrića dugo su ostala nepoznata europskim znanstvenicima, a tangente su ponovno otkrivene u 14. stoljeću. najprije engleski znanstvenik T. Braverdin, a kasnije njemački matematičar i astronom Regiomontanus (1467.).

Naziv "tangenta", izveden iz latinskog tanger (dodirnuti), pojavio se 1583. Tangens se prevodi kao "dodirivanje" (tangenta je tangenta na jediničnu kružnicu).

Moderne oznakearcsin i arcg pojavljuju se 1772. godine u djelima bečkog matematičara Scherfera i poznatog francuskog znanstvenika Lagrangea, iako ih je nešto ranije razmatrao već J. Bernoulli, koji je koristio drugačiju simboliku. No ti su simboli postali općeprihvaćeni tek krajem 18. stoljeća. Prefiks "luk" dolazi iz latinskog arcus(luk, luk), što je sasvim u skladu sa značenjem koncepta: arcsin x, na primjer, je kut (moglo bi se reći i luk), čiji je sinus jednak x.

Dugo se trigonometrija razvijala kao dio geometrije. Možda su najveći poticaji za razvoj trigonometrije nastali u vezi s rješavanjem zadataka astronomije, koji su bili od velikog praktičnog interesa (npr. za rješavanje zadataka određivanja položaja broda, predviđanja pomrčina i dr.).

Astronome su zanimali odnosi između stranica i kutova sfernih trokuta sastavljenih od velikih kružnica koje leže na kugli.

U svakom slučaju, u geometrijskom obliku mnoge trigonometrijske formule otkrili su i ponovno otkrili starogrčki, indijski i arapski matematičari. (Istina, formule za razliku trigonometrijskih funkcija postale su poznate tek u 17. stoljeću - izveo ih je engleski matematičar Napier kako bi pojednostavio izračune s trigonometrijskim funkcijama. A prvi crtež sinusnog vala pojavio se 1634. godine.)

Sastavljanje prve tablice sinusa C. Ptolomeja (dugo se zvala tablica akorda) bilo je od temeljne važnosti: pojavilo se praktično sredstvo za rješavanje niza primijenjenih problema, a prvenstveno problema astronomije.

Suvremeni oblik trigonometrije dao je najveći matematičar 18. stoljećaL . Euler(1707.-1783.), rođeni Švicarac, godinama je radio u Rusiji i bio je član Peterburške akademije znanosti. Euler je prvi uveo poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo razmatrati funkcije proizvoljnog kuta i dobio redukcijske formule. Sve je to mali dio onoga što je Euler uspio učiniti u matematici tijekom svog dugog života: napisao je preko 800 radova i dokazao mnoge teoreme koji su postali klasični, a odnose se na razna područja matematike. (Unatoč činjenici da je Euler izgubio vid 1776., nastavio je diktirati sve više i više radova do svojih posljednjih dana.)

Nakon Eulera trigonometrija je dobila oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati formalnom primjenom trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji i jednostavniji.

Opseg trigonometrije pokriva različita područja matematike, neke dijelove prirodnih znanosti i tehnologije.

Trigonometrija ima nekoliko varijanti:

Sferna trigonometrija bavi se proučavanjem sfernih trokuta.

Pravocrtna ili ravna trigonometrija obično proučava trokute.

Starogrčki i helenistički znanstvenici značajno su razvili trigonometriju. Međutim, u djelima Euklida i Arhimeda trigonometrija je prikazana u geometrijskom obliku. Teoremi o duljini tetive primjenjuju se na zakone sinusa. A Arhimedov teorem za dijeljenje tetiva odgovara formulama za sinuse zbroja i razlike kutova.

Trenutno matematičari koriste novu notaciju poznatih teorema, na primjer, sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Navodno su sastavljene prve trigonometrijske tablice Hiparh Nikejski, koji se s pravom smatra “ocem trigonometrije”. Njemu se pripisuje stvaranje sažete tablice veličina lukova i tetiva za niz kutova. Štoviše, Hiparh iz Niceje je prvi počeo koristiti krug od 360°.

Klaudije Ptolomej značajno je razvio i proširio Hiparhovo učenje. Ptolemejev teorem navodi: zbroj umnožaka suprotnih stranica cikličkog četverokuta jednak je umnošku dijagonala. Posljedica Ptolomejeva teorema bilo je razumijevanje ekvivalencije četiriju formula zbroja i razlike za sinus i kosinus. Osim toga, Ptolomej je izveo formulu za polukut. Ptolomej je sve svoje rezultate iskoristio pri sastavljanju trigonometrijskih tablica. Nažalost, do danas nije preživjela niti jedna autentična Hiparhova i Ptolomejeva trigonometrijska tablica.

Trigonometrijski proračuni našli su svoju primjenu u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike.
Pomoću trigonometrije (tehnika triangulacije) možete mjeriti udaljenosti između zvijezda, između orijentira u zemljopisu i kontrolirati satelitske navigacijske sustave.

Trigonometrija se uspješno koristi u navigacijskoj tehnologiji, teoriji glazbe, akustici, optici, u analizi financijskih tržišta, elektronici, teoriji vjerojatnosti, statistici, biologiji i medicini, kemiji i teoriji brojeva (kriptografija), seizmologiji, meteorologiji, oceanologiji, kartografiji, topografiji i geodezije, arhitekture i fonetike, strojarstva i računalne grafike e.

Primjena trigonometrije u fizici i njezina problematika

Praktična primjena trigonometrijskih jednadžbi u stvarnom životu

Postoje mnoga područja u kojima se primjenjuje trigonometrija. Na primjer, metoda triangulacije koristi se u astronomiji za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda, u geografiji za mjerenje udaljenosti između objekata iu satelitskim navigacijskim sustavima. Sinus i kosinus temeljni su za teoriju periodičkih funkcija, na primjer u opisivanju zvučnih i svjetlosnih valova.

Trigonometrija se koristi u astronomiji (osobito za izračunavanje položaja nebeskih tijela kada je potrebna sferna trigonometrija), u pomorskoj i zračnoj navigaciji, u teoriji glazbe, u akustici, u optici, u analizi financijskih tržišta, u elektronici, u teoriji vjerojatnosti, u statistika, u biologiji, medicinskim slikama (npr. kompjutorizirana tomografija i ultrazvuk), farmaciji, kemiji, teoriji brojeva, meteorologiji, oceanografiji, mnogim fizikalnim znanostima, zemljomjerstvu i zemljomjerstvu, arhitekturi, fonetici, ekonomiji, elektrotehnici, strojarstvu, građevinarstvu, računalna grafika, kartografija, kristalografija, razvoj igrica i mnoga druga područja.

U svijetu koji nas okružuje suočavamo se s periodičnim procesima koji se ponavljaju u redovitim intervalima. Ti se procesi nazivaju oscilatorni. Oscilacijski fenomeni različite fizikalne prirode podliježu općim zakonima i opisuju se istim jednadžbama. Postoje različite vrste oscilatornih pojava.

Harmonijska oscilacija je pojava periodične promjene bilo koje veličine, kod koje ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, veličina harmonično oscilira i mijenja se tijekom vremena na sljedeći način:

Gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, A je amplituda oscilacija, ω je ciklička frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, r je početna faza oscilacija.

Generalizirano harmonično titranje u diferencijalnom obliku x’’ + ω²x = 0.

Kamen je bačen na padinu planine pod kutom α u odnosu na njenu površinu. Odredi domet leta kamena ako je početna brzina kamena v 0, a kut nagiba planine prema horizontu β. Zanemarite otpor zraka.

Riješenje. Složeno kretanje kamena duž parabole mora se prikazati kao rezultat superpozicije dvaju pravocrtnih kretanja: jednog duž površine Zemlje, drugog duž normale na nju.

Izaberimo pravokutni koordinatni sustav s ishodištem u točki bacanja kamena tako da su osi VOL I OY poklapali s naznačenim pravcima, a po osi ćemo pronaći komponente vektora početne brzine v 0 i ubrzanja sile teže g. Projekcije ovih komponenti na os VOL I OY jednaki su redom:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ

Nakon toga se složeno gibanje može promatrati kao dva jednostavnija: jednoliko usporeno gibanje po Zemljinoj površini s akceleracijom g sinβ i jednoliko promjenljivo gibanje okomito na planinsku padinu s akceleracijom g cosβ.

Sastavljamo jednadžbe gibanja za svaki smjer, uzimajući u obzir činjenicu da je tijekom vremena t cijelog gibanja kretanje kamena po normali na površinu (po osi OY) pokazalo se da je nula, a duž površine (duž osi VOL) - jednako s:

Prema uvjetima zadatka zadani su nam v 0 , α i β, dakle u sastavljenim jednadžbama postoje dvije nepoznate veličine s i t1.

Iz prve jednadžbe određujemo vrijeme leta kamena:

Zamjenom ovog izraza u drugu jednadžbu, nalazimo:

S= v 0 cosα∙ =
=

Analizirajući rješenje navedenog problema, možemo zaključiti da matematika posjeduje aparat i njegova uporaba u ostvarivanju interdisciplinarnih veza između fizike i matematike dovodi do svijesti o jedinstvu svijeta i integraciji znanstvenih spoznaja.

Matematika djeluje kao vrsta jezika potrebnog za kodiranje značajnih fizičkih informacija.

Korištenje međupredmetne povezanosti fizike i matematike dovodi do usporedbe ovih dviju znanosti i omogućuje jačanje kvalitetne teorijske i praktične nastave studenata.

Potreba za rješavanjem trokuta prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se dugo vremena razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije.

Tablice položaja Sunca i Mjeseca koje je sastavio Hiparh omogućile su unaprijed izračunavanje trenutaka početka pomrčina (s pogreškom od 1-2 sata). Hiparh je prvi upotrijebio metode sferne trigonometrije u astronomiji. Povećao je točnost opažanja korištenjem križnih niti u goniometrijskim instrumentima - sekstantima i kvadrantima - za usmjeravanje na svjetiljku. Znanstvenik je sastavio ogroman katalog položaja 850 zvijezda za to vrijeme, podijelivši ih svjetlinom u 6 stupnjeva (zvjezdane magnitude). Hiparh je uveo geografske koordinate – zemljopisnu širinu i dužinu, te se može smatrati utemeljiteljem matematičke geografije. (oko 190. pr. Kr. - oko 120. pr. Kr.)