SCHRÖDINGEROVA JEDNADŽBA
I NJEGOVI POSEBNI SLUČAJEVI (nastavak): prolaz čestice kroz POTENCIJALNU BARIJERU, Harmonijski oscilator

Prolaz čestice kroz potencijalnu barijeru Za klasični slučaj već smo razmatrali u PREDAVANJU 7 1. DIJELA (vidi sl. 7.2). Razmotrimo sada mikročesticu čija je ukupna energija manja od razine U potencijalna barijera (slika 19.1). U klasičnoj verziji, u ovom slučaju, prolazak čestice kroz barijeru je nemoguć. Međutim, u kvantna fizika postoji mogućnost da će čestica proći. Štoviše, neće ga "preskočiti", već će, takoreći, "procuriti", koristeći njegove valne kvalitete. Stoga se učinak naziva i "tunel". Za svako od područja I, II, III zapišimo stacionarna jednadžba Schrödinger (18.3).

Za ja I III: , (19.1, a)

Za II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, gdje je a = konst. Zatim i y" = . Supstitucija y" u (19.1a) daje: Traženi zajednička odluka za regiju ja bit će napisano kao superpozicija

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

U tom se slučaju početna točka širenja vala pomiče za L,a U 3 = 0 , budući da na području III postoji samo prolazni val.

U području II(barijera) zamjena y" u (19.1b) daje

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Karakterizira se vjerojatnost prolaza prolaznost- omjer intenziteta odaslanog vala prema intenzitetu upadnog:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

od kojih prva dva znače "prošivanje" funkcija na lijevoj i desnoj granici barijere, a treća i četvrta glatkoću takvog prijelaza. Zamjenom funkcija y1, y2 i y3 u (19.5) dobivamo jednadžbe

Podijelimo ih na A 1 i označavaju a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Pomnožimo prvu jednadžbu (19.6) s jak i dodajte ga drugom. Dobivamo 2 jak = a 2(q +jak)-b 2(q-jak) . (19.7)

Drugi par jednadžbi (19.6) promatrat ćemo kao sustav dviju jednadžbi s nepoznanicama a 2 i b 2.

Odrednice ovog sustava:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

gdje e- qL(q+jak) 2 » 0, jer qL >> 1.

Stoga, https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, i pronaći modul kompleksne vrijednosti A 3, pomnožite brojnik i nazivnik dobivenog razlomka s ( q +jak)2. Nakon jednostavnih transformacija dobivamo

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Obično E/U~ 90% i cijeli koeficijent ispred "e" je reda jedan. Stoga je vjerojatnost prolaska čestice kroz barijeru određena sljedećom relacijom:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

To znači da kada E< U čestica neće prevladati barijeru, tj. efekt tunela je odsutan u klasičnoj fizici.

Ovaj se efekt koristi u inženjerskoj praksi za stvaranje tunelskih dioda, široko korištenih u radiotehničkim uređajima (vidi DIO 3, PREDAVANJE 3).

Osim toga, pokazalo se da je moguće pokrenuti reakciju termonuklearne fuzije u zemaljskim uvjetima, što Sunce dolazi u normalnim uvjetima za Sunce – pri temperaturi T ~ 109 K. Takva temperatura ne postoji na Zemlji, ali zahvaljujući efektu tunela postoji mogućnost pokretanja reakcije na temperaturi T ~ 107 K koja se javlja tijekom eksplozije atomska bomba, koji je bio uređaj za paljenje vodikovog. Više o tome u sljedećem dijelu tečaja.

Harmonijski oscilator.Klasična Također smo već razmatrali harmonijski oscilator (PREDAVANJA 1,2 DIO 3). Na primjer, jesu opružno njihalo, čija ukupna energija E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoretski, ova energija može poprimiti kontinuirani niz vrijednosti, počevši od nule.

Kvantni harmonijski oscilator je mikročestica koja oscilira prema harmonijskom zakonu, a nalazi se u vezanom stanju unutar atoma ili jezgre. U ovom slučaju, potencijalna energija ostaje klasična, karakterizirajući sličnu elastičnu povratnu silu kx. S obzirom da ciklička frekvencija dobivamo za potencijalnu energiju https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematički je ovaj problem još složeniji od prethodnih. Stoga ćemo se ograničiti na navođenje onoga što će se dogoditi kao rezultat. Kao i u slučaju jednodimenzionalnog bunara, dobivamo diskretna domet svojstvene funkcije i vlastite energije, a jedna svojstvena vrijednost energije će odgovarati jednoj valnoj funkciji: EnÛ y n(nema degeneracije stanja, kao u slučaju trodimenzionalnog bunara). Gustoća vjerojatnosti |yn|2 također je oscilirajuća funkcija, ali je visina "grba" različita. Više nije trivijalno grijeh2 , i egzotičnije Hermiteove polinome Hn(x). Valna funkcija ima oblik

, Gdje Sn- ovisno o n konstantno. Spektar svojstvene vrijednosti energije:

, (19.10)

Gdje kvantni broj n = 0, 1, 2, 3 ... . Dakle, postoji i "nula energije" , iznad koje energetski spektar formira "policu", gdje se police nalaze na istoj udaljenosti jedna od druge (Sl. 19.2). Ista slika prikazuje za svaku razinu energije odgovarajuću gustoću vjerojatnosti |yn|2, kao i potencijalnu energiju vanjskog polja (isprekidana parabola).

Postojanje minimalne moguće energije oscilatora različite od nule ima duboko značenje. To znači da vibracije mikročestica ne prestaju nikada, što opet znači nedostižnost apsolutna nula temperatura.

1. , Bursianova fizika: Tečaj predavanja uz računalnu podršku: Udžbenik. pomoć studentima viši udžbenik institucije: U 2 toma - M.: Izdavačka kuća VLADOS-PRESS, 2001.

U principu, ništa posebno, mogu se naći u tablicama, pa čak i grafikonima.

Privremena i stacionarna Schrödingerova jednadžba

Statistička interpretacija de Broglie valova i Heisenbergove relacije nesigurnosti dovela je do zaključka da jednadžba gibanja u kvantna mehanika, opisujući kretanje mikročestica u različitim poljima sila, mora postojati jednadžba iz koje se eksperimentalno opaža valna svojstvačestice. Vladajuća jednadžba mora biti jednadžba s obzirom na valna funkcija(x,y,z,t), budući da upravo to, točnije vrijednost 2, određuje vjerojatnost da se čestica nalazi u volumenu dV u trenutku t, tj. u području s koordinatama x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz. Budući da tražena jednadžba mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, mora biti valna jednadžba, slična jednadžbi koja opisuje elektromagnetske valove.

Ova jednadžba je postulirana, a njezina točnost potvrđena je suglasnošću s iskustvom rezultata dobivenih pomoću nje.

Osnovna jednadžba nerelativističke kvantne mehanike (1926.)

4.1. Schrödingerova jednadžba vremena:

Jednadžba vrijedi za nerelativističke čestice<< ,

gdje je (\displaystyle \hbar =(h \preko 2\pi )) masa čestice; - imaginarna jedinica; – potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se giba; – željena valna funkcija; ∆ – Laplaceov operator

Uvjeti nametnuti valnoj funkciji:

Valna funkcija mora biti konačna, jednoznačna i kontinuirana.

Izvodnice ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t moraju biti kontinuirane.

Funkcija 2 mora biti integrabilna (ovaj uvjet se svodi na uvjet normalizacije vjerojatnosti).

4.2.Stacionarna Schrödingerova jednadžba

U slučaju stacionarnog polja sile (funkcija U=U(x, y, z) ne ovisi izričito o vremenu i ima značenje potencijalne energije. U u ovom slučaju Rješenje Schrödingerove jednadžbe može se prikazati kao umnožak dviju funkcija, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga - samo vremena, a ovisnost o vremenu izražena je množiteljem ).

Zatim valna funkcija za stacionarna stanja(stanja s fiksnim vrijednostima energije) mogu se predstaviti kao:

Stacionarna Schrödingerova jednadžba:

pokazalo se nakon zamjene valne funkcije u vremensku Schrödingerovu jednadžbu i transformacija (∆ - Laplaceov operator, m – masa čestica; - smanjena Planckova konstanta ( = h/2π); E je ukupna energija čestice, U– potencijalna energija čestice. U klasičnoj fizici količina (E–U) bila bi jednaka kinetičkoj energiji čestice. U kvantnoj mehanici, zbog odnosa nesigurnosti, pojam kinetičke energije je besmislen. Ovdje je potencijalna energija U- ovo je karakteristika polje vanjske sile, u kojem se čestica kreće. Ova vrijednost je sasvim određena. To je također funkcija koordinata, u ovom slučaju U =U(x,y,z)).

Schrödingerova jednadžba

Jednadžba gibanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje kretanje mikročestica u različitim poljima sila, trebala bi biti jednadžba iz koje bi slijedila valna svojstva čestica. To mora biti jednadžba za valnu funkciju Ψ( x,na,z,t), budući da je vrijednost │ Ψ │ 2 određuje vjerojatnost da se čestica nalazi u volumenu u trenutku.

Osnovnu jednadžbu formulirao je E. Schrödinger: jednadžba nije izvedena, već postulirana.

Schrödingerova jednadžba ima oblik:

- ΔΨ +U(x,g,z,t)Ψ = iħ, (33.9)

Gdje ħ=h/(2π ), T-masa čestice, Δ-Laplaceov operator ,i- imaginarna jedinica, U(x,g,z,t) je potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se giba, Ψ( x,g,z,t) je željena valna funkcija čestice.

Jednadžba (32.9) je opća Schrödingerova jednadžba. Također se naziva Schrödingerova jednadžba ovisna o vremenu. Za mnoge fizikalne pojave koje se događaju u mikrosvijetu, jednadžba (33.9) može se pojednostaviti uklanjanjem ovisnosti Ψ o vremenu, drugim riječima, pronaći Schrödingerovu jednadžbu za stacionarna stanja - stanja s fiksnim vrijednostima energije. To je moguće ako je polje sila u kojem se čestica giba stacionarno, tj. funkcija U(x,g,z,t) ne ovisi izričito o vremenu i ima značenje potencijalne energije.

∆ Ψ + ( E-U)Ψ = 0. (33.10)

Jednadžba (33.10) naziva se Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju kao parametar Ečestice. Rješenje jednadžbe ne događa se ni za jednu vrijednost parametra E, ali samo za određeni skup karakterističan za dati problem. Ove vrijednosti energije nazivaju se svojstvene vrijednosti. Svojstvene vrijednosti E može formirati kontinuirani i diskretni niz.

33.5. Čestica u jednodimenzionalnoj pravokutnoj "potencijalnoj jami" s beskonačno visokim "stjenkama"

Slobodna čestica je čestica koja se kreće u odsutnosti vanjskih polja. Budući da je slobodna čestica (neka se kreće duž osi x) ne djeluju sile, tada potencijalna energija čestice U(x) = const i može se uzeti jednaka nuli. Tada se ukupna energija čestice poklapa s njezinom kinetičkom energijom. Energija slobodne čestice može poprimiti bilo koju vrijednost, tj. njen energetski spektar je kontinuiran. Slobodna kvantna čestica opisuje se ravnim monokromatskim de Broglie valom, a svi položaji slobodne čestice u prostoru jednako su vjerojatni.

Provedimo kvalitativnu analizu rješenja Schrödingerove jednadžbe u odnosu na slobodnu česticu u jednodimenzionalnoj pravokutnoj "potencijalnoj jami" s beskonačno visokim "stjenkama" (sl. 33.1). Takvu “rupu” opisuje potencijalna energija oblika (radi jednostavnosti pretpostavljamo da se čestica giba duž osi x)

∞, x< 0

U(x) = {0, 0≤ x ≤ l}(33.11)

∞, x > 1

Gdje l- širina “rupe”, a energija se broji od njenog dna (sl. 33.1).

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja u slučaju jednodimenzionalnog problema bit će zapisana u obliku

+ (E-U)Ψ = 0. (33.12)

Prema uvjetima problema (beskonačno visoki "zidovi"), čestica ne prodire izvan "rupe", stoga je vjerojatnost njezine detekcije (i, posljedično, valne funkcije) izvan "rupe" jednaka nuli. Na granicama "jame" (at x=0 i x=l) kontinuirana valna funkcija također mora nestati. Prema tome, rubni uvjeti u ovom slučaju imaju oblik

Ψ(0)=Ψ( l)=0. (33.13)

Unutar “bunara” Schrödingerova jednadžba će se svesti na jednadžbu

+ EΨ = 0. (33.14)

Stacionarna Schrödingerova jednadžba, koja opisuje gibanje čestice u "potencijalnoj jažici" s beskonačno visokim "stjenkama", zadovoljena je samo na svojstvenim vrijednostima E str ovisno o cijelom broju P.

E p =,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)

Schrödingerova glavna ideja je da matematička analogija između geometrijska optika te prenijeti klasičnu mehaniku na valna svojstva svjetlosti i čestica.

Schrödingerovu jednadžbu dobivamo iz izraza za valnu funkciju slobodni elektron. Prepišimo to složeni oblik.

Koristeći odnos između frekvencije i energije, te valnog broja i momenta, dobivamo: .

U opći slučaj– ukupna energija čestica, , – kinetička energija i – energija interakcije.

Nađimo prvu derivaciju po i drugu po koordinati funkcije Y: (1), (2).

Pomnožimo jednadžbu (1) s , a jednadžbu (2) s (tako će faktori na desnim stranama imati dimenziju energije):

, .

Zbrojimo dobivene jednadžbe:

.

Budući da , posljednja jednakost će se prepisati u obliku .

Ovo je Schrödingerova jednadžba. Dobivena je za jednu koordinatu. Ako ga prepišemo za 3 koordinate, uvođenjem Laplaceovog operatora, konačno ćemo imati

.

Schrödingerova jednadžba ne može se izravno izvesti iz temeljnih zakona klasična fizika. Schrödingerova jednadžba omogućuje pronalaženje valne funkcije u proizvoljnom trenutku vremena. Da biste to učinili, trebate znati valnu funkciju u određenom trenutku vremena, masu čestice i energiju interakcije čestice s polje sile. Pronađena valna funkcija omogućuje izračunavanje vjerojatnosti pronalaska čestice u proizvoljna točka prostor za bilo koji trenutak u vremenu.

Osnovna svojstva, što moraju zadovoljiti valne funkcije - rješenja Schrödingerove jednadžbe:

1. Valna funkcija je linearna, tj. ako su ... rješenja jednadžbe, tada je njihova linearna kombinacija rješenje.

2. Prve parcijalne derivacije po koordinatama su linearne

3. Valna funkcija i njezine prostorne derivacije moraju biti jednoznačne, konačne i kontinuirane.

4. Kako težimo ∞, vrijednost valne funkcije mora težiti nuli.

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ako je polje sila u kojem se giba opisana čestica stacionarno, tada njegov potencijal ne ovisi izričito o vremenu, a funkcija ima značenje potencijalne energije i ovisi samo o koordinatama. U ovom slučaju, valna funkcija može se prikazati kao umnožak dva. Jedna funkcija ovisi samo o , a druga samo o vremenu:

Zamijenimo posljednji izraz u Schrödingerovu jednadžbu

Nakon smanjenja faktorom vremena i nekim elementarne transformacije dobivamo: (*).

Ovo je Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. Uključuje samo koordinatni dio valne funkcije – . Ako se pronađe potonji, tada se kompletna valna funkcija nalazi množenjem koordinatnog dijela s faktorom vremena.

Budući da je vjerojatnost određena kvadratom valne funkcije, a kvadrat kompleksne vrijednosti nalazi se množenjem s kompleksnim konjugatom, za stacionarne valne funkcije vrijedi sljedeća relacija:

Dakle, za pronalaženje valne funkcije za stacionarna stanja potrebno je riješiti jednadžbu (*) i znati puna energija.

Slobodno kretanje čestica.

Tijekom slobodno kretanje kvantna čestica, na nju ne djeluju nikakve sile i može biti potencijalna energija jednaka nuli. Neka se čestica giba u smjeru , tada (*) ima oblik: .

Posebno rješenje ove jednadžbe je funkcija oblika , gdje su i konstante. Ako željeno rješenje zamijenimo u samu jednadžbu, dobivamo odnos između energije čestice i količine:

Potpuna valna funkcija, uzimajući u obzir vremensku ovisnost za slobodnu česticu, ima oblik . To je ravni monokromatski val s frekvencijom i valnim brojem. Od , i , tada .

Čestica sa spinom također ima određeni "intrinzični" magnetski moment. Odgovarajući kvantnomehanički operator proporcionalan je operatoru spina s, tj. može se napisati u obliku

gdje je s vrijednost spina čestice i konstantna karakteristika čestice. Svojstvene vrijednosti projekcije magnetski moment Iz ovoga se vidi da koeficijent (koji se obično naziva jednostavno vrijednost magnetskog momenta) predstavlja najveću moguću vrijednost postignutu tijekom projekcije spina

Omjer daje omjer vlastitog magnetskog momenta čestice prema vlastitom mehanički moment(kada su oba usmjerena duž osi). Kao što je poznato, za obični (orbitalni) trenutak taj je omjer jednak (vidi II, § 44). Pokazalo se da je koeficijent proporcionalnosti između intrinzičnog magnetskog momenta i spina čestice drugačiji. Za elektron je jednaka - to jest dvostruko veća od uobičajene vrijednosti (ta se vrijednost teoretski dobiva iz relativističke Diracove valne jednadžbe - vidi IV, § 33). Vlastiti magnetski moment elektrona (spin 1/2) je stoga jednak gdje

Ta se veličina naziva Bohrov magneton.

Magnetski moment teških čestica obično se mjeri u nuklearnim magnetonima, definiranim kao gdje je masa protona. Eksperiment daje vrijednost za vlastiti magnetski moment protona od 2,79 nuklearnih magnetona, s momentom usmjerenim duž spina. Magnetski moment neutrona usmjeren je suprotno od spina i jednak je 1,91 nuklearnog magnetona.

Obratimo pozornost na činjenicu da su količine i s na obje strane jednakosti (111.1), kao što bi i trebalo biti, identične u svom vektorskom karakteru: obje su aksijalni vektori.

Slična jednakost za moment električnog dvostrukog polja proturječila bi simetriji s obzirom na koordinatnu inverziju: tijekom inverzije promijenio bi se relativni predznak obiju strana jednakosti.

U nerelativističkoj kvantnoj mehanici, magnetsko polje se može smatrati samo vanjskim poljem. Magnetska interakcija čestica jedna s drugom je relativistički učinak, a uzimanje u obzir zahtijeva dosljednu relativističku teoriju.

U klasična teorija Hamiltonova funkcija nabijene čestice u elektromagnetskoj volji ima oblik

gdje je skalar, A je vektorski potencijal polja, je generalizirani moment čestice (vidi II, § 16). Ako čestica ne posjeduje jedinstvo, tada se prelazi na kvantnu mehaniku na uobičajeni način: generalizirani moment se mora zamijeniti operatorom i dobivamo Hamiltonian

Ako čestica ima spin, onda je takva operacija nedovoljna. Činjenica je da vlastiti magnetski moment čestice izravno djeluje s magnetskim poljem. U klasična funkcija Prema Hamiltonu, ova interakcija je potpuno odsutna, jer sam spin, budući da je čisto kvantni učinak, nestaje pri prelasku na klasičnu granicu. Točan izraz za hamiltonijan dobiva se uvođenjem (u 111.3) dodatnog člana - koji odgovara energiji magnetskog momenta u polju H. Dakle, hamiltonijan čestice sa spinom ima oblik

Kod širenja kvadrata treba imati na umu da operator , općenito govoreći, nije komutativan s vektorom A, koji je funkcija koordinata. Stoga moramo pisati

Prema komutacijskom pravilu (16.4) operatora količine gibanja s bilo kojom koordinatnom funkcijom imamo

Dakle, i A su komutativni ako, posebice, vrijedi za jednolično polje, ako izaberemo njegov vektorski potencijal u obliku

(111,7)

Jednadžba s Hamiltonijanom (111.4) je generalizacija Schrödingerove jednadžbe na slučaj prisutnosti magnetsko polje. Valne funkcije na koje utječe Hamiltonian u ovoj jednadžbi su simetrični spinori ranga

Valne funkcije čestice u elektromagnetskom polju imaju dvosmislenost povezanu s dvosmislenošću potencijala polja. Kao što je poznato (vidi II, § 18), potonji su određeni samo do kalibrirne transformacije

Gdje - proizvoljna funkcija koordinate i vrijeme. Ova se transformacija ne odražava na vrijednosti jakosti polja. Jasno je, dakle, da ni ona ne bi trebala bitno promijeniti rješenja valne jednadžbe; posebno, kvadrat mora ostati nepromijenjen. Doista je lako provjeriti da se vraćamo na izvornu jednadžbu ako, istovremeno sa zamjenom (111.8) u Hamiltonijanu, zamijenimo i valnu funkciju prema

(111,9)

Ova dvosmislenost valne funkcije ne utječe ni na jednu fizičko značenje veličina (čija definicija ne uključuje eksplicitno potencijale).

U klasičnoj mehanici, generalizirani moment količine gibanja čestice povezan je s njenom brzinom relacijom. Da bi se našao operator v u kvantnoj mehanici, potrebno je komutirati vektor s Hamiltonijanom.

Jednostavna računica dovodi do rezultata

(111,10)

potpuno isti kao onaj klasični. Za operatore komponenata brzine vrijede pravila komutacije

što se može lako provjeriti izravnim proračunom. Vidimo da se u magnetskom polju operatori tri komponente brzine čestice (nabijene) pokazuju nekomutativnima. To znači da čestica ne može imati oboje određene vrijednosti brzine u sva tri smjera.

Pri gibanju u magnetskom polju dolazi do simetrije u odnosu na obrat vremena samo ako se promijeni predznak polja H (i vektorskog potencijala A). To znači (vidi § 18 i 60) da Schrödingerova jednadžba mora zadržati svoj oblik kada prelazi na kompleksne konjugirane veličine i mijenja predznak H. Za sve članove u Hamiltonijanu (111.4), s izuzetkom člana, to je odmah očito. Član