Ovaj online matematički kalkulator pomoći će vam ako vam zatreba izračunati limit funkcije. Program granice rješenja ne samo da daje odgovor na problem, on vodi detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak izračuna ograničenja.

Ovaj program može biti koristan za učenike srednjih škola u općim školama kada se pripremaju za testove i ispite, kada testiraju znanje prije Jedinstvenog državnog ispita, a roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite završiti svoju zadaću iz matematike ili algebre što je brže moguće? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Unesite izraz funkcije

Izračunajte granicu

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Limit funkcije na x->x 0

Neka je funkcija f(x) definirana na nekom skupu X i neka točka \(x_0 \u X\) ili \(x_0 \ne u X\)

Uzmimo iz X niz točaka različitih od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući prema x*. Vrijednosti funkcije u točkama ovog niza također čine numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
te se može postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f(x) u točki x = x 0 (ili u x -> x 0), ako je za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x različit od x 0 konvergirajući na x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u točki x 0. To proizlazi iz činjenice da slijed
(f(x n)) ima samo jednu granicu.

Postoji još jedna definicija limita funkcije.

Definicija Broj A naziva se limitom funkcije f(x) u točki x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0\) postoji broj \(\delta > 0\) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), zadovoljavajući nejednakost \(|x-x_0| Korištenjem logičkih simbola, ova se definicija može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Primijetite da nejednakosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Prva definicija temelji se na konceptu limita brojčanog niza, pa se često naziva definicijom “u jeziku nizova.” Druga definicija se naziva definicijom “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”.
Ove dvije definicije limita funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih ovisno o tome koja je prikladnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija limita funkcije “u jeziku nizova” također naziva definicijom limita funkcije prema Heineu, a definicija limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)” naziva se i definicija limita funkcije prema Cauchyju.

Limit funkcije pri x->x 0 - i pri x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti pojmove jednostranih limesa funkcije koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desnom (lijevom) granicom funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira k x 0, čiji su elementi x n veći (manji od) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira u A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \lijevo(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \desno) $$

Možemo dati ekvivalentnu definiciju jednostranih limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takav da za sve x zadovoljavajući nejednakosti \(x_0 Simbolični unosi:

\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Riješenje ograničenja mrežne funkcije. Naći graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunati ultimativno vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i mnogo više se može učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućujemo vam brzo i točno pronalaženje ograničenja funkcija na internetu. Vi sami upisujete funkcionalnu varijablu i granicu kojoj ona teži, a naš servis za vas obavlja sve izračune dajući točan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje granice online možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađena granica funkcije sadržavat će ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaska ograničenja online, dovoljno je naznačiti funkciju i točku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate dobiveni rezultat s rješavanje ograničenja online na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite pogreške i pogreške u pisanju. Ili nam možete potpuno vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje limita funkcije. Dopuštamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojčanog niza i www.site izračunat će vrijednost ograničiti online do plus ili minus beskonačnosti.

Jedan od osnovnih pojmova matematičke analize je granica funkcije I ograničenje niza u točki i u beskonačnosti, važno je znati točno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je donesena ograničenja online u roku od nekoliko sekundi odgovor je točan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje s prijelaz do granice, granice koriste se u gotovo svim područjima više matematike, pa je korisno imati pri ruci poslužitelj za online limit rješenja, koja je stranica.

Online kalkulator ograničenja na web mjestu za studente i školsku djecu kako bi u potpunosti učvrstili gradivo koje su obradili i uvježbali svoje praktične vještine. Kako koristiti online kalkulator ograničenja na našem resursu? To se može učiniti vrlo jednostavno, samo trebate unijeti izvornu funkciju u dostupno polje, odabrati željenu graničnu vrijednost za varijablu iz izbornika i kliknuti na gumb "Rješenje". Ako u nekom trenutku trebate izračunati graničnu vrijednost, tada trebate unijeti vrijednost upravo te točke - numeričku ili simboličku. Mrežni kalkulator ograničenja pomoći će vam pronaći u danoj točki, ograničenje u intervalu definicije funkcije, vrijednost ograničenja i ovu vrijednost, gdje vrijednost funkcije koja se proučava juri kada njen argument juri prema zadanom točka, je rješenje granice. Na temelju online kalkulatora limita na našoj web stranici, možemo reći sljedeće - postoji ogroman broj analoga na internetu, možete pronaći dostojne, samo ih morate dobro potražiti. Ali ovdje ćete se suočiti s činjenicom da se jedno mjesto razlikuje od drugoga. Mnogi od njih uopće ne nude online kalkulator limita, za razliku od nas. Ako u bilo kojoj poznatoj tražilici, bilo da se radi o Yandexu ili Googleu, tražite web-mjesta koristeći frazu "Online limit calculator", tada će se web-mjesto pojaviti na vrhu rezultata pretraživanja. To znači da nam ove tražilice vjeruju, a na našim stranicama postoji samo visokokvalitetan sadržaj, i što je najvažnije koristan za učenike škola i sveučilišta! Nastavimo razgovor o limitnim kalkulatorima i općenito o teoriji prijelaza do granice. Vrlo često se u definiciji limita funkcije formulira koncept susjedstva. Ovdje se limiti funkcija, kao i rješenje tih limita, proučavaju samo u točkama koje su granične za područje definiranja funkcija, znajući da u svakoj okolini takve točke postoje točke iz područja definiranja funkcija ovu funkciju. To nam omogućuje da govorimo o tendenciji funkcije varijable prema danoj točki. Ako u nekoj točki u domeni definicije funkcije postoji limit i mrežni kalkulator limita proizvodi detaljno rješenje limita funkcije u tom trenutku, tada se ispostavlja da je funkcija kontinuirana u tom trenutku. Neka naš online kalkulator limita s rješenjem da neki pozitivan rezultat, a mi ćemo to provjeriti na drugim stranicama. To može dokazati kvalitetu našeg resursa, a kao što mnogi već znaju, on je najbolji i zaslužuje najviše pohvale. Uz to, moguće je samostalno proučavati granice online kalkulatora s detaljnim rješenjem, ali pod strogim nadzorom stručnog učitelja. Često će ova radnja dovesti do očekivanih rezultata. Svi studenti jednostavno sanjaju da će online limitni kalkulator s rješenjem detaljno opisati njihov složeni problem koji im je nastavnik zadao na početku semestra. Ali nije to tako jednostavno. Prvo morate proučiti teoriju, a zatim koristiti besplatni kalkulator. Kao i online limiti, kalkulator će vam detaljno dati potrebne unose, a rezultatom ćete biti zadovoljni. Ali granična točka domene definicije možda ne pripada upravo ovoj domeni definicije, a to dokazuje detaljan izračun kalkulatora granica na mreži. Primjer: limit funkcije možemo promatrati na krajevima otvorenog segmenta na kojem je definirana naša funkcija. U ovom slučaju same granice segmenta nisu uključene u domenu definiranja. U tom smislu, sustav okolina ove točke je poseban slučaj takve baze podskupova. Online kalkulator ograničenja s detaljnim rješenjem proizvodi se u stvarnom vremenu i na njega se primjenjuju formule u zadanom eksplicitnom analitičkom obliku. Limit funkcije pomoću online kalkulatora limita s detaljnim rješenjem generalizacija je koncepta limita niza: u početku se limit funkcije u točki shvaćao kao limit niza elemenata domene funkcije, sastavljene od slika točaka niza elemenata domene definicije funkcije koja konvergira danoj točki (limit na kojem se razmatra); ako takva granica postoji, tada se kaže da funkcija konvergira prema navedenoj vrijednosti; ako takva granica ne postoji, tada se kaže da funkcija divergira. Općenito govoreći, teorija graničnog prijelaza je temeljni koncept svake matematičke analize. Sve se temelji upravo na prijelazima do limita, odnosno detaljno rješenje limita temelj je znanosti matematičke analize, a online limit kalkulator postavlja temelje za obuku učenika. Online kalkulator limita s detaljnim rješenjem na web stranici jedinstvena je usluga za dobivanje točnog i trenutnog odgovora u stvarnom vremenu. Nije neuobičajeno, točnije vrlo često, da studenti odmah imaju poteškoća s rješavanjem granica kada početno proučavaju matematičku analizu. Jamčimo da je rješavanje limita online kalkulatorom na našem servisu ključ točnosti i dobivanja kvalitetnog odgovora. Odgovor na detaljno rješenje limita pomoću kalkulatora dobit ćete u nekoliko sekundi, reklo bi se i odmah. Ako unesete netočne podatke, odnosno karaktere koji su sustavu neprihvatljivi, u redu je, servis će vas automatski obavijestiti o pogrešci. Ispravite prethodno unesenu funkciju (ili graničnu točku) i pomoću online graničnog kalkulatora dobijete točno detaljno rješenje. Vjerujte nam i nikada vas nećemo iznevjeriti. Možete jednostavno koristiti web mjesto, a mrežni kalkulator ograničenja s rješenjem detaljno će opisati korak po korak radnje za izračun problema. Samo trebate pričekati nekoliko sekundi i dobit ćete željeni odgovor. Za rješavanje limita online kalkulatorom s detaljnim rješenjem koriste se sve moguće tehnike, a posebno se vrlo često koristi L'Hopitalova metoda, budući da je univerzalna i brže dovodi do odgovora od drugih metoda izračuna limita funkcije. Često je za izračun zbroja niza brojeva potrebno online detaljno rješenje s kalkulatorom ograničenja. Kao što znate, da biste pronašli zbroj numeričkog niza, trebate samo ispravno izraziti djelomični zbroj ovog niza, a onda je sve jednostavno, koristeći našu besplatnu web stranicu, budući da izračunate ograničenje pomoću našeg online kalkulatora ograničenja iz djelomičnog zbroj će biti konačni zbroj numeričkog niza. Detaljno rješenje kalkulatora limita online korištenjem usluge web stranice omogućuje učenicima da vide napredak rješavanja problema, što razumijevanje teorije limita čini lakim i dostupnim gotovo svima. Ostanite usredotočeni i ne dopustite da vam pogrešni postupci uzrokuju probleme u obliku loših ocjena. Kao i svako detaljno rješenje s internetskom uslugom kalkulatora limita, problem će biti predstavljen u prikladnom i razumljivom obliku, s detaljnim rješenjem, u skladu sa svim pravilima i propisima za dobivanje rješenja. Istovremeno, možete uštedjeti vrijeme i novac, budući da za ovo ne tražimo apsolutno ništa. Na našoj web stranici detaljno rješenje online kalkulatora limita dostupno je dvadeset i četiri sata dnevno, uvijek. Zapravo, svi mrežni kalkulatori ograničenja s rješenjem možda neće pružiti detaljne informacije o napretku rješenja korak po korak; ne smijemo to zaboraviti i paziti na to. Čim ograničenja online kalkulatora s detaljnim rješenjem od vas potraže da kliknete na gumb "Rješenje", tada prvo provjerite sve. odnosno provjeriti unesenu funkciju, također i graničnu vrijednost, pa tek onda nastaviti radnju. To će vas spasiti od bolnih iskustava neuspješnih izračuna. A onda će granice online kalkulatora s detaljnim zakonom dati ispravan faktorski prikaz radnje korak po korak. Ako internetski kalkulator limita iznenada ne pruži detaljno rješenje, za to može postojati nekoliko razloga. Prvo provjerite napisani izraz funkcije. Mora sadržavati varijablu "x", inače će sustav cijelu funkciju tretirati kao konstantu. Zatim provjerite graničnu vrijednost ako ste naveli danu bodovnu ili simboličku vrijednost. Također treba sadržavati samo latinična slova - ovo je važno! Tada možete ponovno pokušati pronaći detaljno rješenje ograničenja na našoj izvrsnoj usluzi i koristiti rezultat. Čim kažu da su granice rješenja online u detaljima vrlo teške - ne vjerujte, i što je najvažnije ne paničarite, sve se rješava u okviru tečaja. Preporučamo da bez panike posvetite samo nekoliko minuta našoj usluzi i provjerite zadanu vježbu. Ako se unatoč tome ograničenja mrežnog rješenja ne mogu detaljno riješiti, onda ste pogriješili pri upisu, jer inače stranica rješava gotovo svaki problem bez većih poteškoća. Ali ne trebate misliti da željeni rezultat možete dobiti odmah bez poteškoća i bez ulaganja truda. U svakom slučaju, morate posvetiti dovoljno vremena proučavanju materijala. Moguće je prikazati svaki limitni kalkulator online s detaljnim rješenjem u fazi konstruiranja izloženog rješenja i pretpostaviti suprotno. Ali nije važno kako to izraziti, jer nas zanima sam proces znanstvenog pristupa. Kao rezultat toga, pokazat ćemo kako se kalkulator granica s online rješenjem detaljno temelji na temeljnom aspektu matematike kao znanosti. Istaknite pet osnovnih načela i počnite s daljnjim radnjama. Pitat će vas je li online dostupno rješenje za kalkulator limita s detaljnim rješenjem za sve, a vi ćete odgovoriti - da, jest! Možda u tom smislu nema posebnog fokusa na rezultate, ali online limit ima nešto drugačije značenje nego što bi se moglo činiti na prvu kada se proučava disciplina. Uravnoteženim pristupom, uz pravilan odnos snaga, možete u najkraćem mogućem vremenu sami detaljno prikazati online limit.! U stvarnosti će internetski kalkulator ograničenja s detaljnim rješenjem početi brzo proporcionalno predstavljati sve korake izračuna korak po korak.

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice, u ovom članku ćemo vam reći o tome. Nećemo ulaziti u teoriju, nastavnici je obično drže na predavanjima. Dakle, "dosadnu teoriju" trebate zabilježiti u svoje bilježnice. Ako to nije slučaj, onda možete čitati udžbenike preuzete iz knjižnice obrazovne ustanove ili s drugih internetskih izvora.

Dakle, koncept limita je vrlo važan u proučavanju više matematike, posebno kada naiđete na integralni račun i razumijete vezu između limita i integrala. Trenutačni materijal će razmotriti jednostavne primjere, kao i načine za njihovo rješavanje.

Primjeri rješenja

Primjer 1

Izračunajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Riješenje

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Ljudi nam često šalju ova ograničenja sa zahtjevom da im pomognemo riješiti ih. Odlučili smo ih istaknuti kao zaseban primjer i objasniti da se ta ograničenja u pravilu samo trebaju zapamtiti. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Što učiniti s nesigurnošću oblika: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Primjer 3

Riješite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riješenje

Kao i uvijek, počinjemo zamjenom vrijednosti $ x $ u izraz ispod znaka granice. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Što je sada sljedeće? Što bi se na kraju trebalo dogoditi? Budući da se radi o neizvjesnosti, ovo još nije odgovor i nastavljamo s izračunom. Budući da imamo polinom u brojnicima, faktorizirat ćemo ga pomoću formule poznate svima iz škole $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Sjećaš li se? Sjajno! Sada samo naprijed i iskoristi to uz pjesmu :) Nalazimo da je brojnik $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nastavljamo rješavati uzimajući u obzir gornju transformaciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Odgovor

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pomaknimo granicu u zadnja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Primjer 5

Izračunajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riješenje

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Što uraditi? Što da napravim? Ne paničarite, jer nemoguće je moguće. Potrebno je izbaciti x i u brojniku i u nazivniku, a zatim ga smanjiti. Nakon toga pokušajte izračunati granicu. Pokušajmo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Koristeći definiciju iz primjera 2 i zamjenjujući beskonačnost za x, dobivamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Odgovor

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, sažmimo ukratko primjere i izradimo algoritam za rješavanje granica:

1. Zamijenite točku x u izraz iza znaka granice. Ako se dobije određeni broj ili beskonačnost, tada je limit potpuno riješen. Inače, imamo nesigurnost: "nula podijeljeno s nulom" ili "beskonačno podijeljeno s beskonačnim" i prijeđite na sljedeće korake uputa.
2. Da biste eliminirali nesigurnost "nule podijeljene s nulom", trebate faktorizirati brojnik i nazivnik. Smanjite slične. Zamijenite točku x u izraz ispod znaka granice.
3. Ako je nesigurnost "beskonačnost podijeljena s beskonačnošću", tada izbacujemo i brojnik i nazivnik x do najvećeg stupnja. Skraćujemo X-ove. Zamjenjujemo vrijednosti x ispod granice u preostali izraz.

U ovom ste članku naučili osnove rješavanja granica, koje se često koriste u tečaju Računa. Naravno, ovo nisu sve vrste zadataka koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka govorit ćemo u budućim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju kako biste krenuli naprijed. Raspravljajmo o tome što učiniti ako postoje korijeni, stupnjevi, proučavajmo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, izvanredne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami odrediti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!

Prvo značajno ograničenje je sljedeća jednakost:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Budući da za $\alpha\to(0)$ imamo $\sin\alpha\to(0)$, kažu da prva značajna granica otkriva nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Općenito govoreći, u formuli (1) umjesto varijable $\alpha$ ispod znaka sinusa i nazivnika može se staviti bilo koji izraz, ako su ispunjena dva uvjeta:

1. Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku istovremeno teže nuli, tj. postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.
2. Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku su isti.

Korolari iz prve izvanredne granice također se često koriste:

\begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \kraj(jednadžba)

Na ovoj stranici riješeno je jedanaest primjera. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2)-(4). Primjeri br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 sadrže rješenja s detaljnim komentarima. Primjeri br. 6-10 sadrže rješenja praktički bez komentara, jer su detaljna objašnjenja data u prethodnim primjerima. Rješenje koristi neke trigonometrijske formule koje se mogu pronaći.

Dopustite mi da primijetim da prisutnost trigonometrijskih funkcija zajedno s nesigurnošću $\frac (0) (0)$ ne znači nužno primjenu prve značajne granice. Ponekad su dovoljne jednostavne trigonometrijske transformacije - na primjer, vidi.

Primjer br. 1

Dokažite da je $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Budući da je $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Budući da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Da:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Napravimo promjenu $\alpha=\sin(y)$. Budući da je $\sin(0)=0$, tada iz uvjeta $\alpha\to(0)$ imamo $y\to(0)$. Osim toga, postoji okolina nule u kojoj je $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, pa je:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Dokazana je jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.

c) Napravimo zamjenu $\alpha=\tg(y)$. Budući da je $\tg(0)=0$, tada su uvjeti $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ ekvivalentni. Osim toga, postoji okolina nule u kojoj $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prema tome, na temelju rezultata točke a), imat ćemo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Dokazana je jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

Jednakosti a), b), c) često se koriste uz prvu značajnu granicu.

Primjer br. 2

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Budući da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno)=\sin(0)=0$, tj. a i brojnik i nazivnik razlomka istovremeno teže nuli, onda ovdje imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$, tj. učinjeno. Osim toga, jasno je da se izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku podudaraju (tj. i da je zadovoljeno):

Dakle, ispunjena su oba uvjeta navedena na početku stranice. Iz ovoga slijedi da je formula primjenjiva, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Odgovor: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Primjer br. 3

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, tada imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac (0 )(0)$, tj. učinjeno. Međutim, izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku se ne podudaraju. Ovdje je potrebno prilagoditi izraz u nazivniku željenom obliku. Trebamo izraz $9x$ da bude u nazivniku, tada će postati istina. U biti, nedostaje nam faktor od 9$ u nazivniku, koji nije tako teško unijeti—samo pomnožite izraz u nazivniku s 9$. Naravno, da biste kompenzirali množenje s 9$, morat ćete odmah podijeliti s 9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Sada se izrazi u nazivniku i pod znakom sinusa podudaraju. Oba uvjeta za granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ su zadovoljena. Prema tome, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znači da:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Primjer br. 4

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ovdje se radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, forma prve izvanredne granice je prekršena. Brojnik koji sadrži $\sin(5x)$ zahtijeva nazivnik $5x$. U ovoj situaciji, najlakši način je podijeliti brojnik s $5x$ i odmah pomnožiti s $5x$. Osim toga, izvršit ćemo sličnu operaciju s nazivnikom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ s $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Smanjujući za $x$ i uzimajući konstantu $\frac(5)(8)$ izvan graničnog znaka, dobivamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Imajte na umu da $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ u potpunosti zadovoljava zahtjeve za prvu značajnu granicu. Za pronalaženje $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ primjenjiva je sljedeća formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Primjer br. 5

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Budući da je $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (zapamtite da $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, kako biste primijenili prvu značajnu granicu, trebali biste se riješiti kosinusa u brojniku i prijeći na sinuse (kako biste zatim primijenili formulu) ili tangente (kako biste zatim primijenili formulu). To se može učiniti sljedećom transformacijom:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vratimo se na limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\lijevo(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$

Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ već je blizu oblika potrebnog za prvu značajnu granicu. Poradimo malo s razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, prilagođavajući ga prvoj značajnoj granici (imajte na umu da se izrazi u brojniku i ispod sinusa moraju podudarati):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2$$

Vratimo se na limit o kojem je riječ:

$$ \lim_(x\to(0))\lijevo(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ))\lijevo(25\cos(5x)\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2\desno)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Primjer br. 6

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Budući da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, tada imamo posla s neizvjesnošću $\frac(0)(0)$. Otkrijmo to uz pomoć prve značajne granice. Da bismo to učinili, prijeđimo s kosinusa na sinuse. Budući da je $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prelazeći na sinuse u zadanoj granici, imat ćemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\lijevo(\ frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Primjer br. 7

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ podložno $\alpha\neq \ beta$.

Detaljna objašnjenja dana su ranije, ali ovdje jednostavno napominjemo da ponovno postoji nesigurnost $\frac(0)(0)$. Prijeđimo s kosinusa na sinuse pomoću formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Pomoću ove formule dobivamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\lijevo|\frac(0)( 0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\desno)\cdot\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x)\cdot\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\desno)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Primjer br. 8

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Budući da je $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, onda se ovdje radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$. Raščlanimo to na sljedeći način:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\lijevo(\frac(1)(\cos(x))-1\desno))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\lijevo(1-\cos(x)\desno))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\cdot\lijevo(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\desno) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Primjer br. 9

Pronađite granicu $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Budući da je $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njezino širenje, zgodno je napraviti promjenu varijable na takav način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha \to 0$). Najlakši način je uvesti varijablu $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti daljnjih transformacija (ova se korist može vidjeti u tijeku rješenja u nastavku), vrijedi napraviti sljedeću zamjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Napominjem da su obje zamjene primjenjive u ovom slučaju, samo što će vam druga zamjena omogućiti manje rada s razlomcima. Budući da je $x\to(3)$, onda $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\lijevo|\frac (0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\lijevo(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Primjer br. 10

Pronađite granicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^ 2 )$.

Opet imamo posla s neizvjesnošću $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njezino širenje, zgodno je napraviti promjenu varijable na takav način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha\to(0)$). Najlakši način je uvesti varijablu $t=\frac(\pi)(2)-x$. Budući da $x\to\frac(\pi)(2)$, onda $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\lijevo(\frac(\pi)(2)-t\desno))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\desno)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\frac(1)(2)$.

Primjer br. 11

Pronađite granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

U ovom slučaju ne moramo koristiti prvu divnu granicu. Imajte na umu da i prva i druga granica sadrže samo trigonometrijske funkcije i brojeve. Često je u primjerima ove vrste moguće pojednostaviti izraz koji se nalazi ispod znaka granice. Štoviše, nakon spomenutog pojednostavljenja i smanjenja nekih faktora, nesigurnost nestaje. Dao sam ovaj primjer samo s jednom svrhom: da pokažem da prisutnost trigonometrijskih funkcija ispod znaka granice ne znači nužno korištenje prve značajne granice.

Budući da je $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (zapamtite da $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (da vas podsjetim da $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada imamo koji se bave nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, to ne znači da ćemo morati koristiti prvu divnu granicu. Da bi se otkrila nesigurnost, dovoljno je uzeti u obzir da je $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Slično rješenje nalazi se u Demidovičevu rješeniku (br. 475). Što se tiče druge granice, kao u prethodnim primjerima u ovom odjeljku, imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Zašto nastaje? Nastaje jer $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Koristimo ove vrijednosti za transformaciju izraza u brojniku i nazivniku. Cilj našeg djelovanja je da zbroj u brojniku i nazivniku zapišemo kao umnožak. Usput, često je unutar sličnog tipa zgodno promijeniti varijablu, napravljenu na takav način da nova varijabla teži nuli (vidi, na primjer, primjere br. 9 ili br. 10 na ovoj stranici). Međutim, u ovom primjeru nema smisla zamjenjivati, iako po želji zamjenu varijable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nije teško implementirati.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ do\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\lijevo(\cos(x)+\frac(1)(2)\desno )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\lijevo(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\desno))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo( -\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kao što vidite, nismo morali primijeniti prvo divno ograničenje. Naravno, možete to učiniti ako želite (vidi napomenu ispod), ali nije nužno.

Koje je rješenje korištenjem prve značajne granice? Pokaži sakrij

Korištenjem prve značajne granice dobivamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\ desno))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\desno) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.