Какой третий признак равенства треугольников. Второй признак равенства треугольников

>>Геометрия: Третий признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Третий признак равенства треугольников.

Цели урока:

Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Признаки равенства треугольников”; выработка основных навыков.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

Формировать навыки в построении треугольников с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

Из истории математики.
Признаки равенства треугольников.
Актуализация опорных знаний.
Прямоугольные треугольники.

Из истории математики.
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала нам необходимо освежить в памяти предыдущие признаки равенства треугольников. И так начнем с первого.

1-ый признак равенства треугольников.

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник - это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики - геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например : В треугольнике один из углов равен 70°, а другой - 85°, какова величина третьего угла?

180 - 85 - 70 = 25.

Ответ: 25°.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

высота - перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
медиана - линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
биссектриса - линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
против равных сторон лежат равные углы, пример тому - равнобедренный треугольник;
сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.

Виды треугольников

Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

Равнобедренный - с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
Правильный, или равносторонний треугольник, - это тот, у которого все его стороны равны.
Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие - катетами.
Остроугольный треугольник - все углы меньше 90°.
Тупоугольный - один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры - равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

два угла одной фигуры равны двум углам другой;
две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: "Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой".

Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

Допустим, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 имеют одинаковые стороны АВ и А 1 В 1 и, соответственно, ВС и В 1 С 1 , а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А 1 В 1 С 1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

Теорема о втором признаке

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: "Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны".

Третий признак и доказательство

Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: "Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны".

Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

Прямоугольные треугольники

В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.

Этот признак относится к Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел со сторонами СА и СА 1 .

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» содержит доказательство теоремы, представляющей собой признак равенства двух треугольников по трем сторонам. Данная теорема является важной частью геометрии. Она часто используется для решения практических задач. Ее доказательство базируется на известных уже ученикам признаках равенства треугольников.

Доказательство данной теоремы сложое, поэтому для улучшения качества обучения, формирования умения доказывать геометрические утверждения желательно использовать данное наглядное пособие, которое поможет сконцентрировать внимание учеников на изучаемом материале. Также оно при помощи анимации, наглядной демонстрации построений и доказательства дает возможность улучшить качество обучения.

В начале урока демонстрируется название темы и формулируется теорема о том, что треугольники равны в случае, если все стороны одного треугольника попарно равны всем сторонам второго треугольника. Текст теоремы демонстрируется на экране и может быть записан учениками в тетрадь. Далее рассматривается доказательство данной теоремы.

Для доказательства теоремы строятся треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 . Из условия теоремы следует, что стороны попарно равны, то есть АВ=А 1 В 1 , ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 . В начале доказательства демонстрируется наложение треугольника ΔАВС на ΔА 1 В 1 С 1 так, чтобы вершины А и А 1 , а также В и В 1 данных треугольников совместились. При этом вершины С и С 1 должны располагаться по разные стороны от наложенных сторон АВ и А 1 В 1 . При данном построении возможно несколько вариантов расположения элементов треугольников:

Луч С 1 С лежит внутри угла ∠А 1 С 1 В 1 .
Луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла ∠А 1 С 1 В 1 .
Луч С 1 С лежит вне угла ∠А 1 С 1 В 1.

Каждый случай необходимо рассматривать отдельно, так как доказательство не может быть одинаковым для всех данных случаев. В первом случае рассматривается два треугольника, образованных в результате построения. Так как по условию в данных треугольниках стороны АС=А 1 С 1 , а ВС=В 1 С 1 , то получившиеся треугольники ΔВ 1 С 1 С и ΔА 1 С 1 Сравнобедренные. Используя изученное свойство равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что углы ∠1 и ∠2 равны между собой, а также ∠3 и ∠4 равны. Так как данные углы равны, то и в сумме ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4 также будут давать равные углы. Поэтому углы ∠С и ∠С 1 равны. Доказав данный факт, мы можем заново рассмотреть треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 , в которых стороны ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 по условию теоремы, и доказано, что углы между ними ∠С и ∠С 1 также равны. Соответственно, данные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников, который уже известен ученикам.

Во втором случае при наложении треугольников точки С и С 1 легли на одну прямую, проходящую через точку В(В 1). В сумме двух треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 получился треугольник ΔСАС 1 , в котором две стороны АС=А 1 С 1 по условию теоремы являются равными. Соответственно, данный треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах лежат равные углы, поэтому можно утверждать, что углы ∠С=∠С 1 . Также из условия теоремы следует, что стороны ВС и В 1 С 1 равны между собой, поэтому ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 с учетом изложенных фактов равны между собой по первому признаку равенства треугольников.

Доказательство в третьем случае, аналогично первым двум, использует первый признак равенства треугольников. Построенная наложением треугольников геометрическая фигура при соединении отрезком вершин С и С 1 преобразуется в треугольник ΔВ 1 С 1 С. Данный треугольник является равнобедренным, так как его стороны В 1 С 1 и В 1 С по условию равны. А при равных сторонах в равнобедренном треугольнике углы ∠С и ∠С 1 также равны. Так как по условию теоремы равны стороны АС=А 1 С 1 , то углы при них в равнобедренном треугольнике ΔАСС 1 также равны. С учетом того, что углы ∠С и ∠С 1 равны, и углы ∠DCAи ∠DC 1 A равны между собой, то и углы ∠АСВ и ∠АС 1 В также равны. Учитывая данный факт, для доказательства равенства треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 можно использовать первый признак равенства треугольников, так как две стороны у данных треугольников равны по условия, а равенство углов между ними доказано в ходе рассуждений.

В конце видеоурока демонстрируется важное приложение третьего признака равенства треугольников - жесткость данной геометрической фигуры. На примере разъясняется, что значит данное утверждение. В качестве примера гибкой конструкции приводятся две рейки, соединенные гвоздем. Данные рейки могут быть раздвинуты и сдвинуты под любым углом. Если же к рейкам прикрепить еще одну, соединенную концами с имеющимися рейками, то мы получим жесткую конструкцию, в которой невозможно поменять угол между рейками. Получение треугольника с данными сторонами и другими углами невозможно. Это следствие теоремы имеет важное практическое значение. На экране изображаются инженерные конструкции, в которых применяется данное свойство треугольников.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» облегчает учителю подачу нового материала на уроке геометрии по данной теме. Также видеоурок может с успехом использоваться для дистанционного обучения математике, поможет разобраться в сложностях доказательства ученикам самостоятельно.

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Второй признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Второй признак равенства треугольников .

Цели урока:

Изучить второй признак равенства треугольников;
Уметь применять признак к решению простейших задач;
Продолжить развитие умений проводить рассуждения и доказательства, выполнять простейшие геометрические построения.

Задачи урока:

Усвоение материала через практикум и теорию;
Формирование логического мышления;
Научиться видеть различие и сходство в доказательствах признаков;
Пытаться развивать способности обучающихся к самообразованию;
Формирование умений саморегулирования своей учебно- познавательной деятельности.

Девиз урока:
Ни минуты покоя,
Ни секунды потерь,
Собственные знания
Тщательно проверь.

План урока:

Вступительное слово;
Повторение;
Примеры решения задач;
Проверка собственных знаний;
Дополнительное творческое задание;
Решение задач с практическим содержанием.

Вступительное слово.

ОШИБКУ надо уважать, если она не результат нашего невежества, не порождение нашей лени, не плод невыученных уроков, а только иногда спутница нашего старания в овладении геометрическими знаниями

Повторение.
Вопросы.

Что такое треугольник?
Какие треугольники называются равными?
Как вы понимаете, что такое "признак равенства треугольников"?
Сформулируйте первый признак равенства треугольников?
Для чего нужны признаки?
Обязательно ли каждый раз сравнивать треугольники наложением друг на друга?

Если треугольники равны , то равны их соответственные элементы. (т.к. они совместились при наложении треугольников, и значит равны (опр. Равных фигур)). Следствие: в равных треугольниках:

Против соответственно равных сторон лежат равные углы
Против соответственно равных углов лежат равные стороны

Признак в математике - то же, что и достаточное условие. В менее строгих науках слово «признак» употребляется как описание фактов, позволяющих (согласно существующей теории и т.п.) сделать вывод о наличии интересующего явления.

Что такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников. Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

Иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника. Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать.

Примеры решения задач.

Теорема, второй признак равенства треугольников

Файл:T.gif Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Проверка собственных знаний.

Устные упражнения.

Сколько видов треугольников вы знаете? (3)
Назвать эти виды (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)
Дать определения каждому виду.
Каким прибором измеряется градусная мера углов? (транспортиром)
Какая фигура называется углом? (образованная двумя лучами)

2913 ≈ 2900 (о)
Найти 1/3 от 36 (12) (ж)
Найти число, если 1/5 этого числа = 10 (50) (е)
4/9 2 = 8 (г)
16 /17: 2 = 8/17 (10) (о)
7/8: 2 = 7/16 (в)

Итак, получилось слово – ОЖЕГОВ .
Ожегов Сергей Иванович – один из авторов толкового словаря русского языка. В этом словаре написано значение 80 000 слов русского языка и фразеологических выражений.

Можно ли изобразить треугольник, у которого два угла тупых?
А можете ли вы изобразить треугольник, у которого один угол прямой, а другой – тупой?

Вопросы:

Что такое второй признак равенства треугольников?
Что она гласит?
Для чего нужны признаки?
Что такое "признак равенства треугольников"?

Список использованных источников:

Урок на тему "Наглядная геометрия"
Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений
Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г.

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав