Dari bucu bertentangan) dan bahagikan hasil darab dengan dua. Dalam bentuk ia kelihatan seperti ini:

S = ½ * a * h,

di mana:
S ialah luas segi tiga,
a ialah panjang sisinya,
h ialah ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.

Panjang sisi dan ketinggian mesti ditunjukkan dalam unit yang sama. Dalam kes ini, kawasan segitiga akan berubah dalam unit "" yang sepadan.

Contoh.
Pada salah satu sisi segi tiga skala 20 cm panjang, serenjang dari bucu bertentangan 10 cm panjang diturunkan.
Kawasan segi tiga diperlukan.
Keputusan.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jika anda mengetahui panjang mana-mana dua sisi segitiga berskala dan sudut di antaranya, maka gunakan formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

di mana: a, b ialah panjang dua sisi sewenang-wenangnya, dan γ ialah sudut di antara mereka.

Dalam amalan, sebagai contoh, semasa mengukur plot tanah, penggunaan formula di atas kadangkala sukar, kerana ia memerlukan pembinaan tambahan dan pengukuran sudut.

Jika anda mengetahui panjang ketiga-tiga sisi segitiga skala, maka gunakan formula Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c ialah panjang sisi segi tiga,
р – separuh perimeter: p = (a+b+c)/2.

Jika, sebagai tambahan kepada panjang semua sisi, jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga diketahui, maka gunakan formula padat berikut:

di mana: r ialah jejari bulatan tersurat (p ialah separuh perimeter).

Untuk mengira luas segi tiga skala bulatan berbatas dan panjang sisinya, gunakan formula:

di mana: R ialah jejari bulatan yang dihadkan.

Jika panjang salah satu sisi segitiga dan tiga sudut diketahui (pada dasarnya, dua sudah cukup - nilai ketiga dikira daripada kesamaan jumlah tiga sudut segitiga - 180º), kemudian gunakan formulanya:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

di mana α ialah nilai sudut bertentangan dengan sisi a;
β, γ ialah nilai baki dua sudut segitiga.

Keperluan untuk mencari pelbagai elemen, termasuk kawasan segi tiga, muncul berabad-abad sebelum era kita di kalangan ahli astronomi Yunani purba. Kawasan segi tiga boleh dikira cara yang berbeza menggunakan formula yang berbeza. Kaedah pengiraan bergantung pada elemen mana segi tiga diketahui.

Arahan

Jika dari keadaan kita tahu nilai dua sisi b, c dan sudut yang dibentuk oleh mereka?, maka luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = (bcsin?)/2.

Jika dari keadaan kita tahu nilai dua sisi a, b dan sudut yang tidak dibentuk oleh mereka?, maka luasnya segi tiga ABC didapati seperti berikut:
Mencari sudut?, dosa? = bsin? / a, selanjutnya di atas meja kita menentukan sudut itu sendiri.
Mencari sudut? = 180°-?-?.
Cari kawasan itu sendiri S = (absin?)/2.

Jika dari keadaan kita tahu nilai tiga sisi sahaja segi tiga a, b dan c, kemudian luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , dengan p ialah semiperimeter p = (a+b+c)/2

Jika dari keadaan masalah kita tahu ketinggiannya segi tiga h dan sisi yang ketinggian ini diturunkan, kemudian luasnya segi tiga ABC mengikut formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jika kita tahu nilai-nilai sisi segi tiga a, b, c dan jejari yang dihadkan berhampiran yang diberi segi tiga R, maka kawasan ini segi tiga ABC ditentukan oleh formula:
S = abc/4R.
Jika tiga sisi a, b, c dan jejari yang tertulis dalam diketahui, maka luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = pr, dengan p ialah semiperimeter, p = (a+b+c)/2.

Jika ABC ialah sama sisi, maka luasnya ditemui dengan formula:
S = (a^2v3)/4.
Jika segi tiga ABC ialah sama kaki, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, dengan c ialah segi tiga.
Jika segi tiga ABC ialah segi tiga tegak, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = ab/2, dengan a dan b ialah kaki segi tiga.
Jika segitiga ABC ialah segi tiga sama kaki tegak, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = c^2/4 = a^2/2, dengan c ialah hipotenus segi tiga, a=b - kaki.

Video-video yang berkaitan

Sumber:

• cara mengukur luas segi tiga

Petua 3: Bagaimana untuk mencari luas segitiga jika anda tahu sudutnya

Mengetahui hanya satu parameter (nilai sudut) tidak mencukupi untuk mencari kawasan tre segi empat sama . Jika terdapat sebarang dimensi tambahan, maka untuk menentukan kawasan, anda boleh memilih salah satu formula di mana nilai sudut juga digunakan sebagai salah satu pembolehubah yang diketahui. Beberapa formula yang paling biasa digunakan disenaraikan di bawah.

Arahan

Jika, sebagai tambahan kepada sudut (γ) yang dibentuk oleh kedua-dua belah tre segi empat sama , panjang sisi ini (A dan B) juga diketahui, kemudian kawasan Angka (S) boleh ditakrifkan sebagai separuh hasil darab panjang sisi dan sinus bagi sudut yang diketahui ini: S=½×A×B×sin(γ).

Kadang-kadang dalam hidup ada situasi apabila anda perlu menyelami ingatan untuk mencari yang telah lama dilupakan pengetahuan sekolah. Sebagai contoh, anda perlu menentukan luas plot tanah dalam bentuk segi tiga, atau giliran pembaikan seterusnya di sebuah apartmen atau rumah persendirian telah datang, dan anda perlu mengira berapa banyak bahan yang diperlukan. untuk permukaan dengan bentuk segi tiga. Terdapat masa apabila anda boleh menyelesaikan masalah sedemikian dalam beberapa minit, dan sekarang anda sedang berusaha keras untuk mengingati cara menentukan luas segi tiga?

Anda tidak perlu risau tentang ini! Lagipun, adalah perkara biasa apabila otak manusia memutuskan untuk mengalihkan pengetahuan yang telah lama tidak digunakan ke suatu tempat di sudut terpencil, yang kadang-kadang tidak begitu mudah untuk mengeluarkannya. Agar anda tidak perlu menderita dengan pencarian ilmu sekolah yang terlupa untuk menyelesaikan masalah sedemikian, artikel ini mengandungi pelbagai kaedah, yang memudahkan untuk mencari kawasan segitiga yang dikehendaki.

Umum mengetahui bahawa segitiga adalah sejenis poligon yang terhad kepada minimum nombor yang mungkin sisi. Pada dasarnya, mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga dengan menyambungkan bucunya dengan segmen yang tidak bersilang sisinya. Oleh itu, mengetahui segi tiga, anda boleh mengira luas hampir mana-mana angka.

Di antara semua segitiga yang mungkin berlaku dalam kehidupan, jenis tertentu berikut boleh dibezakan: dan segi empat tepat.

Cara paling mudah untuk mengira luas segi tiga ialah apabila salah satu sudutnya betul, iaitu, dalam kes segi tiga tepat. Adalah mudah untuk melihat bahawa ia adalah separuh segi empat tepat. Oleh itu, luasnya adalah sama dengan separuh hasil darab sisi, yang membentuk sudut tepat di antara mereka.

Jika kita tahu ketinggian segitiga jatuh dari salah satu bucunya ke sebelah bertentangan, dan panjang sisi ini, yang dipanggil tapak, maka luas dikira sebagai separuh hasil darab ketinggian dan tapak. Ini ditulis menggunakan formula berikut:

S = 1/2*b*h, di mana

S ialah kawasan segitiga yang dikehendaki;

b, h - masing-masing, ketinggian dan tapak segi tiga.

Sangat mudah untuk mengira luas segi tiga sama kaki, kerana ketinggian akan membelah bahagian bertentangan, dan ia boleh diukur dengan mudah. Jika kawasan itu ditentukan, maka adalah mudah untuk mengambil panjang salah satu sisi membentuk sudut tepat sebagai ketinggian.

Semua ini sememangnya bagus, tetapi bagaimana untuk menentukan sama ada salah satu sudut segitiga betul atau tidak? Jika saiz angka kami kecil, maka anda boleh menggunakan sudut bangunan, segitiga lukisan, poskad atau objek lain dengan bentuk segi empat tepat.

Tetapi bagaimana jika kita mempunyai plot tanah segi tiga? Dalam kes ini, teruskan seperti berikut: kira dari bahagian atas cadangan sudut tepat pada satu sisi, gandaan jarak 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), dan pada sisi lain, gandaan jarak 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) diukur dalam perkadaran yang sama. Sekarang anda perlu mengukur jarak antara titik akhir kedua-dua segmen ini. Jika nilainya ialah gandaan 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), maka boleh dikatakan bahawa sudutnya betul.

Jika nilai panjang setiap tiga sisi rajah kita diketahui, maka luas segi tiga boleh ditentukan menggunakan formula Heron. Agar ia mempunyai bentuk yang lebih mudah, nilai baru digunakan, yang dipanggil separuh perimeter. Ini adalah jumlah semua sisi segitiga kami, dibahagikan kepada separuh. Selepas separuh perimeter dikira, anda boleh mula menentukan luas menggunakan formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), di mana

persegi- Punca kuasa dua;

p ialah nilai separuh perimeter (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - tepi (tepi) segi tiga.

Tetapi bagaimana jika segitiga mempunyai bentuk tidak teratur? Terdapat dua cara yang mungkin di sini. Yang pertama ialah cuba membahagikan rajah sedemikian kepada dua segi tiga bersudut tegak, jumlah kawasan yang dikira secara berasingan, dan kemudian ditambah. Atau, jika sudut antara dua sisi dan saiz sisi ini diketahui, maka gunakan formula:

S = 0.5 * ab * sinC, di mana

a,b - sisi segi tiga;

c ialah sudut antara sisi ini.

Kes terakhir dalam amalan ia jarang berlaku, tetapi bagaimanapun, semuanya mungkin dalam kehidupan, jadi formula di atas tidak akan berlebihan. Semoga berjaya dengan pengiraan anda!

Segitiga adalah angka yang terkenal. Dan ini, walaupun pelbagai jenis bentuknya. Segi empat tepat, sama sisi, akut, sama kaki, tumpul. Setiap daripada mereka agak berbeza. Tetapi untuk mana-mana ia dikehendaki mengetahui luas segi tiga.

Formula biasa untuk semua segi tiga yang menggunakan panjang sisi atau ketinggian

Penamaan yang diterima pakai di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi yang sepadan pada a, n in, n s.

1. Luas segi tiga dikira sebagai hasil darab ½, sisi dan tinggi diturunkan ke atasnya. S = ½ * a * n a. Begitu juga, seseorang harus menulis formula untuk dua sisi yang lain.

2. Formula Heron, di mana separuh perimeter muncul (adalah kebiasaan untuk menandakannya dengan huruf kecil p, berbeza dengan perimeter penuh). Separuh perimeter mesti dikira seperti berikut: tambah semua sisi dan bahagikannya dengan 2. Formula separuh perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2. Kemudian kesamaan untuk luas \ u200b\u200bgambar kelihatan seperti ini: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Jika anda tidak mahu menggunakan separuh perimeter, maka formula sedemikian akan berguna, di mana hanya panjang sisi yang ada: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ia agak lebih panjang daripada yang sebelumnya, tetapi ia akan membantu jika anda terlupa cara mencari separuh perimeter.

Formula am di mana sudut segitiga muncul

Notasi yang diperlukan untuk membaca formula: α, β, γ - sudut. Mereka terletak bertentangan dengan sisi a, b, c, masing-masing.

1. Menurutnya, separuh hasil darab dua sisi dan sinus sudut di antara mereka adalah sama dengan luas segi tiga. Iaitu: S = ½ a * b * sin γ. Formula untuk dua kes yang lain hendaklah ditulis dengan cara yang sama.

2. Luas segi tiga boleh dikira dari satu sisi dan tiga sudut yang diketahui. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Terdapat juga formula dengan satu sisi yang diketahui dan dua sudut bersebelahan dengannya. Ia kelihatan seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua formula terakhir bukanlah yang paling mudah. Agak sukar untuk mengingati mereka.

Formula am untuk keadaan apabila jejari bulatan bersurat atau berhad diketahui

Penamaan tambahan: r, R - jejari. Yang pertama digunakan untuk jejari bulatan bertulis. Yang kedua adalah untuk yang diterangkan.

1. Formula pertama di mana luas segi tiga dikira adalah berkaitan dengan separuh perimeter. S = r * r. Dengan cara lain, ia boleh ditulis seperti berikut: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kes kedua, anda perlu mendarab semua sisi segi tiga dan membahagikannya dengan jejari empat kali ganda bulatan yang dihadkan. AT ungkapan literal ia kelihatan seperti ini: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situasi ketiga membolehkan anda melakukan tanpa mengetahui sisi, tetapi anda memerlukan nilai ketiga-tiga sudut. S \u003d 2 R 2 * dosa α * dosa β * dosa γ.

Kes khas: segi tiga tepat

Ini adalah keadaan yang paling mudah, kerana hanya panjang kedua-dua kaki diperlukan. Mereka ditetapkan dengan huruf Latin a dan c. Luas segi tiga tepat adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang ditambah kepadanya.

Secara matematik, ia kelihatan seperti ini: S = ½ a * b. Dia yang paling mudah diingati. Kerana ia kelihatan seperti formula untuk luas segi empat tepat, hanya pecahan yang muncul, menandakan separuh.

Kes khas: segi tiga sama kaki

Oleh kerana kedua-dua belahnya adalah sama, beberapa formula untuk kawasannya kelihatan agak mudah. Sebagai contoh, formula Heron, yang mengira luas segi tiga sama kaki, mengambil bentuk berikut:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Jika anda menukarnya, ia akan menjadi lebih pendek. Dalam kes ini, formula Heron untuk segi tiga sama kaki ditulis seperti berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Agak lebih mudah daripada segi tiga sewenang-wenangnya, formula luas kelihatan seperti jika sisi dan sudut di antaranya diketahui. S \u003d ½ a 2 * dosa β.

Kes khas: segi tiga sama sisi

Biasanya, dalam masalah tentang dia, sebelah diketahui atau boleh dikenali. Kemudian formula untuk mencari luas segi tiga tersebut adalah seperti berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Tugas untuk mencari kawasan jika segi tiga digambarkan pada kertas berkotak-kotak

Situasi paling mudah ialah apabila segitiga bersudut tegak dilukis supaya kakinya bertepatan dengan garisan kertas. Kemudian anda hanya perlu mengira bilangan sel yang sesuai dengan kaki. Kemudian darab dan bahagikan dengan dua.

Apabila segi tiga itu akut atau tumpul, ia mesti dilukis kepada segi empat tepat. Kemudian dalam rajah yang terhasil akan ada 3 segi tiga. Satu adalah yang diberikan dalam tugas. Dan dua lagi adalah tambahan dan segi empat tepat. Kawasan dua terakhir mesti ditentukan oleh kaedah yang diterangkan di atas. Kemudian hitung luas segi empat tepat dan tolak daripadanya yang dikira untuk yang tambahan. Luas segi tiga ditentukan.

Lebih sukar ialah keadaan di mana tiada satu pun sisi segitiga bertepatan dengan garisan kertas. Kemudian ia mesti ditulis dalam segi empat tepat supaya bucu angka asal terletak di sisinya. Dalam kes ini, akan ada tiga segi tiga tegak tambahan.

Contoh masalah pada formula Heron

keadaan. Beberapa segi tiga mempunyai sisi. Mereka bersamaan dengan 3, 5 dan 6 cm Anda perlu mengetahui luasnya.

Sekarang anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula di atas. Di bawah punca kuasa dua ialah hasil darab empat nombor: 7, 4, 2 dan 1. Iaitu, luasnya ialah √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Jika anda tidak memerlukan lebih ketepatan, maka anda boleh mengambil punca kuasa dua 14. Ia ialah 3.74. Maka luasnya akan bersamaan dengan 7.48.

Jawab. S \u003d 2 √14 cm 2 atau 7.48 cm 2.

Contoh masalah dengan segi tiga tepat

keadaan. Satu kaki segitiga bersudut tegak adalah 31 cm lebih panjang daripada yang kedua. Ia dikehendaki mengetahui panjangnya jika luas segi tiga itu ialah 180 cm 2.
Keputusan. Anda perlu menyelesaikan sistem dua persamaan. Yang pertama berkaitan dengan kawasan. Yang kedua adalah dengan nisbah kaki, yang diberikan dalam masalah.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Pertama, nilai "a" mesti digantikan ke dalam persamaan pertama. Ternyata: 180 \u003d ½ (dalam + 31) * dalam. Ia hanya mempunyai satu kuantiti yang tidak diketahui, jadi ia mudah untuk diselesaikan. Selepas membuka kurungan, kita dapat persamaan kuadratik: dalam 2 + 31 dalam - 360 = 0. Ia memberikan dua nilai untuk "dalam": 9 dan - 40. Nombor kedua tidak sesuai sebagai jawapan, kerana panjang sisi segi tiga tidak boleh negatif nilai.

Ia kekal untuk mengira bahagian kedua: tambah 31 kepada nombor yang terhasil. Ternyata 40. Ini adalah kuantiti yang dicari dalam masalah.

Jawab. Kaki segi tiga itu ialah 9 dan 40 cm.

Tugas mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut segitiga

keadaan. Luas beberapa segi tiga ialah 60 cm2. Adalah perlu untuk mengira salah satu sisinya jika sisi kedua ialah 15 cm, dan sudut di antara mereka ialah 30º.

Keputusan. berdasarkan jawatan yang diterima, bahagian yang dikehendaki "a", yang diketahui "b", sudut yang telah ditetapkan"γ". Kemudian formula kawasan boleh ditulis semula seperti berikut:

60 \u003d ½ a * 15 * dosa 30º. Di sini sinus 30 darjah ialah 0.5.

Selepas transformasi, "a" ternyata sama dengan 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Iaitu 16.

Jawab. Sisi yang dikehendaki ialah 16 cm.

Masalah segi empat sama yang ditulis dalam segi tiga tepat

keadaan. Bucu segi empat sama dengan sisi 24 cm bertepatan dengan sudut tegak segi tiga itu. Dua lagi berbaring di atas kaki. Yang ketiga tergolong dalam hipotenus. Panjang salah satu kaki ialah 42 cm. Berapakah luas segi tiga tepat?

Keputusan. Pertimbangkan dua segi tiga tepat. Yang pertama dinyatakan dalam tugas. Yang kedua adalah berdasarkan kaki terkenal segi tiga asal. Mereka serupa kerana mereka mempunyai sudut sepunya dan dibentuk oleh garis selari.

Kemudian nisbah kaki mereka adalah sama. Kaki segi tiga yang lebih kecil ialah 24 cm (sisi segi empat sama) dan 18 cm (diberi kaki 42 cm tolak sisi segi empat sama 24 cm). Kaki yang sepadan segi tiga besar- 42 cm dan x cm Ini adalah "x" yang diperlukan untuk mengira luas segi tiga.

18/42 \u003d 24 / x, iaitu, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Maka luasnya adalah sama dengan hasil darab 56 dan 42, dibahagikan dengan dua, iaitu 1176 cm 2.

Jawab. Luas yang dikehendaki ialah 1176 cm 2.

Konsep kawasan

Konsep luas mana-mana rajah geometri, khususnya segitiga, akan dikaitkan dengan rajah seperti segi empat sama. Untuk unit luas mana-mana rajah geometri, kami akan mengambil luas segi empat sama, yang sisinya sama dengan satu. Demi kesempurnaan, mari kita ingat dua sifat asas untuk luas angka geometri.

Harta 1: Jika angka geometri adalah sama, kawasan mereka juga sama.

Hartanah 2: Mana-mana angka boleh dibahagikan kepada beberapa angka. Selain itu, luas angka asal adalah sama dengan jumlah nilai kawasan semua angka yang membentuknya.

Pertimbangkan satu contoh.

Contoh 1

Jelas sekali bahawa salah satu sisi segitiga ialah pepenjuru segi empat tepat , yang mempunyai satu sisi panjang $5$ (sejak $5$ sel) dan satu lagi $6$ (sejak $6$ sel). Oleh itu, luas segi tiga ini akan sama dengan separuh daripada segi empat tepat tersebut. Luas segi empat tepat ialah

Maka luas segi tiga itu ialah

Jawapan: $15$.

Seterusnya, pertimbangkan beberapa kaedah untuk mencari luas segi tiga, iaitu menggunakan ketinggian dan tapak, menggunakan formula Heron dan luas segi tiga sama.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga menggunakan ketinggian dan tapak

Teorem 1

Luas segi tiga boleh didapati sebagai separuh hasil darab panjang sisi dikali ganda ketinggian yang dilukis ke sisi itu.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini

$S=\frac(1)(2)αh$

dengan $a$ ialah panjang sisi, $h$ ialah ketinggian yang dilukis padanya.

Bukti.

Pertimbangkan segi tiga $ABC$ di mana $AC=α$. Ketinggian $BH$ dilukis ke sisi ini dan bersamaan dengan $h$. Mari kita bina sehingga segi empat sama $AXYC$ seperti dalam Rajah 2.

Luas segi empat tepat $AXBH$ ialah $h\cdot AH$ dan luas segi empat tepat $HBYC$ ialah $h\cdot HC$. Kemudian

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Oleh itu, kawasan segitiga yang dikehendaki, mengikut sifat 2, adalah sama dengan

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem telah terbukti.

Contoh 2

Cari luas segi tiga dalam rajah di bawah, jika sel itu mempunyai luas sama dengan satu

Asas segi tiga ini ialah $9$ (kerana $9$ ialah $9$ sel). Ketinggian juga $9$. Kemudian, dengan Teorem 1, kita memperoleh

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Jawapan: $40.5$.

Formula Heron

Teorem 2

Jika kita diberi tiga sisi segitiga $α$, $β$ dan $γ$, maka luasnya boleh didapati seperti berikut

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

di sini $ρ$ bermaksud separuh perimeter segi tiga ini.

Bukti.

Pertimbangkan angka berikut:

Dengan teorem Pythagoras, daripada segi tiga $ABH$ kita perolehi

Daripada segi tiga $CBH$, dengan teorem Pythagoras, kita ada

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Daripada kedua-dua hubungan ini kita memperolehi persamaan

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Oleh kerana $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, maka $α+β+γ=2ρ$, maka

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Dengan Teorem 1, kita dapat

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Arahan

parti dan sudut dianggap sebagai elemen asas a. Segitiga ditakrifkan sepenuhnya oleh mana-mana unsur asas berikut: sama ada tiga sisi, atau satu sisi dan dua sudut, atau dua sisi dan sudut di antara mereka. Untuk kewujudan segi tiga ditakrifkan oleh tiga bahagian a, b, c, adalah perlu dan mencukupi bahawa ketaksamaan, dipanggil ketaksamaan segi tiga:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Untuk bangunan segi tiga pada tiga sisi a, b, c, adalah perlu dari titik C segmen CB=a bagaimana untuk melukis bulatan jejari b dengan kompas. Kemudian, dengan cara yang sama, lukis bulatan dari titik B dengan jejari sama dengan sisi c. Titik persilangan mereka A ialah bucu ketiga bagi yang dikehendaki segi tiga ABC, dengan AB=c, CB=a, CA=b - sisi segi tiga. Masalahnya mempunyai , jika sisi a, b, c, memenuhi ketaksamaan segi tiga dinyatakan dalam langkah 1.

Kawasan S dibina dengan cara ini segi tiga ABC dengan pihak yang dikenali a, b, c, dikira dengan formula Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
di mana a, b, c ialah sisi segi tiga, p ialah separuh perimeter.
p = (a+b+c)/2

Jika segi tiga adalah sama sisi, iaitu, semua sisinya adalah sama (a=b=c). segi tiga dikira dengan formula:
S=(a^2 v3)/4

Jika segitiga itu bersudut tegak, iaitu, salah satu sudutnya ialah 90 °, dan sisi yang membentuknya ialah kaki, sisi ketiga ialah hipotenus. AT kes ini kawasan sama dengan hasil darab kaki dibahagikan dua.
S=ab/2

Untuk mencari kawasan segi tiga, anda boleh menggunakan salah satu daripada banyak formula. Pilih formula bergantung pada data yang sudah diketahui.

Anda perlu

• pengetahuan tentang formula untuk mencari luas segi tiga

Arahan

Jika anda mengetahui nilai salah satu sisi dan nilai ketinggian yang diturunkan ke sisi ini dari sudut bertentangan, maka anda boleh mencari luas menggunakan yang berikut: S = a*h/2, di mana S ialah luas ​segi tiga, a ialah salah satu sisi segitiga, dan h - tinggi, ke sisi a.

Terdapat cara yang diketahui untuk menentukan luas segitiga jika tiga sisinya diketahui. Dia adalah formula Heron. Untuk memudahkan rakamannya, nilai perantaraan diperkenalkan - separuh perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2, di mana a, b, c - . Maka formula Heron adalah seperti berikut: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponen.

Katakan anda mengetahui salah satu sisi segitiga dan tiga sudut. Maka mudah untuk mencari luas segi tiga: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), di mana β ialah sudut bertentangan dengan sisi a, dan α dan γ ialah sudut yang bersebelahan dengan sisi.

Video-video yang berkaitan

catatan

Paling banyak formula am, yang sesuai untuk semua kes - ini adalah formula Heron.

Sumber:

Petua 3: Bagaimana untuk mencari luas segi tiga diberi tiga sisi

Mencari luas segi tiga adalah salah satu tugas yang paling biasa dalam planimetri sekolah. Mengetahui tiga sisi segitiga sudah cukup untuk menentukan luas mana-mana segi tiga. Dalam kes khas dan segi tiga sama sisi, cukup untuk mengetahui panjang dua dan satu sisi, masing-masing.

Anda perlu

• panjang sisi segi tiga, formula Heron, teorem kosinus

Arahan

Rumus bangau untuk luas segi tiga adalah seperti berikut: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jika anda melukis separuh perimeter p, maka anda mendapat: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Anda juga boleh memperoleh formula untuk luas segi tiga daripada pertimbangan, contohnya, dengan menggunakan teorem kosinus.

Mengikut hukum kosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Menggunakan tatatanda yang diperkenalkan, ini juga boleh dalam bentuk: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Oleh itu, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Luas segi tiga juga ditemui dengan formula S = a*c*sin(ABC)/2 melalui dua sisi dan sudut di antara mereka. Sinus sudut ABC boleh dinyatakan dalam sebutannya menggunakan asas identiti trigonometri: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). segi tiga ABC.

Video-video yang berkaitan

Untuk pembaikan, mungkin perlu diukur kawasan dinding. Lebih mudah untuk mengira jumlah yang diperlukan cat atau kertas dinding. Untuk ukuran, sebaiknya gunakan pita pengukur atau pita sentimeter. Pengukuran hendaklah diambil selepas dinding telah diselaraskan.

Anda perlu

• -roulette;
• -tangga.

Arahan

Untuk mengira kawasan dinding, anda perlu mengetahui ketinggian tepat siling, serta mengukur panjang di sepanjang lantai. Ini dilakukan seperti berikut: ambil satu sentimeter, letakkan di atas alas tiang. Biasanya satu sentimeter tidak mencukupi untuk keseluruhan panjang, jadi pasangkannya di sudut, kemudian lepaskannya panjang maksimum. Pada ketika ini, letakkan tanda dengan pensil, tuliskan hasilnya dan lakukan pengukuran selanjutnya dengan cara yang sama, bermula dari titik pengukuran terakhir.

Siling standard dalam tipikal - 2 meter 80 sentimeter, 3 meter dan 3 meter 20 sentimeter, bergantung kepada rumah. Sekiranya rumah itu dibina sebelum 50-an, kemungkinan besar ketinggian sebenar adalah lebih rendah sedikit daripada yang ditunjukkan. Jika anda sedang mengira kawasan untuk kerja pembaikan, maka margin kecil tidak akan menyakitkan - pertimbangkan berdasarkan standard. Jika anda masih perlu mengetahui ketinggian sebenar - ambil ukuran. Prinsipnya serupa dengan mengukur panjang, tetapi anda memerlukan tangga.

Darabkan angka yang terhasil - ini kawasan awak dinding. Benar, untuk kerja mengecat atau untuk itu perlu ditolak kawasan bukaan pintu dan tingkap. Untuk melakukan ini, letakkan satu sentimeter di sepanjang pembukaan. Jika kita bercakap tentang pintu yang akan anda ubah kemudiannya, kemudian lakukan dengan bingkai pintu ditanggalkan, hanya mengambil kira kawasan pembukaan itu sendiri. Kawasan tingkap dikira sepanjang perimeter bingkainya. Selepas kawasan tingkap dan pintu dikira, tolak hasil daripada jumlah luas bilik yang diperolehi.

Sila ambil perhatian bahawa ukuran panjang dan lebar bilik dilakukan bersama-sama, lebih mudah untuk menetapkan sentimeter atau pita pengukur dan, dengan itu, dapatkan lebih banyak hasil yang tepat. Ambil ukuran yang sama beberapa kali untuk memastikan nombor yang anda dapat adalah tepat.

Video-video yang berkaitan

Mencari isipadu segi tiga sememangnya satu tugas yang tidak remeh. Hakikatnya ialah segitiga ialah angka dua dimensi, i.e. ia terletak sepenuhnya dalam satu satah, yang bermaksud bahawa ia tidak mempunyai isipadu. Sudah tentu, anda tidak dapat mencari sesuatu yang tidak wujud. Tetapi jangan kita berputus asa! Kita boleh membuat andaian berikut - isipadu angka dua dimensi, ini adalah kawasannya. Kami sedang mencari kawasan segitiga.

Anda perlu

• helaian kertas, pensel, pembaris, kalkulator

Arahan

Lukiskan pada sehelai kertas dengan pembaris dan pensel. Dengan teliti memeriksa segi tiga, anda boleh memastikan bahawa ia benar-benar tidak mempunyai, kerana ia dilukis pada satah. Labelkan sisi segi tiga: biarkan satu sisi menjadi sisi "a", sisi lain "b", dan sisi ketiga "c". Labelkan bucu segitiga dengan huruf "A", "B" dan "C".

Ukur mana-mana sisi segi tiga dengan pembaris dan tuliskan hasilnya. Selepas itu, pulihkan serenjang ke sisi yang diukur dari bucu bertentangan, serenjang tersebut akan menjadi ketinggian segi tiga. Dalam kes yang ditunjukkan dalam rajah, "h" berserenjang dipulihkan ke sisi "c" dari bucu "A". Ukur ketinggian yang terhasil dengan pembaris dan rekodkan hasil pengukuran.

Ia mungkin berlaku bahawa anda mendapati sukar untuk memulihkan serenjang yang tepat. Dalam kes ini, anda harus menggunakan formula yang berbeza. Ukur semua sisi segi tiga dengan pembaris. Selepas itu, hitung separuh perimeter segi tiga "p" dengan menambah panjang sisi yang terhasil dan membahagikan jumlahnya kepada separuh. Mempunyai nilai separuh perimeter, anda boleh menggunakan formula Heron. Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil punca kuasa dua berikut: p(p-a)(p-b)(p-c).

Anda telah memperoleh kawasan segitiga yang dikehendaki. Masalah mencari isipadu segi tiga belum diselesaikan, tetapi seperti yang dinyatakan di atas, isipadunya tidak . Anda boleh mencari isipadu yang pada asasnya adalah segi tiga dunia tiga dimensi. Jika kita membayangkan bahawa segitiga asal kita telah menjadi piramid tiga dimensi, maka isipadu piramid tersebut akan menjadi hasil darab panjang tapaknya dan luas segi tiga yang kita terima.

catatan

Pengiraan akan menjadi lebih tepat apabila anda mengambil ukuran dengan lebih teliti.

Sumber:

• Kalkulator Semua-ke-Semua - Portal Rujukan
• volum segi tiga pada 2019

Tiga titik yang mentakrifkan segi tiga secara unik Sistem kartesian koordinat ialah bucunya. Mengetahui kedudukan mereka berbanding setiap paksi koordinat, anda boleh mengira mana-mana parameter ini angka rata, termasuk dan dihadkan oleh perimeternya kawasan. Ini boleh dilakukan dalam beberapa cara.

Arahan

Gunakan formula Heron untuk mengira luas segi tiga. Ia melibatkan dimensi tiga sisi rajah, jadi mulakan pengiraan dengan. Panjang setiap sisi mestilah sama dengan punca hasil tambah kuasa dua panjang unjurannya pada paksi koordinat. Jika kita menyatakan koordinat A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) dan C(X₃,Y₃,Z₃), panjang sisinya boleh dinyatakan seperti berikut: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Untuk memudahkan pengiraan, masukkan pembolehubah tambahan - separuh perimeter (P). Daripada itu, ini adalah separuh jumlah panjang semua sisi: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).