Persamaan homogen umum tertib kedua. Persamaan homogen umum

Dengan mengklik pada butang "Muat turun arkib", anda akan memuat turun fail yang anda perlukan secara percuma.
Sebelum memuat turun fail ini, ingat esei yang bagus, kawalan, kertas penggal, tesis, artikel dan dokumen lain yang tidak dituntut pada komputer anda. Ini adalah kerja anda, ia harus mengambil bahagian dalam pembangunan masyarakat dan memberi manfaat kepada orang ramai. Cari karya ini dan hantar ke pangkalan pengetahuan.
Kami dan semua pelajar, pelajar siswazah, saintis muda yang menggunakan asas pengetahuan dalam pengajian dan kerja mereka akan sangat berterima kasih kepada anda.

Untuk memuat turun arkib dengan dokumen, masukkan nombor lima digit dalam medan di bawah dan klik butang "Muat turun arkib"

Dokumen Serupa

Masalah Cauchy untuk persamaan pembezaan. Graf penyelesaian persamaan pembezaan tertib pertama. Persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dan dikurangkan kepada homogen. Persamaan linear homogen dan tak homogen bagi urutan pertama. Persamaan Bernoulli.

kuliah, ditambah 08/18/2012


Konsep asas teori persamaan pembezaan biasa. Tanda persamaan dalam jumlah pembezaan, pembinaan kamiran am. Kes paling mudah untuk mencari faktor penyepaduan. Kes pengganda bergantung hanya pada X dan hanya pada Y.

kertas penggal, ditambah 24/12/2014


Keistimewaan persamaan pembezaan sebagai hubungan antara fungsi dan terbitannya. Bukti teorem kewujudan dan keunikan penyelesaian. Contoh dan algoritma untuk menyelesaikan persamaan dalam jumlah pembezaan. Mengintegrasikan faktor dalam contoh.

kertas penggal, ditambah 02/11/2014


Persamaan pembezaan Riccati. Penyelesaian am bagi persamaan linear. Mencari semua penyelesaian yang mungkin bagi persamaan pembezaan Bernoulli. Penyelesaian persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaian am dan khas bagi persamaan pembezaan Clairaut.

kertas penggal, ditambah 26/01/2015


Persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Persamaan pembezaan homogen dan linear. Sifat geometri lengkung kamiran. Jumlah pembezaan fungsi dua pembolehubah. Penentuan kamiran dengan kaedah Bernoulli dan variasi pemalar arbitrari.

abstrak, ditambah 08/24/2015


Konsep dan penyelesaian persamaan pembezaan termudah dan persamaan pembezaan susunan arbitrari, termasuk yang mempunyai pekali analitik malar. Sistem persamaan linear. Tingkah laku asimptotik penyelesaian beberapa sistem linear.

tesis, ditambah 06/10/2010


Kamiran am bagi persamaan, aplikasi kaedah Lagrange untuk menyelesaikan persamaan linear tak homogen dengan fungsi yang tidak diketahui. Penyelesaian persamaan pembezaan dalam bentuk parametrik. Keadaan Euler, persamaan tertib pertama dalam jumlah pembezaan.

kerja kawalan, ditambah 11/02/2011

.
Persamaan pembezaan.

§ 1. Konsep asas persamaan pembezaan biasa.

Definisi 1. Persamaan pembezaan biasa n-perintah ke- untuk fungsi itu y hujah x dipanggil hubungan bentuk

di mana F adalah fungsi tertentu dari hujah-hujahnya. Atas nama kelas persamaan matematik ini, istilah "pembezaan" menekankan bahawa ia termasuk derivatif
(fungsi yang terbentuk hasil daripada pembezaan); istilah - "biasa" mengatakan bahawa fungsi yang dikehendaki bergantung pada hanya satu hujah sebenar.

Persamaan pembezaan biasa mungkin tidak mengandungi hujah secara eksplisit x, fungsi yang dikehendaki
dan mana-mana derivatifnya, tetapi terbitan tertinggi
mesti dimasukkan ke dalam persamaan n- pesanan. Sebagai contoh

a)
ialah persamaan tertib pertama;

b)
ialah persamaan tertib ketiga.

Apabila menulis persamaan pembezaan biasa, tatatanda derivatif melalui pembezaan sering digunakan:

dalam)
ialah persamaan tertib kedua;

G)
ialah persamaan tertib pertama,

membentuk selepas pembahagian oleh dx bentuk persamaan persamaan:
.

Fungsi
dipanggil penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa jika, apabila digantikan dengannya, ia menjadi identiti.

Sebagai contoh, persamaan tertib ke-3

Mempunyai penyelesaian
.

Untuk mencari dengan satu kaedah atau yang lain, sebagai contoh, pemilihan, satu fungsi yang memenuhi persamaan tidak bermakna menyelesaikannya. Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa bermakna mencari Semua orang fungsi yang membentuk identiti apabila digantikan ke dalam persamaan. Untuk persamaan (1.1), keluarga fungsi sedemikian dibentuk dengan bantuan pemalar arbitrari dan dipanggil penyelesaian umum persamaan pembezaan biasa. n tertib ke-, dan bilangan pemalar bertepatan dengan susunan persamaan: y(x) : Dalam kes ini, penyelesaian dipanggil kamiran am bagi persamaan (1.1).

Sebagai contoh, penyelesaian umum persamaan pembezaan
ialah ungkapan berikut: , dan sebutan kedua juga boleh ditulis sebagai
, sejak pemalar arbitrari dibahagikan dengan 2 boleh digantikan dengan pemalar arbitrari yang baru .

Dengan menetapkan beberapa nilai yang boleh diterima untuk semua pemalar arbitrari dalam penyelesaian am atau dalam kamiran am, kita memperoleh fungsi tertentu yang tidak lagi mengandungi pemalar arbitrari. Fungsi ini dipanggil penyelesaian tertentu atau kamiran tertentu persamaan (1.1). Untuk mencari nilai pemalar arbitrari, dan oleh itu penyelesaian tertentu, pelbagai syarat tambahan kepada persamaan (1.1) digunakan. Sebagai contoh, syarat awal yang dipanggil untuk (1.2) boleh diberikan

Di bahagian kanan keadaan awal (1.2), nilai berangka fungsi dan derivatif diberikan, dan jumlah bilangan keadaan awal adalah sama dengan bilangan pemalar arbitrari yang ditentukan.

Masalah mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan (1.1) daripada keadaan awal dipanggil masalah Cauchy.

§ 2. Persamaan pembezaan biasa tertib pertama - konsep asas.

Persamaan pembezaan biasa bagi urutan pertama ( n=1) mempunyai bentuk:
atau, jika ia boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan:
. Keputusan bersama y= y(x,DARI) atau kamiran am
Persamaan tertib pertama mengandungi satu pemalar arbitrari. Satu-satunya syarat awal untuk persamaan tertib pertama
membolehkan anda menentukan nilai pemalar daripada penyelesaian am atau daripada kamiran am. Oleh itu, penyelesaian tertentu akan ditemui atau, yang juga masalah Cauchy akan diselesaikan. Persoalan kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy adalah salah satu persoalan utama dalam teori umum persamaan pembezaan biasa. Untuk persamaan tertib pertama, khususnya, teorem adalah sah, yang diterima di sini tanpa bukti.

Teorem 2.1. Jika dalam persamaan fungsi
dan terbitan separanya
berterusan di beberapa kawasan D kapal terbang XOY, dan satu mata diberikan dalam kawasan ini
, maka wujud dan, lebih-lebih lagi, penyelesaian unik yang memenuhi kedua-dua persamaan dan keadaan awal
.

Penyelesaian am geometri bagi persamaan tertib pertama ialah keluarga lengkung dalam satah XOY, yang tidak mempunyai titik sepunya dan berbeza antara satu sama lain dalam satu parameter - nilai pemalar C. Lengkung ini dipanggil lengkung kamiran untuk persamaan yang diberikan. Lengkung kamiran persamaan mempunyai sifat geometri yang jelas: pada setiap titik, tangen kecerunan tangen kepada lengkung adalah sama dengan nilai sebelah kanan persamaan pada titik itu:
. Dalam erti kata lain, persamaan diberikan dalam satah XOY medan arah tangen kepada lengkung kamiran. Ulasan: Perlu diingatkan bahawa untuk persamaan
persamaan dan persamaan yang dipanggil dalam bentuk simetri diberikan
.

§ 3. Persamaan pembezaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Definisi. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan ialah persamaan bentuk
(3.1)

atau persamaan bentuk (3.2)

Untuk memisahkan pembolehubah dalam persamaan (3.1), i.e. kurangkan persamaan ini kepada persamaan yang dipanggil dengan pembolehubah yang dipisahkan, lakukan tindakan berikut:

;

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan g(y)= 0 . Jika ia mempunyai penyelesaian sebenar y= a, kemudian y= a juga akan menjadi penyelesaian persamaan (3.1).

Persamaan (3.2) dikurangkan kepada persamaan pembolehubah yang dipisahkan dengan membahagikan dengan hasil
:

, yang membolehkan kita mendapatkan kamiran am persamaan (3.2):
. (3.3)

Lengkung kamiran (3.3) akan ditambah dengan penyelesaian
jika penyelesaian sedemikian wujud.

Selesaikan persamaan: .

Mengasingkan pembolehubah:

.

Mengintegrasikan, kita dapat

Selanjutnya daripada persamaan
dan
cari x=1, y=-1. Keputusan ini adalah keputusan peribadi.

§ 4. Persamaan pembezaan homogen tertib pertama.

Definisi 1. Persamaan tertib pertama dipanggil homogen jika untuk bahagian kanannya untuk sebarang
nisbah
, dipanggil keadaan homogeniti untuk fungsi dua pembolehubah dimensi sifar.

Contoh 1 Tunjukkan fungsi itu
- pengukuran sifar homogen.

Keputusan.

,

Q.E.D.

Teorem. Apa-apa fungsi
adalah homogen dan, sebaliknya, sebarang fungsi homogen
dimensi sifar dikurangkan kepada bentuk
.

Bukti.

Penegasan pertama teorem adalah jelas, kerana
. Mari kita buktikan dakwaan kedua. Mari letak
, kemudian untuk fungsi homogen
, yang perlu dibuktikan.

Definisi 2. Persamaan (4.1)

di mana M dan N adalah fungsi homogen dengan darjah yang sama, i.e. mempunyai harta untuk semua , dipanggil homogen.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk
(4.2), walaupun ini mungkin tidak dilakukan untuk menyelesaikannya.

Persamaan homogen dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dengan menggantikan fungsi yang dikehendaki. y mengikut formula y= zx, di mana z(x) adalah fungsi baru yang dikehendaki. Selepas melakukan penggantian ini dalam persamaan (4.2), kita memperoleh:
atau
atau
.

Menyepadukan, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan berkenaan dengan fungsi z(x)
, yang selepas penggantian berulang
memberikan kamiran am bagi persamaan asal. Selain itu, jika - punca persamaan
, kemudian fungsi
- penyelesaian persamaan yang diberikan homogen. Jika
, maka persamaan (4.2) mengambil bentuk

dan menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaiannya adalah separa langsung:
.

Komen. Kadang-kadang adalah dinasihatkan dan bukannya penggantian di atas untuk menggunakan penggantian x= zy.

§ 5. Persamaan pembezaan mengurangkan kepada persamaan homogen.

Pertimbangkan persamaan bentuk
. (5.1)

Jika
, maka persamaan ini adalah dengan penggantian , di mana dan adalah pembolehubah baru, dan - beberapa nombor tetap ditentukan daripada sistem

Dikurangkan kepada persamaan homogen

Jika
, maka persamaan (5.1) mengambil bentuk

.

Andainya z= kapak+ oleh, kita sampai pada persamaan yang tidak mengandungi pembolehubah bebas.

Pertimbangkan contoh.

Contoh 1

Integrasi Persamaan

dan serlahkan lengkung kamiran yang melalui titik: a) (2;2); b) (1;-1).

Keputusan.

Mari letak y= zx. Kemudian dy= xdz+ zdx dan

Mari kita pendekkan dengan dan mengumpulkan ahli di dx dan dz:

Mari kita asingkan pembolehubah:

.

Mengintegrasikan, kita dapat ;

atau
,
.

Berganti di sini z pada , kita memperoleh kamiran am bagi persamaan yang diberikan dalam bentuk (5.2)
atau

.

Keluarga kalangan ini
, yang pusatnya terletak pada garis lurus y = x dan yang pada asalan adalah tangen kepada garis y + x = 0. lurus iniy = - x seterusnya, penyelesaian tertentu persamaan.

Sekarang mod tugas Cauchy:

A) dengan andaian dalam kamiran am x=2, y=2, cari C=2, jadi penyelesaian yang dikehendaki ialah
.

B) tiada satu pun bulatan (5.2) melalui titik (1;-1). Tetapi separuh baris y = - x,
melalui titik dan memberikan penyelesaian yang dikehendaki.

Contoh 2 Selesaikan persamaan: .

Keputusan.

Persamaan adalah kes khas persamaan (5.1).

Penentu
dalam contoh ini
, jadi kita perlu menyelesaikan sistem berikut

Menyelesaikan, kita dapat itu
. Melakukan penggantian dalam persamaan yang diberikan
, kita memperoleh persamaan homogen . Mengintegrasikannya dengan penggantian
, kita dapati
.

Kembali kepada pembolehubah lama x dan y formula
, kita ada .

§ 6. Persamaan homogen umum.

Persamaan M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 dipanggil homogen umum jika boleh memilih nombor sedemikian k bahawa bahagian kiri persamaan ini menjadi fungsi homogen pada tahap tertentu m secara relatifnya x, y, dx dan dy dengan syarat itu x dianggap sebagai nilai ukuran pertama, y – k ukuran ke , dx dan dy – sifar dan (k-1) ukuran ke. Sebagai contoh, ini akan menjadi persamaan
. (6.1)

Sah di bawah andaian yang dibuat tentang ukuran

x, y, dx dan dy anggota sebelah kiri
dan dy akan mempunyai dimensi masing-masing -2, 2 k dan k-1. Menyamakan mereka, kita memperoleh syarat bahawa nombor yang dikehendaki mesti dipenuhi k: -2 = 2k=k-1. Syarat ini berpuas hati apabila k= -1 (dengan sedemikian k semua sebutan di sebelah kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan akan mempunyai dimensi -2). Akibatnya, persamaan (6.1) digeneralisasikan homogen.

Persamaan homogen umum dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan menggunakan penggantian
, di mana z adalah fungsi baru yang tidak diketahui. Mari kita integrasikan persamaan (6.1) dengan kaedah yang ditunjukkan. Sebagai k= -1, maka
, selepas itu kita mendapat persamaan .

Mengintegrasikannya, kami dapati
, di mana
. Ini ialah penyelesaian umum persamaan (6.1).

§ 7. Persamaan pembezaan linear bagi susunan pertama.

Persamaan linear tertib pertama ialah persamaan yang linear berkenaan dengan fungsi yang dikehendaki dan terbitannya. Ia kelihatan seperti:

, (7.1)

di mana P(x) dan Q(x) diberi fungsi berterusan bagi x. Jika fungsi
, maka persamaan (7.1) mempunyai bentuk:
(7.2)

dan dipanggil persamaan homogen linear, sebaliknya
ia dipanggil persamaan tak homogen linear.

Persamaan pembezaan homogen linear (7.2) ialah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan:

(7.3)

Ungkapan (7.3) ialah penyelesaian umum persamaan (7.2). Untuk mencari penyelesaian umum bagi persamaan (7.1) di mana fungsinya P(x) menunjukkan fungsi yang sama seperti dalam persamaan (7.2), kami menggunakan kaedah yang dipanggil kaedah variasi pemalar arbitrari dan terdiri daripada yang berikut: kami akan cuba memilih fungsi C=C(x) supaya penyelesaian umum persamaan homogen linear (7.2) akan menjadi penyelesaian persamaan linear tidak homogen (7.1). Kemudian untuk derivatif fungsi (7.3) kita dapat:

.

Menggantikan terbitan yang ditemui ke dalam persamaan (7.1), kita akan mempunyai:

atau
.

di mana
, di mana ialah pemalar arbitrari. Akibatnya, penyelesaian umum bagi persamaan linear tak homogen (7.1) ialah (7.4)

Sebutan pertama dalam formula ini mewakili penyelesaian am (7.3) bagi persamaan pembezaan homogen linear (7.2), dan sebutan kedua dalam formula (7.4) ialah penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen linear (7.1) yang diperoleh daripada umum (7.4). ) dengan
. Mari kita pilih kesimpulan penting ini dalam bentuk teorem.

Teorem. Jika satu penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan tak homogen linear diketahui
, maka semua penyelesaian lain mempunyai bentuk
, di mana
ialah penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan.

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa kaedah lain, kadangkala dipanggil kaedah Bernoulli, lebih kerap digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib pertama (7.1). Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (7.1) dalam bentuk
. Kemudian
. Kami menggantikan terbitan yang ditemui ke dalam persamaan asal:
.

Mari kita gabungkan, sebagai contoh, sebutan kedua dan ketiga bagi ungkapan terakhir dan keluarkan fungsinya u(x) untuk kurungan:
(7.5)

Kami memerlukan tanda kurung untuk hilang:
.

Kami menyelesaikan persamaan ini dengan menetapkan pemalar arbitrari C sama dengan sifar:
. Dengan fungsi yang ditemui v(x) kembali ke persamaan (7.5):
.

Menyelesaikannya, kami mendapat:
.

Oleh itu, penyelesaian umum persamaan (7.1) mempunyai bentuk:

§ 8. Persamaan Bernoulli.

Definisi.

Persamaan pembezaan bentuk
, di mana
, dipanggil persamaan Bernoulli.

Andainya
, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan Bernoulli dengan . Hasilnya, kami mendapat:
(8.1)

Kami memperkenalkan fungsi baharu
. Kemudian
. Kami mendarabkan persamaan (8.1) dengan
dan masukkannya ke fungsi z(x) :
, iaitu untuk fungsi z(x) memperoleh persamaan tak homogen linear tertib pertama. Persamaan ini diselesaikan dengan kaedah yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya. Mari kita gantikan ke dalam penyelesaian amnya dan bukannya z(x) ungkapan
, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan Bernoulli, yang mudah diselesaikan berkenaan dengan y. Pada
larutan ditambah y(x)=0 . Persamaan Bernoulli juga boleh diselesaikan tanpa membuat peralihan kepada persamaan linear dengan menggantikan
, dan menggunakan kaedah Bernoulli, dibincangkan secara terperinci dalam § 7. Pertimbangkan aplikasi kaedah ini untuk menyelesaikan persamaan Bernoulli menggunakan contoh khusus.

Contoh. Cari penyelesaian umum persamaan:
(8.2)

Keputusan.

Oleh itu, penyelesaian umum persamaan ini mempunyai bentuk:
, y(x)=0.

§ 9. Persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan.

Definisi. Jika dalam persamaan M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) bahagian kiri ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U(x, y) , maka ia dipanggil persamaan dalam jumlah pembezaan. Persamaan ini boleh ditulis semula sebagai du(x, y)=0 , oleh itu, kamiran amnya ialah u(x, y)= c.

Sebagai contoh, persamaan xdy+ ydx=0 ialah persamaan dalam jumlah pembezaan, kerana ia boleh ditulis semula dalam bentuk d(xy)=0. Kamiran am ialah xy= c ialah fungsi boleh dibezakan sewenang-wenangnya. Kami membezakan (9.3) berkenaan dengan u
§ 10. Faktor penyepaduan.

Jika persamaan M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 bukan persamaan dalam jumlah pembezaan dan terdapat fungsi µ = µ(x, y) , supaya selepas mendarab kedua-dua belah persamaan dengannya, kita memperoleh persamaan

µ(Mdx + Ndy) = 0 dalam jumlah pembezaan, i.e. µ(Mdx + Ndy)du, kemudian fungsi µ(x, y) dipanggil faktor penyepaduan persamaan. Dalam kes apabila persamaan itu sudah menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan, kita andaikan µ = 1.

Jika faktor penyepaduan ditemui µ , maka penyepaduan persamaan ini berkurangan kepada mendarab kedua-dua bahagiannya dengan µ dan mencari kamiran am bagi persamaan yang terhasil dalam jumlah pembezaan.

Jika µ ialah fungsi boleh dibezakan secara berterusan bagi x dan y, kemudian
.

Ia berikutan bahawa faktor penyepaduan µ memenuhi PDE pesanan pertama berikut:

(10.1).

Jika diketahui terlebih dahulu bahawa µ= µ(ω) , di mana ω ialah fungsi yang diberikan daripada x dan y, maka persamaan (10.1) dikurangkan kepada persamaan biasa (dan, lebih-lebih lagi, linear) dengan fungsi yang tidak diketahui µ daripada pembolehubah bebas ω :

(10.2),

di mana
, iaitu pecahan ialah fungsi sahaja bagi ω .

Menyelesaikan persamaan (10.2), kita dapati faktor penyepaduan

, Dengan = 1.

Khususnya, persamaan M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 mempunyai faktor penyepaduan yang hanya bergantung pada x(ω = x) atau hanya daripada y(ω = y) jika syarat berikut dipenuhi, masing-masing:

,

,
.

def 1 kawalan jenis

dipanggil persamaan pembezaan homogen tertib pertama(ODE).

Th1 Biarkan syarat berikut dipenuhi untuk fungsi:

1) berterusan di

Kemudian ODE (1) mempunyai kamiran sepunya, yang diberikan oleh formula:

di mana terdapat beberapa antiterbitan bagi fungsi tersebut Dengan adalah pemalar sewenang-wenangnya.

Catatan 1 Jika, bagi sesetengah orang, syarat itu dipenuhi, maka dalam proses menyelesaikan ODE (1), penyelesaian bentuk mungkin hilang; kes sedemikian harus dirawat dengan lebih berhati-hati dan setiap daripada mereka harus diperiksa secara berasingan.

Oleh itu daripada teorem Th1 sepatutnya algoritma umum untuk menyelesaikan ODE (1):

1) Buat penggantian:

2) Oleh itu, DE dengan pembolehubah boleh diasingkan akan diperolehi, yang harus disepadukan;

3) Kembali kepada pembolehubah g lama;

4) Semak nilai untuk penglibatan mereka dalam penyelesaian alat kawalan jauh asal, di bawah mana keadaan

5) Tulis jawapan.

Contoh 1 Selesaikan DE (4).

Keputusan: DE (4) ialah persamaan pembezaan homogen, kerana ia mempunyai bentuk (1). Mari kita buat penggantian (3), ini akan membawa persamaan (4) ke bentuk:

Persamaan (5) ialah kamiran am DE (4).

Ambil perhatian bahawa apabila mengasingkan pembolehubah dan membahagi dengan, penyelesaian boleh hilang, tetapi ia bukan penyelesaian kepada DE (4), yang mudah disahkan melalui penggantian terus kepada kesamaan (4), kerana nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi daripada DE asal.

Jawapan:

Catatan 2 Kadang-kadang seseorang boleh menulis ODE dari segi pembezaan pembolehubah X dan y. Adalah disyorkan untuk beralih dari tatatanda DE ini kepada ungkapan melalui terbitan dan hanya kemudian lakukan penggantian (3).

Persamaan pembezaan mengurangkan kepada persamaan homogen.

def 2 Fungsi itu dipanggil fungsi homogen darjah k di kawasan, yang mana persamaan akan dipenuhi:

Berikut ialah jenis DE yang paling biasa yang boleh dikurangkan kepada bentuk (1) selepas pelbagai transformasi.

1) di mana fungsinya adalah homogen, sifar darjah, iaitu, persamaan berikut adalah benar: DE (6) boleh dikurangkan dengan mudah kepada bentuk (1) jika kita meletakkan , yang disepadukan lagi menggunakan penggantian (3).

2) (7), di mana fungsinya adalah homogen pada tahap yang sama k . DE borang (7) juga disepadukan menggunakan perubahan (3).

Contoh 2 Selesaikan DE (8).

Keputusan: Mari kita tunjukkan bahawa DE (8) adalah homogen. Kami membahagikan dengan apa yang mungkin, kerana ia bukan penyelesaian kepada persamaan pembezaan (8).

Mari kita buat penggantian (3), ini akan membawa persamaan (9) ke bentuk:

Persamaan (10) ialah kamiran am DE (8).

Ambil perhatian bahawa apabila mengasingkan pembolehubah dan membahagi dengan , penyelesaian yang sepadan dengan nilai dan boleh hilang. Mari kita semak ungkapan ini. Mari kita gantikannya kepada DE (8):

Jawapan:

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa apabila menyelesaikan contoh ini, fungsi muncul dipanggil "tanda" nombor X(baca" tanda x”), ditakrifkan oleh ungkapan:

Catatan 3 Tidak perlu membawa DE (6) atau (7) ke bentuk (1), jika jelas bahawa DE adalah homogen, maka ia boleh diganti dengan segera

3) DE bagi bentuk (11) disepadukan sebagai ODE jika , manakala penggantian dilakukan pada mulanya:

(12), di manakah penyelesaian sistem: (13), dan kemudian gunakan penggantian (3) untuk fungsi tersebut. Selepas mendapat kamiran am, kembali kepada pembolehubah X dan di.

Jika , maka, dengan mengandaikan dalam persamaan (11), kita memperoleh DE dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Contoh 3 Selesaikan masalah Cauchy (14).

Keputusan: Mari kita tunjukkan bahawa DE (14) dikurangkan kepada DE homogen dan disepadukan mengikut skema di atas:

Mari kita selesaikan sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear (15) dengan kaedah Cramer:

Kami membuat perubahan pembolehubah dan menyepadukan persamaan yang terhasil:

(16) – Kamiran am DE (14). Apabila membahagikan pembolehubah, penyelesaian boleh hilang apabila membahagi dengan ungkapan, yang boleh diperolehi secara eksplisit selepas menyelesaikan persamaan kuadratik. Walau bagaimanapun, ia diambil kira dalam kamiran am (16) di

Mari kita cari penyelesaian kepada masalah Cauchy: kita gantikan nilai dan ke dalam kamiran am (16) dan cari Dengan.

Oleh itu, kamiran separa akan diberikan oleh formula:

Jawapan:

4) Ada kemungkinan untuk membawa beberapa DE kepada yang homogen untuk fungsi baharu, namun tidak diketahui, jika kita menggunakan penggantian bentuk:

Pada masa yang sama, nombor m dipilih daripada syarat bahawa persamaan yang terhasil, jika boleh, menjadi homogen sedikit sebanyak. Walau bagaimanapun, jika ini tidak dapat dilakukan, maka DE yang dianggap tidak boleh dikurangkan kepada yang homogen dengan cara ini.

Contoh 4 Selesaikan DU. (lapan belas)

Keputusan: Mari kita tunjukkan bahawa DE (18) dikurangkan kepada DE homogen menggunakan penggantian (17) dan kemudian disepadukan menggunakan penggantian (3):

Jom cari Dengan:

Oleh itu, penyelesaian tertentu DE (24) mempunyai bentuk

Persamaan pembezaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Definisi. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan ialah persamaan bentuk (3.1) atau persamaan bentuk (3.2)

Untuk memisahkan pembolehubah dalam persamaan (3.1), i.e. kurangkan persamaan ini kepada persamaan yang dipanggil dengan pembolehubah yang dipisahkan, lakukan tindakan berikut: ;

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan g(y)=0. Jika ia mempunyai penyelesaian sebenar y=a, kemudian y=a juga akan menjadi penyelesaian persamaan (3.1).

Persamaan (3.2) dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah dipisahkan dengan membahagikan dengan hasil:

, yang membolehkan kita mendapatkan kamiran am persamaan (3.2): . (3.3)

Lengkung kamiran (3.3) akan ditambah dengan penyelesaian jika penyelesaian sedemikian wujud.

Persamaan pembezaan homogen tertib pertama.

Definisi 1. Persamaan tertib pertama dipanggil homogen jika hubungannya , dipanggil keadaan homogeniti untuk fungsi dua pembolehubah dimensi sifar.

Contoh 1 Tunjukkan bahawa fungsi itu adalah homogen bagi dimensi sifar.

Keputusan. ,

Q.E.D.

Teorem. Sebarang fungsi adalah homogen dan, sebaliknya, sebarang fungsi homogen bagi dimensi sifar dikurangkan kepada bentuk .

Bukti. Penegasan pertama teorem adalah jelas, kerana . Mari kita buktikan dakwaan kedua. Biarkan , kemudian untuk fungsi homogen , yang perlu dibuktikan.

Definisi 2. Persamaan (4.1) di mana M dan N adalah fungsi homogen dengan darjah yang sama, i.e. mempunyai sifat untuk semua, dipanggil homogen. Jelas sekali, persamaan ini sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk (4.2) , walaupun ini mungkin tidak dilakukan untuk menyelesaikannya. Persamaan homogen dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dengan menggantikan fungsi yang dikehendaki. y mengikut formula y=zx, di mana z(x) adalah fungsi baru yang dikehendaki. Setelah melakukan penggantian ini dalam persamaan (4.2), kita memperoleh: atau atau .

Menyepadukan, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan berkenaan dengan fungsi z(x) , yang selepas penggantian berulang memberikan kamiran am bagi persamaan asal. Di samping itu, jika punca-punca persamaan , maka fungsi-fungsi tersebut adalah penyelesaian persamaan yang diberikan homogen. Jika , maka persamaan (4.2) mengambil bentuk

Dan ia menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaiannya ialah separuh garisan: .

Komen. Kadang-kadang adalah dinasihatkan dan bukannya penggantian di atas untuk menggunakan penggantian x=zy.

Persamaan homogen umum.

Persamaan M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 dipanggil homogen umum jika boleh memilih nombor sedemikian k bahawa bahagian kiri persamaan ini menjadi fungsi homogen pada tahap tertentu m secara relatifnya x, y, dx dan dy dengan syarat itu x dianggap sebagai nilai ukuran pertama, y – k- ukuran ke , dx dan dy- sifar dan (k-1) ukuran ke. Sebagai contoh, ini akan menjadi persamaan . (6.1) Sesungguhnya, di bawah andaian yang dibuat tentang ukuran x, y, dx dan dy anggota sebelah kiri dan dy akan mempunyai dimensi masing-masing -2, 2 k dan k-1. Menyamakan mereka, kita memperoleh syarat bahawa nombor yang dikehendaki mesti dipenuhi k: -2 = 2k=k-1. Syarat ini berpuas hati apabila k= -1 (dengan sedemikian k semua sebutan di sebelah kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan akan mempunyai dimensi -2). Akibatnya, persamaan (6.1) digeneralisasikan homogen.

Persamaan M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 dipanggil homogen umum jika boleh memilih nombor sedemikian k bahawa bahagian kiri persamaan ini menjadi fungsi homogen pada tahap tertentu m secara relatifnya x, y, dx dan dy dengan syarat itu x dianggap sebagai nilai ukuran pertama, y – k‑ ukuran ke , dx dan dy – sifar dan (k-1) ukuran ke. Sebagai contoh, ini akan menjadi persamaan. (6.1)

Sah di bawah andaian yang dibuat tentang ukuran

x, y, dx dan dy anggota sebelah kiri
dan dy akan mempunyai dimensi masing-masing -2, 2 k dan k-1. Menyamakan mereka, kita memperoleh syarat bahawa nombor yang dikehendaki mesti dipenuhi k: -2 = 2k = k-1. Syarat ini berpuas hati apabila k = -1 (dengan sedemikian k semua sebutan di sebelah kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan akan mempunyai dimensi -2). Akibatnya, persamaan (6.1) digeneralisasikan homogen.

Persamaan homogen umum dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan menggunakan penggantian
, di mana z ialah fungsi baru yang tidak diketahui. Mari kita integrasikan persamaan (6.1) dengan kaedah yang ditunjukkan. Sebagai k = -1, maka
, selepas itu kita mendapat persamaan.

Mengintegrasikannya, kami dapati
, di mana
. Ini ialah penyelesaian umum persamaan (6.1).

§ 7. Persamaan pembezaan linear bagi susunan pertama.

Persamaan linear tertib pertama ialah persamaan yang linear berkenaan dengan fungsi yang dikehendaki dan terbitannya. Ia kelihatan seperti:

, (7.1)

di mana P(x) dan Q(x) diberi fungsi berterusan bagi x. Jika fungsi
, maka persamaan (7.1) mempunyai bentuk:
(7.2)

dan dipanggil persamaan homogen linear, sebaliknya
ia dipanggil persamaan tak homogen linear.

Persamaan pembezaan homogen linear (7.2) ialah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan:

(7.3)

Ungkapan (7.3) ialah penyelesaian umum persamaan (7.2). Untuk mencari penyelesaian umum bagi persamaan (7.1) di mana fungsinya P(x) menunjukkan fungsi yang sama seperti dalam persamaan (7.2), kami menggunakan kaedah yang dipanggil kaedah variasi pemalar arbitrari dan terdiri daripada yang berikut: kami akan cuba memilih fungsi C=C(x) supaya penyelesaian umum persamaan homogen linear (7.2) akan menjadi penyelesaian persamaan linear tidak homogen (7.1). Kemudian untuk derivatif fungsi (7.3) kita dapat:

.

Menggantikan terbitan yang ditemui ke dalam persamaan (7.1), kita akan mempunyai:

atau
.

di mana
, di mana adalah pemalar sewenang-wenangnya. Akibatnya, penyelesaian umum bagi persamaan linear tak homogen (7.1) ialah (7.4)

Sebutan pertama dalam formula ini mewakili penyelesaian am (7.3) bagi persamaan pembezaan homogen linear (7.2), dan sebutan kedua dalam formula (7.4) ialah penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen linear (7.1) yang diperoleh daripada umum (7.4). ) dengan
. Mari kita pilih kesimpulan penting ini dalam bentuk teorem.

Teorem. Jika satu penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan tak homogen linear diketahui
, maka semua penyelesaian lain mempunyai bentuk
, di mana
ialah penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan.

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa kaedah lain, kadangkala dipanggil kaedah Bernoulli, lebih kerap digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib pertama (7.1). Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (7.1) dalam bentuk
. Kemudian
. Kami menggantikan terbitan yang ditemui ke dalam persamaan asal:
.

Mari kita gabungkan, sebagai contoh, sebutan kedua dan ketiga bagi ungkapan terakhir dan keluarkan fungsinya u(x) untuk kurungan:
(7.5)

Kami memerlukan tanda kurung untuk hilang:
.

Kami menyelesaikan persamaan ini dengan menetapkan pemalar arbitrari C sama dengan sifar:
. Dengan fungsi yang ditemui v(x) kembali ke persamaan (7.5):
.

Menyelesaikannya, kami mendapat:
.

Akibatnya, penyelesaian umum persamaan (7.1) mempunyai bentuk.