Sejarah yang sangat ringkas untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik dalam al-Khorezmi

Dari sejarah kejadian persamaan kuadratik

Algebra timbul berkaitan dengan penyelesaian pelbagai masalah menggunakan persamaan. Biasanya dalam masalah diperlukan untuk mencari satu atau beberapa yang tidak diketahui, sambil mengetahui hasil beberapa tindakan yang dilakukan pada kuantiti yang dikehendaki dan diberikan. Masalah sedemikian dikurangkan kepada menyelesaikan satu atau satu sistem beberapa persamaan, kepada mencari yang dikehendaki dengan bantuan operasi algebra pada kuantiti tertentu. Kajian algebra sifat umum tindakan ke atas kuantiti.

Beberapa teknik algebra untuk menyelesaikan persamaan linear dan kuadratik telah diketahui seawal 4000 tahun dahulu dalam Babylon Purba.

Persamaan Kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan tanah dan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Orang Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon datang kepada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk bagaimana ia ditemui. Walaupun tahap tinggi perkembangan algebra di Babylon, dalam teks cuneiform tidak ada konsep nombor negatif dan kaedah biasa penyelesaian persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi eksposisi sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merangka persamaan pelbagai darjah.

Apabila menyusun persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Tugasan 2. "Cari dua nombor, mengetahui bahawa jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96."

Diophantus berhujah seperti berikut: ia mengikuti dari keadaan masalah bahawa nombor yang dikehendaki tidak sama, kerana jika mereka sama, maka hasil mereka akan sama bukan dengan 96, tetapi kepada 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu .10 + x. Yang lain lebih kecil, iaitu 10 - x. Perbezaan antara mereka adalah 2x. Oleh itu persamaan:

(10+x)(10-x)=96,

Oleh itu x = 2. Satu daripada nombor yang dikehendaki ialah 12, satu lagi ialah 8. Penyelesaian x = - 2 untuk Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini, memilih salah satu nombor yang tidak diketahui sebagai tidak diketahui, maka kita boleh sampai kepada penyelesaian persamaan:

Adalah jelas bahawa Diophantus memudahkan penyelesaian dengan memilih separuh perbezaan nombor yang dikehendaki sebagai tidak diketahui; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Persamaan kuadratik di India

Masalah untuk persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi Aryabhattam, yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi sarjana India, Brahmagupta (abad ke-7), menjelaskan peraturan Am penyelesaian persamaan kuadratik dikurangkan kepada satu bentuk kanonik:

ax2 + bx = c, a>

Dalam persamaan (1) pekali boleh menjadi negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan pemerintahan kita.

Di India, pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Dalam salah satu buku lama India, berikut dikatakan tentang pertandingan sedemikian: "Sebagaimana matahari menyinari bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki saintis gerhana kemuliaan perhimpunan popular, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra". Tugas selalunya berpakaian dalam bentuk puisi.

Berikut adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad XII. Bhaskara.

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa penulis sedar tentang nilai dua punca persamaan kuadratik.

Persamaan yang sepadan dengan masalah 3 ialah:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, dia menambah 322 kepada kedua-dua belah, mendapat kemudian:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Persamaan Kuadratik Al-Khawarizmi

Risalah algebra Al-Khawarizmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis menyenaraikan 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan punca", iaitu ax2 = bx.

2) “Petak sama dengan nombor”, iaitu ax2 = c.

3) "Akar adalah sama dengan nombor", iaitu kapak \u003d c.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", iaitu ax2 + c = bx.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", iaitu ax2 + bx = c.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", iaitu bx + c == ax2.

Untuk Al-Khawarizmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini ialah sebutan, bukan tolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan cara untuk menyelesaikannya persamaan yang ditunjukkan, menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama, Al-Khwarizmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira sifar. penyelesaian, mungkin kerana dalam tugas praktikal tertentu, ia tidak penting. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap Al-Khawarizmi secara separa contoh berangka menetapkan peraturan keputusan, dan kemudian bukti geometrinya.

Mari kita ambil contoh.

Masalah 4. “Kuasa dua dan nombor 21 adalah bersamaan dengan 10 punca. Cari punca ”(punca persamaan x2 + 21 \u003d 10x tersirat).

Penyelesaian: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, tinggal 4. Ambil punca 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5, anda dapat 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang akan memberikan 7, ini juga akar.

Risalah Al-Khawarizmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadratik dibentangkan secara sistematik dan formula penyelesaiannya diberikan.

Persamaan kuadratik di EropahXII- XVIIdalam.

Bentuk untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model Al-Khwarizmi di Eropah pertama kali diterangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202. Ahli matematik Itali Leonard Fibonacci. Pengarang secara bebas membangunkan beberapa yang baru contoh algebra penyelesaian masalah dan merupakan yang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif.

Buku ini menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak tugas dari buku ini telah dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-14-17. Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan pekali b, c, telah dirumuskan di Eropah pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. mengambil kira, sebagai tambahan kepada positif, dan akar negatif. Hanya pada abad XVII. terima kasih kepada karya Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara saintis menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

asal usul kaedah algebra penyelesaian kepada masalah praktikal adalah berkaitan dengan sains dunia purba. Seperti yang diketahui dari sejarah matematik, sebahagian besar masalah yang bersifat matematik, yang diselesaikan oleh jurutulis-komputer Mesir, Sumeria, Babylonia (abad XX-VI SM), mempunyai sifat yang dikira. Walau bagaimanapun, walaupun begitu, dari semasa ke semasa, masalah timbul di mana nilai kuantiti yang dikehendaki ditentukan oleh beberapa syarat tidak langsung yang memerlukan, dengan kami titik moden penglihatan, merangka persamaan atau sistem persamaan. Pada mulanya, kaedah aritmetik digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kemudian, permulaan perwakilan algebra mula terbentuk. Sebagai contoh, kalkulator Babylon dapat menyelesaikan masalah yang boleh dikurangkan dari segi klasifikasi moden kepada persamaan darjah kedua. Kaedah penyelesaian telah dibuat masalah perkataan, yang kemudiannya menjadi asas untuk pemilihan komponen algebra dan kajian bebasnya.

Kajian ini telah pun dijalankan pada era lain, pertama oleh ahli matematik Arab (kurun VI-X AD), yang memilih tindakan ciri di mana persamaan dikurangkan kepada pandangan standard pengurangan sebutan yang serupa, pemindahan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematik Eropah Zaman Renaissance, sebagai hasil pencarian yang panjang, mereka mencipta bahasa algebra moden, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmetik, kurungan, dll. Pada giliran ke-16- abad ke-17. Algebra sebagai bahagian tertentu dalam matematik, yang mempunyai subjek, kaedah, bidang aplikasinya sendiri, telah pun dibentuk. Perkembangan selanjutnya, sehingga zaman kita, terdiri daripada menambah baik kaedah, memperluaskan skop aplikasi, menjelaskan konsep dan kaitannya dengan konsep cabang matematik yang lain.

Jadi, memandangkan kepentingan dan keluasan bahan yang berkaitan dengan konsep persamaan, kajiannya dalam metodologi moden matematik dikaitkan dengan tiga bidang utama asal dan fungsinya.

Untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik, anda perlu tahu:

formula untuk mencari diskriminasi;

formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik;

· Algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini.

menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap;

menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap;

selesaikan persamaan kuadratik yang diberikan;

cari ralat dalam persamaan yang diselesaikan dan betulkan;

Buat pemeriksaan.

Penyelesaian bagi setiap persamaan terdiri daripada dua bahagian utama:

transformasi persamaan ini kepada yang paling mudah;

menyelesaikan persamaan mengikut peraturan yang diketahui, formula atau algoritma.

Generalisasi kaedah aktiviti pelajar dalam menyelesaikan persamaan kuadratik berlaku secara beransur-ansur. Peringkat berikut boleh dibezakan apabila mengkaji topik "Persamaan Kuadratik":

Peringkat I - "Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap."

Peringkat II - "Penyelesaian persamaan kuadratik lengkap."

Peringkat III - "Penyelesaian persamaan kuadratik terkurang."

Pada peringkat pertama, persamaan kuadratik tidak lengkap dipertimbangkan. Oleh kerana pada mulanya ahli matematik belajar menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, kerana untuk ini mereka tidak perlu, seperti yang mereka katakan, mencipta apa-apa. Ini adalah persamaan bentuk: ax2 = 0, ax2 + c = 0, dengan c≠ 0, ax2 + bx = 0, dengan b ≠ 0. Pertimbangkan penyelesaian beberapa persamaan ini:

1. Jika ax2 = 0. Persamaan jenis ini diselesaikan mengikut algoritma:

1) cari x2;

2) cari x.

Contohnya, 5x2 = 0 . Membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 5, ternyata: x2 = 0, maka x = 0.

2. Jika ax2 + c = 0, c≠ 0 Persamaan jenis ini diselesaikan mengikut algoritma:

1) alihkan syarat kepada sebelah kanan;

2) cari semua nombor yang kuasa duanya sama dengan nombor c.

Sebagai contoh, x2 - 5 = 0, Persamaan ini bersamaan dengan persamaan x2 = 5. Oleh itu, anda perlu mencari semua nombor yang kuasa duanya sama dengan nombor 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> dan tidak mempunyai punca lain.

3. Jika ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Persamaan jenis ini diselesaikan mengikut algoritma:

1) alihkan faktor sepunya daripada kurungan;

2) cari x1, x2.

Sebagai contoh, x2 - 3x \u003d 0. Mari kita tulis semula persamaan x2 - 3x \u003d 0 dalam bentuk x (x - 3) \u003d 0. Persamaan ini jelas mempunyai punca x1 \u003d 0, x2 \u003d 3. Ia tidak mempunyai punca lain, kerana jika menggantikan sebarang nombor selain sifar dan 3 dan bukannya x, maka di sebelah kiri persamaan x (x - 3) \u003d 0 anda mendapat nombor yang tidak sama dengan sifar.

Jadi, contoh-contoh ini menunjukkan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan:

1) jika persamaan mempunyai bentuk ax2 = 0, maka ia mempunyai satu punca x = 0;

2) jika persamaan mempunyai bentuk ax2 + bx = 0, maka kaedah pemfaktoran digunakan: x (ax + b) = 0; jadi sama ada x = 0 atau ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Sekiranya -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, iaitu - = m, dengan m>0, persamaan x2 = m mempunyai dua punca

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (dalam kes ini, notasi yang lebih pendek = dibenarkan.

Jadi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai dua punca, satu punca, tiada punca.

Pada peringkat kedua, peralihan kepada penyelesaian persamaan kuadratik lengkap dijalankan. Ini adalah persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c diberi nombor, a ≠ 0, x ialah yang tidak diketahui.

Mana-mana persamaan kuadratik lengkap boleh ditukar kepada bentuk , untuk menentukan bilangan punca persamaan kuadratik dan mencari punca-punca ini. Dipertimbangkan kes berikut penyelesaian persamaan kuadratik lengkap: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Contohnya, 2x2 + 4x + 7 = 0. Penyelesaian: di sini a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Sejak D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Jika D \u003d 0, maka persamaan kuadratik ax2 + bx + c \u003d 0 mempunyai satu punca, yang ditemui oleh formula.

Contohnya, 4x - 20x + 25 = 0. Penyelesaian: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Oleh kerana D = 0, maka persamaan yang diberikan mempunyai satu akar. Akar ini didapati menggunakan formula ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan bentuk ax2 + bx + c = 0 disusun.

1. Kirakan diskriminasi D menggunakan formula D = b2 - 4ac.

2. Jika D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Jika D = 0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca, yang ditemui oleh formula

4..gif" width="101" height="45">.

Algoritma ini adalah universal, ia boleh digunakan untuk kedua-dua persamaan kuadratik tidak lengkap dan lengkap. Walau bagaimanapun, persamaan kuadratik yang tidak lengkap biasanya tidak diselesaikan oleh algoritma ini.

Ahli matematik adalah orang yang praktikal, menjimatkan, jadi mereka menggunakan formula: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> mempunyai tanda yang sama dengan D..gif" width="89" height="49"> maka persamaan (3) mempunyai dua punca ;

2) jika maka persamaan itu mempunyai dua punca bertepatan;

3) jika maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

Satu perkara penting dalam kajian persamaan kuadratik ialah pertimbangan teorem Vieta, yang menyatakan kewujudan hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik terkurang.

Teorem Vieta. Jumlah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali kedua, diambil daripada tanda bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Dengan kata lain, jika x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 + px + q = 0, maka

Formula ini dipanggil formula Vieta sebagai penghormatan kepada ahli matematik Perancis F. Vieta (), yang memperkenalkan sistem simbol algebra, membangunkan asas algebra asas. Dia adalah salah seorang yang pertama mula menetapkan nombor dengan huruf, yang secara signifikan mengembangkan teori persamaan.

Sebagai contoh, persamaan di atas x2 - 7x +10 \u003d 0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Dapat dilihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua , diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Terdapat juga teorem yang bertentangan dengan teorem Vieta.

Teorem songsang kepada teorem Vieta. Jika rumus (5) sah untuk nombor x1, x2, p, q, maka x1 dan x2 ialah punca-punca persamaan x2 + px + q = 0.

Teorem Vieta dan teorem songsangnya sering digunakan dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

Sebagai contoh. Mari kita tulis persamaan kuadratik yang diberikan, punca-puncanya ialah nombor 1 dan -3.

Mengikut formula Vieta

– p = x1 + x2 = - 2,

Oleh itu, persamaan yang dikehendaki mempunyai bentuk x2 + 2x - 3 = 0.

Kerumitan menguasai teorem Vieta dikaitkan dengan beberapa keadaan. Pertama sekali, adalah perlu untuk mengambil kira perbezaan antara teorem langsung dan songsang. Dalam teorem langsung Vieta, persamaan kuadratik dan punca-puncanya diberikan; dalam songsang hanya terdapat dua nombor, dan persamaan kuadratik muncul pada kesimpulan teorem. Pelajar sering membuat kesilapan untuk membuktikan alasan mereka dengan rujukan yang salah kepada langsung atau teorem songsang Vieta.

Sebagai contoh, apabila mencari punca persamaan kuadratik melalui pemilihan, anda perlu merujuk kepada teorem Vieta songsang, dan bukan kepada yang langsung, seperti yang sering dilakukan oleh pelajar. Untuk melanjutkan teorem Vieta kepada kes diskriminasi sifar, kita harus bersetuju bahawa dalam kes ini persamaan kuadratik mempunyai dua akar yang sama. Kemudahan perjanjian sedemikian ditunjukkan dalam penguraian trinomial segi empat sama untuk pengganda.

Masih belum ada versi HTML karya.

Dokumen Serupa

Sejarah perkembangan formula untuk punca persamaan kuadratik. Persamaan Kuadratik di Babylon Purba. Penyelesaian persamaan kuadratik oleh Diophantus. Persamaan kuadratik di India, dalam Khorezm dan dalam Eropah XIII- abad XVII. Teorem Vieta, tatatanda algebra moden.

ujian, ditambah 11/27/2010

Sejarah Persamaan Kuadratik: Persamaan di Babylon Purba dan India. Formula untuk pekali genap pada x. Persamaan kuadratik sifat tertentu. Teorem Vieta untuk polinomial darjah yang lebih tinggi. Belajar persamaan biquadratik. Intipati formula Cordano.

abstrak, ditambah 05/09/2009

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam sejarah matematik. Analisis perbandingan teknologi pelbagai cara penyelesaian persamaan darjah kedua, contoh aplikasinya. Teori ringkas menyelesaikan persamaan kuadratik, menyusun buku masalah.

abstrak, ditambah 18/12/2012

Kepentingan matematik dalam kehidupan kita. Sejarah akaun. Perkembangan kaedah matematik pengiraan pada masa kini. Penggunaan matematik dalam sains lain, peranan pemodelan matematik. negeri pendidikan matematik di Rusia.

artikel, ditambah 01/05/2010

matematik Yunani. Zaman Pertengahan dan Renaissance. Permulaan matematik moden. Matematik moden. Matematik bukan berdasarkan logik, tetapi berdasarkan intuisi yang baik. Masalah asas matematik adalah falsafah.

abstrak, ditambah 09/06/2006

Sejarah perkembangan sains matematik di Eropah VI-XIV abad, wakil dan pencapaiannya. Perkembangan matematik pada zaman Renaissance. Penciptaan kalkulus literal, aktiviti François Vieta. Meningkatkan Pengkomputeran dalam lewat XVI – awal XVI berabad-abad

pembentangan, ditambah 09/20/2015

Kajian semula perkembangan matematik Eropah pada abad XVII-XVIII. Pembangunan tidak sekata sains Eropah. Geometri analitik. Ciptaan analisis matematik. sekolah sains Leibniz. ciri umum sains pada abad ke-18. Arah perkembangan matematik.

pembentangan, ditambah 09/20/2015

Tempoh kelahiran matematik (sehingga abad ke-7-5 SM). masa matematik pemalar(abad VII-V SM - abad XVII Masihi). Matematik pembolehubah(abad XVII-XIX). Zaman moden perkembangan matematik. Ciri-ciri matematik komputer.

pembentangan, ditambah 09/20/2015

Pencapaian ahli matematik Yunani purba yang hidup antara abad ke-6 SM. dan abad ke-5 Masihi. Keanehan tempoh awal perkembangan matematik. Peranan sekolah Pythagoras dalam pembangunan matematik: Plato, Eudoxus, Zeno, Democritus, Euclid, Archimedes, Apollonius.

ujian, ditambah 09/17/2010

Sejarah pembentukan matematik sebagai sains. Tempoh matematik asas. Tempoh penciptaan matematik pembolehubah. Penciptaan geometri analitik, kalkulus pembezaan dan kamiran. Perkembangan matematik di Rusia pada abad XVIII-XIX.

Penyelidikan

Mengenai topik

"Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik"

Dilaksanakan:
kumpulan 8 kelas "G".

Pengurus kerja:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Matlamat dan objektif projek.

1. Tunjukkan bahawa dalam matematik, seperti dalam sains lain, terdapat cukup misteri yang belum terungkai.
2. Tekankan apa yang membezakan ahli matematik pemikiran di luar kotak. Dan kadangkala kepintaran dan gerak hati seorang ahli matematik yang baik sangat mengagumkan!
3. Tunjukkan bahawa percubaan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menyumbang kepada perkembangan konsep dan idea baharu dalam matematik.
4. Belajar bekerja dengan pelbagai sumber maklumat.
5. Teruskan kerja penyelidikan matematik

Peringkat penyelidikan

1. Sejarah kemunculan persamaan kuadratik.

2. Definisi persamaan kuadratik dan jenisnya.

3. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula diskriminasi.

4. Francois Viet dan teoremnya.

5. Sifat pekali untuk mencari punca persamaan kuadratik dengan cepat.

6. Orientasi praktikal.

Melalui persamaan, teorem

Saya telah menyelesaikan banyak masalah.

(Chaucer, penyair Inggeris, pertengahan umur.)

pentas. Sejarah kemunculan persamaan kuadratik.

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja dari yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua, kembali pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri.

Orang Babylon dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon datang untuk mencari peraturan itu. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk bagaimana ia ditemui.

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

"Aritmetik" Diophantus mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merumuskan persamaan pelbagai darjat, tetapi ia tidak mempunyai eksposisi sistematik algebra.

Masalah untuk persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499. Ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

Risalah algebra Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis mempunyai 6 jenis persamaan. Bagi al-Khawarizmi, yang tidak tahu nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan adalah tambah, bukan penolakan. Pada masa yang sama, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif sengaja tidak diambil kira; apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, al-Khawarizmi, seperti semua saintis sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar.

Risalah al-Khwarizmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadratik dan formula penyelesaiannya dibentangkan secara sistematik.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model al-Khwarizmi di Eropah mula-mula ditetapkan dalam Book of the Abakus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini dibezakan oleh kesempurnaan dan kejelasan persembahannya. Penulis secara bebas membangunkan beberapa kaedah algebra baru untuk menyelesaikan masalah, dan merupakan yang pertama di Eropah untuk mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Book of the Abacus telah dimasukkan ke dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16-17 dan sebahagiannya abad ke-18.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal dengan semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b,c telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16 untuk mengambil kira bukan sahaja positif, tetapi juga akar negatif. Hanya pada abad ke-17, terima kasih kepada karya Girrard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah penyelesaian persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

RUPA-RUPA NYA:

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam 499.

AT india purba pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar diedarkan - OLIMPIADS .

©2015-2019 tapak
Semua hak milik pengarangnya. Laman web ini tidak menuntut pengarang, tetapi menyediakan penggunaan percuma.
Tarikh penciptaan halaman: 2016-04-11

Sekolah menengah luar bandar Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematik

s.Kopyevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon purba

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik

1.3 Persamaan kuadratik di India

1.4 Persamaan kuadratik dalam al-Khawarizmi

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII - XVII

1.6 Mengenai teorem Vieta

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kesimpulan

kesusasteraan

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon purba

Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Apabila menyusun persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Tugasan 11."Cari dua nombor dengan mengetahui jumlah mereka ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96"

Diophantus berhujah seperti berikut: ia mengikuti dari keadaan masalah bahawa nombor yang dikehendaki tidak sama, kerana jika mereka sama, maka hasil mereka tidak akan menjadi 96, tetapi 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan menjadi lebih daripada separuh daripada mereka. jumlah, iaitu. 10+x, yang lain lebih kecil, iaitu. 10-an. Perbezaan antara mereka 2x .

Oleh itu persamaan:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu nombor yang dikehendaki ialah 12 , lain-lain 8 . Keputusan x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu nombor yang dikehendaki sebagai tidak diketahui, maka kita akan sampai kepada penyelesaian persamaan

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Persamaan kuadratik di India

Masalah untuk persamaan kuadratik sudah ditemui dalam saluran astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), pekali, kecuali untuk a, juga boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan pemerintahan kita.

Di India purba, pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Dalam salah satu buku lama India, berikut dikatakan tentang pertandingan sedemikian: "Sebagaimana matahari menyinari bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga orang yang terpelajar akan mengatasi kemuliaan orang lain dalam mesyuarat awam, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Tugas selalunya berpakaian dalam bentuk puisi.

Berikut adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad XII. Bhaskara.

Tugasan 13.

"Sekawanan monyet yang lincah Dan dua belas dalam pokok anggur ...

Dah makan power, seronok. Mereka mula melompat, tergantung ...

Bahagian lapan daripada mereka dalam petak Berapa banyak monyet yang ada,

Berseronok di padang rumput. Anda beritahu saya, dalam kumpulan ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu tentang nilai dua punca persamaan kuadratik (Rajah 3).

Persamaan yang sepadan dengan masalah 13 ialah:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, dia menambah kepada kedua-dua belah 32 2 , mendapat kemudian:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadratik dalam al-Khorezmi

Risalah algebra Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis menyenaraikan 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan akar", i.e. ax 2 + c = b X.

2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = s.

3) "Akar adalah sama dengan nombor", i.e. ah = s.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", i.e. ax 2 + c = b X.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", i.e. ah 2+ bx = s.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", i.e. bx + c \u003d ax 2.

Bagi al-Khwarizmi, yang mengelak daripada menggunakan nombor negatif, istilah bagi setiap persamaan ini adalah tambah, bukan penolakan. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini, menggunakan kaedah al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana ia tidak penting dalam masalah praktikal tertentu. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, al-Khorezmi menetapkan peraturan untuk menyelesaikan, dan kemudian bukti geometri, menggunakan contoh berangka tertentu.

Tugasan 14.“Kuadrat dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya" (dengan andaian punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian penulis adalah seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, tinggal 4. Ambil punca 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5, anda dapatkan 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang akan memberikan 7, ini juga akar.

Risalah al - Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadratik dinyatakan secara sistematik dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - XVII berabad-abad

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model al - Khorezmi di Eropah pertama kali dinyatakan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, kedua-dua negara Islam dan Yunani purba, berbeza dari segi kesempurnaan dan kejelasan pembentangan. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru penyelesaian masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak tugas dari "Book of the Abacus" diserahkan kepada hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

x 2+ bx = dengan,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b , Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Ambil kira, sebagai tambahan kepada akar positif, dan negatif. Hanya pada abad XVII. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil rupa moden.

1.6 Mengenai teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan punca-puncanya, dengan nama Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D di darab dengan A - A 2 , sama BD, kemudian A sama AT dan sama rata D ».

Untuk memahami Vieta, seseorang mesti ingat itu DAN, seperti mana-mana vokal, dimaksudkan untuknya yang tidak diketahui (kami X), vokal AT, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan formula am, ditulis menggunakan simbol, Viet mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Vieta masih jauh dari rupa moden. Dia tidak mengenali nombor negatif, dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua punca adalah positif.

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (darjah 8) sehingga tamat pengajian.

Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik. Oleh itu persamaan: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 atau: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Penyelesaian x \u003d -2 untuk Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya tahu nombor positif.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt=" Persamaan kuadratik di India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Persamaan kuadratik dalam al-Khorezmi. 1) "Petak sama dengan punca", iaitu ax2 + c \u003d bx. 2) “Petak sama dengan nombor”, iaitu ax2 = c. 3) "Akar adalah sama dengan nombor", iaitu ah \u003d c. 4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", iaitu ax2 + c = bx. 5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", iaitu ax2 + bx = c. 6) "Akar dan nombor adalah sama dengan petak", iaitu bx + c \u003d ax2.

Persamaan kuadratik di Eropah pada abad ke-13–17. x2 + bx = c, dengan semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda pekali b, c telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Mengenai teorem Vieta. "Jika B + D darab A - A 2 sama dengan BD, maka A sama dengan B dan sama dengan D." Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika (a + b)x - x2 = ab, iaitu x2 - (a + b)x + ab = 0, maka x1 = a, x2 = b.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. 1. KAEDAH: Penguraian bahagian kiri persamaan kepada faktor. Selesaikan persamaan x2 + 10 x - 24 = 0. Faktorkan bahagian kiri: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Oleh itu, persamaan boleh ditulis semula seperti berikut: (x + 12) (x - 2) = 0 Oleh kerana hasil darab adalah sifar, maka sekurang-kurangnya satu daripada faktornya ialah sifar. Oleh itu, bahagian kiri persamaan lenyap pada x = 2, dan juga pada x = - 12. Ini bermakna nombor 2 dan - 12 ialah punca-punca persamaan x2 + 10 x - 24 = 0.

2. KAEDAH: Kaedah pemilihan persegi penuh. Kami menyelesaikan persamaan x2 + 6 x - 7 \u003d 0. Pilih di sebelah kiri persegi penuh. Untuk melakukan ini, kami menulis ungkapan x2 + 6 x in borang berikut: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. dalam ungkapan yang terhasil, sebutan pertama ialah kuasa dua nombor x, dan yang kedua ialah produk berganda x dengan 3. Oleh itu, untuk mendapatkan petak penuh, anda perlu menambah 32, kerana x2 + 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3) 2. Kami kini mengubah bahagian kiri persamaan x2 + 6 x - 7 \u003d 0, menambah dan menolak 32. Kami mempunyai: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Oleh itu, persamaan ini boleh ditulis seperti berikut: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Oleh itu, x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1, atau x + 3 = -4, x2 = -7.

3. KAEDAH: Penyelesaian persamaan kuadratik dengan formula. Darabkan kedua-dua belah persamaan ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan 4 a dan berturut-turut kita mempunyai: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Vieta. Seperti yang anda ketahui, persamaan kuadratik yang diberikan mempunyai bentuk x2 + px + c \u003d 0. (1) Akarnya memenuhi teorem Vieta, yang untuk \u003d 1 mempunyai bentuk x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 dan x 2 = 1, kerana q = 2 > 0 dan p = - 3 0 dan p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 dan x 2 \u003d 1, sejak q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 dan x 2 \u003d - 1, sejak q \u003d - 9

5. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah "pemindahan". Pertimbangkan persamaan kuadratik ax2 + bx + c \u003d 0, di mana a ≠ 0. Mendarab kedua-dua bahagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Biarkan ax \u003d y, dari mana x \ u003d y / a; maka kita sampai pada persamaan y2 + by + ac = 0, yang bersamaan dengan yang diberikan. Kami mencari puncanya y1 dan y2 menggunakan teorem Vieta. Akhirnya, kita memperoleh x1 = y1/a dan x1 = y2/a.

Contoh. Mari selesaikan persamaan 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Penyelesaian. “Lemparkan” pekali 2 kepada sebutan bebas, hasilnya kita mendapat persamaan y2 - 11 y + 30 = 0. Menurut teorem Vieta y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Jawapan : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. KAEDAH: Sifat pekali persamaan kuadratik. A. Biarkan persamaan kuadratik ax2 + bx + c \u003d 0 diberikan, dengan a ≠ 0. 1) Jika, a + b + c \u003d 0 (iaitu, jumlah pekali ialah sifar), maka x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Bukti. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan ≠ 0, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + b / a x + c / a \u003d 0. Menurut teorem Vieta x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Dengan keadaan a - b + c = 0, dari mana b = a + c. Oleh itu, x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), iaitu x1 \u003d -1 dan x2 \u003d c / a, yang perlu dibuktikan.

B. Jika pekali kedua b = 2 k - nombor genap, maka formula punca B. Persamaan di atas x2 + px + q= 0 bertepatan dengan persamaan Pandangan umum, di mana a = 1, b = p dan c = q. Oleh itu, untuk persamaan kuadratik terkurang, formula untuk punca

7. KAEDAH: Penyelesaian grafik persamaan kuadratik. Jika dalam persamaan x2 + px + q = 0 kita memindahkan sebutan kedua dan ketiga ke sebelah kanan, maka kita mendapat x2 = - px - q. Mari bina graf pergantungan y \u003d x2 dan y \u003d - px - q.

Contoh 1) Mari kita selesaikan secara grafik persamaan x2 - 3 x - 4 = 0 (Gamb. 2). Keputusan. Kami menulis persamaan dalam bentuk x2 \u003d 3 x + 4. Kami membina parabola y \u003d x2 dan garis lurus y \u003d 3 x + 4. Garis lurus y \u003d 3 x + 4 boleh dibina menggunakan dua mata M (0; 4) dan N (3; 13) . Jawapan: x1 = - 1; x2 = 4

8. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kompas dan pembaris. mencari punca kompas segi empat sama dan pembaris (Rajah 5). Persamaan Kemudian, dengan teorem sekan, kita mempunyai OB OD = OA OC, di mana OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 dengan

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Jejari bulatan lebih besar daripada ordinat pusat (AS > SK atau R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет !} perkara biasa dengan paksi absis (Rajah 6, c), dalam kes ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

9. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan nomogram. z 2 + pz + q = 0. Skala lengkung nomogram dibina mengikut formula (Rajah 11): Dengan mengandaikan OS = p, ED = q, OE = a (semua dalam cm), Daripada persamaan segi tiga SAN dan CDF kami memperoleh perkadaran

Contoh. 1) Untuk persamaan z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram memberikan punca z 1 = 8, 0 dan z 2 = 1, 0 (Rajah 12). 2) Menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaan 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Bahagikan pekali persamaan ini dengan 2, kita dapat persamaan z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0, 5. 3) Untuk persamaan z 2 - 25 z + 66 \u003d 0, pekali p dan q berada di luar skala, kami melakukan penggantian z \u003d 5 t, kami dapatkan persamaan t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, yang kita selesaikan dengan nomogram dan dapatkan t 1 = 0.6 dan t 2 = 4.4, dari mana z 1 = 5 t 1 = 3.0 dan z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. KAEDAH: Cara geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Contoh. 1) Mari kita selesaikan persamaan x2 + 10 x = 39. Pada asalnya, masalah ini dirumuskan seperti berikut: "Kuasa dua dan sepuluh punca bersamaan dengan 39" (Rajah 15). Untuk sisi x yang dikehendaki bagi segi empat sama asal, kita dapat

y2 + 6 y - 16 = 0. Penyelesaian ditunjukkan dalam rajah. 16, dengan y2 + 6 y = 16, atau y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Penyelesaian. Ungkapan y2 + 6 y + 9 dan 16 + 9 secara geometri adalah segi empat sama yang sama, dan persamaan asal y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 ialah persamaan yang sama. Dari mana kita dapat y + 3 = ± 5, atau y1 = 2, y2 = - 8 (Rajah 16).