Terbitan bagi fungsi y x lnx adalah sama. Terbitan logaritma asli dan logaritma kepada asas a

Pembuktian dan terbitan formula bagi terbitan logaritma asli dan logaritma dalam asas a. Contoh pengiraan terbitan ln 2x, ln 3x dan ln nx. Bukti formula bagi terbitan logaritma tertib ke-n dengan kaedah aruhan matematik.

Terbitan formula untuk terbitan logaritma asli dan logaritma dalam asas a

Terbitan logaritma asli x adalah sama dengan satu dibahagikan dengan x:
(1) (lnx)′ =.

Terbitan logaritma kepada asas a adalah sama dengan satu dibahagikan dengan pembolehubah x didarab dengan logaritma asli a :
(2) (log x)′ =.

Bukti

Biarkan terdapat beberapa nombor positif tidak sama dengan satu. Pertimbangkan fungsi yang bergantung pada pembolehubah x , yang merupakan logaritma asas:
.
Fungsi ini ditakrifkan dengan . Mari kita cari terbitannya berkenaan dengan x . Mengikut definisi, terbitan ialah had berikut:
(3) .

Mari kita ubah ungkapan ini untuk mengurangkannya kepada sifat dan peraturan matematik yang diketahui. Untuk melakukan ini, kita perlu mengetahui fakta berikut:
DAN) Sifat logaritma. Kami memerlukan formula berikut:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kesinambungan logaritma dan sifat had untuk fungsi selanjar:
(7) .
Berikut adalah beberapa fungsi yang mempunyai had dan had ini adalah positif.
AT) Maksud had indah kedua:
(8) .

Kami menggunakan fakta ini mengikut had kami. Mula-mula kita menukar ungkapan algebra
.
Untuk melakukan ini, kami menggunakan sifat (4) dan (5).

.

Kami menggunakan harta (7) dan had kedua yang luar biasa (8):
.

Dan akhirnya, gunakan harta (6):
.
logaritma asas e dipanggil logaritma semula jadi. Ia ditandakan seperti ini:
.
Kemudian ;
.

Oleh itu, kami telah memperoleh formula (2) untuk terbitan logaritma.

Terbitan logaritma semula jadi

Sekali lagi, kami menulis formula untuk terbitan logaritma dalam asas a:
.
Formula ini mempunyai bentuk termudah untuk logaritma semula jadi, yang mana , . Kemudian
(1) .

Kerana kesederhanaan ini, logaritma semula jadi digunakan secara meluas dalam kalkulus dan bidang matematik lain yang berkaitan dengan kalkulus pembezaan. Fungsi logaritma dengan asas lain boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma asli menggunakan sifat (6):
.

Terbitan asas logaritma boleh didapati daripada formula (1) jika pemalar dikeluarkan daripada tanda pembezaan:
.

Cara lain untuk membuktikan terbitan logaritma

Di sini kita mengandaikan bahawa kita tahu formula untuk terbitan eksponen:
(9) .
Kemudian kita boleh memperoleh formula untuk terbitan logaritma asli, memandangkan logaritma adalah songsang bagi eksponen.

Mari kita buktikan formula untuk terbitan logaritma asli, menggunakan formula untuk terbitan bagi fungsi songsang:
.
Dalam kes kita. Songsangan logaritma asli ialah eksponen:
.
Derivatifnya ditentukan oleh formula (9). Pembolehubah boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf. Dalam formula (9), kita gantikan pembolehubah x dengan y:
.
Sejak itu
.
Kemudian
.
Formula telah terbukti.

Sekarang kita buktikan formula untuk terbitan logaritma asli menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi majmuk. Oleh kerana fungsi dan adalah songsang antara satu sama lain, maka
.
Bezakan persamaan ini berkenaan dengan pembolehubah x :
(10) .
Terbitan bagi x adalah sama dengan satu:
.
Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks:
.
Di sini. Gantikan kepada (10):
.
Dari sini
.

Contoh

Cari derivatif bagi dalam 2x, ln 3x dan ln nx.

Keputusan

Fungsi asal mempunyai bentuk yang serupa. Oleh itu, kita akan mencari terbitan bagi fungsi tersebut y = log nx. Kemudian kita gantikan n = 2 dan n = 3 . Dan, dengan itu, kita memperoleh formula untuk derivatif daripada ln 2x dan ln 3x .

Jadi, kita sedang mencari derivatif fungsi tersebut
y = log nx .
Mari kita wakili fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang terdiri daripada dua fungsi:
1) Fungsi bergantung pembolehubah : ;
2) Fungsi bergantung boleh ubah : .
Kemudian fungsi asal terdiri daripada fungsi dan:
.

Mari cari terbitan fungsi berkenaan dengan pembolehubah x:
.
Mari kita cari derivatif fungsi berkenaan dengan pembolehubah:
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.
.
Di sini kami telah menggantikan.

Jadi kami mendapati:
(11) .
Kami melihat bahawa terbitan tidak bergantung kepada n. Keputusan ini agak semula jadi jika kita mengubah fungsi asal menggunakan formula logaritma produk:
.
- adalah pemalar. Derivatifnya ialah sifar. Kemudian, mengikut peraturan pembezaan jumlah, kita mempunyai:
.

Jawab

; ; .

Terbitan logaritma modulo x

Mari cari terbitan bagi satu lagi fungsi yang sangat penting - logaritma asli modul x:
(12) .

Mari kita pertimbangkan kes itu. Kemudian fungsinya kelihatan seperti:
.
Derivatifnya ditentukan oleh formula (1):
.

Sekarang pertimbangkan kes itu. Kemudian fungsinya kelihatan seperti:
,
mana .
Tetapi kami juga menemui derivatif fungsi ini dalam contoh di atas. Ia tidak bergantung pada n dan sama dengan
.
Kemudian
.

Kami menggabungkan dua kes ini menjadi satu formula:
.

Oleh itu, untuk logaritma kepada asas a, kita mempunyai:
.

Derivatif tertib tinggi bagi logaritma asli

Pertimbangkan fungsinya
.
Kami menemui terbitan tertib pertamanya:
(13) .

Mari cari derivatif tertib kedua:
.
Mari cari terbitan bagi susunan ketiga:
.
Mari kita cari terbitan bagi susunan keempat:
.

Dapat dilihat bahawa derivatif tertib ke-n mempunyai bentuk:
(14) .
Mari kita buktikan ini dengan aruhan matematik.

Bukti

Mari kita gantikan nilai n = 1 ke dalam formula (14):
.
Oleh kerana , maka untuk n = 1 , formula (14) adalah sah.

Mari kita andaikan bahawa formula (14) berpuas hati untuk n = k . Mari kita buktikan bahawa ia berikutan daripada ini bahawa formula itu sah untuk n = k + 1 .

Sesungguhnya, untuk n = k kita ada:
.
Bezakan berkenaan dengan x :

.
Jadi kami mendapat:
.
Formula ini bertepatan dengan formula (14) untuk n = k + 1 . Oleh itu, daripada andaian bahawa formula (14) adalah sah untuk n = k, maka formula (14) adalah sah untuk n = k + 1 .

Oleh itu, formula (14), untuk derivatif tertib ke-n, adalah sah untuk sebarang n .

Terbitan tertib tinggi logaritma kepada asas a

Untuk mencari terbitan ke-n bagi logaritma asas a , anda perlu menyatakannya dalam sebutan logaritma asli:
.
Menggunakan formula (14), kita dapati derivatif ke-n:
.

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x) \) ditakrifkan dalam beberapa selang yang mengandungi titik \(x_0 \) di dalamnya. Mari tambah \(\Delta x \) kepada hujah supaya tidak meninggalkan selang ini. Cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila melepasi dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jika terdapat had perhubungan ini pada \(\Delta x \rightarrow 0 \), maka had yang ditunjukkan dipanggil fungsi terbitan\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menunjukkan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi dikaitkan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y \u003d f (x).

Makna geometri bagi terbitan terdiri daripada yang berikut. Jika tangen yang tidak selari dengan paksi y boleh dilukis pada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik dengan absis x \u003d a, maka f (a) menyatakan kecerunan tangen:
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), kesamaan \(f"(a) = tg(a) \) adalah benar.

Dan sekarang kita mentafsir takrifan terbitan dari segi kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x) \) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x, anggaran kesamaan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), iaitu \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Maksud bermakna kesamaan anggaran yang diperolehi adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan pada titik x tertentu. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2 \) anggaran kesamaan \(\Delta y \lebih kurang 2x \cdot \Delta x \) adalah benar. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan fungsi y \u003d f (x) ?

1. Betulkan nilai \(x \), cari \(f(x) \)
2. Tambahkan argumen \(x \) \(\Delta x \), pindah ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Susun hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari derivatif fungsi y \u003d f (x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M (x; f (x)) dan, ingat, kecerunan tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu, fungsi mestilah selanjar pada x.

Ia adalah alasan "pada jari". Mari kita kemukakan hujah yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) kekal. sifar, kemudian \(\Delta y \ ) juga akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia juga selanjar pada titik itu.

Sebaliknya tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik bersama" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika adalah mustahil untuk menarik tangen kepada graf fungsi, maka tiada terbitan pada ketika ini.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x) \) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x \u003d 0. Tiada cerun untuk garis lurus sedemikian, yang bermaksud bahawa \ ( f "(0) \) juga tidak wujud

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah anda boleh mengetahui sama ada fungsi boleh dibezakan daripada graf fungsi?

Jawapannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika tangen boleh dilukis pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi-x, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi-x, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda sering perlu bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil darab fungsi, serta dengan "fungsi fungsi", iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivatif fungsi kompaun:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif fungsi yang paling mudah (dan tidak terlalu mudah). mengikut takrifan terbitan sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja dalam bidang mencari derivatif.

Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, tidak perlu mengira had nisbah yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi hanya perlu menggunakan jadual. derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.

Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda strok memecahkan fungsi mudah dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Selanjutnya, kita dapati derivatif fungsi asas dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil darab, jumlah dan hasil bagi - dalam peraturan pembezaan. Jadual derivatif dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.

Contoh 1 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan hasil tambah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.

Daripada jadual derivatif, kita dapati bahawa terbitan "X" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus ialah kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 2 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Bezakan sebagai terbitan jumlah, di mana sebutan kedua dengan faktor malar, ia boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Jika masih terdapat soalan tentang dari mana sesuatu datang, mereka, sebagai peraturan, menjadi jelas selepas membaca jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami akan pergi kepada mereka sekarang.

Jadual terbitan bagi fungsi mudah

1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap
2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "x". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat
3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa.
4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1
5. Terbitan punca kuasa dua
6. Terbitan sinus
7. Terbitan kosinus
8. Terbitan tangen
9. Terbitan kotangen
10. Terbitan arcsine
11. Terbitan kosinus lengkok
12. Terbitan arka tangen
13. Terbitan tangen songsang
14. Terbitan logaritma asli
15. Terbitan bagi fungsi logaritma
16. Terbitan bagi eksponen
17. Terbitan fungsi eksponen

Peraturan pembezaan

1. Terbitan jumlah atau perbezaan
2. Derivatif sesuatu produk
2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar
3. terbitan hasil bagi
4. Terbitan fungsi kompleks

Peraturan 1Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu titik , kemudian pada titik yang sama fungsinya

dan

mereka. terbitan bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini.

Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan pemalar, maka terbitannya adalah, iaitu

Peraturan 2Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika , maka produk mereka juga boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah bagi setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.

Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.

Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:

Peraturan 3Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakan.u/v , dan

mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan yang pengangkanya adalah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka. .

Di mana untuk melihat pada halaman lain

Apabila mencari derivatif produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi lebih banyak contoh mengenai derivatif ini terdapat dalam artikel."Terbitan produk dan hasil bagi " .

Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. Ini adalah kesilapan biasa yang berlaku pada peringkat awal mengkaji derivatif, tetapi apabila pelajar purata menyelesaikan beberapa contoh satu-dua komponen, pelajar biasa tidak lagi melakukan kesilapan ini.

Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes sedemikian dianalisis dalam contoh 10) .

Satu lagi kesilapan biasa ialah penyelesaian mekanikal terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan fungsi mudah. Oleh itu terbitan bagi fungsi kompleks dikhaskan untuk artikel yang berasingan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.

Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukan tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual windows baharu Tindakan dengan kuasa dan akar dan Tindakan dengan pecahan.

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada derivatif dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti kemudian ikuti pelajaran" Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca ".

Jika anda mempunyai tugas seperti , maka anda mempunyai pekerjaan "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh langkah demi langkah - bagaimana untuk mencari derivatif

Contoh 3 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Kami menentukan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah itu mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi:

Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua dengan tanda tolak. Dalam setiap jumlah, kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "x" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 - menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami mendapat nilai derivatif berikut:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 4 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan rumus untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan yang pengangkanya adalah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebut ialah kuasa dua bekas pengangka. Kita mendapatkan:

Kami telah menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam Contoh 2. Jangan lupa juga bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada masalah sedemikian di mana anda perlu mencari derivatif fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan darjah yang berterusan, seperti, sebagai contoh, kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca".

Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan fungsi trigonometri lain, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti , maka anda mempunyai pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh 5 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, dengan terbitan yang kita biasakan diri dalam jadual terbitan. Mengikut peraturan pembezaan produk dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita dapat:

Contoh 6 Cari terbitan bagi suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, dividen yang merupakan punca kuasa dua pembolehubah bebas. Mengikut peraturan pembezaan hasil bagi, yang kita ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita dapat:

Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .