Sudut antara vektor selari. Bagaimana untuk mengira sudut antara vektor

Apabila mempelajari geometri, banyak persoalan timbul mengenai topik vektor. Pelajar mengalami kesukaran tertentu apabila perlu mencari sudut antara vektor.

Terma asas

Sebelum mempertimbangkan sudut antara vektor, adalah perlu untuk membiasakan diri dengan definisi vektor dan konsep sudut antara vektor.

Vektor ialah segmen yang mempunyai arah, iaitu segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditentukan.

Sudut antara dua vektor pada satah yang mempunyai asalan yang sama ialah sudut yang lebih kecil, yang mana ia diperlukan untuk menggerakkan salah satu vektor di sekeliling titik sepunya, ke kedudukan di mana arahnya bertepatan.

Formula Penyelesaian

Sebaik sahaja anda memahami apa itu vektor dan bagaimana sudutnya ditentukan, anda boleh mengira sudut antara vektor. Formula penyelesaian untuk ini agak mudah, dan hasil penggunaannya akan menjadi nilai kosinus sudut. Secara takrifan, ia adalah sama dengan hasil bagi hasil skalar vektor dan hasil darab panjangnya.

Hasil darab skalar bagi vektor dianggap sebagai jumlah koordinat yang sepadan bagi vektor pengganda yang didarab antara satu sama lain. Panjang vektor, atau modulusnya, dikira sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya.

Setelah menerima nilai kosinus sudut, anda boleh mengira nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan jadual trigonometri.

Contoh

Selepas anda mengetahui cara mengira sudut antara vektor, penyelesaian kepada masalah yang sepadan menjadi mudah dan mudah. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah mudah mencari magnitud sudut.

Pertama sekali, adalah lebih mudah untuk mengira nilai panjang vektor dan hasil skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaian. Menggunakan huraian di atas, kami mendapat:

Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula, kami mengira nilai kosinus sudut yang dikehendaki:

Nombor ini bukan salah satu daripada lima nilai kosinus biasa, jadi untuk mendapatkan nilai sudut, anda perlu menggunakan kalkulator atau jadual trigonometri Bradis. Tetapi sebelum mendapatkan sudut antara vektor, formula boleh dipermudahkan untuk menghilangkan tanda negatif tambahan:

Jawapan akhir boleh ditinggalkan dalam borang ini untuk mengekalkan ketepatan, atau anda boleh mengira nilai sudut dalam darjah. Menurut jadual Bradis, nilainya ialah kira-kira 116 darjah dan 70 minit, dan kalkulator akan menunjukkan nilai 116.57 darjah.

Pengiraan sudut dalam ruang n-dimensi

Apabila mempertimbangkan dua vektor dalam ruang tiga dimensi, adalah lebih sukar untuk memahami sudut mana yang kita bincangkan jika ia tidak terletak dalam satah yang sama. Untuk memudahkan persepsi, anda boleh melukis dua segmen bersilang yang membentuk sudut terkecil di antara mereka, dan ia akan menjadi yang dikehendaki. Walaupun terdapat koordinat ketiga dalam vektor, proses bagaimana sudut antara vektor dikira tidak akan berubah. Kira hasil skalar dan modul vektor, arccosine bagi hasil baginya dan akan menjadi jawapan kepada masalah ini.

Dalam geometri, masalah sering berlaku dengan ruang yang mempunyai lebih daripada tiga dimensi. Tetapi bagi mereka, algoritma untuk mencari jawapan kelihatan serupa.

Perbezaan antara 0 dan 180 darjah

Salah satu kesilapan biasa semasa menulis jawapan kepada masalah yang direka untuk mengira sudut antara vektor ialah keputusan untuk menulis bahawa vektor adalah selari, iaitu sudut yang dikehendaki ternyata 0 atau 180 darjah. Jawapan ini tidak betul.

Setelah menerima nilai sudut 0 darjah sebagai hasil daripada penyelesaian, jawapan yang betul adalah untuk menetapkan vektor sebagai arah bersama, iaitu, vektor akan mempunyai arah yang sama. Dalam kes mendapatkan 180 darjah, vektor akan berada dalam sifat arah yang bertentangan.

Vektor Khusus

Dengan mencari sudut antara vektor, salah satu jenis khas boleh ditemui, sebagai tambahan kepada yang diarahkan bersama dan berlawanan yang diterangkan di atas.

Beberapa vektor selari dengan satu satah dipanggil coplanar.
Vektor yang sama panjang dan arahnya dipanggil sama.
Vektor yang terletak pada garis lurus yang sama, tanpa mengira arah, dipanggil kolinear.
Jika panjang vektor adalah sifar, iaitu permulaan dan penghujungnya bertepatan, maka ia dipanggil sifar, dan jika ia adalah satu, maka ia dipanggil satu.

Sudut antara dua vektor, :

Jika sudut antara dua vektor adalah akut, maka hasil darab titik mereka adalah positif; jika sudut antara vektor tumpul, maka hasil darab skalar bagi vektor ini adalah negatif. Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika vektor ini adalah ortogon.

Senaman. Cari sudut antara vektor dan

Keputusan. Kosinus sudut yang dikehendaki

16. Mengira sudut antara garis lurus, garis lurus dan satah

Sudut antara garis dan satah bersilang garis ini dan tidak berserenjang dengannya ialah sudut antara garisan dan unjurannya pada satah ini.

Menentukan sudut antara garis dan satah membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa sudut antara garis dan satah ialah sudut antara dua garis bersilang: garis itu sendiri dan unjurannya ke atas satah. Oleh itu, sudut antara garis dan satah ialah sudut akut.

Sudut antara garis serenjang dan satah dianggap sama, dan sudut antara garis selari dan satah sama ada tidak ditentukan sama sekali, atau dianggap sama dengan .

§ 69. Pengiraan sudut antara garis lurus.

Masalah mengira sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti dalam satah (§ 32). Nyatakan dengan φ sudut antara garisan l 1 dan l 2 , dan melalui ψ - sudut antara vektor arah a dan b garis lurus ini.

Kemudian jika

ψ 90° (Rajah 206.6), kemudian φ = 180° - ψ. Adalah jelas bahawa dalam kedua-dua kes kesamaan cos φ = |cos ψ| adalah benar. Dengan formula (1) § 20 kita ada

Akibatnya,

Biarkan garis diberikan oleh persamaan kanoniknya

Kemudian sudut φ antara garisan ditentukan menggunakan formula

Jika salah satu garis (atau kedua-duanya) diberikan oleh persamaan bukan kanonik, maka untuk mengira sudut, anda perlu mencari koordinat vektor arah garis-garis ini, dan kemudian gunakan formula (1).

17. Garis selari, Teorem pada garis selari

Definisi. Dua garis dalam satah dipanggil selari jika mereka tidak mempunyai mata yang sama.

Dua garis dalam tiga dimensi dipanggil selari jika mereka terletak dalam satah yang sama dan tidak mempunyai titik sepunya.

Sudut antara dua vektor.

Daripada definisi produk titik:

Keadaan ortogonal dua vektor:

Keadaan kolineariti untuk dua vektor:

Ikut daripada definisi 5 - . Sesungguhnya, daripada takrif hasil darab vektor dengan nombor, ia berikut. Oleh itu, berdasarkan peraturan kesamaan vektor, kita menulis , , , yang membayangkan . Tetapi vektor yang terhasil daripada pendaraban vektor dengan nombor adalah kolinear kepada vektor .

Unjuran vektor-ke-vektor:

Contoh 4. Mata diberi , , , .

Cari hasil kali skalar.

Keputusan. kita dapati dengan formula hasil skalar bagi vektor yang diberikan oleh koordinatnya. Kerana ia

, ,

Contoh 5 Mata diberi , , , .

Cari unjuran.

Keputusan. Kerana ia

, ,

Berdasarkan formula unjuran, kita ada

Contoh 6 Mata diberi , , , .

Cari sudut antara vektor dan .

Keputusan. Perhatikan bahawa vektor

, ,

bukan kolinear, kerana koordinatnya tidak berkadar:

Vektor ini juga tidak berserenjang, kerana hasil darab titiknya ialah .

Jom cari,

Sudut cari daripada formula:

Contoh 7 Tentukan untuk vektor dan kolinear.

Keputusan. Dalam kes kolineariti, koordinat vektor yang sepadan dan mestilah berkadar, iaitu:

Dari sini dan .

Contoh 8. Tentukan pada berapa nilai vektor dan adalah serenjang.

Keputusan. vektor dan berserenjang jika hasil darab titiknya ialah sifar. Daripada syarat ini kita dapat: . Itu dia, .

Contoh 9. Cari , jika , , .

Keputusan. Oleh kerana sifat produk skalar, kami mempunyai:

Contoh 10. Cari sudut antara vektor dan , di mana dan - vektor unit dan sudut antara vektor dan sama dengan 120o.

Keputusan. Kami ada: , ,

Akhirnya kami mempunyai: .

5 B. produk vektor.

Definisi 21.seni vektor vektor kepada vektor dipanggil vektor , atau , ditakrifkan oleh tiga syarat berikut:

1) Modul vektor ialah , di manakah sudut antara vektor dan , i.e. .

Ia berikutan bahawa modulus hasil silang secara berangka sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor dan seperti pada sisi.

2) Vektor adalah berserenjang dengan setiap vektor dan ( ; ), i.e. berserenjang dengan satah segi empat selari yang dibina pada vektor dan .

3) Vektor diarahkan sedemikian rupa sehingga jika dilihat dari hujungnya, maka pusingan terpendek dari vektor ke vektor akan menjadi lawan jam (vektor , , membentuk tiga kali ganda kanan).

Bagaimana untuk mengira sudut antara vektor?

Apabila mempelajari geometri, banyak persoalan timbul mengenai topik vektor. Pelajar mengalami kesukaran tertentu apabila perlu mencari sudut antara vektor.

Terma asas

Sebelum mempertimbangkan sudut antara vektor, adalah perlu untuk membiasakan diri dengan definisi vektor dan konsep sudut antara vektor.

Vektor ialah segmen yang mempunyai arah, iaitu segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditentukan.

Formula Penyelesaian

Setelah menerima nilai kosinus sudut, anda boleh mengira nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan jadual trigonometri.

Contoh

Selepas anda mengetahui cara mengira sudut antara vektor, penyelesaian kepada masalah yang sepadan menjadi mudah dan mudah. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah mudah mencari magnitud sudut.

Pertama sekali, adalah lebih mudah untuk mengira nilai panjang vektor dan hasil skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaian. Menggunakan huraian di atas, kami mendapat:

Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula, kami mengira nilai kosinus sudut yang dikehendaki:

Pengiraan sudut dalam ruang n-dimensi

Dalam geometri, masalah sering berlaku dengan ruang yang mempunyai lebih daripada tiga dimensi. Tetapi bagi mereka, algoritma untuk mencari jawapan kelihatan serupa.

Perbezaan antara 0 dan 180 darjah

Vektor Khusus

Dengan mencari sudut antara vektor, salah satu jenis khas boleh ditemui, sebagai tambahan kepada yang diarahkan bersama dan berlawanan yang diterangkan di atas.

Beberapa vektor selari dengan satu satah dipanggil coplanar.
Vektor yang sama panjang dan arahnya dipanggil sama.
Vektor yang terletak pada garis lurus yang sama, tanpa mengira arah, dipanggil kolinear.
Jika panjang vektor adalah sifar, iaitu permulaan dan penghujungnya bertepatan, maka ia dipanggil sifar, dan jika ia adalah satu, maka ia dipanggil satu.

Bagaimana untuk mencari sudut antara vektor?

tolong saya! Saya tahu formulanya tetapi saya tidak dapat memahaminya
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Sudut antara vektor yang diberikan oleh koordinatnya didapati mengikut algoritma standard. Mula-mula anda perlu mencari hasil darab skalar bagi vektor a dan b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Kami menggantikan di sini koordinat vektor ini dan mempertimbangkan:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Seterusnya, kami menentukan panjang setiap vektor. Panjang atau modulus vektor ialah punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya:
|a| = punca (x1^2 + y1^2 + z1^2) = punca (8^2 + 10^2 + 4^2) = punca (64 + 100 + 16) = punca 180 = 6 punca lima
|b| = punca kuasa dua bagi (x2^2 + y2^2 + z2^2) = punca kuasa dua daripada (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = punca kuasa dua daripada (25 + 400 + 100 ) = punca kuasa dua daripada 525 = 5 punca daripada 21.
Kami mendarabkan panjang ini. Kami mendapat 30 punca daripada 105.
Dan akhirnya, kami membahagikan hasil skalar vektor dengan hasil darab panjang vektor ini. Kami mendapat -200 / (30 punca daripada 105) atau
- (4 punca 105) / 63. Ini ialah kosinus sudut antara vektor. Dan sudut itu sendiri adalah sama dengan kosinus lengkok nombor ini
f \u003d arccos (-4 punca 105) / 63.
Jika saya mengira dengan betul.

Bagaimana untuk mengira sinus sudut antara vektor dari koordinat vektor

Mikhail Tkachev

Kami mendarabkan vektor ini. Hasil darab titik mereka adalah sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya.
Sudut tidak diketahui oleh kami, tetapi koordinatnya diketahui.
Mari kita tulis secara matematik seperti ini.
Biarkan, diberi vektor a(x1;y1) dan b(x2;y2)
Kemudian

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Kami berhujah.
hasil darab a*b-skalar vektor adalah sama dengan hasil tambah hasil koordinat yang sepadan bagi koordinat vektor ini, iaitu sama dengan x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produk bagi panjang vektor adalah sama dengan √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Jadi kosinus sudut antara vektor ialah:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Mengetahui kosinus sudut, kita boleh mengira sinusnya. Mari kita bincangkan cara melakukannya:

Jika kosinus suatu sudut adalah positif, maka sudut ini terletak pada 1 atau 4 sukuan, jadi sinusnya adalah sama ada positif atau negatif. Tetapi oleh kerana sudut antara vektor adalah kurang daripada atau sama dengan 180 darjah, maka sinusnya adalah positif. Kami berhujah sama jika kosinus adalah negatif.

SinA=√(1-kos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Itu sahaja)))) semoga berjaya memikirkannya)))

Dmitry Levishchev

Hakikat bahawa mustahil untuk sinus secara langsung adalah tidak benar.
Sebagai tambahan kepada formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Terdapat juga yang ini:
||=|a|*|b|*dosa A
Iaitu, bukannya produk skalar, anda boleh mengambil modul produk vektor.

Hasil darab titik bagi vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka kami telah mempertimbangkan konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan masalah paling mudah dengan vektor. Jika anda datang ke halaman ini buat kali pertama dari enjin carian, saya sangat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana untuk mengasimilasikan bahan, anda perlu dibimbing dalam istilah dan notasi yang saya gunakan, mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan dapat menyelesaikan masalah asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara terperinci tugas-tugas tipikal yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah kerja yang SANGAT PENTING.. Cuba untuk tidak melangkau contoh, mereka datang dengan bonus yang berguna - amalan ini akan membantu anda untuk menyatukan bahan yang dilindungi dan "mendapatkan tangan anda" untuk menyelesaikan masalah biasa geometri analitik.

Menambah vektor, mendarabkan vektor dengan nombor…. Adalah naif untuk berfikir bahawa ahli matematik tidak menghasilkan sesuatu yang lain. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dipertimbangkan, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: hasil darab titik bagi vektor, hasil silang vektor dan hasil campuran vektor. Hasil darab skalar bagi vektor sudah biasa kepada kita dari sekolah, dua produk lain secara tradisinya berkaitan dengan kursus matematik yang lebih tinggi. Topiknya mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah adalah stereotaip dan boleh difahami. Satu-satu nya. Terdapat jumlah maklumat yang baik, jadi adalah tidak diingini untuk cuba menguasai dan menyelesaikan SEGALANYA DAN SEKALIGUS. Ini benar terutamanya untuk dummies, percayalah, penulis sama sekali tidak mahu berasa seperti Chikatilo dari matematik. Nah, bukan dari matematik, sudah tentu, sama ada =) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan secara selektif, dalam erti kata tertentu, untuk "memperoleh" pengetahuan yang hilang, untuk anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya, mari kita buka sedikit pintu dan lihat apa yang berlaku apabila dua vektor bertemu antara satu sama lain….

Takrif hasil darab skalar bagi vektor.
Sifat produk skalar. Tugas biasa

Konsep produk dot

Pertama tentang sudut antara vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami sudut antara vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, lebih sedikit. Pertimbangkan vektor bukan sifar percuma dan . Jika kita menangguhkan vektor-vektor ini dari titik sewenang-wenangnya, maka kita mendapat gambaran yang telah banyak dibentangkan secara mental:

Saya mengaku, di sini saya menggambarkan situasi itu hanya pada tahap pemahaman. Jika anda memerlukan definisi ketat sudut antara vektor, sila rujuk buku teks, tetapi untuk tugas praktikal, kami, pada dasarnya, tidak memerlukannya. Juga DI SINI DAN SELANJUTNYA, saya kadangkala akan mengabaikan vektor sifar kerana kepentingan praktikalnya yang rendah. Saya membuat tempahan khusus untuk pelawat lanjutan ke tapak, yang boleh mencela saya kerana ketidaklengkapan teori beberapa kenyataan berikut.

boleh mengambil nilai dari 0 hingga 180 darjah (dari 0 hingga radian) termasuk. Secara analitikal, fakta ini ditulis sebagai ketaksamaan berganda:

atau

(dalam radian).

Dalam kesusasteraan, ikon sudut sering ditinggalkan dan hanya ditulis.

Definisi: Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah NOMBOR yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:

Sekarang itu definisi yang agak ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: hasil kali skalar ditandakan dengan atau hanya .

Hasil operasi ialah NUMBER: Darabkan vektor dengan vektor untuk mendapatkan nombor. Sesungguhnya, jika panjang vektor ialah nombor, kosinus sudut ialah nombor, maka hasil darabnya juga akan menjadi nombor.

Hanya beberapa contoh pemanasan badan:

Contoh 1

Keputusan: Kami menggunakan formula . Dalam kes ini:

Jawapan:

Nilai kosinus boleh didapati dalam jadual trigonometri. Saya mengesyorkan mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Semata-mata dari sudut pandangan matematik, hasil kali skalar tidak berdimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan masalah fizik, hasil skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasilnya, satu atau satu unit fizikal mesti ditunjukkan. Contoh kanonik mengira kerja daya boleh didapati dalam mana-mana buku teks (rumusnya betul-betul produk titik). Kerja daya diukur dalam Joule, oleh itu, jawapan akan ditulis dengan agak khusus, sebagai contoh,.

Contoh 2

Cari jika , dan sudut antara vektor ialah .

Ini adalah contoh untuk membuat keputusan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Dalam Contoh 1, hasil kali skalar ternyata positif, dan dalam Contoh 2, ia ternyata negatif. Mari kita ketahui apakah tanda produk skalar bergantung kepada. Mari lihat formula kami: . Panjang vektor bukan sifar sentiasa positif: , jadi tanda boleh bergantung hanya pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk mengkaji graf kosinus dalam manual Graf dan sifat fungsi. Lihat bagaimana kosinus berkelakuan pada segmen.

Seperti yang telah dinyatakan, sudut antara vektor boleh berbeza-beza dalam , dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika sudut antara vektor pedas: (dari 0 hingga 90 darjah), kemudian , dan produk dot akan menjadi positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap sifar, dan hasil skalar juga akan positif. Oleh kerana , maka formula dipermudahkan: .

2) Jika sudut antara vektor bodoh: (dari 90 hingga 180 darjah), kemudian , dan selaras dengan itu, produk titik adalah negatif: . Kes khas: jika vektor diarahkan secara bertentangan, maka sudut di antara mereka dianggap dikerahkan: (180 darjah). Hasil kali skalar juga negatif, kerana

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah akut. Sebagai alternatif, vektor adalah kodirectional.

2) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah tumpul. Sebagai alternatif, vektor diarahkan secara bertentangan.

Tetapi kes ketiga sangat menarik:

3) Jika sudut antara vektor lurus: (90 darjah) kemudian dan hasil darab titik adalah sifar: . Sebaliknya juga benar: jika , maka . Pernyataan padat dirumuskan seperti berikut: Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor yang diberi adalah ortogon. Notasi matematik pendek:

! Catatan : ulang asas logik matematik: ikon akibat logik dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya kemudian", "jika dan hanya jika". Seperti yang anda lihat, anak panah diarahkan ke kedua-dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari ini mengikuti ini." Sebenarnya, apakah perbezaan daripada ikon ikut sehala ? Tuntutan ikon itu sahaja bahawa "dari ini mengikuti ini", dan bukan fakta bahawa sebaliknya adalah benar. Contohnya: , tetapi bukan setiap haiwan adalah harimau kumbang, jadi ikon tidak boleh digunakan dalam kes ini. Pada masa yang sama, bukannya ikon boleh gunakan ikon sebelah. Sebagai contoh, semasa menyelesaikan masalah, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogon: - rekod sedemikian akan betul, dan lebih sesuai daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar., kerana ia membolehkan anda menyemak sama ada vektor adalah ortogon atau tidak. Kami akan menyelesaikan masalah ini dalam bahagian kedua pelajaran.

Sifat produk titik

Mari kita kembali kepada situasi apabila dua vektor diarahkan bersama. Dalam kes ini, sudut di antara mereka ialah sifar, , dan formula produk skalar mengambil bentuk: .

Apakah yang berlaku jika vektor didarab dengan sendiri? Adalah jelas bahawa vektor diarahkan bersama dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula yang dipermudahkan di atas:

Nombor dipanggil segi empat sama skalar vektor , dan dilambangkan sebagai .

Dengan cara ini, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan kuasa dua panjang vektor yang diberikan:

Daripada kesamaan ini, anda boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Walaupun ia kelihatan kabur, tetapi tugas-tugas pelajaran akan meletakkan segala-galanya pada tempatnya. Untuk menyelesaikan masalah, kita juga perlu sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrari dan sebarang nombor, sifat berikut adalah benar:

1) - boleh sesar atau komutatif undang-undang produk skalar.

2) - pengedaran atau pengedaran undang-undang produk skalar. Ringkasnya, anda boleh membuka kurungan.

3) - gabungan atau berpersatuan undang-undang produk skalar. Pemalar boleh dikeluarkan daripada hasil skalar.

Selalunya, semua jenis harta benda (yang juga perlu dibuktikan!) dianggap oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan selamat dilupakan sebaik sahaja peperiksaan. Nampaknya apa yang penting di sini, semua orang sudah tahu dari gred pertama bahawa produk itu tidak berubah dari pilih atur faktor:. Saya mesti memberi amaran kepada anda, dalam matematik yang lebih tinggi dengan pendekatan sedemikian adalah mudah untuk mengacaukan keadaan. Jadi, sebagai contoh, sifat komutatif tidak sah untuk matriks algebra. Ia tidak benar untuk hasil silang vektor. Oleh itu, sekurang-kurangnya lebih baik untuk menyelidiki mana-mana sifat yang akan anda temui dalam kursus matematik yang lebih tinggi untuk memahami apa yang boleh dan tidak boleh dilakukan.

Contoh 3

Keputusan: Pertama, mari kita jelaskan keadaan dengan vektor. Apa itu semua? Jumlah vektor dan merupakan vektor yang jelas, yang dilambangkan dengan . Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk boneka. Pasli yang sama dengan vektor ialah jumlah vektor dan .

Jadi, mengikut syarat, perlu mencari hasil skalar. Secara teori, anda perlu menggunakan formula kerja , tetapi masalahnya ialah kita tidak tahu panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi dalam keadaan itu, parameter serupa diberikan untuk vektor, jadi kita akan pergi ke arah lain:

(1) Kami menggantikan ungkapan vektor .

(2) Kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial, pemusing lidah yang kesat boleh didapati dalam artikel Nombor kompleks atau Penyepaduan fungsi pecahan-rasional. Saya tidak akan mengulangi diri saya sendiri =) Dengan cara ini, sifat pengedaran produk skalar membolehkan kita membuka kurungan. Kita ada hak.

(3) Dalam sebutan pertama dan terakhir, kita padat menulis kuasa dua skalar bagi vektor: . Dalam istilah kedua, kami menggunakan kebolehubahsuaian produk skalar: .

(4) Berikut adalah istilah yang serupa: .

(5) Dalam istilah pertama, kami menggunakan formula kuasa dua skalar, yang telah disebutkan tidak lama dahulu. Dalam penggal terakhir, masing-masing, perkara yang sama berfungsi: . Istilah kedua dikembangkan mengikut formula standard .

(6) Gantikan syarat ini , dan BERHATI-HATI melaksanakan pengiraan akhir.

Jawapan:

Nilai negatif hasil darab titik menyatakan hakikat bahawa sudut antara vektor adalah tumpul.

Tugasnya adalah tipikal, berikut adalah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 4

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan , jika diketahui bahawa .

Kini satu lagi tugas biasa, hanya untuk formula panjang vektor baharu. Penamaan di sini akan bertindih sedikit, jadi untuk kejelasan, saya akan menulis semula dengan huruf yang berbeza:

Contoh 5

Cari panjang vektor jika .

Keputusan akan menjadi seperti berikut:

(1) Kami membekalkan ungkapan vektor .

(2) Kami menggunakan formula panjang: , manakala kami mempunyai ungkapan integer sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan formula sekolah untuk kuasa dua jumlah. Beri perhatian kepada cara ia berfungsi secara ingin tahu di sini: - sebenarnya, ini ialah kuasa dua perbezaan, dan, sebenarnya, memang begitu. Mereka yang ingin boleh menyusun semula vektor di tempat: - ternyata perkara yang sama sehingga penyusunan semula syarat.

(4) Perkara berikut sudah biasa daripada dua masalah sebelumnya.

Jawapan:

Oleh kerana kita bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit".

Contoh 6

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami terus memerah perkara yang berguna daripada produk skalar. Mari lihat semula formula kami . Dengan peraturan perkadaran, kami menetapkan semula panjang vektor kepada penyebut di sebelah kiri:

Mari kita tukar bahagian:

Apakah maksud formula ini? Jika panjang dua vektor dan hasil skalarnya diketahui, maka kosinus sudut antara vektor ini boleh dikira, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Adakah hasil kali skalar suatu nombor? Nombor. Adakah nombor panjang vektor? Nombor. Jadi pecahan juga nombor. Dan jika kosinus sudut itu diketahui: , kemudian menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Cari sudut antara vektor dan , jika diketahui bahawa .

Keputusan: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, teknik digunakan - penghapusan ketidakrasionalan dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakrasionalan, saya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan .

Jadi kalau , maka:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati dengan jadual trigonometri. Walaupun ini jarang berlaku. Dalam masalah geometri analitik, beberapa beruang yang kekok muncul lebih kerap, dan nilai sudut perlu dicari lebih kurang menggunakan kalkulator. Malah, kita akan melihat gambar ini lagi dan lagi.

Jawapan:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menentukan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, untuk "mengalih keluar semua soalan" dengan sengaja, saya lebih suka menunjukkan kedua-duanya (melainkan, tentu saja, mengikut syarat, ia diperlukan untuk membentangkan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Kini anda akan dapat mengatasi tugas yang lebih sukar sendiri:

Contoh 7*

Diberi adalah panjang vektor , dan sudut di antara mereka . Cari sudut antara vektor, .

Tugasnya tidak begitu sukar seperti pelbagai hala.
Mari analisa algoritma penyelesaian:

1) Mengikut syarat, ia diperlukan untuk mencari sudut antara vektor dan , jadi anda perlu menggunakan formula .

2) Kami mencari hasil kali skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Cari panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Pengakhiran penyelesaian bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nombor , yang bermaksud mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bahagian kedua pelajaran dikhaskan untuk produk titik yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada bahagian pertama.

Hasil darab titik bagi vektor,
diberikan oleh koordinat dalam asas ortonormal

Jawapan:

Tidak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika

Ini adalah contoh buat sendiri. Di sini anda boleh menggunakan persekutuan operasi, iaitu, jangan dikira, tetapi segera keluarkan tiga kali ganda daripada hasil skalar dan darab dengannya yang terakhir. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Pada akhir perenggan, contoh provokatif untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , jika

Keputusan: sekali lagi kaedah bahagian sebelumnya mencadangkan dirinya sendiri: tetapi ada cara lain:

Mari cari vektor:

Dan panjangnya mengikut formula remeh :

Produk skalar tidak relevan di sini sama sekali!

Betapa keluarnya perniagaan apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Mengapa tidak mengambil kesempatan daripada sifat panjang jelas vektor? Apakah yang boleh dikatakan tentang panjang vektor? Vektor ini adalah 5 kali lebih panjang daripada vektor. Arahnya bertentangan, tetapi tidak mengapa, kerana kita bercakap tentang panjang. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan produk modul nombor setiap panjang vektor:
- tanda modul "makan" kemungkinan tolak nombor.

Dengan cara ini:

Jawapan:

Formula untuk kosinus sudut antara vektor yang diberikan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap supaya formula yang diperoleh sebelum ini untuk kosinus sudut antara vektor nyatakan dalam sebutan koordinat vektor:

Kosinus sudut antara vektor satah dan , diberikan dalam asas ortonormal , dinyatakan oleh formula:
.

Kosinus sudut antara vektor ruang, diberikan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Contoh 16

Tiga bucu segitiga diberikan. Cari (sudut bucu ).

Keputusan: Dengan syarat, lukisan tidak diperlukan, tetapi masih:

Sudut yang diperlukan ditandakan dengan arka hijau. Kami segera mengingati penetapan sekolah sudut: - perhatian khusus kepada tengah huruf - ini adalah puncak sudut yang kita perlukan. Untuk ringkasnya, ia juga boleh ditulis secara ringkas.

Daripada lukisan itu agak jelas bahawa sudut segi tiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan , dengan kata lain: .

Adalah wajar untuk mempelajari cara melakukan analisis yang dilakukan secara mental.

Mari cari vektor:

Mari kita mengira hasil skalar:

Dan panjang vektor:

Kosinus sudut:

Perintah tugas inilah yang saya cadangkan kepada dummies. Pembaca yang lebih maju boleh menulis pengiraan "dalam satu baris":

Berikut ialah contoh nilai kosinus "buruk". Nilai yang terhasil tidak muktamad, jadi tidak ada gunanya untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

Mari cari sudut:

Jika anda melihat lukisan itu, hasilnya agak masuk akal. Untuk memeriksa sudut juga boleh diukur dengan protraktor. Jangan rosakkan salutan monitor =)

Jawapan:

Dalam jawapan, jangan lupa itu ditanya tentang sudut segi tiga itu(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: ditemui dengan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu boleh mengira sudut, dan memastikan kesamaan kanonik adalah benar

Contoh 17

Segitiga diberi dalam ruang oleh koordinat bucunya. Cari sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran

Bahagian akhir yang kecil akan ditumpukan kepada unjuran, di mana produk skalar juga "terlibat":

Unjuran vektor pada vektor. Unjuran vektor pada paksi koordinat.
Kosinus arah vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Kami menayangkan vektor pada vektor , untuk ini kami tinggalkan dari awal dan akhir vektor serenjang setiap vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan sinar cahaya jatuh secara berserenjang pada vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor ialah PANJANG segmen. Iaitu, PROJECTION ADALAH NOMBOR.

NUMBER ini dilambangkan seperti berikut: , "vektor besar" menandakan vektor YANG MANA projek, "vektor subskrip kecil" menandakan vektor HIDUP yang diunjurkan.

Entri itu sendiri berbunyi seperti ini: "unjuran vektor "a" ke vektor "menjadi"".

Apakah yang berlaku jika vektor "be" adalah "terlalu pendek"? Kami melukis garis lurus yang mengandungi vektor "be". Dan vektor "a" akan diunjurkan sudah ke arah vektor "menjadi", hanya - pada garis lurus yang mengandungi vektor "be". Perkara yang sama akan berlaku jika vektor "a" diketepikan dalam kerajaan ketiga puluh - ia masih akan mudah diunjurkan ke garisan yang mengandungi vektor "be".

Jika sudut antara vektor pedas(seperti dalam gambar), kemudian

Jika vektor ortogon, maka (unjuran ialah titik yang dimensinya diandaikan sifar).

Jika sudut antara vektor bodoh(dalam rajah, susun semula anak panah vektor secara mental), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda tolak).

Ketepikan vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila menggerakkan vektor, unjurannya tidak berubah

Arahan

Biarkan dua vektor bukan sifar diberikan pada satah, diplot dari satu titik: vektor A dengan koordinat (x1, y1) B dengan koordinat (x2, y2). Sudut antara mereka dilambangkan sebagai θ. Untuk mencari ukuran darjah sudut θ, anda perlu menggunakan definisi hasil skalar.

Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar ialah nombor yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya, iaitu (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Sekarang anda perlu menyatakan kosinus sudut daripada ini: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Hasil darab skalar juga boleh didapati menggunakan formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, kerana hasil darab dua vektor bukan sifar adalah sama dengan hasil tambah bagi vektor yang sepadan. Jika hasil darab skalar bagi vektor bukan sifar adalah sama dengan sifar, maka vektor tersebut adalah berserenjang (sudut di antara mereka ialah 90 darjah) dan pengiraan selanjutnya boleh ditinggalkan. Jika hasil darab skalar dua vektor adalah positif, maka sudut di antaranya vektor akut, dan jika negatif, maka sudutnya tumpul.

Sekarang hitung panjang vektor A dan B menggunakan formula: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Panjang vektor dikira sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya.

Gantikan nilai hasil darab skalar dan panjang vektor yang ditemui ke dalam formula untuk sudut yang diperoleh dalam langkah 2, iaitu, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Sekarang, mengetahui nilai , untuk mencari ukuran darjah sudut antara vektor anda perlu menggunakan jadual Bradis atau ambil daripada ini: θ=arccos(cos(θ)).

Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan masing-masing mempunyai koordinat (x1, y1, z1) dan (x2, y2, z2), maka satu lagi koordinat ditambah apabila mencari kosinus sudut. Dalam kes ini kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Nasihat yang berguna

Jika dua vektor tidak diplot dari satu titik, maka untuk mencari sudut di antara mereka dengan terjemahan selari, anda perlu menggabungkan permulaan vektor ini.
Sudut antara dua vektor tidak boleh lebih besar daripada 180 darjah.

Sumber:

cara mengira sudut antara vektor
Sudut antara garis dan satah

Untuk menyelesaikan banyak masalah, baik gunaan dan teori, dalam fizik dan algebra linear, adalah perlu untuk mengira sudut antara vektor. Tugas yang kelihatan mudah ini boleh menyebabkan banyak kesukaran jika anda tidak memahami dengan jelas intipati produk skalar dan nilai yang muncul sebagai hasil daripada produk ini.

Arahan

Sudut antara vektor dalam ruang vektor linear ialah sudut minimum pada , di mana penyearah vektor dicapai. Salah satu vektor dibawa di sekitar titik permulaannya. Daripada definisi, menjadi jelas bahawa nilai sudut tidak boleh melebihi 180 darjah (lihat langkah).

Dalam kes ini, agak tepat diandaikan bahawa dalam ruang linear, apabila vektor dipindahkan secara selari, sudut di antara mereka tidak berubah. Oleh itu, untuk pengiraan analisis sudut, orientasi spatial vektor tidak penting.

Hasil darab titik ialah nombor, sebaliknya skalar. Ingat (ini penting untuk diketahui) untuk mengelakkan ralat dalam pengiraan selanjutnya. Formula untuk produk skalar, terletak pada satah atau dalam ruang vektor, mempunyai bentuk (lihat rajah untuk langkah).

Jika vektor terletak di ruang angkasa, maka lakukan pengiraan dengan cara yang sama. Satu-satunya perkara ialah kemunculan istilah dalam dividen - ini adalah istilah untuk pemohon, i.e. komponen ketiga vektor. Sehubungan itu, apabila mengira modulus vektor, komponen z juga mesti diambil kira, kemudian bagi vektor yang terletak di ruang angkasa, ungkapan terakhir diubah seperti berikut (lihat Rajah 6 hingga langkah).

Vektor ialah segmen garisan dengan arah tertentu. Sudut antara vektor mempunyai makna fizikal, contohnya, apabila mencari panjang unjuran vektor pada paksi.

Arahan

Sudut antara dua vektor bukan sifar menggunakan pengiraan hasil titik. Mengikut definisi, hasil darab adalah sama dengan hasil darab panjang dan sudut di antaranya. Sebaliknya, hasil darab dalam untuk dua vektor a dengan koordinat (x1; y1) dan b dengan koordinat (x2; y2) dikira: ab = x1x2 + y1y2. Daripada kedua-dua cara ini, hasil darab titik mudah bersudut antara vektor.

Cari panjang atau modul bagi vektor. Untuk vektor a dan b kami: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Cari hasil darab dalam bagi vektor dengan mendarab koordinatnya secara berpasangan: ab = x1x2 + y1y2. Daripada takrif hasil darab titik ab = |a|*|b|*cos α, dengan α ialah sudut antara vektor. Kemudian kita mendapat bahawa x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Kemudian cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Cari sudut α menggunakan jadual Bradys.

Video-video yang berkaitan

catatan

Hasil kali skalar ialah ciri skalar bagi panjang vektor dan sudut di antaranya.

Satah adalah salah satu konsep asas dalam geometri. Satah ialah permukaan yang pernyataannya adalah benar - mana-mana garis lurus yang menghubungkan dua titiknya adalah milik sepenuhnya permukaan ini. Pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani α, β, γ, dsb. Dua satah sentiasa bersilang dalam garis lurus yang dimiliki oleh kedua-dua satah.

Arahan

Pertimbangkan separuh satah α dan β yang terbentuk di persilangan . Sudut yang dibentuk oleh garis lurus a dan dua separuh satah α dan β dengan sudut dihedral. Dalam kes ini, separuh satah membentuk sudut dihedral oleh muka, garis a yang sepanjang satah bersilang dipanggil tepi sudut dihedral.

Sudut dihedral, seperti sudut rata, dalam darjah. Untuk membuat sudut dihedral, adalah perlu untuk memilih titik O pada mukanya. Dalam kedua-duanya, dua sinar a dilukis melalui titik O. Sudut AOB yang terhasil dipanggil sudut linear bagi sudut dihedral a.

Jadi, biarkan vektor V = (a, b, c) dan satah A x + B y + C z = 0 diberikan, di mana A, B dan C ialah koordinat bagi N normal. Kemudian kosinus sudut α antara vektor V dan N ialah: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Untuk mengira nilai sudut dalam darjah atau radian, anda perlu mengira fungsi songsang kepada kosinus daripada ungkapan yang terhasil, i.e. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Contoh: cari sudut antara vektor(5, -3, 8) dan kapal terbang, diberikan oleh persamaan am 2 x - 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat vektor normal bagi satah N = (2, -5, 3). Gantikan semua nilai yang diketahui ke dalam formula di atas: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video-video yang berkaitan

Tulis satu persamaan dan asingkan kosinus daripadanya. Menurut satu formula, hasil darab skalar vektor adalah sama dengan panjangnya didarab antara satu sama lain dan dengan kosinus sudut, dan sebaliknya - jumlah hasil koordinat sepanjang setiap paksi. Menyamakan kedua-dua formula, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kosinus sudut mestilah sama dengan nisbah jumlah hasil darab koordinat dengan hasil darab panjang vektor.

Tuliskan persamaan yang terhasil. Untuk melakukan ini, kita perlu menetapkan kedua-dua vektor. Katakan ia diberikan dalam sistem Cartesian 3D dan titik permulaannya berada dalam grid. Arah dan magnitud vektor pertama akan diberikan oleh titik (X₁,Y₁,Z₁), kedua - (X₂,Y₂,Z₂), dan sudut akan dilambangkan dengan huruf γ. Kemudian panjang setiap vektor boleh, sebagai contoh, mengikut teorem Pythagoras untuk dibentuk oleh unjuran mereka pada setiap paksi koordinat: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) dan √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Gantikan ungkapan ini dalam formula yang dirumuskan dalam langkah sebelumnya dan anda mendapat kesamaan: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Gunakan fakta bahawa hasil tambah kuasa dua resdung dan co resdung daripada sudut satu nilai sentiasa memberikan satu. Oleh itu, dengan menaikkan apa yang diperoleh pada langkah sebelumnya untuk co resdung kuasa dua dan menolak daripada perpaduan, dan kemudian punca kuasa dua, anda menyelesaikan masalah. Tulis formula yang dikehendaki dalam bentuk am: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * + Y₁²²) * + Y₁²² ) )).

Hasil darab skalar bagi vektor (selepas ini dalam teks usaha sama). Rakan-rakan yang dikasihi! Peperiksaan matematik termasuk sekumpulan masalah untuk menyelesaikan vektor. Kami telah mempertimbangkan beberapa masalah. Anda boleh melihatnya dalam kategori "Vektor". Secara umum, teori vektor adalah mudah, perkara utama ialah mengkajinya secara konsisten. Pengiraan dan tindakan dengan vektor dalam kursus matematik sekolah adalah mudah, formulanya tidak rumit. Melihat kedalam . Dalam artikel ini, kami akan menganalisis tugasan pada usaha sama vektor (termasuk dalam peperiksaan). Sekarang "perendaman" dalam teori:

H Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak daripada koordinat penghujungnyakoordinat yang sepadan dengan permulaannya

Dan selanjutnya:

*Panjang vektor (modulus) ditakrifkan seperti berikut:

Formula ini mesti dihafal!!!

Mari tunjukkan sudut antara vektor:

Jelas bahawa ia boleh berbeza dari 0 hingga 180 0(atau dalam radian dari 0 hingga Pi).

Kita boleh membuat beberapa kesimpulan tentang tanda produk skalar. Panjang vektor adalah positif, jelas. Jadi tanda hasil kali skalar bergantung kepada nilai kosinus sudut antara vektor.

Kes yang mungkin:

1. Jika sudut antara vektor adalah tajam (dari 0 0 hingga 90 0), maka kosinus sudut akan mempunyai nilai positif.

2. Jika sudut antara vektor adalah tumpul (dari 90 0 hingga 180 0), maka kosinus sudut tersebut akan mempunyai nilai negatif.

*Pada sifar darjah, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang sama, kosinus adalah sama dengan satu dan, dengan itu, hasilnya akan positif.

Pada 180 o, iaitu, apabila vektor mempunyai arah yang bertentangan, kosinus adalah sama dengan tolak satu,dan hasilnya akan negatif.

Sekarang TITIK PENTING!

Pada 90 o, iaitu, apabila vektor berserenjang antara satu sama lain, kosinus adalah sifar, dan oleh itu usaha sama adalah sifar. Fakta ini (akibat, kesimpulan) digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah di mana kita bercakap tentang susunan vektor bersama, termasuk dalam masalah yang termasuk dalam bank terbuka tugas dalam matematik.

Kami merumuskan pernyataan: hasil kali skalar adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika vektor yang diberikan terletak pada garis serenjang.

Jadi, formula untuk vektor SP ialah:

Jika koordinat vektor atau koordinat titik permulaan dan penghujungnya diketahui, maka kita sentiasa boleh mencari sudut antara vektor:

Pertimbangkan tugas:

27724 Cari hasil darab dalam bagi vektor a dan b .

Kita boleh mencari hasil kali skalar bagi vektor menggunakan salah satu daripada dua formula:

Sudut antara vektor tidak diketahui, tetapi kita boleh mencari koordinat vektor dengan mudah dan kemudian menggunakan formula pertama. Oleh kerana permulaan kedua-dua vektor bertepatan dengan asal, koordinat vektor ini adalah sama dengan koordinat hujungnya, iaitu