Persamaan parabola mempunyai bentuk. Parabola - sifat dan graf bagi fungsi kuadratik

Pertimbangkan garis dalam satah dan titik yang tidak terletak pada garis ini. Dan elips, dan hiperbola boleh ditakrifkan dengan cara bersatu sebagai lokus titik yang nisbah jarak ke titik tertentu dengan jarak ke garis lurus tertentu adalah pemalar.

pangkat ε. Pada 0 1 - hiperbola. Parameter ε ialah kesipian kedua-dua elips dan hiperbola. Daripada kemungkinan nilai positif parameter ε, satu, iaitu ε = 1, ternyata tidak digunakan. Nilai ini sepadan dengan lokus titik yang sama jarak dari titik yang diberikan dan dari garis yang diberikan.

Definisi 8.1. Lokus titik dalam satah yang sama jarak dari titik tetap dan dari garis tetap dipanggil parabola.

Titik tetap dipanggil tumpuan parabola, dan garis lurus arahan parabola. Pada masa yang sama, diandaikan bahawa kesipian parabola adalah sama dengan satu.

Daripada pertimbangan geometri, ia menunjukkan bahawa parabola adalah simetri berkenaan dengan garis lurus yang berserenjang dengan directrix dan melalui fokus parabola. Garis ini dipanggil paksi simetri parabola atau ringkasnya paksi parabola. Parabola bersilang dengan paksi simetrinya pada satu titik. Titik ini dipanggil bahagian atas parabola. Ia terletak di tengah-tengah segmen yang menghubungkan fokus parabola dengan titik persilangan paksinya dengan directrix (Rajah 8.3).

Persamaan parabola. Untuk mendapatkan persamaan parabola, kita memilih pada satah asal usul di bahagian atas parabola, sebagai abscissa- paksi parabola, arah positif yang diberikan oleh kedudukan fokus (lihat Rajah 8.3). Sistem koordinat ini dipanggil berkanun untuk parabola yang sedang dipertimbangkan, dan pembolehubah yang sepadan ialah berkanun.

Mari kita nyatakan jarak dari fokus ke directrix sebagai p. Dia dipanggil parameter fokus parabola.

Kemudian fokus mempunyai koordinat F(p/2; 0), dan diretriks d diterangkan oleh persamaan x = - p/2. Lokus titik M(x; y), sama jarak dari titik F dan dari garis d, diberikan oleh persamaan

Kami kuasa dua persamaan (8.2) dan berikan yang serupa. Kami mendapat persamaan

yang dipanggil persamaan kanonik parabola.

Ambil perhatian bahawa kuasa dua dalam kes ini ialah transformasi setara bagi persamaan (8.2), kerana kedua-dua bahagian persamaan adalah bukan negatif, seperti ungkapan di bawah radikal.

Jenis parabola. Jika parabola y 2 \u003d x, bentuk yang kita anggap diketahui, dimampatkan dengan pekali 1 / (2p) di sepanjang abscissa, maka kita mendapat parabola dalam bentuk umum, yang diterangkan oleh persamaan (8.3).

Contoh 8.2. Mari kita cari koordinat fokus dan persamaan direktriks parabola jika ia melalui titik yang koordinat kanoniknya ialah (25; 10).

Dalam koordinat kanonik, persamaan parabola mempunyai bentuk y 2 = 2px. Oleh kerana titik (25; 10) berada pada parabola, maka 100 = 50p dan oleh itu p = 2. Oleh itu, y 2 = 4x ialah persamaan kanonik parabola, x = - 1 ialah persamaan directrixnya, dan tumpuan adalah pada titik (1; 0 ).

Sifat optik parabola. Parabola mempunyai yang berikut sifat optik. Jika sumber cahaya diletakkan pada fokus parabola, maka semua sinar cahaya selepas pantulan dari parabola akan selari dengan paksi parabola (Rajah 8.4). Sifat optik bermaksud bahawa pada mana-mana titik M parabola vektor biasa tangen membuat sudut yang sama dengan jejari fokus MF dan paksi absis.

Bagi pembaca yang lain, saya mencadangkan untuk menambah pengetahuan sekolah mereka dengan ketara tentang parabola dan hiperbola. Hiperbola dan parabola - adakah ia mudah? … Jangan tunggu =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur umum pembentangan bahan akan menyerupai perenggan sebelumnya. Mari kita mulakan dengan konsep umum hiperbola dan masalah pembinaannya.

Persamaan kanonik hiperbola mempunyai bentuk , di mana nombor nyata positif. Perhatikan bahawa, tidak seperti elips, syarat tidak dikenakan di sini, iaitu nilai "a" mungkin kurang daripada nilai "be".

Saya mesti katakan, secara tidak dijangka ... persamaan hiperbola "sekolah" tidak hampir sama dengan rekod kanonik. Tetapi teka-teki ini masih perlu menunggu untuk kita, tetapi buat masa ini mari kita menggaru belakang kepala kita dan ingat apakah ciri ciri lengkung yang sedang dipertimbangkan? Ayuh sebarkan di skrin imaginasi kita graf fungsi ….

Hiperbola mempunyai dua cabang simetri.

Kemajuan yang baik! Mana-mana hiperbola mempunyai sifat ini, dan kini kita akan melihat dengan kekaguman yang tulen pada garis leher garis ini:

Contoh 4

Bina hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pada langkah pertama, kami membawa persamaan ini kepada bentuk kanonik . Sila ingat prosedur biasa. Di sebelah kanan, anda perlu mendapatkan "satu", jadi kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan 20:

Di sini anda boleh mengurangkan kedua-dua pecahan, tetapi lebih optimum untuk membuat setiap pecahan tiga tingkat:

Dan hanya selepas itu untuk menjalankan pengurangan:

Kami memilih petak dalam penyebut:

Mengapakah lebih baik untuk melakukan transformasi dengan cara ini? Lagipun, pecahan sebelah kiri boleh segera dikurangkan dan dapatkan. Hakikatnya ialah dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, kami agak bernasib baik: nombor 20 boleh dibahagi dengan kedua-dua 4 dan 5. Dalam kes umum, nombor sedemikian tidak berfungsi. Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan. Di sini, dengan pembahagian, semuanya lebih sedih dan tanpa pecahan tiga tingkat tidak diperlukan lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana untuk membina hiperbola?

Terdapat dua pendekatan untuk membina hiperbola - geometri dan algebra.
Dari sudut pandangan praktikal, melukis dengan kompas ... Saya juga akan mengatakan utopia, jadi lebih menguntungkan untuk sekali lagi membawa pengiraan mudah untuk menyelamatkan.

Adalah dinasihatkan untuk mematuhi algoritma berikut, pertama lukisan selesai, kemudian komen:

Dalam amalan, gabungan putaran melalui sudut arbitrari dan terjemahan selari hiperbola sering ditemui. Keadaan ini dibincangkan dalam pelajaran. Pengurangan persamaan baris tertib ke-2 kepada bentuk kanonik.

Parabola dan persamaan kanoniknya

Sudah siap! Dia yang paling banyak. Bersedia untuk mendedahkan banyak rahsia. Persamaan kanonik parabola mempunyai bentuk , di mana ialah nombor nyata. Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam kedudukan piawainya parabola "terletak di sisinya" dan puncaknya berada di titik asal. Dalam kes ini, fungsi menetapkan cawangan atas baris ini, dan fungsi menetapkan cawangan bawah. Jelas sekali, parabola adalah simetri mengenai paksi. Sebenarnya, apa yang perlu dimandikan:

Contoh 6

Bina parabola

Keputusan: puncak diketahui, mari kita cari titik tambahan. Persamaan menentukan lengkok atas parabola, persamaan menentukan lengkok bawah.

Untuk memendekkan rekod, kami akan menjalankan pengiraan "di bawah berus yang sama":

Untuk tatatanda padat, hasilnya boleh diringkaskan dalam jadual.

Sebelum melakukan lukisan titik demi titik asas, kami merumuskan yang ketat

definisi parabola:

Parabola ialah set semua titik dalam satah yang sama jarak dari titik tertentu dan garis tertentu yang tidak melalui titik itu.

Intinya dipanggil fokus parabola, garis lurus guru besar (ditulis dengan satu "es") parabola. "pe" malar bagi persamaan kanonik dipanggil parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke directrix. Dalam kes ini. Dalam kes ini, fokus mempunyai koordinat, dan direktriks diberikan oleh persamaan.
Dalam contoh kami:

Definisi parabola adalah lebih mudah untuk difahami daripada definisi elips dan hiperbola. Untuk mana-mana titik parabola, panjang segmen (jarak dari fokus ke titik) adalah sama dengan panjang serenjang (jarak dari titik ke directrix):

tahniah! Ramai daripada anda telah membuat penemuan sebenar hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola bukanlah sama sekali graf fungsi "biasa", tetapi mempunyai asalan geometri yang jelas.

Jelas sekali, dengan peningkatan dalam parameter fokus, cabang-cabang graf akan "merebak" ke atas dan ke bawah, menghampiri paksi yang hampir tidak terhingga. Dengan penurunan nilai "pe", mereka akan mula mengecut dan meregangkan sepanjang paksi

Sipi mana-mana parabola adalah sama dengan satu:

Putaran dan terjemahan parabola

Parabola adalah salah satu garis yang paling biasa dalam matematik, dan anda perlu membinanya dengan kerap. Oleh itu, sila beri perhatian khusus kepada perenggan akhir pelajaran, di mana saya akan menganalisis pilihan biasa untuk lokasi lengkung ini.

! Catatan : seperti dalam kes dengan lengkung sebelumnya, adalah lebih tepat untuk bercakap tentang putaran dan terjemahan selari paksi koordinat, tetapi penulis akan mengehadkan dirinya kepada versi persembahan yang dipermudahkan supaya pembaca mempunyai idea asas tentang transformasi ini.

Kami memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat, di mana . Biarkan paksi melalui fokus F parabola dan berserenjang dengan directrix, dan paksi melepasi pertengahan antara fokus dan directrix. Nyatakan dengan jarak antara fokus dan directrix. Kemudian persamaan diretriks.

Nombor itu dipanggil parameter fokus parabola. Biarkan titik semasa parabola. Biarkan jejari fokus titik hiperbola. ialah jarak dari titik ke directrix. Kemudian ( lukisan 27.)

Lukisan 27.

Mengikut definisi parabola. Akibatnya,

Mari kita kuasa duakan persamaan, kita dapat:

(15)

di mana (15) ialah persamaan kanonik bagi simetri parabola tentang paksi dan melalui asalan.

Penyiasatan sifat-sifat parabola

1) Bahagian atas parabola:

Persamaan (15) dipenuhi dengan nombor dan, oleh itu, parabola melalui asalan.

2) Simetri parabola:

Biarkan ia tergolong dalam parabola, iaitu persamaan sebenar. Titik adalah simetri kepada titik mengenai paksi, oleh itu, parabola adalah simetri tentang paksi-x.

Sipi parabola:

Definisi 4.2. Sipi parabola ialah nombor yang sama dengan satu.

Oleh kerana menurut definisi parabola .

4) Tangen parabola:

Tangen kepada parabola pada titik tangen diberikan oleh persamaan

di mana ( lukisan 28.)

Lukisan 28.

Gambar parabola

Lukisan 29.

Menggunakan ESO-Mathcad:

lukisan 30.)

Lukisan 30.

a) Pembinaan tanpa menggunakan ICT: Untuk membina parabola, kami menetapkan sistem koordinat segi empat tepat dengan pusat di titik O dan segmen unit. Kami menandakan fokus pada paksi OX, kerana kami melukis sedemikian, dan arahan parabola. Kami membina bulatan pada satu titik dan dengan jejari yang sama dengan jarak dari garis lurus ke directriks parabola. Bulatan memotong garis pada titik. Kami membina parabola supaya ia melalui asal dan melalui titik. ( lukisan 31.)

Lukisan 31.

b) Menggunakan ESO-Mathcad:

Persamaan yang terhasil mempunyai bentuk: . Untuk membina baris tertib kedua dalam Mathcad, kami membawa persamaan kepada bentuk: .( lukisan 32.)

Lukisan 32.

Untuk meringkaskan kerja mengenai teori garis tertib kedua dalam matematik asas dan untuk kemudahan menggunakan maklumat tentang garis dalam menyelesaikan masalah, kami menyimpulkan semua data pada baris tertib kedua dalam Jadual No. 1.

Jadual nombor 1.

Garis tertib kedua dalam matematik asas

Nama baris pesanan ke-2	Bulatan	Ellipse	Hiperbola	Parabola
Ciri ciri
Persamaan garis
Sipi
Persamaan tangen pada titik (x 0 ; y 0 )
Fokus
Diameter garisan		Di mana k ialah cerun	Di mana k cerun	Di mana k cerun

Kemungkinan menggunakan ICT dalam kajian garis tertib kedua

Proses pemformatan yang hari ini telah merangkumi semua aspek kehidupan masyarakat moden, mempunyai beberapa bidang keutamaan, yang tentunya termasuk pemformatan pendidikan. Ia adalah asas asas untuk rasionalisasi global aktiviti intelektual manusia melalui penggunaan teknologi maklumat dan komunikasi (ICT).

Pertengahan 90-an abad yang lalu dan sehingga hari ini, dicirikan oleh watak massa dan ketersediaan komputer peribadi di Rusia, penggunaan telekomunikasi yang meluas, yang memungkinkan untuk memperkenalkan teknologi maklumat pendidikan yang dibangunkan ke dalam proses pendidikan, memperbaiki dan memodenkannya, meningkatkan kualiti pengetahuan, meningkatkan motivasi untuk belajar, menggunakan prinsip individualisasi pendidikan secara maksimum. Teknologi maklumat pendidikan adalah alat yang diperlukan pada peringkat pemformatan pendidikan ini.

Teknologi maklumat bukan sahaja memudahkan akses kepada maklumat dan membuka kemungkinan untuk kebolehubahan aktiviti pendidikan, pengindividuan dan pembezaan, tetapi juga membenarkan penganjuran interaksi semua mata pelajaran pendidikan dengan cara yang baru, membina sistem pendidikan di mana pelajar akan menjadi peserta yang aktif dan sama rata dalam aktiviti pendidikan.

Pembentukan teknologi maklumat baharu dalam rangka pelajaran mata pelajaran merangsang keperluan untuk mencipta perisian baharu dan kompleks metodologi yang bertujuan untuk meningkatkan kualiti pelajaran. Oleh itu, untuk kejayaan dan tujuan penggunaan alat teknologi maklumat dalam proses pendidikan, guru mesti mengetahui penerangan umum tentang prinsip berfungsi dan keupayaan didaktik perisian dan alat aplikasi, dan kemudian, berdasarkan pengalaman dan cadangan mereka, ” mereka ke dalam proses pendidikan.

Pengajian matematik pada masa ini dikaitkan dengan beberapa ciri dan kesukaran dalam pembangunan pendidikan sekolah di negara kita.

Krisis pendidikan matematik yang dipanggil muncul. Sebab-sebabnya adalah seperti berikut:

Dalam perubahan keutamaan dalam masyarakat dan dalam sains, iaitu pada masa kini terdapat peningkatan keutamaan kemanusiaan;

Dalam mengurangkan bilangan pelajaran matematik di sekolah;

Mengasingkan kandungan pendidikan matematik daripada kehidupan;

Dalam impak yang kecil terhadap perasaan dan emosi pelajar.

Hari ini, persoalannya masih terbuka: "Bagaimana cara paling berkesan menggunakan potensi teknologi maklumat dan komunikasi moden dalam mengajar murid sekolah, termasuk mengajar matematik?"

Komputer adalah pembantu yang sangat baik dalam mempelajari topik seperti "Fungsi Kuadratik", kerana menggunakan program khas anda boleh merancang pelbagai fungsi, meneroka fungsi, menentukan koordinat titik persilangan dengan mudah, mengira kawasan angka tertutup, dsb. Sebagai contoh, dalam pelajaran algebra dalam gred 9, khusus untuk transformasi graf (regangan, mampatan, peralihan paksi koordinat), anda boleh melihat hanya hasil beku pembinaan dan keseluruhan dinamik tindakan berturut-turut. guru dan pelajar boleh dikesan pada skrin monitor.

Komputer, seperti tiada cara teknikal lain, dengan tepat, visual dan menarik membuka model matematik yang ideal untuk pelajar, i.e. apa yang harus diperjuangkan oleh kanak-kanak dalam tindakan praktikalnya.

Berapa banyak kesukaran yang perlu dialami oleh seorang guru matematik untuk meyakinkan pelajar bahawa tangen kepada graf fungsi kuadratik pada titik sentuhan secara praktikal bergabung dengan graf fungsi tersebut. Sangat mudah untuk menunjukkan fakta ini pada komputer - cukup untuk mengecilkan selang sepanjang paksi Ox dan mendapati bahawa dalam kejiranan yang sangat kecil titik tangen, graf fungsi dan tangen bertepatan. Semua aktiviti ini dijalankan di hadapan murid. Contoh ini memberi dorongan kepada refleksi aktif dalam pelajaran. Penggunaan komputer adalah mungkin semasa menerangkan bahan baru dalam pelajaran, dan pada peringkat kawalan. Dengan bantuan program ini, sebagai contoh "Ujian Saya", pelajar boleh secara bebas menyemak tahap pengetahuannya dalam teori, melaksanakan tugas teori dan praktikal. Program adalah mudah untuk fleksibiliti mereka. Mereka boleh digunakan untuk kawalan diri dan untuk kawalan guru.

Penyepaduan yang munasabah bagi matematik dan teknologi komputer akan membolehkan pandangan yang lebih kaya dan mendalam pada proses penyelesaian masalah, kursus pemahaman corak matematik. Di samping itu, komputer akan membantu membentuk grafik, matematik dan budaya mental pelajar, dan menggunakan komputer anda boleh menyediakan bahan didaktik: kad, helaian tinjauan, ujian, dll. Pada masa yang sama, berikan peluang kepada kanak-kanak untuk berdikari. membangunkan ujian mengenai topik, di mana minat dan kreativiti.

Oleh itu, terdapat keperluan untuk menggunakan komputer, jika boleh, dalam pelajaran matematik dengan lebih meluas daripada yang sedia ada. Penggunaan teknologi maklumat akan membantu meningkatkan kualiti pengetahuan, meluaskan ufuk mengkaji fungsi kuadratik, dan oleh itu membantu mencari perspektif baru untuk mengekalkan minat pelajar dalam subjek dan topik, dan oleh itu kepada sikap yang lebih baik dan lebih prihatin. kepadanya. Hari ini, teknologi maklumat moden menjadi alat yang paling penting untuk memodenkan sekolah secara keseluruhan - daripada pengurusan kepada pendidikan dan memastikan ketersediaan pendidikan.

peringkat III

3.1. Hiperbola menyentuh baris 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Tuliskan persamaan hiperbola, dengan syarat paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

3.2. Tulis persamaan tangen kepada hiperbola

1) melalui satu titik A(4, 1), B(5, 2) dan C(5, 6);

2) selari dengan garis lurus 10 x – 3y + 9 = 0;

3) berserenjang dengan garis lurus 10 x – 3y + 9 = 0.

parabola ialah lokus titik dalam satah yang koordinatnya memenuhi persamaan

Parabola parabola:

titik F(hlm/2, 0) dipanggil fokus parabola, magnitud hlm – parameter , titik O(0, 0) – sidang kemuncak . Pada masa yang sama, langsung DARIPADA, yang mana parabolanya simetri, mentakrifkan paksi lengkung ini.

Nilai di mana M(x, y) ialah titik arbitrari parabola, dipanggil jejari fokus , lurus D: x = –hlm/2 – guru besar (ia tidak bersilang bahagian dalam parabola). Nilai dipanggil kesipian parabola.

Ciri ciri utama parabola: semua titik parabola adalah sama jarak dari directrix dan fokus (Rajah 24).

Terdapat bentuk lain persamaan parabola kanonik yang menentukan arah lain cabangnya dalam sistem koordinat (Rajah 25):

Untuk definisi parametrik parabola sebagai parameter t nilai ordinat titik parabola boleh diambil:

di mana t ialah nombor nyata arbitrari.

Contoh 1 Tentukan parameter dan bentuk parabola daripada persamaan kanoniknya:

Keputusan. 1. Persamaan y 2 = –8x mentakrifkan parabola dengan bucu pada satu titik O lembu. Cawangannya dihalakan ke kiri. Membandingkan persamaan ini dengan persamaan y 2 = –2px, kita dapati: 2 hlm = 8, hlm = 4, hlm/2 = 2. Oleh itu, tumpuan adalah pada titik F(–2; 0), persamaan directrix D: x= 2 (Gamb. 26).

2. Persamaan x 2 = –4y mentakrifkan parabola dengan bucu pada satu titik O(0; 0), simetri tentang paksi Oy. Cawangannya menghala ke bawah. Membandingkan persamaan ini dengan persamaan x 2 = –2py, kita dapati: 2 hlm = 4, hlm = 2, hlm/2 = 1. Oleh itu, tumpuan adalah pada titik F(0; –1), persamaan directrix D: y= 1 (Gamb. 27).

Contoh 2 Tentukan parameter dan jenis lengkung x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Buat lukisan.

Keputusan. Kami mengubah bahagian kiri persamaan menggunakan kaedah kuasa dua penuh:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Hasilnya, kita dapat

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Ini ialah persamaan kanonik parabola dengan bucu pada titik (–4; –3), parameter hlm= 8, cawangan menghala ke atas (), paksi x= -4. Fokus adalah pada titik F(–4; –3 + hlm/2), iaitu F(–4; 1) Guru Besar D diberikan oleh persamaan y = –3 – hlm/2 atau y= -7 (Gamb. 28).

Contoh 4 Susun persamaan parabola dengan bucu pada satu titik V(3; –2) dan fokus pada titik F(1; –2).

Keputusan. Puncak dan fokus parabola ini terletak pada garis lurus selari dengan paksi lembu(ordinat yang sama), cabang parabola diarahkan ke kiri (absis fokus kurang daripada absis bucu), jarak dari fokus ke bucu ialah hlm/2 = 3 – 1 = 2, hlm= 4. Oleh itu, persamaan yang dikehendaki

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) atau ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Tugas untuk penyelesaian bebas

saya tingkatkan

1.1. Tentukan parameter parabola dan binanya:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Tulis persamaan parabola dengan bucu pada asalan jika anda tahu bahawa:

1) parabola terletak di separuh satah kiri secara simetri mengenai paksi lembu dan hlm = 4;

2) parabola terletak secara simetri pada paksi Oy dan melalui titik itu M(4; –2).

3) directrix diberikan oleh persamaan 3 y + 4 = 0.

1.3. Tulis persamaan untuk lengkung, semua titik adalah sama jarak dari titik (2; 0) dan garis lurus x = –2.

tahap II

2.1. Tentukan jenis dan parameter lengkung.

Semua orang tahu apa itu parabola. Tetapi bagaimana untuk menggunakannya dengan betul, cekap dalam menyelesaikan pelbagai masalah praktikal, kami akan faham di bawah.

Pertama, mari kita nyatakan konsep asas yang algebra dan geometri berikan kepada istilah ini. Pertimbangkan semua jenis graf ini yang mungkin.

Kami mempelajari semua ciri utama fungsi ini. Mari kita fahami asas membina lengkung (geometri). Mari kita pelajari cara mencari bahagian atas, nilai asas lain bagi graf jenis ini.

Kami akan mengetahui: bagaimana lengkung yang diperlukan dibina dengan betul mengikut persamaan, apa yang perlu anda perhatikan. Mari kita lihat aplikasi praktikal utama nilai unik ini dalam kehidupan manusia.

Apakah parabola dan bagaimana rupanya

Algebra: Istilah ini merujuk kepada graf fungsi kuadratik.

Geometri: Ini ialah lengkung tertib kedua yang mempunyai beberapa ciri khusus:

Persamaan parabola kanonik

Rajah menunjukkan sistem koordinat segi empat tepat (XOY), ekstrem, arah cabang lukisan fungsi sepanjang paksi absis.

Persamaan kanonik ialah:

y 2 \u003d 2 * p * x,

di mana pekali p ialah parameter fokus parabola (AF).

Dalam algebra, ia ditulis secara berbeza:

y = a x 2 + b x + c (corak yang boleh dikenali: y = x 2).

Sifat dan Graf bagi Fungsi Kuadratik

Fungsi mempunyai paksi simetri dan pusat (ekstrem). Domain definisi ialah semua nilai paksi-x.

Julat nilai fungsi - (-∞, M) atau (M, +∞) bergantung pada arah cabang lengkung. Parameter M di sini bermaksud nilai fungsi di bahagian atas baris.

Bagaimana untuk menentukan ke mana cawangan parabola diarahkan

Untuk mencari arah jenis lengkung ini daripada ungkapan, anda perlu menentukan tanda di hadapan parameter pertama ungkapan algebra. Jika a ˃ 0, maka ia diarahkan ke atas. Jika tidak, turun.

Bagaimana untuk mencari bucu parabola menggunakan formula

Mencari ekstrem adalah langkah utama dalam menyelesaikan banyak masalah praktikal. Sudah tentu, anda boleh membuka kalkulator dalam talian khas, tetapi lebih baik anda boleh melakukannya sendiri.

Bagaimana untuk menentukannya? Ada formula khas. Apabila b tidak sama dengan 0, kita mesti mencari koordinat titik ini.

Formula untuk mencari bahagian atas:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Contoh.

Terdapat fungsi y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Mari cari bucu fungsi ini.

Untuk baris sedemikian:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Kami mendapat koordinat puncak (-2, -41).

Parabola mengimbangi

Kes klasik ialah apabila dalam fungsi kuadratik y = a x 2 + b x + c, parameter kedua dan ketiga ialah 0, dan = 1 - bucu berada pada titik (0; 0).

Pergerakan sepanjang paksi absis atau ordinat adalah disebabkan oleh perubahan dalam parameter b dan c, masing-masing. Peralihan garisan pada satah akan dilakukan dengan tepat mengikut bilangan unit, yang sama dengan nilai parameter.

Contoh.

Kami mempunyai: b = 2, c = 3.

Ini bermakna pandangan klasik lengkung akan beralih sebanyak 2 segmen unit di sepanjang paksi absis dan sebanyak 3 di sepanjang paksi ordinat.

Cara membina parabola menggunakan persamaan kuadratik

Adalah penting bagi pelajar sekolah untuk belajar cara melukis parabola dengan betul mengikut parameter yang diberikan.

Dengan menganalisis ungkapan dan persamaan, anda boleh melihat perkara berikut:

Titik persilangan garis yang dikehendaki dengan vektor ordinat akan mempunyai nilai yang sama dengan c.
Semua titik graf (di sepanjang paksi-x) akan simetri berkenaan dengan ekstrem utama fungsi.

Di samping itu, persimpangan dengan OX boleh didapati dengan mengetahui diskriminasi (D) bagi fungsi sedemikian:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Untuk melakukan ini, anda perlu menyamakan ungkapan dengan sifar.

Kehadiran akar parabola bergantung pada hasilnya:

D ˃ 0, kemudian x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
D \u003d 0, kemudian x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, maka tiada titik persilangan dengan vektor OX.

Kami mendapat algoritma untuk membina parabola:

menentukan arah cawangan;
cari koordinat puncak;
cari persilangan dengan paksi-y;
cari persilangan dengan paksi-x.

Contoh 1

Diberi fungsi y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Ia adalah perlu untuk membina parabola. Kami bertindak mengikut algoritma:

a \u003d 1, oleh itu, cawangan diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
bersilang dengan paksi-y pada nilai y = 4;
cari diskriminasi: D = 25 - 16 = 9;
mencari akar

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

Contoh 2

Untuk fungsi y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, anda perlu membina parabola. Kami bertindak mengikut algoritma di atas:

a \u003d 3, oleh itu, cawangan diarahkan ke atas;
koordinat ekstrem: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
dengan paksi-y akan bersilang pada nilai y \u003d -1;
cari diskriminasi: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Jadi akarnya:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Daripada mata yang diperoleh, anda boleh membina parabola.

Arahan, kesipian, fokus parabola

Berdasarkan persamaan kanonik, fokus F mempunyai koordinat (p/2, 0).

Garis lurus AB ialah directrix (sejenis kord parabola dengan panjang tertentu). Persamaannya ialah x = -p/2.

Sipi (malar) = 1.

Kesimpulan

Kami melihat topik yang dipelajari oleh pelajar di sekolah menengah. Sekarang anda tahu, melihat fungsi kuadratik parabola, bagaimana untuk mencari puncaknya, ke arah mana cawangan akan diarahkan, sama ada terdapat offset di sepanjang paksi, dan, mempunyai algoritma pembinaan, anda boleh melukis grafnya.