Подготовка к олимпиаде. Олимпиадные задания по алгебре (5 класс) на тему: Школьная олимпиада по математике

Матроскин рассказывает Печкину:
- Я пытался научить Шарика, чтобы он лаял, когда хочет есть. Провёл сто показательных тренировок.
- Ну и что, теперь он лает?
- Нет, теперь он не ест, пока я не залаю...

Сидит кот Матроскин с удочкой - рыбу ловит. Мимо едет Печкин на велосипеде:
- Что, Матроскин, всех мальков из пруда выловил?
Матроскин обиделся и говорит:
- Я мелкую отпускаю, а крупную в баночку из-под майонеза складываю!

***
Матроскин возвращается с Шариком из гостей и ругает его:
- Мало того, что ты заснул, когда баба Шура пела романс... Но ты еще и проснулся, когда она брала верхнюю ноту, и крикнул: "Да впустите же в дом собаку!"

Шарик спрашивает у охотника:
- Каким порохом ты заряжаешь патроны, когда идёшь на дикого кабана?
- Только дымным.
- Он что, сильнее бьёт?
- Нет, пока дым рассеется, я успеваю влезть на дерево...

Матроскин, мне сегодня приснился сон, что я съел целую копну травы.
- Ну мало ли кому что приснится, Шарик!
- Тогда объясни, Матроскин, куда делся мой матрас?

***

***
Коту Матроскину на День рождения подарили настоящую тельняшку. Надел он её и ходит, собой любуется. Подходит к Шарику и говорит:
- Вот скажи мне, Шарик, ты хоть знаешь, сколько полосок на тельняшке?
- Откуда ж мне знать, - отвечает Шарик, - хочешь, сейчас посчитаю...
А кот в ответ:
- Эх, Шарик, да что ж тут считать! На тельняшке всегда две полоски - СИНЯЯ и БЕЛАЯ... Эх, фотохудожничек мне нашёлся...

Матроскин с коровой Муркой останавливает такси.
- Куда тебе? - спрашивает водитель.
- Да до ближайшей деревни...
- А как же корова?
- Да вы за неё не беспокойтесь, привяжите просто сзади к бамперу.
Таксист привязал корову, поехали. Корова бежит рядом, не отстаёт. Таксист прибавил газу - не отстаёт. Глянул в зеркало и спрашивает у Матроскина:
- А что это она стала левым глазом подмаргивать?
- А это она на обгон пошла...

Шарик рассказывает Матроскину:
- Матроскин, мне сегодня приснилось, что ты подарил мне маленькую косточку...
А Матроскин отвечает:
- Вот, Шарик, а будешь меня слушать - приснится, что я подарил тебе огромную кость!!!

"Купили Шарику велосипед, чтобы в город молоко возил. Всё-таки я сделал из Шарика ездовую собаку! Кот Матроскин".

Эх, Шарик, Шарик, вот умеешь ты, скажем, коровку доить???
- Нет.
- Ну, а сено косить???
- Нет.
- Ну хотя бы носки вязать???
- Нет.
- Что же ты умеешь?
- Я, Матроскин, умею отвечать на все твои дурацкие вопросы...

Список использованной литературы:

1. Журнал "Непоседа".
2. Журнал "Классный".
3. Газета "Мир детей и подростков".
4. Журнал "Микки Маус".
5. "Весёлые школьные истории и анекдоты." Составитель Шилова Галина Петровна.
6. "Анекдоты с героями мультиков". Под редакцией Александра Алира.

По математике

Класс

Задания.

1. На прямой линии посажено 10 кустов так, что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Найдите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм.

2. В записи 1 ☼ 2 ☼ 3 ☼ 4 ☼ 5 = 100 замените «☼» знаками действия и расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство.

3. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врёт. Как-то его три октябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Борис», на третий: «Виктор». Как зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.

4. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью

6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.

5. Кот Матроскин прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол?

Ответы, указания, решения.

1. Ответ. 10 дм.

Решение. Так как посажено 10 кустов, то промежутков между ними будет 9. Поэтому расстояние между соседними кустами будет 90: 9 = 10дм.

2. Ответ. 1 · (2 + 3) · 4 · 5 = 100.

3. Ответ. Борис.

Решение. Так как мальчик дал три разных ответа, то он два раза соврал. Поэтому два дня из трёх, когда мальчику задавали вопросы, пришлись на нечётные числа. Поскольку чётные и нечётные числа месяца чередуются, это должны были быть первый и третий дни. Стало быть, второй день пришёлся на чётное число. В этот день мальчик и назвал своё настоящее имя.

4. Ответ. На расстоянии 10 км.

Решение. За 3 часа, с 9.00 до 12.00, Юра прошёл 18 км. Если он пройдет еще два километра, то он попадет домой. То есть 18 + 2 = 20 км. – это путь до места разворота и обратно. Значит, он развернулся на расстоянии

20:2 = 10 км от дома.

5. Ответ. 484.

Решение. На каёмке, не считая угловых, лежит 84 – 4 = 80 плиток. Значит, на каждой стороне лежит 20 плиток, не считая угловых, а вместе с угловыми – 22 плитки. Поэтому общее число плиток равно 22 · 22 = 484.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

По математике

Класс

Задания.

1. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

2. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались оба ложными:

а) А – не третья планета от звезды;

б) Б – вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

3. Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.

4. Как разрезать квадрат на семь треугольников, среди которых есть шесть одинаковых?

5. Есть 24 палочки. Длина первой палочки – 1 см, второй – 2 см, …, двадцать четвёртой – 24 см (длина каждой следующей палочки на 1 см больше длины предыдущей). Как, использовав все эти палочки, составить три различных квадрата? Ломать палочки нельзя, каждая палочка должна входить только в один квадрат.

Ответы, указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

1. Ответ. 0 часов. Времени не осталось.

Решение. В сутках 24 часа, из них Стрекоза спала 24: 2 = 12часов, танцевала 24: 3 = 8 часов, пела 24: 4 = 6 часов. Всего на эти дела она потратила

12+ 8 + 6 = 24 часа. Поэтому на подготовку к зиме времени не осталось.

2. Ответ. Б – первая планета, В – вторая планета, А – третья планета.

Решение. Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, а Б – не второй, поэтому Б – первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

3. Ответ. Мышь – 140г, сыр – 10г, мышонок – 30г.

Решение. Из условия следует, что удвоенный вес мыши равен 180 + 100 = 280г. Поэтому вес мыши равен 140г. Тогда мышонок и сыр вместе весят 180 – 140 = 40г. А вес сыра, согласно условию, равен четверти этого веса.

4. Решение. Два способа сделать это показаны на рис.. Есть и другие способы.

Ответ.

Решение. Разобьем палочки на три группы: от 1 до 8, от 9 до 16, от 17 до 24. В каждой группе первую палочку соединим с последней, вторую – с предпоследней, третью – с третьей с конца, оставшиеся две палочки тоже соединим. Получим в каждой группе по четыре одинаковых палки, из которых сложим квадрат. Стороны полученных квадратов: 9, 25, 41.

Замечание. Есть и другие способы сложить три квадрата.

Школьный этап олимпиады по математике

Решите уравнение (6 099 948 – 756: ((30 +х) : 336) · 201) : 407 025 = 12

Три туриста решили вместе поесть. Один из них дал две булки, другой три булки, а третий – 10 руб. Сколько из этих денег должен взять первый и сколько – второй турист?

Сумма шести последовательных четных чисел равна 3 018. Найдите эти числа

Длина прямоугольного параллелепипеда 250 мм, ширина – 120 мм, высота – 40 мм. Его разрезали на кубические сантиметры и разместили в один ряд вплотную друг к другу. Какой длины (в метрах) получился ряд?

В выражении 4+32:8+4·3 расставьте скобки так, чтобы получилось как можно большее число, как можно меньшее число.

Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр

Ответы:

х = 12

5 * 3 = 15 (р.) - стоимость булок для троих.

15: 5 = 3 (р.) - стоимость одной булки.

1 * 2 = 6 (р.) - стоимость двух булок.

6 - 5 = 1 (р.) - надо отдать первому туристу.

3 - 3 = 9 (р.) - стоимость трёх булок.

9 - 5 = 4 (р.) - надо отдать второму туристу.

Ответ: 1 рубль должен взять первый турист и 4 рубля второй

498 + 500 + 502 + 504 + 506 + 508

12 метров

Наибольшее число (4 + 32: 8 + 4) * 3 = 36. Наименьшее число (4 + 32) : [(8 + 4) * 3] = 1

Если а, в и с - это цифры трёхзначного числа, то его можно записать как
100а+10в+с. Сумма цифр - а+в+с. Уравняем сумму цифр и число:
12(а+в+с) =100а+10в+с;
12а+12в+12с=100а+10в+с;
88а-11с=2в.
88а и 11с делятся на 11, значит их разность (2в) тоже делится на 11. 2 на 11 не делится, поэтому в должно делится на 11. Но в - это цифра, из всех цифр только 0 делится на 11, в=0. Получаем
88а-11с=0,|:11
8а-с=0,
с=8а.
а и с - это цифры, значит а=1, с=8 (если а>1, то с>10).
Получили число 108.

Олимпиада по математике. 5 класс

Установите, какой цифрой оканчивается разность 43 43 - 17 17 .

Произведение четырех последовательных чисел равно 7920. Найти эти числа.

Из книги выпала какая-то часть. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней страницы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

Сумма двух чисел равна 80, а их разность равна 3. Найдите эти числа.

Расшифруйте ребус: КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА

Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий вы сможете получить из числа 1 число 100?

Ответы:

Следует поискать закономерность для последней цифры натуральной степени числа, оканчивающегося цифрой 3.Последовательность этих цифр 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... Четвертое, восьмое, двенадцатое и т.д. места занимает цифра 1.Значит, 43 40 заканчивается цифрой 1, а 43 43 - цифрой 7, далее аналогично 17 16 оканчивается цифрой 1, а 17 17 - цифрой 7. Так как оба числа 43 и 17 оканчивается одной и той же цифрой 7, то их разность оканчивается нулем.

7920 = 2*2*2*2*3*3*5*11 = 8*9*10*11

(738 – 386):2 = 176 листов

41,5 и 38,5

28375 + 28375 + 28375 = 85125.

1+2*2*2*2*2+2*2. За 7 действий.

Олимпиада по математике. 5 класс

Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц на 3 и сложить оба произведения, то в результате получится 29. Найдите это число.

Какое самое большое число можно записать четырьмя единицами?

Два путешественника одновременно подошли к реке. У берега была привязана лодка, в которой мог переправиться только один человек. Путешественники не умели плавать, но каждому из них удалось переправиться через реку. Как это могло случиться?

Разрежьте прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.

Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?

Проведите через 6 точек четыре прямые так, чтобы на каждой прямой было по три точки.

Ответы:

11 11

Путешественники подошли к реке с разных берегов.

М + П = 5Я

П = 4К

2К + П = 3Я. Из 2 и 3 ур получаем: 2К + 4К = 3Я. Я = 2К

Подставляем в 1 уравнение: М + 4К = 10К, М = 6К . Ответ. 6 кошек

Олимпиада по математике. 5 класс

1. Сколькими различными способами можно прочитать слово «Точка» на этой схеме? (начинать с «т» и спускаться вниз до «а»)

   Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4л с помощью 3-хлитрового и 5-и литрового бидона. Как это сделать?

   Счетчик автомобиля показывал 12 921. Через два часа на счетчике опять появилось число, которое читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

   Тетя Груша продает кабачки. Три кабачка она продает за 5 у.е, 4 кабачка – за 6 у.е, 5 кабачков – за 7 у.е. Ни в каком другом количестве кабачки тетя Груша не продает. Вчера она продала 100 кабачков и выручила за них 160 у.е. Сколько продаж вчера совершила тетя Груша?

   Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Ответы:

О О

Ч Ч Ч

К К К К

А А А А А Ответ. 16 способов

3) (13 031 - 12 921) : 2 = 55 км/ч

4) Пусть х продаж 3 каб по 5 у.е., у продаж – 4 каб по 6 у.е, z продаж – 5 каб по 7 у.е.

3х + 4у + 5 z = 100

5х + 6у + 7 z = 160

15х + 20у + 25 z = 500

15х + 18у + 21 z = 480. Отсюда 2у + 4 z = 20 или у + 2 z = 10 или у = 10 – 2 z

9х + 12у + 15 z = 300

10х + 12у + 14 z = 320. Отсюда х – z = 20 или х = 20 + z

Итак, х + у + z = 20 + z + 10 - 2 z + z = 30. Ответ. 30

Олимпиада по математике. 5 класс

1. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 руб. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 руб. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и один персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?

2. Расшифруйте ребус:

C И Н И Ц А

С И Н И Ц А

____________

П Т И Ч К И

3. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за полсекунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров?

4. В числе 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее семизначное число.

5. Четыре ученика – Витя, Петя, Юра и Сергей – заняли на математической Олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

а) Петя – второе, Витя – третье;

б) Сергей – второе, Петя – первое;

в) Юра – второе, Витя – четвертое.

Укажите, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть. Ответ обоснуйте.

Ответ.

Решение.

40 – 32 = 8 (руб.) – стоят два яблока или один персик;

8:2 = 4 (руб.) – стоит одно яблоко;

4+8 = 12 (руб.) – стоят одно яблоко и персик;

32 – 12 = 20 (руб.) – стоят четыре груши;

20:4 = 5 (руб.) – стоит груша.

Ответ: 4 руб., 8 руб., 5 руб.

Решение.

342 457 + 342 457 = 684 914.

Решение.

1 шаг: 240:3 = 80 (с) – скакала мама Кенгуру;

2 шаг: за 1 секунду сын прыгает на 2 метра;

3 шаг: 80×2 = 160 (м) – проскачет кенгурёнок за 80 секунд:

4 шаг: 240-160 = 80 (м) – осталось проскакать кенгурёнку, когда мама была уже под эвкалиптом;

5 шаг: 80:2 = 40 (с).

Ответ. 40 секунд.

Ответ: 2 854 106.

Ответ: I – Петя, II – Юра, III – Витя, IV – Сергей .

Олимпиада по математике. 5 класс

Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр «звездочки», нарисованной жирной линией?

В данном примере различные цифры зашифрованы различными буквами. Определите, какое равенство зашифровано: ОТВЕТ + ОЧЕНЬ = ПРОСТ

Как разложить семь алмазов в четыре одинаковые шкатулки, чтобы вес всех шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. граммов. Ответ обоснуйте.

На уроке физкультуры мальчики построились в шеренгу. Потом между каждыми двумя мальчиками встала девочка. Всего в шеренге оказалось 25 детей. Сколько мальчиков стояло в шеренге?

Кот Матроскин прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол?

Ответы.

Решение. Сторона каждого треугольника 2+2+2+2=8см, тогда периметр равен 8*8=64 см. Ответ: 64 см

Зашифрованное равенство: 34214 + 35170 = 69384.

Вес одной доли алмазов равен 7 г. Ответ: 7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4).

Уберем самого правого мальчика. Тогда мальчиков и девочек будет поровну,

то есть по 12. Значит, в шеренге стояло 12 + 1 = 13 мальчиков.

Ответ. 484.

На каёмке, не считая угловых, лежит 84 – 4 = 80 плиток. Значит, на каждой стороне лежит 20 плиток, не считая угловых, а вместе с угловыми – 22 плитки. Поэтому

общее число плиток равно 484.

Олимпиада по математике. 5 класс

1. Даны числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Расставьте их так, чтобы сумма их на каждой стороне треугольника была равна 20.

2. Как разложить гирьки весом 1, 2, ..., 9 г в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй – три, в третьей – четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым?

3. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врёт. Как-то его три ноябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Борис», на третий: «Виктор». Как зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.

4. Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.

5. Есть 24 палочки. Длина первой палочки – 1 см, второй – 2 см, …, двадцать

четвёртой – 24 см (длина каждой следующей палочки на 1 см больше длины предыдущей). Как, использовав все эти палочки, составить три различных квадрата? Ломать палочки нельзя, каждая палочка должна входить только в один квадрат.

Ответы.

Например: 9 + 6; 8 + 5 + 2; 7 + 4 + 3 + 1.

Суммарный вес гирек равен 45, поэтому в каждой коробочке суммарный вес

гирек равняется 15 г.

Борис.

Решение. Так как мальчик дал три разных ответа, он хотя бы два раза соврал. Поэтому

два дня из трёх, когда мальчику задавали вопросы, пришлись на нечётные числа. Поскольку чётные и нечётные числа месяца чередуются, это должны были быть первый и третий дни. Стало быть, второй день пришёлся на чётное число. В этот день мальчик и назвал своё настоящее имя.

Мышь – 140г, сыр – 10г, мышонок – 30г.

Решение. Из условия следует, что удвоенный вес мыши равен 180 + 100 = 280г.

Поэтому вес мыши равен 140г. Тогда мышонок и сыр вместе весят 180 – 140 = 40г. А вес

сыра, согласно условию, равен четверти этого веса.

Разобьем палочки на три группы: от 1 до 8, от 9 до 16, от 17 до 24. В каждой

группе первую палочку соединим с последней, вторую – с предпоследней, третью – с третьей с конца, оставшиеся две палочки тоже соединим. Получим в каждой группе по четыре одинаковых палки, из которых сложим квадрат. Стороны полученных квадратов: 9, 25, 41.

5.1. На уроке физкультуры мальчики построились в шеренгу. Потом между каждыми двумя мальчиками встала девочка. Всего в шеренге оказалось 25 детей. Сколько мальчиков стояло в шеренге?

Ответ. 13. Решение. Уберем самого правого мальчика. Тогда мальчиков и девочек будет поровну, то есть по 12. Значит, в шеренге стояло 12 + 1 = 13 мальчиков.

5.2. Замените буквы A, B, C, D цифрами так, чтобы получилось верное равенство АААА + ВВВ + CC + D = 2014.

Ответ. 1111 + 888 + 11 + 4 = 2014.

5.3. Составьте из шести прямоугольников 7x1, 6x1, 5x1, 4x1, 3x1, 2x1 и квадрата 1x1 прямоугольник, у которого каждая сторона больше 1.

Решение. Из прямоугольника 6x1 и квадрат 1x1 сложим прямоугольник 7x1. Аналогично сложим прямоугольники 7x1 из пар прямоугольников 5x1, 2x1 и 4x1, 3x1. Из четырех полученных прямоугольников 7x1 складывается прямоугольник 7x4.

5.4. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.

Ответ. На расстоянии 10 км. Решение. За 3 часа, с 9.00 до 12.00, Юра прошёл 18 км. Если он пройдет еще два километра, то он попадет домой. То есть 18 + 2 = 20 км. - это путь до места разворота и обратно. Значит, он развернулся на расстоянии 20:2 = 10 км от дома. 5.5. Кот Матроскин прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? Ответ. 484.
Решение. На каёмке, не считая угловых, лежит 84 - 4 = 80 плиток. Значит, на каждой
стороне лежит 20 плиток, не считая угловых, а вместе с угловыми - 22 плитки. Поэтому
общее число плиток равно 484.

Шестой класс

7.1. К Васе пришли его одноклассники. Мама Васи спросила у него, сколько пришло гостей. Вася ответил: «Больше шести», а стоявшая рядом сестренка сказала: «Больше пяти».
Сколько было гостей, если известно, что один ответ верный, а другой нет?
Ответ. 6.
Решение. Допустим, что гостей действительно больше шести. Тогда правы и Вася, и его сестра, а это противоречит условию задачи. Значит, гостей не больше шести и Вася
неправ. Но тогда должна быть права сестра, иначе снова нарушится условие задачи. Значит, гостей больше пяти. Но если их больше пяти и не больше шести, то их ровно шесть.
7.2. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей.
Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое количество гвоздей: 19 = 13 + 6
7.3. У Пети есть четыре орешка. Он всеми возможными способами брал по три орешка и взвешивал их на весах. Получилось 9 г, 14 г, 16 г и 18 г. Сколько весил каждый орешек?
Требуется найти все решения задачи и доказать, что других нет.
Ответ. 1, 3, 5, 10.
Решение. В сумме 9 + 14 + 16 + 18 = 57 вес каждого орешка сосчитан трижды, значит, суммарный вес всех орешков равен 19 г. Разность 19 - 9 = 10 - это вес одного из орешков.
Аналогично находим веса остальных орешков.
7.4. Квадрат состоит из одного внутреннего квадрата (чёрного) и четырех равных белых прямоугольников (см. рис. 2). Периметр каждого прямоугольника равен 40 см. Найдите
площадь чёрного квадрата.
Рис. 2
Ответ. 400.
Решение. Сумма длин короткой и длинной сторон прямоугольника равна 20. Но эта сумма равна стороне исходного квадрата.
7.5. Можно ли выложить в ряд 30 шариков - белых, синих и красных - так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих
подряд - хотя бы один синий, а среди любых пяти идущих подряд - хотя бы один красный?
Ответ объясните.
Ответ. Нельзя.
Первое решение. Допустим, можно. Возьмём красный шарик, не лежащий с краю (такой найдётся хотя бы в пятёрке шариков со 2-го по 6-ой). Соседние с ним шарики должны
быть белыми, иначе найдутся два соседних шарика, среди которых нет белых. Но это значит, что мы нашли три подряд идущих шарика, среди которых нет синего.
Второе решение. Разбив 30 шариков на 15 пар соседних шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 15 белых. Разбив их на 10 троек подряд идущих
шариков, убеждаемся, что среди выложенных шариков не меньше 10 синих. Наконец, разбив их же на 6 пятёрок подряд идущих шариков, видим, что среди выложенных шариков не
меньше 6 красных. Получается, что шариков должно быть не меньше, чем 15 + 10 + 6 = 31, а их только 30.

Восьмой класс

_8_klass_2014.doc Решение школьного тура олимпиады 8 класс
8.1. У Васи в кошельке лежало немного денег. Вася положил в кошелек еще 49 рублей, и сумма денег в кошельке увеличилась в 99 раз. Сколь денег стало у Васи в кошельке?
Ответ. 49 рублей 50 копеек.
Решение. Пусть вначале у Васи было x рублей. Из условия задачи получаем, что x + 49 = 99x. Решая это уравнение, получаем x = 0,5 рубля = 50 копеек.
8.2. Имеется 30 бревен длинами 3 и 4 м, суммарная длина которых равна 100 м. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длиной 1 м? (Каждым распилом
пилится ровно одно бревно.)
Ответ. 70.
Первое решение. Склеим все бревна в одно 100-метровое бревно. Чтобы его разделить на 100 частей, нужно сделать 99 распилов, из которых 29 уже было
сделано.
Второе решение. Если было m трехметровых и n четырехметровых бревен, то m + n = 30, 3m + 4n = 100, откуда m = 20, n = 10. Поэтому нужно сделать 202 + 103 = 70
распилов.
8.3. Число a таково, что прямые y = ax + 1, y = x + a и y = 3 различны и пересекаются в одной точке. Каким может быть a?
Ответ. a = 2.
Первое решение. Заметим, что при x = 1 выполняется ax + 1 = x + a = a + 1, так что точка M (1; a + 1) является общей для прямых y = ax + 1 и y = x + a. Так как прямые
различны, M - их единственная общая точка. Поэтому прямая y = 3 тоже должна проходить через неё, откуда a + 1 = 3 и a = 2. Легко видеть, что при a = 2 все три прямые действительно
различны.
Второе решение. По условию в точке пересечения a x + 1 = x + a  (a - 1)(x - 1) = 0,откуда a = 1 или x = 1. Но случай a = 1 невозможен, потому что тогда первые две прямые
совпадали бы. Дальше рассуждаем как в первом решении.