Распадающиеся уравнения. Учебник Ю

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 420, № 6, с. 744-745

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

РАСПАДАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВЕСЕЛОВА-НОВИКОВА

Поступило 14.02.2008 г.

Уравнение Веселова-Новикова

и, = э3 и + Э3 и + з Э(vu) + зЭ(vu) = о, Э V = Э и,

где Э = (Эх - ¿Эу), Э = 1 (Эх + ¿Эу), является двумерным обобщением уравнения Кортевега-де Фриса (КдФ)

и, = 4 иххх + виих,

в которое оно переходит в одномерном пределе: V = и = и(х). Уравнение (1) задает деформации двумерного оператора Шредингера

задает преобразование решения ф уравнения Нф = 0 в решение б уравнения Н б = 0, где

Н = ЭЭ + и, и = и + 2 ЭЭ 1п ш.

В одномерном пределе преобразование Мутара сводится к известному преобразованию Дарбу.

Преобразование Мутара расширяется до преобразования решений системы

Нф = 0, ф(= (Э3 + Э3 + 3 VЭ + 3 V *Э)ф, ^^^

где Э V = Эи, ЭV* = Э и, которая инвариантна относительно преобразования (расширенного преобразования Мутара)

= ~|{(ф Эю- ю Эф)dz- (ф Эю- ю Эф)dz +

вида Н1 = НА + 5Я, где А, В - дифференциальные операторы. Такие деформации сохраняют "спектр" оператора Н на нулевом уровне энергии , преобразуя решения уравнения

Нф = (ЭЭ + и)ф = 0 (3)

согласно (Эг + А)ф = 0.

Существует метод построения новых решений (и, ф) уравнения (3) по старым решениям (и, ф) этого уравнения, который сводится к квадратурам, - преобразование Мутара. Оно состоит в следующем: пусть задан оператор Н с потенциалом и и решение ш уравнения (3): Нш = 0. Тогда формула

Ш |[(ф Эш - ш Эф) dz - (ф Эш - ш Эф) dz ]

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск

Красноярский государственный педагогический университет

+ [ф Э ю - ю Э ф + ю Э ф - ф Э ю +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (Э ф Эш - Эф Э ш)-2 (Э ф Эш - Эф Э ш) +

3V(ф Эш - ш Эф) + 3 V*(ш Эф - ф Эш)]dt},

и ^ и + 2ЭЭ 1пш, V ^ V + 2Э21пш,

V* ^ и* + 2Э21пш,

где ш удовлетворяет(4).

Уравнение Веселова-Новикова (1) является

условием совместности системы (4) при V* = V.

При вещественности решения ш условия и = и и

V* = V сохраняются и расширенное преобразование Мутара переводит вещественные решения и

уравнения (1) в другие вещественные решения и этого уравнения.

Все рациональные солитоны уравнения КдФ получаются итерациями преобразования Дарбу из потенциала и = 0 . При этом все получающиеся потенциалы сингулярны.

В двумерном случае аналогичная конструкция может приводить к несингулярным и даже быстро убывающим потенциалам уже после двух ите-

РАСПАДАЮЩИЕСЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

раций. А именно, пусть и0 = 0 и юь ю2 - вещественные решения системы (4):

ю, = Г(г, г) + /(г, г), = я(г, г) + я(г, г), (5)

где / и я голоморфны по г и удовлетворяют уравнениям

fг = Г ггг" яг = яггг"

Каждая из функций юь ю2 задает (расширенное) преобразование Мутара потенциала и = 0 и отвечающих ему решений системы (4). Обозначим их через Мю и Ма. Полученные потенциалы мы

обозначим через и1 = Мю (и0), и2 = Мю (и0).

Пусть б1 е Мю (ю2), т.е. б1 получается из ю2 преобразованием М ю. Заметим, что преобразование Мутара для ф зависит от постоянной интегрирования. Мы выбираем постоянную такой, чтобы б1 была вещественной функцией. Выбор постоянной позволяет часто контролировать и несингулярность итерированного потенциала (мы будем это использовать в конкретных примерах).

Простая проверка показывает, что б2 =--б1 е

е Мю (юх). Имеет место известная лемма, которая верна для произвольного потенциала и0.

Лемма 1. Пусть и12 = М01 (их) и и21 = М02 (и2). Тогда и12 = и21.

Для случая и0 = 0 имеет место Лемма 2. Пусть ю1 и ю2 имеют вид (5). Тогда потенциал и = Мб (Мю (и0)), где и0 = 0 и б1 е Мю (ю2), задается формулой

и = 2ЭЭ 1пI((/Я - яГ) + }((f "Я - fя")йг + + (ГЯ - Г Я) йг) +1(Г" я - fя"" + 2 (f "Я" - Г Я) + + ГЯ " "- Г " "я + 2 (г я - г я")) йг).

Отметим, что даже для стационарных начальных решений ю1, ю2 системы (4) мы можем получить решение уравнения Веселова-Новикова с нетривиальной динамикой по г.

Теорема 1. Пусть U (z, z) - рациональный потенциал, получающийся двукратным преобразованием Мутара из ю1 = iz2 - i~z , ffl2 = z2 + (1 +

I)z + ~z + (1 - i) z. Потенциал U несингулярен и убывает как r-3 при r ^ Решение уравнения Веселова-Новикова (1) с начальными данными

U\t = 0 = U становится сингулярным за конечное время и имеет особенность вида

(3 х4 + 4 х3 + 6 х2 у2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Замечание. Уравнение Веселова-Новикова инвариантно относительно преобразования t ^ -t, z ^ -z. Легко заметить, что решение этого

уравнения с начальными данными U(z, z, 0) = U (-z, - z) является регулярным при всех t > 0.

Рациональный потенциал (1), приведенный в работе , убывает как r-6 и дает стационарное несингулярное решение уравнения Веселова-Новикова. При выборе f (z) = a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g(z) = b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t легко получить решения уравнения Веселова-Новикова, убывающие на бесконечности, несингулярные при t = 0 и имеющие особенности при конечных временах t > t0.

Заметим, что решения уравнения Кортевега-де Фриса с гладкими быстроубывающими начальными данными остаются несингулярными при t > 0 (см., например, ).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06-01-00094 для И.А.Т. и 06-01-00814 для С.П.Ц.).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Веселое АП, Новиков С П. // ДАН. 1984. Т. 279. № 1. С. 20-24.

2. Дубровин Б А., Кричевер И.М., Новиков СП. // ДАН. 1976. Т. 229. № 1. С. 15-19.

Учитель приветствует учащихся и объявляет:

Сегодня мы продолжим с вами работать над темой: целые уравнения

Нам предстоит закрепить навыки решения уравнений, имеющих степень выше второй; узнать о трех основных классах целых уравнений, овладеть способами их решения

На обратной стороне доски двое учащихся уже подготовили решение №273 и готовы ответить на вопросы учеников

Ребята, я предлагаю немного вспомнить те теоретические сведения, которые мы с вами узнали на предыдущем уроке. Прошу вас ответить на вопросы

Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите примеры

Как найти степень целого уравнения?

К какому виду можно привести уравнение первой степени

Что будет являться решением такого уравнения

К какому виду можно привести уравнение второй степени?

Как решить такое уравнение?

Сколько оно будет иметь корней?

К какому виду можно свести уравнение третьей степени?

Уравнение четвертой степени?

Сколько они могут иметь корней?

Сегодня ребята мы больше узнаем о целых уравнениях: изучим способы решения 3 основных классов уравнений:

1)Биквадратные уравнения

Это уравнения вида
, где х- переменная, а,в,с-некоторые числа и а≠0.

2)Распадающиеся уравнения, которые сводятся к виду А(х)*В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно Х.

Распадающиеся уравнения вы уже частично решали на предыдущем уроке.

3)Уравнения, решаемое при помощи замены переменной.

ИНСТРУКТАЖ

Сейчас каждая группа получит карточки, в которых подробно описан метод решения, вам необходимо совместно разобрать эти уравнения и выполнить задания по данной теме. В своей группе сверить ответы с ответами товарищей, найти ошибки и прийти к единому ответу.

После того, как каждая группа проработает свои уравнения, надо будет объяснить их другим группам у доски. Подумайте, кого вы делегируете от группы.

РАБОТА В ГРУППАХ

Учитель во время групповой работы наблюдает, как ребята рассуждают, сложились ли команды, появились ли лидеры у ребят.

При необходимости оказывает помощь. Если какая-то группа справилась с заданием раньше других, то у учителя есть в запасе еще уравнения из этой карточки повышенной сложности.

ЗАЩИТА КАРТОЧКИ

Учитель предлагает определиться, если ребята еще этого не сделали, кто будет защищать карточку у доски.

Учитель может во время работы лидеров корректировать их речь, если они допускают ошибки.

Итак, ребята,вы прослушали друг друга, на доске записаны уравнения для самостоятельного решения. Принимайтесь за дело

УР. Iгр.

IIгр.

IIIгр.

Решать нужно те уравнения, которых у вас нет.

№276(б,г), 278(б,г), 283(а)

Итак ребята, сегодня мы с вами изучали решение новых уравнений в группах. Как вы думаете, наша работа удалась?

Достигли ли мы цели?

А что вам мешало в работе?

Учитель оценивает самых активных ребят.

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

В ближайшее время целесообразно провести самостоятельную работу, содержащую уравнения, разобранные на данном уроке.

Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)

Определение 47.16. Поверхность второго порядка называется распадающейся, если она состоит из двух поверхностей первого порядка.

В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную уравнением

Левую часть равенства (35.21) можно разложить на множители

(47.36)

Таким образом, точка лежит на поверхности, заданной уравнением (35.21) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют одному из следующих уравнений или . А это – уравнения двух плоскостей, которые согласно параграфу 36 (см.п.36.2, 10-ая строка таблицы), проходят через ось аппликат OZ. Следовательно, уравнение (35.21) задаёт распадающуюся поверхность, а точнее – две пересекающихся плоскости.

Задача: Доказать, что если поверхность одновременно является и цилиндрической, и конической, а также состоит более, чем из одной прямой линии, то она распадается, т.е. содержит в себе некоторую плоскость.

Рассмотрим теперь уравнение (35.30)

Его можно разложить на два линейных уравнения и . Таким образом, если точка лежит на поверхности, заданную уравнением (35.30), то её координаты должны удовлетворять одному из следующих уравнений: и . А это, согласно параграфу 36 (см. п.36.2 6-я строка таблицы), является уравнением плоскостей, параллельных плоскости . Таким образом, уравнение (35.30) задаёт две параллельные плоскости и тоже является распадающейся поверхностью.

Отметим, что всякую пару плоскостей и можно задать следующим уравнением второго порядка . Уравнения же (35.21) и (35.30) – это канонические уравнения двух плоскостей, то есть их уравнения в специально подобранной системе координат, где они (эти уравнения) имеют наиболее простой вид.

Уравнение же (35.31)

вообще эквивалентно одному линейному уравнению у = 0 и представляет собой одну плоскость (согласно параграфу 36 п.36.2, 12-ая строка таблица, это уравнение задаёт плоскость ).

Отметим, что всякая плоскость можно задать и следующим уравнением второго порядка .

По аналогии с уравнением (35.30) (при ) иногда говорят, что равенство (35.20) задаёт две слившиеся параллельные плоскости.

Переходим теперь к вырожденным случаям.

1.Уравнение (35.20)

Заметим, что точка M(x, y, z) принадлежит множеству, заданному уравнением (35.20), тогда и только тогда, когда её первые две координаты х=у=0 (а её третья координаты z может быть какой угодно). А это означает, что уравнение (35.20) задаёт одну прямую линию – ось аппликат OZ.

Отметим, что уравнение всякое прямой линии (см. параграф 40, п.40.1, а также параграф 37, система (37.3)) можно задать следующим уравнением второго порядка . Равенство же (35.20) является каноническим уравнением второго порядка для прямой линии, т.е. её уравнением второго порядка в специально подобранной системе координат, где оно (это уравнение) имеет наиболее простой.

2. Уравнение (47.7)

Уравнению (47.7) может удовлетворять лишь одна тройка чисел x=y=z=0. Таким образом, равенство (47.7) в пространстве задаёт лишь одну точку О (0; 0; 0) – начало координат; координаты никакой другой точки пространства равенству (47.7) удовлетворять не могут. Отметим также, что множество, состоящие из одной точки можно задать следующим уравнением второго порядка:

3. Уравнение (35.23)

А этому уравнению вообще не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, т.е. оно определяет пустое множество . По аналогии с уравнением (33.4)

(см. п. 47.5, определением 47.8), его ещё называют мнимым эллиптическим цилиндром.

4.Уравнение (35.32)

Этому уравнению также не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, поэтому и оно определяет пустое множество. По аналогии со сходным уравнением (35.30), эту «поверхность» ещё называют мнимыми параллельными плоскостями.

5. Уравнение (47.22)

И этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, и, следовательно, и оно определяет пустое множество . По аналогии с равенством с равенством (47.17) (см. п. 47.2), это множество ещё называют мнимым эллипсоидом.

Все случаи рассмотрены.

«Решение уравнений высших степеней» - Что значит решить уравнение? Задания первого этапа. РАЗМИНКА (проверка д/з). Решение уравнений высших степеней. Какие виды уравнений записаны на доске? Физкультминутка. II этап Самостоятельная работа вариант 1 вариант 2. Что называется корнем уравнения? Схема решения линейного уравнения квадратного уравнения биквадратного уравнения.

«Методы решения уравнений и неравенств» - Древний Египет. Кубические уравнения. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Идея однородности. Графический способ решения уравнений, содержащих модуль. Неравенства с модулем. Решение уравнений относительно коэффициентов. Исходное неравенство не содержит ни одного решения. Сумма квадрата.

«Уравнения и неравенства» - Подстановка. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций. При каком значении а число корней уравнения. "Графический способ. Заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций. Решения уравнений и неравенств". Найти наименьшее натуральное решение неравенства.

«Дробные уравнения» - Решить получившееся уравнение. Квадратное уравнение имеет 2 корня, если…… Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения. … Твое письмо. Высокая душа». Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. И помни – в человеке что главное? Дробные рациональные уравнения. Сколько корней имеет данное уравнение? 4. Как называется данное уравнение?

«Решение логарифмических уравнений» - Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода. Вычислите значения выражения. Определение: Обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.

«Методы решения логарифмических уравнений» - Найдите. Решение логарифмических уравнений. Что называется логарифмом. Систематизировать знания учащихся. Творческая работа. Найдите ошибку. Система уравнений. Решение логарифмических уравнений различными методами. I вариант II вариант. Заданная функция. Метод введения новой переменной. Сравните. Методы решения логарифмических уравнений.

Всего в теме 49 презентаций