6 класс

УРОК № 12. Глава 1 . Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема . Прямая и обратная пропорциональность. С/р № 3.

Цель . Проверить знания учащихся по теме «Пропорции». Дать определение прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин. Научится решать задачи по данной теме.

Ход урока.

Вариант 1. Вариант 1.

Решить пропорцию: Решить пропорцию:

1)
, 1)
,

,
,

. Ответ :
.
. Ответ :
.

2) , 2)
,

,
,

. Ответ : .
. Ответ :
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Ответ :
.
. Ответ :
.

Объяснение нового материала.

Прямая и обратная пропорциональность.

Мультимедийная доска. Электронное приложение. Каталог. Анимация. Расход электроэнергии в квартире. (1 мин 31 секунды)

(Слайд 2) . Пусть ручка стоит 3 р. (это цена). Тогда легко рассчитать стоимость двух, трех и т.д. ручек по формуле: .

Количество ручек, шт.

Стоимость, р.

Заметим, что с увеличением количества ручек в несколько раз их стоимость увеличивается во столько же раз.

Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

(Слайд 3) . Определение. Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

(Слайд 4) . Примеры прямо пропорциональных величин:

1. Периметр квадрата и длина стороны квадрата – прямо пропорциональные величины.
.

2. Если скорость движения постоянна, то пройденный путь и время движения – прямо пропорциональные величины.
.

3. Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – прямо пропорциональные величины.
.

4. Выручка кассы кинотеатра прямо пропорциональна количеству проданных билетов при одинаковой цене. И т.д.

(Слайд 5) . Задача 1 . За 5 тетрадей в клетку заплатили 40 р. Сколько заплатят за 12 таких же тетрадей?

Кол-во Стоимость

5 тетрадей – 40 р. Прямая пропорциональность

12 тетрадей – х р.

Решение.

Т.к. величины прямо пропорциональны равно

,

,

.

96 р. заплатят за 12 тетрадей. Ответ : 96 р.

(Слайд 6) . Хотят купить на 120 р. несколько одинаковых книг. Тогда легко рассчитать количество книг по 10 р., 20 р., 30 р. 40 р. и т.д. по формуле:
.

Цена, р.

Количество книг, шт.

Заметим, что с увеличением цены книги в несколько раз их количество уменьшается во столько же раз.

Говорят, что количество купленных книг обратно пропорционально их цене.

(Слайд 7) . Определение. Две величины называются обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению значений другой величины.

(Слайд 8) . Примеры обратно пропорциональных величин:

1. Если пройденный путь постоянен, то скорость движения и время движения – обратно пропорциональные величины.
.

2. Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – обратно пропорциональные величины.
.

(Слайд 9) . Задача 2 . 6 рабочих выполнят работу за 5 часов. За какое время справятся с этой работой 3 рабочих?

Кол-во Время

6 рабочих – 5 ч Обратная пропорциональность

3 рабочих – х ч

Решение.

Т.к. величины обратно пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

,

,

.

За 10 ч справятся с этой работой 3 рабочих. Ответ : 10 ч.

Алгоритм решения задач.

Составить краткую запись и определить вид пропорциональности. (Одноименные величины записываются друг под другом)

Составить пропорцию.

• Если две величины прямо пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

  Если две величины обратно пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Найти неизвестный член пропорции.

Проанализировать полученный результат и записать ответ.

Решение упражнений.

Уч.с.21 № 75(а) . В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 300 г этого раствора?

Р-р Соль

100 г – 4 г Прямая пропорциональность

300 г – х г

Решение.

Т.к. величины прямо пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

,

,

.

12 г соли содержится в 300 г этого раствора. Ответ : 12 г.

Уч.с.22 № 88 . Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают эту же работу 9 человек, работающие так же успешно, как и первые?

Кол-во Время

6 человек – 18 дн. Обратная пропорциональность кг богатой железом руды. Сколько руды заменяют 4 т металлолома?

Домашнее задание. § 1.5 (выучить теорию). № 73, 75(б), 77 (а), 84(б).

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:

1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);

2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;

3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;

4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.

Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.

Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.

Мы получили уравнение: 3· (7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у . Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный .

Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной . у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х . Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.

Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода уравнений

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки . При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) - решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.

Алгоритм решения способом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Пример

Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18

Решение:

1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);

2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.

{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспомним, что такое система уравнений.

Система двух уравнений с двумя переменными - это записанные друг под другом два уравнения, объединённые фигурной скобкой. Решить систему - это значит найти такую пару чисел, которая будет являться решением и первого, и второго уравнения одновременно.

В этом уроке познакомимся с таким способом решения систем, как способподстановки.

Давайте рассмотрим систему уравнений:

Можно решить эту систему графически. Для этого нам надо будет построить в одной системе координат графики каждого из уравнений, преобразовав их к виду:

Затем найти координаты точки пересечения графиков, которые и будут являться решением системы. Но графический способ далеко не всегда удобен, т.к. отличается малой точностью, а то и вовсе недоступностью. Попробуем рассмотреть нашу систему повнимательнее. Теперь она имеет вид:

Можно заметить, что левые части уравнений равны, а значит, должны быть равны и правые. Тогда мы получим уравнение:

Это знакомое нам уравнение с одной переменной, которое мы решать умеем. Перенесём неизвестные слагаемые в левую часть, а известные - в правую, не забыв поменять знаки +,- при переносе. Получим:

Теперь подставим найденное значение х в любое уравнение системы и найдём значение у. В нашей системе удобнее использовать второе уравнение у = 3 - х, после подстановки получим у = 2. А теперь проанализируем выполненную работу. Сначала мы в первом уравнении выразили переменную у через переменную х. Затем полученное выражение - 2х + 4 подставили во второе уравнение вместо переменной у. Потом решили полученное уравнение с одной переменной х и нашли ее значение. И в заключении использовали найденное значение х для нахождения другой переменной у. Тут возникает вопрос: а обязательно ли было выражать переменную у из обоих уравнений сразу? Конечно нет. Мы могли выразить одну переменную через другую только в одном уравнении системы и использовать его вместо соответствующей переменной во втором. Причём выразить можно любую переменную из любого уравнения. Здесь выбор зависит исключительно из удобства счёта. Подобный порядок действий математики назвали алгоритмом решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.Вот как он выглядит.

1.Выразить одну из переменных через другую в одном из уравнений системы.

2.Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы.

3.Решить полученное уравнение с одной переменной.

4.Найденное значение переменной подставить в выражение, полученное в пункте первом, и найти значение другой переменной.

5.Записать ответ в виде пары чисел, которые были найдены на третьем и четвертом шаге.

Давайте рассмотрим ещё один пример. Решить систему уравнений:

Здесь удобнее выразить переменную у из первого уравнения. Получим у = 8 - 2х. Полученное выражение надо подставить вместо у во второе уравнение. Получим:

Выпишем это уравнение отдельно и решим его. Сначала раскроем скобки. Получим уравнение 3х - 16 + 4х = 5. Соберём неизвестные слагаемые в левой части уравнения, а известные - в правой и приведём подобные слагаемые. Получим уравнение 7х = 21, отсюда х = 3.

Теперь, используя найденное значение х, можно найти:

Ответ: пара чисел (3; 2).

Таким образом, на этом уроке мы научились решать системы уравнений с двумя неизвестными аналитическим, точным способом, не прибегая к сомнительному графическому.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.