Сложные проценты в задачах егэ.

Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.

Задачи на проценты учат решать с 5 класса.

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:

нахождение процента от числа,
нахождение числа по его проценту,
нахождение процентного отношения.

На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название - процент.

Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра.

Один процент - это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 . а

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

Как найти 1% от числа?

Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

25% = 0,25;
120 . 0,25 = 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах - 25%.

Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

66: 60 = 1,1 - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.

Ответ: 110%.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

6+ 34 =40 (кг) - масса всего сплава.
34: 40 = 0,85 = 85 (%) - сплава составляет медь.

Ответ: 85%.

Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?

100 - 20 = 80 (%) - после весны.
80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - после лета.
104 - 104 . 0,2 = 83,2 (%) - после осени.
83,2 + 83,2 . 0,1 = 91,52 (%) - после зимы.

Ответ: похудел на 8,48%.

Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?

100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
20 . 0,01 = 0,2 (кг) - сухого вещества.
100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
0,2: 0,02 = 10 (кг) - стало крыжовника.

Ответ: 10 кг.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.

0,75 .1,25х= 0,9375х,

тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.

х - 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 . 100% = 6,25%

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А: В) . 100%.

Пример. Найти число, если 15% его равны 30.

15% = 0,15;
30: 0,15 = 200.

х - данное число;
0,15 . х = 300;
х = 200.

Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?

Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480: 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т.

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

1 кг сушеных грибов - это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг: 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг: 0,05=20 кг.

Ответ: 20 кг.

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
2,2: 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% - начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.

100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
300 . 1,04 = 312 (тыс. р) - величина вклада через 1 месяц.
312 . 1,04 = 324,48 (тыс. р) - величина вклада через 2 месяца.
324,48 . 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.

Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300.1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) - величина вклада через 3 месяца.

Ответ: 337 459,2 рубля

Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?

Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.

Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов - скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?

Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 - 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.

1 способ.

400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400: 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 . 125 = 500 (руб.)

2 способ.

Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 . 1,25 = 500 или 400 . 125/100 = 500.

3 способ.

Применение свойства пропорции:
400 руб. - 100 %
х руб. - 125 %, получим х = 125 . 400 / 100 = 500 (руб.)

Ответ: 500 рублей.

Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?

Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:

57 кг - 100 %
х кг - 150 %, получим х = 57 . 150 / 100 = 85,5 (кг)

Ответ: 85,5 кг.

Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?

1 способ.

Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 - 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 . 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

2 способ.

Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А - 0,52А = 0,48А.

Составим пропорцию:
А - 100%
0,48А - х %, получим х = 0,48А. 100 / А = 48 (%).

Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 - 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.

1 способ.

680: 85 = 8 (руб.) - в 1%
8 . 100 = 800 (руб.) - стоил товар до распродажи.

2 способ.

Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680: 85 . 100 = 800 (руб.) или 680: 0,85 = 800 (руб.)

3 способ.

С помощью пропорции:
680 руб. - 85 %
х руб. - 100 %, получим х = 680 . 100 / 85 = 800 (руб.)

Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.

Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».

Самые простые задачи этого типа приведены ниже.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
10: 25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
15: 25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.

Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.

концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина;
процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация.
Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.

Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К - концентрация вещества;
P - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные - 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?

Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 - 75 = 25 (%), а высушенные - 25%, то сухого вещества в них будет 100 - 25 = 75 (%).

При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:

Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 . х

Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 . 45 = 33,75

Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:

0,25 . х = 33,75;
х = 33,75: 0,25;
х = 135 (кг) - требуется свежих фруктов.

Ответ: 135 кг.

Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 . х
II у 60% = 0,6 0,6 . у
вода 2 - -
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 . (х + у + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9 . 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 . (х + у + 2)

Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:

0,7 . х + 0,6 . у = 0,5 . (х + у + 2) и 0,7 . х + 0,6 . у + 1,8 = 0,7 . (х + у + 2).

Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.

Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.

Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни - столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:

3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.

Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 - 100%
3в/2 - х %, получим х = (3 . 100 . в.3)/(2 . 5 . в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.

Значит, на 100 - 90 = 10 (%) - килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).

Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 - 0,01р).

Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

1 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 - х) %.

Составим пропорцию
5000 руб. - 100%
у руб. - (100 - х)%, получим у = 5000 . (100 - х) / 100 = 50 . (100 - х) рублей - стоимость товара после первого понижения.

Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 . (100 - х) руб. - 100%
z руб. - (100 - х)%, получим z = 50 . (100 - х) (100 - х) / 100 = 0,5 . (100 - х)2 рублей - стоимость товара после второго понижения.

Получим уравнение 0,5 . (100 - х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .

2 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 . (1 - 0,01х)2 = 4050.

Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)

Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?

Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
3000 . (1 + 0,01х)2 = 3630.

Решив его, получим, что х = 10 %.

Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:

(1 + 0,01 х)(1 - 0,01 х)А = (1 - 0,09)А,
1 - (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.

Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.

Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.

Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А - А/15 - 0,01А = 14А/15.

Через 2 месяца получаем: 1,01. 14А/15.

Второй платеж А/15 + 0,01. 14А/15.

Тогда долг после второго платежа 13А/15.

Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:

А/15 + 0,01. 8А/15 = А/15 . (1 + 0,08) = 1,08А/15.

А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:

1,08А/15 = 108,

А=1500 (тыс. руб.) - исходная сумма долга.

2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.

Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:

(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01. 14А/15) + (А/15 + 0,01. 13А/15) + … + (А/15 + 0,01. А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01. 120А)/15 = 1,08А.

Значит, 1,08 . 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 рублей.

Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

1) Пусть А - сумма кредита, 1 % = 0,01.

Тогда 1,01А долг после первого месяца.

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А - А/24 - 0,01А = А - А/24 = 23А/24.

При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Через 2 месяца получаем: 1,01. 23А/24.

Второй платеж А/24 + 0,01. 23А/24.

Тогда долг после второго платежа 1,01. 23А/24 - А/24 - 0,01. 23А/24 = 23А/24(1,01 - 0,01) - А/24 = 23А/24 - А/24 = 22А/24.

Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А. 24/24 + А/24 + 0,01. 23А/24 + А/24 + 0,01. 22А/24 + … + А/24 + 0,01. 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.

А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей - планируется взять в кредит.

Ответ: 300000 рублей.

Поговорим о задачах №19 ЕГЭ

Уже два года во вторую часть добавлена задача c экономическим содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.

Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n -го этапа значение некоторой величины А , исходное значение которой равнялось А 0 , определяется формулой:

При увеличении и

При уменьшении

Зная, что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти

эквивалентную ей месячную процентную ставку.

Решение:

Если положить в банк A рублей, то через год получим: A 1 = A 0 (1 +0,12)

Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х , то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев) А n = A 0 (1 + 0,01х) 12

Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1.12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1)·100% ≈ 0.9488792934583046%

Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.

Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть сумма кредита равна а , ежегодный платеж равен х рублей, а годовые составляют k % . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m =1+ 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит : а 1 = am - х. После второй выплаты сумма долга

составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При а = 9930000 и k =10 , получаем т =1,1 и

Ответ : 3993 000 рублей.

Теперь когда мы разобрались с этим предложенным во всех решебниках решением, давайте посмотрим на другое решение.

Пусть F = 9 930 000 – величина кредита, x – искомая величина ежегодного платежа.

Первый год:

Долг: 1,1F ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1F-х .

Второй год:

Долг: 1,1(1,1F-х) ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1(1,1F-х)-х .

Третий год:

Долг: 1,1(1,1F-х)-х );

Платеж: х ;

Остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.

Единственное уравнение

1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F =3,31х, х=3993000

Ответ: 3 993 000 рублей.

Однако-1 ! Если предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%. Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились. Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не сработает.

31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

Пусть а – искомая величина, k% – процентная ставка по кредиту, х – ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k . После первой выплаты сумма долга составит: а 1 = аm – х . После второй выплаты сумма долга составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию Андрей выплатил долг за три года,

то есть а 3 = 0 , откуда.

При x = 3 460 600, k% = 10% , получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).

Ответ: 8 606 000 рублей.

31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?

Решение

Пусть k % – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01 k ) – множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке; x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – размеры первого и последнего трáншей.

После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = ma – x 1 .

После второй выплаты сумма долга составит: a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . По условию, a 2 = 0 . Уравнение надо будет решить сначала относительно m , разумеется взяв только положительный корень:

100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Вот где начинаются трудности.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Тогда.

Ответ: 11%.

31 декабря 2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?

Решение

После двух лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

После четырех лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

Откуда

тогда.

Ответ: 12,5%.

31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение

Воспользуемся результатом из задачи 2.

Искомая разность х 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 рублей.

Ответ: 1 036 00 рублей.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Надо понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший период времени, что и требуется условием.

Попробуем решать задачу в лоб.

Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.

Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Ответ: 4 месяца.

Решим задачу стандартным методом.

Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a x ≤ 0 .

Пусть x – искомая величина, a = 900 000 – сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k) – ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле, получим неравенство: ≤0 ;

Получили неприятное неравенство, но верное.

Целую часть числа берем потому, что число платежей не может быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем (потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.

Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).

Через год долг банку увеличится ровно в х раз и станет равным 4х рублей.

Поделим его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х рублей.

Известно, что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.

Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х 2 .

Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то

х 2 = 4·1,21 х = 2·1,1 х = 2,2

Коэффициент х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.

А это означает, что процент годовых у банка такой: 220% - 100%

Ответ: 120%

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

Пусть фиксированная вносимая сумма х рублей.

Тогда после проведения всех операций, попрошестию первого года, сумма на вкладе стала

+х

После 2 года

После 3 года

После 4 года

После 5 года

Так как к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +х·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Ответ: 210рублей.

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение:

От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).

Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p рублей.

Поделим её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.

Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.

Итак, число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?

Таким образом, найден второй повышающий коэффициент x банка.

Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:

Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

p · x = p ·( p +0,4)=1,92

Уже сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.

Но продолжим, однако, решать уравнение:

10p ·(10p+4)=192 пусть 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, т.е. р=1,2; а х=1,6

Ответ: 60%

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.

Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:

\[\frac{20}{3}=6,....\to 7\]

Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:

Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

\[\begin{align}& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left(3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot {{1,15}^{3}}+3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left({{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} \right) \\\end{align}\]

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратите внимание: формула n -го элемента звучит следующим образом:

\[{{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}\]

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n- элементов, а сам n -й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1 \\& q=1,15 \\\end{align}\]

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}\]

Посчитаем числитель отдельно:

\[{{1,15}^{4}}={{\left({{1,15}^{2}} \right)}^{2}}={{\left(1,3225 \right)}^{2}}=1,74900625\approx 1,75\]

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{1,75-1}{0,15}=\frac{0,75}{0,15}=\frac{75}{15}=5\]

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

\[\text{Vklad}=\text{platezh}\frac{{{\text{%}}^{n}}-1}{\text{%}-1}\]

Сам по себе % считается по следующей формуле:

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:

\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Давайте решать:

\[\begin{align}& \left(2m\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}- x\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\cdot {{1,2}^{2}}+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\left({{1,2}^{2}}+1,2+1 \right) \\\end{align}\]

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1; \\& q=1,2 \\\end{align}\]

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

\[{{S}_{3}}=1\cdot \frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}\]

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left({{b}_{1}};q \right)$ считается по формуле:

\[{{S}_{n}}={{b}_{1}}\cdot \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\]

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Итак, первая задача:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

Мы можем составить уравнение:

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:

$\begin{align}& {{1,1}^{4}}={{\left({{1,1}^{2}} \right)}^{2}} \\& 1,1\cdot 1,1=1,21 \\& {{1,1}^{4}}=1,4641 \\\end{align}$

Теперь перепишем уравнение:

\[\begin{align}& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{1,4641-1}{0,1} \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{0,4641}{0,1}|:10000 \\& 9282000\cdot \frac{14641}{10000}=x\cdot \frac{4641}{1000} \\& \frac{9282\cdot 14641}{10}=x\cdot \frac{4641}{1000}|:\frac{4641}{1000} \\& x=\frac{9282\cdot 14641}{10}\cdot \frac{1000}{4641} \\& x=\frac{2\cdot 14641\cdot 1000}{10} \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end{align}\]\[\]

Все, наша задача с процентами решена.

Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

\[\]\

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2\cdot {{1,2}^{2}} \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac{1,728-1}{0,2} \\& 4004000\cdot \frac{1728}{1000}=x\cdot \frac{728}{200}|:\frac{728}{200} \\& x=\frac{4004\cdot 1728\cdot 200}{728} \\& x=\frac{4004\cdot 216\cdot 200}{91} \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end{align}\]

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

\[\begin{align}& 4004000\cdot {{1,2}^{2}}=x\cdot \frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \\& 4004000\cdot \frac{144}{100}=x\cdot \frac{11}{5}|\cdot \frac{5}{11} \\& x=\frac{40040\cdot 144\cdot 5}{11} \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end{align}\]

Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:

Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

\[\begin{align}& x\cdot \frac{12769}{10000}=5107600\cdot \frac{1,2769-1}{0,13} \\& x\cdot \frac{12769}{10000}=\frac{5107600\cdot 2769}{1300}|:\frac{12769}{10000} \\& x=\frac{51076\cdot 2769}{13}\cdot \frac{10000}{12769} \\& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end{align}\]

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.

Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике" .
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1 . В частности, сформулировали важное правило: за мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину увеличить на процентов, получим .
если величину уменьшить на процентов, получим .
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим .

если величину дважды увеличить на процентов, получим
если величину дважды уменьшить на процентов, получим

Воспользуемся ими для решения задач.

В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году - на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году?

По условию, в году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.

А в году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с годом. Получаем, что в году в квартале стало проживать жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре года. Она проста, но справились с ней немногие.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций

По условию, акции в итоге подешевели на .

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что .

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна

Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть
.

Стоимость одной рубашки - в раза меньше:
,
а стоимость пяти рубашек:

Получили, что пять рубашек на дороже куртки.

Ответ: .

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация » и «ситуация ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности
Ситуация
Ситуация

Осталось записать систему уравнений.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:

Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что

Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода.

Ответ: .

Следующий тип задач - задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.

В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично - так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго - тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.

Получаем:

Ответ: .

Виноград содержит влаги, а изюм - . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог - знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда

От от

Составим уравнение:

и найдем .

Ответ: .

Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй - никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение - масса получившегося сплава, второе - масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: .

Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:


велосипедист
мотоциклист

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.


велосипедист
мотоциклист

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг - это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: .

Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение - взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в ..
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт - в .. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа - в третий, и еще через часа - в четвертый.

Значит, если старт был в ., то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

,
где - средняя скорость, - общий путь, - общее время.

Если участков пути было два, то

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.

Ответ: .

Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче 13.

Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей - за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на работу и производительность . Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть - производительность Андрея, - производительность Паши, а - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,

Тогда

.

Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теория по теме: «Решение задач на проценты».

Тип 1: Перевод процентов в десятичную дробь. проценты  дробь А%  А разделить на 100 Задачи:20%;75%;125%;50%;40%;1%;70%;35%;80%.... Заполните таблицу 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Тип 2:Перевод дроби в проценты. число  проценты А  А умножить на 100 % Переведите дроби в проценты: 3/4; 0,07; 2,4. (ГИА, тематические задания) Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. А.1/4 ; Б)3/5 ; В) 0,5; Г) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Ответ: А Б В Г

Тип 3: Находим процент от числа. Х% от А 1)Х% представляем в виде десятичной дроби 2) Число А умножаем на десятичную дробь. Задача - образец. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества? Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20 % = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло контроль качества.

Тип 4: Находим число по его проценту. А это Х% : 1) Х% представляем в виде десятичной дроби 2) А делим на десятичную дробь. Задача - образец. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки? Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач это 25% от общего их количества. 25 %=0,25 38/0,25 = 152. 152 задачи в этом сборнике.

Тип 5: Находим процентное отношение двух чисел. А и В числа. Сколько % составляет В от А? 1)В/А 2) Полученное частное умножить на 100% Задача - образец. В классе 30 учеников. 15 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе? Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 1)15 /30=0,5 2)0,5*100%=50% Задача - образец. За 1 час станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка? Решение. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать, сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать, сколько процентов число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на 240 и результат умножить на 100%. 48/240 *100% =20% Ответ: производительность станка повысилась на 20%

Тип 6: Увеличиваем число на процент. Уменьшаем число на процент. А- число; увеличиваем на Х% то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. : 1)число А умножаем на 2) (1 + х /100) . Задача - образец. . На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году? Решение. 140 * (1 + 15/100) = 161. А- число; уменьшаем на Х% то оно уменьшилось в (1 - х /100) раз. : 1)число А умножаем на 2) (1 - х /100) . Задача - образец. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 % меньше. Сколько выпускников в этом году? Решение. 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип7: Концентрация раствора. Задача - образец. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг)(Петерсон 6 кл.) Решение 1)Масса растворенного вещества 1 кг 2)Масса всего раствора 1+9=10(кг) 9 кг - масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора) 3)1/10*100%=10% 10% - концентрация раствора

Тип 8:Процентное содержание металла в сплаве. Задача – образец 1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди? Решение.1)12 . 0,45= 5,4 (кг) - чистой меди в первом сплаве; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (кг)- вес нового сплава; 3) 13,5- 12= 1,5 (кг) олова. Ответ: надо 1,5 кг олова.

Задача – образец 2. Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалась 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве. Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%. 250*0,3= 75 (кг)- цинка во втором сплаве; 250 * 0,26= 65 (кг)- меди во втором сплаве; 250-(75+65)= 110 (кг) олова во втором сплаве; 150 . 0,4= 60 (кг)- олова в первом сплаве; 110+60= 170(кг)- олова в третьем сплаве. Ответ: 170 кг. 1 сплав 2сплав Новый сплав (3) Медь 26 % Цинк 30% 30% 30% Олово 40% ?кг масса 150кг 250кг 150+250=400

Тип 9: На «сухое вещество ». Практически любой продукт – яблоки, арбузы, грибы, картофель, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причём, воду содержат как свежие, так и сушёные продукты. В процессе высыхания испаряется только вода, а масса сухого вещества не изменяется. А.Г. Мордкович “Математика 6” Задача № 362 Задача - образец. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный – 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4кг сушеных? Решение. Составим таблицу: 1 часть задачи: вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание сухого вещества Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб 17кг 90% 10% 17*0,1=1,7 Сушеный гриб Х кг 15% 85% Х*о,85=0,85х Так как масса сухого вещества в сухих и свежих грибах остается неизменной, получим уравнение: 0,85х = 1,7, х = 1,7: 0,85, х = 2.

2 часть задачи: Вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание воды Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб х 90% 10% 0,1х Сушеный гриб 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2,89 0,1х = 2,89, х = 2,89: 0,1, х = 28.9. Ответ: из 17кг свежих грибов получится 2кг сушеных; чтобы получить 3,4кг сушеных грибов, надо взять 28,9кг свежих.