Бесконечность. Дж.Валлис (1655).

Впервые встречается в трактате английского математика Джон Валиса "О конических сечениях".

Основание натуральных логарифмов. Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, трансцендентное число. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

2,71828182845904523...

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

Отношение длины окружности к диаметру. У.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, иррациональное число. Число "пи", старое название - лудольфово число. Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непереодической десятичной дробью:

π =3,141592653589793...

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφερεια - окружность, периферия и περιμετρος - периметр. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2 . Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Мнимая единица. Л.Эйлер (1777, в печати - 1794).

Известно, что уравнение х 2 =1 имеет два корня: 1 и -1 . Мнимая единица - это один из двух корней уравнения х 2 =-1 , обозначается латинской буквой i , ещё один корень: -i . Это обозначение предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius (мнимый). Он же распространил все стандартные функции на комплексную область, т.е. множество чисел, представимых в виде a+ib , где a и b - действительные числа. В широкое употребление термин «комплексное число» ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Единичные векторы. У.Гамильтон (1853).

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Единичный вектор, направленный вдоль оси Х , обозначается i , единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор, направленный вдоль оси Z , обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами, они имеют единичные модули. Термин "орт" ввёл английский математик, инженер Оливер Хевисайд (1892), а обозначения i , j , k - ирландский математик Уильям Гамильтон.

Целая часть числа, антье. К.Гаусс (1808).

Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, =5, [-3,6]=-4. Функцию [х] называют также "антье от х". Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Угол параллельности. Н.И. Лобачевский (1835).

На плоскости Лобачевского - угол между прямой b , проходящей через точку О параллельно прямой a , не содержащей точку О , и перпендикуляром из О на a . α - длина этого перпендикуляра. По мере удаления точки О от прямой a угол параллельности убывает от 90° до 0°. Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(α )=2arctg e - α /q , где q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.

Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).

В математике переменная - это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Вектор. О.Коши (1853).

С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса (1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (от латинского слова vector , несущий ) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.

Сложение, вычитание. Я.Видман (1489).

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Яна (Йоханнеса) Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (от латинского plus «больше») или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (от латинского minus «менее, меньше»). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Умножение. У.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).

Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M , хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (французский математик Эригон, 1634), звёздочка (швейцарский математик Иоганн Ран, 1659). Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x ; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560 -1621).

Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).

Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D . Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements ) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.

Процент. М. де ла Порт (1685).

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского "pro centum", что означает в переводе "на сто". В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Степени. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).

Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии » (1637), правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар.

Арифметический корень n -й степени из действительного числа а ≥0, - неотрицательное число n -я степень которого равна а . Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √ . Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R x (от латинского Radix , корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix . Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica ). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).

Термин "логарифм" принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов», 1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0 ) - показатель степени m , в которую следует возвести число a (называемое основанием логарифма), чтобы получить b . Обозначается log a b. Итак, m = log a b , если a m = b.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин "натуральный логарифм" ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания - ниже строки, после символа log . Знак логарифма - результат сокращения слова "логарифм" - встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log - у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики. Термин "тригонометрические функции" введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива» . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб» , что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение. Термин «тангенс» (от лат. tangens - касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции - математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк" (от лат. arc - дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus , дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin -1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Гиперболический синус, гиперболический косинус. В.Риккати (1757).

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил итальянец Винченцо Риккати в 1757 году в работе «Opusculorum», он же предложил их обозначения: sh , ch . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено немецким математиком, физиком и философом Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н.И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе. Гиперболические функции выражаются через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями: sh(x)=0,5(e x -e -x ) , ch(x)=0,5(e x +e -x ). По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс как отношения гиперболических синуса и косинуса, косинуса и синуса, соответственно.

Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).

Главная, линейная часть приращения функции. Если функция y=f(x) одного переменного x имеет при x=x 0 производную, и приращение Δy=f(x 0 +?x)-f(x 0 ) функции f(x) можно представить в виде Δy=f"(x 0 )Δx+R(Δx ) , где член R бесконечно мал по сравнению с Δx . Первый член dy=f"(x 0 )Δx в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 . В работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово "differentia" употреблялось в смысле "приращение", его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для "бесконечно малой разности" использовал обозначение d - первую букву слова "differential" , образованого им же от "differentia" .

Неопределённый интеграл. Г.Лейбниц (1675, в печати 1686).

Слово "интеграл" впервые в печати употребил Якоб Бернулли (1690). Возможно, термин образован от латинского integer - целый. По другому предположению, основой послужило латинское слово integro - приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Знак ∫ используется для обозначения интеграла в математике и представляет собой стилизованное изображение первой буквы латинского слова summa - сумма. Впервые он был использован немецким математиком основателем дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Другой из основателей дифференциального и интегрального исчислений Исаак Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Неопределённый интеграл для функции y=f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Определённый интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).

Определённый интеграл функции f(x) с нижним пределом a и верхним пределом b можно определить как разность F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , где F(х) - некоторая первообразная функции f(x) . Определённый интеграл a ∫ b f(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции f(x) . Оформление определённого интеграла в привычном нам виде предложил французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в начале XIX века.

Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента x . Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Термин "производная" ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха - он же (1770, 1779), а dy/dx - Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691). Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик Василий Иванович Висковатов (1779-1812) .

Частная производная. А. Лежандр (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).

Для функций многих переменных определяются частные производные - производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны. Обозначения ∂f/∂ x , ∂ z/∂ y ввёл французский математик Адриен Мари Лежандр в 1786 году; f x " , z x " - Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/∂ x 2 , ∂ 2 z/∂ x∂ y - частные производные второго порядка - немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разность, приращение. И.Бернулли (кон. XVII в. - перв. пол. XVIII в.), Л.Эйлер (1755).

Обозначение приращения буквой Δ впервые употребил швейцарский математик Иоганн Бернулли. В общую практику использования символ "дельта" вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году.

Сумма. Л.Эйлер (1755).

Сумма - результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Для обозначения суммы n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "сигма" Σ : a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Знак Σ для суммы ввёл Леонард Эйлер в 1755 году.

Произведение. К.Гаусс (1812).

Произведение - результат умножения. Для обозначения произведения n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "пи" Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Знак Π для произведения ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1812 году. В русской математической литературе термин "произведение" впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году.

Факториал. К.Крамп (1808).

Факториал числа n (обозначается n!, произносится "эн факториал") - произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·...·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.

Термин "факториал" ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! - французский математик Кристиан Крамп (1808).

Модуль, абсолютная величина. К.Вейерштрасс (1841).

Модуль, абсолютная величина действительного числа х - неотрицательное число, определяемое следующим образом: |х| = х при х ≥ 0, и |х| = -х при х ≤ 0. Например, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Модуль комплексного числа z = a + ib - действительное число, равное √(a 2 + b 2).

Считают, что термин "модуль" предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл "модулем" и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели французские математики Огюстен Коши и Жан Робер Арган в начале XIX века. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

Норма. Э.Шмидт (1908).

Норма - функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак "нормы" (от латинского слово "norma" - "правило", "образец") ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году.

Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)

Предел - одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes - граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков - например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.

Дзета-функция, дзета-функция Римана . Б.Риман (1857).

Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,

где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название "дзета-функция" и обозначение ζ(s) в 1857 году.

Гамма-функция, Γ-функция Эйлера. А.Лежандр (1814).

Гамма-функция - математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z). Г-функция впервые введена Леонардом Эйлером в 1729 году; она определяется формулой:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Название "Гамма-функция" и обозначение Γ(z) предложено французским математиком Адриеном Мари Лежандром в 1814 году.

Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).

Функция двух переменных p и q, определяемая при p>0, q>0 равенством:

В(p, q) = 0 ∫ 1 х р-1 (1-х) q-1 dx.

Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц , участвующих в сильном взаимодействии . Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году. Это положило начало теории струн .

Название "бета-функция" и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.

Оператор Лапласа, лапласиан. Р.Мёрфи (1833).

Линейный дифференциальный оператор Δ, который функции φ(х 1 , х 2 , ..., х n) от n переменных х 1 , х 2 , ..., х n ставит в соответствие функцию:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2 .

В частности для функции φ(х) одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором 2-й производной: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнение Δφ = 0 обычно называют уравнением Лапласа; отсюда и произошли названия "оператор Лапласа" или "лапласиан". Обозначение Δ ввёл английский физик и математик Роберт Мёрфи в 1833 году.

Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. О.Хевисайд (1892).

Векторный дифференциальный оператор вида

∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k ,

где i , j , и k - координатные орты. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа.

В 1853 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ∇ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот). Позднее английские учёные, в том числе Оливер Хевисайд, стали называть этот символ «набла», по названию буквы ∇ в финикийском алфавите, где она и встречается. Происхождение буквы связано с музыкальным инструментом типа арфы, ναβλα (набла) по-древнегречески означает «арфа». Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция - это "закон", " правило" по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином "функция" понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так - φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x) , стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Равенство. Р.Рекорд (1557).

Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale ). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis ), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак "= " был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Примерно равно, приблизительно равно. А.Гюнтер (1882).

Знак "≈ " ввёл в использование как символ отношения "примерно равно" немецкий математик и физик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.

Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).

Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова "больше" и "меньше".

Сравнимость. К.Гаусс (1801).

Сравнение - соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n-m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается "числа n и m сравнимы по модулю а". Например, 3≡11(mod 4), так как 3-11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3-2≡9(mod 4)

Одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Тождество. Б.Риман (1857).

Тождество - равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак "≡ " (читается "тождественно равно"), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать a+b ≡ b+a.

Перпендикулярность. П.Эригон (1634).

Перпендикулярность - взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥ для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥ .

Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность - отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

Пересечение, объединение. Дж.Пеано (1888).

Пересечение множеств - это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств - множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если

А= {♠ ♣ } и В= {♣ ♦ },

То

А∩В={♣ }

А∪В={♠ ♣ ♦ } .

Содержится, содержит. Э.Шрёдер (1890).

Если А и В - два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Символы "содержится" и "содержит" появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.

Принадлежность. Дж.Пеано (1895).

Если а - элемент множества А, то пишут а∈А и читают "а принадлежит А". Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают "а не принадлежит А". Вначале отношения "содержится" и "принадлежит" ("является элементом") не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι - быть.

Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор - общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается "существует", "найдётся"), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается "любой", "каждый", "всякий"), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

читается так: "для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Пустое множество. Н.Бурбаки (1939).

Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки - коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль - автор символа Ø.

Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).

В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением "Q.E.D.", от латинского выражения "Quod Erat Demonstrandum" - "Что и требовалось доказать". При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый "символ Халмоша", по имени американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру "ч.т.д.".

Геометрические символы. Класс знаков по форме идентичных геометрическим элементам, широко использующихся в сфере мифологической и религиозной, а также эмблематике и геральдике.

Геометрические символы

Свастика прямая (левосторонняя)

Свастика как солнечный символ

Прямая (левосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми влево. Вращение считается происходящим по часовой стрелке (в определении направления движения мнения иногда расходятся).

Прямая свастика – символ благословения, доброго предзнаменования, благополучия, удачи и отвращения беды, а также символ плодородия, долгожительства, здоровья и жизни. Это также символ мужского начала, духовности, тормозящей поток низших (физических) сил и позволяющей проявляться энергиям высшей, божественной природы.

Свастика обратная (правосторонняя)

Свастика на нацистской военной медали

Обратная (правосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми вправо. Вращение считается происходящим против часовой стрелки.

Обратная свастика связывается обычно с женским началом. Иногда она ассоциируется с запуском негативных (физических) энергий, закрывающих проход возвышенным силам духа.

Шумерская свастика, образованная четырьмя женщинами и их волосами, символизирует женскую порождающую силу

Пентаграмма (пентакль): общее значение символа

Знак пентаграммы

Пентаграмма, написанная одной линией, – самый древний из всех символов, которыми мы владеем. Имела разные толкования в разные исторические времена человечества. Она стала шумерским и египетским знаком звезд.

Более поздняя символика: пять чувств; мужское и женское начала, выраженные пятью точками; гармония, здоровье и мистические силы. Пентаграмма также символ победы духовного над материальным, символ безопасности, охранения, благополучного возвращения домой.

Пентаграмма как магический символ

Пентаграммы Белого и Черного магов

Пентакль с одним концом вверх и двумя вниз является знаком белой магии, известным как «нога друида»; с одним концом вниз и двумя вверх он представляет так называемое «копыто козла» и рога дьявола – характерное для символики изменение знака с позитивного на негативный при его переворачивании.

Пентаграмма Белого мага – символ магического воздействия и господства дисциплинированной Воли над явлениями мира. Воля Черного мага направлена к разрушению, к отказу от выполнения духовной задачи, поэтому перевернутая пентаграмма рассматривается как символ зла.

Пентаграмма как символ совершенного человека

Пентаграмма, символизирующая совершенного человека

Пентаграмма, пятиконечная звезда, – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта.

Истина принадлежит духу, любовь – душе, мудрость – интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воле.

Двойная пентаграмма

Двойная пентаграмма (человек и Вселенная)

Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект – воздуху, душа – огню, дух – эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ними. Именно в этом смысл символа двойной пентаграммы, в которой малая вписана в большую: человек (микрокосм) живет и действует внутри Вселенной (макрокосма).

Гексаграмма

Изображение гексаграммы

Гексаграмма – фигура, составленная двумя полярными треугольниками, шестиконечная звезда. Это сложная и цельная симметричная форма, в которой шесть маленьких отдельных треугольников группируются вокруг большого центрального шестиугольника. В результате образуется звезда, хотя первоначальные треугольники сохраняют свою индивидуальность. Поскольку обращенный вверх треугольник – небесный символ, а обращенный вниз – символ земной, то вместе они – символ человека, объединяющего эти два мира. Это символ совершенного брака, который связывает мужчину и женщину.

Печать Соломона

Печать Соломона, или звезда Давида

Это знаменитая магическая печать Соломона, или звезда Давида. Верхний треугольник в ее изображении – белый, а нижний – черный. Она символизирует, в первую очередь, абсолютный закон аналогии, выражаемый мистической формулой: «То, что внизу, подобно тому, что вверху».

Печать Соломона – это также символ эволюции человека: надо научиться не только брать, но и давать, поглощать и излучать одновременно, излучать – для Земли, воспринимать – от Неба. Мы получаем и наполняемся, только когда отдаем другим. Это совершенный союз духа и материи в человеке – союз солнечного сплетения и мозга.

Пятиконечная звезда

Пятиконечная звезда

Вифлеемская звезда

Пятиконечная звезда толкуется по-разному, в том числе она символизирует радость и счастье. Это также эмблема семитской богини Иштар в ее воинственном воплощении, а кроме того, Вифлеемская звезда. У масонов пятиконечная звезда символизирует мистический центр.

Египтяне придавали огромное значение пяти– и шестиконечным звездам, как явствует из текста, сохранившегося на стене погребального храма Хатшепсут.

Семиконечная звезда

Семиконечная звезда магов

В семиконечной звезде повторяются характерные черты пятиконечной. Семь лучей имеет гностическая звезда.

Семи– и девятиконечные звезды, начерченные одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Звезда магов читается двояко: последовательно по ходу лучей (по линии начертания звезды) и по окружности. По ходу лучей расположены планеты, управляющие днями недели: Солнце – воскресенье, Луна – понедельник, Марс – вторник, Меркурий – среда, Юпитер – четверг, Венера – пятница, Сатурн – суббота.

Девятиконечная звезда

Девятиконечная звезда магов

Девятиконечные звезды, как и семиконечные, если они начерчены одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Девятиконечная звезда, составленная из трех треугольников, символизирует Святой Дух.

Монада

Четыре составные части монады

Это магический символ, названный монадой Джоном Ди (1527–1608), советником и астрологом английской королевы Елизаветы I.

Ди представляет природу магических символов в терминах геометрии и проверяет монаду в ряде теорем.

Ди проводит исследование монады на таком глубоком уровне, что находит связи своей теории с пифагорейской гармонией, библейским знанием и математическими пропорциями.

Спираль

Спиральная структура Млечного Пути

Спиральные формы встречаются в природе очень часто, начиная от спиральных галактик и до водоворотов и смерчей, от раковин моллюсков до рисунков на человеческих пальцах, и даже молекула ДНК имеет форму двойной спирали.

Спираль – весьма сложный и многозначный символ. Но прежде всего – это символ великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосма. Спираль является символом времени, циклических ритмов, смены сезонов года, рождения и смерти, фаз «старения» и «роста» Луны, а также самого Солнца.

Древо Жизни

Древо Жизни в человеческом существе

Древо Жизни

Древо Жизни не принадлежит ни одной культуре – даже египтянам. Оно вне рас и религий. Этот образ является неотъемлемой частью природы… Сам человек представляет собой миниатюрное Древо Жизни. Он обладал бессмертием, когда был связан с этим деревом. О Древе Жизни можно размышлять как об артериях большого космического тела. По этим артериям, как по каналам, текут живительные силы космоса, которые питают все формы существования, и в них бьется космический пульс жизни. Древо Жизни является отдельной секцией, частью схемы универсального кода жизни.

Сфера

Армиллярная сфера (гравюра из книги Тихо Браге)

Символ плодородия (как и круг), а также целостности. В Древней Греции знаком сферы был крест в круге – древняя эмблема власти. Сфера, составленная из нескольких металлических колец, иллюстрирующая космогоническую теорию Птолемея, который полагал, что Земля находится в центре Вселенной, – старинная эмблема астрономии.

Платоновы тела

Платоновы тела, вписанные в сферу

Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики и такие великие умы, как Пифагор, считали, что эти тела связаны с определенными элементами: куб (А) – земля, тетраэдр (В) – огонь, октаэдр (С) – воздух, икосаэдр (D) – вода, додекаэдр (E)– эфир, а сфера – пустота. Эти шесть элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества Вселенной.

Символы планет

Символы планет

Планеты изображаются комбинацией простейших геометрических символов. Это круг, крест, дуга.

Рассмотрим, например, символ Венеры. Круг расположен над крестом, что олицетворяет некое «спиритуальное притяжение», которое тянет крест вверх, в принадлежащие кругу возвышенные области. Крест, подчиненный законам зарождения, увядания и смерти, обретет свое искупление, если будет вознесен внутрь этого великого круга духовности. Символ в целом представляет женское начало в мире, которое пытается одухотворить и защитить сферу материального.

Пирамида

Великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина

Пирамида – символ иерархии, существующей во Вселенной. В любой области символ пирамиды может помочь перейти от низшего плана множественности и раздробленности к высшему плану единства.

Считается, что посвященные избрали форму пирамиды для своих святилищ потому, что хотели, чтобы сходящиеся к вершине, устремляющиеся к Солнцу линии преподали человечеству урок единства.

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр – фигура, состоящая из двух взаимопересекающихся тетраэдров. Эту фигуру можно также воспринимать как трехмерную звезду Давида.

Тетраэдры проявляются как два противоположных закона: закон духа (излучение, отдача, самоотверженность, бескорыстие) и закон материи (втягивание внутрь, охлаждение, застывание, паралич). Только человек может сознательно совмещать эти два закона, так как он – связующее звено между миром духа и миром материи.

Таким образом, звездный тетраэдр представляет собой два полюса творения в полном равновесии.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ... , L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, ... , l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) - луч с началом в точке А;

[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

Величина угла АВС;

Величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.

Например:

|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| - расстояние от точки А до линии a;

|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| - расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;

π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;

F a - фронтальный след прямой (линии) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:

А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) - прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK - угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK - треугольники АВС и MNK подобны
4	||	Параллельны	α||β - плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b - прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d - прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l - прямая t является касательной к линии l. βα - плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф 1 →Ф 2 - фигура Ф 1 отображается на фигуру Ф 2
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	-
10	s	Направление проецирования	-
11	P	Параллельное проецирование	р s α Параллельное проецирование - параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	-	-
2	A,B,C,...	Элементы множества	-	-
3	{ ... }	Состоит из...	Ф{A, B, C,... }	Ф{A, B, C,... } - фигура Ф состоит из точек А, В,С, ...
4	∅	Пустое множество	L - ∅ - множество L пустое (не содержит элементов)	-
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N - множество натуральных чисел) - число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а)
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М - множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α - прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В - множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС],
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L - множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅- пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β - прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ - прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу "и". Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	-
3	⇒	Импликация - логическое следствие. Предложение р⇒q означает: "если р, то и q"	(а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: "если р, то и q; если q, то и р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: "для всякого x: имеет место свойство Р(х) "	∀(ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: "существует х, обладающее свойством Р(х)"	(∀α)(∃a).Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)... Выражение ∃1(x)(Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9	\	Отрицание знака	≠ -отрезок [АВ] не равен отрезку .а?b - линия а не параллельна линии b

Геометрические символы это всевозможного рода линии - прямые, кривые, ломанные и комбинированные. Это геометрические фигуры - круг, крест, треугольник и т.д.. А также это тела, такие как шар, куб, пирамида и т.д. В двухмерном пространстве эти необычные символы приобретают вид фигур.

Геометрические представляли собой структуру космического пространства, а также структуру ритуального пространства (храм, гробница) и формы священных предметов. С помощью геометрических символов изображалась структура и устройство социального общества, а также духовное (этическое) пространство (любовь, вера, надежда, стойкость и т.д.) Разберём более подробно наиболее популярные геометрические символы, используемые как в магии, так и в науке.

НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЁННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ:

Линии

Чаще всего в магии используются прямые линии, ломанные (зигзагообразные), спирали и вольты, которые соотносились с громом, водой, землёй, змеёй и т.д. Также в качестве магического символа могут использовать непрерывную, изломанную под прямым углом, линию иначе называемую - меандром. Эта линия символизировала отсутствие начала и конца - вечность. В Древней Греции меандр сравнивался с лабиринтом, а в Древнем Китае - с реинкарнацией.

Спираль

Спираль является довольно неоднозначным символом. Спиралью как магическим символом пользовались ещё Древнем Египте, Месопотамии, Индии, Китае, Европе, Японии, Океании, доколумбовой Америке, Скандинавских странах и на Крите. Спираль является символом солнечной и лунной энергии, грома, молнии, вихря и созидательных сил.

Треугольник

Форма этой геометрической фигуры определяет и её символику. Треугольник символизирует число 3, а также троицу во всех её сочетаниях: рождение-жизнь-смерть, тело-ум-душа, отец-мать-дети, небо-земля-подземный мир.

Кроме всего прочего треугольник является символом плодоносности земли, брака, пламени, горы, пирамиды, физической стабильности, главы Бога.

Если соединить три треугольника, то получится пифагорейский символ здоровья. Также этот символ является эмблемой Массонов.

Свастика, находящаяся внутри треугольника - это символ космической гармонии.

Треугольник, помещённый в границы квадрата - символ сочетания всего божественного и человеческого, небесного и земного, духовного и телесного.

Треугольник внутри круга - символ троичности в едином целом, а два пересекающихся треугольника - божественность, соединение огня и воды, победы духа над материей.

Звезда Давида

Шестиконечная звезда Давида или иначе гексаграмма по преданию была гербом израильского царя Давида в десятом веке до нашей эры. Именно этот необычный факт и послужил основой названия этого символа. Также этот символ был изображён на амулете вавилонского царя Куригальсу современника библейского Моисея и на печати царя Соломона.

Пентаграмма

Пентаграмма (пятиконечная звезда) является символом микрокосма, а также фигуры человека. Обозначает пять таинственных центров силы, пять чувств человека, пять элементов в природе, пять конечностей человеческого тела. С помощью пентаграммы человек может управлять низкими созданиями и требовать помощи у высоких созданий.

Квадрат

Квадрат является символом стабильности и постоянства, а также совершенной формой закрытого и мистического союза четырёх элементов.

Пентагон

Пентагон - это правильный пятиугольник в виде звезды. Он являет собой символ вечности, совершенства и Вселенной. Также пентагон может служить амулетом здоровья. Если этот символ начертить на дверях, то он будет отгонять ведьм и злых сущностей. Пентагон применяется в различных магических заговорах и ритуалах.

Гексагон

Гексагон - правильный шестиугольник - это символ красоты и гармонии. Также он является образом человека - две руки, две ноги, голова и туловище. Благодаря тому, что с одной стороны гексагон имеет углы, а с другой - приближен к форме круга - в мистических обрядах он соотносится с идеей энергии и мира, а также с Солнцем.

Круг

Круг является универсальным символом целостности, гармонии и совершенства. Округлая форма издревле считалась священной, так как являлась самой естественной формой в природе. Круг символизировал то, что в современном мире называют - пространственно-временным континуумом, а также то, что лежит вне времени и пространства. Круг не имеет ни начала, ни конца, ни верха, ни низа.

Круг с точкой в центре является символом полного временного цикла. В астрологии круг - это символ Солнца, а в алхимии - символ Солнца и Луны.

Круг, внутри которого размещён - обозначает Рай и четыре его реки, вытекающие из центра, а также Древо Жизни.

Крест

Возникновение символа креста исходит ещё к эпохе неолита. Крест является одним из самых распространённых религиозных символов высших сакральных ценностей. В отличие от круга и квадрата, основная символическая идея которых заключается в разграничении внутреннего и внешнего, крест подчёркивает идею центра и основных направлений, ведущих от него. По сути, крест - это центр мира и точка соединения между небесами и землёй - космическая ось.

Крест часто выступал как модель человека или антропоморфного божества. Вместе с тем крест модерирует и духовный аспект, способность к бесконечному и гармоничному растяжению в вертикальном и горизонтальном направлениях.

В вертикальном направлении - это восхождение духа, устремление к Богу, вечности: звёздная, интеллектуальная, позитивная, активная, мужская сила.

В горизонтальном направлении - это земная, рациональная, пассивная, негативная, женская сила. В целом же крест формирует андрогин (особь одного пола, у которого имеются признаки другого пола), а также отражает дуализм в природе и союз противоположностей. Крест представляет собой духовный союз и целостность человеческого духа в вертикально-горизонтальных аспектах, что необходимо для полноты жизни. Иначе говоря, крест - это фигура человека с распростертыми руками, а также символ нисхождения духа в материю.

Известны различные формы креста. Крест с петлёй в верхней части понимался как ключ, которым открываются врата к божественному знанию. Т-образная часть символа относилась к мудрости - каплевидный кружочек - к вечному, началу.Кест с петлей

Т-образный крест - тау-крест. У древних египтян этот символ обозначал расположение рогов у быка или барана - вертикальная часть - морда животного. У древних иудеев - это символ ожидаемого мессии. В Древнем Риме - на таком кресте распинались преступники - использовался как орудие казни.

Позднее в религиозных различных течениях и политических союзах изобрели свои, определённой формы, : бургундский, мальтийский, андреевский и др.

Свастика

Свастика это крест с равновеликими петлями, концы которых загнуты в форме греческой буквы гамма - религиозный индусский символ. В Азии и Европе свастика считалась тайным магическим знаком. Это - солнце, источник жизни и плодородия, и одновременно - символ грома и небесного огня.

Введение.

В мире существует огромное количество эмблем и символов. Человеку свойственно символизировать, иначе он не может. Любое слово - это символ чего-нибудь. История символики - это история вида Homo Sapiens. Естественно, что любой символ - это выражение сущности. Люди придерживаются символики во всём. Символ важен, поскольку это краткое выражение сути.

Тема символики была, есть и будет одной самых интригующих, интересных и актуальных тем. Наверное, нет ни одной науки, которая бы не использовала символику.

Первая глава посвящена подробному рассмотрению символики, исследованию культуры как символической системы, а так же разнообразию знаковых систем.

Вторая глава посвящена, непосредственно, самим геометрическим символам и раскрывает основу темы реферата. В этой главе рассмотрены пять геометрических символов: точка (центр), круг, крест, свастика и спираль. К каждому из символов будут приведены множество различных значений, соотнесения с культурами и эпохами.

В третьей главе показано то, что каждый символ, элемент и знак неразрывно связан с другим, доказана гипотеза о том, что между символами существует неразрывная связь, которая может соединить все символы во что-то единое и содержать в себе особое непостижимое знание.

К реферату так же имеется приложение, содержащее рисунки и фотографии с изображениями тех или иных символов различных эпох и культур.

В приложении к реферату помещен словарь терминов, словарь имен и иллюстрации к реферату. Словарь терминов содержит понятия и названия, имеющие большое значение в данной работе. В словарь имен вошли наиболее яркие представители культурных, философских, математических, антропологических и других учений.

Значение и отражение символов на культуре и сознании людей.

Тот, кто коснется темы «символоведение», чаще всего столкнется с двумя принципиально различными позициями. С одной стороны, существует мнение о том, что символика – это что-то допотопное, отжившее, чем в наше время ни одни серьезный человек не будет заниматься; но есть другая крайность: символика – это есть ключ к пониманию духовного мира. Человеку необходимы символы для того, чтобы можно было невыразимое ввести в область ощущаемого, осязаемого, а затем осмысленно разобраться в этом. Легко доказать, что символическое проникает даже в сферу обыденного разговорного языка. Но оно присутствует также в лозунгах и знаках политики, в иносказательности религиозного духовного мира, в иконах и шифрах иноземных и доисторических культур, в правовых законах и предметах искусства, в поэзии и исторических образах – повсюду, где «носитель смысла» передает что-то, выходящее за рамки его банальной внешней формы. Обручальное кольцо, крест, национальный флаг, огни светофора, красная роза, черная траурная одежда, свечи на праздничном столе – бесчисленное множество предметов, жестов, мысленных образов и оборотов речи связывают мысли с носителями смысла. Кажется, что все возрастающие абстракции и рационализация мира идей иссушают некогда почти безбрежный поток образов.

Каждый человек имеет свою собственную мифологию и возвышает определенные личности (реальные или мифические) до уровня символа, поэтому различное, многостороннее понимание символов людьми дает огромный спектр разнообразных объяснений тех или иных образов. Огромное богатство символов иноземных культур привлекает внимание людей. Для того, чтобы доказать распространенность общечеловеческих образов и объяснить их значения, приходится то и дело обращаться к основам различных образных миров. 1

Природа исследуемого материала на тему «символоведение» с его разнообразными нюансами такова, что различаемые в теории категории «символ», «аллегория», «метафора», «признак», «эмблема» и «знак» на практике не так просто отделить друг от друга. Важно то, что многие символы не имеют однозначного объяснения, а в силу своей традиционности обладают двойственным значением. Так, например, не всегда и не везде огонь, как символически противоречивый элемент, является элементом, греющим и освещающим – иногда он символизирует знак, способный причинить боль и смерть; а сердце не всегда предназначено для любви – ведь настоящие символы даже на различных уровнях знания “сообщают информацию” иную, но всегда существенную. Иногда можно обосновать причины, в силу которых определенный символ истолковывается именно так, а не иначе. Но чаще человек интерпретирует субъективно, то есть по образу и подобию понимаемого им божественного миропорядка. Он представляет себя окруженным сигналами, которые дают ему возможность осознанно подчиниться великому святому порядку. Тот, кто оценивает образы предыдущих эпох с сегодняшней точки зрения и только регистрирует признаки несовершенной логики и недостаточности познания природы, пройдет мимо разнообразной установки символического мышления.

Если точные науки можно обозначить как монологическую форму знания (интеллект созерцает вещь и высказывается о ней), то истолкование символа есть существенным образом диалогическая форма знания: смысл символа реально существует только внутри человеческого общения, внутри ситуации диалога, вне которой можно наблюдать только пустую форму символа. Изучая символ, мы не только разбираем и рассматриваем его как объект, но одновременно позволяем его создателю апеллировать к нам, быть партнером нашей умственной работы. Если вещь только позволяет, чтобы ее рассматривали, то символ и сам «смотрит» на нас (см. слова Р.М.Рильке в стих. «Архаический торс Аполлона»: «Здесь нет ни единого места, которое бы тебя не видело. Ты должен изменить свою жизнь»; причем то обстоятельство, что речь идет о безголовом и потому безглазом торсе, углубляет метафору, лишая ее поверхностной наглядности!).
То, что исследование символов может вызвать полемические разногласия, показывает выдержка одной из антимасонской книги (Фридрих Михтль. «Мировое масонство»). В ней говорится о том, как сильно тормозит мышление сознательная работа над символами. Кто объясняется с миром подобным образом, говорится в книге, тот не способен “предоставить свободное и естественное пространство богатству мыслей, снова и снова мышление прерывается обычаем, ставшим второй натурой” 2 .

Необходимым будет к данной работе привести слова Манфреда Луркера о самом понятии “символ”, которые достаточно четко выражают то, о чем пойдет речь в данной работе: “Значение символа заключается не в нем самом, а указывает на что-то большее… Символ – это тайна и откровение одновременно”.

Нельзя не признать, что некоторые символы могут играть и отрицательную роль в жизни как отдельных людей, так и целых обществ. Не только в государстве ацтеков такие ритуальные символы, как “жертвенная кровь, сердце, солнце”, привели к ужасному уничтожению людей, но и другие символы в более близкую нам эпоху ХХ века (разгар войн и противоречий во всем мире), например “знамя, вождь, кровь и земля, свастика, огонь”.

1 Биддерман Г. Энциклопедия символов: Пер. с нем. / Общ. Ред. И предисл. Свеницкой И. С., Издательство «Республика», 1996 год.

2 Об этом говорится и в книге невропатолога М. Людендорф, посвященной индуцированному помешательству из-за оккультных учений, раздел «Искусственное слабоумие из-за символики».

Но все же неоспоримо, что бесчисленные древние символические идеи принадлежат к ценнейшим сокровищам человечества и вызвали к жизни великие творения в истории культуры – пирамиды, соборы, храмы, симфонии, поэмы, картины, культовые обряды, праздники, танцы. Мы должны примириться с тем, что зафиксированные в глубинных слоях человеческого сознания символы обладают определенной самостоятельной силой и, благодаря своего рода обратной связи, оказывают влияние на их создателей. Ответственность человека, который осознает этот факт, состоит в том, что он имеет возможность выбрать из богатства символов всей истории то, что является подлинно ценным.

Смысловая структура символа многослойна и рассчитана на активную внутреннюю работу воспринимающего.

В общем смысле обращение с символами двойственно: оно может открыть доступ к духовному богатству прошлых эпох и возродить его к жизни, но при безнравственном обхождении с этим “миром шифров” он может связать человека, сделать его скованным, несамостоятельным, просто превратить его в функционирующего робота.

Глава I . СИМВОЛИЗМ КАК СВОЙСТВО КУЛЬТУРЫ

1.2 Исследования культуры как символической системы.

С точки зрения культуры может быть рассмотрен любой объект или процесс, в котором нас интересует не только его прикладная значимость, но и скрытый в нем способ интерпретации и ценностной окраски мира, предполагающий неутилитарный выбор. Существует более 200 определений культуры. В данной работе понятие культуры будет тесно рассмотрено с понятием символики.

Большое место среди определений культуры занимают определения, интерпретирующие культуру в терминах символического поведения, рассматривающие ее как «способность создания символов» и, «способность учения и научения», способность к созданию особого, символического языка. Интерес ХХ века к лингвистической проблематике нашел отражение и в культурной антропологии, в том числе в эволюционизме. У Л. Уайта, видного представителя американской культурной антропологии понятие культуры сформулировано следующим образом: «культура - это совокупность явлений и действий (способов поведения), предметов (сделанных с их помощью орудий и вещей), идей (убеждений, знаний), чувств (отношений ценности), которые зависят от использования символов. Культура - это символический, непрерывный, кумулятивный и прогрессивный процесс». Здесь налицо самое широкое определение, где факты культуры организуются, упорядочиваются указанием на их зависимость от символической деятельности, что, в конечном счете, ограничивает как содержание культуры, так и область исследовательского интереса.

Символические определения культуры можно разделить на две группы. К первой группе относятся те, которые не выходят за пределы объективистки ориентированной этнологии. В концепции Л. Уайта символ трактуется как «предмет, обладающий ценностью или значением, данным теми, кто им пользуется». Символический мир - это предметный мир, обладающий значимостью для человека. Здесь мы видим своеобразную попытку внедрения в этнологию человеческого измерения: созданный человеком мир не безразличен ему; обозначивая его, человек тем самым оказывается способным сохранить его и передать по наследству. В тех случаях, когда знак и символ ассоциируются прежде всего с вербальной, словесной деятельностью человека, они так или иначе отсылают к предметному миру, миру вещей. Это задается позитивистской установкой и этнологической традицией. Как бы ни определялись знак и символ (в концепции Л. Уайта это одно и то же), мир знаков и символов, а также стоящий за ними мир значений - это устойчивый мир, гарантирующий человеку возможность ориентации в нем.

Символ как элемент и инструмент культуры становится специальным предметом внимания и научного исследования в связи с формированием новой гуманитарной дисциплины - культурологии. В одних случаях культура в целом трактуется как символическая реальность (как в «философии символических форм» Кассирера), в других - вырабатывается методология «расшифровки» того смысла, который бессознательно был придан объекту культуры, в третьих - символ изучается как сознательно творимое сообщение культуры, и в этом случае интерес представляет как поэтика его создания, так и механизмы его восприятия. Наиболее проблематичным остается понимание символов культуры, лишенных прямой эмблематичности: такими могут быть художественный образ, миф, религиозное или политическое деяние, ритуал, обычай и т. п.

1.2 Язык культуры, как язык символов. Разнообразие знаковых систем.

Языком культуры в широком смысле этого понятия называются те средства, знаки, символы, тексты, которые позволяют людям вступать в коммуникативные связи друг с другом, ориентироваться в пространстве культуры. Язык культуры - это универсальная форма осмысления реальности, в которую организуются все вновь возникающие или уже существующие представления, восприятия, понятия, образы и другие подобного рода смысловые конструкции (носители смысла).

Основной структурной единицей языка культуры, с точки зрения семиотики, являются знаковые системы. Знак - это овеществленный носитель образа предмета, ограниченный его функциональным предназначением. Знак - материальный, чувственно воспринимаемый предмет (явление, действие), который выступает как представитель другого предмета, свойства или отношения. Различают языковые и неязыковые знаки; последние делятся на знаки-копии, знаки-признаки и знаки-символы; понимание знаков невозможно без выяснения его значения.

Язык формируется там, где знак осознанно отделяется от представления и начинает функционировать как репрезент (представитель) этого представления, его выразитель.
Знаки, составляющие каждого из языков культуры и предназначенные для выражения представлений и переживаний, различаются как по своему происхождению, так и степени подобия того, что они представляют. Исследователи культуры выделяют 5 основных знаковых систем: естественные, функциональные, конвенциальные, вербальные, системы записи.
Для рассмотрения возьмем самые основные знаковые системы:

I. Естественная. Под естественными знаками понимаются вещи и явления природы в том случае, когда они указываются на какие-то иные предметы или явления и рассматриваются в качестве носителя информации о них. Другим словом, это знаки-признаки, например, дым - знак огня.
II. Функциональные знаки - это также знаки-признаки. Но, как правило, это вещи и явления, имеющие непосредственное прагматическое предназначение, но включенные в человеческую деятельность помимо своих непосредственных функций, они еще получают знаковую функцию, т. е. дают какую-то информацию о вещах и явлениях.

III. Конвенциональные знаки . Если для естественных и функциональных знаков знаковая функция является побочной и выполняется ими как бы «по совместительству», то для конвенциональных это функция является основной.

3 Бодуэн Дешарне, Люк Нефонтен, Символ, Le Symbole; "Университетская библиотека",

Издательства: АСТ, Астрель, 2007 г.

Конвенциональные знаки являются знаками в полном смысле этого слова. Их значения задаются не предметами и процессами, о которых они информируют, а соглашениями между людьми.

Различают 4 типа конвенциональных знаков: сигналы, индексы, образы и, непосредственно, сами символы.

Символ - как знак, который связан с обозначаемой им предметностью так, что смысл знака и его предмет представлены только самим знаком и раскрываются лишь через его интерпретацию.

Наряду с отдельными конвенциональными знаками, вводимыми по тому или иному поводу, в ходе развития культуры возникают разнообразные системы конвенциональных знаков. Например, геральдика, система знаков дорожного движения, церемониальные системы, связанные с выполнением различного рода обрядности (свадебная, похоронная. праздничная, религиозно-культовая, вступление в должность - коронация, инаугурация и т. д.). Можно сказать, что каждая область социокультурной жизни имеет свою символическую систему. 4

1.3 Символ как идейно-образная конструкция. Символика как одна из форм культуры (и философии), изменяющаяся на протяжении веков.

Символ (греч. σύμβολον – знак, опознавательная примета) – универсальная категория эстетики, лучше всего поддающаяся раскрытию через сопоставление со смежными категориями образа, с одной стороны, и знака – с другой. Беря слова расширительно, можно сказать, что символ есть образ, взятый в аспекте своей знаковости, и что он есть знак, наделенный всей органичностью мифа и неисчерпаемой многозначностью образа. Всякий символ есть образ (и всякий образ есть, хотя бы в некоторой мере, символ); но если категория образа предполагает предметное тождество самому себе, то категория символ делает акцент на другой стороне той же сути – на выхождении образа за собственные пределы, на присутствии некоего смысла, интимно слитого с образом, но ему не тождественного. Предметный образ и глубинный смысл выступают в структуре символа как два полюса, немыслимые один без другого (ибо смысл теряет вне образа свою явленность, а образ вне смысла рассыпается на свои компоненты), но и разведенные между собой и порождающие между собой напряжение, в котором и состоит сущность символа. Переходя в символ, образ становится «прозрачным»; смысл «просвечивает» сквозь него, будучи дан именно как смысловая глубина, смысловая перспектива, требующая нелегкого «вхождения» в себя. 5

I. Формы материальной культуры (одежда, обычаи, архитектура и т.д.) со временем могут изменяться, но символы продолжают очень тщательно воспроизводиться из поколения в поколение. Трактовка символов может претерпевать изменения, может утрачиваться первично заложенный в них смысл, однако форма их не изменяется или почти не изменяется. Здесь можно усмотреть тот факт, что информация, передаваемая людьми в вербальной форме, может весьма значительно искажаться в силу субъективности ее понимания конкретным человеком, но форма (материальный знак) более проста, визуальна, а потому более устойчива для восприятия человеком, нежели содержание.

4 Белый А. Символизм как миропонимание/Сост., вступ. ст. и прим. Л.А.Сугай. – М.: Республика, 1994.

5 Аверинцев С.С. София-Логос. Словарь. 2-е, испр. изд. - К.: Дух и Литература, 2001, с. 155-161.

Исследователи достаточно хорошо объясняют сходные рисунки или символы, появляющиеся у разных народов, изображение которых было связано с визуально воспринимаемыми объектами реального мира (растениями, животными и т.д.). Например, «завиток» («спираль») первоначально ассоциировался с редкими ростками растений, позднее трансформировался в животное, наделенное подобной формой – барана (и другие животные с рогами спиралевидной формы), который стал, в силу этого, священным животным.

Поэтому часто символы утрачивают свое первичное значение и могут трактоваться иначе, нередко приобретают противоположное значение.

Итак, возникает вопрос природы символа. Многие ученые пытаются объяснить ее исходя из индивидуальной психологии человека. Так, существует версия, согласно которой сходные условия жизни порождают идентичные символические формы, но в таком случае трактовка этих форм должна быть у разных народов так же одинаковой. Однако этого не происходит. Кроме того, существует целая группа графических символов, происхождение которых неясно и не может быть объяснено исходя только из психологии человека. Такова форма абстрактных символов, имеющих геометрические начертания, которая не мотивирована объектами реального мира и потому не может быть объяснена по принципу ассоциации.

Символ как идейно-образная конструкция обладает огромной смысловой насыщенностью. Абстрактность его формы позволяет в свернутом виде, одновременно, представить особое значение, создающее перспективу для бесконечного развития общества; знание, которое может быть воспринято и применено в развернутом виде.

В искусстве символы часто помещаются в традиционных, канонических системах, но при этом их эзотерический (тайный) смысл может утрачиваться. В таком случае происходит инверсия значений – неправильное «считывание» смысла и, как следствие этого, его искажение. Однако чаще всего в искусстве встречаются символы, наделенные экзотерическим (общедоступным) значением, хотя не исключается выход и на более сложный уровень осмысления их содержания.

Основная особенность любого символа, или типа символов, заключается в указании на «неизвестное» путем его представления в ясной и вполне понятной конструкции, но проявление этой особенности будет всегда разным, так как зависит от области функционирования символа. Таким образом, можно выделить две большие группы символов: экзотерические, содержащие тайный смысл, недоступный для непосвященных, и экзотерические, обладающие общедоступными значениями.

Так по «теории символа» А.Ф. Лосева было выделено восемь экзотерических символов:

1) Научные символы - символы, принципиально лишенные образности. Научный символ только тогда становится символом (а не просто значением), когда обладает высокой степенью общности (обобщения).

2) Философские символы – отличаются от научных символов только степенью своей предельной обобщенности. Философские понятия есть не только абстрактные образы, но это еще и способ понимания действительности, связанный с ее анализом и выявлением закономерностей.

3) Художественные символы – всякое искусство, даже максимально реалистическое, не может обойтись без конструирования «символической образности». Художественный образ здесь тоже является обобщением (например, «образ» материнства в портретах Возрождения восходит к архетипу Богоматери).

4) Мифологические символы – передают определенное содержание (или знание) в мифопоэтической или аллегорической форме.

5) Религиозные символы- отражают трансцендентальные образы (один из важнейших терминов кантовской философии) и эзотерические знания. Поэтому религиозный миф всегда магичен и мистериален.

6) Человечески выразительные символы – связаны с морально нравственными аспектами жизни общества, правилами поведения.

7) Идеологические и побудительные символы – являются смысловыми конструкциями, выраженными либо в визуальной форме (например, графические и «геральдические» знаки – звезда, свастика, крест т.д.). Эти символы определяют принцип общественного действия и метод его осуществления.

8) Внешне-технические символы – являются принципом осуществления бесконечного ряда действий, по своему содержанию это символы-знаки, которые можно подразделить на две большие подгруппы: подражательные и нейтральный.

Чем больше и глубже воспринимаются и изучаются человеком природа и общество, тем сильнее окружающая нас действительность наполняется разнообразными символами. Только в том случае, когда символ как идейно – образная конструкция, позволяет благодаря своей абстрактности представить особое знание, доступное обществу, символ или художественный символический образ приобретает значение всеобщности и обладает особой устойчивостью и силой воздействия.

II. Существует известное в истории и философии суждение о том, что человек живет не только в реальном мире, но и в символическом. Символическая культура предвосхищает опыт каждого, и даже несогласие с ее требованиями не отменяет эту зависимость.

Уже у истоков философского мышления мы находим искусство построения символов, в тех случаях, когда понятие сталкивается с трансцендентным – то есть запредельным по отношению к какой-либо определенной сфере, к миру в целом.

Специфическими отличиями символа от всех других знаковых тропов, таких как, понятия, мифы, знамения, являются следующие его функции: 1) способность символа к бесконечному раскрытию своего содержания в процессе соотнесения со своей предметностью при сохранении и «неотменимости» данной символической формы; 2) способность символа устанавливать коммуникацию, которая, в свою очередь, создает (актуально или потенциально) сообщество «посвященных», т. е. субъектов, находящихся в поле действия и относительной понятности символов (например, церковь, направление в искусстве, эзотерический кружок, культурный ритуал); 3) устойчивое тяготение символа к восхождению от данных «частей» к действительному и предполагаемому «целому». Символ в этом случае является местом встречи того, что само по себе несоединимо. 6

Что касается самого понятия "символа", то, например, в Древней Греции в своем первичном значении оно было предельно конкретным: опознавательная примета, свидетельство единства двух разрозненных частей, соединяя которые можно было получить исходное "целое", и тем самым, через конкретную вещественность доказательства, подтвердить внутреннюю причастность.

Европейское средневековье делает символ одним из общекультурных принципов, однако предметом рефлексии и культивирования в первую очередь становятся эмблематические возможности символа, собственная же его специфика выявляется лишь в творческой практике культурного взлета 13 - нач.14 вв. Ситуация существенно не меняется вплоть до последней четверти 18 в.: Возрождение, Маньеризм, Барокко, Просвещение богаты своими символическими художественными и религиозными мирами, но не видят при этом в символе ничего, кроме средства иносказания и «геральдического» обнаружения.

6 Сурина М.О., Цвет и Символ в искусстве, дизайне и архитектуре. – Изд. 2-е, с измен. И доп. – М.: ИКЦ «МарТ», Ростов н/Д.

Новый поворот темы возникает в связи с кантовским учением о воображении (18 век). Здесь символ впервые приобретает статус особого способа духовного освоения реальности. В это же время Гете приходит к интуиции «пра-феномена», т. е. своего рода объективного символа, рожденного органической природой. В философии немецкого романтизма (Новалис, Ф. Шлегель, Шеллинг, Крейцер и др.) разворачивается целая философия символа, раскрывающая его специфику в связи с основными темами романтической эстетики (творчество, гений, ирония). Близкую романтизму версию дает Шопенгауэр, изображающий мир как символизацию бессодержательной воли в идеях и представлениях. Как вариант романтической темы символа можно рассматривать концепцию «косвенных сообщений» Кьеркегора.

Во второй половине 19 в. осмысление проблемы символа берет на себя философствующее искусство: в музыку и литературу приходит миф, истолкованный не как формальная оболочка смысла, а как смыслопорождающая стихия (наиболее показателен Р. Вагнер - практик и теоретик). С 1880-х гг. символизм как художественное течение и теоретическое самообоснование, вбирая в себя и романтическое наследие, и идеи философии жизни, создает новую философию символа, претендующую на тотальную мифологизацию не только творчества, но и жизни творящего субъекта.

Русское ответвление символизма конца 19 - нач. 20 вв. дает обильные философские плоды: в построениях В. С. Соловьева, Андрея Белого, Вяч. И. Иванова, П. А. Флоренского, А. Ф. Лосева символизм получает систематическое многовариантное философское обоснование.

Течения западной мысли 20 в. представляют несколько моделей понимания символа. «Философия символических форм» Кассирера делает символ универсальным способом объяснения духовной реальности. Философия языка вскрывает символический потенциал, позволяющий естественному языку играть роль миросозидающей силы. Структурализм Леви-Стросса исследует механизмы функционирования символа в первобытном бессознательном, не избегая проекций на современную культуру.

Новейшая философия Запада сохраняет проблематику символа в превращенных формах в той мере, в какой остается актуальной задача размежевания и оценки различных типов знаковой активности человека и культуры. 7

Символы прямым образом отражаются в образах литературы, музыки, театра. Их первичное мифологическое содержание фиксируется широким кругом гуманитарных дисциплин: мифологией, этнографией, литературоведеньем.

7 Из статьи А. Л. Доброхотова, Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, М., 2003 г.

Глава II . Геометрические знаки как символы различных культур

2.1 Простейшие геометрические символы

Когда Посвященные прошлого рисовали

вертикальную или горизонтальную линию,

круг или точку, а затем комбинировали из

них крест, треугольник, квадрат, свастику

пентаграмму, гексаграмму, или змею,

кусающую свой хвост… они вкладывали

в каждую фигуру вечные знания.

О.М. Айванхов

Практически все геометрические символы состоят из комбинаций нескольких геометрических элементов - простых составных частей, каждая из которых имеет в то же время свое особое значение, внося свой вклад в общую композицию. Наиболее простыми из таких магических «частичек»-символов являются точка, разновидности дуг, круг, а так же квадрат, прямоугольник и треугольник.

На самом деле значения этих, казалось бы, простых фигур достаточно сложны.

2.1.1 Точка

В мистических представлениях точка – символ центра, источник жизни, символ первичной созидательной энергии, которую иногда представляют настолько сконцентрированной, что отражать ее может лишь нечто нематериальное, например отверстие. Древний символизм точки как предельно сжатой энергии, широко распространенный в мистической литературе, чрезвычайно близок к современным физическим и астрономическим теориям о происхождении Вселенной.

Чтобы энергия вышла из первичного состояния и проявила себя, ей нужна точка отделения. Точка безразмерна и еще не вышла из единства, но она необходима для проявления. Так как точка состоит из одного-единственного фактора, она несет в себе число единства – 1.

Точка – квинтэссенция (основа) всех знаков. 8

2.1.2. Круг

Круг 9 – символ, имеющий древнейшую мифологическую основу. Кроме точки (центра), круг – единственная геометрическая фигура, не вечность. Это символ полноты, законченности, который может заключать в себе идею и постоянства, и динамизма.

Так как круг (и сфера) – фигура, не имеющая начала и конца, то это наиболее важная и универсальная их всех геометрических форм в мистических учениях.

8 Энциклопедия символов / сост. В.М. Рошаль. – М.: АСТ; «Издательство «Сова» , 2005 г.

9 См. Приложение 3, иллюстрации1, 2, комментарии к иллюстрациям 1, 2.

И так как он может обозначать другие важные символы (колесо, диск, кольцо, циферблат, Солнце, Луну, зодиак), его символизм довольно трудно определить.

Так, во многих случаях мифологическая традиция представляет космос как шар (графически это круг) в определенных символических вариантах: черепаха, диск и т.д.

В магическом символизме круг означает духовные силы. Сущее без начала и конца. Спящее око Бога, сферу душевной жизни, где души находятся в промежуточном состоянии. В учениях магии круг так же несет функцию ограждения от злых духов, которое при церемониях заклинания возникает вокруг мага и через которое нельзя переступить. 10

Согласно взглядам платоников и неоплатоников, круг является совершеннейшей формой, воплощением Бога и неограниченным центром космоса. Для древних необозримая система виделась кругообразной: так, на их взгляд, выглядели все планеты, включая предполагаемый земной диск, окруженный водой, в этом их убеждали так же цикличность процессов и смена времен года. Символические значения и функции при использовании круга для измерения времени (солнечные часы) и пространства (основные астрологические и астрономические исходные точки) составляли неразрывное единство.

Небесный символизм и вера в небесную силу лежали в основе первобытных ритуалов и ранней архитектуры по всему миру: круговые танцы и ритуальные хороводы вокруг огня, алтаря или идола; передаваемая по кругу трубка мира у индейцев Северной Америки, круглые формы юрт, шатров и стойбищ кочевых народов; кружение шаманов, круговая структура мегалитических знаков и сооружений (Реконструкция мегалитического святилища. Стоунхендж 11 , Южная Англия, ок. 1800 г. до н.э.) в неолитический период.

Круг имел как защитное, так и божественное значение, как, например, у кельтов, – и это значение все еще сохраняется в фольклоре, но уже в новых, современных формах: вспомним загадочные кольца на фермерских полях и летающие тарелки. Круг также представлялся объектом, заключающим в себе гармонию, – как Круглый Стол в легенде о короле Артуре или широко используемое в современной английской идиоматике выражение «колдовской круг связей и знакомств». Во многих изображениях кругу придавался динамизм с помощью лучей, крыльев, языков пламени, что особенно заметно в шумерской, древнеегипетской и мексиканской иконографии. В этих случаях круг символизирует мощь солнца или созидательные, плодотворные космические силы. Концентрические круги 12 могут означать небесные иерархии (как, например, ангельские хоры, символизирующие Небеса в искусстве Возрождения), круги ада или, в дзэн-буддизме, уровни духовного развития.

В христианской традиции три круга изображают Божественную Троицу, границы времен, элементы, периоды движения солнца и фазы луны. Круг может быть мужским знаком (например, солнца) или женским (материнского лона). Круг (женское начало) вокруг креста (мужское начало) – в Египте символ единства противоположностей, также встречается в Северной Европе, в Китае и на Ближнем Востоке. В китайском символе «инь–ян» 13 , обозначающем взаимозависимость мужского и женского начал, используется круг, разделенный S-образной линией на два цвета, в центре каждого из которых – маленький кружок противоположного цвета.

Точка в круге – астрологический символ солнца и алхимический символ золота. Круг с точкой в центре – открытое око Бога, символ Вселенной, проекция образа мира в плане. Точка в центре подобна вершине, которая собирает все, именно с вершины можно увидеть единство жизни во всех ее проявлениях.

10 Энциклопедия символов / сост. В.М. Рошаль. – М.: АСТ; «Издательство «Сова» , 2005 г.

11 См. Приложение 3, иллюстрация 4, комментарий к ил. 4.

12 См. Приложение 3, иллюстрация 5, комментарий к ил. 5.

13 См. Приложение 3, иллюстрация 6, комментарий к ил. 6

Между точкой-центром и периферией круга происходит непрерывный обмен, и этот обмен творит жизнь на всей площади круга.

Эту фигуру можно обнаружить повсюду в природе: солнечная система; клетка, состоящая из ядра и периферической мембраны; атом…

Символическим контрастом кругу является квадрат, который в противоположность ему обозначает земной мир и материальное.

По К. Юнгу, круг, объединенный с квадратом, – символ связи между душой или «я» (круг) и телом или реальностью (квадрат). Замечателен факт совпадения этого толкования с буддийской традицией, где мандола, на которой круг вписан в квадрат, символизирует переход из материального мира в духовный. В западной и восточной традиции квадрат, вписанный в круг, обозначает небо, объемлющее землю. В архитектурных сооружениях, основанных на квадрате, кресте или прямоугольнике – например, церквах романского стиля или некоторых языческих храмах, – круглые своды и купола несут небесную символику. Вошедшая в поговорку задача «квадратуры круга», превращение квадрата (чисто геометрическими средствами) в равный по площади круг, означает усилие человека сделать невозможным переход своей собственной сущности в сущность божества, т.е. нравственно возвыситься до божественного. Эта неразрешимая обычно геометрическими средствами задача, часто всплывающая в период Ренессанса как аллегория человеческого стремления к «обожествлению», играет так же большую роль в алхимической символике.

В противоположность этому в каббалистической традиции круг, вписанный в квадрат, есть символ «искры Божьей» в бренном теле, символ божественного «мерцания» внутри материальной оболочки.

Естественно, круг как символ не ограничивается высокоразвитыми культурами; у различных индейских групп он «символизирует, например, космический жест “Великого Духа”, так как “путь Луны” и (с точки зрения земного наблюдателя) “путь Солнца” и “движение звезд”, а так же природное развитие создают круглые формы» (Никсдорфф из-под Штерка, 1987 г.).

В дзен-буддизме, согласно основополагающему принципу, круг означает просветление, совершенство человека. В китайском символе инь-ян в круге (т’ай-хи, изначально едином) заключена двойственность. В Европе восприятие космических сфер в кругообразной проекции, входящих друг в друга в виде оболочек, овладевает мировоззрением средневековья и поэтически представлено в дантовской “Божественной комедии” в форме кругов ада; иерархия ангелов как хранителей сфер овладевает этим огромным миропорядком. 14

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что круг как символ, имеющий древнейшую мифологическую основу, является так же началом всего мироздания.

2.2 Основные символы геометрии

Геометрические фигуры подобны

каркасу действительности, тогда как

образы еще содержат, так сказать,

немного плоти, кожи и мускулов.

О. М. Айванхов

Сакральная геометрия – это учение о формах, которые лежат в основе нашего существа и свидетельствуют о божественном порядке в нашей реальности.

14 из книги «Словарь символов», Джек Тресиддер.

Этот порядок мы можем проследить от невидимого атома до гигантских, бесконечно удаленных звезд. Сакральные символы имеют универсальную космическую природу, они стабильны и передаются из поколения в поколение без изменений.

Сакральная геометрия

"Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики". 15

В отличие от современной изолированности различных отраслей знания, древние общества признавали всемирное единство всех наук, единение гармонии и красоты, которое выражается в неразрывности науки, религии, искусства, мифологии, математики, лингвистики, архитектуры, торговли и политики. Все это суть различные способы рассмотрения всеобъемлющего единства и хода мирового процесса, а также попытка установления с ним состояния равновесия. Указанное единство лучше всего постигается в терминах сакральной геометрии.

Сакральная геометрия - путь познания Вселенной и человека. Пифагор относился к священной геометрии, как "к самой сокровенной науки Бога". В ней исследуются не только пропорции и отношения форм, являющихся матрицами законов и структур мироздания, но и динамические процессы жизни, отражающие взаимодействие энергий и различных планов сознания. Она воплотила в себе открытия многих посвященческих школ и метафизических традиций. Гармонично соединяя в себе различные виды искусства и науки, прозрения мистиков и принципы квантовой физики, сакральная геометрия доказывает, что форма - это сосредоточение психической энергии, генератор силы, врата в другие пространства.

Истинный геометр не изучает чистую геометрию из-за того, что она полезна: он изучает её, так как восхищается её красотой. Для некоторых людей сакральная геометрия - это изучение древних храмов, мест и копирование космических форм, сделанных с помощью специальной техники со спутников. Для других - это средство выхода за пределы физического тела с целью путешествий в другие измерения. Но на самом деле, наука и искусство сакральной геометрии - средство становления индивидуальности, способ познания Божественного и метод осознания земного опыта.

Используя язык сакральной геометрии, великие мудрецы оставили для нас важные послания, запечатлённые в архитектурных, музыкальных и живописных произведениях, а также составляющие основу мистериальных действ. "Поистине видимое есть образ невидимого". Научившись расшифровывать эти послания, можно найти многие ключи к пониманию бытия, поскольку геометрические образы взаимосвязаны со всеми элементами существования.

Геометрия - удивительная наука. Она не подчиняется частным воззрениям, с трудом признаёт новые авторитеты, на многие вещи предлагает поразительно точный ответ и являет собой чистую красоту. Сама природа пользуется её достижениями; примеры этого - повсюду: от спиралей раковины и маленьких цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот и золотых пропорций естественных каменных образований. "Природа показывает, что она одинаково богата, одинаково неисчерпаема в произведении как самых выдающихся, так и самых ничтожных творений" (И. Кант). Сакральная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к созданию и пониманию Вселенной.

В древних посвященческих практиках геометрия упоминалась как "первая и самая благородная из наук".

15 И. Кеплер.

Термин сакральная геометрия используется археологами, антропологами, философами, культурологами и людьми, чья работа связана с духовной деятельностью. Его применяют для того, чтобы охватить систему религиозных, философских и духовных архетипов, которые наблюдаются в различных культурах на протяжении всей человеческой истории и так или иначе связаны с геометрическими воззрениями относительно устройства Вселенной и человека. Этот термин охватывает всю пифагорейскую и неоплатоновскую геометрии.

В Древней Греции изучение сущности красоты, таинства прекрасного, основанного на определённых геометрических образцах, сформировалось в отдельную ветвь науки, эстетику, которая у античных философов была неразрывно связана с космологией. Древние греки обладали геометрическим видением универсального порядка. Они воспринимали Вселенную как обширное пространство разнообразных взаимосвязанных элементов.

Многие ученые, например, П. Дирак и М. Клайн, отмечали неспособность современной математики описать окружающий нас мир и чувствовали потребность в создании новой математики. Такой новой математикой (хотя и существующей многие тысячелетия; новой в смысле методологии) является сакральная геометрия. Ещё Блаватская замечала: "Для философов-каббалистов и философов-герметиков всё в природе представляется в триедином аспекте; всё является множественным и троичным в единстве, и может быть символически представлено различными геометрическими фигурами".

Можно привести несколько примеров действия сакральной геометрии в различных эпохах и культурах.

1) Древние греки приписывали различные свойства платоновским телам и некоторым геометрически полученным отношениям, наделяя их особым значением. "Бог геометризирует", - говорил Платон. Например, куб символизировал царствование и земные основы, в то время как золотое сечение считалось динамическим принципом, воплощающим в себе высшую мудрость. Таким образом, здание, посвящённое обожествленному правителю, могло носить следы куба, в то время как храм, посвящённый небесному богу, строился таким образом, что в его основании лежало золотое сечение.

2) Когда индусы (древние и современные) собирались возвести какое-либо культовое сооружение - от маленькой придорожной часовни до монументального храма, - они сначала исполняли на земле простой геометрический чертеж, определяя должным образом направления на восток и запад и строя на их основании квадрат. Это несложная процедура на уровне школьного курса геометрии. После этого на полученной диаграмме возводится всё здание. Геометрические расчёты сопровождаются песнопениями и молитвами. Всё это делается с целью активации излучающих свойств сооружения и превращения энергии с помощью архитектурных свойств здания. Христианская религия использует в качестве своего главного символа крест; в геометрических терминах в средние века он представал в форме развернутого куба (ср. с примером из Древней Греции, где куб соотносился с царствованием). Многие готические соборы были построены с использованием расчётов, полученных из той геометрии, которая свойственна именно кубу и двойному кубу. Эта традиция продолжается и в современных христианских церквях.

3) Древние египтяне обнаружили, что правильные многоугольники могут быть увеличены при постоянстве соотношения сторон с помощью дополнения строго означенной области (которая впоследствии будет названа греками гномон). Египтяне связали концепцию сохраняющегося отношения расширения прямоугольной области с богом Осирисом, которого поэтому часто можно увидеть на древних египетских фресках, помещённым на квадратном троне (квадрат = царствование). В основании трона ясно виден квадрат с L-образным гномоном, хотя обычно строительство велось таким образом, чтобы гномон скрыть от глаз непосвящённых.

4) Спирали на ионических столбах древних греческих храмов были размещены по принципу вращающегося прямоугольника - это метод создания логарифмической спирали. Использование таких спиралей в греческой храмовой архитектуре указывает на то, что зодчие преднамеренно использовали в своих творениях принципы сакральной геометрии. Идея пространственного упорядочивания в виде спирали волнует и современных архитекторов. Техническая мобильность и гибкость такой системы позволяет адекватно реагировать на динамику развития общества.

5) В средневековой семантической геометрии свойства геометрических фигур соотносились с добродетелями геральдики и этикета.

Эти примеры можно приводить до бесконечности. Одна из наиболее поразительных идей, которая пронизывает сакральные учения всех древних цивилизаций, состоит в том, что Вселенная существует как гармоничное и красивое целое - вне зависимости от того, чувствуем мы это или нет. Основой прекрасного является гармония. Египетская богиня Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей, пропорциональной меры и баланса как вечной истины природы. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово космос, буквально переводимое как "вышивка" и выражающее присущие миру гармонию и красоту.

Для постижения космической гармонии следует базироваться на следующих первичных источниках осознания вселенских образцов гармоничного целого:

Наблюдениях природы, её циклов, ритмов и архитектуры;
-изучении математических образцов чисел в геометрии;
- непосредственном откровении.

Итак, практические методы сакральной геометрии:

Поддерживают нас в состоянии осознания того, кто мы, откуда пришли и почему находимся сейчас здесь;

Учат глубокому размышлению о тайнах бытия и способах обретения духовного совершенства;

Обращаются к древним и современным знаниям о духовных мирах, которые обеспечивают возможность установления равновесия на всех планах существования;

Наделяют душу ответственностью за совершаемые поступки, состраданием и любовью.

Сакральная геометрия объединяет мудрость многих мистических школ, как существовавших задолго до нашей эры, так и современных, связывающих эзотерику с последними достижениями квантовой физики. Эта удивительная наука признаёт все типичные формы проявления высшего знания, рассматривая их как чаши, содержащие информацию о проявленном мире и о месте человека в нем. Всё есть энергия, вибрация, гармония и диссонанс частоты; всё есть геометрия.

Наука сакральной геометрии показывает качество связи между уникальными и индивидуальными различиями и демонстрирует, как разнообразные элементы могут быть организованы в целое - при сохранении их индивидуальности. Она объединяет физические, материальные аспекты Творения с духовной сущностью. Это взаимодействие видимого и невидимого, проявленного и неочевидного, конечного и бесконечного, мирского и возвышенного. Сакральная геометрия играла и играет основную роль в искусстве, архитектуре и философии многочисленных культур на протяжении тысяч лет.

Сакральные геометрические формы, эти изначальные тела даны человечеству, чтобы с их помощью транслировать истинное знание о Боге и Космосе. Геометрический стиль как способ осмысления бытия охватывает все сферы мировоззрения человека. 16

16 Геометрия, Сакральная геометрия - ключ к гармонии, М., Изд. «Росмэн», 1998 г.

2.2.1. Крест

Крест как символ космоса

Общим символом человечества является крест. Символ креста можно обнаружить в самых древних религиях, у самых древних цивилизаций: в Месопотамии, Египте, Китае и др. Кто его изобрел? Никто - ибо он существует в природе.

Это древний универсальный символ и, прежде всего – символ Космоса, сведенный к простейшей форме.

Крест – центр мира; символ огня и света; символ священного центра Земли, где земная горизонтальность пересекается с небесной вертикалью, - и это точка сообщения между Небом и Землей. Из центра креста исходят четыре основные оси, символизирующие четыре стороны света: север, юг, запад, восток. Через точки зенит и Надир проходит космическая ось, символизирующая космическое Древо Жизни. Направление север-юг является осью солнцестояния, а восток-запад – осью равноденствия.

В центральной (пятой) точке креста объединены четыре основных элемента материи. Им соответствуют четыре могущественных возвышенных облика. Они стоят в мировом пространстве по четырем сторонам света, образуя космический крест. Они ведут мировые процессы, управляют ими и являются служителями Единого Бога, который есть жизнь – Солнце. Это архангелы. Они сменяются в ходе каждого космического дня, направляемые и вдохновляемые Духом Солнца. Они – изначальная сила, которая в Космосе и в человеческой душе проявляется в виде трех сил: мысль, чувствование (эмоции) и воля.

На севере стоит архангел Уриил (Уриэль, Сандальон), чей свет обладает голубоватым сиянием, и он слабее, чем у других. У него возвышенный строгий облик.

В южном направлении стоит архангел, который является властителем солнечного развития - Рафаил (Рафаэль). У него возвышенный, полный силы облик.

На западе тот, чьё существо блистает в серебристом свете. У него возвышенный, исполненный любви облик; имя его – Гавриил (Габриэль).

Четвертый ангел излучает свой розовый с золотым блеском свет с востока. Имя его – Михаил; он обладает возвышенным победоносным обликом, несущим в себе свойства трех других.

Каждый из архангелов связан с одним из членов человеческого существа. Во время духовного преображения сила Михаила соединяется с тремя уже имеющимися, и благодаря ему они озаряются высшей силой.

Кроме того, крест – символ четырех могучих воздушных течений – ветров. Северный конец креста символизирует северный ветер, самый мощный, всепобеждающий; а также голову и интеллект. Южный конец – южный ветер; огонь и чувство, а так же плавление и сгорание. Западный конец символизирует мягкий западный ветер из страны духов; дыхание смерти и ожидающее каждого путешествие в неизвестность. Восточный конец, соответственно, восточный ветер, сердце- источник любви и жизни.

Крест выступает и как символ четырех элементов – воздуха, земли, воды и огня. Расположение каких-либо элементов в форме креста помогает сбалансировать природные стихии, нормализует их работу.

Крест - основной символ связи микро- и макрокосмоса. Он символизирует комбинацию духа и матери, вовлеченность духа (выраженного вертикальной линией) во время (выраженного горизонтальной линией).

Человек, стоящий с разведенными в сторону руками, - тоже крест, это образ микрокосмоса, отражение огромной Вселенной в каждом индивидууме. Крест олицетворяет универсального архетипического человека, способного к бесконечному и гармоничному расширению как в горизонтальном, так и в вертикальном планах. Линия вертикальная – небесная, духовная и интеллектуальная, позитивная, активная, мужская. Линия горизонтальная – Земная, рациональная, пассивная, отрицательная, женская.

Крест уравновешивает физическую энергию человека с эмоциональной, ментальной и духовной энергиями. Человек заключает в себе крест и на физиологическом уровне. Движение его рук крестообразно: движение правой руки связано с левым полушарием мозга, левой руки – с правым.

Крест заключает в себе два начала: мужское и женское, встречающиеся для совместной работы во вселенной. Нужно научиться заставить работать в себе вместе мужское и женское начала, активное и пассивное, выделяющее и поглощающее, дух и материю, мужчину и женщину, интеллект и сердце, мудрость и любовь.

Способный к расширению в любом направлении крест символизирует вечную жизнь.

Таким образом, крест – космический символ, который следует изучать и к которому следует относиться с самым большим уважением. Носит на себе крест – хорошо, но при условии понимания его смысла. Любая вещь, любое существо, с которым мы не умеем обращаться и быть в гармонии, могут быть губительны для нас. Если у человека нет ничего доброго на уме или в сердце, даже крест не сможет его преобразить или защитить. 17

Формы креста

Формы креста разнообразны. Они отличаются и числом перекладин и числом концов креста (от трех до шести, как в Халдее и Израиле, или даже восьми), и пропорциями.

Греческий, или квадратный крест 18

Греческий, или квадратный крест: горизонтальная перекладина расположена в середине вертикальной; крест святого Георгия.

Это крест самой простой формы с концами равной длины. В раннем христианстве греческий крест символизировал Христа.

На национальном флаге Греции этот крест, белый на синем фоне, впервые появился в 1820 году, символизируя борьбу против правления турок-мусульман.

Это также символ светской, земной власти, но полученной от Бога.

Квадратные кресты на основе греческого креста

Сюда можно отнести следующие формы креста: головчатый, трефовый, звездчатый, Могущественные кресты, крест крестоносцев, тевтонский крест, крест-молот, крест освещения.

Перекрещенный крест (Святой, Германский) У гностиков – знак четырех таинств (философских начал).

Крест крестоносцев представляет собой пять золотых крестов на серебряном фоне. В качестве герба этот крест был взят норманнским завоевателем Готфридом Бульонским, который стал Охранителем Святой Гробницы и первым правителем Иерусалима после его освобождения от мусульман в конце первого крестового похода в 1099 году.

Крест крестоносцев часто (иногда называемый иерусалимским крестом) часто используется на покрывалах в алтаре: большой крест символизирует Христа, четыре маленьких – четырех евангелистов, распространяющих учение на четыре стороны. Пять крестов вместе так же могут символизировать раны Христа.

17 Лосев А.Ф. Философия. Мифология. Культура. – М.: Политиздат, 1991.

18 См. Приложение 3, иллюстрация 10, комментарий к ил. 10

Тевтонский крест. Четыре маленьких крестика на концах символизируют четыре Евангелия.

Крест-молот один из главных геральдических крестов, назван так от французского potenee – «опора», поскольку его форма похожа на опоры, применявшиеся в древности.

Крест освещения , символы Христа, были призваны отваживать дьявола и его демонов и являлись важным атрибутом церемонии освящения.

Латинский крест 19

Другое название латинского креста – длинный крест. Его горизонтальная перекладина расположена выше середины вертикальной перекладины. Латинский крест – наиболее распространенный христианский религиозный символ в западном мире. По традиции считается, что именно с этого креста был снят Христос, отсюда другое его название – крест Распятия; его так же называют крест Запада, Крест Жизни, крест Страдания. Эта форма, так схожая с человеком, раскинувшим руки, символизировала Бога в Греции и Китае задолго до появления христианства. У египтян поднимающийся из сердца крест символизировал доброту.

Длинные кресты на основе Латинского креста

Это, в первую очередь, крест Святого Петра (перевернутый латинский крест), который с IV века является одним из символов Святого Петра, который был распят головой вних на перевернутом кресте в 65 году н. э. во время правления в Риме императора Нерона. Этот крест так же являлся эмблемой ордена тамплиеров.

Трефовый крест в геральдике так же называют крестом с листьями клевера.

Лист клевера является символом Троицы, и крест выражает ту же идею. Используется так же для обозначения воскресения Христа.

Крест-кинжал возник в средние века, когда священники помечали в книге место, где нужно перекреститься.

Андреевский крест 20

Его называют так же диагональным или косым. На таком кресте страдал и принял мученическую смерть апостол святой Андрей. Согласно Легенде он посчитал себя недостойным быть распятым на таком же кресте, как и Христос, и поэтому попросил своих палачей перевернуть его.

Римляне использовали этот символ для обозначения границы, проход за пределы которой воспрещался.

Он так же символизирует совершенство, число 10.

По форме этот крест напоминает букву Х, первую букву имени Христа в греческом написании.

Святой Андрей – покровитель России, и когда Петр Великий создавал русский военно-морской флот, он принял для флага флота синий косой крест на белом фоне. Этот флаг использовался до революции 1917 года.

Так же Андреевский крест (белый на синем фоне) был принят в качестве национальной идеи Шотландии примерно в XII веке. А в 1801 году крест был включен в геральдику Великобритании. Так же он присутствует на флаге острова Джерси.

Тау-крест (крест Святого Антония) 21

Тау-крест назван так из-за сходства с греческой буквой «Т» (тау). Он символизирует жизни, ключ к верховной власти.

В геральдике это Всемогущий Крест.

Древние Египтяне использовали Тау-крест для обозначения плодородия и жизни. В библейские времена, поскольку этот символ был последней буквой еврейского письма, тау-крест стал означать конец мира.

19 См. Приложение 3, иллюстрация 11, комментарий к ил. 11

20 См. Приложение 3, иллюстрация 12, комментарий к ил. 12

21 См. Приложение 3, иллюстрация 13, комментарий к ил. 13

В начале XIII века этот крест делал своей национальной эмблемой Франциск Ассизский.

Тау-крест выступает также в качестве креста-распятия. Из-за сходства с виселицей, как ее делали в древности, так же называют «крестом виселицы».

В магии Т-образный крест означает нисхождение духа из высшего плана в область земного (вертикаль) через область времени (горизонталь).

Египетский крест Анкх (Анх) крест 22

Анкх – наиболее значимый символ у древних египтян, известный так же как «крест с рукояткой». В этом кресте объединены два символа: круг (как символ вечности) и подвешенный к нему тау-крест (как символ жизни); вместе же они обозначают бессмертие, вечную жизнь.

Египетский анкх так же обозначает скрытую мудрость, ключ к тайнам жизни и знаниям.

Христианский Анкх (Анх) крест 23

В более близкие нам времена этот знак использовался колдуньями в ритуалах, ворожбе, гадании, врачевании и помощи роженицам. Во времена движения хиппи в конце 60-х годов ХХ века анкх был популярным символом мира и правды.

Мальтийский крест 24

Мальтийский крест также называют восьмиконечным крестом. Он символизирует четырех великих богов Ассирии: Ра, Анну, Белуса и Хеа. Являлся эмблемой рыцарей Мальтийского ордена.

С самого начала белый крест этой формы на черном фоне был эмблемой военного и религиозного ордена госпитальеров, называемых также иоаннитами, которые посвятили себя освобождению от Мусульман Святой земли во времена крестовых походов (1095-1272 гг.). Изгнанные в 1291 году, они перенесли свою «штаб-квартиру» на Родос (в 1310 году), а позднее на - Мальту (в 1529 году)- отсюда это название.

В наши дни мальтийский крест можно увидеть в Британии как обозначение Санитарной бригады святого Иоанна.

Крест с перекладинами 25

Экклезиастические кресты с двумя перекладинами означают архиепископов и патриархов, а стремя перекладинами – папу.

Лорранский крест или крест Лорана, имеет две поперечные Линии. Жанна д’Арк, родившаяся 6 января 1412 года в Домрема, неподалеку от Лорана, как утверждается, имела именно этот крест своей эмблемой. Эта форма креста была также одобрена Шарлем де Голлем в июне 1940 года как символ освобождения Франции от нацистских оккупантов, а так же как символ организации «Свободная Франция».

Патриарший крест – с двумя горизонтальными перекладинами – используется архиепископами и кардиналами. Это символ православной церкви, его также называют католическим крестом с двумя перекладинами. Он часто встречается на гербах архиепископов. Этот крест широко распространен в Греции и иногда называется анжуйским или лотарингским.

Папский крест с тремя горизонтальными перекладинами известен также под названием тройной крест, используется в процессиях, в которых участвует папа. Три перекрестные линии символизируют власть и Древо Жизни.

Восьмиконечный крест – это крест русской православной церкви. Он называется также восточный крест или крест святого Лазаря.

Поднятые кресты 26

Самый известный из поднятых крестов – крест Голгофы. Это латинский крест,

22 См. Приложение 3, иллюстрация 14, комментарий к ил. 14

23 См. Приложение 3, иллюстрация 15, комментарий к ил. 15

24 См. Приложение 3, иллюстрация 16, комментарий к ил. 16

25 См. Приложение 3, иллюстрация 17, комментарий к ил. 17

26 См. Приложение 3, иллюстрация 18, комментарий к ил. 18

называемый так же крестом восхождения или нисхождения. Одни из наиболее лаконичных крестов алтаря.

Пустотелые кресты 27

Самый простой и пустотелых крестов – гамма-крест , или гаммадион; назван так потому, что состоит из четырех греческих букв Г (гамма). Часто такой крест можно увидеть на одежде священников православной церкви.

Немецкий крест построен четырьмя буквами F в такой последовательности: «Frisch, Fromm, Fruhlich, Frei» (крепкий, богобоязненный, жизнерадостный и свободный).

Самый сложный из пустотелых – римский священный крест .

Крест Константина (Знак «Хи-Ро») 28

Крест Константина – монограмма, известная как «Хи-Ро». Состоит из Х (греческой буквы «хи») и Р («ро») – это первые две буквы имени Хиста по-гречески. Легенда гласит, что именно этот крест император Константин увидел в небе по дороге в Рим к своему соправителю и одновременно противнику Максимилиану; вместе с крестом он увидел надпись «In hoc vinces», переводимую как «Сим победиши». Согласно другой легенди этот крест привиделся ему во сне в ночь перед битвой, при этом император услышал голос: «In hoc signo vinces» («С этим знаком победишь»). Обе легенды утверждают, что именно это предсказание обратило Константина в христианство. Позже он сделал эту монограмму своей эмблемой (вместо орла).

Крест-свастика 29

Свастика обычно рассматривается как самостоятельный древний символ космической энергии, но она, в сущности, также является разновидностью креста, «сломанные» концы которого передают вращательное движение. Христиане использовали этот символ (так называемый «скрытый крест») во времена преследования их за вероисповедание. Считалось также, что он состоит из четырех букв греческого алфавита Г («гамма»).

Крест в круге (Масонский крест) 30

Масонский крест – это крест, вписанный в круг, означающий святое место и космический центр. Четыре измерения пространства в небесном круге символизируют тотальность, включающую в себя Великий дух. Такой крест или выполнялся в камне, или изображался на стенах римских готических храмов, символизируя их освященность.

Пацифистский крест (Крест мира) 31

Этот символ разработал Джеральд Холтон в 1958 году для создававшегося тогда движения за ядерное разоружение. Для разработки нового символа он использовал семафорную азбуку: составил крест из её символов для «N» (nuclear, ядерное) и «D» (disarmament, разоружение) и поместил их в круг, что символизировало глобальное соглашение. Скоро этот крест стал одним из самых распространенных знаков 60-х годов ХХ века, символизируя как мир, так и анархию.

Символика креста в различных культурах и религиях

Крест, представляющий собой две перекрещивающиеся линии, с доисторических времен служил религиозным, охранительным символом почти в каждой культуре мира. Символ креста разных стран и эпох схож по философскому содержанию и исполнению. Сходство знаковых систем наблюдается даже у народов, исторически разделенных пространством и временем.

У римлян крест олицетворяет кару за злодеяния.

27 См. Приложение 3, иллюстрация 19, комментарий к ил. 19

28 См. Приложение 3, иллюстрация 20, комментарий к ил. 20

29 См. Приложение 3, иллюстрация 21, комментарий к ил. 21

30 См. Приложение 3, иллюстрация 22, комментарий к ил. 22

31 См. Приложение 3, иллюстрация 23, комментарий к ил. 23

В Финикии крест означал жизнь и здоровье.

В Халдее крестом изображались шесть дней творения и шесть фаз времени и срока жизни мира.

В еврейской Каббале шестилучевой крест означает шесть дней творения, шесть фаз времени и продолжительности мира.

Наибольшую распространенность крест получил в христианстве. В первую очередь, это символ Христа, его распятия и его славы и, таким образом, христианской веры.

В римской, персидской, иудейской традициях распятие на кресте было жестоким и унизительным способом наказания для таких слоев населения, как рабы, пираты, бунтовщики, преступники и прочие «неграждане». Таким образом, во времена Христа это вряд ли выглядело как символ, способный привлечь новых верующих. Даже после крещения римского императора крест оставался второстепенным символом по сравнению с христограммой. После того, как христианство достаточно распространилось, он начал доминировать, при этом вобрав в свой символизм и дохристианские значения и тем самым сделав более глубокой новую традицию: крест как символ искупления через самопожертвование Христа. 32

Обычный крест стал утешительным символом человеческого страдания.

В средневековом символизме крест, по преданию, был сделан из дерева, взятого от Дерева Познания, которое, являясь причиной грехопадения, стало тем самым орудием спасения.

В индуизме и буддизме крест – образ единства низшей и высшей сферы бытия: вертикальная перекладина означает вознесение к небу, а горизонтальная – земную жизнь.

В Китае крест считают лестницей не небо, крестом так же обозначается цифра 10 (символ всеобщности) в китайском иероглифическом письме.

В Африке знак креста может символизировать покровительство, защиту, космическое единство, судьбу и, вписанный в круг крест – верховную власть.

У американских индейцев крест – форма человека, дождь, звезды, огонь от дров, девственность, четыре стороны света и четыре ветра. Центром креста являются земля и человек, движимый противоборствующими силами богов и ветров.

У маори крест – богиня Луны, общее благо. 33

Все вышеприведенное позволяет сделать вывод о том, что крест, являясь общечеловеческим символом, в различных эпохах и народах всегда был и остается одним из самых драгоценных и значимых. Его формы разнообразны, а сила его, в большинстве своем, состоит в том, чтобы уравновешивать физическую энергию человека с ментальной и духовной. Но главной уникальностью и ценностью этого символа является то, что во все времена, во всех культурах крест символизировал и по сей день символизирует вечную духовную жизнь.

32 См. Приложение 3, иллюстрации 8, 9, комментарии к ил. 8, 9

33 Энциклопедия символов / сост. В.М. Рошаль. – М.: АСТ; «Издательство «Сова» , 2005 г

2.2.2 Свастика

Свастика – наиболее древний из графических символов и один из самых распространенных во все времена во всех культурах. Ему приписывают арийское происхождение. Свастика считается неиконическим изображением древнего высшего арийского бога Солнца и Неба. Чаще всего относится к солнечным символам, поскольку изображается вместе с солнечным диском. Точное же значение этого символа неизвестно, потому что неоднозначно.

Само название происходит от санскритских слов «su» («хорошо») и«asti» («бытие»), что означает «хорошее существование», «благоденствие» и

является символом благословения, доброго предзнаменования, благополучия, удачи и отвращения беды, а также символом плодородия, долгожительства, здоровья и жизни. Так в «Рамаяне» (индийский эпос) сказано, что, когда король Рама переезжал со своим войском через реку Ганг, чтобы идти на завоевание Индии и острова Цейлон, то на носу его кораблей были изображены символы удачи – свастики.

Свастику можно считать скрытым изображением креста. В археологии такой крест называют crux gammata, или гаммадион, так как он представляет собой соединение четырех греческих прописных букв Г («гамма»). Такая интерпретация подчеркивает, что «гамма» является первой буквой в имени Богини Земли – Геи, так что здесь свастика рассматривается скорее как символ плодородия земли, нежели как солярный символ.

Другое название свастики – крючковатый крест. В геральдике свастика известна под названием крест крампоне, от crampon – железный крюк.

Свастика – правильный равносторонний крест, концы которого «сломаны» под прямым углом, что создает иллюзию вращения этого знака.

Известно, что этот знак всегда рассматривался как эмблема жизни и света ввиду своей принадлежности к тем символам, которые, имитируя видимое движение Солнца вокруг Земли, считаются вращающимися вокруг своей оси.

Знак свастики, вероятно, изображал солнечное колесо, во многих культурах его связывали с богами солнца или неба, особенно в индоиранской традиции.

Часто это символ солнечного прохода по небесам, превращающего день в ночь, а отсюда более широкое значение как символа плодородия и возрождения жизни.

Кроме присущей свастике энергии вращения, использовалась и другая графическая символика этого знака: загнутые концы образуют квадрат, окружающий статический центр; крест как четыре угла квадрата, над которыми движется по кругу Солнце, превращая их в круг (то есть округляя квадрат и делая квадратом круг); крест как сочетание вертикальной и горизонтальной линий, что означает дух и материю, а также четыре ступени существования. В символике североамериканских индейцев свастика была связана со священным числом четыре, четырьмя богами ветров, четырьмя временами года; в Китае – с четырьмя сторонами света, а также являлась символом числа 10 000 («накопление счастливых символов Десяти Тысяч Сил»).

Предполагается также, что свастика – это изображение человека с двумя руками и двумя ногами, или соединение мужского и женского начал, динамическое и статическое, подвижное и неподвижное, гармония и равновесие, вдох и выдох, уход от центра и возвращение к нему, начало и конец. Кроме того, она символизирует некий лабиринт, воду в движении. Может быть, она является изображением разветвленной молнии (сочетание двух Z-образных символов молнии) или двух горящих факелов и их кругового движения, или удвоенного скандинавского Змея-Солнца…

Существует другое мнение, что свастика была образована пересечением меандра (геометрический орнамент из непрерывной кривой или ломаной под прямым углом линии, образующей ряд спиралей. Разработан в искусстве Др. Греции). Иногда ее рассматривают как вариант Тау-креста. Считается также, что это символ покорности и смирения, как и руки, скрещенные в знак покорности на груди.

Пересекающиеся свастики, называемые иногда «узлами Соломона», символизируют божественную непостижимость и беспредельность.

Свастика – это крест в движении. Движение может быть направлено вправо (тогда концы ветвей креста повернуты влево) или влево (концы ветвей повернуты вправо). Однако в определении движения мнения часто расходятся.

Крест, вращающийся вправо (по часовой стрелке) означает, что мы завинчиваем, сдавливаем, мешаем энергиям проявляться: удерживаем их, чтобы управлять ими. Это символ духовности, тормозящей поток физических сил. Пример тому – йоги, поддерживающие тело в неподвижности, «завинчивающие» свою низшую природу, чтобы проявились энергии их высшей, божественной природы.

При вращении в противоположном направлении (против часовой стрелки) означает, что мы «развинчиваем», разжимаем тормоза, запуская физические и инстинктивные энергии и закрывая тем самым проход возвышенным силам духа: мы отдаем себя механической, земной стороне.

Различают две формы свастики: прямую и обратную – в зависимости от того, в какую сторону загнуты ее концы (иногда их называют «руки»).

Прямая свастика: левосторонняя 34 (концы загнуты влево), вращение считается происходящим по часовой стрелке.

Обратная свастика: правосторонняя 35 (концы загнуты вправо), вращение считается происходящим против часовой стрелки.

Считается, что прямая и обратная свастики символизируют мужское и женское начала, солнечное и лунное, движение по и против часовой стрелки, а также, по-видимому, два полушария мозга (левое и правое), небесную и хтоническую (подземную) силу, восходящее весеннее и нисходящее осеннее Солнце.

Прямая свастика ассоциируется с солнечными и плодородными символами – такими как лев, баран, олень, лошадь, птицы, лотос. Её можно найти на алтарях, на статуях, на одеяниях, вазах, оружии, монетах, а также веретенах, где, как считается, она должна означать вращательное движение.

Крылатый диска на свастике – символ солнечной энергии в Египте и Вавилоне.

У древних греков свастика – атрибут Зевса как бога неба и Гелиоса как солнечного бога; встречается также у Геры, Цереры и Артемиды.

У древних римлян свастика символизировала Юпитера, Тонанса, и Плювия.

У древних скандинавов и тевтонов это боевой топор или молот Тора как бога воздуха, грома и молнии, удача. Молот Тора иногда изображался в виде свастики с двумя зигзагообразными молниями. В Литве свастика имеет свойства талисмана, приносящего удачу.

У кельтов – удача, которую приносят боги грома.

В масонской традиции свастику использовали в качестве символа, отводящего беду и зло. Она была также секретным знаком гностиков и применялась вместо креста в христианской секте манихеев, означая смирение.

Как эмблема «арийской» расовой чистоты свастика стала использоваться перед Первой мировой войной членами антисемитских социалистических группировок в Германии и Австрии.

В раннехристианских катакомбных церквах она была также эмблемой Христа.

У мусульман Азии свастика означает четыре стороны света и контроль над четырьмя временами года со стороны ангелов: Запад – Ангел Записывающий, Юг – Ангел Смерти, Север – Ангел Жизни, Восток – Ангел Возвещающий.

34 См. приложение 3, иллюстрация 24, комментарий к ил. 24

35 См. приложение 3, иллюстрация 25, комментарий к ил. 25

Свастика была принята в качестве амулета многими восточными культурами. Кроме того, она является одним из самых распространенных магических символов. Символизм свастики как знака жизненных сил, солнечной энергии и циклического возрождения часто совпадает с символизмом Создателя, особенно это заметно в традициях буддизма 36 и джайнизма 37 .

У последователей джайнизма это божественная сила, создатель Неба и Земли. Четыре руки символизируют четыре ступени существования: протоплазменная жизнь, растения и животные, человек, небесные существа.

Свастика, «закрученная» концами влево (прямая) – буддийский символ бесконечного существования, который изображался на стопе или груди Будды (неподвижная сердцевина Колеса Становления). В буддизме свастика часто встречается в начале и конце надписей, выбита на древних буддийских медалях.

Голубая свастика означает беспредельное совершенство Неба, красная – беспредельное совершенство добродетели сердца Будды, желтая – бесконечное процветание, зеленая – беспредельное совершенство, содержащееся в земледелии.

В индуизме свастика используется иногда для опечатывания кувшинов со святой водой из Ганга.

В Японии свастика – символ долгой жизни и процветания. У японцев она означает сердце Будды, удачу, добрые желания.

Однако символ правосторонней (обратной) свастики может вызвать негативные ассоциации. В Индии, например, она символизирует ночь и черную магию.

Самым известным видом обратной свастики в ХХ веке стал Германский Hakenkreuz – «крючковатый крест». Гитлер, великолепно владевший искусством манипуляции массового сознания, использовал присущий этому символу динамизм для нужд своей партии и в августе 1920 г. поместил свастику на нацистских знаменах, присвоив тем самым ее призывную силу. «Эффект был как от разорвавшейся бомбы»,– писал Гитлер позднее. С 1935 по 1945 года свастика под имперским орлом (на белом или черном фоне) была символом «третьего рейха» 38 . В связи с этим в европейской культуре этот символ устойчиво ассоциируется именно с гитлеровским режимом и идеологией.

Интересным является тот факт, что существует весьма распространенное заблуждение, что нацисты избрали своей эмблемой правостороннюю свастику, тем самым, извратив заветы древних мудрецов и осквернив сам знак, которому более пяти тысяч лет. В действительности это не так. В культурах разных народов встречается как левосторонняя, так и правосторонняя свастика.

Свастика долго оставалась чисто символической фигурой, но постепенно символика ее забывалась и свастика превратилась в мотив украшения. Её наносили и на священные объекты, и на предметы быта.

Изображение как прямой (левосторонней), так и обратной (правосторонней) свастики можно найти во многих культурах: на скатерти племени навахо, на греческой керамике, критских монетах, римских мозаиках, на предметах, извлеченных при раскопках Трои и во многих других культурах.

В России в конце XIX века свастика часто встречалась на узорах полотенец в Новгородской и Орловской губерниях. В начале ХХ века на выпущенных после февральской революции кредитных билетах в 1000 и 250 рублей свастика занимала центральное положение, служа фоном для распростертого орла, а на 250-рублевых билетах, кроме того, имелись еще два изображения свастики по краям на оборотной стороне. Свастику содержали и первые денежные знаки Советской России, выпущенные в 1918 году (например, купюра достоинством в 10 000 рублей).

36 См. Приложение 3, иллюстрация 26, комментарий к ил. 26

37 См. Приложение 3, иллюстрация 27, комментарий к ил. 27

38 См. Приложение 3, иллюстрация 29, комментарий к ил. 29

Форма свастики иногда может принимать совершенно неожиданные очертания. Например, разновидностью свастики можно считать и такие фигуры, как трискелион и трикветра.

Трискелион 39 построен, вероятно, из трех треугольников, стоящих на своих вершинах, в каждой из которых одна сторона удалена. Фигура создает такое впечатление, что движется по воображаемой линии земли, вращаясь вокруг своей оси, откуда и появилось в более позднее время изображение быстро вращающихся треугольников. Трикветра 40 выражает идею движения в виде катящегося колеса.

Всё вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что свастика ни коей мере не является символом, принадлежащим какой-то одной народности, а напротив, связывает множество земель и народов, что даёт определённые основания для поиска общей прародины человечества, а так же дает возможность выявления общих законов и принципов символического мышления людей. 41

39 См. Приложение 3, иллюстрация 28, комментарий к ил. 28

40 См. Приложение 3, иллюстрация 30, комментарий к ил. 30

41 Багдасаров Р.В., Свастика: священный символ. Этнорелигиоведческие очерки . Изд. второе исправле. - М.: Белые Альвы, 2002.

2.2.3 Спираль

Спираль как сакральная форма

Еще одна сакральная форма в нашей жизни – это спираль. Мы используем спирали постоянно, даже не замечая этого. Мы живем в галактике, имеющей спиралевидные рукава. Орган слуха в наших ушах имеет форму спирали…

Спираль – распространенная в природе форма. Сакральная геометрия исследует два вида спиралей: спираль золотого сечения (золотосеченную) и спираль Фибоначчи. Сравнение этих спиралей позволяет сделать следующий вывод. Спираль золотого сечения идеальна: он подобна Богу, Первоисточнику. При рассмотрении рисунка золотосеченной спирали видно, что четыре верхних квадрата на обеих спиралях – одного размера. Разница в том, где они начинаются. Нижняя часть спирали Фибоначчи занимает зону, равную половине верхней зоны: спираль золотого сечения внизу занимает зону размером в 0,618 от верхней зоны. Спираль Фибоначчи 42 построена с использованием шести равных квадратов (она «кончена»), тогда как спираль золотого сечения начинается намного глубже(на самом деле она никогда не начинается – она продолжается бесконечно, как Бог). И хотя точки их происхождения разные, они очень быстро приближаются друг к другу.

При изучении Египта ученые обнаружили, что три пирамиды в Гизе выстроены по спирали. Они подумали, что это была золотосеченная спираль, а не спираль Фибоначчи. Но позже (в 1980-е годы) было установлено, что там присутствуют обе спирали, наложенные друг на друга.

Другой пример: многие книги утверждают, что Камера Фараона в Великой Пирамиде – прямоугольник золотого сечения, но это не так. Она тоже связана с рядом Фибоначчи.

Спирали в природе

Спиральные формы встречаются в природе очень часто, начиная от спиральных галактик 43 и до водоворотов и смерчей, от раковин моллюсков до рисунков на человеческих пальцах, и даже, как обнаружила наука, молекула ДНК, содержащаяся в каждой клетке живого организма, имеет форму двойной спирали.

«Мы летим сквозь космос вместе с Сириусом А по спирали, имеющей форму молекулы ДНК 44 . М имеем общую судьбу с этой звездой. Подобное движение указывает на то, что молекулы ДНК и хромосомы несут в себе информацию об определенных участках космоса. Существуют ключевые периоды, когда происходят определенные события. Они связаны с генетической сонастройкой между Сириусом, Землей и остальной частью космоса. В настоящее время происходит совершенно особая сонастройка» (Б. Фриссел).

Рассматривая закручивающуюся галактику, Друнвало Мелхиседек пишет:

«У спирали есть два рукава, один напротив другого, отстоящих друг от друга точно на 180 градусов. Заметьте, что между отражающими рукавами свет очень темный. Спирали темного цвета вращаются под углом 180 градусов друг к другу и 90 градусов к спиралям белого света. Если вы посмотрите прямо на центр, то увидите, что два противолежащих рукава галактики находятся точно под углом 180 градусов друг к другу…

Здесь спираль белого света выходит в одном направлении, а под углом 180 градусов от нее другая спираль белого света уходит в противоположном направлении. Темные рукава – женские – идут между светлыми.

42 См. Приложение 3, иллюстрация 33, комментарий к ил. 33

43 См. Приложение 3, иллюстрации 31, 32, комментарии к ил. 31, 32

44 См. Приложение 3, иллюстрация 34, комментарий к ил. 34

Это объясняет, почему темный свет между светлыми рукавами спирали отличается от темноты в остальном пространстве (это было обнаружено учеными). Это потому, что черный свет в спирали – это женская энергия, а чернота внешнего пространства – это Великая Пустота, что не одно и то же. Ученые не вполне понимают, почему они разные ».

Символика спирали содержится во всем, что имеет винтообразное строение, - это ухо, раковины моллюсков, щупальца осьминога, свернувшиеся кольца змеи, животные, такие как кошка и собака, которые могут выгибать спину, различные растения… Спирали можно обнаружить в сосновых и еловых шишках, подсолнухах и многих других растениях, в рогах некоторых животных, включая оленя… Если поставить открытую ладонь вертикально перед собой, направив большой палец к лицу, и, начиная с мизинца, последовательно сжимать пальцы в кулак, получается движение, которое есть спираль Фибоначчи.

На сосновой шишке отчетливо видна двойная спираль: первая спираль идет в одну сторону, вторая – в другую. Если подсчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, то можно увидеть, что это всегда два последовательных числа из ряда Фибоначчи: например, если в одном направлении 8 чешуек, то в другом их будет 13; если в одном 13, то в другом 21. Многочисленные примеры двойных спиралей, встречающихся повсюду в природе, всегда соответствуют этому правилу. В частности, спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи.

Еще один пример проявления сакральной геометрии в природе – раковина моллюска наутилуса: «Существует неписаное правило, что в любой хорошей книге по сакральной геометрии должна быть показана раковина наутилуса. Во многих книгах сказано, что это спираль золотого сечения, но это неверно – это спираль Фибоначчи.

Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на центр или начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних изгиба раковины фактически равны, и отношение их длин равно 1, что далеко от коэффициента фи (1,618). Второй и третий изгибы чуть больше приближаются к фи . Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Можно подумать, что в самом начале этот маленький моллюск совершил ошибку; похоже, он не ведал, что творит. Нет, он творит прекрасно, это не ошибка. Просто он точно следует математике ряда Фибоначчи» (Друнвало Мелхиседек).

Пропорция, выражаемая «φ» - соотношением, была широко известна в древности. Она использовалась при сооружении Пирамид и Парфенона; ее изучали великие мастера Возрождения – Леонардо да Винчи и Рафаэль, в наши дни ее широко употреблял в архитектуре Ле Корбюзье. За эстетические свойства ей было присвоено наименование "золотого сечения" или "божественной пропорции". 45

Символика спирали

Спираль – весьма сложный символ, который использовался со времен палеолита. Он обнаружен в додинастическом Египте, на Крите, в Микенах, в Месопотамии, Индии, Китае, Японии, доколумбовой Америке, Европе, Скандинавии и Британии; он найден также в Океании (но не Гавайях).

И всюду спираль – это, прежде всего, символ великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосмоса.

Спираль, сочетающая в себе форму круга и импульс движения, является также символом времени, циклических ритмов, смены сезонов года, рождения и смерти, фаз «старения» и роста Луны, а также самого солнца. Она также символизирует эманации Солнца и Луны, воздушные и водные течения, раскаты грома и молнии. Как расходящаяся и сходящаяся,

45 Фадеева Т.М., «Сакральное пространство». М., 2002 г. Главы из книги. Стр. 126-137.

спираль может означать рост и распространение, расширение и сокращение, скручивание и раскручивание. Она может символизировать так же преемственность. Может являться изображением вращающегося небосвода, движения Солнца, вращения земли. В виде воздушного вихря во время грозы или в виде водоворота она символизирует плодородие и динамический аспект бытия. Как смерч она ассоциируется с китайским опускающимся драконом. Спираль и смерч имеют одну и ту же символику, особенно когда выступают как символы энергии в природе.

Спирали-вихри ассоциируются с прядением и тканьем паутины жизни и завесы Богини-Матери, распорядительницы судеб и ткачихи завесы иллюзий.

Кроме того, спираль имеет ту же символику, что и лабиринт.

В метафизическом плане она символизирует реалии существования, различные модальности бытия, блуждания души и ее окончательное возвращение к центру.

Спираль как часть плавной и бесконечной линии символизирует также развитие, продолжение, непрерывность, центростремительное и центробежное движение, ритм дыхания и самой жизни.

Двойная спираль символизирует увеличение и уменьшение силы Солнца и

Луны, а также изменяющиеся ритмы эволюции и инволюции, жизни и смерти и т.п. Она может означать две полусферы, два полюса, день и ночь, все ритмы природы, шакта-шакти, проявление и непроявление, а так же последовательность циклов. Является типичным символом андрогина и связана с символизмом двунаправленного действия.

Спиральная форма змей на кадуцее, как и прочие двойные спирали, символизирует равновесие противоположностей. Тот же смысл заключен в даосском знаке «инь-ян», являющемся разновидностью двойной спирали.

Противоположные силы, наглядно присутствующие в водоворотах, смерчах и языках пламени, напоминают о восходящей, нисходящей или вращающей энергии, которая управляет Космосом.

Восходящая спираль – мужской, фаллический знак, нисходящая – женский, что делает двойную спираль символом плодовитости и деторождения.

Сжатая спиральная пружина – символ скрытой силы, как и змееобразный клубок энергии в основании спины, который считается важным элементом учения йоги.

Спираль связана также с пупком, как центром силы и жизни.

Она является магическим символом, отражающим путешествие к центру, где будут обретены просветление, мудрость и интуиция. Если целью такого путешествия по спирали к центру является обретение мудрости, то иногда спираль изображается в виде свернувшейся змеи.

Олицетворяя собой «путь», спираль так же служит выразителем мощного заряда энергии.

В популярной магической традиции существует множество «змеиных амулетов», иногда называемых «амулетами Святой Хильды», которые на самом деле являются аммонитами (окаменевшими раковинами), к открытому концу которых приделывается голова змеи. Такие амулеты до сих пор продаются в Уитби (Англия) и близлежащих деревня и, как считается, обладают защитной силой для тех, кто их носит. Говорят, что аммониты являются ископаемыми телами змей, которых Святая Хильда отправляла через край утеса над Уитби, изгоняя из своего аббатства.

У кельтов спираль так же может быть символом пламени.

На Крите и в Микенах скрученные в кольца щупальца осьминога связывались со спиралью, громом, дождем и водой.

В даосизме и буддизме «драгоценную жемчужину» или «меч с драконами» иногда изображали в форме спирали.

Она также связана с душами богов и королей, с вызывающими дождь рептилиями, со свернувшейся и спящей змеей Кундалини.

Боги смерчей и природных стихий и движений, такие как Рудра или Пушан, имеют прически в форме спиралей или раковин.

В искусстве спираль – один из самых распространенных декоративных узоров – от Европы (двойные спирали в кельтской традиции или спирали на римских капителях) до Тихого Океана (спиральная резьба маори в Новой Зеандии, татуировки островитян Полинезии). Резьба маори основана на расположении листьев папоротника, что демонстрирует связь между спиральными узорами и природными феноменами. Именно эта связь зачастую и определяет символизм спирали, хотя ее многозначность так велика, что иногда требуются особые ключи, чтобы расшифровать ее значение. Стоит также заметить, что символизм в спиральных узорах присутствует скорее непроизвольно, осознанное его применение встречается намного реже.

Вырезанные на мегалитических памятниках спирали изображают путешествие по лабиринтам загробного мира и дают надежду на возможное возвращение оттуда.

Интересен знак двойной спирали, в которой оба элемента – саморазвертывание и самоконцентрация («эволюция и инволюция») связаны в неразрывном единстве. В этом можно увидеть образ «становления и исчезновения» как процесса вечного круговорота. 46

Все вышеприведенное позволяет сделать вывод о том, что спираль является достаточно сложным символом для трактовки и понимания. Появившись еще со времен палеолита, этот символ нашел свои истоки в разных культурах и народностях. Но, несмотря на различные применения и истолкования, спираль, прежде всего, была и остается символом великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосмоса.

46 Фадеева Т.М, "ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ", Издательство «Просвещение», М., 2002 г.

Глава III . Взаимодействие геометрических знаков и символов при их совмещении.

Геометрические формы не являются просто произведениями искусства. Воспринимать их надо в связи с теми сокровенными явлениями, которые они помогают выразить и украсить. Все сокровенные структуры имеют в своей основе изначальный геометрический Логос: египетские и мексиканские пирамиды, храмы в Индии, пагоды Китая и Японии, палатки индейцев Северной Америки, церкви и соборы христианского мира.

Каждый элемент неразрывно связан с другим, свидетельствуя о единстве кажущихся различий между огнем и водой, воздухом и землей. Никакой элемент не главенствует, все они уравновешивают друг друга и образуют очень устойчивую структуру. На этом простом факте основана вся сакральная геометрия и архитектура.

В совокупности почти все геометрические символы можно рассмотреть как какой-то особый неподражаемый элемент, имеющий особое значение и толкование.

В данном реферате использовалось пять символов: точка, круг, крест, свастика и спираль.

Например, у таких символов как свастика и спираль очень много общих признаков и значений. В первую очередь и у того, и у другого символа присутствует иллюзия вращения (у Свастики – благодаря форме правильного равностороннего креста, концы которого «сломаны» под прямым углом). У двух символов выражена имитация видимого движения Солнца вокруг земли, вращение вокруг своей оси, постоянное непрерывное движение вихрей. У этих символов наблюдается некая созидательная сила в действии, порождение природных и временных символов, женское и мужское начала. Очень важно отметить и то, что оба символа толкуются как некие лабиринты, в которых движение идет либо от центра, либо к центру.

Что касается всех символов, то, взаимодействуя друг с другом, они представляют собой некое «живое тело», причем тело, логично структурированное так, что каждый символ в нем является началом или продолжением другого.

Автору удалось составить рисунок, состоящий из всех использованных в реферате символов 47 . В итоге рисунок представляет собой «живой элемент», который может быть растолкован по-разному, но, опираясь на все символы, из которых состоит рисунок, получается следующая цепочка: точка, являясь началом всего мироздания, сосредотачивает в себе всю энергию. Из точки может быть образован абсолютно любой символ, элемент или знак. Следуя символам из данной работы, можно сказать, что точка – центр, начало креста. Свастика, имеет значение согнутого креста, концы которого в силу «сломанности» создают вращательную энергию. Вращательная энергия свастики подобна вращательному, закручивающемуся движению спирали. Вращаясь, спираль образует форму круга. Все пять символов имеют значение жизненных сил, солнечной энергии, циклического возрождения.

В итоге, рисунок, получившийся из пяти этих символов – не что иное, как возможность показать то, что жизнь никогда не стоит на месте, непрерывные восстановления, самовоспроизводство, цикличные возрождения всегда будут присутствовать в природе, в жизни людей, во всем, что живет.

47 См. Приложение 3, иллюстрация 35, комментарий к ил. 35

Заключение.

Целью данного реферата являлось изучение геометрических символов и анализ их значения в природе, науке и в жизни различных цивилизаций.

Были реализованы следующее задачи:

Провести отбор литературы по данной тематике.

Рассмотреть символизм как свойство культуры.

Изучить выбранные для работы геометрические символы и совместить их в единое, показав, что каждый символ, элемент и знак неразрывно связан с другим.

Предметом исследования являлся процесс выявления различных значений одного символа в различных культурах и эпохах, а так же доказательство того, что все символы многозначны.

Объектом исследования выступали геометрические символы.

По итогам материала была доказана гипотеза о том, что между символами существует неразрывная связь, которая может соединить все символы во что-то единое и содержать в себе особое непостижимое знание.

В заключение следует отметить, что символы всюду тождественны, хотя и несут на себе отпечатки культуры и традиций разных народов. Время не изменило коренным образом структуру символизма. Оно лишь последовательным образом приоткрывало новые смысловые слои, не разрушая предыдущей системы понятий. А собственное человеческое видение, воображение и понимание должны расти и подниматься всё к новым высотам, чтобы наиболее полно оценить поразительное наследство, оставленное нам на поверхности земли, в музеях, библиотеках и сферах духовной культуры человечества.

Приложение 1

Словарь терминов

Абстракция - (нем. Abstraktion, фр. abstraction < лат. abstrāctio удаление, отвлечение).

1. Мысленное отвлечение от тех или иных сторон, свойств или связей предметов и явлений для выделения существенных их признаков. (Без абстракции невозможно формирование понятий) . 2. Отвлеченное понятие, теоретическое обобщение опыта (как результат абстракции).

Аллегория - (нем. Allegorie < греч. allēgoria < allos другой, иной + agoreyō говорю). В литературе и изобразительном искусстве: выражение чего-н. отвлеченного в конкретном художественном образе; иносказание. | Примеры аллегорий: весы - правосудие, крест - страдание, якорь - надежда и т. п.

Андрогин – (греч. androgynos < anēr (andros) мужчина + gynē женщина). Мифологическое обоеполое человеческое существо, которое боги разделили на две особи - мужчину и женщину.

Антропология – (греч. anthrōpos человек + logos учение). Наука о биологической природе человека.

Артемида Эфесская - в греческой мифологии дочь Зевса, богиня охоты, покровительница рожениц. Изображалась с луком и стрелами, иногда с полумесяцем на голове.

Ацтеки – (исп. Aztecas), индейский народ. Другие названия - теночки и мешика. Современные ацтеки живут в Мексике. 1,2 млн. человек (1992). Язык ацтекский. Верующие - католики.

Будда - проснувшийся, прозревший, Просветленный, Познавший запредельный свет. 1) в буддизме высшее состояние духовного совершенствования; 2) имя древнеиндийского мудреца Шакьямуни после обретения им особого духовного опыта (дара).

Гера - в греческой мифологии царица богов, сестра и жена Зевса; покровительница брака. Дочь Кроноса и Реи. Отличается властностью, жестокостью и ревнивым нравом. Она преследует своей ненавистью возлюбленных и детей Зевса. В отместку Зевсу, родившему Афину, рождает без его участия Гефеста.

Геральдика – (от ср.век. лат. heraldus - глашатай), гербоведение. Со 2-й половины 19 века - вспомогательная историческая дисциплина, изучающая гербы; ранее, в 13-1-й половине 19 веков, - составление дворянских, цеховых и земельных гербов. В наиболее распространенном понимании геральдика занимается гербами, появившимися в европейском средневековье.

Зевс - в греческой мифологии верховный бог. Низвергнув в Тартар своего отца титана Кроноса, стал владыкой богов и людей. Атрибутами Зевса были эгида (щит), скипетр, иногда орел; местопребыванием считался Олимп (Зевс-Олимпиец).

«Золотое сечение» - (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. АВ : ВС = АС : АВ ). Приближенно это отношение равно 5 / 3 , точнее 8 / 5 , 13 / 8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Кабалистика, Каббалистика – (нем. Kabbalistik < др.-евр. - см. кабала2 ). 1. Кабала и связанные с нею магические представления или обряды. 2. перен . Нечто непонятное, запутанное или загадочное

Квинтэссенция – (нем. Quintessenz, фр. quintessence < лат. quinta essentia пятая сущность). Самое главное, наиболее существенное, важное; то же, что эссенция .| В античной философии - эфир, пятый элемент - основной элемент небесных тел, противополагавшийся четырем земным: воде, земле, огню и воздуху.

Кумулятивный процесс – (фр. cumulatif, нем. kumulativ < лат. cumulātio увеличение; скопление). Основанный на принципе накопления, концентрации чего-н.

Масонство - Религиозно-этическое течение с мистическими обрядами, обычно соединяющее задачи нравственного самоусовершенствования с целями мирного объединения человечества в религиозном братском союзе.

Метафора – (греч. metaphora перенос). Оборот речи, состоящий в употреблении слов и выражений в переносном смысле на основе сходства, сравнения.

Мифология – (нем. Mythologie < греч. Mythologia). 1. Совокупность мифов какого-н. народа.

2. Научная дисциплина, изучающая мифы .

Неоплатонизм – (нео… + платонизм). Философское направление, возникшее в Римской империи в 3 в., сочетавшее идеализм Платона с восточной мистикой. Неоплатонист - последователь неоплатонизма.

Парфенон – храм Афины Парфенос на Акрополе в Афинах, памятник древнегреческой высокой классики. Замечателен величественной красотой форм и пропорций. Разрушен в 1687; частично восстановлен.

Платонизм – (фр. platonisme < греч. Platōn Платон). 1. Учение древнегреческого философа Платона (427-347 гг. до н.э.) и его последователей, противопоставлявшее реальному миру вещей мир сверхчувственных идей; разновидность идеализма

Полемика – (нем. Polemik < фр. polйmique < греч. polemikos воинственный, враждебный). Спор при обсуждении научных, литературных, политических вопросов.

Семиотика – (греч. Sēmiōtikē). Наука о знаках и знаковых системах

Сириус - звезда - 1,5 звездной величины, самая яркая на небе. Сириус - двойная звезда, ее компонент Сириус Большой - первый обнаруженный белый карлик.

Транцедентный - В идеалистической философии: находящийся за пределами мира.

Трискелион - (от греч. τρισκελης - трёхногий) - это древний знак, три бегущие ноги выходящие из одной точки. Трискелион является также символом Сицилии .

Трикветра - (лат. triquetrum - треугольный) - древнейший символический знак, распространенный у нордических народов Европы - ирлландцев, фризов, скандинавов.

Христограмма - кризма, монограмма Иисуса Христа, самая распространенная из священных монограмм, образованная из греческих букв «Х» (хи) и «Р» (ро).

Церера - в римской мифологии богиня земледелия и плодородия.

Шактизм (от санскр. sakti - сила, энергия), течение в индуизме, в основе которого - почитание шакти, обожествленной женской энергии, которая понимается как ипостась энергии бога

Эзотерические символы – (греч. esōterikos внутренний). Тайный, скрытый, предназначенный исключительно для посвященных.

Экзотерические символы – (греч. exōterikos внешний). спец . Не составляющий тайны, предназначенный и для непосвященных.

Эманация – (от позднелат. emanatio - истечение, исхождение), центральное понятие неоплатонизма, означающее переход от высшей онтологической ступени универсума (Единое) к низшим, менее совершенным. Вслед за неоплатониками теории эманации придерживались Эриугена и поздний Шеллинг. Эманация как убывание бытия противоположна восходящему развитию, совершенствованию.

Эмблематика - вспомогательная историческая дисциплина, изучающая символы и знаки принадлежности, собственности и т. п. (кроме гербов и печатей)

Этнология – (нем. Ethnologie, фр. ethnologie < греч. ethnos народ + logos наука, учение). Наука, изучающая материальную и духовную культуру народов.

Приложение 2

Словарь имен

Айванхов О. М. (1900-1986) - Французский философ и педагог, родившийся в Болгарии в 1900г., посвященный, один из величайших современных Учителей человечества, основатель Всемирного Белого Братства. Человек неисчерпаемой силы Духа, полный глубочайшей Любви и сочувствия к людям, ко всему живому на этой Земле. Айванхов целиком основывает эзотерическое учение на христианстве, используя этот единственно возможный путь к умам и сердцам своих учеников.

Дирак Поль (Адриен Морис) (1902-1984) - один из крупнейших физиков-теоретиков 20 века. Предложил метод вторичного квантования. Заложил основы квантовой электродинамики и квантовой теории гравитации. Нобелевская премия (1933, совместно с Э. Шредингером).

Друнвало Мелхиседек – всемирно известный учёный, эколог, изобретатель, эзотерик, целитель и Учитель, автор книг «Древняя тайна Цветка Жизни» и «Живи в Сердце». Учение Друнвало открыто представляет идущую из глубины веков эзотерическую информацию о том, как осознанно использовать для духовного роста принципы Сакральной Геометрии - геометрии форм, лежащей в основе жизни и всех других проявлений во Вселенной.

Иванов И. (1862-1939) – математик, член-корреспондент АН СССР (1925; член-корреспондент РАН с 1924). Труды по теории чисел.

Кант Иммануил (1724-1804) – немецкий философ, родоначальник немецкой классической философии; профессор университета в Кенигсберге, иностранный почетный член Петербургской АН (1794). В 1747-55 разработал космогоническую гипотезу происхождения солнечной системы из первоначальной туманности («Всеобщая естественная история и теория неба», 1755).

Кьеркегор (Киркегор) Серен (1813-55) – датский теолог, философ, писатель. Противопоставил «объективизму» диалектики Гегеля субъективную («экзистенциальную») диалектику личности, проходящей, по Кьеркегору, три стадии на пути к богу: эстетическую, этическую и религиозную.

Леонардо да Винчи (1452- 1519) – один из величайших представителей итальянского искусства эпохи Возрождения, живописец, скульптор, музыкант. поэт, архитектор и ученый.

Лосев А. Ф. (1893-1988) – русский философ, историк философии и эстетики, филолог.

Платон (428 или 427 до н. э. - 348 или 347) – древнегреческий философ. Ученик Сократа, ок. 387 основал в Афинах школу (Академия платоновская). Идеи (высшая среди них - идея блага) - вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи - подобие и отражение идей.

Рафаэль Санти (1483-1520) – итальянский живописец и архитектор. Представитель Высокого Возрождения. С классической ясностью и возвышенной одухотворенностью воплотил жизнеутверждающие идеалы Возрождения. В конце 1508 по приглашению папы Юлия II переехал в Рим, где наряду с Микеланджело занял ведущее место среди художников, работавших при дворе Юлия II и его преемника Льва X.

Уайт Лесли (1900-1975) – американский культуролог. Возродил эволюционный подход к изучению культур, закончил социологический факультет Чикагского университета. В 1964 г. был избран на пост президента Американской антропологической ассоциации.

Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1180-1240) – итальянский математик. В основном труде «Книга абака» (1202) первым систематически изложил достижения арабской математики, чем способствовал знакомству с ними в Западной Европе.

Флоренский П. А. (1882-1937) – российский ученый, религиозный философ, богослов. В сочинении «Столп и утверждение истины. Опыт православной теодицеи» разрабатывал учение о Софии (Премудрости божией) как основе осмысленности и целостности мироздания. В работах 20-х гг. стремился к построению «конкретной метафизики» (исследования в области лингвистики и семиотики, искусствознания, философии культа и иконы, математики, экспериментальной и теоретической физики и др.). Репрессирован; реабилитирован посмертно.

Холтон Джеральд (р. 1922) – американский историк и философ науки. Преподавал в Гарвардском ун-те. Известен как основатель нового направления в исследовании истории науки - тематического анализа, призванного дополнить стандартный анализ логической структуры научного знания. В неопозитивизме анализ ограничивался, главным образом, двумя типами высказываний, которые квалифицировались как эмпирические и аналитические (логико-математические).

Юнг Карл Густав (1875-1961) – швейцарский психолог и философ, основатель «аналитической психологии». Развил учение о коллективном бессознательном, в образах которого (т. н. архетипах) видел источник общечеловеческой символики, в том числе мифов и сновидений («Метаморфозы и символы либидо»).

Приложение 3

Иллюстрации к реферату

Иллюстрация 1 Иллюстрация 2

Иллюстрация 3

Иллюстрация 4

Иллюстрация 5 Иллюстрация 6

Иллюстрация 7

Иллюстрация 8 Иллюстрация 9

Иллюстрация 10 Иллюстрация 11 Иллюстрация 12

Иллюстрация 13 Иллюстрация 14 Иллюстрация 15

Иллюстрация 16 Иллюстрация 17 Иллюстрация 18

Иллюстрация 28 Иллюстрация 29

Иллюстрация 30

Иллюстрация 31 Иллюстрация 32

Иллюстрация 33 Иллюстрация 34

Иллюстрация 35