Собственные значения и собственные функции проекции момента импульса.

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона ) следует:

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения ). Импульс тела - векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с) .

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:

И зменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы .

Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY ). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ 0 под действием силы тяжести; время падения равно t . Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F т = mg за время t равен mgt . Этот импульс равен изменению импульса тела

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения . В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t . Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Выберем на оси времени малый интервал Δt , в течение которого сила F (t ) остается практически неизменной. Импульс силы F (t ) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δt i , а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δt i , то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δt i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t ) и осью t . Этот метод определения импульса силы по графику F (t ) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t ) на интервале .

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t 1 = 0 с до t 2 = 10 с равен:

В этом простом примере

В некоторых случаях среднюю силу F ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10 -3 с.

Импульс p , приобретенный мячом в результате удара есть:

Следовательно, средняя сила F ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный и конечный импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов , на которой изображаются вектора и , а также вектор построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью под углом α к нормали (ось OX ) и отскочил от нее со скоростью под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью ,после отскока мяч будет иметь скорость . Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно

В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δp x = -2m υx . Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δp x > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2m υ.

Момент импульса частицы L относительно начала координат О в классической механике определяется векторным произведением [г,р, т.е.

Такое определение в квантовой механике не имеет смысла, так как не существует состояния, в котором бы оба вектора г и р имели определенные значения.

Рассмотрим момент импульса квантовой частицы. В квантовой механике векторному произведению [г,р] соответствует оператор [г, р ]. Раскрывая это векторное произведение, находят операторы проекций момента импульса на координатные оси X, У, Z, например на ось Z:

Через эти проекции оператор вектора момента импульса выражается как

В дальнейшем будем использовать оператор проекции момента импульса на ось Z, но не в декартовой, а в сферической системе координат (г, 0, ср):

Оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его также называют оператором углового момента. Собственные значения операторов проекций момента импульса тоже не зависят от выбора начала координат.

Можно проверить и убедиться, что операторы проекций момента импульса L x , L y и L z не коммутируют между собой: L x L y y>^ L y L x y). Поэтому не существует состояния, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций L x , L v , L, имели определенные значения, отличные от нуля. Отметим, что в отличие от момента импульса у импульса одновременно измеримы три компоненты: р х, р у, р,.

Итак, не существует такого состояния квантовой частицы, в котором бы вектор момента импульса имел определенное значение, т.е. был бы полностью определен как по величине, так и по направлению. Исключением является только случай, когда L - 0 и все три проекции одновременно равны нулю: L x = L v = L, = 0.

Модуль момента импульса. Чтобы определить квадрат момента импульса частицы в состоянии ф, необходимо решить уравнение вида (27.5):

где оператор квадрата момента импульса L = L x + L y + L z . Можно пока-

зать, что для собственных значений оператора L справедливо

где / - орбитальное (азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента импульса движущейся микрочастицы

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).

Операторы L x , L y и L z (27.10) коммутируют с L . Следовательно,

можно одновременно определить величину момента импульса L (или ее квадрат L 2) и одну из его проекций (L x , L y или L ,). Обычно рассматривают проекцию на ось Z, так как в этом случае оператор L z задается более простой формулой (27.10).

Проекция момента импульса L z . Чтобы определить собственные значения и собственные функции оператора углового момента частицы, необходимо, согласно выражению (27.5), решить уравнение L-ф = 1.ф, т.е.

где волновая функция является функцией сферических координат: ф = ф(/*, 0, ф). Подстановка ф = Се аф (С = С(/%0)) приводит после сокращения на общий множитель Се а ф к уравнениям

Значит, решение уравнения (27.12) таково:

В силу требуемой однозначности ф при повороте вокруг оси Z на азимутальный угол ср, равный 2л, волновая функция не должна изменяться: ф(ф + 2л) = ф(ф). Поскольку функция в‘ а периодична с периодом 2л, то согласно (27.13) это равенство может выполняться только при условии

где число т называют магнитным квантовым числом. Таким образом, постоянную Планка Pi можно рассматривать как естественную единицу углового момента. Отметим, что уравнение (27.13) задает спектр разрешенных значений проекции момента импульса на выделенную ocbZ

Рис. 27.1. Возможная ориентация вектора момента импульса, например электрона, в состоянии с квантовым числом 1 = 2

Равенство (27.13) означает, что поскольку направление оси Z выбирают произвольно, то проекция углового момента на любое направление квантуется (рис. 27.1). Разумеется, схематическое изображение не следует понимать буквально, так как «вектор» L принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. При определенном значении модуля углового момента и определенном значении проекции L, проекции L x и L y не имеют определенных значений (за исключением случая, когда все три компонента углового момента одновременно равны нулю). Значения L и L v отличные от (27.11а) и (27.13), не могут наблюдаться ни при каких условиях.

Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. | L z Поэтому в соответствии с формулами (27.11а) и (27.13) выполняется условие

следовательно, максимальное значение т равно / и можно записать, что

При заданном / число т принимает (21 + 1) значений:

образующих спектр проекции L z = mb на любую выделенную ось Z (рис. 27.1).

Таким образом, квантовое число / задает и модуль углового момента, и все возможные значения его проекции на ось Z. Так, например, если орбитальное квантовое число / = 2 (рис. 27.1), то

Полученные результаты, определяющие возможные значения L и L v называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (рис. 27.1): по оси Z откладывают возможные значения mb, рассматривая их как проекции на ось Zвектора L длины й Л //(/ + 1).

Задача 1

Вдоль оси Ох движется тело массой m =1 кг со скоростью V 0 = 2 м/с. Вдоль направления движения действует сила F = 4 Н в течение некоторого времени t = 2 с. Определите скорость тела после окончания действия этой силы.

Для решения этой задачи в первую очередь важно вспомнить о том, что такое, импульс тела .

Рис. 1. Выбор системы отсчета

Вспоминая, что импульс силы – это изменение импульса тела, запишем следующее выражение: .

Теперь уравнение согласуем с выбранной системой отсчета. Сила F при проекции на ось Х будет с положительным знаком, а значит: .

Затем, преобразовав это уравнение, выделив из него ту скорость, которую нужно определить, запишем следующее выражение: .

Ответ: 10 м/с.

Задача 2

Тележка с человеком на ней движется вдоль прямой со скоростью 2 м/с. Человек спрыгивает с тележки в горизонтальном направлении, противоположном направлению движения тележки, со скоростью 1 м/с. Определите скорость тележки после того, как с нее спрыгнул человек. Масса человека в 1,5 раза больше, чем масса тележки.

Рис. 2. Проекции импульса тел на ось Х

В первом случае, обратите внимание, и тележка, и человек едут вместе, значит, скорость у них одинакова, мы можем записать для данной системы отсчета, связанной с осью Ох, следующее выражение: .

Затем, когда человек спрыгивает с тележки, этих двух тел можно записать следующим образом: .

Знак минус показывает, что скорость человека направлена в противоположную сторону, а скорость тележки со знаком плюс будет направлена в ту же сторону, что и первоначальная скорость, т.е. вдоль оси Ох.

Записав эти выражения для начального состояния и состояния после взаимодействия, воспользуемся законом сохранения импульса.

По закону сохранения импульса импульс в первом случае будет равен импульсу во втором случае: Р 0х = Р х. .

Записав это соотношение, переписываем, раскрываем скобки выражений: (m 1 + m 2) . V 1 =- m 2 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 .

Скорость V¢ 1 и нужно определить. Выразим массу человека через массу тележки, но так, чтобы масса была выражена в одних единицах: (m 1 +1,5 m 1) . V 1 =-1,5 m 1 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 .

Массу m 1 мы можем вынести за скобку и сократить: 2,5 m 1 . V 1 =-1,5 m 1 . V 2 + m 1 . V ¢ 1 . Когда подставляем значения для скоростей, получаем ответ: .

М Эта задача хорошо иллюстрирует реактивное движение. Человек, который спрыгнул с тележки в противоположную сторону, увеличил скорость самой тележки. Не правда ли, это хорошо сочетается с тем, как из ракеты вырываются с некоторой скоростью газы и придают дополнительную скорость оболочке, т.е. самой ракете.

Задача 3

Шарик массой m 1 = 1 кг . скользит по идеально гладкой поверхности со скоростью v 1 = 4 м/с и абсолютно упруго сталкивается с таким же по размеру шариком массой m 2 = 3 кг . Определите скорость шариков после удара?
Решение:
По закону сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе .

ОХ:

Ответ: 1 м/с

Задача 4

Мячик массой 70 г . падает на пол под углом 60 0 к нормали и под таким же углом отскакивает без потери скорости. Определите импульс суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, если его скорость равна 30 м/с .
Решение:
Покажем на рисунке изменения скорости мячика в процессе удара:
Запишем 2-й закон Ньютона
По построению определяем, что . Величина импульса суммарной силы, действовавшей на мячик во время удара, равна
Ответ:

Задача 5

Мальчик массой 40 кг , стоя на коньках кидает камень массой 1 кг со скоростью 8 м/с . под углом 60 0 к горизонту. Определите скорость, с которой мальчик начнет двигаться по льду в результате броска?

Решение:
На систему мальчик - камень не действуют ни какие горизонтальный силы. В инерциальной системе отчета, связанной с землей, проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось должны оставаться неизменной:
Скорость мальчика после броска
Ответ: 0.1 м/с

Задача 6 0.04 м/с

Задача 7

Снаряд в верхней точке своей траектории разорвался на два осколка с массами m 1 =3 кг и m 2 =5 кг. Скорость снаряда непосредственно перед разрывом равнялась v 0 =600 м/с, скорость большего осколка сразу после разрыва равнялась v 2 =800 м/с, а направление ее совпало с направлением движения снаряда перед разрывом. Определите скорость малого осколка сразу после разрыва.

Решение:
Выберем за положительное направление скорости снаряда v 0 и запишем закон сохранения импульса.




Значит, и меньший осколок летел в том же направлении.
Ответ:

Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона и применяется для определения мгновенных скоростей тел после их взаимодействия.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина равная произведению массы тела на его скорость p -> = mϑ -> , где m – масса тела, ϑ -> – мгновенная скорость. Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов тел p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n -> .

Согласно первому закону Ньютона, если тела не взаимодействуют, сохраняется импульс каждого тела и импульс нескольких тел входящих в систему. При взаимодействии внутри системы, между телами возникают пары сил равные по величине и противоположные по направлению, согласно третьему закону Ньютона.

Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы в течении некоторого промежутка времени называется импульсом силы и обозначается F -> Δt. Из второго закона Ньютона в случае действия одной силы и определения ускорения следует F -> = ma -> , a -> = (ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m(ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = mϑ -> – mϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Это уравнение является законом сохранения импульса в импульсной форме. Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса тела (материальной точки). В замкнутой системе взаимодействия происходят попарно, причем импульс одного тела изменяется на величину F 21 -> Δt, импульс второго на F 12 -> Δt, где F 12 -> – сила, действующая со стороны первого тела на второе и F 21 -> – сила действующая со стороны второго тела на первое.

Замкнутой назовем систему тел, взаимодействующих только между собой.

Импульс первого тела изменяется на величину F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, импульс второго тела изменяется на величину F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Но импульс системы тел остается постоянной величиной

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , так как F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, поскольку F 12 -> = -F 21 -> .

При любом взаимодействии двух тел внутри замкнутой системы импульс всей системы не изменяется. Сформулируем закон сохранения импульса.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

При использовании закона сохранения импульса в задаче делаем два схематических рисунка, показывая состояние системы тел до и после взаимодейсвия. Для решения векторных уравнений выбираем одинаковые системы координат.

Задача 1. Неупругий удар.

Вагон массой 30 т движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 10 т. Найти скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп.

Решение.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1ϑ 1 -> = (M1 + M2)ϑ ->

ОХ: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2)ϑ

Отсюда: ϑ = M 1 ϑ 1 /(M 1 + M 2);

ϑ = (30 · 103 · 4) / (30 · 103 + 10 · 103) = 0,75 м/c

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ. 0,75 м/c

Закон сохранения импульса также можно применить для незамкнутых систем, если взаимодействие тел происходит мгновенно и определяются скорости тел сразу после взаимодействия.

Задача 2. Разделение на части.

Граната, летящая со скоростью 20 м/с, разрывается на два осколка массами 1,2 кг и 1,8 кг. Больший осколок продолжает двигаться в том же направлении со скоростью 50 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Решение.

Система не замкнута на тело и его части действует сила тяжести, но так как разрыв происходит мгновенно, изменением импульса каждой части силой тяжести можно пренебречь. Применим закон сохранения импульса в векторном виде.

Mϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

ОХ: Mϑ = M 1 ϑ 1 + M 2 ϑ 2

Отсюда: ϑ 2х = (Mϑ - M 1 ϑ 1)/M 2

ϑ 2х = (3 · 20 – 1,8 · 50)/1,2 = -25 м/с

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ.

Закон сохранения импульса может быть применен в проекциях на ось, если проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна О. p х = 0; p 01х + p 02х = p 1х + p 2х.

Задача 3. Выстрел под углом.

Из орудия, установленного на платформе массой М, производят выстрел снарядом массы m под углом a к горизонту и скоростью V относительно земли, определить скорость платформы после выстрела.

Решение.

Система не замкнута, на тело во время выстрела действует дополнительная сила реакции опоры, которая сообщает снаряду импульс вдоль вертикальной оси ОY, ее проекция на горизонтальную ось ОХ равна 0, других сил, действующих вдоль оси ОХ нет, значит можно применить закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ.

p х = p 1х + p 2х

ОХ: 0 = МU x + mϑ x

0 = МU x + mϑ cosα

U x = m ϑcosα/М

[U] = (кг · м/с)/кг = м/с

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на закон сохранения импульса?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.