Tofauti kati ya nambari na utekelezaji inamaanisha nini? Kuondoa nambari

Tofauti au kutoa nambari kamili kunahusiana moja kwa moja na mada ya kuongeza nambari kamili. Baada ya yote, kujua jumla na moja ya masharti, unaweza kupata muda wa pili. Hebu tuangalie mfano:

Tuna maapulo 10 kwenye kikapu. Mara ya kwanza ulipoongeza maapulo 2 kwenye kikapu, ni maapulo mangapi yaliongezwa kwenye kikapu mara ya pili ili kupata maapulo 10 mwishowe?
Wacha tuonyeshe mabadiliko x kama idadi ya tufaha zilizoongezwa mara ya pili. Ikiwa tunaongeza apples mbili kwa kutofautiana x, tunapata apples 10. Kihesabu, kiingilio kingeonekana kama hii:

ili kupata mabadiliko ya x unahitaji kuondoa tufaha 2 kutoka kwa kikapu au kutoa neno moja linalojulikana la 2 kutoka kwa jumla ya 10.

Hiyo ni, mabadiliko x=8.

Ufafanuzi:
Tofauti ya nambari mbili kamili ni nambari kamili ambayo, ikiongezwa kwa subtrahend, inatoa minuend.

Tofauti ya nambari kamili a na b inaonyeshwa kama a-b.

Tofautia-b ni jumla ya nambaria na nambari iliyo kinyumeb.
a-b=a+(-b)

ambapo b na -b ni nambari tofauti.

Mfano:
5-2=5+(-2)=3

Kutoa nambari kamili chanya kwa mifano.

Mfano:
Ondoa nambari 5 kutoka nambari 12 kamili.

Suluhisho:
Kulingana na kanuni ya tofauti, lazima tubadilishe subtrahend 5 na nambari iliyo kinyume, ambayo ni -5 na kufanya.

Mfano:
Ondoa 56 kutoka kwa nambari 37.

Suluhisho:
Unahitaji kubadilisha nambari ya subtrahend 56 na nambari iliyo kinyume, ambayo ni, nambari -56, na ufanye nyongeza ya nambari na ishara tofauti.

37-56=37+(-56)=-21

Mfano:
Kutoka kwa nambari -4 unahitaji kuondoa nambari 7.

Suluhisho:
Badilisha nambari iliyopunguzwa 7 na nambari tofauti -7 na uongeze kutoka kwa sheria

4-7=-4+(-7)=-11

Kutoa nambari hasi kwa mifano.

Mfano:
Pata tofauti kati ya nambari 6 na -8.

Suluhisho:
Kulingana na sheria ya tofauti, unahitaji kubadilisha subtrahend -8 na nambari tofauti +8 au 8 na uhesabu jumla ya nambari. Tunapata:

Kutoka kwa nambari nzima -14, toa nambari -10.
Unahitaji kubadilisha iliyopunguzwa -10 na nambari tofauti +10 au 10 kulingana na sheria ya kutoa nambari kamili na kisha uongeze.

14-(-10)=-14+10=-4

Inaondoa sifuri kutoka nambari kamili.

Ukitoa sifuri kutoka nambari kamili, nambari haibadilika.

Hebu tuangalie mfano:
3-0=3+0=3

a-0=a

Ikiwa tunaondoa sifuri kutoka sifuri, tunapata sifuri.

Utoaji wa nambari kamili zinazofanana.

Hebu fikiria tatizo:
Misha alipokea pipi 2 kutoka kwa mama yake na mara moja akamtendea rafiki yake Sasha kwa pipi mbili. Misha amebakisha pipi ngapi?

Suluhisho:
Misha alipokea pipi 2 na akatoa pipi 2, kihesabu inaweza kuandikwa kama hii:

Jibu: Misha ana pipi 0 zilizobaki.

Hiyo ni, ikiwa unafanya Kuondoa nambari sawa husababisha sifuri.

Kuangalia matokeo ya kutoa.

Jinsi ya kuangalia ikiwa umepata tofauti ya nambari mbili kwa usahihi?
Jibu ni rahisi; liko katika ufafanuzi wa tofauti kati ya nambari mbili kamili. Haja ya ongeza tofauti na subtrahend tunapata minuend. Fomula ya maneno itaonekana kama hii:

Tofauti + Subtrahend = Minuend

Mfano:
19-5=14

19 ni mawazo yetu;
5 - subtrahend;
14 - tofauti.

Hebu tuangalie:
Tunaongeza minuend kwa tofauti; ikiwa tutafanya utoaji kwa usahihi, tunapata minuend.

Mfano mwingine:
Angalia kutoa 12-23=-11

12 - kupunguzwa;
23 - inayoweza kutolewa;
-11 - tofauti.

Wacha tuangalie uondoaji:
Tofauti + Subtrahend = Minuend

Kutoa maana yake ni kuondoa nambari moja kutoka kwa nyingine.

Utoaji ni kitendo ambacho idadi ndogo hutolewa kutoka kwa kubwa. Wakati wa kutoa nambari kamili, nambari kubwa hupunguzwa kwa vitengo vingi kama nambari ndogo inavyo. Kuondoa nambari moja kutoka kwa njia nyingine kupunguza nambari moja hadi nyingine, kwa hivyo kutoa ni hatua kinyume cha kuongeza.

Katika kutoa, nambari mbili zilizopewa zinaitwa dogo na linaloweza kupunguzwa , na kinachohitajika - tofauti .

Minuend ni nambari kubwa zaidi ambayo nyingine hutolewa. Inapungua kwa kutoa.

Subtrahend ni nambari ndogo ambayo hutolewa kutoka kwa kubwa.

Tofauti ni matokeo yaliyopatikana kutoka kwa kutoa. Tofauti huamua kwa nini nambari moja ni kubwa kuliko nyingine au inaonyesha tofauti kati ya nambari mbili.

Ishara ya kutoa. Kitendo cha kutoa kinaonyeshwa na ishara - (minus).

Kutoa nambari za tarakimu moja

Ili kuonyesha kuwa 6 lazima iondolewe kutoka 9, andika nambari hizi kando, ukizitenganisha na - (minus) ishara:

Tofauti kati ya nambari hizi itakuwa 3, na maendeleo ya hesabu yanaonyeshwa kwa maneno:

tisa toa sita ni sawa na tatu.

Kwa maandishi:

Nambari kubwa 9 itakuwa minuend, nambari ndogo 6 itakuwa subtrahend, na nambari 3 itakuwa salio.

Mbinu za kutoa

Kuna njia mbili za kuondoa nambari moja kutoka kwa nyingine:

au unaweza kutoa kutoka kwa idadi kubwa vitengo vingi kama vilivyomo kwenye nambari ndogo. Kwa hivyo, kutoa 6 kutoka 9 kunamaanisha kutoa 6 kutoka 9. Nambari ya 3 itakuwa salio linalohitajika;

au unaweza kuongeza moja kwa nambari ndogo hadi upate nambari kubwa zaidi. Kwa hivyo, tukiondoa 6 kutoka 9, tunaongeza vitengo 3 hadi 6. Idadi ya vitengo ambavyo lazima viongezwe kwa nambari ndogo ili kuifanya iwe sawa na nambari kubwa huamua tofauti. Nambari ndogo iliyo na tofauti lazima iwe sawa na nambari kubwa, kwa hivyo, nambari ndogo na tofauti ni maneno, na kubwa zaidi ni jumla yao. Kulingana na hili ufafanuzi mwingine wa kutoa:

Kutoa ni kitendo ambacho, kutokana na jumla fulani na muhula mmoja, istilahi nyingine hupatikana.

Kwa kesi hii jumla hii ni minuend, neno hili ni subtrahend, na daina mimi tofauti- muda mwingine.

Kutoa nambari za tarakimu nyingi

Utoaji wa nambari za nambari nyingi inategemea mali ya nambari ambayo kutoa nambari ni sawa na kutoa sehemu zake zote. Kutoka kwa mali hii ni wazi kuwa kutoa nambari ni sawa na kutoa vitengo vyake vyote, makumi, mamia, nk. Ili kuonyesha kuwa kutoka kwa nambari 7228 unahitaji kutoa 3517, andika:

na uondoe vitengo tofauti kutoka kwa moja, makumi kutoka kwa makumi, nk.

Ili kurahisisha kutoa, saini nambari ndogo chini ya ile kubwa zaidi ili vitengo vya maagizo sawa viwe kwenye safu wima sawa, chora mstari, weka ishara ya kutoa upande wa kushoto - na utie saini tofauti chini ya mstari.

Maendeleo ya hesabu yanaonyeshwa kwa maneno:

Wacha tuanze kutoa na vitengo rahisi: 8 bila 7 ni 1; saini chini ya vitengo 1.

Ondoa makumi: 2 bila 1 inatoa 1, saini chini ya makumi 1.

Ondoa mamia. Tano haziwezi kuondolewa kutoka 2, kwa hivyo tunachukua moja kutoka kwa mpangilio wa juu unaofuata (maelfu), ambayo tunaashiria kwa kuweka nukta zaidi ya 7. Sehemu ya kila agizo ina vitengo 10 vya mpangilio wa chini unaofuata. Kuongeza vitengo hivi 10 hadi 2, tunapata 12; 12 bila 5 hufanya 7, tunasaini 7 chini ya mamia. Wanapokopa moja kutoka kwa agizo la juu, wanaashiria hii kwa kuweka nukta juu ya agizo ambalo wanakopa.

Wacha tupunguze maelfu. Badala ya elfu 7, elfu 6 tu walibaki, kwa moja alichukuliwa. 6 bila 3 hufanya 3; saini chini ya elfu 3.

Maendeleo ya hesabu yanaonyeshwa kwa maandishi:

Mfano. Ondoa 6025 kutoka 17004.

Huwezi kuondoa 5 kutoka kwa 4. Tunakopa moja kutoka kwa makumi, amri ya juu zaidi, lakini kwa utaratibu huu hakuna vitengo; tunakopa kutoka kwa mamia, na hakuna mamia; tunakopa kutoka kwa maelfu na kuashiria hii kwa nukta juu ya nambari 7.

Sehemu ya mpangilio wa nne ina vitengo 10 vya mpangilio wa tatu. Tukichukua moja kati ya kumi, tunawaacha katika mamia kama 9 tu. Kwa kuongeza 10 hadi 4, tuna 14.

Kwa kutoa, tunapata:

kwa vitengo 14 - 5 = 9

kwa makumi 9 - 2 = 7

kwa mamia 9 - 0 = 9

kwa maelfu 6 - 6 = 0

Kwa makumi ya maelfu tuna 1, kwa sababu takwimu hii ya minuend inahamishiwa kwa tofauti bila mabadiliko.

Maendeleo ya hesabu yataonyeshwa kwa maandishi:

Kutoka kwa mifano iliyopita tunaamua sheria za kutoa:

Ili kutoa nambari kamili, unahitaji kusaini subtrahend chini ya minuend ili vitengo vya mpangilio sawa viko kwenye safu wima sawa, chora mstari ambao unatia sahihi chini yake.

Kutoa lazima kuanza na vitengo rahisi, yaani, kutoka safu ya kwanza, na kisha, kuhamia safu zifuatazo kutoka mkono wa kulia kwenda kushoto, toa makumi kutoka kwa makumi, mamia kutoka kwa mamia, nk.

Ikiwa nambari iliyopunguzwa ni chini ya nambari iliyopunguzwa, tofauti imesainiwa kwenye safu sawa; ikiwa nambari ni sawa, tofauti itakuwa sifuri. Ikiwa nambari ya iliyopunguzwa ni kubwa kuliko nambari inayolingana ya minuend, wanachukua moja kutoka kwa mpangilio unaofuata wa minuend, wakiashiria hii na alama iliyowekwa juu ya nambari ambayo wanakopa, tumia 10 kwa nambari ya minuend na. fanya kutoa. Nambari iliyo na nukta huhesabiwa moja chini.

Ikiwa, wakati wa kutoa, tarakimu ya minuend ambayo mtu hukopa ni 0, ikifuatiwa na zero katika minuend, kisha kukopa kutoka kwa tarakimu ya kwanza muhimu, kuweka dots juu yake na zero zote za kati. Nambari iliyo na nukta huhesabiwa kuwa moja chini, na sufuri zilizo na nukta huhesabiwa kuwa 9.

Utoaji unaendelea hadi tofauti kamili ipatikane.

Nambari za ziada za minuend huhamishiwa kwa tofauti.

Uhusiano kati ya data na utoaji unaohitajika

Kutoka kwa mfano 9 - 6 = 3 ni wazi kwamba

Minuend ni sawa na subtrahend iliyoongezwa na tofauti: 9 = 6 + 3.

Subtrahend ni sawa na minuend bila tofauti: 6 = 9 - 3.

Tofauti ni sawa na minuend bila subtrahend: 3 = 9 - 6.

Nyongeza ya hesabu. Tofauti kati ya nambari na kitengo cha juu cha karibu inaitwa hesabu inayosaidia. Kwa hivyo, nyongeza za hesabu za nambari 7, 79, 983 ni nambari zifuatazo:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Kijazo cha hesabu wakati mwingine hutumika kurahisisha hesabu za hesabu.

Kuna shughuli nne za msingi za hesabu: kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya. Wao ni msingi wa hisabati, kwa msaada wao mahesabu mengine yote, magumu zaidi yanafanywa. Kujumlisha na kutoa ni rahisi zaidi kati yao na ni kinyume. Lakini tunakutana na maneno yanayotumiwa kwa kuongeza mara nyingi zaidi maishani.

Tunazungumza juu ya "kuongeza juhudi" tunapojaribu pamoja kupata matokeo yaliyohitajika, juu ya "vipengele vya mafanikio yaliyopatikana," nk. Majina yanayohusiana na kutoa hubakia ndani ya mipaka ya hisabati, mara chache huonekana katika hotuba ya kila siku. Kwa hiyo, maneno "kupunguzwa", "kupunguzwa", "tofauti" ni chini ya kawaida. Sheria ya kupata kila moja ya vipengele hivi inaweza kutumika tu ikiwa unaelewa maana ya majina haya.

Tofauti na maneno mengi ya kisayansi ambayo yana asili ya Kigiriki, Kilatini au Kiarabu, katika kesi hii maneno yenye mizizi ya Kirusi hutumiwa. Kwa hivyo sio ngumu kuelewa maana yao, ambayo inamaanisha ni rahisi kukumbuka maana ya neno gani.

Ikiwa unatazama kwa karibu jina lenyewe, inakuwa dhahiri kwamba inahusiana na maneno "tofauti", "tofauti". Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kwamba kinachomaanishwa ni tofauti iliyoanzishwa kati ya kiasi.

Dhana hii katika hisabati ina maana:

tofauti kati ya nambari mbili;
ni kipimo cha kiasi gani kiasi kimoja ni kikubwa au kidogo kuliko kingine;
haya ni matokeo yanayopatikana wakati wa kutoa - hii ni ufafanuzi unaotolewa na mtaala wa shule.

Kumbuka! Ikiwa idadi ni sawa kwa kila mmoja, basi hakuna tofauti kati yao. Hii ina maana tofauti yao ni sifuri.

Minuend na subtrahend ni nini?

Kama jina linavyopendekeza, kupungua ni kitu ambacho hufanywa kidogo. Na unaweza kufanya idadi ndogo kwa kutoa sehemu kutoka kwayo. Kwa hivyo, minuend ni nambari ambayo sehemu imetolewa.

Imetolewa, ipasavyo, ni nambari ambayo imetolewa kutoka kwake.

Minuend		Subtrahend		Tofauti
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

Video muhimu: minuend, subtrahend, tofauti

Sheria za kutafuta kipengele kisichojulikana

Baada ya kuelewa maneno, ni rahisi kuanzisha na sheria gani kila kipengele cha kutoa kinapatikana.

Kwa kuwa tofauti ni matokeo ya operesheni fulani ya hesabu, hupatikana kwa kutumia hatua hii; hakuna sheria zingine zinazohitajika hapa. Lakini ziko pale iwapo neno lingine la usemi wa kihesabu halijulikani.

Jinsi ya kupata minuend

Neno hili, kama lilivyogunduliwa, linamaanisha idadi ambayo sehemu imetolewa. Lakini ikiwa moja ilitolewa, na nyingine ikabaki mwisho, kwa hivyo, nambari ina sehemu hizi mbili. Inageuka kuwa unaweza kupata minuend isiyojulikana kwa kuongeza vipengele viwili vinavyojulikana.

Kwa hivyo, katika kesi hii, ili kupata haijulikani, unapaswa kuongeza subtrahend na tofauti:

Vile vile ni kweli katika kesi zote zinazofanana:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

Jinsi ya kupata subtrahend

Ikiwa nzima ina sehemu mbili (katika kesi hii kiasi), kisha kuondoa moja yao itasababisha pili. Hivyo, kupata subtrahend isiyojulikana, inatosha kuondoa tofauti kutoka kwa zima badala yake.

Mifano zingine zinazofanana zinatatuliwa kwa kutumia sheria hiyo hiyo.

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

Neno "tofauti" linaweza kuwa na maana nyingi. Hii inaweza pia kumaanisha tofauti katika kitu, kwa mfano, maoni, maoni, maslahi. Katika nyanja zingine za kisayansi, matibabu na taaluma zingine, neno hili linamaanisha viashiria anuwai, kwa mfano, viwango vya sukari ya damu, shinikizo la anga, na hali ya hewa. Wazo la "tofauti" kama neno la hisabati pia lipo.

Katika kuwasiliana na

Uendeshaji wa hesabu na nambari

Shughuli kuu za hesabu katika hisabati ni:

nyongeza;
kutoa;
kuzidisha;
mgawanyiko.

Kila matokeo ya vitendo hivi pia ina jina lake mwenyewe:

jumla - matokeo yaliyopatikana kwa kuongeza nambari;
tofauti - matokeo yaliyopatikana kwa kutoa nambari;
bidhaa ni matokeo ya kuzidisha nambari;
mgawo ni matokeo ya mgawanyiko.

Ili kuelezea kwa lugha rahisi dhana za jumla, tofauti, bidhaa na nukuu katika hisabati, tunaweza kuziandika tu kama vifungu vya maneno:

kiasi - kuongeza;
tofauti - ondoa;
bidhaa - kuzidisha;
faragha - kugawanya.

Kuangalia Ufafanuzi, ni tofauti gani kati ya nambari katika hisabati, wazo hili linaweza kufafanuliwa kwa njia kadhaa:

Na ufafanuzi huu wote ni kweli.

Jinsi ya kupata tofauti kati ya kiasi

Wacha tuchukue kama msingi nukuu ya tofauti ambayo mtaala wa shule hutupatia:

Tofauti ni matokeo ya kutoa nambari moja kutoka kwa nyingine. Ya kwanza ya nambari hizi, ambayo uondoaji unafanywa, inaitwa minuend, na ya pili, ambayo hutolewa kutoka kwa kwanza, inaitwa subtrahend.

Kwa mara nyingine tena kwa kugeukia mtaala wa shule, tunapata sheria ya jinsi ya kupata tofauti:

Ili kupata tofauti, unahitaji kuondoa subtrahend kutoka kwa minuend.

Yote wazi. Lakini wakati huo huo tulipokea maneno kadhaa zaidi ya hisabati. Je, wanamaanisha nini?

Minuend ni nambari ya hisabati ambayo imetolewa na inapungua (inakuwa ndogo).
Subtrahend ni nambari ya hisabati ambayo hutolewa kutoka kwa minuend.

Sasa ni wazi kuwa tofauti hiyo ina nambari mbili ambazo lazima zijulikane kuihesabu. Na jinsi ya kuzipata, tutatumia pia ufafanuzi:

Ili kupata minuend, unahitaji kuongeza tofauti kwa subtrahend.
Ili kupata subtrahend, unahitaji kuondoa tofauti kutoka kwa minuend.

Shughuli za hisabati na tofauti za nambari

Kulingana na sheria zinazotolewa, tunaweza kuzingatia mifano ya kielelezo. Hisabati ni sayansi ya kuvutia. Hapa tutachukua nambari rahisi tu kutatua. Baada ya kujifunza kuwaondoa, utajifunza kutatua maadili ngumu zaidi, nambari tatu, nambari nne, nambari, sehemu, nguvu, mizizi, n.k.

Mifano rahisi

Mfano 1. Tafuta tofauti kati ya idadi mbili.

20 - kupungua kwa thamani,

15 - inayoweza kutolewa.

Suluhisho: 20 - 15 = 5

Jibu: 5 - tofauti katika maadili.

Mfano 2. Tafuta minuend.

48 - tofauti,

32 ni thamani iliyopunguzwa.

Suluhisho: 32 + 48 = 80

Mfano 3. Tafuta thamani ya subtrahend.

7 - tofauti,

17 ni thamani inayopunguzwa.

Suluhisho: 17 - 7 = 10

Jibu: Ondoa thamani 10.

Mifano ngumu zaidi

Mifano 1-3 huchunguza vitendo na nambari rahisi. Lakini katika hisabati, tofauti ni mahesabu kwa kutumia si mbili tu, lakini pia idadi kadhaa, pamoja na integers, sehemu, mantiki, irrational, nk.

Mfano 4. Tafuta tofauti kati ya maadili matatu.

Nambari kamili imepewa: 56, 12, 4.

56 - thamani ya kupunguzwa,

12 na 4 ni maadili yaliyotolewa.

Suluhisho linaweza kufanywa kwa njia mbili.

Njia ya 1 (kutoa kwa mtiririko wa maadili yaliyotolewa):

1) 56 - 12 = 44 (hapa 44 ni tofauti ya matokeo ya wingi mbili za kwanza, ambayo katika hatua ya pili itapungua);

Njia ya 2 (kuondoa subtrahends mbili kutoka kwa jumla inayopunguzwa, ambayo katika kesi hii inaitwa nyongeza):

1) 12 + 4 = 16 (ambapo 16 ni jumla ya maneno mawili, ambayo yatatolewa katika operesheni inayofuata);

2) 56 - 16 = 40.

Jibu: 40 ni tofauti ya maadili matatu.

Mfano 5. Tafuta tofauti kati ya sehemu za busara.

Imepewa sehemu zilizo na madhehebu sawa, wapi

4/5 ni sehemu ya kupunguzwa,

3/5 - punguzo.

Ili kukamilisha suluhisho, unahitaji kurudia vitendo na sehemu. Hiyo ni, unahitaji kujua jinsi ya kutoa sehemu na denominator sawa. Jinsi ya kushughulikia sehemu ambazo zina madhehebu tofauti. Lazima waweze kuwaleta kwa dhehebu la kawaida.

Suluhisho: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Jibu: 1/5.

Mfano 6. Mara tatu tofauti ya nambari.

Jinsi ya kufanya mfano kama huo wakati unahitaji mara mbili au tatu tofauti?

Wacha tutumie sheria tena:

Nambari mara mbili ni thamani iliyozidishwa na mbili.
Nambari tatu ni thamani iliyozidishwa na tatu.
Tofauti mbili ni tofauti katika ukubwa unaozidishwa na mbili.
Tofauti tatu ni tofauti katika ukubwa unaozidishwa na tatu.

7 - thamani iliyopunguzwa,

5 - thamani iliyopunguzwa.

2) 2 * 3 = 6. Jibu: 6 ni tofauti kati ya nambari 7 na 5.

Mfano 7. Tafuta tofauti kati ya maadili 7 na 18.

7 - thamani iliyopunguzwa;

18 - imetolewa.

Kila kitu kinaonekana wazi. Acha! Je, subtrahend ni kubwa kuliko minuend?

Na tena kuna sheria ambayo inatumika kwa kesi maalum:

Ikiwa subtrahend ni kubwa kuliko minuend, tofauti itakuwa mbaya.

Jibu: - 11. Thamani hii hasi ni tofauti kati ya kiasi mbili, mradi tu kiasi kinachotolewa ni kikubwa zaidi kuliko kiasi kinachopunguzwa.

Hisabati kwa blondes

Kwenye Wavuti ya Ulimwenguni Pote unaweza kupata tovuti nyingi za mada ambazo zitajibu swali lolote. Kwa njia hiyo hiyo, mahesabu ya mtandaoni kwa kila ladha yatakusaidia kwa mahesabu yoyote ya hisabati. Hesabu zote zilizofanywa juu yao ni msaada bora kwa wenye haraka, wadadisi na wavivu. Hesabu kwa Blondes ni rasilimali moja kama hiyo. Zaidi ya hayo, sisi sote tunaitumia, bila kujali rangi ya nywele, jinsia na umri.

Huko shuleni, tulifundishwa kuhesabu shughuli kama hizo na idadi ya hesabu kwenye safu, na baadaye - kwenye kihesabu. Calculator pia ni msaada mzuri. Lakini, kwa ajili ya maendeleo ya kufikiri, akili, mtazamo na sifa nyingine za maisha, tunakushauri kufanya shughuli za hesabu kwenye karatasi au hata katika akili yako. Uzuri wa mwili wa mwanadamu ni mafanikio makubwa ya mpango wa kisasa wa fitness. Lakini ubongo pia ni misuli ambayo wakati mwingine inahitaji kusukuma. Kwa hivyo, bila kuchelewa, anza kufikiria.

Na ingawa mwanzoni mwa safari yako mahesabu yamepunguzwa hadi mifano ya zamani, kila kitu kiko mbele yako. Na itabidi ujue mengi. Tunaona kwamba kuna shughuli nyingi na idadi tofauti katika hisabati. Kwa hivyo, pamoja na tofauti, inahitajika kusoma jinsi ya kuhesabu matokeo iliyobaki ya shughuli za hesabu:

jumla - kwa kuongeza masharti;
bidhaa - kwa sababu za kuzidisha;
quotient - kwa kugawanya gawio na mgawanyiko.

Hii ni hesabu ya kuvutia.

Kuamua jumla ya nambari

Jumla (lat. muhtasari- jumla, jumla ya nambari) ya nambari ni matokeo ya muhtasari wa nambari hizi: . Hasa, ikiwa nambari mbili zinaongezwa na, basi

Zoezi. Tafuta jumla ya nambari:

Jibu.

Tabia ya jumla ya nambari

Ushirika:

Kulingana na sifa hizi, tunaweza kuhitimisha kuwa kupanga upya nafasi za masharti hakubadilishi jumla.

Usambazaji kwa heshima na kuzidisha

Zoezi. Pata jumla ya nambari kwa njia rahisi:

Suluhisho. Kwa mali ya nyongeza tunayo

Jibu. 1)

Unapoongeza nambari kubwa au sehemu za desimali, tumia nyongeza ya safu.

Suluhisho. Tunaongeza nambari hizi kwenye safu, ili kufanya hivyo tunaziandika moja chini ya nyingine, tarakimu chini ya tarakimu. Katika kesi ya sehemu za desimali, tunazingatia kuhakikisha kuwa alama ya desimali ya nambari ya kwanza iko chini ya nambari ya pili. Ifuatayo, tunaongeza nambari chini ya kila mmoja, tukisonga kutoka kulia kwenda kushoto na kuandika matokeo chini ya mstari wa sehemu. Ikiwa jumla ya nambari kwenye safu moja inazidi kumi, basi idadi ya makumi huongezwa kwa nambari kwenye safu inayofuata upande wa kushoto wa safu hii:

Jibu. 1)

Ongezeko la sehemu za busara hufanywa kulingana na sheria

Suluhisho. Wacha tuhesabu jumla ya kwanza kwa kutumia sheria ya kuongeza nambari za busara

Nambari na denominator ya sehemu inayosababisha inaweza kupunguzwa na 2, basi jibu litakuwa

Ili kuhesabu jumla ya pili, kwanza tunabadilisha neno la pili kuwa sehemu isiyofaa, ili kufanya hivyo tunazidisha sehemu nzima kwa dhehebu na kuongeza nambari inayotokana na nambari. Ifuatayo, tunatumia sheria ya kuongeza sehemu za busara

Wacha tuchague sehemu nzima ya sehemu inayotokana; kwa kufanya hivyo, gawanya nambari na dhehebu na salio. Tunaandika mgawo unaosababisha katika sehemu kamili, na salio la mgawanyiko kwenye nambari.

Jibu. 1) ; 2)

Jinsi ya kupata tofauti kati ya nambari katika hisabati

Uendeshaji wa hesabu na nambari

mgawo ni matokeo ya mgawanyiko.

kiasi - kuongeza;

bidhaa - kuzidisha;

Tofauti kati ya nambari inamaanisha jinsi moja yao ni zaidi ya nyingine.

Hiki ndicho kielelezo kinachounda salio ukiondoa kiasi mbili.

Hii ni matokeo ya moja ya shughuli nne za hesabu, ambayo ni kutoa.

Hiki ndicho kinachotokea ukiondoa manukuu kutoka kwa minuend.

Jinsi ya kupata tofauti kati ya kiasi

Tofauti ni matokeo ya kutoa nambari moja kutoka kwa nyingine. Ya kwanza ya nambari hizi, ambayo uondoaji unafanywa, inaitwa minuend, na ya pili, ambayo hutolewa kutoka kwa kwanza, inaitwa subtrahend.

Kwa mara nyingine tena kwa kugeukia mtaala wa shule, tunapata sheria ya jinsi ya kupata tofauti:

Sasa ni wazi kuwa tofauti hiyo ina nambari mbili ambazo lazima zijulikane kuihesabu. Na jinsi ya kuzipata, tutatumia pia ufafanuzi:

Mfano 3. Tafuta thamani ya subtrahend.

Suluhisho: 17 - 7 = 10

Nambari kamili imepewa: 56, 12, 4.

12 na 4 ni maadili yaliyotolewa.

Njia ya 1 (kutoa kwa mtiririko wa maadili yaliyotolewa):

Njia ya 2 (kuondoa subtrahends mbili kutoka kwa jumla inayopunguzwa, ambayo katika kesi hii inaitwa nyongeza):

Jibu: 40 ni tofauti ya maadili matatu.

Mfano 5. Tafuta tofauti kati ya sehemu za busara.

Imepewa sehemu zilizo na madhehebu sawa, wapi

4/5 ni sehemu ya kupunguzwa,

Suluhisho: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Jinsi ya kufanya mfano kama huo wakati unahitaji mara mbili au tatu tofauti?

Nambari mara mbili ni thamani iliyozidishwa na mbili.
Nambari tatu ni thamani iliyozidishwa na tatu.
Tofauti mbili ni tofauti katika ukubwa unaozidishwa na mbili.
Tofauti tatu ni tofauti katika ukubwa unaozidishwa na tatu.

2) 2 * 3 = 6. Jibu: 6 ni tofauti kati ya nambari 7 na 5.

7 - thamani iliyopunguzwa;

Ikiwa subtrahend ni kubwa kuliko minuend, tofauti itakuwa mbaya.

bidhaa - kwa sababu za kuzidisha;
quotient - kwa kugawanya gawio na mgawanyiko.

Shughuli kuu za hesabu katika hisabati ni:

Kila matokeo ya vitendo hivi pia ina jina lake mwenyewe:

jumla - matokeo yaliyopatikana kwa kuongeza nambari;
bidhaa ni matokeo ya kuzidisha nambari;

Hii inafurahisha: moduli ya nambari ni nini?

tofauti - ondoa;
faragha - kugawanya.

Kuangalia Ufafanuzi, ni tofauti gani kati ya nambari katika hisabati, wazo hili linaweza kufafanuliwa kwa njia kadhaa:

Hii ni kutoa nambari moja kutoka kwa nyingine.

Wacha tuchukue kama msingi nukuu ya tofauti ambayo mtaala wa shule hutupatia:

Minuend ni nambari ya hisabati ambayo imetolewa na inapungua (inakuwa ndogo).
Subtrahend ni nambari ya hisabati ambayo hutolewa kutoka kwa minuend.
Ili kupata minuend, unahitaji kuongeza tofauti kwa subtrahend.
Ili kupata subtrahend, unahitaji kuondoa tofauti kutoka kwa minuend.

Shughuli za hisabati na tofauti za nambari

Suluhisho: 20 - 15 = 5

Suluhisho: 32 + 48 = 80

Jibu: Ondoa thamani 10.

Mifano ngumu zaidi

Suluhisho linaweza kufanywa kwa njia mbili.

1) 56 - 12 = 44 (hapa 44 ni tofauti ya matokeo ya wingi mbili za kwanza, ambayo katika hatua ya pili itapungua);

1) 12 + 4 = 16 (ambapo 16 ni jumla ya maneno mawili, ambayo yatatolewa katika operesheni inayofuata);

Kila kitu kinaonekana wazi. Acha! Je, subtrahend ni kubwa kuliko minuend?

Hisabati kwa blondes

tofauti - matokeo yaliyopatikana kwa kutoa nambari;

Ili kuelezea kwa lugha rahisi dhana za jumla, tofauti, bidhaa na nukuu katika hisabati, tunaweza kuziandika tu kama vifungu vya maneno:

Tofauti katika hisabati

Katika hisabati, tofauti ni matokeo yanayopatikana kwa kutoa nambari mbili au zaidi kutoka kwa kila mmoja.
Hii ni kiasi ambacho ni matokeo ya kutoa maadili mawili.
Tofauti inaonyesha tofauti ya kiasi kati ya nambari mbili.

Na ufafanuzi huu wote ni kweli.

Ili kupata tofauti, unahitaji kuondoa subtrahend kutoka kwa minuend.

Yote wazi. Lakini wakati huo huo tulipokea maneno kadhaa zaidi ya hisabati. Je, wanamaanisha nini?

Mifano rahisi

Mfano 1. Tafuta tofauti kati ya idadi mbili.

20 - kupungua kwa thamani,

Jibu: 5 - tofauti katika maadili.

Mfano 2. Tafuta minuend.

32 ni thamani iliyopunguzwa.

17 ni thamani inayopunguzwa.

Mifano 1-3 huchunguza vitendo na nambari rahisi. Lakini katika hisabati, tofauti ni mahesabu kwa kutumia si mbili tu, lakini pia idadi kadhaa, pamoja na integers, sehemu, mantiki, irrational, nk.

Mfano 4. Tafuta tofauti kati ya maadili matatu.

56 - thamani ya kupunguzwa,

Mfano 6. Mara tatu tofauti ya nambari.

Wacha tutumie sheria tena:

7 - thamani iliyopunguzwa,

5 - thamani iliyopunguzwa.

Mfano 7. Tafuta tofauti kati ya maadili 7 na 18.

Na tena kuna sheria ambayo inatumika kwa kesi maalum:

Jibu: - 11. Thamani hii hasi ni tofauti kati ya kiasi mbili, mradi tu kiasi kinachotolewa ni kikubwa zaidi kuliko kiasi kinachopunguzwa.

jumla - kwa kuongeza masharti;

Hii ni hesabu ya kuvutia.

Hisabati daraja la 1. "Kiasi na thamani ya kiasi"

Malengo:

Kuanzisha na kukuza uwezo wa kutumia maneno ya hisabati "jumla", "maana ya jumla". Boresha ujuzi wako wa kompyuta.

Kuza ujuzi wa kulinganisha, kuchambua, kujumlisha. Kuendeleza hotuba ya hisabati na maslahi katika hisabati.

Kukuza uhuru, nidhamu, na uwezo wa kufanya kazi katika timu.

Vifaa: Chaki, bodi, kadi, ufungaji wa multimedia, uwasilishaji.

1. Kuandaa darasa kwa somo.

2. Kuwasilisha mada na malengo ya somo:

Leo darasani tutagundua na kufichua siri za hisabati. Kwa hiyo, twende!

3. Kupata kujua nyenzo mpya.

Jamani, mnapenda hadithi za hadithi? Je, kuhusu hadithi za Walt Disney? Sasa nitasoma dondoo kutoka kwa hadithi ya hadithi, na unajaribu nadhani ni nani ninayemzungumzia.

Amka, rafiki Owl!- Sungura mdogo Fatty alipiga kelele kwa furaha.- Mwana mfalme mpya amezaliwa!

Habari njema ilienea mara moja msituni, na wakaaji wote wa msituni walikimbia kumtazama yule fawn aliyezaliwa. Waliguswa huku wakimtazama akijaribu kuinuka. Miguu yake ilikuwa bado dhaifu sana, na aliendelea kuanguka.

Nani alimtambua? Hakika huyu ni mnyama anayeitwa Bambi. Na kisha siku moja wakati wa kumtambulisha msituni ukafika.Kutokana na ngano, tunajua kwamba Bambi ni mdadisi, hivyo alifurahishwa na kila kitu alichokiona karibu naye.

Wacha tuende na fawn kwenye "msitu wa hesabu" usio wa kawaida.

Fawn hujikuta kwenye uwazi na kuona maua mengi. Lakini baada ya kuangalia kwa makini, anaona kwamba maua yana aina fulani ya siri.

Msaidie kutatua fumbo hili.

Angalia na uniambie unaona nini? Ni aina gani za nukuu za hisabati tunaweza kutengeneza?

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha

Wakati wa kuhesabu polynomials za algebraic, ili kurahisisha mahesabu, tumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Kuna fomula saba kama hizo kwa jumla. Unahitaji kuwajua wote kwa moyo.

Inapaswa pia kukumbukwa kwamba badala ya "a" na "b" katika fomula kunaweza kuwa na nambari au polima zingine zozote za aljebra.

Tofauti ya mraba

Tofauti ya mraba nambari mbili ni sawa na bidhaa ya tofauti ya nambari hizi na jumla yao.

a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

15 2 - 2 2 = (15 − 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 - 4b 2 na 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Mraba wa jumla

Mraba wa jumla wa nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza pamoja na bidhaa mara mbili ya nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa nambari ya pili.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Tafadhali kumbuka kuwa kwa fomula hii iliyofupishwa ya kuzidisha ni rahisi pata mraba wa idadi kubwa bila kutumia kikokotoo au kuzidisha kwa muda mrefu. Hebu tueleze kwa mfano:

Wacha tutengane 112 kwa jumla ya nambari ambazo miraba yake tunakumbuka vyema.
112 = 100 + 1
Andika jumla ya nambari kwenye mabano na uweke mraba juu ya mabano.
112 2 = (100 + 12) 2
Wacha tutumie fomula ya mraba wa jumla:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Kumbuka kwamba fomula ya jumla ya mraba pia ni halali kwa polynomia zozote za aljebra.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Tofauti ya mraba

Mraba wa tofauti ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza ukiondoa mara mbili ya bidhaa ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa nambari ya pili.

(a − b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Inafaa pia kukumbuka mabadiliko muhimu sana:

Fomula iliyo hapo juu inaweza kuthibitishwa kwa kufungua tu mabano:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b − a) 2

Mchemraba wa jumla wa nambari mbili ni sawa na mchemraba wa nambari ya kwanza pamoja na bidhaa mara tatu ya mraba wa nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mara tatu ya bidhaa ya kwanza na mraba wa pili pamoja na mchemraba wa pili. .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Jinsi ya kukumbuka mchemraba wa jumla

Ni rahisi kukumbuka fomula hii "ya kutisha".

Jifunze kuwa "3" inakuja mwanzoni.
Polynomia mbili zilizo katikati zina coefficients ya 3.
Kumbuka kuwa nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Ni rahisi kugundua kuwa katika formula kuna kupungua kwa kiwango cha "a" na kuongezeka kwa kiwango cha "b". Unaweza kuthibitisha hili:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Onyo!

Mchemraba wa tofauti

Mchemraba wa tofauti nambari mbili ni sawa na mchemraba wa nambari ya kwanza ukiondoa mara tatu ya bidhaa ya mraba ya nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mara tatu ya bidhaa ya nambari ya kwanza na mraba wa pili ukiondoa mchemraba wa pili.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Fomula hii inakumbukwa kama ile iliyopita, lakini kwa kuzingatia tu ubadilishaji wa ishara "+" na "-". Neno la kwanza "a 3" linatanguliwa na "+" (kulingana na sheria za hisabati, hatuiandiki). Hii ina maana kwamba neno linalofuata litatanguliwa na "-", kisha tena "+", nk.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Jumla ya cubes

Sio kuchanganyikiwa na mchemraba wa jumla!

Jumla ya cubes ni sawa na bidhaa ya jumla ya nambari mbili na mraba wa sehemu ya tofauti.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

Jumla ya cubes ni bidhaa ya mabano mawili.

Mabano ya kwanza ni jumla ya nambari mbili.
Mabano ya pili ni mraba usio kamili wa tofauti kati ya nambari. Mraba usio kamili wa tofauti ni usemi:
(a 2 − ab + b 2)
Mraba huu haujakamilika, kwa kuwa katikati, badala ya bidhaa mbili, kuna bidhaa ya kawaida ya namba.

Tofauti ya cubes

Sio kuchanganyikiwa na mchemraba tofauti!

Tofauti ya cubes ni sawa na bidhaa ya tofauti ya nambari mbili na mraba wa sehemu ya jumla.

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

Kuwa mwangalifu wakati wa kuandika ishara.

Kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha

Ikumbukwe kwamba fomula zote zilizotolewa hapo juu pia hutumiwa kutoka kulia kwenda kushoto.

Mifano mingi katika vitabu vya kiada imeundwa kwa ajili yako kuweka polynomial pamoja kwa kutumia fomula.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Unaweza kupakua jedwali lenye fomula zote zilizofupishwa za kuzidisha katika sehemu ya "Cribs".

21. Mchemraba wa jumla na mchemraba wa tofauti. Kanuni

Kwa maadili yoyote ya a na b, usawa ni kweli

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2 a b + b 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Kwa kuwa usawa (1) ni kweli kwa maadili yoyote ya a na b,
formula ya jumla ya mchemraba. Ikiwa katika fomula hii badala ya a na b
basi tena tunapata utambulisho.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3. (2)

Kwa hivyo, formula ya jumla ya mchemraba inasomeka kama hii:

mchemraba wa jumla wa misemo miwili ni sawa na mchemraba wa usemi wa kwanza
pamoja na bidhaa mara tatu ya mraba wa usemi wa kwanza na wa pili,
pamoja na bidhaa mara tatu ya usemi wa kwanza na mraba wa pili,
pamoja na mchemraba wa usemi wa pili.

(a - b) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 - 2 a 2 b + a b 2 - a 2 b + 2 a b 2 - b 3 =

A 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Kwa kuwa usawa (3) ni kweli kwa maadili yoyote ya a na b,
basi ni utambulisho. Utambulisho huu unaitwa
tofauti mchemraba formula. Ikiwa katika fomula hii badala ya a na b
badilisha baadhi ya maneno, kwa mfano 5 y 3 na 2 z,
basi tena tunapata utambulisho.

(5 y 3 - 2 z) 3 = 125 y 9 - 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 - 8 z 3. (4)

Kwa hivyo, formula ya mchemraba tofauti inasomeka kama hii:

mchemraba wa tofauti ya misemo miwili ni sawa na mchemraba wa usemi wa kwanza
toa mara tatu bidhaa ya mraba wa usemi wa kwanza na wa pili,
pamoja na bidhaa mara tatu ya usemi wa kwanza na mraba wa pili,
ondoa mchemraba wa usemi wa pili.

Shida kwenye mada "Mchemraba wa jumla na mchemraba wa tofauti"

Kwa kutumia mchemraba wa jumla au fomula ya mchemraba tofauti, badilisha usemi
katika polynomial ya fomu sanifu na uchague jibu sahihi.

1) = a 3 - 3 a 2 c + 3 a c 2 - c 3

2) = a 3 - 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 - 3 a c 2 + 3 a c 2 - c 3 Si sahihi. Usibofye uga tupu. (x + 2 y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Si sahihi. Si sahihi. Si sahihi. Usibofye uga tupu. Si sahihi. (3 a - 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 - 27 a 2 b + 12 a b 2 - 8 b 3

2) = 27 a 3 - 54 a 2 b + 36 a b 2 - 8 b 3

3) = 27 a 3 - 18 a 2 b + 18 a b 2 - 8 b 3 Si sahihi. Si sahihi. Usibofye uga tupu. Si sahihi. (

Pensheni ya upendeleo kwa hali ya hatari katika 2018 Taarifa ya jumla Wananchi ambao wana haki ya pensheni ya upendeleo kwa hali ya hatari lazima wafanye kazi kwa angalau miaka 10 katika hali hatari na hatari. Ikiwa hakuna uzoefu wa kutosha, ufikiaji wa [...]
Sheria ya Ulinzi wa Haki za Mtumiaji Vifungu 27-31 Migogoro kuhusu ulinzi wa haki za walaji ni mojawapo ya mizozo ya kawaida na muhimu Katika mizozo kuhusu ulinzi wa haki za walaji, mmoja wa wahusika siku zote ni raia anayenunua au kuagiza bidhaa [.. .]
NINI MUHIMU KUJUA KUHUSU SHERIA MPYA YA PENSHENI Usajili wa habari Barua ya kuthibitisha usajili wako imetumwa kwa barua pepe uliyotaja. Machi 15, 2018 Mfuko wa Pensheni unakumbusha kwamba tangu 2018 mpango wa mtaji wa uzazi umepanuliwa […]
Wakili huyo anadai kuadhibiwa kwa dhamana ambaye hakumruhusu kuingia katika chumba cha mahakama.Wakili Evgeniy Barannikov hakuruhusiwa kuingia katika chumba cha mahakama kuona mteja wake, huku mwendesha mashtaka akipewa haki hiyo. Barannikov alifika katika mahakama ya kesi […]
Madai ya sampuli ikiwa haki za watumiaji zinakiukwa wakati wa kutumia huduma za huduma ya gari Wakati wa kukabidhi gari kwa huduma ya gari, kwanza kabisa, unahitaji kuhakikisha kuwa hati zimekamilishwa kwa usahihi. Kulingana na kifungu cha 15 cha “Kanuni za utoaji wa huduma […]
Jinsi ya kurudisha bidhaa kwa muuzaji katika 1C Swali: Jinsi ya kurudisha bidhaa kwa muuzaji katika 1C: Uhasibu 8 (ufu. 3.0)? Tarehe ya kuchapishwa 05/11/2016 Toleo 3.0.43 lililotumika Kurudishwa kwa bidhaa ambazo hazijakubaliwa kwa usajili Kurudishwa kwa iliyokubaliwa […]
Uundaji wa Kituo cha Mafunzo Kwa sasa, kuundwa kwa kituo cha mafunzo kunawezekana kwa chaguzi mbili: 1. Uundaji wa Kituo cha Mafunzo ya Mafunzo ya Ufundi (kwa fani za bluu-collar). 2. Kuundwa kwa kituo cha mafunzo cha ushirika katika mfumo wa […]
Juu ya usaidizi wa kimaadili na kisaikolojia kwa shughuli za uendeshaji na rasmi za miili ya mambo ya ndani ya Shirikisho la Urusi WIZARA YA MAMBO YA NDANI YA AGIZO LA SHIRIKISHO LA URUSI "11" Februari 2010 No. 80 Juu ya usaidizi wa kimaadili na kisaikolojia [...]