Fomula ya thamani ya wastani ya kiunganishi dhahiri. Muhimu dhahiri na mbinu za hesabu yake

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

Ufafanuzi huu ni wa asili, tangu wakati mwelekeo wa muda wa ushirikiano unabadilika, tofauti zote \Delta x_k=x_(k+1)-x_k badilisha ishara, na kisha ubadilishe ishara na hesabu za Darboux na, kwa hivyo, nambari inayowatenganisha, i.e. muhimu.

Tangu wakati a=b zote \Delta x_k zinatoweka, tuliweka

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

Tulipokea ufafanuzi mbili za dhana ya muunganisho dhahiri: kama tofauti kati ya maadili ya kizuia derivative na kama nambari ya kugawanya kwa hesabu za Darboux. Ufafanuzi huu katika kesi muhimu zaidi husababisha matokeo sawa:

Nadharia 2. Ikiwa chaguo la kukokotoa y=f(x) limefungwa kwa muda na ina kizuia derivative y=F(x) juu yake, na kuna nambari moja inayotenganisha hesabu za Darboux za chini na za juu, basi nambari hii ni sawa na F(b). )-F(a).

Ushahidi. Tulithibitisha hapo juu kwamba nambari F(a)-F(b) hutenganisha seti \(s_P\) na \(S_P\) . Kwa kuwa kwa hali nambari inayotenganisha imefafanuliwa kipekee, inalingana na F(b)-F(a) .

Kuanzia sasa tutatumia nukuu \mtindo wa maandishi(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) kwa nambari moja pekee inayotenganisha seti \(s_P\) na \(S_P\) . Kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa inafuata kwamba hakuna ukinzani na uelewa wa nukuu hii tuliyotumia hapo juu.

Sifa za kiasi cha chini na cha juu cha Darboux

Ili ufafanuzi wa muunganisho uliotolewa mapema uwe na maana, ni muhimu kudhibitisha kuwa seti ya hesabu za juu za Darboux ziko upande wa kulia wa seti ya hesabu za chini za Darboux.

Lema 1. Kwa kila kizigeu P, jumla ya Darboux ya chini inayolingana haizidi jumla ya juu ya Darboux, s_P\leqslant S_P .

Ushahidi. Wacha tuchunguze kizigeu P cha sehemu hiyo:

a=x_0 "

Ni wazi, kwa k yoyote na kwa kizigeu chochote kilichochaguliwa P usawa wa s_P\leqslant S_P unashikilia. Kwa hivyo, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, na ndiyo maana

s_P= \jumla_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Kutokuwepo kwa usawa (4) ni halali kwa kizigeu kisichobadilika cha P. Kwa hivyo, bado haiwezi kusemwa kuwa jumla ya chini ya Darboux ya kizigeu kimoja haiwezi kuzidi jumla ya juu ya Darboux ya kizigeu kingine. Ili kuthibitisha kauli hii tunahitaji lema ifuatayo:

Lema 2. Kwa kuongeza sehemu mpya ya mgawanyiko, jumla ya chini ya Darboux haiwezi kupungua, na jumla ya juu haiwezi kuongezeka.

Ushahidi. Wacha tuchague kizigeu P cha sehemu hiyo na tuongeze sehemu mpya ya mgawanyiko (x^(\ast)) . Wacha tuonyeshe kizigeu kipya na P^(\ast) . Sehemu P^(\ast) ni uboreshaji wa kizigeu P, i.e. kila sehemu ya kizigeu P pia ni sehemu ya kizigeu P^(\ast) .

Acha uhakika (x^(\ast)) uanguke kwenye sehemu \koloni\, x_k . Hebu tuzingatie sehemu mbili zinazosababisha na na kuashiria mipaka ya chini kabisa inayolingana ya maadili ya kazi na m_(k)^(\ast) na m_(k)^(\ast\ast) , na mipaka ya juu kabisa na M_(k)^(\ast ) na M_(k )^(\ast\ast) .

Nyongeza m_k(x_(k+1)-m_(k)) Jumla ya chini ya Darboux katika jumla mpya ya chini ya Darboux inalingana na maneno mawili:

m_(k)^(\st)(x^(\st)-x_k)+ m_(k)^(\st\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

Ambapo m_k\leqslant m_(k)^(\st) Na m_k\leqslant m_(k)^(\st\ast), kwa kuwa m_k ndio kikomo cha chini kabisa kwa maadili ya chaguo za kukokotoa f(x) kwenye sehemu nzima, na m_(k)^(\ast) na m_(k)^(\ast\ast) tu kwenye sehemu yake. sehemu na kwa mtiririko huo.

Wacha tukadirie kutoka chini jumla ya masharti yanayotokana:

\anza(iliyopangwa) m_(k)^(\st)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\st)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\st)-x_k+x_(k+1)-x^(\st)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\kubwa).\mwisho(zilizopangiliwa)

Kwa kuwa masharti yaliyosalia katika mahesabu ya awali na mapya ya Darboux yalibaki bila kubadilika, jumla ya chini ya Darboux haikupungua kutoka kwa kuongeza sehemu mpya ya mgawanyo, s_P\leqslant S_P .

Taarifa iliyothibitishwa inabaki kuwa halali hata wakati wa kuongeza idadi yoyote ya kikomo ya alama kwenye kizigeu cha P.

Taarifa kuhusu jumla ya Darboux ya juu inathibitishwa kwa njia sawa: S_(P^(\st))\leqslant S_(P).

Wacha tuendelee kulinganisha hesabu za Darboux kwa sehemu zozote mbili.

Lema 3. Hakuna jumla ya chini ya Darboux inayozidi jumla ya juu ya Darboux (hata kama inalingana na kizigeu tofauti cha sehemu).

Ushahidi. Fikiria sehemu mbili za kiholela P_1 na P_2 za sehemu hiyo na uunda kizigeu cha tatu P_3, kinachojumuisha sehemu zote za sehemu P_1 na P_2. Kwa hivyo, kizigeu P_3 ni uboreshaji wa kizigeu P_1 na kizigeu P_2 (Mchoro 7).

Wacha tuonyeshe hesabu za Darboux za chini na za juu za sehemu hizi, mtawaliwa s_1,~S_1.~s_2,~S_2 na uthibitishe kuwa s_1\leqslant S_2 .

Kwa kuwa P_3 ni uboreshaji wa kizigeu P_1, basi s_1\leqslant s_3. Ifuatayo, s_3\leqslant S_3 , kwa kuwa hesabu s_3 na S_3 zinalingana na kizigeu sawa. Hatimaye, S_3\leqslant S_2 , kwa kuwa P_3 ni uboreshaji wa kizigeu P_2 .

Hivyo, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, i.e. s_1\leqslant S_2 , ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kutoka kwa Lemma 3 inafuata hiyo seti ya nambari X=\(s_P\) ya hesabu za chini za Darboux ziko upande wa kushoto wa seti ya nambari Y=\(S_P\) ya hesabu za juu za Darboux.

Kwa mujibu wa nadharia juu ya kuwepo kwa nambari ya kutenganisha kwa seti mbili za nambari1, kuna angalau nambari moja / ambayo hutenganisha seti X na Y, i.e. ili kwamba kwa kizigeu chochote cha sehemu usawa wa mara mbili unashikilia:

s_P= \jumla_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Ikiwa nambari hii ni ya kipekee, basi \mtindo wa maandishi(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

Wacha tutoe mfano unaoonyesha kuwa nambari kama hiyo mimi, kwa ujumla, haijafafanuliwa kipekee. Kumbuka kwamba kazi ya Dirichlet ni kazi y=D(x) kwenye muda uliofafanuliwa na usawa:

D(x)= \anza(kesi)0,& \text(kama)~~ x~~\text(ni nambari isiyo na mantiki);\\1,& \maandishi(kama)~~ x~~ \maandishi(ni nambari ya busara).\mwisho(kesi)

Sehemu yoyote tunayochukua, kutakuwa na pointi za busara na zisizo na maana juu yake, i.e. na pointi ambapo D(x)=0, na pointi ambapo D(x)=1. Kwa hivyo, kwa kizigeu chochote cha sehemu, maadili yote ya m_k ni sawa na sifuri, na maadili yote ya M_k ni sawa na moja. Lakini basi hesabu zote za chini za Darboux \mtindo wa maandishi(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) ni sawa na sifuri, na hesabu zote za juu za Darboux \mtindo wa maandishi(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sawa na moja,

Nadharia. Ikiwa kazi f(x) kuunganishwa kwa muda [ a, b], wapi a< b , na kwa kila mtu x ∈ ukosefu wa usawa unashikilia

Kutumia usawa kutoka kwa nadharia, mtu anaweza kukadiria kiunga cha uhakika, i.e. onyesha mipaka ambayo maana yake iko. Ukosefu huu wa usawa unaonyesha makadirio ya kiunganishi dhahiri.

Nadharia [Mean Theorem]. Ikiwa kazi f(x) kuunganishwa kwa muda [ a, b] na kwa kila mtu x ∈ ukosefu wa usawa umeridhika m ≤ f(x) ≤ M, Hiyo

Wapi m ≤ μ ≤ M.

Maoni. Katika kesi ya utendaji f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], usawa kutoka kwa nadharia huchukua fomu

Wapi c ∈. Nambari μ=f(c), iliyofafanuliwa na fomula hii, inaitwa thamani ya wastani kazi f(x) kwenye sehemu [ a, b]. Usawa huu una yafuatayo maana ya kijiometri: eneo la trapezoid iliyopinda iliyofungwa na mstari unaoendelea y=f(x) (f(x) ≤0), ni sawa na eneo la mstatili na msingi sawa na urefu sawa na mpangilio wa hatua fulani kwenye mstari huu.

Kuwepo kwa kizuia derivative kwa utendaji unaoendelea

Kwanza, tunatanguliza dhana ya kiunganishi na kikomo cha juu cha kutofautiana.

Hebu kazi f(x) kuunganishwa kwa muda [ a, b]. Kisha idadi yoyote ni x kutoka [ a, b], kazi f(x) kuunganishwa kwa muda [ a, b]. Kwa hiyo, kwa muda [ a, b] kitendakazi kimefafanuliwa

ambayo inaitwa muhimu na kikomo cha juu cha kutofautiana.

Nadharia. Ikiwa muunganisho unaendelea kwa muda [ a, b], kisha derivative ya kiunganishi dhahiri chenye kikomo cha juu kinachobadilika ipo na ni sawa na thamani ya kiunganishi cha kikomo hiki, yaani.

Matokeo. Kiunganishi dhahiri kilicho na kikomo cha juu kinachobadilika ni mojawapo ya vizuia derivative kwa muunganisho endelevu. Kwa maneno mengine, kwa kazi yoyote inayoendelea kwa muda kuna antiderivative.

Kumbuka 1. Kumbuka kwamba ikiwa kazi f(x) kuunganishwa kwa muda [ a, b], basi kiungo kilicho na kikomo cha juu kinachobadilika ni kazi ya kikomo cha juu, kinachoendelea kwenye sehemu hii. Hakika, kutoka kwa St.2 na nadharia ya wastani ya thamani tunayo

Kumbuka 2. Muhimu na kikomo cha juu cha ujumuishaji hutumiwa katika ufafanuzi wa kazi nyingi mpya, kwa mfano, . Kazi hizi si za msingi; kama ilivyoonyeshwa tayari, vizuia derivatives vya viambatanisho vilivyoonyeshwa havionyeshwa kupitia kazi za kimsingi.

Sheria za msingi za ujumuishaji

Fomula ya Newton-Leibniz

Kwa kuwa kazi zozote mbili za antiderivative f(x) hutofautiana na mara kwa mara, basi kulingana na theorem ya awali inaweza kuwa alisema kuwa antiderivative yoyote Φ(x) kuendelea kwenye sehemu [ a, b] kazi f(x) inaonekana kama

Wapi C- baadhi ya mara kwa mara.

Kwa kudhani katika fomula hii x=a Na x=b, kwa kutumia viambatanisho vya uhakika vya St.1, tunapata

Usawa huu unamaanisha uhusiano

ambayo inaitwa Fomula ya Newton-Leibniz.

Kwa hivyo tulithibitisha nadharia ifuatayo:

Nadharia. Muunganisho dhahiri wa kazi inayoendelea ni sawa na tofauti kati ya maadili ya antiderivatives yake yoyote kwa mipaka ya juu na ya chini ya ujumuishaji.

Fomula ya Newton-Leibniz inaweza kuandikwa upya kama

Kubadilisha kigezo katika muunganisho dhahiri

Nadharia. Kama

• kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b];
• sehemu ya mstari [ a, b] ni seti ya maadili ya utendakazi φ(t), iliyofafanuliwa kwenye sehemu α ≤ t ≤ β na kuwa na derivative inayoendelea juu yake;
• φ(α)=a, φ(β)=b

basi formula ni sahihi

Mfumo wa kuunganishwa kwa sehemu

Nadharia. Ikiwa kazi u=u(x), v=v(x) kuwa na derivatives kuendelea katika muda [ a, b], basi fomula ni halali

Thamani ya maombi maana nadharia za thamani iko katika uwezekano wa kupata makadirio ya ubora wa thamani ya kiungo fulani bila kuhesabu. Hebu tutengeneze : ikiwa chaguo la kukokotoa linaendelea kwa muda, basi ndani ya muda huu kuna hatua kama hiyo .

Fomula hii inafaa kabisa kwa takriban kukadiria kiunganishi cha kitendakazi changamani au kigumu. Jambo pekee ambalo hufanya formula takriban , ni jambo la lazima uchaguzi wa kujitegemea nukta Ikiwa tunachukua njia rahisi - katikati ya muda wa kuunganishwa (kama inavyopendekezwa katika idadi ya vitabu), basi kosa linaweza kuwa muhimu sana. Ili kupata matokeo sahihi zaidi Tunapendekeza fanya hesabu kwa mlolongo ufuatao:

Unda grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye muda;

Chora mpaka wa juu wa mstatili ili sehemu zilizokatwa za grafu ya kazi ziwe takriban sawa katika eneo (hii ndiyo hasa inavyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu - pembetatu mbili za curvilinear ni karibu kufanana);

Kuamua kutoka kwa takwimu;

Tumia nadharia ya wastani ya thamani.

Kama mfano, wacha tuhesabu kiunga rahisi:

Thamani halisi;

Kwa katikati ya muda pia tunapata thamani ya takriban, i.e. matokeo yasiyo sahihi wazi;

Kwa kuunda grafu na upande wa juu wa mstatili uliochorwa kwa mujibu wa mapendekezo, tunapata, kwa hiyo thamani ya takriban. Matokeo ya kuridhisha kabisa, kosa ni 0.75%.

Fomu ya trapezoid

Usahihi wa hesabu kwa kutumia nadharia ya thamani ya wastani inategemea sana, kama ilivyoonyeshwa, kwenye kusudi la kuona kulingana na ratiba ya pointi. Hakika, kwa kuchagua, katika mfano huo huo, pointi au , unaweza kupata maadili mengine ya muhimu, na kosa linaweza kuongezeka. Mambo ya mada, ukubwa wa grafu na ubora wa kuchora huathiri sana matokeo. Hii haikubaliki katika hesabu muhimu, kwa hivyo nadharia ya wastani ya thamani inatumika tu kwa haraka ubora makadirio muhimu.

Katika sehemu hii tutazingatia moja ya njia maarufu za ujumuishaji wa takriban - formula ya trapezoidal . Wazo kuu la kuunda formula hii ni kwa msingi wa ukweli kwamba curve inaweza kubadilishwa takriban na mstari uliovunjika, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.

Hebu tuchukue, kwa uhakika (na kwa mujibu wa takwimu), kwamba muda wa ushirikiano umegawanywa sawa (hii ni hiari, lakini inafaa sana) sehemu. Urefu wa kila moja ya sehemu hizi huhesabiwa na formula na inaitwa hatua . Abscissas ya sehemu za kizigeu, ikiwa imetolewa, imedhamiriwa na fomula, wapi. Kwa kutumia abscissas inayojulikana ni rahisi kuhesabu kuratibu. Hivyo,

Hii ni formula ya trapezoidal kwa kesi hiyo. Kumbuka kwamba muhula wa kwanza katika mabano ni nusu-jumla ya viambatisho vya mwanzo na vya mwisho, ambapo violezo vyote vya kati huongezwa. Kwa idadi ya kiholela ya vizuizi vya muda wa ujumuishaji formula ya jumla ya trapezoids ina fomu: fomula za quadrature: mistatili, Simpson, Gaussian, nk. Zinatokana na wazo lile lile la kuwakilisha trapezoid ya curvilinear na maeneo ya kimsingi ya maumbo anuwai, kwa hivyo, baada ya kujua formula ya trapezoid, kuelewa fomula zinazofanana haitakuwa ngumu. Njia nyingi sio rahisi kama formula ya trapezoidal, lakini hukuruhusu kupata matokeo ya usahihi wa hali ya juu na idadi ndogo ya sehemu.

Kutumia formula ya trapezoidal (au zile zinazofanana), inawezekana kuhesabu, kwa usahihi unaohitajika katika mazoezi, vipengele vyote "zisizo na utendaji" na vipengele vya kazi ngumu au ngumu.

Njia ya trapezoid

Makala kuu:Njia ya trapezoid

Ikiwa kazi kwenye kila sehemu ya sehemu inakadiriwa na mstari wa moja kwa moja unaopitia maadili ya mwisho, basi tunapata njia ya trapezoidal.

Eneo la trapezoid kwenye kila sehemu:

Hitilafu ya kukadiria kwa kila sehemu:

Wapi

Njia kamili ya trapezoids katika kesi ya kugawanya muda wote wa ujumuishaji katika sehemu za urefu sawa:

Wapi

Hitilafu ya fomula ya trapezoid:

Wapi

Mbinu ya Simpson.

Integrand f(x) inabadilishwa na polynomial ya ukalimani ya shahada ya pili P(x)- parabola inayopitia nodi tatu, kwa mfano, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu ((1) - kazi, (2) - polynomial).

Wacha tuzingatie hatua mbili za ujumuishaji ( h= const = x i+1 - x i), yaani, nodi tatu x 0 , x 1 , x 2, ambayo kupitia kwayo tunachora parabola kwa kutumia mlingano wa Newton:

Hebu z = x - x 0,
Kisha

Sasa, kwa kutumia uhusiano uliopatikana, tunahesabu muhimu kwa muda huu:

.
Kwa mesh sare Na hata idadi ya hatua n Fomula ya Simpson inachukua fomu:

Hapa , A chini ya dhana ya mwendelezo wa derivative ya nne ya integrand.

[hariri] Kuongezeka kwa usahihi

Ukadiriaji wa chaguo za kukokotoa kwa polynomia moja katika muda wote wa ujumuishaji, kama sheria, husababisha hitilafu kubwa katika kukadiria thamani ya muunganisho.

Ili kupunguza kosa, sehemu ya ujumuishaji imegawanywa katika sehemu na njia ya nambari hutumiwa kutathmini kiunga kwa kila mmoja wao.

Kwa vile idadi ya sehemu huelekea kutokuwa na kikomo, makadirio ya muunganisho huelekea kwenye thamani yake ya kweli ya vitendakazi vya uchanganuzi kwa mbinu yoyote ya nambari.

Njia zilizo hapo juu huruhusu utaratibu rahisi wa kupunguza hatua kwa nusu, na kila hatua inayohitaji maadili ya kazi kuhesabiwa tu kwenye nodi mpya zilizoongezwa. Ili kukadiria kosa la hesabu, sheria ya Runge inatumiwa.

Utumiaji wa sheria ya Runge

hariri]Kutathmini usahihi wa kukokotoa kiunganishi fulani

Muhimu huhesabiwa kwa kutumia formula iliyochaguliwa (rectangles, trapezoids, Simpson parabolas) na idadi ya hatua sawa na n, na kisha kwa idadi ya hatua sawa na 2n. Kosa katika kuhesabu thamani ya muunganisho na idadi ya hatua sawa na 2n imedhamiriwa na fomula ya Runge:
, kwa fomula za mistatili na trapezoids, na kwa formula ya Simpson.
Kwa hivyo, muhimu huhesabiwa kwa maadili mfululizo ya idadi ya hatua, ambapo n 0 ni nambari ya awali ya hatua. Mchakato wa kuhesabu huisha wakati hali imeridhika kwa thamani inayofuata N, ambapo ε ni usahihi uliobainishwa.

Vipengele vya tabia ya makosa.

Inaweza kuonekana, kwa nini kuchambua mbinu tofauti za ujumuishaji ikiwa tunaweza kufikia usahihi wa juu kwa kupunguza saizi ya hatua ya ujumuishaji. Walakini, fikiria grafu ya tabia ya kosa la nyuma R matokeo ya hesabu ya nambari kulingana na na kutoka kwa nambari n partitions ya muda (yaani, katika hatua. Katika sehemu ya (1) kosa hupungua kutokana na kupungua kwa hatua h. Lakini katika sehemu ya (2) kosa computational huanza kutawala, kujilimbikiza kama matokeo ya shughuli nyingi za hesabu. , kwa kila njia kuna yake mwenyewe Rmin, ambayo inategemea mambo mengi, lakini kimsingi juu ya thamani ya priori ya kosa la njia R.

Njia ya kufafanua ya Romberg.

Njia ya Romberg ina uboreshaji wa mlolongo wa thamani ya kiungo na ongezeko nyingi la idadi ya partitions. Njia ya trapezoids na hatua sare inaweza kuchukuliwa kama msingi h.
Wacha tuonyeshe kiunga na idadi ya sehemu n= 1 kama .
Kupunguza hatua kwa nusu, tunapata .
Ikiwa tutapunguza hatua mfululizo kwa mara 2 n, tunapata uhusiano wa kujirudia kwa kukokotoa .

Nadharia ya maana ya thamani. Ikiwa f(x) inaendelea kwa muda, basi kuna hatua kama hiyo . Dokta. Chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwa muda huchukua thamani zake ndogo zaidi za m na M kubwa zaidi kwenye sehemu hii. Kisha . Nambari inahitimishwa kati ya maadili ya chini na ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu. Mojawapo ya sifa za chaguo za kukokotoa ambazo zinaendelea kwa muda ni kwamba kitendakazi hiki huchukua thamani yoyote iliyo kati ya m na M. Kwa hivyo, kuna uhakika kwamba chaguo hili la kukokotoa linachukua thamani yoyote iliyo kati ya m na M. . Sifa hii ina tafsiri rahisi ya kijiometri: ikiwa inaendelea kwenye sehemu, basi kuna uhakika kwamba eneo la curvilinear trapezoid ABCD ni sawa na eneo la mstatili na msingi na urefu f (c) (iliyoangaziwa). kwenye takwimu).

7. Jumuishi na kikomo cha juu cha kutofautiana. Mwendelezo wake na kutofautisha.

Wacha tuzingatie chaguo la kukokotoa f (x) ambalo linaweza kuunganishwa na Riemann kwenye muda . Kwa kuwa inaweza kuunganishwa kwenye , basi inaweza kuunganishwa kwenye ∀x ∈ . Kisha kwa kila x ∈ usemi unaeleweka, na kwa kila x ni sawa na nambari fulani.

Kwa hivyo, kila x ∈ inahusishwa na nambari fulani,

hizo. kazi imetolewa:

(3.1)

Ufafanuzi:

Kazi F (x) iliyofafanuliwa katika (3.1), pamoja na usemi yenyewe, inaitwa

muhimu na kikomo cha juu kinachobadilika. Inafafanuliwa juu ya sehemu nzima

kuunganishwa kwa chaguo za kukokotoa f (x).

Hali: f (t) ni endelevu kwenye , na chaguo za kukokotoa F (x) hutolewa kwa fomula (3.1).

Taarifa: Chaguo za kukokotoa F(x) zinaweza kutofautishwa kwenye , na F (x) = f (x).

(Kwa wakati a inaweza kutofautishwa sawa, na kwa uhakika b inaachwa kutofautishwa.)

Uthibitisho:

Kwa kuwa kwa kazi ya kutofautisha moja F (x) ni sawa na kuwepo kwa derivative katika sehemu zote (hatua a upande wa kulia, na kwa uhakika b upande wa kushoto), tutapata derivative ya F (x) . Hebu fikiria tofauti

Hivyo,

katika kesi hii, hatua ξ iko kwenye sehemu (au ikiwa ∆x< 0).

Sasa kumbuka kwamba derivative ya chaguo za kukokotoa F(x) katika hatua fulani x ∈ ni sawa na kikomo cha uwiano wa tofauti: . Kutoka kwa usawa tulio nao:

,

Sasa tukielekeza ∆x → 0, upande wa kushoto wa usawa huu tunapata F’(x), na upande wa kulia.

Wacha tukumbuke ufafanuzi wa mwendelezo wa kazi f (t) kwa uhakika x:

Acha x1 katika ufafanuzi huu iwe sawa na ξ. Kwa kuwa ξ ∈ (ξ ∈ ), na

∆x → 0, kisha |x − ξ| → 0, na kwa ufafanuzi wa mwendelezo, f (ξ) → f (x). Kutoka hapa tunayo:

F’(x) = f (x).

Matokeo:

Hali: f (x) inaendelea kwenye .

Taarifa: Kizuia derivative chochote cha chaguo za kukokotoa f (x) kina fomu

ambapo C ∈ R ni ya kudumu.

Ushahidi. Kwa nadharia 3.1 kazi ni kizuia derivative kwa f(x). Tuseme kwamba G(x) ni kipingamizi kingine cha f (x). Kisha G’(x) = f(x) na kwa chaguo za kukokotoa F(x) − G(x) tunayo: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Hivyo basi, kitokeo cha chaguo za kukokotoa F (x)−G (x)

ni sawa na sifuri, kwa hiyo, kazi hii ni mara kwa mara: F(x) - G(x) = const.

8. Fomula ya Newton-Leibniz ya kiunganishi dhahiri.

Nadharia:

Hali: f(t) inaendelea kwenye , na F(x) ni kizuia derivative yoyote.

Kauli:

Uthibitisho: Fikiria kizuia derivative F (x) cha chaguo za kukokotoa f (x). Kulingana na Corollary kutoka kwa Nadharia "Juu ya kutofautisha kwa sehemu iliyo na kikomo cha juu cha kutofautiana" (angalia swali la awali), ina fomu . Kutoka hapa

=> c= F(a) , Na

Hebu tusogeze F(a) katika usawa wa mwisho hadi upande wa kushoto, tutengeneze upya utofauti wa ujumuishaji kama x na tupate fomula ya Newton–Leibniz: