Jinsi ya kuhesabu wastani wa nambari katika Excel

Tafuta wastani nambari za hesabu katika Excel unaweza kutumia kazi.

Sintaksia WASTANI

=WASTANI(nambari1,[nambari2],...) - Toleo la Kirusi

Hoja WASTANI

• nambari 1- nambari ya kwanza au safu ya nambari za kuhesabu maana ya hesabu;
• nambari 2(Si lazima) - nambari ya pili au safu ya nambari za kuhesabu maana ya hesabu. Idadi ya juu zaidi ya hoja za chaguo za kukokotoa ni 255.

Ili kuhesabu, fuata hatua hizi:

• Chagua seli yoyote;
• Andika formula ndani yake = WASTANI(
• Chagua safu ya seli ambazo unataka kuhesabu;
• Bonyeza kitufe cha "Ingiza" kwenye kibodi yako

Chaguo za kukokotoa zitakokotoa thamani ya wastani katika safu maalum kati ya visanduku hivyo vilivyo na nambari.

Jinsi ya kupata maandishi ya wastani

Ikiwa kuna mistari tupu au maandishi katika safu ya data, chaguo za kukokotoa huzichukulia kama "sifuri". Ikiwa kati ya data kuna maneno yenye mantiki FALSE au TRUE, basi chaguo za kukokotoa hutambua FALSE kama "sifuri", na TRUE kama "1".

Jinsi ya kupata maana ya hesabu kwa hali

Ili kuhesabu wastani kwa hali au kigezo, chaguo la kukokotoa hutumiwa. Kwa mfano, fikiria kuwa tuna data kuhusu mauzo ya bidhaa:

Kazi yetu ni kuhesabu thamani ya wastani ya mauzo ya kalamu. Ili kufanya hivyo, tutachukua hatua zifuatazo:

• Katika seli A13 andika jina la bidhaa "Peni";
• Katika seli B13 wacha tuanzishe formula:

=AVERAGEIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Safu ya seli" A2:A10” inaonyesha orodha ya bidhaa ambazo tutatafuta neno “Peni”. Hoja A13 hiki ni kiungo cha seli iliyo na maandishi ambayo tutatafuta kati ya orodha nzima ya bidhaa. Safu ya seli" B2:B10” ni safu yenye data ya mauzo ya bidhaa, ambayo kipengele cha kukokotoa kitapata "Hushughulikia" na kukokotoa thamani ya wastani.

Kwa madhumuni ya uchambuzi na kupata hitimisho la takwimu kulingana na matokeo ya muhtasari na kambi, viashiria vya jumla vinahesabiwa - wastani na maadili ya jamaa.

Wastani wa tatizo - bainisha vitengo vyote vya idadi ya takwimu kwa thamani moja ya sifa.

Thamani za wastani huainisha viashiria vya ubora shughuli ya ujasiriamali: gharama za usambazaji, faida, faida, nk.

thamani ya wastani- hii ni tabia ya jumla ya vitengo vya idadi ya watu kulingana na tabia tofauti.

Maadili ya wastani hukuruhusu kulinganisha viwango vya sifa sawa katika idadi tofauti ya watu na kupata sababu za tofauti hizi.

Katika uchambuzi wa matukio chini ya utafiti, jukumu la maadili ya wastani ni kubwa. Mwanauchumi wa Kiingereza W. Petty (1623-1687) alitumia sana maadili ya wastani. V. Petty alitaka kutumia thamani za wastani kama kipimo cha gharama ya gharama kwa wastani wa chakula cha kila siku cha mfanyakazi mmoja. Uendelevu ukubwa wa wastani- hii ni onyesho la ukawaida wa taratibu zinazosomwa. Aliamini kuwa habari inaweza kubadilishwa, hata ikiwa hakuna data asili ya kutosha.

Mwanasayansi wa Kiingereza G. King (1648-1712) alitumia maadili ya wastani na jamaa wakati wa kuchambua data juu ya idadi ya watu wa Uingereza.

Maendeleo ya kinadharia ya mwanatakwimu wa Ubelgiji A. Quetelet (1796-1874) yanatokana na hali ya kupingana ya matukio ya kijamii - yenye utulivu katika raia, lakini mtu binafsi.

Kulingana na A. Quetelet sababu za kudumu tenda kwa usawa kwa kila jambo linalochunguzwa na kufanya matukio haya yafanane, na kuunda mifumo inayofanana kwa wote.

Matokeo ya mafundisho ya A. Quetelet yalikuwa kitambulisho cha maadili ya wastani kama mbinu kuu ya uchambuzi wa takwimu. Alisema kuwa wastani wa takwimu hauwakilishi aina ya ukweli halisi.

A. Quetelet alionyesha maoni yake juu ya wastani katika nadharia yake ya mtu wa kawaida. Mtu wa kawaida ni mtu ambaye ana sifa zote za ukubwa wa wastani (wastani wa vifo au kiwango cha kuzaliwa, urefu wa wastani na uzito, kasi ya wastani ya kukimbia, mwelekeo wa wastani wa ndoa na kujiua, matendo mema na kadhalika.). Kwa A. Quetelet, mtu wa kawaida ndiye mtu bora. Kutokubaliana kwa nadharia ya A. Quetelet ya mtu wa kawaida ilithibitishwa katika fasihi ya takwimu ya Kirusi katika marehemu XIX-XX karne nyingi

Mwanatakwimu mashuhuri wa Urusi Yu. E. Yanson (1835-1893) aliandika kwamba A. Quetelet anachukulia kuwapo kwa asili ya aina ya mtu wa kawaida kama kitu kilichotolewa, ambacho maisha yamewapotosha watu wa kawaida wa jamii fulani na wakati fulani. , na hii inampeleka kwenye mtazamo wa mitambo kabisa na kwa sheria za mwendo maisha ya kijamii: harakati ni ongezeko la taratibu katika mali ya wastani ya mtu, urejesho wa taratibu wa aina; kwa hivyo, usawazishaji kama huo wa maonyesho yote ya maisha ya mwili wa kijamii, ambayo kila mmoja nyuma yake harakati za mbele ataacha.

Kiini cha nadharia hii kimepata yake maendeleo zaidi katika kazi za wananadharia kadhaa wa takwimu kama nadharia ya idadi halisi. A. Quetelet alikuwa na wafuasi - mwanauchumi wa Ujerumani na mwanatakwimu V. Lexis (1837-1914), ambaye alihamisha nadharia ya maadili ya kweli kwa matukio ya kiuchumi maisha ya umma. Nadharia yake inajulikana kama nadharia ya utulivu. Toleo jingine la nadharia bora ya wastani inategemea falsafa

Mwanzilishi wake ni Mtaalamu wa takwimu wa Kiingereza A. Boley (1869–1957) ni mmoja wa wananadharia mashuhuri wa nyakati za kisasa katika uwanja wa nadharia ya wastani. Dhana yake ya wastani imeainishwa katika kitabu chake Elements of Statistics.

A. Boley huzingatia thamani za wastani pekee kutoka upande wa kiasi, na hivyo kutenganisha wingi na ubora. Kubainisha maana ya thamani za wastani (au "kazi zao"), A. Boley anaweka mbele kanuni ya kufikiri ya Wamachian. A. Boley aliandika kwamba kazi ya maadili ya wastani inapaswa kueleza kikundi changamano

kwa kutumia nambari kuu chache. Data ya takwimu inapaswa kurahisishwa, kupangwa na kupunguzwa hadi wastani. Maoni haya: yalishirikiwa na R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892), n.k.

Katika miaka ya 30 Karne ya XX na miaka inayofuata, thamani ya wastani inachukuliwa kama sifa muhimu ya kijamii, maudhui ya habari ambayo inategemea homogeneity ya data.

Wawakilishi maarufu zaidi wa shule ya Kiitaliano R. Benini (1862-1956) na C. Gini (1884-1965), kwa kuzingatia takwimu tawi la mantiki, walipanua wigo wa uingizaji wa takwimu, lakini kanuni za utambuzi Waliunganisha mantiki na takwimu na asili ya matukio yanayosomwa, kufuatia mapokeo ya tafsiri ya kisosholojia ya takwimu.

Katika kazi za K. Marx na V. I. Lenin, maadili ya wastani hupewa jukumu maalum.

K. Marx alisema kuwa kupotoka kwa mtu binafsi kutoka ngazi ya jumla na kiwango cha wastani kinakuwa sifa ya jumla ya jambo la wingi.Thamani ya wastani inakuwa sifa kama hii ya jambo la wingi ikiwa tu idadi kubwa ya vitengo inachukuliwa na vitengo hivi vinalingana kimaelezo. Marx aliandika kwamba thamani ya wastani inayopatikana inapaswa kuwa wastani wa "...thamani nyingi tofauti za aina moja."

Thamani ya wastani inapata umuhimu maalum katika uchumi wa soko. Inasaidia kuamua muhimu na ya jumla, tabia ya muundo maendeleo ya kiuchumi moja kwa moja kupitia umoja na nasibu.

Maadili ya wastani ni viashiria vya jumla ambavyo athari ya hali ya jumla na muundo wa jambo linalosomwa huonyeshwa.

Wastani wa takwimu huhesabiwa kwa msingi wa data ya wingi kutoka kwa uchunguzi wa watu wengi uliopangwa kwa usahihi. Ikiwa wastani wa takwimu umekokotolewa kutoka kwa data ya wingi kwa idadi ya watu yenye uwiano sawa (matukio ya wingi), basi itakuwa lengo.

Thamani ya wastani ni dhahania, kwani inaangazia thamani ya kitengo cha dhahania.

Wastani umetolewa kutoka kwa utofauti wa sifa katika vitu vya mtu binafsi. Kujiondoa ni hatua utafiti wa kisayansi. Katika thamani ya wastani, umoja wa lahaja wa mtu binafsi na jumla hugunduliwa.

Thamani za wastani zinapaswa kutumika kulingana na uelewa wa lahaja wa kategoria za mtu binafsi na za jumla, mtu binafsi na misa.

Ya kati inaonyesha kitu cha kawaida ambacho kimo katika kitu kimoja maalum.

Ili kutambua mifumo katika michakato mingi ya kijamii, thamani ya wastani ni muhimu sana.

Kupotoka kwa mtu binafsi kutoka kwa jumla ni dhihirisho la mchakato wa maendeleo.

Thamani ya wastani inaonyesha tabia, kawaida, kiwango halisi cha matukio yanayosomwa. Kazi ya maadili ya wastani ni kuashiria viwango hivi na mabadiliko yao kwa wakati na nafasi.

Wastani ni thamani ya kawaida kwa sababu imeundwa kwa kawaida, asili, masharti ya jumla kuwepo kwa jambo maalum la molekuli linalozingatiwa kwa ujumla.

Mali ya lengo mchakato wa takwimu au jambo linaakisiwa na thamani ya wastani.

Maadili ya mtu binafsi ya sifa ya takwimu chini ya utafiti ni tofauti kwa kila kitengo cha idadi ya watu. Thamani ya wastani ya maadili ya mtu binafsi ya aina moja ni bidhaa ya lazima, ambayo ni matokeo ya hatua ya pamoja ya vitengo vyote vya idadi ya watu, iliyoonyeshwa kwa wingi wa ajali zinazorudiwa.

Baadhi ya matukio ya mtu binafsi yana sifa ambazo zipo katika matukio yote, lakini ndani kiasi tofauti ni urefu au umri wa mtu. Ishara zingine za uzushi wa mtu binafsi ni tofauti kimaelezo katika hali tofauti, ambayo ni, zipo kwa zingine na hazizingatiwi kwa zingine (mwanamume hatakuwa mwanamke). Thamani ya wastani inakokotolewa kwa sifa ambazo zinalingana kimaelezo na tofauti kimida tu, ambazo ni asili katika matukio yote katika seti fulani.

Thamani ya wastani ni onyesho la maadili ya sifa inayosomwa na hupimwa kwa kipimo sawa na sifa hii.

Nadharia ya uyakinifu wa lahaja hufundisha kwamba kila kitu ulimwenguni hubadilika na kukua. Na pia sifa ambazo zinaonyeshwa na maadili ya wastani hubadilika, na, ipasavyo, wastani wenyewe.

Hutokea katika maisha mchakato unaoendelea kuunda kitu kipya. Mtoa huduma wa ubora mpya ni vitu moja, basi idadi ya vitu hivi huongezeka, na mpya inakuwa wingi, ya kawaida.

Thamani ya wastani inaashiria idadi ya watu inayosomwa kulingana na sifa moja tu. Kwa uwakilishi kamili na wa kina wa idadi ya watu inayosomwa kulingana na idadi ya sifa maalum, ni muhimu kuwa na mfumo wa maadili ya wastani ambayo inaweza kuelezea jambo hilo kutoka pembe tofauti.

2. Aina za wastani

Katika usindikaji wa takwimu wa nyenzo, matatizo mbalimbali hutokea ambayo yanahitaji kutatuliwa, na kwa hiyo maadili mbalimbali ya wastani hutumiwa katika mazoezi ya takwimu. Takwimu za hisabati hutumia wastani mbalimbali, kama vile: maana ya hesabu; maana ya kijiometri; maana ya harmonic; maana mraba.

Ili kutumia moja ya aina zilizo hapo juu za wastani, inahitajika kuchambua idadi ya watu chini ya utafiti, kuamua yaliyomo kwenye jambo linalosomwa, yote haya yanafanywa kwa msingi wa hitimisho lililotolewa kutoka kwa kanuni ya maana ya matokeo wakati. kupima au kujumlisha.

Katika utafiti wa wastani, viashiria na nukuu zifuatazo hutumiwa.

Ishara ambayo wastani hupatikana inaitwa tabia ya wastani na inaonyeshwa na x; thamani ya sifa ya wastani kwa kitengo chochote cha idadi ya watu wa takwimu inaitwa maana yake binafsi, au chaguzi, na kuashiria kama x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; frequency ni kurudiwa kwa maadili ya mtu binafsi ya tabia, iliyoonyeshwa na herufi f.

Maana ya hesabu

Moja ya aina ya kawaida ya kati ni maana ya hesabu, ambayo huhesabiwa wakati kiasi cha tabia ya wastani huundwa kama jumla ya maadili yake katika vitengo vya mtu binafsi vya idadi ya takwimu inayosomwa.

Ili kuhesabu wastani wa hesabu, jumla ya viwango vyote vya sifa imegawanywa na idadi yao.

Ikiwa chaguzi zingine zitatokea mara kadhaa, basi jumla ya viwango vya sifa inaweza kupatikana kwa kuzidisha kila ngazi kwa idadi inayolingana ya vitengo katika idadi ya watu na kisha kuongeza bidhaa zinazotokana; maana ya hesabu iliyohesabiwa kwa njia hii inaitwa uzani. maana ya hesabu.

Njia ya wastani ya hesabu iliyopimwa ni kama ifuatavyo:

ambapo х mimi ni chaguzi,

f i - masafa au uzito.

Wastani wa uzani unapaswa kutumika katika hali zote ambapo chaguo zina nambari tofauti.

Wastani wa hesabu unaonekana kusambaza kwa usawa kati ya vitu vya mtu binafsi jumla ya thamani tabia ambayo kwa kweli inatofautiana kwa kila mmoja wao.

Thamani za wastani huhesabiwa kwa kutumia data iliyowekwa kwenye fomu mfululizo wa muda usambazaji, wakati tofauti za tabia ambayo wastani huhesabiwa zinawasilishwa kwa namna ya vipindi (kutoka - hadi).

Sifa za hesabu zinamaanisha:

1) wastani jumla ya hesabu idadi tofauti ni sawa na jumla ya wastani wa hesabu: Ikiwa x i = y i +z i, basi

Sifa hii inaonyesha ni katika hali zipi inawezekana kufanya muhtasari wa maadili ya wastani.

2) jumla ya algebraic ya kupotoka kwa maadili ya mtu binafsi ya tabia tofauti kutoka wastani ni sawa na sifuri, kwani jumla ya kupotoka kwa mwelekeo mmoja hulipwa na jumla ya kupotoka kwa upande mwingine:

Sheria hii inaonyesha kuwa wastani ni matokeo.

3) ikiwa chaguo zote katika mfululizo zimeongezwa au kupunguzwa kwa nambari sawa?, Je, wastani utaongezeka au kupungua kwa nambari sawa?:

4) ikiwa anuwai zote za safu zimeongezwa au kupunguzwa kwa nyakati A, basi wastani pia utaongezeka au kupungua kwa nyakati A:

5) mali ya tano ya wastani inatuonyesha kwamba haitegemei ukubwa wa mizani, lakini inategemea uhusiano kati yao. Sio tu jamaa, lakini pia maadili kamili yanaweza kuchukuliwa kama mizani.

Ikiwa masafa yote ya mfululizo yamegawanywa au kuzidishwa na nambari sawa d, basi wastani hautabadilika.

Maana ya Harmonic. Ili kuamua maana ya hesabu, inahitajika kuwa na chaguzi na masafa kadhaa, i.e. maadili. X Na f.

Wacha tufikirie kuwa maadili ya mtu binafsi ya tabia yanajulikana X na kazi X/, na masafa f haijulikani, basi kuhesabu wastani, tunaashiria bidhaa = X/; wapi:

Wastani katika fomu hii inaitwa wastani wa uzani wa harmonic na inaonyeshwa x madhara. juu

Ipasavyo, maana ya harmonic ni sawa na maana ya hesabu. Inatumika wakati uzani halisi haujulikani f, na kazi inajulikana fx = z

Wakati kazi fx vitengo sawa au sawa (m = 1), maana rahisi ya harmonic hutumiwa, iliyohesabiwa na formula:

Wapi X- chaguzi tofauti;

n- nambari.

Maana ya kijiometri

Ikiwa kuna mgawo wa ukuaji wa n, basi fomula ya mgawo wa wastani ni:

Hii ni formula ya maana ya kijiometri.

Maana ya kijiometri ni sawa na mzizi wa nguvu n kutoka kwa bidhaa ya coefficients ya ukuaji inayoonyesha uwiano wa thamani ya kila kipindi kinachofuata hadi thamani ya awali.

Ikiwa maadili yaliyoonyeshwa katika fomu yanategemea wastani kazi za quadratic, wastani wa mraba unatumika. Kwa mfano, kwa kutumia mzizi maana ya mraba, unaweza kuamua kipenyo cha mabomba, magurudumu, nk.

Mzizi wa maana ya mraba hubainishwa kwa kuchukua mzizi wa mraba wa sehemu ya jumla ya miraba maadili ya mtu binafsi saini kwenye nambari yao.

Mraba wa maana uliopimwa ni sawa na:

3. Wastani wa muundo. Hali na wastani

Ili kuashiria muundo wa idadi ya watu wa takwimu, viashiria vinavyoitwa hutumiwa wastani wa miundo. Hizi ni pamoja na modi na wastani.

Mtindo (M O ) - chaguo la kawaida. Mitindo ni thamani ya sifa ambayo inalingana na upeo wa juu wa mkondo wa usambazaji wa kinadharia.

Mitindo inawakilisha maana inayotokea mara kwa mara au ya kawaida.

Mitindo hutumiwa katika mazoezi ya kibiashara kusoma mahitaji ya watumiaji na kurekodi bei.

Katika mfululizo tofauti, modi ni lahaja na masafa ya juu zaidi. Katika mfululizo wa tofauti za muda, mode inachukuliwa kuwa tofauti ya kati ya muda, ambayo ina mzunguko wa juu zaidi (upekee).

Ndani ya muda, unahitaji kupata thamani ya sifa ambayo ni mode.

Wapi X O- kikomo cha chini cha muda wa modal;

h- thamani ya muda wa modal;

f m- frequency ya muda wa modal;

f t-1 - mzunguko wa muda kabla ya modal moja;

f m+1 - mzunguko wa muda unaofuata ule wa modal.

Hali inategemea ukubwa wa vikundi na juu ya nafasi halisi ya mipaka ya kikundi.

Mitindo- nambari ambayo hutokea mara nyingi zaidi (ni thamani ya uhakika), kwa mazoezi ina maombi pana zaidi (aina ya kawaida ya mnunuzi).

Wastani (M e ni kiasi kinachogawanya idadi ya mfululizo wa mabadiliko uliopangwa katika sehemu mbili sawa: sehemu moja ina maadili ya sifa tofauti ambazo ni ndogo kuliko lahaja wastani, na nyingine ina maadili makubwa.

Wastani ni kipengele ambacho ni kikubwa kuliko au sawa na na kwa wakati mmoja chini ya au sawa na nusu ya vipengele vilivyobaki vya mfululizo wa usambazaji.

Sifa ya wastani ni kwamba jumla ya mikengeuko kamili ya maadili ya sifa kutoka wastani ni chini ya thamani nyingine yoyote.

Kutumia wastani hukuruhusu kupata zaidi matokeo sahihi kuliko wakati wa kutumia aina zingine za wastani.

Agizo la kupata wastani katika safu ya tofauti ya muda ni kama ifuatavyo: tunapanga maadili ya mtu binafsi ya tabia kulingana na kiwango; tunaamua masafa yaliyokusanywa kwa safu fulani iliyoorodheshwa; Kwa kutumia data ya masafa iliyokusanywa, tunapata muda wa wastani:

Wapi x mimi- kikomo cha chini cha muda wa wastani;

i Mimi- thamani ya muda wa wastani;

f/2- nusu ya jumla ya masafa ya safu;

S Mimi-1 - jumla ya masafa yaliyokusanywa kabla ya muda wa wastani;

f Mimi- marudio ya muda wa wastani.

Wastani hugawanya idadi ya mfululizo katika nusu, kwa hiyo, ni pale ambapo mzunguko uliokusanywa ni nusu au zaidi ya nusu ya jumla ya masafa, na mzunguko uliopita (uliokusanywa) ni chini ya nusu ya idadi ya watu.

Katika hali nyingi, data hujilimbikizia karibu na sehemu kuu. Kwa hivyo, kuelezea seti yoyote ya data, inatosha kuonyesha thamani ya wastani. Acheni tuchunguze tatu mfululizo sifa za nambari, ambazo hutumika kukadiria maana ya usambazaji: wastani wa hesabu, wastani na modi.

Wastani

Wastani wa hesabu (mara nyingi huitwa wastani) ndio makadirio ya kawaida ya wastani wa usambazaji. Ni matokeo ya kugawanya jumla ya maadili yote ya nambari yaliyozingatiwa na nambari yao. Kwa sampuli inayojumuisha nambari X 1, X 2, …, Xn, wastani wa sampuli (iliyoonyeshwa na ) sawa = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, au

maana ya sampuli iko wapi, n- saizi ya sampuli, Xi – kipengele cha i-th sampuli.

Pakua noti katika au umbizo, mifano katika umbizo

Fikiria kuhesabu wastani thamani ya hesabu wastani wa miaka mitano mapato ya kila mwaka ya fedha 15 za pande zote na sana ngazi ya juu hatari (Mchoro 1).

Mchele. 1. Wastani wa mapato ya kila mwaka ya fedha 15 za kuheshimiana zenye hatari kubwa sana

Sampuli ya wastani imehesabiwa kama ifuatavyo:

Hii ni faida nzuri, hasa ikilinganishwa na kurudi kwa 3-4% ambayo waweka amana za benki au chama cha mikopo walipokea kwa muda huo huo. Ikiwa tutapanga mapato, ni rahisi kuona kwamba fedha nane zina faida zaidi ya wastani, na saba - chini ya wastani. Wastani wa hesabu hutumika kama sehemu ya usawa, ili fedha zilizo na mapato ya chini kusawazisha fedha na mapato ya juu. Vipengele vyote vya sampuli vinahusika katika kuhesabu wastani. Hakuna makadirio mengine ya maana ya usambazaji iliyo na mali hii.

Ni wakati gani unapaswa kuhesabu maana ya hesabu? Kwa kuwa maana ya hesabu inategemea vitu vyote kwenye sampuli, uwepo wa maadili uliokithiri huathiri sana matokeo. Katika hali kama hizi, maana ya hesabu inaweza kupotosha maana ya data ya nambari. Kwa hivyo, wakati wa kuelezea seti ya data iliyo na maadili yaliyokithiri, ni muhimu kuonyesha wastani au wastani wa hesabu na wastani. Kwa mfano, tukiondoa mapato ya hazina ya RS Emerging Growth kutoka kwa sampuli, wastani wa sampuli ya mapato 14 ya fedha hupungua kwa karibu 1% hadi 5.19%.

Wastani

Wastani huwakilisha thamani ya kati ya safu zilizopangwa za nambari. Ikiwa safu haina nambari za kurudia, basi nusu ya vipengele vyake itakuwa chini ya, na nusu itakuwa kubwa zaidi kuliko, wastani. Ikiwa sampuli ina maadili yaliyokithiri, ni bora kutumia wastani badala ya maana ya hesabu kukadiria wastani. Ili kuhesabu wastani wa sampuli, lazima kwanza iagizwe.

Fomula hii ina utata. Matokeo yake inategemea ikiwa nambari ni sawa au isiyo ya kawaida n:

• Ikiwa sampuli ina idadi isiyo ya kawaida ya vipengele, wastani ni (n+1)/2- kipengele.
• Ikiwa sampuli ina idadi sawa ya vipengele, wastani huwa kati ya vipengele viwili vya kati vya sampuli na ni sawa na maana ya hesabu inayokokotolewa juu ya vipengele hivi viwili.

Ili kukokotoa wastani wa sampuli iliyo na marejesho ya fedha 15 za kuheshimiana zenye hatari kubwa sana, kwanza unahitaji kupanga data mbichi (Mchoro 2). Kisha wastani utakuwa kinyume na idadi ya kipengele cha kati cha sampuli; katika mfano wetu Nambari 8. Excel ina kazi maalum =MEDIAN() ambayo inafanya kazi na safu zisizopangwa pia.

Mchele. 2. Fedha za wastani 15

Kwa hivyo, wastani ni 6.5. Hii ina maana kwamba kurudi kwa nusu moja ya fedha za hatari sana hazizidi 6.5, na kurudi kwa nusu nyingine huzidi. Kumbuka kuwa wastani wa 6.5 sio kubwa zaidi kuliko wastani wa 6.08.

Ikiwa tutaondoa urejeshaji wa hazina ya RS Emerging Growth kutoka kwa sampuli, basi wastani wa fedha 14 zilizobaki hupungua hadi 6.2%, yaani, si kwa kiasi kikubwa kama maana ya hesabu (Mchoro 3).

Mchele. 3. Fedha za wastani 14

Mitindo

Neno hilo lilianzishwa kwanza na Pearson mwaka wa 1894. Mtindo ni nambari ambayo hutokea mara nyingi katika sampuli (ya mtindo zaidi). Mtindo unaelezea vizuri, kwa mfano, majibu ya kawaida ya madereva kwa ishara ya mwanga wa trafiki kuacha kusonga. Mfano wa classic matumizi ya mtindo - kuchagua ukubwa wa kundi la kiatu au rangi ya Ukuta. Ikiwa usambazaji una njia kadhaa, basi inasemekana kuwa multimodal au multimodal (ina "kilele" mbili au zaidi). Usambazaji wa Multimodal unatoa habari muhimu kuhusu asili ya kigezo kinachochunguzwa. Kwa mfano, katika tafiti za kisosholojia, ikiwa kigezo kinawakilisha mapendeleo au mtazamo kuelekea jambo fulani, basi hali nyingi zinaweza kumaanisha kuwa kuna maoni tofauti tofauti. Multimodality pia hutumika kama kiashirio kwamba sampuli si homogeneous na uchunguzi inaweza kuzalishwa na mbili au zaidi "kupishana" usambazaji. Tofauti na maana ya hesabu, wauzaji wa nje hawaathiri hali. Kwa vibadilishio bila mpangilio vinavyoendelea kusambazwa, kama vile wastani wa mapato ya kila mwaka ya fedha za pande zote, hali hiyo wakati mwingine haipo (au haina maana) hata kidogo. Kwa kuwa viashiria hivi vinaweza kuchukua maadili tofauti sana, kurudia maadili ni nadra sana.

Quartiles

Quartiles ni vipimo vinavyotumiwa mara nyingi kutathmini usambazaji wa data wakati wa kuelezea sifa za sampuli kubwa za nambari. Wakati wastani hugawanya safu iliyoagizwa kwa nusu (50% ya vipengele vya safu ni chini ya wastani na 50% ni kubwa), quartiles hugawanya data iliyoagizwa iliyowekwa katika sehemu nne. Thamani za Q 1 , wastani na Q 3 ni asilimia 25, 50 na 75, mtawalia. Robo ya kwanza Q 1 ni nambari inayogawanya sampuli katika sehemu mbili: 25% ya vitu ni kidogo na 75% ni kidogo. zaidi ya ya kwanza quartile

Quartile ya tatu Q 3 ni nambari ambayo pia inagawanya sampuli katika sehemu mbili: 75% ya vipengele ni chini ya, na 25% ni kubwa kuliko, quartile ya tatu.

Ili kukokotoa quartiles katika matoleo ya Excel kabla ya 2007, tumia =QUARTILE(safu,sehemu). Kuanzia Excel 2010, kazi mbili hutumiwa:

• =QUARTILE.ON(safu,sehemu)
• =QUARTILE.EXC(safu,sehemu)

Kazi hizi mbili hutoa kidogo maana tofauti(Mchoro 4). Kwa mfano, wakati wa kukokotoa robo za sampuli iliyo na wastani wa mapato ya kila mwaka ya fedha 15 zenye hatari kubwa ya kuheshimiana, Q 1 = 1.8 au -0.7 kwa QUARTILE.IN na QUARTILE.EX, mtawalia. Kwa njia, kazi ya QUARTILE iliyotumiwa mapema inalingana na kazi ya kisasa QUARTILE.INCL. Ili kuhesabu quartiles katika Excel kwa kutumia fomula zilizo hapo juu, safu ya data haihitaji kuagizwa.

Mchele. 4. Kuhesabu quartiles katika Excel

Hebu tusisitize tena. Excel inaweza kuhesabu quartiles kwa univariate mfululizo tofauti , iliyo na maadili kutofautiana nasibu. Hesabu ya quartiles kwa usambazaji wa msingi wa mzunguko hutolewa hapa chini katika sehemu.

Maana ya kijiometri

Tofauti na maana ya hesabu, maana ya kijiometri hukuruhusu kukadiria kiwango cha mabadiliko katika kigezo kwa muda. Maana ya kijiometri ni mzizi n shahada ya kazi n kiasi (katika Excel kazi ya =SRGEOM inatumika):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Kigezo sawa ni wastani maana ya kijiometri kiwango cha kurudi imedhamiriwa na formula:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Wapi R i- kiwango cha faida kwa i kipindi cha wakati.

Kwa mfano, tuseme uwekezaji wa awali ni $100,000. Mwishoni mwa mwaka wa kwanza, itashuka hadi $50,000, na kufikia mwisho wa mwaka wa pili itarejea kwa kiwango cha awali cha $100,000. Kiwango cha kurudi kwa uwekezaji huu kwa zaidi ya mbili. kipindi cha mwaka ni sawa na 0, kwa kuwa kiasi cha awali na cha mwisho cha fedha ni sawa kwa kila mmoja. Walakini, wastani wa hesabu wa viwango vya mapato ya kila mwaka ni = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 au 25%, kwani kiwango cha kurudi katika mwaka wa kwanza R 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0.5 , na katika pili R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. Wakati huo huo, thamani ya maana ya kijiometri ya kiwango cha faida kwa miaka miwili ni sawa na: G = [(1-0.5) * (1+) 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Kwa hivyo, maana ya kijiometri inaonyesha kwa usahihi zaidi mabadiliko (kwa usahihi zaidi, kutokuwepo kwa mabadiliko) kwa kiasi cha uwekezaji katika kipindi cha miaka miwili kuliko maana ya hesabu.

Mambo ya Kuvutia. Kwanza, maana ya kijiometri daima itakuwa chini ya maana ya hesabu ya nambari sawa. Isipokuwa kwa kesi wakati nambari zote zilizochukuliwa ni sawa kwa kila mmoja. Pili, kuzingatia mali pembetatu ya kulia, mtu anaweza kuelewa kwa nini maana inaitwa kijiometri. Urefu wa pembetatu ya kulia, iliyopunguzwa hadi hypotenuse, ni uwiano wa wastani kati ya makadirio ya miguu kwenye hypotenuse, na kila mguu ni uwiano wa wastani kati ya hypotenuse na makadirio yake kwenye hypotenuse (Mchoro 5). Hii inatoa njia ya kijiometri ya kuunda maana ya kijiometri ya sehemu mbili (urefu): unahitaji kujenga mduara kwa jumla ya sehemu hizi mbili kama kipenyo, kisha urefu hurejeshwa kutoka kwa uhakika wa unganisho lao hadi makutano na duara. itatoa thamani inayotaka:

Mchele. 5. Asili ya kijiometri ya maana ya kijiometri (takwimu kutoka Wikipedia)

Pili mali muhimu data ya nambari - yao tofauti, inayoonyesha kiwango cha mtawanyiko wa data. Sampuli mbili tofauti zinaweza kutofautiana katika njia na tofauti. Walakini, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 6 na 7, sampuli mbili zinaweza kuwa na tofauti sawa lakini njia tofauti, au njia sawa na tofauti tofauti kabisa. Data inayolingana na poligoni B kwenye Mtini. 7, badilisha kidogo sana kuliko data ambayo poligoni A iliundwa.

Mchele. 6. Migawanyiko miwili ya umbo la kengele yenye ulinganifu na kuenea sawa na thamani tofauti za wastani

Mchele. 7. Migawanyo miwili ya umbo la kengele yenye ulinganifu na thamani sawa za wastani na mienendo tofauti

Kuna makadirio matano ya tofauti za data:

• upeo,
• safu ya interquartile,
• utawanyiko,
• kupotoka kwa kawaida,
• mgawo wa tofauti.

Upeo

Masafa ni tofauti kati ya vipengee vikubwa na vidogo zaidi vya sampuli:

Safu = XKiwango cha juu - XDak

Sampuli ya sampuli iliyo na mapato ya wastani ya kila mwaka ya fedha 15 za kuheshimiana zenye hatari kubwa sana zinaweza kuhesabiwa kwa kutumia safu iliyopangwa (ona Mchoro 4): Masafa = 18.5 - (–6.1) = 24.6. Hii ina maana kwamba tofauti kati ya mapato ya wastani ya juu na ya chini kabisa ya kila mwaka ya fedha za hatari sana ni 24.6%.

Masafa hupima kuenea kwa jumla kwa data. Ingawa sampuli mbalimbali ni makadirio rahisi sana ya kuenea kwa jumla kwa data, udhaifu wake ni kwamba haizingatii jinsi data inavyosambazwa kati ya vipengele vya chini kabisa na vya juu zaidi. Athari hii inaonekana wazi kwenye Mtini. 8, ambayo inaonyesha sampuli zilizo na safu sawa. Kiwango B kinaonyesha kuwa ikiwa sampuli ina angalau thamani moja iliyokithiri, sampuli ya masafa ni makadirio yasiyo sahihi sana ya kuenea kwa data.

Mchele. 8. Ulinganisho wa sampuli tatu na masafa sawa; pembetatu inaashiria usaidizi wa kiwango, na eneo lake linalingana na maana ya sampuli

Kiwango cha interquartile

Masafa ya kati, au wastani, ni tofauti kati ya robo tatu na ya kwanza ya sampuli:

Kiwango cha usawa = Q 3 - Q 1

Thamani hii inatuwezesha kukadiria kutawanyika kwa 50% ya vipengele na si kuzingatia ushawishi wa vipengele vilivyokithiri. Msururu wa sampuli zilizo na wastani wa mapato ya kila mwaka ya fedha 15 zenye hatari kubwa sana za pande zote zinaweza kukokotwa kwa kutumia data iliyo kwenye Mtini. 4 (kwa mfano, kwa kazi ya QUARTILE.EXC): Interquartile mbalimbali = 9.8 - (-0.7) = 10.5. Muda uliowekwa na nambari 9.8 na -0.7 mara nyingi huitwa nusu ya kati.

Ikumbukwe kwamba maadili ya Q 1 na Q 3 , na kwa hivyo safu ya interquartile, haitegemei uwepo wa wauzaji wa nje, kwani hesabu yao haizingatii dhamana yoyote ambayo itakuwa chini ya Q 1 au zaidi. kuliko Q3. Jumla sifa za kiasi thamani kama vile wastani, robo ya kwanza na ya tatu, na safu ya pembetatu ambazo haziathiriwi na wauzaji nje huitwa hatua thabiti.

Ingawa masafa na masafa ya pembetatu hutoa makadirio ya jumla na wastani wa kuenea kwa sampuli, mtawalia, hakuna makadirio haya yanayozingatia hasa jinsi data inavyosambazwa. Tofauti na kupotoka kwa kawaida hawana upungufu huu. Viashirio hivi hukuruhusu kutathmini kiwango ambacho data hubadilika karibu na thamani ya wastani. Tofauti ya sampuli ni ukadiriaji wa wastani wa hesabu unaokokotolewa kutoka kwa miraba ya tofauti kati ya kila kipengele cha sampuli na wastani wa sampuli. Kwa sampuli X 1, X 2, ... X n, sampuli ya tofauti (iliyoonyeshwa na ishara S 2 inatolewa na fomula ifuatayo:

KATIKA kesi ya jumla sampuli ya tofauti ni jumla ya miraba ya tofauti kati ya vipengele vya sampuli na wastani wa sampuli, ikigawanywa na thamani sawa na saizi ya sampuli kutoa moja:

Wapi - maana ya hesabu, n- saizi ya sampuli, Xi - i kipengele cha uteuzi X. Katika Excel kabla ya toleo la 2007, chaguo za kukokotoa =VARIN() zilitumika kukokotoa utofauti wa sampuli; tangu toleo la 2010, chaguo za kukokotoa za =VARIAN() hutumiwa.

Makadirio ya vitendo na yanayokubalika zaidi ya kuenea kwa data ni kiwango kupotoka kwa mfano . Kiashiria hiki kinaonyeshwa na ishara S na ni sawa na kipeo kutoka kwa tofauti za sampuli:

Katika Excel kabla ya toleo la 2007, chaguo za kukokotoa =STDEV.() ilitumika kukokotoa mkengeuko wa kawaida wa sampuli; tangu toleo la 2010, chaguo za kukokotoa =STDEV.V() hutumiwa. Ili kukokotoa vipengele hivi, safu ya data inaweza kupangwa bila mpangilio.

Si tofauti ya sampuli au mkengeuko wa kawaida wa sampuli unaweza kuwa hasi. Hali pekee ambayo viashiria S 2 na S vinaweza kuwa sifuri ni ikiwa vipengele vyote vya sampuli ni sawa kwa kila mmoja. Hii ni kabisa kesi ya ajabu masafa na masafa ya pembetatu pia ni sifuri.

Data ya nambari ina hali tete. Tofauti yoyote inaweza kuchukua nyingi maana tofauti. Kwa mfano, fedha tofauti za pande zote zina viwango tofauti vya kurudi na hasara. Kutokana na kutofautiana kwa data ya nambari, ni muhimu sana kujifunza sio tu makadirio ya maana, ambayo ni muhtasari wa asili, lakini pia makadirio ya kutofautiana, ambayo yanaonyesha kuenea kwa data.

Mtawanyiko na mkengeuko wa kawaida hukuruhusu kutathmini uenezaji wa data karibu na thamani ya wastani, kwa maneno mengine, kubainisha ni vipengele ngapi vya sampuli vilivyo chini ya wastani na ni vingapi ni vingi zaidi. Tofauti ina thamani fulani sifa za hisabati. Hata hivyo, thamani yake ni mraba wa kitengo cha kipimo - asilimia ya mraba, dola ya mraba, inchi ya mraba, nk. Kwa hivyo, kipimo cha asili cha mtawanyiko ni kupotoka kwa kawaida, ambayo inaonyeshwa kwa vitengo vya kawaida vya asilimia ya mapato, dola, au inchi.

Mkengeuko wa kawaida hukuruhusu kukadiria kiasi cha utofauti wa vipengee vya sampuli karibu na thamani ya wastani. Karibu katika hali zote, thamani nyingi zinazozingatiwa ziko ndani ya anuwai ya kuongeza au kuondoa mkengeuko mmoja wa kawaida kutoka kwa wastani. Kwa hivyo, kwa kujua maana ya hesabu ya vipengele vya sampuli na mkengeuko wa kawaida wa sampuli, inawezekana kubainisha muda ambao wingi wa data ni wa.

Mkengeuko wa kawaida wa mapato kwa fedha 15 za hatari kubwa sana za kuheshimiana ni 6.6 (Mchoro 9). Hii ina maana kwamba faida ya wingi wa fedha hutofautiana na thamani ya wastani kwa si zaidi ya 6.6% (yaani, inabadilika katika safu kutoka -S= 6.2 - 6.6 = -0.4 hadi +S= 12.8). Kwa kweli, mapato ya wastani ya miaka mitano kwa mwaka ya 53.3% (8 kati ya 15) ya fedha ziko ndani ya safu hii.

Mchele. 9. Mfano wa kupotoka kwa kiwango

Kumbuka kwamba wakati wa kujumlisha tofauti za mraba, vipengee vya sampuli ambavyo viko mbali zaidi na wastani vina uzito zaidi kuliko vipengee vilivyo karibu na wastani. Sifa hii ndio sababu kuu kwa nini maana ya hesabu hutumiwa mara nyingi kukadiria maana ya usambazaji.

Mgawo wa tofauti

Tofauti na makadirio ya awali ya kutawanya, mgawo wa tofauti ni makadirio ya jamaa. Kila mara hupimwa kama asilimia na si katika vitengo vya data asili. Mgawo wa tofauti, unaoonyeshwa na alama za CV, hupima mtawanyiko wa data karibu na wastani. Mgawo wa tofauti ni sawa na mkengeuko wa kawaida uliogawanywa na wastani wa hesabu na kuzidishwa kwa 100%:

Wapi S- kupotoka kwa sampuli ya kawaida, - wastani wa sampuli.

Mgawo wa tofauti hukuruhusu kulinganisha sampuli mbili ambazo vipengele vyake vinaonyeshwa katika vitengo tofauti vya kipimo. Kwa mfano, meneja wa huduma ya utoaji wa barua ana nia ya kufanya upya meli yake ya lori. Wakati wa kupakia vifurushi, kuna vikwazo viwili vya kuzingatia: uzito (katika paundi) na kiasi (katika futi za ujazo) za kila mfuko. Tuseme kwamba katika sampuli iliyo na mifuko 200, uzani wa wastani ni pauni 26.0, kupotoka kwa kawaida ni pauni 3.9, ujazo wa wastani wa begi ni futi za ujazo 8.8, na kupotoka kwa kiwango ni futi za ujazo 2.2. Jinsi ya kulinganisha tofauti katika uzito na kiasi cha vifurushi?

Kwa kuwa vitengo vya kipimo kwa uzito na kiasi vinatofautiana kutoka kwa kila mmoja, meneja lazima alinganishe kuenea kwa jamaa kwa kiasi hiki. Mgawo wa tofauti ya uzito ni CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, na mgawo wa tofauti ya kiasi ni CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25%. Kwa hivyo, tofauti ya jamaa katika kiasi cha pakiti ni kubwa zaidi kuliko tofauti ya jamaa katika uzito wao.

Fomu ya usambazaji

Mali ya tatu muhimu ya sampuli ni sura ya usambazaji wake. Usambazaji huu unaweza kuwa wa ulinganifu au asymmetrical. Ili kuelezea sura ya usambazaji, ni muhimu kuhesabu maana yake na wastani. Ikiwa zote mbili ni sawa, kutofautisha kunazingatiwa kusambazwa kwa ulinganifu. Ikiwa thamani ya wastani ya kutofautiana ni kubwa zaidi kuliko wastani, usambazaji wake una mshikamano mzuri (Mchoro 10). Ikiwa wastani ni mkubwa kuliko wastani, usambazaji wa kutofautisha umepindishwa vibaya. Ukingo chanya hutokea wakati wastani unaongezeka kwa kiwango kisicho kawaida maadili ya juu. Ukingo hasi hutokea wakati wastani unapungua hadi maadili madogo yasiyo ya kawaida. Tofauti inasambazwa kwa ulinganifu ikiwa haichukui maadili yoyote ya hali ya juu katika mwelekeo wowote, ili maadili makubwa na madogo ya kutofautisha yaghairi kila mmoja.

Mchele. 10. Aina tatu za usambazaji

Data iliyoonyeshwa kwa kipimo A imepindishwa vibaya. Takwimu hii inaonyesha mkia mrefu na skew ya kushoto inayosababishwa na kuwepo kwa maadili madogo yasiyo ya kawaida. Thamani hizi ndogo sana huhamisha thamani ya wastani kwenda kushoto, na kuifanya kuwa chini ya wastani. Data iliyoonyeshwa kwenye mizani B inasambazwa kwa ulinganifu. Nusu za kushoto na kulia za usambazaji ni picha za kioo zenyewe. Thamani kubwa na ndogo husawazisha kila mmoja, na wastani na wastani ni sawa. Data iliyoonyeshwa kwenye mizani B imepindishwa vyema. Takwimu hii inaonyesha mkia mrefu na skew kwa haki inayosababishwa na kuwepo kwa maadili ya juu isiyo ya kawaida. Thamani hizi kubwa mno huhamisha wastani kwenda kulia, na kuifanya kuwa kubwa kuliko wastani.

Katika Excel, takwimu za maelezo zinaweza kupatikana kwa kutumia programu jalizi Mfuko wa uchambuzi. Pitia menyu Data → Uchambuzi wa data, katika dirisha linalofungua, chagua mstari Takwimu za Maelezo na bonyeza Sawa. Katika dirisha Takwimu za Maelezo hakikisha kuashiria Muda wa kuingiza(Mchoro 11). Ikiwa ungependa kuona takwimu za maelezo kwenye laha sawa na data asili, chagua kitufe cha redio Muda wa pato na taja kiini ambapo moja ya kushoto inapaswa kuwekwa kona ya juu takwimu za pato (katika mfano wetu $C$1). Ikiwa unataka kutoa data kwa laha mpya au kwa kitabu kipya, chagua tu swichi inayofaa. Angalia kisanduku karibu na Takwimu za muhtasari. Ikiwa inataka, unaweza pia kuchagua Kiwango cha ugumu,kth ndogo nakth kubwa zaidi.

Ikiwa kwenye amana Data katika eneo Uchambuzi huoni ikoni Uchambuzi wa data, unahitaji kusakinisha programu jalizi kwanza Mfuko wa uchambuzi(tazama, kwa mfano,).

Mchele. 11. Takwimu za maelezo ya wastani wa miaka mitano ya mapato ya kila mwaka ya fedha zenye viwango vya juu vya hatari, vinavyokokotolewa kwa kutumia nyongeza. Uchambuzi wa data Programu za Excel

Excel huhesabu mstari mzima takwimu zilizojadiliwa hapo juu: wastani, wastani, modi, kupotoka kwa kawaida, mtawanyiko, anuwai ( muda), kiwango cha chini, kiwango cha juu na saizi ya sampuli ( angalia) Excel pia hukokotoa baadhi ya takwimu ambazo ni mpya kwetu: hitilafu ya kawaida, kurtosis, na upotofu. Hitilafu ya kawaida sawa na mkengeuko wa kawaida uliogawanywa na mzizi wa mraba wa saizi ya sampuli. Asymmetry inaashiria mkengeuko kutoka kwa ulinganifu wa usambazaji na ni chaguo la kukokotoa ambalo linategemea mchemraba wa tofauti kati ya vipengele vya sampuli na thamani ya wastani. Kurtosis ni kipimo cha mkusanyiko wa data karibu na wastani ikilinganishwa na mikia ya usambazaji na inategemea tofauti kati ya vipengele vya sampuli na wastani ulioinuliwa hadi nguvu ya nne.

Kukokotoa takwimu za maelezo kwa idadi ya watu

Wastani, kuenea na umbo la usambazaji uliojadiliwa hapo juu ni sifa zinazobainishwa kutoka kwa sampuli. Hata hivyo, ikiwa seti ya data ina vipimo vya nambari za idadi ya watu wote, vigezo vyake vinaweza kuhesabiwa. Vigezo hivyo ni pamoja na thamani inayotarajiwa, mtawanyiko na kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu.

Thamani inayotarajiwa sawa na jumla ya maadili yote katika idadi ya watu iliyogawanywa na saizi ya idadi ya watu:

Wapi µ - thamani inayotarajiwa, Xi- i uchunguzi wa kutofautiana X, N- kiasi cha idadi ya watu kwa ujumla. Katika Excel kwa hesabu matarajio ya hisabati Chaguo za kukokotoa sawa hutumika kama kwa maana ya hesabu: = WASTANI().

Tofauti ya idadi ya watu sawa na jumla ya miraba ya tofauti kati ya vipengele vya idadi ya watu kwa ujumla na mkeka. matarajio kugawanywa na ukubwa wa idadi ya watu:

Wapi σ 2- mtawanyiko wa watu kwa ujumla. Katika Excel kabla ya toleo la 2007, chaguo za kukokotoa =VARP() hutumika kukokotoa tofauti za idadi ya watu, kuanzia toleo la 2010 =VARP().

Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu sawa na mzizi wa mraba wa tofauti ya idadi ya watu:

Katika Excel kabla ya toleo la 2007, chaguo za kukokotoa =STDEV() hutumika kukokotoa mkengeuko wa kawaida wa idadi ya watu, kuanzia toleo la 2010 =STDEV.Y(). Kumbuka kuwa fomula za tofauti za idadi ya watu na mkengeuko wa kawaida ni tofauti na kanuni za kukokotoa tofauti za sampuli na mkengeuko wa kawaida. Wakati wa kuhesabu takwimu za sampuli S 2 Na S denominator ya sehemu ni n - 1, na wakati wa kuhesabu vigezo σ 2 Na σ - kiasi cha idadi ya watu kwa ujumla N.

Kanuni ya kidole gumba

Katika hali nyingi, idadi kubwa ya uchunguzi hujilimbikizia karibu na wastani, na kutengeneza nguzo. Katika seti za data zilizo na mshikamano mzuri, nguzo hii iko upande wa kushoto (yaani, chini) matarajio ya hisabati, na katika seti zilizo na mshikamano hasi, nguzo hii iko upande wa kulia (yaani, juu) matarajio ya hisabati. Kwa data ya ulinganifu, wastani na wastani ni sawa, na nguzo za uchunguzi karibu na wastani, na kutengeneza usambazaji wa umbo la kengele. Ikiwa usambazaji haujapotoshwa wazi na data imejilimbikizwa karibu na kituo cha mvuto, kanuni ya kidole inayoweza kutumika kukadiria utofauti ni kwamba ikiwa data ina usambazaji wa umbo la kengele, basi takriban 68% ya uchunguzi wako ndani. kupotoka kwa kiwango kimoja cha thamani inayotarajiwa Takriban 95% ya uchunguzi sio zaidi ya mikengeuko miwili ya kawaida kutoka kwa matarajio ya hisabati na 99.7% ya uchunguzi sio zaidi ya mikengeuko mitatu ya kawaida mbali na matarajio ya hisabati.

Kwa hivyo, kupotoka kwa kawaida, ambayo ni makadirio ya tofauti ya wastani karibu na thamani inayotarajiwa, husaidia kuelewa jinsi uchunguzi unavyosambazwa na kutambua nje. Kanuni ya kidole gumba ni kwamba kwa usambazaji wenye umbo la kengele, thamani moja pekee kati ya ishirini hutofautiana na matarajio ya hisabati kwa zaidi ya mikengeuko miwili ya kawaida. Kwa hivyo, maadili nje ya muda µ ± 2σ, inaweza kuchukuliwa kuwa ya nje. Kwa kuongeza, uchunguzi tatu tu kati ya 1000 hutofautiana na matarajio ya hisabati kwa tofauti zaidi ya tatu za kawaida. Kwa hivyo, maadili nje ya muda µ ± 3σ ni karibu kila mara nje. Kwa usambazaji ambao umepindishwa sana au hauna umbo la kengele, sheria ya Bienamay-Chebyshev inaweza kutumika.

Zaidi ya miaka mia moja iliyopita, wanahisabati Bienamay na Chebyshev waligundua kwa kujitegemea mali muhimu kupotoka kwa kawaida. Waligundua kuwa kwa seti yoyote ya data, bila kujali umbo la usambazaji, asilimia ya uchunguzi ambao upo ndani ya umbali wa k mikengeuko ya kawaida kutoka kwa matarajio ya hisabati, sio chini (1 – 1/ k 2)*100%.

Kwa mfano, ikiwa k= 2, sheria ya Bienname-Chebyshev inasema kwamba angalau (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% ya uchunguzi lazima iwe katika muda. µ ± 2σ. Sheria hii ni kweli kwa yoyote k, inazidi moja. Utawala wa Bienamay-Chebyshev ni mzuri sana tabia ya jumla na ni halali kwa usambazaji wa aina yoyote. Inaonyesha idadi ya chini ya uchunguzi, umbali kutoka kwa matarajio ya hisabati hauzidi thamani iliyopewa. Hata hivyo, ikiwa usambazaji una umbo la kengele, kanuni ya kidole gumba inakadiria kwa usahihi zaidi mkusanyiko wa data karibu na thamani inayotarajiwa.

Kukokotoa Takwimu za Ufafanuzi kwa Usambazaji unaotegemea Mzunguko

Ikiwa data asili haipatikani, usambazaji wa mzunguko huwa chanzo pekee cha habari. Katika hali kama hizi, inawezekana kuhesabu takriban maadili ya viashiria vya kiasi cha usambazaji, kama vile maana ya hesabu, kupotoka kwa kawaida na quartiles.

Ikiwa data ya sampuli inawakilishwa kama usambazaji wa marudio, ukadiriaji wa wastani wa hesabu unaweza kuhesabiwa kwa kudhani kuwa thamani zote ndani ya kila darasa zimejilimbikizia katikati ya darasa:

Wapi - wastani wa sampuli, n- idadi ya uchunguzi, au saizi ya sampuli; Na- idadi ya madarasa katika usambazaji wa mzunguko, m j- katikati j darasa la th, fj- frequency sambamba j- darasa.

Ili kuhesabu mkengeuko wa kawaida kutoka kwa usambazaji wa masafa, pia inachukuliwa kuwa maadili yote ndani ya kila darasa yamejilimbikizia katikati ya darasa.

Ili kuelewa jinsi quartiles ya mfululizo imedhamiriwa kulingana na masafa, fikiria hesabu ya quartile ya chini kulingana na data ya 2013 juu ya usambazaji wa idadi ya watu wa Kirusi kwa wastani wa mapato ya fedha kwa kila mtu (Mchoro 12).

Mchele. 12. Sehemu ya wakazi wa Kirusi na wastani wa mapato ya fedha kwa kila mtu kwa mwezi, rubles

Ili kuhesabu robo ya kwanza ya mfululizo wa mabadiliko ya muda, unaweza kutumia fomula:

ambapo Q1 ni thamani ya robo ya kwanza, xQ1 ni kikomo cha chini cha muda kilicho na robo ya kwanza (muda huamuliwa na mzunguko uliokusanywa ambao kwanza unazidi 25%); i - thamani ya muda; Σf - jumla ya masafa ya sampuli nzima; pengine daima ni sawa na 100%; SQ1-1 - mzunguko wa kusanyiko wa muda uliotangulia muda ulio na quartile ya chini; fQ1 - mzunguko wa muda ulio na quartile ya chini. Fomula ya robo ya tatu inatofautiana kwa kuwa katika sehemu zote unahitaji kutumia Q3 badala ya Q1, na ubadilishe ¾ badala ya ¼.

Katika mfano wetu (Mchoro 12), quartile ya chini iko katika aina mbalimbali 7000.1 - 10,000, mzunguko wa kusanyiko ambao ni 26.4%. Kikomo cha chini cha muda huu ni rubles 7000, thamani ya muda ni rubles 3000, mzunguko wa kusanyiko wa muda uliotangulia muda ulio na quartile ya chini ni 13.4%, mzunguko wa muda ulio na quartile ya chini ni 13.0%. Hivyo: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 rub.

Mitego Inayohusishwa na Takwimu za Maelezo

Katika chapisho hili, tuliangalia jinsi ya kuelezea seti ya data kwa kutumia takwimu mbalimbali zinazotathmini maana, kuenea na usambazaji wake. Hatua inayofuata ni uchambuzi wa data na tafsiri. Hadi sasa, tumesoma mali ya kusudi la data, na sasa tunaendelea na tafsiri yao ya kibinafsi. Mtafiti anakabiliwa na makosa mawili: somo lililochaguliwa vibaya la uchambuzi na tafsiri isiyo sahihi ya matokeo.

Mchanganuo wa mapato ya fedha 15 za kuheshimiana zenye hatari kubwa sana hauna upendeleo. Aliongoza kwa hitimisho la lengo kabisa: fedha zote za pande zote zina faida tofauti, kuenea kwa mapato ya mfuko huanzia -6.1 hadi 18.5, na kurudi kwa wastani ni 6.08. Madhumuni ya uchambuzi wa data yanahakikishwa chaguo sahihi jumla ya viashiria vya kiasi cha usambazaji. Mbinu kadhaa za kukadiria wastani na mtawanyiko wa data zilizingatiwa, na faida na hasara zao zilionyeshwa. Je, unachaguaje takwimu zinazofaa ili kutoa uchanganuzi unaolenga na usio na upendeleo? Ikiwa usambazaji wa data umepotoshwa kidogo, unapaswa kuchagua wastani badala ya maana? Ni kiashirio gani kinachoonyesha uenezaji wa data kwa usahihi zaidi: mkengeuko wa kawaida au masafa? Je, tunapaswa kusema kwamba usambazaji umepotoshwa vyema?

Kwa upande mwingine, tafsiri ya data ni mchakato wa kibinafsi. Watu tofauti huja kwa hitimisho tofauti wakati wa kutafsiri matokeo sawa. Kila mtu ana mtazamo wake. Mtu anafikiria jumla ya mapato ya wastani ya kila mwaka ya fedha 15 na kiwango cha juu sana cha hatari kuwa nzuri na ameridhika kabisa na mapato yaliyopokelewa. Wengine wanaweza kuhisi kuwa pesa hizi zina faida ndogo sana. Kwa hivyo, uwajibikaji unapaswa kulipwa kwa uaminifu, kutoegemea upande wowote na uwazi wa hitimisho.

Masuala ya kimaadili

Uchanganuzi wa data umeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na masuala ya maadili. Unapaswa kuwa mkosoaji wa habari zinazosambazwa na magazeti, redio, televisheni na mtandao. Baada ya muda, utajifunza kuwa na shaka sio tu kwa matokeo, lakini pia ya malengo, mada na lengo la utafiti. Mwanasiasa maarufu wa Uingereza Benjamin Disraeli alisema bora zaidi: "Kuna aina tatu za uwongo: uwongo, uwongo uliolaaniwa na takwimu."

Kama ilivyoonyeshwa kwenye noti masuala ya kimaadili kutokea wakati wa kuchagua matokeo yatakayowasilishwa katika ripoti. Unapaswa kuchapisha chanya na matokeo mabaya. Kwa kuongeza, wakati wa kufanya ripoti au ripoti iliyoandikwa, matokeo lazima yawasilishwe kwa uaminifu, bila upande wowote na kwa usawa. Kuna tofauti ya kufanywa kati ya mawasilisho yasiyofanikiwa na yasiyo ya uaminifu. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuamua nia ya mzungumzaji ilikuwa nini. Wakati mwingine mzungumzaji huacha habari muhimu kwa kutojua, na wakati mwingine kwa makusudi (kwa mfano, ikiwa anatumia maana ya hesabu kukadiria wastani wa data iliyopindishwa wazi ili kupata matokeo yaliyotarajiwa) Pia sio uaminifu kukandamiza matokeo ambayo hayaendani na maoni ya mtafiti.

Nyenzo kutoka kwa kitabu Levin et al.. Takwimu za Wasimamizi zinatumika. - M.: Williams, 2004. - p. 178–209

Chaguo za kukokotoa QUARTILE zimesalia kuunganishwa na zaidi matoleo ya awali Excel

Maadili ya wastani yanarejelea viashiria vya jumla vya takwimu ambavyo hutoa muhtasari (mwisho) wa tabia ya matukio ya kijamii, kwani imejengwa kwa msingi wa idadi kubwa ya maadili ya mtu binafsi ya tabia tofauti. Ili kufafanua kiini cha thamani ya wastani, ni muhimu kuzingatia upekee wa malezi ya maadili ya ishara za matukio hayo, kulingana na data ambayo thamani ya wastani imehesabiwa.

Inajulikana kuwa vitengo vya kila jambo la molekuli vina sifa nyingi. Ni ipi kati ya sifa hizi tunazochukua, maadili yake yatakuwa tofauti kwa vitengo vya mtu binafsi; hubadilika, au, kama wanasema katika takwimu, hutofautiana kutoka kitengo kimoja hadi kingine. Kwa mfano, mshahara wa mfanyakazi umedhamiriwa na sifa zake, asili ya kazi, urefu wa huduma na mambo mengine kadhaa, na kwa hivyo hutofautiana ndani ya mipaka pana sana. Ushawishi wa pamoja wa mambo yote huamua kiasi cha mapato ya kila mfanyakazi, hata hivyo, tunaweza kuzungumza juu ya wastani wa mshahara wa kila mwezi wa wafanyakazi katika sekta tofauti za uchumi. Hapa tunafanya kazi na kawaida maana ya tabia tabia tofauti iliyotolewa kwa kitengo cha idadi kubwa ya watu.

Thamani ya wastani inaonyesha hivyo jumla, ambayo ni ya kawaida kwa vitengo vyote vya watu wanaosomwa. Wakati huo huo, inasawazisha ushawishi wa mambo yote yanayofanya juu ya thamani ya tabia ya vitengo vya watu binafsi, kana kwamba inawazima. Kiwango (au saizi) ya jambo lolote la kijamii imedhamiriwa na hatua ya vikundi viwili vya mambo. Baadhi yao ni ya jumla na kuu, yanafanya kazi kila mara, yanahusiana kwa karibu na asili ya jambo au mchakato unaosomwa, na huunda kawaida kwa vitengo vyote vya idadi ya watu wanaosomewa, ambayo inaonyeshwa kwa thamani ya wastani. Wengine ni mtu binafsi, athari zao hazitamkwa kidogo na episodic, asili ya nasibu. Wanafanya kazi ndani mwelekeo wa nyuma, husababisha tofauti kati ya sifa za upimaji wa vitengo vya mtu binafsi vya idadi ya watu, kujaribu kubadilisha thamani ya mara kwa mara ya sifa zinazojifunza. Athari ya sifa za mtu binafsi imezimwa kwa thamani ya wastani. Katika ushawishi wa pamoja wa mambo ya kawaida na ya mtu binafsi, ambayo ni ya usawa na kufutwa kwa sifa za jumla, inajidhihirisha katika mtazamo wa jumla msingi unaojulikana kutokana na takwimu za hisabati sheria idadi kubwa.

Ikichukuliwa pamoja, maadili ya kibinafsi ya vipengele huunganishwa Uzito wote na inaonekana kufuta. Kwa hiyo thamani ya wastani hufanya kama "isiyo ya utu", ambayo inaweza kupotoka kutoka kwa maadili ya kibinafsi ya sifa bila sanjari na yoyote kati yao. Thamani ya wastani inaonyesha jumla, tabia na kawaida kwa idadi ya watu wote kwa sababu ya kufutwa kwa nasibu, tofauti za atypical ndani yake kati ya sifa za vitengo vyake vya kibinafsi, kwani thamani yake imedhamiriwa kana kwamba na matokeo ya kawaida ya sababu zote.

Hata hivyo, ili thamani ya wastani iakisi thamani ya kawaida zaidi ya sifa, haipaswi kubainishwa kwa idadi yoyote ya watu, lakini kwa idadi ya watu inayojumuisha vitengo vilivyo sawa. Sharti hili ndio hali kuu ya utumiaji wa kisayansi wa maadili ya wastani na dhamira muunganisho wa karibu Njia ya maadili ya wastani na njia ya vikundi katika uchambuzi wa matukio ya kijamii na kiuchumi. Kwa hivyo, thamani ya wastani ni kiashiria cha jumla kinachoashiria kiwango cha kawaida tabia tofauti kwa kila kitengo cha idadi ya watu sawa chini ya hali maalum ya mahali na wakati.

Kwa hivyo, katika kufafanua kiini cha maadili ya wastani, ni muhimu kusisitiza kwamba hesabu sahihi ya thamani yoyote ya wastani inapendekeza utimilifu wa mahitaji yafuatayo:

• homogeneity ya ubora wa idadi ya watu ambayo thamani ya wastani imehesabiwa. Hii inamaanisha kuwa hesabu ya maadili ya wastani inapaswa kutegemea njia ya kambi, ambayo inahakikisha utambulisho wa matukio ya homogeneous, sawa;
• ukiondoa athari za nasibu, sababu za mtu binafsi na vipengele kwenye hesabu ya thamani ya wastani. Hii inafanikiwa katika kesi wakati hesabu ya wastani inategemea nyenzo kubwa ya kutosha ambayo hatua ya sheria ya idadi kubwa inadhihirishwa, na bahati nasibu yote hughairi;
• Wakati wa kuhesabu thamani ya wastani, ni muhimu kuanzisha madhumuni ya hesabu yake na kinachojulikana. kiashiria cha kufafanua(mali) ambayo inapaswa kuelekezwa.

Kiashiria kinachofafanua kinaweza kufanya kama jumla ya maadili ya tabia kuwa wastani, jumla ya maadili ya usawa, bidhaa ya maadili yake, nk. Uunganisho kati ya kiashiria kinachofafanua na thamani ya wastani huonyeshwa kama ifuatavyo: ikiwa maadili yote ya tabia ya wastani yanabadilishwa na thamani ya wastani, basi jumla yao au bidhaa katika kesi hii. haitabadilisha kiashiria kinachofafanua. Kulingana na uhusiano huu kati ya kiashiria kinachofafanua na thamani ya wastani, uhusiano wa awali wa kiasi hujengwa kwa hesabu ya moja kwa moja ya thamani ya wastani. Uwezo wa maadili ya wastani kuhifadhi mali ya idadi ya watu wa takwimu inaitwa kufafanua mali.

Thamani ya wastani inayohesabiwa kwa idadi ya watu kwa ujumla inaitwa wastani wa jumla; wastani wa maadili yaliyohesabiwa kwa kila kikundi - wastani wa kikundi. Wastani wa jumla unaonyesha vipengele vya kawaida jambo linalosomwa, wastani wa kikundi hutoa tabia ya jambo ambalo hukua chini ya hali maalum ya kikundi fulani.

Njia za kuhesabu zinaweza kuwa tofauti, kwa hiyo katika takwimu kuna aina kadhaa za wastani, kuu ni maana ya hesabu, maana ya harmonic na maana ya kijiometri.

KATIKA uchambuzi wa kiuchumi matumizi ya wastani ndio nyenzo kuu ya kutathmini matokeo maendeleo ya kisayansi na kiteknolojia, matukio ya kijamii, kutafuta hifadhi kwa ajili ya maendeleo ya kiuchumi. Wakati huo huo, ni lazima ikumbukwe kwamba ulaji kupita kiasi viashiria vya wastani vinaweza kusababisha hitimisho la upendeleo wakati wa kufanya uchambuzi wa kiuchumi na takwimu. Hii ni kutokana na ukweli kwamba maadili ya wastani, kuwa viashiria vya jumla, huzima na kupuuza tofauti hizo katika sifa za kiasi cha vitengo vya watu binafsi ambavyo vipo na vinaweza kuwa na maslahi ya kujitegemea.

Aina za wastani

Katika takwimu, aina anuwai za wastani hutumiwa, ambazo zimegawanywa katika madarasa mawili makubwa:

• maana ya nguvu (maana ya harmonic, maana ya kijiometri, maana ya hesabu, maana ya quadratic, maana ya ujazo);
• njia za kimuundo (mode, wastani).

Ili kuhesabu wastani wa nguvu ni muhimu kutumia maadili yote ya sifa zilizopo. Mitindo Na wastani imedhamiriwa tu na muundo wa usambazaji, kwa hivyo huitwa kimuundo, wastani wa nafasi. Wastani na modi mara nyingi hutumiwa kama tabia ya wastani katika idadi ya watu ambapo kuhesabu wastani wa sheria ya nguvu haiwezekani au haiwezekani.

Aina ya kawaida ya wastani ni maana ya hesabu. Chini ya maana ya hesabu inaeleweka kama thamani ya tabia ambayo kila kitengo cha idadi ya watu kingekuwa nayo ikiwa jumla ya maadili yote ya tabia yangesambazwa sawasawa kati ya vitengo vyote vya idadi ya watu. Hesabu ya thamani hii inakuja kwa muhtasari wa maadili yote ya tabia tofauti na kugawanya kiasi kinachosababishwa na jumla ya idadi ya vitengo katika idadi ya watu. Kwa mfano, wafanyikazi watano walitimiza agizo la utengenezaji wa sehemu, wakati wa kwanza walitoa sehemu 5, ya pili - 7, ya tatu - 4, ya nne - 10, ya tano - 12. Kwa kuwa katika data ya chanzo thamani ya kila moja. chaguo ilitokea mara moja tu, kuamua wastani wa pato la mfanyakazi mmoja lazima kutumia rahisi hesabu wastani formula:

yaani katika mfano wetu, wastani wa pato la mfanyakazi mmoja ni sawa na

Pamoja na maana rahisi ya hesabu, wanasoma uzani wa wastani wa hesabu. Kwa mfano, hebu tuhesabu umri wa wastani wanafunzi katika kikundi cha watu 20, ambao umri wao huanzia miaka 18 hadi 22, wapi Xi- anuwai za tabia kuwa wastani, fi- frequency, ambayo inaonyesha mara ngapi hutokea i-th thamani katika jumla (Jedwali 5.1).

Jedwali 5.1

Umri wa wastani wa wanafunzi

Kwa kutumia formula ya maana ya hesabu yenye uzani, tunapata:

Kuna sheria fulani ya kuchagua maana ya hesabu yenye uzani: ikiwa kuna safu ya data kwenye viashiria viwili, kwa moja ambayo unahitaji kuhesabu.

thamani ya wastani, na wakati huo huo maadili ya nambari ya denominator ya formula yake ya kimantiki yanajulikana, na maadili ya nambari haijulikani, lakini yanaweza kupatikana kama bidhaa ya viashiria hivi, basi thamani ya wastani inapaswa. ihesabiwe kwa kutumia fomula ya wastani ya uzani wa hesabu.

Katika hali nyingine, asili ya data ya awali ya takwimu ni kwamba hesabu ya wastani wa hesabu inapoteza maana yake na kiashiria cha jumla cha jumla kinaweza tu kuwa aina nyingine ya wastani - maana ya harmonic. Hivi sasa, mali ya hesabu ya maana ya hesabu imepoteza umuhimu wao katika hesabu ya viashiria vya jumla vya takwimu kutokana na kuanzishwa kwa teknolojia ya kompyuta ya elektroniki. Kubwa umuhimu wa vitendo kununuliwa wastani wingi wa harmonic, ambayo inaweza pia kuwa rahisi na ya usawa. Ikiwa maadili ya nambari ya nambari ya fomula ya kimantiki yanajulikana, na maadili ya dhehebu hayajulikani, lakini yanaweza kupatikana kama mgawanyiko wa sehemu ya kiashiria kimoja na kingine, basi thamani ya wastani huhesabiwa kwa kutumia harmonic. formula ya wastani iliyopimwa.

Kwa mfano, ifahamike kwamba gari lilifunika kilomita 210 za kwanza kwa kasi ya kilomita 70 / h, na kilomita 150 iliyobaki kwa kasi ya 75 km / h. Haiwezekani kuamua kasi ya wastani ya gari katika safari nzima ya kilomita 360 kwa kutumia formula ya wastani ya hesabu. Kwa kuwa chaguzi ni kasi katika sehemu za kibinafsi xj= 70 km/h na X2= 75 km / h, na uzito (fi) huchukuliwa kuwa sehemu zinazofanana za njia, basi bidhaa za chaguzi na uzito hazitakuwa na maana ya kimwili au ya kiuchumi. Katika kesi hii, nukuu hupata maana kutoka kwa kugawa sehemu za njia kwa kasi inayolingana (chaguo xi), i.e., wakati uliotumika kupitisha sehemu za kibinafsi za njia (fi. / Xi). Ikiwa sehemu za njia zimeashiriwa na fi, basi njia nzima inaonyeshwa kama Σfi, na wakati unaotumika kwenye njia nzima unaonyeshwa kama Σ fi. / Xi , Kisha kasi ya wastani inaweza kupatikana kama sehemu ya njia nzima iliyogawanywa na jumla ya muda uliotumika:

Katika mfano wetu tunapata:

Ikiwa, unapotumia maana ya harmonic, uzani wa chaguzi zote (f) ni sawa, basi badala ya uzani unaweza kutumia. maana rahisi (isiyo na uzito) ya usawa:

ambapo xi ni chaguzi za kibinafsi; n- idadi ya vibadala vya tabia ya wastani. Katika mfano wa kasi, maana rahisi ya harmonic inaweza kutumika ikiwa sehemu za njia zilizosafirishwa kwa kasi tofauti zingekuwa sawa.

Thamani yoyote ya wastani lazima ihesabiwe ili inapobadilisha kila kibadala cha sifa ya wastani, thamani ya kiashirio fulani cha mwisho, cha jumla ambacho kinahusishwa na kiashirio cha wastani haibadiliki. Kwa hivyo, wakati wa kuchukua nafasi ya kasi halisi kwenye sehemu za kibinafsi za njia na thamani yao ya wastani (kasi ya wastani), umbali wa jumla haupaswi kubadilika.

Fomu (formula) ya thamani ya wastani imedhamiriwa na asili (utaratibu) wa uhusiano wa kiashiria hiki cha mwisho na wastani, kwa hivyo kiashiria cha mwisho, ambacho thamani yake haipaswi kubadilika wakati wa kubadilisha chaguzi na thamani yao ya wastani, ni kuitwa kiashiria cha kufafanua. Ili kupata fomula ya wastani, unahitaji kuunda na kutatua equation kwa kutumia uhusiano kati ya kiashiria cha wastani na kinachoamua. Mlinganyo huu unaundwa kwa kubadilisha vibadala vya sifa (kiashiria) zinazokadiriwa na thamani yao ya wastani.

Mbali na maana ya hesabu na maana ya harmonic, aina nyingine (aina) za maana hutumiwa katika takwimu. Wote ni kesi maalum wastani wa nguvu. Ikiwa tutahesabu aina zote za wastani wa nishati kwa data sawa, basi maadili

watageuka kuwa sawa, sheria inatumika hapa kiwango kikubwa wastani. Kadiri kipeo cha wastani kinapoongezeka, thamani ya wastani yenyewe huongezeka. Mara nyingi hutumika ndani utafiti wa vitendo fomula za hesabu aina mbalimbali maadili ya wastani ya nguvu yanawasilishwa kwenye jedwali. 5.2.

Jedwali 5.2

Maana ya kijiometri hutumiwa wakati kuna n mgawo wa ukuaji, wakati maadili ya mtu binafsi ya tabia ni, kama sheria, maadili ya mienendo ya jamaa, iliyojengwa kwa namna ya maadili ya mnyororo, kama uwiano wa kiwango cha awali cha kila ngazi katika mfululizo wa mienendo. wastani hivyo sifa wastani wa mgawo ukuaji. Wastani wa kijiometri rahisi kuhesabiwa kwa formula

Mfumo maana ya kijiometri yenye uzito Ina mtazamo unaofuata:

Fomula zilizo hapo juu zinafanana, lakini moja inatumika kwa mgawo wa sasa au viwango vya ukuaji, na ya pili - kwa viwango kamili vya viwango vya safu.

Wastani wa mraba kutumika katika mahesabu na maadili ya kazi za quadratic, kutumika kupima kiwango cha kushuka kwa thamani ya mtu binafsi ya tabia karibu na maana ya hesabu katika mfululizo wa usambazaji na kuhesabiwa na formula.

Uzani wa mraba wa maana kuhesabiwa kwa kutumia fomula nyingine:

Mchemraba wa wastani hutumika wakati wa kuhesabu na maadili ya kazi za ujazo na huhesabiwa na formula

wastani wa ujazo wa ujazo:

Thamani zote za wastani zilizojadiliwa hapo juu zinaweza kuwasilishwa kama fomula ya jumla:

thamani ya wastani iko wapi; - maana ya mtu binafsi; n- idadi ya vitengo vya watu wanaosoma; k- kipeo kinachoamua aina ya wastani.

Wakati wa kutumia data ya chanzo sawa, zaidi k V formula ya jumla wastani wa nguvu, ndivyo thamani ya wastani inavyokuwa kubwa. Inafuata kutoka kwa hii kwamba kuna uhusiano wa asili kati ya maadili ya wastani wa nguvu:

Thamani za wastani zilizoelezewa hapo juu zinatoa wazo la jumla la idadi ya watu inayosomwa, na kwa mtazamo huu, umuhimu wao wa kinadharia, utumiaji na kielimu hauwezi kupingwa. Lakini hutokea kwamba thamani ya wastani hailingani na yoyote ya kweli chaguzi zilizopo, kwa hivyo, pamoja na wastani unaozingatiwa, katika uchanganuzi wa takwimu inashauriwa kutumia maadili ya chaguzi maalum ambazo zinachukua nafasi iliyoainishwa vizuri katika safu iliyoamriwa (iliyowekwa) ya maadili ya sifa. Miongoni mwa kiasi hiki, kinachotumiwa zaidi ni muundo, au maelezo, wastani- modi (Mo) na wastani (Me).

Mitindo- thamani ya tabia ambayo mara nyingi hupatikana katika idadi fulani ya watu. Kuhusiana na mfululizo wa mabadiliko, hali ni thamani inayotokea mara kwa mara ya mfululizo wa nafasi, yaani, chaguo na mzunguko wa juu zaidi. Mtindo unaweza kutumika katika kuamua maduka ambayo hutembelewa mara nyingi zaidi, bei ya kawaida kwa bidhaa yoyote. Inaonyesha ukubwa wa sifa ya kipengele cha sehemu kubwa ya idadi ya watu na huamuliwa na fomula

ambapo x0 ni kikomo cha chini cha muda; h- ukubwa wa muda; fm- mzunguko wa muda; fm_ 1 - mzunguko wa muda uliopita; fm+ 1 - mzunguko wa muda unaofuata.

Wastani chaguo iko katikati ya safu ya nafasi inaitwa. Wastani hugawanya mfululizo katika sehemu mbili sawa kwa njia ambayo kuna idadi sawa ya vitengo vya idadi ya watu kila upande wake. Katika kesi hii, nusu ya vitengo katika idadi ya watu ina thamani ya tabia tofauti chini ya wastani, na nusu nyingine ina thamani kubwa kuliko hiyo. Wastani hutumika wakati wa kusoma kipengele ambacho thamani yake ni kubwa kuliko au sawa na, au wakati huo huo chini ya au sawa na, nusu ya vipengele vya mfululizo wa usambazaji. Wastani hutoa wazo la jumla la wapi maadili ya sifa yamejilimbikizia, kwa maneno mengine, ambapo kituo chao kiko.

Asili ya maelezo ya wastani inaonyeshwa kwa ukweli kwamba inaashiria kikomo cha idadi ya maadili ya tabia tofauti ambayo nusu ya vitengo katika idadi ya watu inamiliki. Shida ya kupata wastani wa safu tofauti tofauti hutatuliwa kwa urahisi. Ikiwa vitengo vyote vya safu vimepewa nambari za serial, basi nambari ya mpangilio ya chaguo la wastani inafafanuliwa kama (n +1) / 2 na nambari isiyo ya kawaida ya maneno n. Ikiwa idadi ya washiriki wa safu ni nambari sawa, basi wastani itakuwa thamani ya wastani ya mbili. chaguzi ambazo zina nambari za kawaida n/ 2 na n / 2 + 1.

Wakati wa kuamua wastani katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, kwanza tambua muda ambao iko (muda wa kati). Muda huu unajulikana na ukweli kwamba jumla ya masafa yake ni sawa au kuzidi nusu ya jumla ya masafa yote ya mfululizo. Wastani wa mfululizo wa mabadiliko ya muda huhesabiwa kwa kutumia fomula

Wapi X0- kikomo cha chini cha muda; h- ukubwa wa muda; fm- mzunguko wa muda; f- idadi ya wanachama wa mfululizo;

∫m-1 ni jumla ya masharti yaliyokusanywa ya mfululizo unaotangulia uliotolewa.

Pamoja na wastani kwa zaidi sifa kamili miundo ya idadi ya watu chini ya utafiti pia hutumia maadili mengine ya chaguzi ambazo zinachukua nafasi maalum katika safu iliyoorodheshwa. Hizi ni pamoja na quartiles Na deciles. Quartiles hugawanya safu kwa jumla ya masafa katika sehemu 4 sawa, na deciles - katika 10. sehemu sawa. Kuna quartiles tatu na deciles tisa.

Wastani na hali, tofauti na maana ya hesabu, usighairi tofauti za mtu binafsi katika maadili ya tabia tofauti na kwa hivyo ni ya ziada na sana sifa muhimu idadi ya watu wa takwimu. Katika mazoezi, mara nyingi hutumiwa badala ya wastani au pamoja nayo. Inapendekezwa hasa kuhesabu wastani na hali katika hali ambapo idadi ya watu chini ya utafiti ina idadi fulani ya vitengo na thamani kubwa sana au ndogo sana ya tabia tofauti. Maadili haya ya chaguzi, ambayo sio tabia sana ya idadi ya watu, wakati inaathiri thamani ya maana ya hesabu, haiathiri maadili ya wastani na mode, ambayo hufanya viashiria vya thamani sana kwa kiuchumi na takwimu. uchambuzi.

Viashiria tofauti

Kusudi utafiti wa takwimu ni kutambua mali ya msingi na mifumo ya idadi ya watu iliyochunguzwa ya takwimu. Katika mchakato wa usindikaji wa muhtasari wa data ya uchunguzi wa takwimu, hujenga mfululizo wa usambazaji. Kuna aina mbili za mfululizo wa usambazaji - sifa na tofauti, kulingana na ikiwa sifa iliyochukuliwa kama msingi wa kambi ni ya ubora au ya kiasi.

Tofauti huitwa msururu wa usambazaji uliojengwa kwa msingi wa kiasi. Maadili ya sifa za kiasi katika vitengo vya watu binafsi sio mara kwa mara, hutofautiana zaidi au chini kutoka kwa kila mmoja. Tofauti hii katika thamani ya tabia inaitwa tofauti. Maadili ya nambari ya mtu binafsi ya tabia inayopatikana katika idadi ya watu inayosomwa huitwa tofauti za maadili. Uwepo wa tofauti katika vitengo vya mtu binafsi vya idadi ya watu ni kutokana na ushawishi wa idadi kubwa ya mambo juu ya malezi ya kiwango cha sifa. Utafiti wa asili na kiwango cha tofauti ya sifa katika vitengo vya watu binafsi ni suala muhimu zaidi utafiti wowote wa takwimu. Fahirisi za utofauti hutumika kuelezea kipimo cha utofauti wa sifa.

Mwingine kazi muhimu utafiti wa takwimu ni kuamua jukumu la sababu za kibinafsi au vikundi vyao katika utofauti wa sifa fulani za idadi ya watu. Ili kutatua tatizo hili katika takwimu tunazotumia mbinu maalum masomo ya tofauti kulingana na matumizi ya mfumo wa viashiria ambao tofauti hupimwa. Kwa mazoezi, mtafiti anakabiliwa na idadi kubwa ya anuwai ya maadili ya sifa, ambayo haitoi wazo la usambazaji wa vitengo kwa dhamana ya sifa katika jumla. Ili kufanya hivyo, panga anuwai zote za maadili katika mpangilio wa kupanda au kushuka. Utaratibu huu unaitwa kuorodhesha mfululizo. Mfululizo ulioorodheshwa mara moja unatoa wazo la jumla la maadili ambayo kipengele huchukua katika jumla.

Upungufu wa thamani ya wastani kwa maelezo kamili ya idadi ya watu hutulazimisha kuongeza maadili ya wastani na viashiria ambavyo huturuhusu kutathmini hali ya wastani huu kwa kupima utofauti (tofauti) wa tabia inayosomwa. Matumizi ya viashirio hivi vya utofauti huwezesha kufanya uchanganuzi wa takwimu kuwa kamili na wenye maana zaidi na hivyo kupata uelewa wa kina wa kiini cha matukio ya kijamii yanayosomwa.

Ishara rahisi zaidi za kutofautiana ni kiwango cha chini Na upeo - hii ni ndogo na thamani ya juu ishara katika jumla. Idadi ya marudio ya anuwai ya mtu binafsi ya maadili ya tabia inaitwa marudio ya marudio. Hebu tuonyeshe mzunguko wa kurudia kwa thamani ya sifa fi, jumla ya masafa sawa na kiasi cha watu wanaochunguzwa itakuwa:

Wapi k- idadi ya chaguo kwa maadili ya sifa. Ni rahisi kuchukua nafasi ya masafa na masafa - wi. Mzunguko- kiashirio cha masafa ya jamaa - kinaweza kuonyeshwa katika sehemu za kitengo au asilimia na hukuruhusu kulinganisha safu tofauti na nambari tofauti za uchunguzi. Rasmi tuna:

Mbalimbali kabisa na viashiria vya jamaa. Viashirio kamili vya utofauti ni pamoja na mchepuko wa wastani wa mstari, anuwai ya tofauti, mtawanyiko, na mkengeuko wa kawaida.

Msururu wa tofauti(R) inawakilisha tofauti kati ya kiwango cha juu na maadili ya chini Tabia katika idadi ya watu inayochunguzwa: R= Xmax - Xmin. Kiashiria hiki kinatoa wazo la jumla tu la kutofautisha kwa tabia inayosomwa, kwani inaonyesha tofauti tu kati ya viwango vya juu vya chaguzi. Haihusiani kabisa na masafa katika safu ya utofauti, i.e., kwa asili ya usambazaji, na utegemezi wake unaweza kuipa tabia isiyo na msimamo, isiyo ya kawaida tu kutoka. maadili yaliyokithiri ishara. Aina mbalimbali za tofauti hazitoi taarifa yoyote kuhusu sifa za idadi ya watu wanaochunguzwa na haituruhusu kutathmini kiwango cha kawaida cha thamani za wastani zilizopatikana. Upeo wa matumizi ya kiashiria hiki ni mdogo kwa idadi ya watu wenye usawa; kwa usahihi, ni sifa ya utofauti wa tabia, kiashiria kulingana na kuzingatia utofauti wa maadili yote ya tabia.

Ili kuashiria utofauti wa tabia, ni muhimu kujumuisha upungufu wa maadili yote kutoka kwa thamani yoyote ya kawaida kwa idadi ya watu inayosomwa. Viashiria hivyo

tofauti, kama vile kupotoka kwa mstari wa wastani, mtawanyiko na kupotoka kwa kawaida, ni msingi wa kuzingatia kupotoka kwa maadili ya vitengo vya watu binafsi kutoka kwa maana ya hesabu.

Mkengeuko wastani wa mstari inawakilisha maana ya hesabu ya maadili kamili ya kupotoka kwa chaguzi za mtu binafsi kutoka kwa maana yao ya hesabu:

Thamani kamili (moduli) ya mkengeuko wa lahaja kutoka kwa maana ya hesabu; f- masafa.

Njia ya kwanza inatumika ikiwa kila chaguzi hutokea kwa jumla mara moja tu, na pili - katika mfululizo na masafa yasiyo sawa.

Kuna njia nyingine ya wastani ya kupotoka kwa chaguzi kutoka kwa maana ya hesabu. Njia hii ya kawaida sana katika takwimu inakuja kwenye kukokotoa mikengeuko ya mraba ya chaguo kutoka kwa thamani ya wastani na wastani wao unaofuata. Katika kesi hii, tunapata kiashiria kipya cha tofauti - utawanyiko.

Utawanyiko(σ 2) - wastani wa mikengeuko ya mraba ya chaguo za thamani ya sifa kutoka kwa thamani yao ya wastani:

Fomula ya pili inatumika ikiwa chaguzi zina uzani wao wenyewe (au masafa ya safu tofauti).

Katika uchanganuzi wa kiuchumi na takwimu, ni kawaida kutathmini utofauti wa tabia mara nyingi kwa kutumia kupotoka kwa kawaida. Mkengeuko wa kawaida(σ) ni mzizi wa mraba wa tofauti:

Mikengeuko ya wastani ya mstari na ya kawaida huonyesha ni kiasi gani thamani ya sifa hubadilikabadilika kwa wastani kati ya vitengo vya watu wanaochunguzwa, na huonyeshwa katika vipimo sawa na chaguo.

Katika mazoezi ya takwimu, mara nyingi kuna haja ya kulinganisha tofauti ya sifa tofauti. Kwa mfano, ni ya kuvutia sana kulinganisha tofauti katika umri wa wafanyakazi na sifa zao, urefu wa huduma na mshahara, nk. kulinganisha sawa viashiria vya kutofautiana kabisa kwa ishara - wastani wa mstari na kupotoka kwa kawaida - havifai. Kwa kweli, haiwezekani kulinganisha mabadiliko ya uzoefu wa kazi, yaliyoonyeshwa kwa miaka, na kushuka kwa thamani. mshahara, iliyoonyeshwa kwa rubles na kopecks.

Wakati wa kulinganisha utofauti wa sifa mbalimbali pamoja, ni rahisi kutumia hatua za jamaa za tofauti. Viashirio hivi vinakokotolewa kama uwiano wa viashirio kamili kwa wastani wa hesabu (au wastani). Kutumia kama kiashiria kamili tofauti, anuwai ya tofauti, kupotoka wastani kwa mstari, kupotoka kwa kawaida, viashiria vya jamaa vya kutofautisha hupatikana:

Kiashiria kinachotumiwa zaidi cha kutofautiana kwa jamaa, kinachoonyesha homogeneity ya idadi ya watu. Idadi ya watu inachukuliwa kuwa sawa ikiwa mgawo wa tofauti hauzidi 33% kwa usambazaji karibu na kawaida.

Tuseme unahitaji kupata wastani wa idadi ya siku ili kukamilisha kazi na wafanyikazi tofauti. Au unataka kuhesabu muda wa miaka 10 wastani wa joto kwa siku fulani. Kuhesabu wastani wa mfululizo wa nambari kwa njia kadhaa.

Wastani ni kazi ya kipimo cha mwelekeo wa kati, ambao ni katikati ya mfululizo wa nambari ndani usambazaji wa takwimu. Watatu wengi vigezo vya jumla mielekeo ya kati hujitokeza.

Wastani Wastani wa hesabu huhesabiwa kwa kuongeza mfululizo wa nambari na kisha kugawanya nambari ya nambari hizo. Kwa mfano, wastani wa 2, 3, 3, 5, 7, na 10 ni 30 kugawanywa na 6.5;

Wastani Idadi ya wastani ya mfululizo wa nambari. Nusu ya nambari zina maadili ambayo ni kubwa kuliko ya Kati, na nusu ya nambari zina maadili ambayo ni chini ya wastani. Kwa mfano, wastani wa 2, 3, 3, 5, 7 na 10 ni 4.

Hali Nambari inayojulikana zaidi katika kundi la nambari. Kwa mfano, mode 2, 3, 3, 5, 7 na 10 - 3.

Hatua hizi tatu za mwelekeo wa kati, usambazaji wa ulinganifu wa mfululizo wa nambari, ni sawa. Katika usambazaji wa asymmetrical idadi ya idadi, wanaweza kuwa tofauti.

Kokotoa wastani wa seli ambazo zimeshikana katika safu mlalo au safu wima sawa

Fuata hatua hizi:

Kukokotoa wastani wa seli nasibu

Ili kufanya kazi hii, tumia kazi WASTANI. Nakili jedwali hapa chini kwenye karatasi tupu.

Uhesabuji wa wastani wa uzani

SUMPRODUCT Na kiasi. v Mfano huu hukokotoa wastani wa bei ya kitengo inayolipwa katika ununuzi wote watatu, ambapo kila ununuzi ni wa idadi tofauti ya vitengo kwa bei tofauti za uniti.

Nakili jedwali hapa chini kwenye karatasi tupu.

Kukokotoa wastani wa nambari, bila kujumuisha thamani sifuri

Ili kufanya kazi hii, tumia kazi WASTANI Na Kama. Nakili jedwali hapa chini na kukumbuka kwamba katika mfano huu, ili iwe rahisi kuelewa, nakala kwenye karatasi tupu.