Mbinu rahisi ya kurudia na parameta mojawapo. Njia za mara kwa mara za kutatua shida

Njia rahisi ya kurudia, pia inaitwa makadirio mfululizo, - Hii algorithm ya hisabati kutafuta thamani ya kiasi kisichojulikana kwa kuiboresha hatua kwa hatua. Kiini cha njia hii ni kwamba, kama jina linavyopendekeza, hatua kwa hatua kuelezea yale yanayofuata kutoka kwa makadirio ya awali, matokeo zaidi na zaidi yaliyosafishwa hupatikana. Njia hii hutumiwa kupata thamani ya kutofautisha ndani kazi iliyopewa, na vile vile wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo, ya mstari na isiyo ya mstari.

Hebu tuone jinsi gani njia hii inatekelezwa wakati wa kutatua SLAE. Njia rahisi ya kurudia ina algorithm ifuatayo:

1. Kukagua utimilifu wa hali ya muunganiko katika tumbo asilia. Nadharia ya muunganisho: ikiwa matrix ya awali ya mfumo ina utawala wa diagonal (yaani, katika kila safu, vipengele vya diagonal kuu lazima iwe kubwa zaidi kwa thamani kamili kuliko jumla ya vipengele vya diagonal za sekondari kwa thamani kamili), basi njia marudio rahisi- kuungana.

2. Matrix ya mfumo wa awali sio daima kuwa na predominance ya diagonal. Katika hali kama hizi, mfumo unaweza kubadilishwa. Equations ambayo inakidhi hali ya muunganisho huachwa bila kuguswa, na mchanganyiko wa mstari unafanywa na wale ambao hawana, i.e. zidisha, toa, ongeza milinganyo kwa kila mmoja hadi matokeo unayotaka yapatikane.

Ikiwa katika mfumo unaosababisha kuna coefficients zisizofaa kwenye diagonal kuu, basi masharti ya fomu na i * x i yanaongezwa kwa pande zote mbili za equation hiyo, ishara ambazo lazima zifanane na ishara za vipengele vya diagonal.

3. Mabadiliko ya mfumo unaotokana na fomu ya kawaida:

x - =β - +α*x -

Hii inaweza kufanywa kwa njia nyingi, kwa mfano, kama hii: kutoka kwa equation ya kwanza, eleza x 1 kwa suala la vitu vingine visivyojulikana, kutoka kwa pili - x 2, kutoka kwa tatu - x 3, nk. Katika kesi hii, tunatumia formula:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Unapaswa tena kuhakikisha kuwa mfumo unaotokana wa fomu ya kawaida hukutana na hali ya muunganisho:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, huku i= 1,2,...n

4. Tunaanza kutumia, kwa kweli, njia ya makadirio mfululizo yenyewe.

x (0) ni makadirio ya awali, tutaeleza x (1) kupitia hilo, kisha tutaeleza x (2) kupitia x (1). Fomula ya jumla A fomu ya matrix inaonekana hivyo:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Tunahesabu hadi tupate usahihi unaohitajika:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Kwa hivyo, wacha tuweke njia rahisi ya kurudia katika vitendo. Mfano:
Tatua SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 kwa usahihi ε=10 -3

Wacha tuone ikiwa vipengele vya diagonal vinatawala katika moduli.

Tunaona kwamba mlinganyo wa tatu pekee ndio unaokidhi hali ya muunganiko. Wacha tubadilishe ya kwanza na ya pili, na tuongeze ya pili kwa equation ya kwanza:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

Kutoka kwa tatu tunaondoa ya kwanza:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

Tulibadilisha mfumo wa asili kuwa sawa:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Sasa wacha tulete mfumo kwa hali yake ya kawaida:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Tunaangalia muunganisho wa mchakato wa kurudia:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, i.e. hali imetimizwa.

0,3947
Nadhani ya awali x(0) = 0.4762
0,8511

Kubadilisha maadili haya katika equation ya fomu ya kawaida, tunapata maadili yafuatayo:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

Kubadilisha maadili mapya, tunapata:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

Tunaendelea kuhesabu hadi tufikie maadili ambayo yanakidhi hali iliyopewa.

x (7) = 0.441091

Wacha tuangalie usahihi wa matokeo yaliyopatikana:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Matokeo yaliyopatikana kwa kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye milinganyo ya asili yanakidhi kikamilifu masharti ya equation.

Kama tunaweza kuona, njia rahisi ya kurudia inatoa kabisa matokeo sahihi, hata hivyo, ili kutatua mlingano huu tulilazimika kutumia muda mwingi na kufanya mahesabu magumu.

Hebu tuzingatie mfumo wa mstari milinganyo ya algebra

Wacha tutumie chache mabadiliko sawa. Hebu tuzidishe sehemu zote mbili za mfumo kwa kipengele sawa cha scalar, kisha ongeza vekta kwenye sehemu ya kulia na kushoto ya mfumo. Mfumo wa milinganyo sasa unaweza kuandikwa kwa njia inayofaa kwa marudio:

(2.15)

Sasa tutaunda mlolongo wa makadirio ya suluhisho la mfumo. Wacha tuchague vekta ya kiholela - makadirio ya awali ya suluhisho. Mara nyingi inachukuliwa kuwa vekta ya sifuri. Uwezekano mkubwa zaidi, makadirio ya awali hayakidhi (2.15) na, kwa hiyo, mfumo wa awali. Wakati wa kuibadilisha katika mlinganyo wa asili, hitilafu hutokea. Baada ya kukokotoa hitilafu, kwa kutumia (2.15) tunaweza kuboresha ukadiriaji wa suluhu, tukichukulia kwamba

Kwa kutumia makadirio ya kwanza, tofauti huhesabiwa tena, na mchakato unaendelea. Wakati wa kurudia tunapata uundaji sawa wa njia inayoitwa kwa njia rahisi ya kurudia, ni kama ifuatavyo. Suluhisho (2.15) linapatikana kama kikomo cha mlolongo makadirio, masharti ambayo yanahusiana na uhusiano wa kujirudia (ni sawa na ile iliyotolewa hapo juu, vekta iliyobaki haijajumuishwa kwenye nukuu):

(2.16)

(au mtu yeyote vekta ya kiholela) Ikiwa kikomo cha mlolongo kama huo kipo, basi tunazungumza muunganiko mchakato wa mara kwa mara wa kutatua SLAE.

Kuna aina zingine za kuandika njia ya kurudia, kwa mfano

Wakati , fomula ya mwisho inalingana na mchakato wa kurudia wa parameta moja iliyojadiliwa hapo juu njia rahisi ya kurudia. Kwa , - n-hatua mchakato wa kurudia kwa uwazi, kwa , - njia rahisi ya kurudia bila parameter ya kurudia. Katika kesi wakati njia ya kurudia kuitwa wazi- kwa hesabu mbinu inayofuata Ili kuitatua, itabidi usuluhishe mfumo (kawaida rahisi kuliko ule wa asili) wa milinganyo ya mstari.

Nadharia ( hali ya kutosha muunganiko njia rahisi ya kurudia) Mchakato wa kurudia (2.16) hubadilika hadi suluhisho la SLAE kwa kasi maendeleo ya kijiometri hali inapofikiwa:

Ushahidi.

Wacha iwe suluhisho halisi la mfumo (2). Kutoa kutoka (2.16)-(2.15), tunapata , au, kuashiria kosa , tunapata mlingano wa mageuzi ya makosa Mlolongo wa kukosekana kwa usawa ni halali:, wapi

Inafuata kwamba wakati

Kutoka kwa usawa inawezekana kupata makadirio ya idadi ya marudio yanayotakiwa ili kufikia usahihi, i.e. ili kukidhi hali Kadirio hili lina fomu

Nadharia (kigezo cha muunganisho njia rahisi ya kurudia (hakuna ushahidi)). Acha SLAE (2.15) iwe na suluhisho la kipekee. Kisha kwa muunganiko wa mchakato wa kurudia (2.16) ni muhimu na inatosha kwamba wote eigenvalues matrices by thamani kamili walikuwa chini ya mmoja.

Wacha tulinganishe kwa wingi shughuli za hesabu moja kwa moja na mbinu za kurudia. Njia ya Gaussian bila kuchagua kipengee kikuu wakati inahitajika

Operesheni za hesabu; njia rahisi ya kurudia (2.16) , ambapo mimi ni idadi ya makadirio yanayohitajika ili kufikia usahihi uliotolewa. Hii ina maana kwamba kwa I< n/3 метод итераций становится предпочтительнее. В matatizo ya kweli, kimsingi, Aidha, mbinu za kurudia inaweza kufanywa kwa ufanisi zaidi kwa kubadilisha vigezo vya iteration. Katika baadhi ya kesi mbinu za kurudia kugeuka kuwa sugu zaidi kwa mkusanyiko wa makosa ya kuzunguka kuliko mistari iliyonyooka.

Mbinu za Kurudia za Mihadhara za kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari wa aljebra.

Masharti ya muunganiko wa mchakato wa kurudia. Mbinu ya Jacobi. Mbinu ya Seidel

Mbinu rahisi ya kurudia

Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unazingatiwa

Ili kutumia mbinu za kurudia, mfumo lazima upunguzwe kwa fomu inayolingana

Kisha makadirio ya awali ya ufumbuzi wa mfumo wa equations huchaguliwa na mlolongo wa makadirio ya mizizi hupatikana.

Ili mchakato wa kurudia uungane, inatosha kwamba hali hiyo itimizwe
(kawaida ya tumbo). Kigezo cha kukomesha marudio hutegemea mbinu ya kurudia iliyotumika.

Mbinu ya Jacobi .

Njia rahisi zaidi ya kuleta mfumo katika fomu rahisi kwa iteration ni kama ifuatavyo.

Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo tunaelezea haijulikani x 1, kutoka kwa equation ya pili ya mfumo tunayoelezea x 2, nk.

Kama matokeo, tunapata mfumo wa hesabu na matrix B, ambayo vipengele vya sifuri viko kwenye diagonal kuu, na vitu vilivyobaki vinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Vipengele vya vector d vinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Njia ya kuhesabu kwa njia rahisi ya kurudia ni:

au kwa nukuu ya kuratibu inaonekana kama hii:

Kigezo cha kumaliza marudio katika njia ya Jacobi kina fomu:

Kama
, basi tunaweza kutumia kigezo rahisi zaidi cha kumaliza marudio

Mfano 1. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Jacobi.

Wacha mfumo wa equations upewe:

Inahitajika kupata suluhisho la mfumo kwa usahihi

Wacha tupunguze mfumo kuwa fomu inayofaa kwa kurudia:

Wacha tuchague makadirio ya awali, kwa mfano,

- vector ya upande wa kulia.

Kisha iteration ya kwanza inaonekana kama hii:

Makadirio yafuatayo ya suluhisho yanapatikana sawa.

Wacha tupate kawaida ya matrix B.

Tutatumia kawaida

Kwa kuwa jumla ya moduli za vitu katika kila safu ni 0.2, basi
, kwa hivyo kigezo cha kumaliza marudio katika shida hii ni

Wacha tuhesabu kanuni za tofauti za vekta:

Kwa sababu
usahihi uliobainishwa ulipatikana katika marudio ya nne.

Jibu: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Mbinu ya Seidel .

Njia hiyo inaweza kuzingatiwa kama marekebisho ya njia ya Jacobi. Wazo kuu ni kwamba wakati wa kuhesabu ijayo (n+1)- njia ya kujulikana x i katika mimi > 1 matumizi tayari kupatikana (n+1)- e inakaribia kusikojulikana x 1 ,x 2 , ...,x i - 1 na sio n th makadirio, kama katika njia ya Jacobi.

Njia ya hesabu ya njia katika nukuu ya kuratibu inaonekana kama hii:

Masharti ya muunganisho na kigezo cha kukomesha marudio yanaweza kuchukuliwa sawa na katika mbinu ya Jacobi.

Mfano 2. Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Seidel.

Wacha tuzingatie kwa usawa suluhisho la mifumo 3 ya equations:

Wacha tupunguze mifumo kuwa fomu inayofaa kwa marudio:

Kumbuka kuwa hali ya muunganisho
inafanywa tu kwa mfumo wa kwanza. Wacha tuhesabu makadirio 3 ya kwanza kwa suluhisho katika kila kisa.

Mfumo wa 1:

Suluhisho halisi litakuwa maadili yafuatayo: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Mchakato wa kurudia unaungana.

Mfumo wa 2:

Inaweza kuonekana kuwa mchakato wa kurudia unatofautiana.

Suluhisho kamili x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

Mfumo wa 3:

Inaweza kuonekana kuwa mchakato wa kurudia umeenda kwa mizunguko.

Suluhisho kamili x 1 = 1, x 2 = 2 .

Acha matriki ya mfumo wa milinganyo A iwe ya ulinganifu na dhahiri chanya. Halafu, kwa chaguo lolote la makadirio ya awali, njia ya Seidel inaungana. Hakuna masharti ya ziada yaliyowekwa kwa udogo wa kawaida ya matrix fulani.

Mbinu rahisi ya kurudia.

Ikiwa A ni matrix ya ulinganifu na chanya, basi mfumo wa milinganyo mara nyingi hupunguzwa kwa fomu inayolingana:

x=x-t (A x- b), τ - kigezo cha kurudia.

Njia ya hesabu ya njia rahisi ya kurudia katika kesi hii ina fomu:

x (n+1) =x n- τ (A x (n)- b).

na parameta τ > 0 imechaguliwa ili kupunguza, ikiwezekana, thamani

Wacha λ min na λ max iwe viwango vya chini na vya juu zaidi vya matrix A. Chaguo bora la parameta ni

Kwa kesi hii
anakubali thamani ya chini sawa:

Mfano 3. Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia. (katika MathCAD)

Acha mfumo wa milinganyo Ax = b itolewe

Kuunda mchakato wa kurudia tutafute yetu nambari za matrix A:

- hutumia kitendakazi kilichojengewa ndani kupata thamani eigen.

Hebu tuhesabu parameter ya iteration na angalia hali ya muunganisho

Hali ya muunganisho imeridhika.

Wacha tuchukue makadirio ya awali - vekta x0, weka usahihi hadi 0.001 na upate makadirio ya awali kwa kutumia programu hapa chini:

Suluhisho kamili

Maoni. Ikiwa programu inarudisha matrix ya rez, basi unaweza kutazama marudio yote yaliyopatikana.

1. Acha sehemu ijulikane ambayo ina mzizi mmoja wa equation f(x) = 0. Chaguo za kukokotoa f ni chaguo la kukokotoa linaloendelea kutofautishwa kwenye sehemu hii (f(x)ОC 1). Ikiwa hali hizi zinakabiliwa, njia rahisi ya kurudia inaweza kutumika.

2. Kwa kutumia chaguo za kukokotoa f(x), chaguo za kukokotoa j(x) hutengenezwa ambayo inakidhi masharti matatu: lazima iweze kutofautishwa kila mara (j(x)ОC 1 ), ili kwamba mlinganyo x. = j(x) ni sawa na mlinganyo f(x)=0; inapaswa pia kutafsiri sehemu ndani yako.

Tutasema kuwa kazi j ( x ) hutafsiri sehemu [ a , b ] ndani yako, ikiwa kwa mtu yeyote x Î [ a , b ], y = j ( x ) pia ni mali[ a , b ] ( y Î [ a , b ]).

Sharti la tatu limewekwa kwa kazi j(x):

Njia ya formula: x n +1 = j(xn).

3. Ikiwa masharti haya matatu yametimizwa kwa makadirio yoyote ya awali x 0 О mlolongo wa marudio x n +1 = j(x n) huungana hadi mzizi wa mlingano: x = j(x) kwenye sehemu ().

Kama sheria, kama x 0 moja ya mwisho imechaguliwa.

,

ambapo e ni usahihi uliobainishwa

Nambari x n +1 wakati hali ya kusimamisha mchakato wa kurudia inafikiwa, ni Thamani ya takriban ya mzizi wa equation f(x) = 0 kwenye sehemu, kupatikana kwa njia rahisi ya kurudia kwa usahihi e .

Tengeneza algoriti ili kufafanua mzizi wa equation: x 3 + 5x - 1 = 0 kwenye sehemu kwa kutumia njia ya kurudia rahisi kwa usahihi e. .

1. Kazi f(x) = x 3 +5x-1 inaweza kutofautishwa kila mara kwenye kipindi kilicho na mzizi mmoja wa mlinganyo.

2. Ugumu mkubwa zaidi katika njia rahisi ya kurudia ni ujenzi wa chaguo la kukokotoa j(x) ambalo linakidhi masharti yote:

Zingatia: .

Mlinganyo x = j 1 (x) ni sawa na equation f(x) = 0, lakini chaguo za kukokotoa j 1 (x) haziwezi kutofautishwa kila mara kwa muda.

Mchele. 2.4. Grafu ya chaguo za kukokotoa j 2 (x)

Kwa upande mwingine, kwa hiyo,. Kwa hivyo: ni kazi inayoendelea kutofautishwa. Kumbuka kwamba mlinganyo: x = j 2 (x) ni sawa na mlinganyo f(x) = 0. . Kutoka kwenye grafu (Mchoro 2.4) ni wazi kwamba kazi j 2 (x) inabadilisha sehemu yenyewe.

Masharti ya kuwa chaguo za kukokotoa j(x) inachukua sehemu yenyewe inaweza kubadilishwa kama ifuatavyo: iwe kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa j(x), na iwe kikoa cha utofauti wa j(x).

Ikiwa sehemu ni ya segment , basi kazi j(x) inachukua sehemu yenyewe.

, .

Masharti yote ya chaguo za kukokotoa j(x) yameridhika.

Fomula ya mchakato wa kurudia: x n +1 = j 2 (xn).

3. Ukadiriaji wa awali: x 0 = 0.

4. Masharti ya kusimamisha mchakato wa kurudia:

Mchele. 2.5. Maana ya kijiometri njia rahisi ya kurudia

.

Ikiwa hali hii itafikiwa x n +1 - Thamani ya takriban ya mzizi kwenye sehemu, kupatikana kwa marudio rahisi kwa usahihi e. Katika Mtini. 2.5. Utumiaji wa njia rahisi ya kurudia unaonyeshwa.

Nadharia ya muunganisho na makadirio ya makosa

Wacha sehemu ina mzizi mmoja wa equation x = j(x), kazi j(x ) inaweza kutofautishwa kila wakati kwa muda , hutafsiri sehemu yenyewe, na hali hiyo inatimizwa:

.

Kisha kwa makadirio yoyote ya awali x 0O baadae huungana hadi mzizi wa equation y = j(x ) kwenye sehemu na makadirio ya makosa ni sawa:

.

Utulivu wa njia rahisi ya kurudia. Wakati masharti ya nadharia ya muunganisho yanatimizwa, algorithm ya njia rahisi ya kurudia ni thabiti.

Utata wa njia rahisi ya kurudia. Kiasi cha kumbukumbu ya kompyuta inayohitajika kutekeleza mbinu rahisi ya kurudia ni ndogo. Katika kila hatua unahitaji kuhifadhi x n , x n +1 , q Na e.

Wacha tukadirie idadi ya shughuli za hesabu zinazohitajika kutekeleza mbinu rahisi ya kurudia. Wacha tuandike makadirio ya nambari n 0 = n 0 (e) hivi kwamba kwa wote n ³ n 0 ukosefu wa usawa unashikilia:

Kutoka kwa makadirio haya inafuata kwamba karibu q ni kwa moja, polepole njia huchanganyika.

Maoni. Haipo kanuni ya jumla kuunda j(x) kutoka f(x) ili masharti yote ya nadharia ya muunganiko yatimizwe. Mbinu ifuatayo hutumiwa mara nyingi: kazi j(x) = x + k× f(x) imechaguliwa kama kazi j, ambapo k – mara kwa mara.

Wakati wa kupanga njia rahisi ya kurudia, kusimamisha mchakato wa kurudia mara nyingi kunahitaji utimilifu wa wakati mmoja wa masharti mawili:

Na.

Njia zingine zote za kurudia ambazo tutazingatia ni kesi maalum za njia rahisi ya kurudia. Kwa mfano, lini Njia ya Newton ni kesi maalum ya njia rahisi ya kurudia.

Katika sehemu hii tutazingatia mchakato wa kurudia uliosimama wakati kigezo cha matrix na marudio usitegemee index , na uthibitishe nadharia ifuatayo kuhusu hali za kutosha za muunganiko wake.

Nadharia ya Samarsky

Hebu - matrix ya uhakika ya kujiunganisha yenyewe:

,
,

- matrix ya uhakika, - nambari chanya:

,
.

Kisha, kwa uchaguzi wowote wa makadirio ya sifuri mchakato wa kurudia, ambao umedhamiriwa na fomula inayorudiwa , hubadilika kwa suluhisho la mfumo wa asili.

Kabla ya kuendelea na uthibitisho wa nadharia, wacha tujadili kwa undani zaidi hitaji lake kuu - uhakika chanya wa matrix.
. Sharti hili linaweza kuandikwa tena kama:

,
,
.

yaani, ni, hasa, inadhani kwamba tumbo ni chanya uhakika. Kwa kuongeza, usawa huamua muda ambao parameter inaweza kubadilika :

.

Baada ya maneno haya, tunaendelea na uthibitisho wa nadharia. Wacha tueleze kutoka kwa uhusiano kupitia :

na uibadilishe katika fomula inayojirudia ya mfuatano wa kurudia. Kama matokeo, tunapata:

.

Tofauti kati ya fomula iterative na ni kwamba ni homogeneous.

Matrix - chanya uhakika. Kwa hivyo haina uharibifu na ina kinyume
. Kwa msaada wake uhusiano wa kurudia inaweza kutatuliwa kwa kiasi
:

, Kwa hiyo
.

Kuzidisha pande zote mbili za usawa upande wa kushoto na matrix , tunapata uhusiano mwingine wa kujirudia

.

Fikiria mlolongo wa utendakazi chanya:

.

Wacha tuunde usemi sawa kwa
na kuibadilisha kwa kutumia fomula za kawaida na:

Kutoka kwa kujiunganisha kwa matrix na formula inafuata

Kama matokeo, formula inachukua fomu:

Hivyo, mlolongo wa kazi kulingana na masharti
huunda mfuatano wa kimonotoni usioongezeka unaopakana chini na sifuri

.

,

Wapi
ni thabiti madhubuti chanya. Matokeo yake, kulingana na na tutakuwa na

Kutoka kwa usawa huu na muunganisho wa mlolongo wa utendakazi inafuata hiyo
katika
. Kwa upande wake
, Kwa hiyo

Nadharia imethibitishwa.

1. Mbinu rahisi ya kurudia.

Jina hili lilipewa njia ambayo, kama matrix, matrix ya kitambulisho imechaguliwa:
, na kigezo cha kurudia inachukuliwa kuwa huru kwa nambari ya kurudia . Kwa maneno mengine, njia rahisi ya kurudia ni njia ya wazi ya kusimama, wakati marudio yanayofuata
kukokotwa kwa kutumia fomula inayojirudia

Tutafikiri kwamba tumbo inakidhi masharti ya nadharia ya Samarsky,
, kisha fomula inayoamua mpaka wa muda wa muunganisho kwa heshima na kigezo cha kurudia. , inachukua fomu

.

Hebu
- msingi wa kawaida wa eigenvectors ya operator sambamba na tumbo . Kwa sababu ya uhakika chanya, eigenvalues ​​zake zote ni chanya. Tutazingatia kuhesabiwa kwa mpangilio wa kushuka:

Hebu kupanua vector
kulingana na eigenvectors

Kama matokeo, inafuata kutoka kwa fomula kwamba njia rahisi ya kurudia inabadilika kwa yoyote mali ya muda

.

Tutaweka msingi wa utafiti wetu zaidi wa mbinu rahisi ya kurudiarudia kwenye uchanganuzi mahususi wa fomula inayojirudia. Wacha tuanzishe matrix ya mwendeshaji wa mpito

,

na uandike upya fomula katika fomu

.

Katika kesi hii, kosa
itatosheleza uhusiano sawa wa kujirudia, unaofanana tu

.

Hebu tuthibitishe lema mbili zinazoturuhusu kuchunguza kikamilifu zaidi masharti ya muunganiko wa mbinu rahisi ya kurudia.

Lema 1

Acha mwendeshaji ambaye matrix hutoa , ina eigenvector na eigenvalue , basi opereta wa mpito, ambayo hutolewa na tumbo , pia ina eigenvector , lakini kwa eigenvalue

.

Ushahidi ni wa msingi. Inafanywa na uthibitishaji wa moja kwa moja

Kwa matrix ya kujiunganisha tumbo pia inajiunganisha yenyewe. Kwa hivyo, kawaida yake imedhamiriwa na eigenvalue kubwa kabisa
:

.

Lema 2

Ili njia rahisi ya kurudia kugeukia suluhisho la mfumo kwa chaguo lolote la makadirio ya awali, ni muhimu na ya kutosha kwamba eigenvalues ​​zote za mwendeshaji wa mpito. zilikuwa chini ya moja katika thamani kamili:

,

Utoshelevu. Hali ina maana kwamba kawaida ya tumbo , kulingana na, itakuwa chini ya moja:
. Matokeo yake tunapata

Katika
.

Umuhimu. Wacha tufikirie kuwa kati ya maadili kulikuwa na angalau moja , ambayo haikidhi masharti ya lemma, i.e.

.

Wacha tuchague neno la sifuri la mlolongo wa kurudia katika fomu
, Wapi suluhisho la mfumo, basi muda wa sifuri wa mlolongo wa makosa utaambatana na eigenvector. mwendeshaji wa mpito :
. Matokeo yake fomula ya kurudia kwa masharti yafuatayo ya mlolongo wa makosa itachukua fomu:

,
.

i.e.
. Haja ya kukidhi ukosefu wa usawa kwa eigenvalues ​​zote kwa muunganiko wa njia rahisi ya kurudia imethibitishwa.

Lemma 2 inafafanua mpango wa utafiti zaidi wa muunganisho wa njia rahisi ya kurudia: inahitajika kuweka anuwai ya anuwai ya parameta. ambayo maadili yote yanakidhi ukosefu wa usawa. Ni rahisi kufanya. Katika Mtini. 1 inaonyesha grafu za kupungua kazi za mstari
. Wote wanatoka katika hatua moja
,
na kwenda chini kwa sababu ya misimbo hasi kwa , na kitendakazi kinachopungua kwa kasi zaidi ni
. Wakati gani ni muhimu
, hali yake itaacha kuridhika:

, katika
.

Thamani iliyopatikana ni mpaka wa muda wa muunganiko wa mbinu rahisi ya kurudia

.

Tayari tunajua ukosefu huu wa usawa. Ilipatikana mapema kutoka kwa nadharia ya Samarsky kama hali ya kutosha ya muunganisho. Uchambuzi wa ziada kulingana na Lemma 2 huturuhusu kufafanua matokeo. Sasa tumeanzisha kwamba uanachama wa parameter iterative muda ni hali ya lazima na ya kutosha kwa muunganisho wa njia rahisi ya kurudia.

Wacha tuendelee kusoma kiwango cha muunganisho wa njia. Makadirio ya makosa yanaonyesha kuwa inapungua kwa mujibu wa sheria ya maendeleo ya kijiometri na denominator

.

Hebu tuangalie Mtini. 2, ambayo itatusaidia kuchanganua fomula hii. Ni sawa na Mchoro 1, tu inaonyesha grafu za zisizo za kazi
, na moduli zao. Kwa ndogo eigenvalues ​​zote
ni chanya, na lililo kuu kuliko yote ni
, ambayo hupungua kwa ukuaji kwa kasi ya chini kabisa. Hata hivyo, baada ya kupita kwa uhakika
thamani ya eigen
, kubadilisha ishara, inakuwa hasi. Kama matokeo, sasa moduli yake inaongezeka haipunguzi, lakini huongeza na
inakaribia thamani ya kuzuia - umoja.

Wacha tupate kwenye sehemu
hatua , ambapo utendaji wa kupungua
ikilinganishwa na utendaji unaoongezeka
. Imedhamiriwa na equation

ambayo inatoa

.

Kama matokeo, tunapata:

Thamani yake ndogo ni kawaida ya matrix inafikia
:

.

Fomula inaonyesha kuwa kwa tumbo lisilo na hali mbaya, hata na chaguo bora la kigezo cha kurudia.
kawaida ya matrix iko karibu na umoja, kwa hivyo muunganisho wa njia rahisi ya kurudia katika kesi hii ni polepole.

Kwa kumalizia, tunaona kwamba fomula inayofafanua mpaka wa muda wa muunganiko , na fomula ya thamani mojawapo ya kigezo cha kurudia kimsingi ni ya maslahi ya kinadharia. Kawaida, wakati wa kutatua SLAEs, nambari kubwa na ndogo za tabia za matrix haijulikani, kwa hivyo hesabu maadili Na haiwezekani mapema. Matokeo yake, parameter ya iteration Mara nyingi unapaswa kuchagua moja kwa moja katika mchakato wa mahesabu kwa majaribio na makosa.

Jukumu la 2.

Fikiria mfumo wa milinganyo miwili na mbili zisizojulikana

na utengeneze suluhisho la takriban kwa kutumia njia rahisi ya kurudia.

Hebu tuandike mara moja suluhisho la mfumo

,
,

ili uweze kuilinganisha na washiriki wa mlolongo wa kurudia.

Wacha tuendelee kusuluhisha mfumo kwa kutumia njia rahisi ya kurudia. Matrix ya mfumo ina fomu

.

Inajiunganisha na ina uhakika chanya, kwani

Wacha tuunda equation ya tabia ya matrix na kupata mizizi yake:

,

,

Kwa msaada wao, unaweza kuamua mpaka wa muda wa muunganisho na thamani mojawapo ya parameta ya kurudia :

,
.

Ili kuunda mlolongo wa kurudia, tunachagua thamani fulani ya parameta ya kurudia kwenye muda wa muunganisho, kwa mfano,
. Katika kesi hii, fomula ya kawaida ya washiriki wa mlolongo wa kurudia huchukua fomu:

, Wapi

Wacha tuchukue makadirio rahisi zaidi ya awali
na uandike masharti machache ya kwanza ya mlolongo wa marudio , kuhesabu mabaki kwa kila mmoja wao
. Kama matokeo, tunapata:

,
,
,

,
,
,

,
,
,

,
,
.

Kawaida ya mabaki, ingawa polepole, hupungua, ambayo inaonyesha muunganisho wa mchakato. Vile vile vinaweza kuonekana kwa kulinganisha masharti ya mlolongo wa kurudia na suluhisho la mfumo. Muunganiko wa polepole unatokana na hali mbaya ya matriki :

.