Thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa za vigeu viwili katika eneo lililofungwa. Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa

Acha kazi $z=f(x,y)$ ifafanuliwe na iendelee katika baadhi ya kikoa kilichofungwa $D$. Wacha kazi uliyopewa katika eneo hili iwe na derivatives ya sehemu ya mpangilio wa kwanza (isipokuwa, labda, kwa idadi ndogo ya alama). Ili kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi ya vigezo viwili katika eneo lililofungwa, hatua tatu za algorithm rahisi zinahitajika.

Algorithm ya kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa $z=f(x,y)$ katika kikoa kilichofungwa $D$.

Tafuta pointi muhimu kazi $z=f(x,y)$ mali ya kikoa $D$. Kuhesabu maadili ya kazi katika pointi muhimu.
Chunguza tabia ya chaguo za kukokotoa $z=f(x,y)$ kwenye mpaka wa eneo $D$, kutafuta pointi za viwango vya juu zaidi na vya chini vinavyowezekana. Kuhesabu maadili ya kazi katika pointi zilizopatikana.
Kutoka kwa maadili ya kazi zilizopatikana katika aya mbili zilizopita, chagua kubwa zaidi na ndogo zaidi.

Pointi muhimu ni zipi? onyesha\ficha

Chini ya pointi muhimu inaashiria pointi ambapo viambishi vya sehemu za mpangilio wa kwanza ni sawa na sifuri (yaani $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ na $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) au angalau derivati moja ya sehemu haipo.

Mara nyingi pointi ambazo derivatives ya sehemu ya utaratibu wa kwanza ni sawa na sifuri huitwa pointi za stationary. Kwa hivyo, vidokezo vya stationary ni sehemu ndogo ya vidokezo muhimu.

Mfano Nambari 1

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa $z=x^2+2xy-y^2-4x$ katika eneo lililofungwa, mdogo kwa mistari$x=3$, $y=0$ na $y=x+1$.

Tutafuata hapo juu, lakini kwanza tutashughulika na kuchora kwa eneo fulani, ambalo tutaashiria kwa barua $D$. Tumepewa milinganyo ya tatu mistari iliyonyooka inayoweka kikomo eneo hili. Mstari wa moja kwa moja $x=3$ hupitia uhakika $(3;0)$ sambamba na mhimili wa kuratibu (mhimili wa Oy). Mstari wa moja kwa moja $y=0$ ni mlingano wa mhimili wa abscissa (mhimili wa Ox). Naam, ili kuunda mstari $y=x+1$, tutapata pointi mbili ambazo tutachora mstari huu. Unaweza, bila shaka, kubadilisha maadili kadhaa ya kiholela badala ya $x$. Kwa mfano, kubadilisha $x=10$, tunapata: $y=x+1=10+1=11$. Tumepata uhakika $(10;11)$ ulio kwenye mstari $y=x+1$. Hata hivyo, ni bora kupata pointi hizo ambapo mstari wa moja kwa moja $y=x+1$ unakatiza mistari $x=3$ na $y=0$. Kwa nini hii ni bora zaidi? Kwa sababu tutaua ndege kadhaa kwa jiwe moja: tutapata pointi mbili za kujenga mstari ulionyooka $y=x+1$ na wakati huo huo kujua ni katika sehemu gani mstari huu ulionyooka unakatiza mistari mingine inayozuia eneo lililotolewa. Mstari $y=x+1$ unakatiza mstari $x=3$ kwenye sehemu $(3;4)$, na mstari $y=0$ unakatiza kwenye uhakika $(-1;0)$. Ili sio kuchanganya maendeleo ya suluhisho na maelezo ya msaidizi, nitaweka swali la kupata pointi hizi mbili katika noti.

Je, pointi $(3;4)$ na $(-1;0)$ zilipatikana vipi? onyesha\ficha

Hebu tuanze kutoka sehemu ya makutano ya mistari $y=x+1$ na $x=3$. Kuratibu za hatua inayotakiwa ni ya mistari ya kwanza na ya pili ya moja kwa moja, kwa hivyo, ili kupata kuratibu zisizojulikana, unahitaji kutatua mfumo wa equations:

$$ \kushoto \( \anza(iliyopangwa) & y=x+1;\\ & x=3. \mwisho(iliyopangwa) \kulia. $$

Suluhisho la mfumo kama huu ni dogo: kubadilisha $x=3$ kwenye mlinganyo wa kwanza tutakuwa na: $y=3+1=4$. Hoja $(3;4)$ ni hatua inayotakiwa makutano ya mistari $y=x+1$ na $x=3$.

Sasa hebu tutafute sehemu ya makutano ya mistari $y=x+1$ na $y=0$. Wacha tutunge tena na tusuluhishe mfumo wa equations:

$$ \kushoto \( \anza(zilizopangiliwa) & y=x+1;\\ & y=0. \mwisho(zilizopangiliwa) \kulia. $$

Tukibadilisha $y=0$ kwenye mlingano wa kwanza, tunapata: $0=x+1$, $x=-1$. Pointi $(-1;0)$ ni sehemu ya makutano inayotakikana ya mistari $y=x+1$ na $y=0$ (x-mhimili).

Kila kitu kiko tayari kuunda mchoro ambao utaonekana kama hii:

Swali la kumbuka linaonekana wazi, kwa sababu kila kitu kinaonekana kwenye picha. Walakini, inafaa kukumbuka kuwa mchoro hauwezi kutumika kama ushahidi. Mchoro ni kwa madhumuni ya kielelezo tu.

Eneo letu lilifafanuliwa kwa kutumia milinganyo ya mstari wa moja kwa moja iliyoiunganisha. Ni wazi, mistari hii inafafanua pembetatu, sawa? Au sio wazi kabisa? Au labda tumepewa eneo tofauti, lililofungwa na mistari sawa:

Bila shaka, hali hiyo inasema kuwa eneo hilo limefungwa, hivyo picha iliyoonyeshwa si sahihi. Lakini ili kuepuka utata huo, ni bora kufafanua mikoa kwa kutofautiana. Je, tunavutiwa na sehemu ya ndege iliyo chini ya mstari ulionyooka $y=x+1$? Sawa, kwa hivyo $y ≤ x+1$. Je, eneo letu linafaa kuwa juu ya mstari $y=0$? Sawa, hiyo inamaanisha $y ≥ 0$. Kwa njia, tofauti mbili za mwisho zinaweza kuunganishwa kwa urahisi kuwa moja: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kushoto \( \anza(zilizopangiliwa) & 0 ≤y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \mwisho(zilizopangiliwa) \kulia. $$

Ukosefu huu wa usawa hufafanua eneo $D$, na hufafanua bila utata, bila kuruhusu utata wowote. Lakini hii inatusaidiaje kwa swali lililotajwa mwanzoni mwa maandishi? Itasaidia pia :) Tunahitaji kuangalia kama uhakika $M_1(1;1)$ ni wa eneo $D$. Hebu tubadilishe $x=1$ na $y=1$ kwenye mfumo wa ukosefu wa usawa unaofafanua eneo hili. Ikiwa kukosekana kwa usawa zote mbili kumeridhika, basi hoja iko ndani ya kanda. Ikiwa angalau moja ya usawa haijaridhika, basi hatua hiyo sio ya kanda. Kwa hivyo:

$$ \kushoto \( \anza(iliyopangwa) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \mwisho(iliyopangwa) \kulia. \;\; \kushoto \( \anza(iliyopangwa) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \mwisho(zilizopangiliwa) \kulia.$$

Kukosekana kwa usawa zote mbili ni halali. Pointi $M_1(1;1)$ ni ya eneo $D$.

Sasa ni wakati wa kujifunza tabia ya kazi kwenye mpaka wa kanda, i.e. twende . Hebu tuanze na mstari ulionyooka $y=0$.

Mstari wa moja kwa moja $y=0$ (mhimili wa abscissa) huweka kikomo eneo $D$ chini ya hali $-1 ≤ x ≤ 3$. Hebu tubadilishe $y=0$ kwenye chaguo la kukokotoa $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Tunaashiria utendaji wa kigezo kimoja $x$ kilichopatikana kama matokeo ya uingizwaji kama $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sasa kwa chaguo za kukokotoa $f_1(x)$ tunahitaji kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kwa muda $-1 ≤ x ≤ 3$. Wacha tupate derivative ya kazi hii na tuisawazishe na sifuri:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Thamani $x=2$ ni ya sehemu $-1 ≤ x ≤ 3$, kwa hivyo tutaongeza pia $M_2(2;0)$ kwenye orodha ya pointi. Kwa kuongeza, wacha tuhesabu maadili ya chaguo la kukokotoa $z$ mwishoni mwa sehemu $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. kwa pointi $M_3(-1;0)$ na $M_4(3;0)$. Kwa njia, ikiwa hatua $M_2$ haikuwa ya sehemu inayozingatiwa, basi, bila shaka, hakutakuwa na haja ya kuhesabu thamani ya kazi $z$ ndani yake.

Kwa hivyo, hebu tuhesabu thamani za chaguo za kukokotoa $z$ kwa pointi $M_2$, $M_3$, $M_4$. Unaweza, bila shaka, kubadilisha viwianishi vya nukta hizi kwa usemi asilia $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Kwa mfano, kwa uhakika $M_2$ tunapata:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Walakini, mahesabu yanaweza kurahisishwa kidogo. Ili kufanya hivyo, inafaa kukumbuka kuwa kwenye sehemu $M_3M_4$ tuna $z(x,y)=f_1(x)$. Nitaandika hii kwa undani:

\anza(iliyopangwa) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdoti 3=-3. \mwisho(zilizopangiliwa)

Kwa kweli, hakuna haja ya rekodi za kina kama hizi, na katika siku zijazo tutaandika mahesabu yote kwa ufupi:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sasa hebu tugeuke kwenye mstari ulionyooka $x=3$. Mstari huu wa moja kwa moja unawekea eneo $D$ chini ya sharti $0 ≤y ≤ 4$. Hebu tubadilishe $x=3$ kwenye kitendakazi kilichotolewa $z$. Kama matokeo ya uingizwaji huu tunapata chaguo za kukokotoa $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Kwa chaguo za kukokotoa $f_2(y)$ tunahitaji kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kwa muda $0 ≤y ≤ 4$. Wacha tupate derivative ya kazi hii na tuisawazishe na sifuri:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Thamani $y=3$ ni ya sehemu $0 ≤y ≤ 4$, kwa hivyo tutaongeza pia $M_5(3;3)$ kwa pointi zilizopatikana hapo awali. Kwa kuongeza, ni muhimu kuhesabu thamani ya kazi $z$ katika pointi katika mwisho wa sehemu $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. kwa pointi $M_4(3;0)$ na $M_6(3;4)$. Kwa uhakika $M_4(3;0)$ tayari tumekokotoa thamani ya $z$. Hebu tuhesabu thamani ya chaguo za kukokotoa $z$ kwa pointi $M_5$ na $M_6$. Acha nikukumbushe kwamba kwenye sehemu $M_4M_6$ tuna $z(x,y)=f_2(y)$, kwa hivyo:

\anza(iliyopangwa) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \mwisho(zilizopangiliwa)

Na hatimaye, hebu fikiria mpaka wa mwisho eneo $D$, i.e. mstari wa moja kwa moja $y=x+1$. Mstari huu wa moja kwa moja unawekea eneo $D$ chini ya masharti $-1 ≤ x ≤ 3$. Kubadilisha $y=x+1$ kwenye kitendakazi $z$, tutakuwa na:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Kwa mara nyingine tena tuna kazi ya kutofautiana moja $x$. Na tena tunahitaji kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi hii kwa muda $ -1 ≤ x ≤ 3$. Wacha tupate derivative ya kazi $f_(3)(x)$ na tuisawazishe na sifuri:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Thamani $x=1$ ni ya muda $-1 ≤ x ≤ 3$. Ikiwa $x=1$, basi $y=x+1=2$. Wacha tuongeze $M_7(1;2)$ kwenye orodha ya alama na tujue ni nini thamani ya chaguo la kukokotoa $z$ katika hatua hii. Pointi kwenye ncha za sehemu $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. pointi $M_3(-1;0)$ na $M_6(3;4)$ zilizingatiwa hapo awali, tayari tumepata thamani ya chaguo za kukokotoa ndani yao.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Hatua ya pili ya suluhisho imekamilika. Tulipokea maadili saba:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hebu tugeukie. Kuchagua maadili makubwa na madogo zaidi kutoka kwa nambari zilizopatikana katika aya ya tatu, tutakuwa na:

$$z_(min)=-4; \; z_(kiwango cha juu)=6.$$

Tatizo linatatuliwa, kilichobaki ni kuandika jibu.

Jibu: $z_(min)=-4; \; z_(kiwango cha juu)=6$.

Mfano Nambari 2

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa $z=x^2+y^2-12x+16y$ katika eneo $x^2+y^2 ≤ 25$.

Kwanza, hebu tujenge mchoro. Mlinganyo $x^2+y^2=25$ (huu ndio mstari wa mpaka wa eneo fulani) hufafanua mduara wenye kituo kwenye asili (yaani kwenye uhakika $(0;0)$) na kipenyo cha 5. Ukosefu wa usawa $x^2 +y^2 ≤ $25 hutosheleza pointi zote ndani na kwenye mduara uliotajwa.

Tutachukua hatua kulingana na. Wacha tupate derivatives za sehemu na tujue vidokezo muhimu.

$$ \frac(\sehemu z)(\sehemu x)=2x-12; \frac(\sehemu z)(\sehemu y)=2y+16. $$

Hakuna pointi ambapo derivatives ya sehemu iliyopatikana haipo. Hebu tujue ni kwa pointi gani derivatives zote za sehemu ni sawa na sifuri, i.e. tutafute pointi za kusimama.

$$ \kushoto \( \anza(iliyopangwa) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \mwisho(iliyopangwa) \kulia. \;\; \kushoto \( \anza(iliyopangwa) & x =6;\\ & y=-8.\mwisho(zilizolingana)\kulia.$$

Tumepata uhakika wa kusimama $(6;-8)$. Walakini, eneo lililopatikana sio la eneo $D$. Hii ni rahisi kuonyesha bila hata kuamua kuchora. Hebu tuangalie ikiwa ukosefu wa usawa $x^2+y^2 ≤ 25$ unashikilia, ambayo inafafanua eneo letu $D$. Ikiwa $x=6$, $y=-8$, basi $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. ukosefu wa usawa $x^2+y^2 ≤ 25$ haushiki. Hitimisho: uhakika $(6;-8)$ si mali ya eneo $D$.

Kwa hivyo, hakuna pointi muhimu ndani ya eneo $D$. Hebu tuendelee... Tunahitaji kujifunza tabia ya kazi kwenye mpaka wa kanda fulani, i.e. kwenye mduara $x^2+y^2=25$. Tunaweza, bila shaka, kueleza $y$ kulingana na $x$, na kisha kubadilisha usemi unaotokana na utendaji wetu $z$. Kutoka kwa mlinganyo wa duara tunapata: $y=\sqrt(25-x^2)$ au $y=-\sqrt(25-x^2)$. Kubadilisha, kwa mfano, $y=\sqrt(25-x^2)$ kwenye chaguo la kukokotoa, tutakuwa na:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Suluhisho zaidi litakuwa sawa kabisa na utafiti wa tabia ya kazi kwenye mpaka wa kanda katika mfano uliopita No. Walakini, inaonekana kwangu kuwa ya busara zaidi kutumia njia ya Lagrange katika hali hii. Tutapendezwa tu na sehemu ya kwanza ya njia hii. Baada ya kutumia sehemu ya kwanza ya njia ya Lagrange, tutapata pointi ambazo tutachunguza kazi $z$ kwa maadili ya chini na ya juu.

Tunaunda kazi ya Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Tunapata derivatives ya sehemu ya kazi ya Lagrange na kutunga mfumo sambamba wa equations:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kushoto \( \anza (iliyopangwa) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \mwisho(zilizopangiliwa) \ kulia \;\; \kushoto \( \anza(zilizopangiliwa) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \mwisho( iliyokaa)\kulia.$$

Ili kutatua mfumo huu, hebu tuonyeshe mara moja kwamba $\lambda\neq -1$. Kwa nini $\lambda\neq -1$? Wacha tujaribu kubadilisha $\lambda=-1$ kwenye equation ya kwanza:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ukinzani unaotokana $0=6$ unaonyesha kuwa thamani $\lambda=-1$ haikubaliki. Pato: $\lambda\neq -1$. Wacha tueleze $x$ na $y$ kulingana na $\lambda$:

\anza(iliyopangwa) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \mwisho(zilizopangiliwa)

Ninaamini kuwa inakuwa dhahiri hapa kwa nini tuliweka sharti hilo $\lambda\neq -1$. Hii ilifanywa ili kutoshea usemi $1+\lambda$ kwenye madhehebu bila kuingiliwa. Hiyo ni, kuwa na uhakika kwamba denominator $1+\lambda\neq 0$.

Hebu tubadilishe misemo inayotokana na $x$ na $y$ kwenye mlingano wa tatu wa mfumo, i.e. katika $x^2+y^2=25$:

$$ \kushoto(\frac(6)(1+\lambda) \kulia)^2+\kushoto(\frac(-8)(1+\lambda) \kulia)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Kutoka kwa usawa unaotokana inafuata kwamba $1+\lambda=2$ au $1+\lambda=-2$. Kwa hivyo tunayo maadili mawili ya paramu $\lambda$, ambayo ni: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Ipasavyo, tunapata jozi mbili za maadili $x$ na $y$:

\anza(iliyopangwa) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \mwisho(zilizopangiliwa)

Kwa hiyo, tulipata pointi mbili zinazowezekana ukali wa masharti, i.e. $M_1(3;-4)$ na $M_2(-3;4)$. Wacha tupate maadili ya chaguo la kukokotoa $z$ kwa pointi $M_1$ na $M_2$:

\anza(iliyopangwa) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \mwisho(zilizopangiliwa)

Tunapaswa kuchagua maadili makubwa na madogo zaidi kutoka kwa yale tuliyopata katika hatua ya kwanza na ya pili. Lakini katika kwa kesi hii chaguo ni ndogo :) Tunayo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(kiwango cha juu)=125. $$

Jibu: $z_(min)=-75; \; z_(kiwango cha juu)=$125.

Somo juu ya mada: "Kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Miongozo na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 10 kutoka 1C
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi maingiliano ya ujenzi kwa darasa la 7-10
Tunatatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi

Tutajifunza nini:

1. Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa.
2. Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kwa kutumia derivative.
3. Algorithm ya kutafuta thamani kubwa na ndogo zaidi kazi inayoendelea y=f(x) kwenye sehemu .
4. Kubwa zaidi na thamani ndogo hufanya kazi kwa muda usiofungwa.
5. Mifano.

Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa

Jamani, tumepata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa hapo awali. Tuliangalia grafu ya chaguo la kukokotoa na tukagundua ni wapi chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kuu na inapofikia kiwango cha chini kabisa.
Hebu kurudia:

Kutoka kwa grafu ya kazi yetu inaweza kuonekana kuwa thamani ya juu inafikiwa kwenye hatua x= 1, ni sawa na 2. Thamani ndogo zaidi inafikiwa kwenye hatua x= -1, na ni sawa na -2. Njia hii ni rahisi kupata maadili makubwa na madogo, lakini si mara zote inawezekana kupanga kazi.

Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi kwa kutumia derivative

Jamani, mnafikiri nini, unawezaje kupata thamani kubwa na ndogo kwa kutumia derivative?

Jibu linaweza kupatikana katika mwisho wa mada ya chaguo la kukokotoa. Huko wewe na mimi tulipata alama za kiwango cha juu na cha chini, je, masharti hayafanani? Walakini, maadili makubwa na madogo zaidi hayapaswi kuchanganyikiwa na kiwango cha juu na cha chini cha chaguo la kukokotoa; hizi ni dhana tofauti.

Kwa hivyo, wacha tuanzishe sheria:
a) Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaendelea kwa muda, basi hufikia maadili yake ya juu na ya chini kwa muda huu.
b) Chaguo la kukokotoa linaweza kufikia viwango vyake vya juu na vya chini katika miisho ya sehemu na ndani yake. Hebu tuangalie hatua hii kwa undani zaidi.

Katika mchoro A, chaguo la kukokotoa hufikia viwango vyake vya juu na vya chini katika miisho ya sehemu.
Katika Kielelezo b, chaguo za kukokotoa hufikia maadili yake ya juu na ya chini ndani ya sehemu. Katika takwimu c, hatua ya chini iko ndani ya sehemu, na hatua ya juu iko mwisho wa sehemu, kwa uhakika b.
c) Ikiwa maadili ya juu na ya chini yanapatikana ndani ya sehemu, basi tu katika vituo vya stationary au muhimu.

Algorithm ya kupata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa y= f(x) kwenye sehemu.

Tafuta derivative f"(x).
Pata vidokezo vya kusimama na muhimu ndani ya sehemu.
Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu zisizobadilika na muhimu, na pia katika f(a) na f(b). Chagua maadili madogo na makubwa zaidi; hizi zitakuwa alama za maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa.

Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda ulio wazi

Jamani, mnapataje thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye muda ulio wazi? Kwa kufanya hivyo, tutatumia theorem muhimu, ambayo imethibitishwa katika mwendo wa hisabati ya juu.

Nadharia. Acha kazi y= f(x) iendelee kwa muda x, na iwe na kipengee cha kipekee cha kusimama au muhimu x= x0 ndani ya muda huu, basi:
a) ikiwa x= x0 ndio upeo wa juu, basi y ndio upeo. = f(x0).
b) ikiwa x= x0 ndio alama ya chini, basi y ndio jina. = f(x0).

Mfano

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 kwenye sehemu
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Suluhisho: Tafuta derivative: y"= x 2 + 4x + 4.
Derivative inapatikana katika kikoa kizima cha ufafanuzi, basi tunahitaji kupata alama za stationary.
y"= 0, saa x= -2.
Tutafanya mahesabu zaidi kwa sehemu zinazohitajika.
a) Pata maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu na mahali pa kusimama.
Kisha y jina. = -122, kwa x= -9; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, pamoja na x= -1.
b) Pata maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu na saa hatua ya stationary. Maadili ya juu na ya chini kabisa yanapatikana katika miisho ya sehemu.
Kisha y jina. = -8, kwa x= -3, y max. = 34, saa x= 3.
c) Sehemu ya kusimama haianguki kwenye sehemu yetu; wacha tupate maadili kwenye miisho ya sehemu.
Kisha y jina. = 34, yenye x= 3, y max. = 436, kwa x= 9.

Mfano

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| kwenye sehemu.
Suluhisho: Wacha tupanue moduli na tubadilishe kazi yetu:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, kwa x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, kwa x ≥ 1.

Kisha kazi yetu itachukua fomu:
\anza(equation*)f(x)= \anza(kesi) x^2 - 4x + 6,\quad kwa\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad kwa\quad x ≥ 1 \mwisho(kesi) \mwisho(equation*) Hebu tutafute hoja muhimu: \anza(equation*)f"(x)= \anza(kesi) 2x - 4,\quad for\quad x ≤1 \\ 2x - 2, \quad kwa\quad x ≥ 1 \mwisho(kesi) \mwisho(equation*) \anza(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \anza(kesi) 2,\ quad kwa \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad kwa\quad x ≥ 1 \mwisho(kesi) \end(equation*) Kwa hivyo, tuna alama mbili za stationary na tusisahau kwamba utendaji wetu unajumuisha vitendakazi viwili kwa tofauti. x.
Wacha tupate maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi; kwa kufanya hivyo, tunahesabu maadili ya kazi katika sehemu za stationary na mwisho wa sehemu:
Jibu: Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake ya chini katika hatua ya kusimama x= 1, y ni ndogo zaidi. = 3. Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi mwishoni mwa sehemu katika hatua x = 4, y max. = 12.

Mfano

Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ kwenye miale: , b) , c) [-4;7].
b) Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| kwenye sehemu [-1;5].
c) Tafuta thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y= $-2x-\frac(1)(2x)$ kwenye miale (0;+∞).

Kutoka kwa mtazamo wa vitendo maslahi makubwa zaidi inawakilisha matumizi ya derivative kupata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa. Je, hii inahusiana na nini? Kuongeza faida, kupunguza gharama, kuamua mzigo mzuri wa vifaa ... Kwa maneno mengine, katika maeneo mengi ya maisha tunapaswa kutatua shida za kuongeza vigezo vingine. Na hizi ni kazi za kupata maadili makubwa na madogo ya kazi.

Ikumbukwe kwamba thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa hutafutwa kwa muda fulani X, ambayo ni kikoa kizima cha kazi au sehemu ya kikoa cha ufafanuzi. Muda X yenyewe inaweza kuwa sehemu, muda wazi , muda usio na kikomo.

Katika makala hii tutazungumza juu ya kupata maadili makubwa na madogo kwa uwazi kazi iliyopewa tofauti moja y=f(x) .

Urambazaji wa ukurasa.

Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa - ufafanuzi, vielelezo.

Hebu tuangalie kwa ufupi ufafanuzi mkuu.

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye muda X inaitwa thamani kama hiyo hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.

Ufafanuzi huu ni angavu: thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa ni thamani kubwa zaidi (ndogo) inayokubalika kwa muda unaozingatiwa kwenye abscissa.

Pointi za stationary- hizi ni maadili ya hoja ambayo derivative ya kazi inakuwa sifuri.

Kwa nini tunahitaji alama za stationary wakati wa kupata maadili makubwa na madogo? Jibu la swali hili limetolewa na nadharia ya Fermat. Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba ikiwa kazi inayoweza kutofautishwa ina extremum ( kima cha chini cha ndani au upeo wa ndani) kwa wakati fulani, basi hatua hii imesimama. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa mara nyingi huchukua thamani yake kubwa zaidi (ndogo) kwenye muda wa X katika mojawapo ya pointi za kusimama kutoka kwa muda huu.

Pia, chaguo la kukokotoa mara nyingi linaweza kuchukua maadili yake makubwa na madogo zaidi katika sehemu ambazo derivative ya kwanza ya kazi hii haipo, na kazi yenyewe inafafanuliwa.

Hebu tujibu mara moja moja ya maswali ya kawaida juu ya mada hii: "Je, inawezekana kila wakati kuamua thamani kubwa (ndogo) ya kazi"? Hapana sio kila wakati. Wakati mwingine mipaka ya muda wa X inafanana na mipaka ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, au muda wa X hauna mwisho. Na baadhi ya kazi kwa ukomo na katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi zinaweza kuchukua maadili makubwa na ndogo sana. Katika kesi hizi, hakuna kitu kinachoweza kusema kuhusu thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.

Kwa uwazi, tutatoa mchoro wa picha. Angalia picha na mengi yatakuwa wazi.

Kwenye sehemu

Katika takwimu ya kwanza, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani ya sehemu [-6;6].

Fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu ya pili. Wacha tubadilishe sehemu kuwa . Katika mfano huu, thamani ndogo zaidi ya kazi inapatikana katika hatua ya stationary, na kubwa zaidi katika hatua na abscissa sambamba na mpaka wa kulia wa muda.

Katika Mchoro wa 3, pointi za mipaka ya sehemu [-3;2] ni abscissas ya pointi zinazofanana na thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.

Kwa muda wazi

Katika takwimu ya nne, kazi inachukua maadili makubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika vituo vya stationary vilivyo ndani ya muda wa wazi (-6; 6).

Kwa muda, hakuna hitimisho linaloweza kutolewa kuhusu thamani kubwa zaidi.

Katika infinity

Katika mfano uliowasilishwa katika takwimu ya saba, kazi inachukua thamani kubwa (max y) katika hatua ya stationary na abscissa x = 1, na thamani ndogo zaidi (min y) inafanikiwa kwenye mpaka wa kulia wa muda. Katika minus infinity, thamani za chaguo za kukokotoa zinakaribia y=3 bila dalili.

Kwa muda, chaguo za kukokotoa hazifikii thamani ndogo au kubwa zaidi. Kadiri x=2 inavyokaribia kutoka kulia, thamani za chaguo la kukokotoa huwa na minus infinity (mstari x=2 ni asymptoti wima), na kadiri abscissa inavyoelekea kujumlisha infinity, thamani za chaguo za kukokotoa hukaribia y=3 bila dalili. Kielelezo cha picha cha mfano huu kinaonyeshwa kwenye Mchoro 8.

Algorithm ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu.

Wacha tuandike algorithm ambayo inaruhusu sisi kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.

Tunapata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na kuangalia ikiwa ina sehemu nzima.
Tunapata vidokezo vyote ambavyo derivative ya kwanza haipo na ambayo iko kwenye sehemu (kawaida vidokezo kama hivyo hupatikana katika kazi na hoja chini ya ishara ya modulus na ndani. kazi za nguvu yenye kipeo cha kimawazo cha sehemu). Ikiwa hakuna pointi hizo, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
Tunaamua pointi zote za stationary zinazoanguka ndani ya sehemu. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha na sifuri, suluhisha usawa unaosababishwa na uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hakuna pointi za kusimama au hakuna hata mmoja wao anayeanguka kwenye sehemu, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
Tunahesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizochaguliwa za stationary (ikiwa zipo), katika sehemu ambazo derivative ya kwanza haipo (ikiwa ipo), na vile vile kwa x=a na x=b.
Kutoka kwa maadili yaliyopatikana ya kazi, tunachagua kubwa na ndogo zaidi - watakuwa maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi, kwa mtiririko huo.

Wacha tuchambue algorithm ya kusuluhisha mfano ili kupata maadili makubwa na madogo ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.

Mfano.

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa

kwenye sehemu;
kwenye sehemu [-4;-1] .

Suluhisho.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti nzima nambari za kweli, isipokuwa sifuri, yaani. Sehemu zote mbili ziko ndani ya kikoa cha ufafanuzi.

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na:

Ni wazi, derivative ya chaguo za kukokotoa inapatikana katika sehemu zote za sehemu na [-4;-1].

Tunaamua pointi za stationary kutoka kwa equation. Mzizi pekee halisi ni x=2. Sehemu hii ya kusimama iko katika sehemu ya kwanza.

Kwa kesi ya kwanza, tunahesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na mahali pa kusimama, ambayo ni, kwa x=1, x=2 na x=4:

Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya kazi inafikiwa kwa x=1, na thamani ndogo zaidi - kwa x=2.

Kwa kisa cha pili, tunahesabu thamani za chaguo la kukokotoa tu katika miisho ya sehemu [-4;-1] (kwani haina nukta moja ya kusimama):

Hebu kazi y =f(X) inaendelea kwa muda [ a, b]. Kama inavyojulikana, chaguo la kukokotoa hufikia viwango vya juu na vya chini kwenye sehemu hii. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuchukua maadili haya aidha hatua ya ndani sehemu [ a, b], au kwenye mpaka wa sehemu.

Ili kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kwenye sehemu [ a, b] muhimu:

1) pata vidokezo muhimu vya kazi katika muda ( a, b);

2) kuhesabu maadili ya kazi katika sehemu muhimu zilizopatikana;

3) kuhesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu, ambayo ni, lini x=A na x = b;

4) kutoka kwa maadili yote yaliyohesabiwa ya chaguo la kukokotoa, chagua kubwa na ndogo zaidi.

Mfano. Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa

kwenye sehemu.

Kupata pointi muhimu:

Pointi hizi ziko ndani ya sehemu; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

kwa uhakika x= 3 na kwa uhakika x= 0.

Utafiti wa kipengele cha kukokotoa kwa mnyumbuliko na sehemu ya unyambulishaji.

Kazi y = f (x) kuitwa convexup katikati (a, b) , ikiwa grafu yake iko chini ya tangent inayotolewa wakati wowote katika muda huu, na inaitwa convex chini (concave), ikiwa grafu yake iko juu ya tangent.

Hatua ambayo convexity inabadilishwa na concavity au kinyume chake inaitwa hatua ya inflection.

Algorithm ya kuchunguza convexity na inflection point:

1. Pata pointi muhimu za aina ya pili, yaani, pointi ambazo derivative ya pili ni sawa na sifuri au haipo.

2. Panga pointi muhimu kwenye mstari wa nambari, ukigawanye katika vipindi. Pata ishara ya derivative ya pili kwa kila muda; ikiwa , basi chaguo la kukokotoa ni mbonyeo kwenda juu, ikiwa, basi kitendakazi ni mbonyeo kwenda chini.

3. Ikiwa, wakati wa kupitia hatua muhimu ya aina ya pili, ishara inabadilika na kwa wakati huu derivative ya pili ni sawa na sifuri, basi hatua hii ni abscissa ya hatua ya inflection. Tafuta mpangilio wake.

Asymptotes ya grafu ya chaguo za kukokotoa. Utafiti wa chaguo za kukokotoa kwa asymptotes.

Ufafanuzi. Asymptote ya grafu ya chaguo la kukokotoa inaitwa moja kwa moja, ambayo ina sifa kwamba umbali kutoka kwa sehemu yoyote kwenye grafu hadi kwenye mstari huu huelekea kuwa sufuri kwani uhakika kwenye grafu husogea kwa muda usiojulikana kutoka kwa asili.

Kuna aina tatu za asymptotes: wima, usawa na kutega.

Ufafanuzi. Mstari wa moja kwa moja unaitwa asymptote ya wima kazi graphics y = f(x), ikiwa angalau kikomo cha upande mmoja cha chaguo la kukokotoa katika hatua hii ni sawa na ukomo, hiyo ni

iko wapi sehemu ya kutoendelea ya kazi, ambayo ni, sio ya kikoa cha ufafanuzi.

Mfano.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - hatua ya mapumziko.

Ufafanuzi. Moja kwa moja y =A kuitwa asymptote ya usawa kazi graphics y = f(x) kwa, ikiwa

Mfano.

x
y

Ufafanuzi. Moja kwa moja y =kx +b (k≠ 0) inaitwa asymptote ya oblique kazi graphics y = f(x) kwa, wapi

Mpango wa jumla wa kusoma kazi na kuunda grafu.

Algorithm ya Utafiti wa Kaziy = f(x) :

1. Pata kikoa cha kazi D (y).

2. Tafuta (ikiwezekana) pointi za makutano ya grafu na axes za kuratibu (ikiwa x= 0 na saa y = 0).

3. Chunguza usawa na hali isiyo ya kawaida ya utendaji ( y (‒ x) = y (x) ‒ usawa; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ isiyo ya kawaida).

4. Pata asymptotes ya grafu ya kazi.

5. Pata vipindi vya monotonicity ya kazi.

6. Pata extrema ya kazi.

7. Pata vipindi vya convexity (concavity) na pointi za inflection za grafu ya kazi.

8. Kulingana na utafiti uliofanywa, jenga grafu ya kazi.

Mfano. Chunguza chaguo za kukokotoa na ujenge grafu yake.

1) D (y) =

x= 4 - hatua ya mapumziko.

2) Wakati x = 0,

(0; ‒ 5) - sehemu ya makutano na oh.

Katika y = 0,

3) y(‒ x)= kazi mtazamo wa jumla(wala hata na isiyo ya kawaida).

4) Tunachunguza kwa asymptotes.

a) wima

b) mlalo

c) kupata asymptotes oblique wapi

‒mlinganyo wa asymptote oblique

5) B kupewa mlinganyo hakuna haja ya kupata vipindi vya monotonicity ya kazi.

Hoja hizi muhimu hugawanya kikoa kizima cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa katika muda (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) na (10; +∞). Ni rahisi kuwasilisha matokeo yaliyopatikana kwa namna ya meza ifuatayo.