Dhana ya mlingano wa mstari. Kufafanua mstari kwa kutumia hali ya mlingano kwa usawa wa mistari

inafafanua curve kwenye ndege. Kundi la maneno linaitwa fomu ya quadratic, - fomu ya mstari. Ikiwa fomu ya quadratic ina mraba tu wa vigezo, basi fomu hii inaitwa canonical, na vectors ya msingi ya kawaida ambayo fomu ya quadratic ina fomu ya canonical inaitwa axes kuu ya fomu ya quadratic.
Matrix inaitwa matrix ya fomu ya quadratic. Hapa ni 1 2 =a 2 1. Ili kupunguza matrix B kwa fomu ya diagonal, ni muhimu kuchukua eigenveekta ya matrix hii kama msingi, basi. , ambapo λ 1 na λ 2 ni eigenvalues ​​ya matrix B.
Kwa msingi wa eigenvectors ya matrix B, fomu ya quadratic itakuwa na fomu ya kisheria: λ 1 x 2 1 + λ 2 y 2 1 .
Operesheni hii inalingana na mzunguko wa axes za kuratibu. Kisha asili ya kuratibu hubadilishwa, na hivyo kuondokana na sura ya mstari.
Muundo wa kisheria wa curve ya mpangilio wa pili: λ 1 x 2 2 + λ 2 y 2 2 =a, na:
a) ikiwa λ 1 >0; λ 2 >0 ni duara, hasa, wakati λ 1 = λ 2 ni duara;
b) ikiwa λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) tuna hyperbole;
c) ikiwa λ 1 =0 au λ 2 =0, basi curve ni parabola na baada ya kuzunguka axes ya kuratibu ina fomu λ 1 x 2 1 = ax 1 + kwa 1 + c (hapa λ 2 =0). Kukamilisha mraba kamili, tunayo: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Mfano. Mlinganyo wa curve 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 umetolewa katika mfumo wa kuratibu (0,i,j), ambapo i =(1,0) na j =(0,1) .
1. Tambua aina ya curve.
2. Leta mlinganyo kwa umbo la kisheria na utengeneze curve katika mfumo wa awali wa kuratibu.
3. Pata mabadiliko ya kuratibu yanayolingana.

Suluhisho. Tunaleta fomu ya quadratic B=3x 2 +10xy+3y 2 kwa shoka kuu, yaani, kwa fomu ya kisheria. Matrix ya fomu hii ya quadratic ni . Tunapata eigenvalues ​​na eigenvectors ya matrix hii:

Mlinganyo wa tabia:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Aina ya fomu ya quadratic: .
Mlinganyo wa awali unafafanua hyperbola.
Kumbuka kwamba fomu ya fomu ya quadratic ni utata. Unaweza kuandika 8x 1 2 -2y 1 2 , lakini aina ya curve inabakia sawa - hyperbola.
Tunapata shoka kuu za umbo la quadratic, yaani, eigenveekta za matrix B. .
Eigenvector inayolingana na nambari λ=-2 kwa x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Kama kitengo cha eigenvector tunachukua vekta , urefu wa vekta x 1 uko wapi.
Viwianishi vya eigenvector ya pili inayolingana na eigenvalue ya pili λ=8 hupatikana kutoka kwa mfumo.
.
1 ,j 1).
Kwa mujibu wa fomula (5) ya aya ya 4.3.3. Wacha tuendelee kwenye msingi mpya:
au

; . (*)

Tunaingiza misemo x na y kwenye equation ya asili na, baada ya mabadiliko, tunapata: .
Kuchagua mraba kamili: .
Tunafanya tafsiri sambamba ya axes za kuratibu kwa asili mpya: , .
Ikiwa tutaanzisha mahusiano haya katika (*) na kutatua usawa huu wa x 2 na y 2, tunapata: , . Katika mfumo wa kuratibu (0*, i 1, j 1) equation hii ina fomu: .
Ili kuunda curve, tunaunda mpya katika mfumo wa zamani wa kuratibu: mhimili wa x 2 = 0 umeainishwa katika mfumo wa zamani wa kuratibu na equation x-y-3=0, na y 2 = 0 mhimili kwa equation x+ y-1=0. Asili ya mfumo mpya wa kuratibu 0 * (2,-1) ni sehemu ya makutano ya mistari hii.
Ili kurahisisha mtazamo, tutagawanya mchakato wa kuunda grafu katika hatua 2:
1. Mpito hadi mfumo wa kuratibu wenye shoka x 2 =0, y 2 =0, iliyobainishwa katika mfumo wa zamani wa kuratibu na milinganyo x-y-3=0 na x+y-1=0, mtawalia.

2. Ujenzi wa grafu ya kazi katika mfumo wa kuratibu unaosababisha.

Toleo la mwisho la grafu linaonekana kama hii (tazama. Suluhisho:Pakua suluhisho

Zoezi. Thibitisha kwamba kila milinganyo ifuatayo inafafanua duaradufu, na utafute viwianishi vya katikati yake C, mhimili wa nusu, usawaziko, milinganyo ya moja kwa moja. Chora duaradufu kwenye mchoro, ikionyesha shoka za ulinganifu, foci na mielekeo.
Suluhisho.

Wacha tuangalie uhusiano wa fomu F(x, y)=0, vigezo vinavyounganisha x Na katika. Tutaita usawa (1) mlinganyo wenye vigeu viwili x, y, ikiwa usawa huu sio kweli kwa jozi zote za nambari X Na katika. Mifano ya milinganyo: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 - 25 = 0,

dhambi x + dhambi y – 1 = 0.

Ikiwa (1) ni kweli kwa jozi zote za nambari x na y, basi inaitwa utambulisho. Mifano ya vitambulisho: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Tutaita equation (1) equation ya seti ya pointi (x; y), ikiwa mlinganyo huu umeridhika na viwianishi X Na katika hatua yoyote ya seti na haijaridhika na kuratibu za pointi yoyote ambayo si ya seti hii.

Dhana muhimu katika jiometri ya uchambuzi ni dhana ya equation ya mstari. Hebu mfumo wa kuratibu wa mstatili na mstari fulani upewe kwenye ndege α.

Ufafanuzi. Equation (1) inaitwa equation ya mstari α (katika mfumo wa kuratibu ulioundwa), ikiwa equation hii imeridhika na kuratibu X Na katika hatua yoyote iko kwenye mstari α , na usikidhishe viwianishi vya sehemu yoyote ambayo haiko kwenye mstari huu.

Ikiwa (1) ni mlinganyo wa mstari α, basi tutasema kwamba equation (1) inafafanua (seti) mstari α.

Mstari α inaweza kuamua si tu kwa equation ya fomu (1), lakini pia kwa equation ya fomu

F (P, φ) = 0 zenye kuratibu za polar.

• equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular;

Acha mstari wa moja kwa moja, sio perpendicular, kwa mhimili upewe OH. Hebu piga simu pembe ya mwelekeo kupewa mstari wa moja kwa moja kwa mhimili OH kona α , ambayo mhimili unahitaji kuzungushwa OH ili mwelekeo mzuri ufanane na moja ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja. Tangent ya angle ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja kwa mhimili OH kuitwa mteremko mstari huu na unaonyeshwa na barua KWA.

	K=tg α
		(1)

Hebu tupate equation ya mstari huu ikiwa tunajua yake KWA na thamani katika sehemu OB, ambayo hukata kwenye mhimili OU.

(2)

y=kx+b

Wacha tuonyeshe kwa M"hatua ya ndege (x; y). Ikiwa tunachora moja kwa moja BN Na N.M., sambamba na shoka, basi r BNM - mstatili. T. MC C BM <=>, wakati maadili N.M. Na BN kukidhi hali:. Lakini NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> kwa kuzingatia (1), tunapata uhakika huo M(x;y)C kwenye mstari huu<=>, wakati viwianishi vyake vinakidhi mlinganyo: =>

Equation (2) inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular. Kama K=0, basi mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili OH na equation yake ni y = b.

• equation ya mstari kupita kwa pointi mbili;

(4)

Acha pointi mbili zitolewe M 1 (x 1; y 1) Na M 2 (x 2; y 2). Kuchukua hatua (3). M(x;y) nyuma M 2 (x 2; y 2), tunapata y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Kufafanua k kutoka kwa usawa wa mwisho na kuibadilisha kuwa equation (3), tunapata equation inayotaka ya mstari: . Huu ndio mlinganyo kama y 1 ≠ y 2, inaweza kuandikwa kama:

Kama y 1 = y 2, basi equation ya mstari unaohitajika ina fomu y = y 1. Katika kesi hii, mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili OH. Kama x 1 = x 2, kisha mstari wa moja kwa moja unapita kwenye pointi M 1 Na M 2, sambamba na mhimili OU, mlinganyo wake una umbo x = x 1.

• equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua fulani na mteremko uliopewa;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Nadharia. Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Ohoo mstari wowote ulionyooka hutolewa na mlinganyo wa shahada ya kwanza:

na, kinyume chake, equation (5) kwa coefficients kiholela A, B, C (A Na B ≠ 0 wakati huo huo) inafafanua mstari fulani wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Ooh.

Ushahidi.

Kwanza, hebu tuthibitishe kauli ya kwanza. Ikiwa mstari sio perpendicular Oh, basi inaamuliwa na equation ya shahada ya kwanza: y = kx + b, i.e. equation ya fomu (5), wapi

A = k, B = -1 Na C = b. Ikiwa mstari ni perpendicular Oh, basi pointi zake zote zina abscissa sawa, sawa na thamani α sehemu iliyokatwa na mstari wa moja kwa moja kwenye mhimili Oh.

Mlinganyo wa mstari huu una fomu x = alpha, hizo. pia ni mlinganyo wa shahada ya kwanza wa fomu (5), ambapo A = 1, B = 0, C = - α. Hii inathibitisha kauli ya kwanza.

Hebu tuthibitishe kauli ya mazungumzo. Acha equation (5) itolewe, na angalau mgawo mmoja A Na B ≠ 0.

Kama B ≠ 0, basi (5) inaweza kuandikwa katika fomu. Gorofa , tunapata equation y = kx + b, i.e. equation ya fomu (2) ambayo inafafanua mstari wa moja kwa moja.

Kama B = 0, Hiyo A ≠ 0 na (5) huchukua fomu. Kuashiria kwa α, tunapata

x = α, i.e. equation ya mstari perpendicular Oh.

Mistari iliyofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili kwa equation ya shahada ya kwanza inaitwa mistari ya kwanza ya utaratibu.

Mlinganyo wa fomu Shoka + Wu + C = 0 haijakamilika, i.e. Baadhi ya mgawo ni sawa na sifuri.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 na inafafanua mstari ulionyooka unaopitia asili.

2) B = 0 (A ≠ 0); mlinganyo Shoka + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 na inafafanua mstari wa moja kwa moja sambamba Oh.

Equation (6) inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja "katika sehemu". Nambari A Na b ni maadili ya sehemu ambazo mstari wa moja kwa moja hukata kwenye shoka za kuratibu. Fomu hii ya equation ni rahisi kwa ujenzi wa kijiometri wa mstari wa moja kwa moja.

• equation ya kawaida ya mstari;

Аx + Вy + С = 0 ni mlinganyo wa jumla wa mstari fulani, na (5) x cos α + y dhambi α - p = 0(7)

equation yake ya kawaida.

Kwa kuwa milinganyo (5) na (7) inafafanua mstari sawa sawa, basi ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Na

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) migawo ya milinganyo hii ni sawia. Hii ina maana kwamba kwa kuzidisha masharti yote ya equation (5) kwa kipengele fulani M, tunapata equation. MA x + MV y + MS = 0, sanjari na mlinganyo (7) i.e.

MA = cos α, MB = dhambi α, MC = - P(8)

Ili kupata sababu M, tunaweka mraba mbili za kwanza za usawa huu na kuongeza:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + dhambi 2 α = 1

(9)

§ 9. Dhana ya equation ya mstari.

Kufafanua mstari kwa kutumia mlinganyo

Usawa wa fomu F (x, y) = 0 inayoitwa equation katika vigezo viwili x, y, ikiwa si kweli kwa jozi zote za nambari x, y. Wanasema nambari mbili x = x 0 , y=y 0, kukidhi baadhi ya mlinganyo wa fomu F(x, y)=0, ikiwa wakati wa kubadilisha nambari hizi badala ya anuwai X Na katika katika equation, upande wake wa kushoto hutoweka.

Equation ya mstari uliopewa (katika mfumo uliowekwa wa kuratibu) ni equation yenye vigezo viwili ambavyo vinatidhishwa na kuratibu za kila nukta iliyo kwenye mstari huu, na sio kuridhika na kuratibu za kila nukta isiyolala juu yake.

Katika kile kinachofuata, badala ya usemi "equation ya mstari imetolewa F(x, y) = 0" mara nyingi tutasema kwa kifupi: kupewa mstari F (x, y) = 0.

Ikiwa milinganyo ya mistari miwili imetolewa F(x, y) = 0 Na Ф(x, y) = Q, kisha suluhisho la pamoja la mfumo

Hutoa pointi zao zote za makutano. Kwa usahihi, kila jozi ya nambari ambayo ni suluhisho la pamoja la mfumo huu huamua moja ya pointi za makutano.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4katika+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4katika -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Pointi hutolewa katika mfumo wa kuratibu wa polar

Tambua ni ipi kati ya pointi hizi ziko kwenye mstari ulioelezwa na equation katika kuratibu za polar  = 2 cos , na ambazo hazilala juu yake. Ni mstari gani unaobainishwa na mlingano huu? (Chora kwenye mchoro :)

164. Kwenye mstari ulioelezwa na equation  =
, pata alama ambazo pembe za polar ni sawa na nambari zifuatazo: a) ,b) - ,c) 0, d) . Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu?

(Ijenge kwenye mchoro.)

165. Kwenye mstari unaoelezwa na equation  =
, tafuta pointi ambazo radii ya polar ni sawa na nambari zifuatazo: a) 1, b) 2, c)
. Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu? (Ijenge kwenye mchoro.)

166. Anzisha ni mistari ipi imedhamiriwa katika kuratibu za polar kwa milinganyo ifuatayo (ijenge kwenye mchoro):

1)  = 5; 2)  =; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  dhambi  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 dhambi ; 8) dhambi  =

Zingatia kazi iliyotolewa na formula (equation)

Kazi hii, na kwa hiyo equation (11), inafanana na mstari ulioelezwa vizuri kwenye ndege, ambayo ni grafu ya kazi hii (tazama Mchoro 20). Kutoka kwa ufafanuzi wa grafu ya chaguo la kukokotoa inafuata kwamba mstari huu unajumuisha zile na pointi zile tu za ndege ambazo viwianishi vinakidhi equation (11).

Hebu sasa

Mstari, ambao ni grafu ya chaguo hili la kukokotoa, unajumuisha zile na pointi zile pekee za ndege ambayo viwianishi vinakidhi mlinganyo (12). Hii ina maana kwamba ikiwa nukta iko kwenye mstari uliotajwa, basi viwianishi vyake vinakidhi equation (12). Ikiwa uhakika hauko kwenye mstari huu, basi kuratibu zake hazikidhi usawa (12).

Equation (12) imetatuliwa kwa kuzingatia y. Zingatia mlinganyo ulio na x na y na haujatatuliwa kwa y, kama vile mlinganyo

Hebu tuonyeshe kwamba equation hii katika ndege pia inalingana na mstari, yaani mduara na kituo katika asili na radius sawa na 2. Hebu tuandike upya equation katika fomu.

Upande wake wa kushoto ni mraba wa umbali wa uhakika kutoka kwa asili (tazama § 2, aya ya 2, formula 3). Kutoka kwa usawa (14) inafuata kwamba mraba wa umbali huu ni sawa na 4.

Hii ina maana kwamba hatua yoyote ambayo kuratibu kukidhi equation (14), na kwa hiyo equation (13), iko katika umbali wa 2 kutoka asili.

Eneo la kijiometri la pointi hizo ni mduara na kituo katika asili na radius 2. Mduara huu utakuwa mstari unaofanana na equation (13). Viwianishi vya vidokezo vyake vyovyote vinakidhi mlinganyo (13). Ikiwa uhakika haupo kwenye mduara tuliopata, basi mraba wa umbali wake kutoka kwa asili utakuwa mkubwa au chini ya 4, ambayo ina maana kwamba kuratibu za hatua hiyo hazikidhi equation (13).

Wacha sasa, kwa ujumla, tupewe equation

upande wa kushoto ambao kuna usemi ulio na x na y.

Ufafanuzi. Mstari unaofafanuliwa kwa equation (15) ni eneo la kijiometri la pointi katika ndege ambayo viwianishi vinakidhi mlingano huu.

Hii inamaanisha kuwa ikiwa mstari L umeamuliwa na mlinganyo, basi viwianishi vya nukta yoyote L vinatosheleza mlingano huu, lakini viwianishi vya sehemu yoyote kwenye ndege iliyo nje ya L havikidhi mlinganyo (15).

Equation (15) inaitwa equation ya mstari

Maoni. Mtu haipaswi kufikiri kwamba equation yoyote huamua mstari wowote. Kwa mfano, equation haifafanui mstari wowote. Kwa kweli, kwa maadili yoyote halisi ya na y, upande wa kushoto wa equation hii ni chanya na upande wa kulia ni sawa na sifuri, na kwa hiyo, equation hii haiwezi kuridhika na kuratibu za hatua yoyote kwenye ndege.

Mstari unaweza kuelezwa kwenye ndege si tu kwa equation iliyo na kuratibu za Cartesian, lakini pia kwa equation katika kuratibu za polar. Mstari unaofafanuliwa na mlingano katika kuratibu za polar ni eneo la kijiometri la pointi katika ndege ambayo viwianishi vya polar vinakidhi mlingano huu.

Mfano 1. Tengeneza ond ya Archimedes katika .

Suluhisho. Wacha tufanye meza kwa maadili kadhaa ya pembe ya polar na maadili yanayolingana ya radius ya polar.

Tunajenga uhakika katika mfumo wa kuratibu wa polar, ambayo ni wazi inafanana na pole; basi, tukichora mhimili kwa pembe kwa mhimili wa polar, tunaunda hatua na uratibu mzuri kwenye mhimili huu, baada ya hapo sisi vile vile tunaunda alama na maadili chanya ya pembe ya polar na radius ya polar (shoka za vidokezo hivi ni. haijaonyeshwa kwenye Kielelezo 30).

Kwa kuunganisha pointi, tunapata tawi moja la curve, iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 30 na mstari mzito. Wakati wa kubadilisha kutoka 0 hadi tawi hili la curve lina idadi isiyo na kikomo ya zamu.

Usawa wa umbo F(x, y) = 0 unaitwa mlinganyo wenye vigeu viwili x, y ikiwa si kweli kwa jozi zote za nambari x, y. Wanasema kwamba nambari mbili x = x 0, y = y 0 zinakidhi mlinganyo fulani wa fomu F(x, y) = 0 ikiwa, wakati wa kubadilisha nambari hizi badala ya vigeu x na y kwenye mlinganyo, upande wake wa kushoto unakuwa sifuri. .

Mlinganyo wa mstari uliopeanwa (katika mfumo uliowekwa wa kuratibu) ni mlinganyo wenye vigezo viwili vinavyoridhishwa na viwianishi vya kila nukta iliyo kwenye mstari huu na kutoridhika na viwianishi vya kila nukta isiyolala juu yake.

Katika kile kinachofuata, badala ya usemi "kwa kuzingatia equation ya mstari F (x, y) = 0," mara nyingi tutasema kwa ufupi zaidi: kutokana na mstari F (x, y) = 0.

Ikiwa milinganyo ya mistari miwili imetolewa: F(x, y) = 0 na Ф(x, y) = 0, basi suluhisho la pamoja la mfumo.

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

inatoa pointi zao zote za makutano. Kwa usahihi, kila jozi ya nambari ambayo ni suluhisho la pamoja la mfumo huu huamua moja ya sehemu za makutano,

157. Mambo yaliyotolewa *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Tambua ni ipi kati ya pointi zilizopewa ziko kwenye mstari uliofafanuliwa na equation x + y = 0 na ambayo hailala juu yake. Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu? (Chora kwenye mchoro.)

158. Kwenye mstari ulioelezwa na equation x 2 + y 2 = 25, pata pointi ambazo abscissas ni sawa na nambari zifuatazo: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; kwenye mstari huo huo kupata pointi ambazo ordinates ni sawa na nambari zifuatazo: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu? (Chora kwenye mchoro.)

159. Tambua ambayo mistari imedhamiriwa na equations zifuatazo (zijenge kwenye kuchora): 1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + kwa + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Mistari iliyotolewa: l) x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Tambua ni nani kati yao anayepitia asili.

161. Mistari iliyotolewa: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Pata pointi zao za makutano: a) na mhimili wa Ox; b) na mhimili wa Oy.

162. Tafuta sehemu za makutano za mistari miwili:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Katika mfumo wa kuratibu wa polar, pointi M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) na M. 5 ( 1; 2/3π). Tambua ni ipi kati ya pointi hizi ziko kwenye mstari uliofafanuliwa katika kuratibu za polar na equation p = 2cosΘ, na ambayo hailala juu yake. Ni mstari gani unaobainishwa na mlingano huu? (Chora kwenye mchoro.)

164. Kwenye mstari unaoelezwa na equation p = 3/cosΘ, pata pointi ambazo pembe za polar ni sawa na nambari zifuatazo: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu? (Ijenge kwenye mchoro.)

165. Kwenye mstari ulioelezwa na equation p = 1/sinΘ, pata pointi ambazo radii ya polar ni sawa na nambari zifuatazo: a) 1 6) 2, c) √2. Ni mstari gani unaofafanuliwa na mlingano huu? (Ijenge kwenye mchoro.)

166. Weka mistari ambayo imedhamiriwa katika kuratibu za polar na equations zifuatazo (zijenge kwenye kuchora): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sip = 1/2.

167. Tengeneza spirals zifuatazo za Archimedes kwenye kuchora: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Tengeneza spirals zifuatazo za hyperbolic kwenye kuchora: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Tengeneza spirals zifuatazo za logarithmic kwenye kuchora: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Tambua urefu wa makundi ambayo Archimedes spiral p = 3Θ hukatwa na boriti inayojitokeza kutoka kwenye nguzo na inaelekea kwenye mhimili wa polar kwa pembe Θ = π/6. Fanya mchoro.

171. Kwenye Archimedes spiral p = 5/πΘ, hatua C inachukuliwa, radius ya polar ambayo ni 47. Tambua ni sehemu ngapi za ond hii inapunguza radius ya polar ya uhakika C. Fanya kuchora.

172. Juu ya ond hyperbolic P = 6/Θ, pata uhakika P ambao radius ya polar ni 12. Fanya kuchora.

173. Kwenye logarithmic spiral p = 3 Θ, pata uhakika P ambao radius ya polar ni 81. Tengeneza mchoro.