Jua aina ya pointi za umoja za kazi. Mfululizo wa Laurent ulitenga alama za umoja na uainishaji wao

Hebu zq- uhakika wa umoja kazi /(r), t.s. f(z) lakini ni uchanganuzi katika hatua hii (haswa, inaweza isifafanuliwe hapo). Ikiwa kuna kitongoji kama hicho kilichochomwa cha uhakika zq (yaani seti O z - zq f(z) ni aialitic, basi zo kuitwa sehemu ya pekee ya pekee kazi f(z). Ufafanuzi huu inabakia sawa katika kesi zn = oo, ikiwa iodini imetobolewa na eneo la uhakika zq = oo kuelewa kuweka z> I - nje ya duara na kituo chake katika asili. Kwa maneno mengine, hatua maalum zq inasemekana kutengwa ikiwa kuna kitongoji cha nukta hii ambayo ni ya nukta zingine za umoja isipokuwa zq. Katika kile kinachofuata tunazingatia alama za umoja tu za mhusika wa kipekee (kazi f(z) kudhaniwa kuwa isiyo na utata).

Kulingana na tabia ya kazi f(z) katika z -> zq Kuna aina tatu za pointi za umoja. Sehemu ya pekee ya pekee kazi za zq f(z) inaitwa:

1) hatua ya umoja inayoweza kutolewa, ikiwa ipo kikomo cha mwisho

2) nguzo, ikiwa kuna kikomo

3) kimsingi jambo maalum, Kama f(z) haina kikomo kisicho na kikomo z-> zq.

Mfano 26.1. Wacha tuonyeshe kwamba aina zote tatu za nukta za umoja zinatekelezwa. Hebu tuzingatie f(z)= Point zq = 0 imetengwa

hatua maalum ya kazi hii. Kwa kutumia formula (22.12), tunapata upanuzi

ambayo inafuata kwamba kuna lim fi(z)= 1. Kwa hiyo zq = 0 ni

ni sehemu ya umoja inayoweza kutolewa ya chaguo za kukokotoa fi(z).

Kazi f‘j(z) =---ina nguzo kwa uhakika zo= 1 kwa sababu

2 r"X

Hebu sasa tuzingatie kazi )z(z)= e 1 ^ r na uonyeshe hilo zo = O ni sehemu ya umoja ya utendaji huu. Wakati wa kujitahidi z hadi sifuri kando ya mhimili halisi mipaka ya kushoto na kulia ya kazi /z (z) tofauti: lim Na 1 / 1 = 0, lim s 1 /* = os. Hii ina maana,

x->0-0 x->0+O

Nini f:i(z) haina kikomo kisicho na kikomo katika 2 -> Oh, hiyo ni. zq = O ni sehemu ya umoja ya utendaji huu. (Kumbuka kwamba kama hatua inavyoelekea z -i hadi sifuri kando ya kitendakazi cha mhimili wa kufikirika

haina kikomo hata kidogo.)

Kuna, bila shaka, pointi zisizo pekee za umoja. Kwa mfano. kazi ina nguzo kwenye pointi z n = -, P= ±1, ±2,...

Kwa hivyo, Zq = 0 ni sehemu isiyo ya pekee ya kazi hii: katika kitongoji chochote (bila kujali ni kidogo) cha hatua hii kuna nukta zingine za umoja. g uk.

Hebu zo- nukta maalum ya pekee iliyotengwa ya kitendakazi f(z). Kisha f(z) ni sawa katika kitongoji fulani kilichochomwa cha uhakika cha 0 Zo zo mtaa huu unaweza kuzingatiwa kama pete yenye radius ya ndani r = 0. Kwa nadharia ya 25.1, katika kitongoji kinachozingatiwa kazi hiyo f(z) inaweza kupanuliwa katika mfululizo wa Laurent (25.2). Tutaonyesha kuwa tabia ya chaguo la kukokotoa saa 2 -> zq (yaani aina ya nukta ya umoja zo) inategemea aina ya sehemu kuu ya upanuzi (25.2); Hali hii inaelezea asili ya neno " sehemu kuu”.

Theorem 2G.2. Nukta ya pekee ya zo ya chaguo za kukokotoa f(z) inaweza kuondolewa ikiwa tu ikiwa upanuzi wa Lorapov katika kitongoji kilichotobolewa cha hatua hii una oid.

hizo. lina sehemu sahihi tu, na mgawo wote wa sehemu kuu ni sawa na risasi.

Ushahidi. 1. Hebu zo- hatua ya umoja inayoweza kutolewa. Hebu tuthibitishe kwamba upanuzi wa Laurent wa kazi f(z) ina fomu (26.1). Tangu hatua maalum zo inayoweza kutolewa, basi kuna mwisho kikomo lim f(z) = A. Kwa hivyo, f(z) imefungwa katika kitongoji fulani kilichochomwa cha uhakika wa 0 z - zq zo, hizo. )(z) kwa kila mtu z kutoka eneo hili. Hebu tuchukue yoyote R. U р /?|, na utumie fomula (25.3) kwa coefficients ya mfululizo wa Laurent:

Kwa coefficients ya sehemu kuu ya upanuzi n =- 1,-2,... Kwa maadili hayo P tuna p ~ uk-e 0 kwa R-> 0. Tangu thamani R inaweza kuchaguliwa kiholela ndogo, basi Mr~" inaweza kuwa ndogo kama unavyotaka. Tangu |s t,| ^ Mr~p na c" haitegemei p, kisha c" = 0 saa Na= - 1, -2,..., ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

2. Hebu sasa tufikiri kwamba upanuzi wa Laurent una fomu (26.1). Mfululizo (26.1) ni mfululizo wa nguvu Na. kwa hivyo, inaungana sio tu katika eneo lililochomwa, lakini pia katika eneo lote z-zq ikiwa ni pamoja na uhakika zo; kiasi chake S(z) ni uchambuzi katika z na S(z) = )(z) kwa 0 z - zo R. Kwa hivyo kuna kikomo cha kikomo )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Kwa hiyo, hatua ya umoja zq

Z->Zo Z-*Zo

inayoweza kutolewa. Nadharia imethibitishwa.

Maoni. Kutoka kwa uthibitisho wa nadharia inafuata kwamba katika kitongoji kilichochomwa 0 z - zo ya hatua ya umoja inayoweza kutolewa kazi. f(z) sanjari na chaguo za kukokotoa 5(r), ambayo ni uchanganuzi katika mtaa mzima z - zo. Kwa hiyo, ikiwa tunaweka /(th) = S(zq), basi, bila kubadilisha maadili ya kazi f(z) katika sehemu zozote za kitongoji kilichochomwa, tutafanya uchanganuzi huu wa kazi katika Go, i.e. Hebu "tuondoe" kipengele. Hii inaelezea neno "kipengele kinachoweza kuondolewa". Ni kawaida kuzingatia pointi hizo kuwa za kawaida, na sio pointi za pekee za kazi f(z).

Fikiria, kwa mfano, kazi

Kwa mfano 26.1 ilionyeshwa kuwa Pm Nr) = 1. i.e. uhakika wa umoja

zq = 0 inayoweza kutolewa. Kuweka /i(0) = 1, kwa hivyo tunaondoa umoja na kupata kazi ambayo ni uchanganuzi katika hatua hiyo. zq = 0 (na katika ndege C).

Wacha sasa tuonyeshe miti hiyo kwa suala la upanuzi wa Laurent.

Nadharia 26.3. Sehemu iliyotengwa ya pekee Zo ya chaguo za kukokotoa f(z) ni nguzo ikiwa na iwapo tu, wakati sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent na kituo cha Zq ina idadi ndogo tu ya tofauti

kutoka kwa mgawo wa sifuri na n:

Ushahidi. 1. Hebu zq - pole, i.e. lim/( z) = oo.

Hebu tuthibitishe kwamba upanuzi wa Laurent wa kazi f(z) ina fomu (2G.2). Tangu lim f(z)= oo. basi kuna kitongoji kilichochomwa cha uhakika

ki zq. ambapo f(z) ni uchanganuzi na haina sufuri. Kisha kazi g(z) = 1 /f(z) pia itakuwa uchanganuzi katika mtaa huu uliotobolewa, na lim g(z)= 0. Kwa hiyo, Zo inaweza kutolewa *-? *0

hatua ya umoja ya kazi g(z). Hebu tufafanue g(z) kwa uhakika zo, kuweka g(zo)= 0. Kisha g(z) itakuwa uchanganuzi katika kitongoji kizima cha sehemu (isiyotobolewa). z 0 , na z 0 itakuwa sifuri yake pekee. Wacha tuonyeshe kwa N wingi (utaratibu) wa sifuri hii. Kama ilivyoonyeshwa katika §23, katika kitongoji cha uhakika kazi ya zq g(z) inaweza kuwakilishwa katika fomu (tazama (23.2))

na (z$) f 0 na y>(z) ni uchanganuzi katika eneo fulani la uhakika zo- Kwa sababu ip(z) kuendelea kwa hatua zo Na g>(zo) Ф 0" basi ip(z) haina sufuri katika eneo fulani la hatua hii. Kwa hivyo kipengele 1 /-p(z) pia itakuwa ya uchanganuzi katika kitongoji hiki na, kwa hivyo, inapanuka ndani yake katika safu ya Taylor:

Kufungua mabano na kubadilisha muundo wa coefficients, tunaandika upanuzi wa mwisho katika fomu.

wapi c_jv = 1> ya f 0. Kwa hivyo, sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent wa kazi / (r) ina tu nambari ya mwisho wanachama; tumefika kwenye usawa unaotakiwa (26.2).

2. Hebu katika kitongoji kilichochomwa cha pointi th kazi )(z) inawakilishwa na upanuzi wa Laurent (26.2) (kwa fomu ya kina zaidi, angalia (26.3)), sehemu kuu ambayo ina idadi maalum ya maneno, na Na- d" f 0. Ni muhimu kuthibitisha hilo Zq - pole ya kazi f(z). Kuzidisha usawa (26.3) kwa (G - G o) iV , tunapata kazi

Mfululizo katika (26.4) ni mfululizo wa nguvu ambao hubadilika kuwa kazi ya uchanganuzi sio tu katika sehemu iliyochomwa, lakini pia katika kitongoji kizima cha uhakika. Zq. Kwa hiyo kazi h(z) itakuwa uchanganuzi katika mtaa huu ikiwa tutaifafanua zaidi kwa kuweka h(zo)= s_dg f 0. Kisha

Kwa hivyo, hatua th ni pole, na Theorem 26.3 imethibitishwa.

Wingi (utaratibu) wa chaguo za kukokotoa sifuri g(z)= 1//(g) inaitwa utaratibu wa pole kazi ya th /(r). Kama N- utaratibu wa pole ya th, basi g(z)= (g - Zo) N ip(z), na (nenda) F 0, na, kama inavyoonyeshwa katika sehemu ya kwanza ya uthibitisho wa Theorem 26.3, upanuzi wa kazi /(r) ina fomu (26.3), ambapo c_/v f 0. Kinyume chake, ikiwa /(r) imepanuliwa katika mfululizo (26.3) na e-i F 0, basi

t.s N- mpangilio wa nguzo ya kazi /(r). Hivyo, mpangilio wa pole wa kazi ya zq/(G) sawa na idadi ya mgawo wa juu zaidi usio na nzero wa sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent katika kitongoji kilichotobolewa cha uhakika zq.(yaani sawa na nambari hii N, nini s_dg f 0 na Sp= 0 kwa P > N).

Hebu tuthibitishe taarifa ifuatayo, ambayo ni rahisi kwa maombi.

Muhimu 26.4. Jambo zq ni nguzo ya mpangilio N ya tamthiliya/(G) basi na lini tu/(G) kuwakilishwa katika fomu

wapi h(z) - kazi ya uchanganuzi katika eneo la uhakika th na h(zo) f 0.

Ushahidi. Kazi cp(z) = l/h(z) ni uchanganuzi katika baadhi ya ujirani wa nukta h. Hali ya Kanuni 26.4 ni sawa na yafuatayo:

Ndiyo maana zq - msururu wa sifuri N kazi g(z). na kwa hiyo nguzo ya wingi N kazi /(2).

II Mfano 26.5. Tafuta alama za pekee za chaguo za kukokotoa na kuamua aina zao.

Suluhisho: Pointi ambazo (z 2 + 1 )(z+ Z) 2 = 0. Ikiwa z 2 L- 1 = 0, kisha 2 = ±g Kama (z 4- 3) 2 = 0, basi z= -3. Kwa hiyo kazi ina pointi tatu za umoja z= g, 22 = -g, Z3 = - 3. Fikiria z:

G - pole ya kwanza (tulitumia Corollary 26.4). Inaweza kuthibitishwa kwa njia sawa kwamba 22 = -i pia pole ya utaratibu wa kwanza. Kwa 2z tunayo:

Wacha tuendelee kuzingatia kimsingi mambo ya umoja.

Nadharia 26.6. Sehemu iliyotengwa ya umoja zq ya chaguo za kukokotoa f(z) kimsingi ni ya umoja ikiwa na tu ikiwa sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent na kituo cha zq ina nyingi tofauti kabisa. sifuri, mgawo kutoka uk.

Ushahidi. Nadharia 26.6 inafuata moja kwa moja kutoka kwa Nadharia 26.2 na 26.3. Hakika, kama uhakika zq kimsingi ni maalum, basi sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent haiwezi kukosekana au kuwa na idadi maalum ya maneno (vinginevyo uhakika Zq itakuwa inayoweza kutolewa au nguzo). Kwa hiyo, idadi ya maneno katika sehemu kuu lazima iwe isiyo na mwisho.

Kinyume chake, ikiwa sehemu kuu ina maneno mengi sana, basi Zq haiwezi kuwa sehemu inayoondolewa au nguzo. Inafuata kwamba hatua hii kimsingi ni maalum.

Kulingana na ufafanuzi, hoja ya kimsingi ya umoja inaonyeshwa na ukweli kwamba kazi /(2) haina kikomo kisicho na mwisho kwa z ->zq. Zaidi mtazamo kamili Nadharia ifuatayo inaonyesha jinsi tabia ya utendaji si ya kawaida katika ujirani wa sehemu ya umoja.

Theorem 26.7 (nadharia ya Sokhotsky). Ikiwa zq ni muhimu kwa watu, uhakika wa chaguo za kukokotoa f(z), basi kwa mtu yeyote nambari changamano L, ikiwa ni pamoja na A = oh, kuna mlolongo wa pointi z n kiasi kwamba z n -> zo na lim f(zn) = A.

p->os

Ushahidi. Hebu kwanza tufikirie kesi hiyo A = oo. Katika sehemu ya kwanza ya uthibitisho wa Theorem 2G.2 tulithibitisha kwamba ikiwa f(z) imefungwa katika kitongoji fulani kilichochomwa cha uhakika r, kisha coefficients zote c", n = - 1,- 2,... ya sehemu kuu ni sawa na sifuri (na, kwa hiyo, umoja katika kwenda unaweza kuondolewa). Kwa kuwa kwa hali th ni hatua muhimu ya umoja, basi katika kitongoji chochote kilichochomwa cha uhakika th kazi f(r) haina kikomo. Wacha tuchukue kitongoji dhabiti 0 Z kama hicho f(zi) > 1 (kama |/(r)| z - zo I/2 kuna uhakika z-2 , ambayo |/(yy)| > 2, n.k.: katika kitongoji kilichotobolewa O 71. Ni dhahiri kwamba r„ -e go na lim /(r“) = oo. Kwa hivyo, katika kesi A = oo, Theorem 26.7

imethibitishwa.

Hebu sasa A f oo. Wacha kwanza tufikirie kuwa kuna kitongoji kilichochomwa 0

= -yy---- itakuwa ya uchanganuzi katika kitongoji hiki kilichochomwa na, kwa hivyo,

/(G) - A

Kwa hivyo, go ni sehemu ya pekee ya chaguo za kukokotoa Φ(r). Tutakuonyesha. kwamba r kimsingi ni sehemu ya umoja ya Φ(r). Hii inaweza kuwa si kweli. Kisha kuna kikomo lim Ф (r), finite au usio. Kwa muda

/(r) = A + , basi pia kuna Hsh /(r), ambayo inapingana na hali hiyo

F(g) ~ :-*z 0

Ninaona nadharia. Kwa hivyo, r0 kimsingi ni sehemu ya umoja wa chaguo za kukokotoa Φ(r). Kwa mujibu wa kile kilichothibitishwa hapo juu, kuna mlolongo wa pointi r n vile kwamba r n th na lim Ф (r n) = oo. Kutoka hapa

Tumethibitisha taarifa inayohitajika chini ya dhana kwamba /(r) F A katika baadhi ya kitongoji kilichochomwa cha uhakika kwenda- Wacha sasa tuchukue kwamba hii ni ya uwongo, i.e. katika kitongoji chochote kidogo kilichochomwa kiholela cha uhakika kuna uhakika kama huo G", hiyo /(r") = L. Kisha kwa yoyote P katika kitongoji kilichochomwa 0 f(z u) = А. Kwa hivyo, taarifa inayotakiwa ni kweli P-yuo

katika hali zote, na Theorem 26.7 imethibitishwa.

Kulingana na Theorem 26.7 (Sokhotsky), katika kitongoji chochote (kidogo kiholela) kilichochomwa cha sehemu ya kipekee, chaguo la kukokotoa /(r) huchukua maadili karibu kiholela na nambari yoyote kutoka kwa ndege tata iliyopanuliwa C.

Ili kusoma alama za umoja zilizotengwa, upanuzi wa Taylor unaojulikana wa utendaji wa kimsingi mara nyingi ni muhimu.

Mfano 2G.8. Tambua aina ya hatua ya umoja zq = 0 kwa kazi

Imetatuliwa na e. Hebu tupanue nambari na kipunguzo katika mfululizo wa Taylor kwa uwezo wa g. Kubadilisha katika (22.11) 3 z badala ya r na kutoa 1, tunapata

Kwa kutumia (22.12), tunapata upanuzi wa denominator:

Msururu katika upanuzi huu huungana katika ndege nzima tata €. Tuna

na /2(2) ni anaritic katika kitongoji cha uhakika zo = 0 (na hata kwenye ndege nzima) na /2(20) F 0, basi h(z) pia ni uchanganuzi katika baadhi ya kitongoji cha uhakika gF 0. Kulingana na Corollary 26.4, uhakika Zo = 0 ndio nguzo ya utaratibu N=4.

II Mfano 26.9. Tafuta alama za umoja za chaguo za kukokotoa f(z)= sin j - na kuamua aina zao.

R e katika e i e. Chaguo hili la kukokotoa lina nukta moja yenye kikomo ya umoja zq = 1. Katika pointi nyingine kutoka C kazi w =--- uchambuzi; hivyo kazi dhambi w itakuwa uchambuzi.

Kubadilisha - badala ya r katika upanuzi wa sine (22.12), tunapata

Tulipata mtengano kazi dhambi-katika safu ya Laurent katika kitongoji kilichochomwa cha uhakika 2o = 1. Kwa kuwa upanuzi unaotokana una maneno mengi sana na nguvu hasi(g - 1), basi zq = 1 kimsingi ni sehemu ya umoja (saa kwa kesi hii upanuzi wa Laurent unajumuisha tu sehemu kuu, na sehemu sahihi kutokuwepo).

Kumbuka kwamba iliwezekana kuanzisha asili ya umoja katika kesi hii moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi, bila kutumia upanuzi wa mfululizo. Hakika, kuna mlolongo (r",) na (2") unaogeukia zo= 1, na vile vile f(z"n)= 1, /(2") = 0 (onyesha mfuatano kama huo mwenyewe). f(z) haina kikomo z -> 1 na kwa hivyo uhakika zq - 1 kimsingi ni maalum.

Wacha tuanzishe dhana ya upanuzi wa Laurent wa kazi katika kitongoji cha uhakika Zq = 00 na fikiria uhusiano kati ya upanuzi na asili ya umoja katika hatua hii. Kumbuka kuwa ufafanuzi wa nukta ya pekee iliyotengwa na aina yake (inayoondolewa, nguzo, au kimsingi umoja) hupitishwa kwenye kesi. zq = oc bila mabadiliko. Lakini Nadharia 26.2. 26.3 na 26.6, kuhusiana na asili ya upanuzi wa Laurent, inahitaji kubadilishwa. Hoja ni kwamba wanachama cn(z- 2o) uk. P= -1,-2,..., sehemu kuu, ikifafanua "kutokuwa na mpangilio" wa chaguo la kukokotoa karibu na sehemu ya mwisho. Zq, kama 2 inaelekea oo, watafanya "sahihi" (huelekea 0). Kinyume chake, wanachama wa sehemu sahihi na P= 1,2,... itaelekea oo; huamua asili ya kipengele ndani Zq = oo. Kwa hivyo, sehemu kuu ya upanuzi katika eneo la oo itajumuisha masharti na nguvu chanya P, na moja sahihi - na hasi.

Hebu tuanzishe kigezo kipya w = 12. Kazi tv = 1/2, iliyopanuliwa ili u(oo) = 0, moja-kwa-moja na ramani ya kitongoji isivyo rasmi. z > R pointi zq = 00 karibu na |w| wq = 0. Ikiwa kitendakazi f(z) uchanganuzi katika kitongoji kilichochomwa R z Zq = oc, basi kazi G(w) = f(l/w) itakuwa uchambuzi katika kitongoji kikubwa 0 wo = 0. Tangu saa 2 -> oo kutakuwa na w-> 0, basi

Ndiyo maana G(w) ina katika hatua wq = 0 ni kipengele cha aina sawa na f(z) kwa uhakika Zq = 00. Hebu tupanue kazi G(w) kwenye mfululizo wa Laurent katika kitongoji kilichochomwa cha uhakika wo = 0:

Hesabu zilizo upande wa kulia wa (26.5) zinawakilisha sehemu za kawaida na kuu za upanuzi, mtawalia. Hebu kuendelea na kutofautiana z, kubadilisha w = 1/z:

Kuteua P= -A*, 6* = 6_„ = s uk na kuliona hilo G(l/z) = f(z), tunapata

Mtengano (2G.G) unaitwa Laurent upanuzi wa chaguo za kukokotoa f(z) katika kitongoji kilichotobolewa cha uhakika zq= oo. Jumla ya kwanza katika (2G.6) inaitwa sehemu ya kulia, na jumla ya pili ni sehemu kuu ya mtengano huu. Kwa kuwa hesabu hizi zinalingana na sehemu sahihi na kuu za upanuzi (26.5), basi analogi za Nadharia 26.2, 26.3 na 26.6 ni halali kwa upanuzi (26.6). Kwa hivyo, nadharia ifuatayo itakuwa analog ya Theorem 26.2.

Nadharia 26.10. Sehemu ya pekee ya pekeeZq - Mfumo wa Uendeshaji (kazi/(G) inaweza kutolewa ikiwa na tu ikiwa upanuzi wa Laurent katika kitongoji kilichochomwa cha hatua hii una fomu.

t.s lina sehemu sahihi tu.

Wacha tuweke /(oo) = ushirikiano. Utendakazi unaofafanuliwa na mfululizo (26.7) unaoungana katika ujirani z > R uhakika 2o = oc, kuitwa uchambuzi katika hatua z o = oo. (Kumbuka kuwa ufafanuzi huu ni sawa na uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa G(w) kwa uhakika wo = 0.)

Mfano 26.11. Chunguza nukta ya umoja zq = oo ya chaguo la kukokotoa

Kwa kuwa kikomo ni kikomo, basi zo = oo ni sehemu ya umoja inayoweza kutolewa ya chaguo za kukokotoa /(r). Ikiwa tutaweka /(oo) = lim J(z)= 0, basi f(z) itakuwa uchambuzi

tic kwa uhakika Zo= os. Wacha tuonyeshe jinsi ya kupata upanuzi unaolingana (26.7). Hebu kuendelea na kutofautiana w = 1 fz. Kubadilisha z= 1 /?е, tunapata

(usawa wa mwisho ni halali katika kitongoji kilichotobolewa cha nukta wо = 0, lakini tutafafanua zaidi (7(0) = 0). Chaguo la kukokotoa linalotokana lina alama za umoja. w =±i, w =-1/3, na kwa uhakika Wq = 0 ni uchanganuzi. Kitendaji kinachofungua G(w) kwa digrii w(kama ilivyofanywa katika mfano 25.7) na kubadilisha katika matokeo mfululizo wa nguvu w = 1/z, tunaweza kupata upanuzi (26.7) wa chaguo la kukokotoa f(z).

Nadharia 26.3 ya kesi hiyo zo= oo itaandikwa upya katika fomu ifuatayo.

Nadharia 26.12. Sehemu ya pekee ya pekee th = os function f(z) ni nguzo ikiwa na tu ikiwa sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent (26.6) ina idadi pungufu ya vigawo vya nonzero Na":

Hapa mfululizo ni sehemu ya kawaida, na polynomial katika mabano ni sehemu kuu ya upanuzi. Kuzidisha nguzo katika oc hufafanuliwa kama wingi wa nguzo wq = vitendaji 0 G(z). Ni rahisi kuona kwamba wingi wa pole unapatana na nambari N katika (26.8).

Q p | (i 2 + 1)(z+3) 2

Kazi. Onyesha kwamba utendaji f(z) =-- -- imeingia

hatua zo = oo pole ya utaratibu 3.

Nadharia ya 26.6 kwenye kipengele cha umoja inaweza kuandikwa upya kwa kesi hiyo zo= os karibu neno na neno, na hatuzingatii hili kwa undani.

Mifano zilizoelezwa na mifumo ya uhuru mbili milinganyo tofauti.

Ndege ya awamu. Picha ya awamu. Mbinu ya Isoclin. Isoclines kuu. Uendelevu hali thabiti. Mifumo ya mstari. Aina za pointi za umoja: nodi, tandiko, lengo, kituo. Mfano: athari za kemikali agizo la kwanza.

Matokeo ya kuvutia zaidi juu ya uundaji wa ubora wa sifa za mifumo ya kibaolojia yalipatikana kwa kutumia mifano ya milinganyo miwili tofauti inayoruhusu. utafiti wa ubora kwa kutumia mbinu ndege ya awamu. Fikiria mfumo wa milinganyo miwili ya kawaida ya kutofautisha inayojitegemea mtazamo wa jumla

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- kazi zinazoendelea, imefafanuliwa katika eneo fulani G Ndege ya Euclidean ( x,y- Kuratibu za Cartesian) na kuwa na katika eneo hili derivatives zinazoendelea za utaratibu sio chini kuliko ya kwanza.

Mkoa G inaweza kuwa na ukomo au mdogo. Ikiwa vigezo x, y kuwa na maana maalum ya kibayolojia (mkusanyiko wa vitu, idadi ya spishi) mara nyingi eneo hilo G inawakilisha roboduara chanya ya nusu-ndege ya kulia:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Mkusanyiko wa vitu au idadi ya spishi pia inaweza kupunguzwa kutoka juu na kiasi cha chombo au eneo la makazi. Kisha anuwai ya anuwai ina fomu:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

Vigezo x, y mabadiliko ya wakati kulingana na mfumo wa equations (4.1), ili kila hali ya mfumo inalingana na jozi ya maadili tofauti ( x, y).

Kinyume chake, kila jozi ya vigezo ( x, y) inalingana hali fulani mifumo.

Fikiria ndege iliyo na shoka za kuratibu ambazo maadili ya anuwai yamepangwa x,y. Kila nukta M ndege hii inalingana na hali fulani ya mfumo. Ndege hii inaitwa awamu ya ndege na inawakilisha jumla ya majimbo yote ya mfumo. Hoja M(x,y) inaitwa kiwakilishi au kiwakilishi.

Ingiza wakati wa kuanzia wakati t=t Viwianishi 0 vya sehemu inayowakilisha M 0 (x(t 0),y(t 0)). Katika kila wakati unaofuata kwa wakati t hatua inayowakilisha itabadilika kwa mujibu wa mabadiliko katika maadili ya vigezo x(t),y(t). Mkusanyiko wa pointi M(x(t),y (t)) kwenye ndege ya awamu, nafasi ambayo inalingana na majimbo ya mfumo katika mchakato wa kubadilisha vigezo kwa wakati. x(t), y(t) kulingana na equations (4.1), inaitwa trajectory ya awamu.

Seti ya trajectories ya awamu ya maadili tofauti ya awali ya vigezo hutoa "picha" inayoonekana kwa urahisi ya mfumo. Ujenzi picha ya awamu inakuwezesha kuteka hitimisho kuhusu asili ya mabadiliko katika vigezo x, y bila ujuzi wa ufumbuzi wa uchambuzi wa mfumo wa awali wa equations(4.1).

Ili kuonyesha picha ya awamu, ni muhimu kujenga uwanja wa vekta wa maelekezo ya trajectories ya mfumo katika kila hatua ya ndege ya awamu. Kuweka ongezekoD t>0,tunapata nyongeza zinazolingana D x Na D y kutoka kwa maneno:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

Mwelekeo wa Vector siku/dx kwa uhakika ( x, y) inategemea ishara ya kazi P(x, y), Q(x,y) na inaweza kutolewa na meza:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Suluhisho la equation hii y = y(x,c), au kwa uwazi F(x,y)=c, Wapi Na- mara kwa mara ya ujumuishaji, inatoa familia ya mikondo muhimu ya equation (4.2) - trajectories awamu mfumo (4.1) kwenye ndege x, y.

Mbinu ya Isocline

Kuunda picha ya awamu wanayotumia njia ya isocline - mistari huchorwa kwenye ndege ya awamu inayokatiza mikunjo muhimu kwa pembe moja maalum. Equation ya isocline inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka (4.2). Hebu tuweke

Wapi A– thamani fulani ya mara kwa mara. Maana A inawakilisha tangent ya pembe ya mwelekeo wa tangent kwa trajectory ya awamu na inaweza kuchukua maadili kutoka -¥ kwa + ¥ . Kubadilisha badala yake siku/dx katika (4.2) wingi A tunapata equation ya isocline:

.(4.3)

Mlinganyo (4.3) hufafanua katika kila sehemu ya ndege tanjiti ya kipekee kwa mkunjo muhimu unaolingana, isipokuwa mahali ambapo P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , ambayo mwelekeo wa tangent huwa hauna uhakika, kwani thamani ya derivative inakuwa ya uhakika:

.

Hatua hii ndio sehemu ya makutano ya isoclines zote - hatua maalum. Ndani yake, derivatives ya wakati wa vigezo wakati huo huo hupotea x Na y.

Kwa hiyo, katika hatua ya umoja, viwango vya mabadiliko ya vigezo ni sifuri. Kwa hivyo, nukta ya umoja ya milinganyo tofauti ya trajectories ya awamu (4.2) inalingana na hali ya stationary ya mfumo(4.1), na kuratibu zake ni maadili ya stationary ya vigezo x, y.

Ya riba hasa ni isoclines kuu:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – isocline ya tangents ya usawa na

dy/dx=¥ ,Q(x,y)=0 – isocline ya tangents wima.

Kwa kujenga isoclini kuu na kupata sehemu yao ya makutano (x,y), ambayo kuratibu zake zinakidhi masharti:

kwa hivyo tutapata hatua ya makutano ya isoclines zote za ndege ya awamu, ambayo mwelekeo wa tangents kwa trajectories ya awamu hauna uhakika. Hii - uhakika wa umoja, ambayo inalingana hali ya stationary ya mfumo(Mchoro 4.2).

Mfumo (4.1) una hali nyingi kama vile kuna sehemu za makutano ya isoclini kuu kwenye ndege ya awamu.

Kila trajectory ya awamu inalingana na seti ya harakati za mfumo wa nguvu, unaopitia majimbo sawa na tofauti kutoka kwa kila mmoja tu mwanzoni mwa hesabu ya wakati.

Ikiwa hali ya nadharia ya Cauchy imeridhika, basi kupitia kila nukta kwenye nafasi x, y, t kuna curve moja tu muhimu. Vile vile ni kweli, kutokana na uhuru, kwa trajectories ya awamu: trajectory ya awamu moja inapita kupitia kila hatua ya ndege ya awamu.

Utulivu wa Hali thabiti

Hebu mfumo uwe katika hali ya usawa.

Halafu sehemu inayowakilisha iko katika moja ya vidokezo vya mfumo, ambayo, kwa ufafanuzi:

.

Ikiwa sehemu ya umoja ni thabiti au la inabainishwa na iwapo sehemu inayowakilisha inaondoka au la kwa mkengeuko mdogo kutoka kwa hali ya tuli. Kuhusiana na mfumo wa milinganyo miwili, ufafanuzi wa utulivu katika lughae, dkama ifuatavyo.

Hali ya usawa ni thabiti ikiwa kwa safu yoyote ya mikengeuko kutoka kwa hali ya usawa. (e )unaweza kutaja eneo d (e ), inayozunguka hali ya usawa na kuwa na mali ambayo hakuna trajectory inayoanza ndani ya kanda d , kamwe kufikia mpaka e . (Mchoro 4.4)

Kwa darasa kubwa la mifumo - mifumo mibaya – asili ya tabia ambayo haibadilika na mabadiliko madogo katika mfumo wa equations, habari juu ya aina ya tabia katika eneo la hali ya utulivu inaweza kupatikana kwa kuchunguza sio asili, lakini iliyorahisishwa. linearized mfumo.

Mifumo ya mstari.

Fikiria mfumo wa mbili milinganyo ya mstari:

.(4.4)

Hapa a, b, c, d- mara kwa mara, x, y- Kuratibu za Cartesian kwenye ndege ya awamu.

Tutatafuta suluhisho la jumla katika fomu:

.(4.5)

Wacha tubadilishe misemo hii katika (4.4) na tupunguze kwa e l t:

(4.6)

Mfumo wa aljebra wa milinganyo (4.6) na haijulikani A, B ina suluhu isiyo ya sifuri ikiwa tu kibainishi chake, kinachojumuisha coefficients kwa zisizojulikana, ni sawa na sifuri:

.

Kupanua kibainishi hiki, tunapata mlingano wa tabia ya mfumo:

.(4.7)

Kutatua mlingano huu hupeana thamani za kipeol 1,2 , ambayo maadili yasiyo ya sifuri yanawezekana A Na B ufumbuzi wa equation (4.6). Maana hizi ni

.(4.8)

Ikiwa usemi mkali ni mbaya, basil 1,2 nambari ngumu za kuunganisha. Hebu tuchukulie kwamba mizizi yote miwili ya equation (4.7) ina sehemu zisizo halisi na kwamba hakuna mizizi mingi. Kisha suluhisho la jumla la mfumo (4.4) linaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vielelezo na vielezi.l 1 , l 2 :

(4.9)

Kuchambua asili ya trajectories iwezekanavyo ya mfumo kwenye ndege ya awamu, tunatumia mabadiliko ya kuratibu ya homogeneous, ambayo itasababisha mfumo fomu ya kisheria:

,(4.10)

kuruhusu uwakilishi rahisi zaidi kwenye ndege ya awamu ikilinganishwa na mfumo wa awali (4.4). Hebu tutambulishe viwianishi vipyaξ , η kulingana na formula:

(4.1)

Kutoka kwa mwendo wa algebra ya mstari inajulikana kuwa katika kesi ya usawa hadi sifuri sehemu halisil 1 , l 2 mfumo wa asili (4.4) unaweza kubadilishwa kila wakati kwa kutumia mabadiliko (4.11) hadi fomu ya kisheria (4.10) na tabia yake kwenye ndege ya awamu inaweza kusomwa.ξ , η . Wacha tuzingatie kesi tofauti ambazo zinaweza kujidhihirisha hapa.

Mizizi λ 1 , λ 2 - halali na ya ishara sawa

Katika kesi hii mgawo wa mabadiliko ni halisi, tunatoka kwenye ndege halisix,ykwa ndege halisi ξ, η. Kugawanya ya pili ya equations (4.10) na ya kwanza, tunapata:

.(4.12)

Kuunganisha equation hii, tunapata:

Wapi .(4.13)

Wacha tukubali kuelewa kwa λ 2 mzizi wa mlingano wa tabia na moduli kubwa, ambayo haikiuki ujumla wa mawazo yetu. Halafu, kwa kuwa katika kesi inayozingatiwa mizizi λ 1 , λ 2 - halali na ya ishara sawa,a>1 , na tunashughulika na mikunjo muhimu ya aina ya kimfano.

Mikondo yote muhimu (isipokuwa mhimili η , ambayo inalingana na ) gusa kwenye asili ya mhimili ξ, ambayo pia ni mkunjo muhimu wa mlinganyo (4.11). Asili ya kuratibu ni hatua maalum.

Hebu sasa tujue mwelekeo wa harakati ya hatua inayowakilisha kando ya trajectories ya awamu. Ikiwa λ 1 , λ 2 ni hasi, basi, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa milinganyo (4.10), |ξ|, |η| kupungua kwa muda. Hoja inayowakilisha inakaribia asili ya kuratibu, lakini kamwe, hata hivyo, haifikii. Vinginevyo, hii ingepingana na nadharia ya Cauchy, ambayo inasema kwamba njia moja tu ya awamu hupita kupitia kila sehemu ya ndege ya awamu.

Sehemu maalum kama hiyo ambayo curves muhimu hupita, kama familia ya parabolas hupitia asili na inaitwa nodi (Mtini. 4.5)

Hali ya usawa ya aina ya nodi kwa λ 1 , λ 2 < 0 Lyapunov ni thabiti, kwani sehemu inayowakilisha inasonga kwenye mikondo yote muhimu kuelekea asili ya kuratibu. Hii fundo imara. Ikiwa λ 1 , λ 2 > 0, basi |ξ|, |η| kuongezeka kwa muda na kiashiria kinachowakilisha husogea mbali na asili ya viwianishi. Katika kesi hii, hatua maalum– nodi isiyo imara .

Kwenye ndege ya awamu x, y asili ya jumla ya ubora wa tabia ya curves muhimu itahifadhiwa, lakini tangents kwa curves muhimu hazitaambatana na axes za kuratibu. Pembe ya mwelekeo wa tangents hizi itatambuliwa na uwiano wa coefficients α , β , γ , δ katika milinganyo (4.11).

Mizizi λ 1 , λ 2 - ni halali na za ishara tofauti.

Badilisha kutoka kuratibu x,y kwa kuratibu ξ, η tena halisi. Milinganyo ya viambajengo vya kisheria tena ina umbo (4.10), lakini sasa ishara za λ. 1 , λ 2 ni tofauti. Equation ya trajectories ya awamu ina fomu:

Wapi, (4.14)

Kuunganisha (4.14), tunapata

(4.15)

Hii equation inafafanua familia ya mikunjo ya aina ya hyperbolic, ambapo zote mbili huratibu shoka- asymptotes (saa a=1 tungekuwa na familia ya hyperbolas equilateral). Axes za kuratibu katika kesi hii pia ni curves muhimu– hizi zitakuwa curve muhimu tu zinazopita kwenye asili. Kila mojaambayo ina trajectories ya awamu tatu: ya harakati mbili hadi hali ya usawa (au kutoka kwa hali ya usawa) na kutoka kwa hali ya usawa. Mikondo mingine yote muhimu– ni hyperbolas ambazo hazipitii asili (Mtini. 4.6) Hatua hii maalum inaitwa "tando ». Mistari ya ngazi karibu na tandiko la mlima hufanya kazi sawa na njia za awamu karibu na tandiko.

Wacha tuzingatie asili ya harakati ya sehemu inayowakilisha kando ya trajectories za awamu karibu na hali ya usawa. Hebu, kwa mfano,λ 1 >0 , λ 2<0 . Kisha hatua inayowakilisha imewekwa kwenye mhimili ξ , itaondoka kwenye asili, na kuwekwa kwenye mhimili η – itakaribia kwa muda usiojulikana asili ya kuratibu, bila kuifikia kwa muda mfupi. Popote ambapo sehemu inayowakilisha iko wakati wa mwanzo (isipokuwa nukta ya umoja na alama kwenye asymptote. η =0), hatimaye itaondoka kwenye hali ya msawazo, hata kama mwanzoni itasogea kwenye moja ya mikondo muhimu kuelekea sehemu ya umoja..

Ni dhahiri kwamba sehemu ya umoja kama vile tandiko huwa haina msimamo . Tu chini ya hali maalum za awali zilizochaguliwa kwenye asymptoteη =0 mfumo utakaribia hali ya usawa. Hata hivyo, hii haipingani na taarifa kuhusu kuyumba kwa mfumo. Ikiwa tutahesabu, kwamba majimbo yote ya awali ya mfumo kwenye ndege ya awamu yanawezekana kwa usawa, basi uwezekano wa hali hiyo ya awali ambayo inalingana na harakati katika mwelekeo. Kwa nukta moja ni sawa na sifuri. Kwa hiyo, harakati yoyote ya kweli itaondoa mfumo kutoka kwa hali ya usawa.Kurudi kwenye kuratibux,y,tutapata picha sawa ya ubora wa asili ya harakati za trajectories karibu na asili ya kuratibu.

Mpaka kati ya kesi zinazozingatiwa za nodi na tandiko ni kesi Lini moja ya viashiria vya tabia, kwa mfano λ 1 , hutoweka, ambayo hutokea wakati kiashiria cha mfumo- kujieleza tangazo-bc=0(tazama fomula 4.8 ). Katika kesi hii, coefficients ya pande za mkono wa kulia wa milinganyo (4.4) ni sawia.:

na mfumo una kama usawa wake unasema pointi zote za mstari:

Mikondo muhimu iliyobaki ni familia ya mistari ya moja kwa moja inayofanana na mgawo wa angular , ambapo alama zinazowakilisha ama zinakaribia hali ya usawa au kuondoka kutoka kwayo, kulingana na ishara ya mzizi wa pili wa mlingano wa tabia λ. 2 = a+d.(Mchoro 4. 7 ) Katika kesi hii, kuratibu za hali ya usawa hutegemea thamani ya awali ya vigezo.

Mizizi λ 1 , λ 2 – changamanokuunganisha

Katika kesi hii, kwa kwelix Na y tutafanya hivyo kuwa na viunganishi tata ξ , η (4.10) . Hata hivyo, kwa kuanzisha mabadiliko mengine ya kati, inawezekana pia katika kesi hii kupunguza kuzingatia kwa mabadiliko halisi ya mstari wa homogeneous. Hebu tuweke:

(4.16)

Wapi a,b, Na wewe, v – maadili halisi. Inaweza kuonyeshwa kuwa mabadiliko kutokax,y Kwa wewe, v ni, chini ya mawazo yetu, halisi, mstari, homogeneous na kibainishi tofauti na sufuri. Kwa mujibu wa milinganyo(4.10, 4.16) tunayo:

wapi

(4.17)

Kugawanya ya pili ya milinganyo na ya kwanza, tunapata:

ambayo ni rahisi kuunganishwa, ikiwa tunaenda kwenye mfumo wa kuratibu wa polar (r, φ ) . Baada ya uingizwaji tunatoka wapi:

.(4.18)

Kwa hivyo, kwenye ndege ya awamuwewe, vtunashughulika na familia ya spirals ya logarithmic, ambayo kila moja inahatua ya asymptotic kwenye asili.Sehemu ya umoja, ambayo ni sehemu isiyo na dalili ya mikunjo yote muhimu ambayo ina umbo la ond., zilizowekwa katika kila mojarafiki, inaitwa kuzingatia ( Mchoro.4.8 ) .

Wacha tuzingatie asili ya harakati ya sehemu inayowakilisha kwenye trajectories za awamu. Kuzidisha kwanza ya milinganyo (4.17) kwau, na ya pili v na kuongeza, tunapata:

Wapi

Hebu a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . Sehemu inayowakilisha basi inakaribia asili ya kuratibu bila kuifikia kwa wakati maalum. Hii ina maana kwamba trajectories awamu ni ond inaendelea na yanahusiana na oscillations damped vigezo. Hii - umakini thabiti .

Katika kesi ya mwelekeo thabiti, kama ilivyo kwa nodi thabiti, sio tu hali ya Lyapunov imeridhika, lakini pia mahitaji magumu zaidi. Yaani, kwa mikengeuko yoyote ya awali, mfumo, baada ya muda, utarudi karibu kama unavyotaka kwa nafasi ya usawa. Utulivu kama huo, ambao kupotoka kwa awali sio tu hauzidi kuongezeka, lakini kuoza, kuelekeza sifuri, inaitwa. utulivu kabisa .

Ikiwa katika formula (4.18) a 1 >0 , basi hatua inayowakilisha inasonga mbali na asili, na tunashughulika nayo umakini usio thabiti . Wakati wa kusonga kutoka kwa ndegewewe, vkwa ndege ya awamux, yspirals pia itabaki spirals, lakini itakuwa deformed.

Hebu sasa tufikirie kesi wakati gania 1 =0 . Njia za awamu kwenye ndegewewe, vkutakuwa na miduara ambayo kwenye ndegex,yyanahusiana na duaradufu:

Hivyo, linia 1=0 kupitia hatua maalumx= 0, y= 0 hakuna curve muhimu inapita. Sehemu kama hiyo ya pekee, karibu na ambayo curves muhimu zimefungwa, haswa, duaradufu zilizowekwa ndani ya kila mmoja na kuziba sehemu ya umoja, inaitwa kituo.

Kwa hivyo, aina sita za majimbo ya usawa zinawezekana, kulingana na asili ya mizizi ya equation ya tabia (4.7). Mtazamo wa trajectories ya awamu kwenye ndege x, y kwa kesi hizi sita zimeonyeshwa kwenye Mtini. 4.9.

Mchele. 4.9.Aina za picha za awamu katika eneo la hali ya kusimama kwa mfumo wa milinganyo ya mstari (4.4).

Aina tano za hali za usawa ni mbaya; tabia zao hazibadilika na mabadiliko madogo ya kutosha katika pande za kulia za milinganyo (4.4). Katika kesi hiyo, mabadiliko si tu katika pande za kulia, lakini pia katika derivatives yao ya kwanza ya utaratibu lazima iwe ndogo. Hali ya sita ya usawa - katikati - sio mbaya. Kwa mabadiliko madogo katika vigezo vya upande wa kulia wa equations, inakuwa mtazamo thabiti au usio na uhakika.

Mchoro wa bifurcation

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

. (4.11)

Kisha equation ya tabia itaandikwa kama:

. (4.12)

Fikiria ndege iliyo na viwianishi vya Cartesian vya mstatili s , D na alama juu yake maeneo yanayolingana na aina moja au nyingine ya hali ya usawa, ambayo imedhamiriwa na asili ya mizizi ya equation ya tabia.

.(4.13)

Hali ya utulivu wa hali ya usawa itakuwa uwepo wa sehemu mbaya ya yl 1 na l 2 . Hali ya lazima na ya kutosha kwa hili ni utimilifu wa kutofautianas > 0, D > 0 . Katika mchoro (4.15), hali hii inafanana na pointi ziko katika robo ya kwanza ya ndege ya parameter. Jambo la umoja litakuwa lengo ikiwal 1 na l 2 changamano. Hali hii inafanana na pointi hizo za ndege ambayo , hizo. pointi kati ya matawi mawili ya parabolas 2 = 4 D. Axle pointi s = 0, D>0, inalingana na hali za usawa za aina ya kituo. Vile vile,l 1 na l 2 - ni halali, lakini ya ishara tofauti, i.e. hatua ya umoja itakuwa tandiko ikiwa D<0, na kadhalika. Matokeo yake, tunapata mchoro wa ugawaji wa ndege ya parameter s, D, katika maeneo yanayolingana na aina tofauti za majimbo ya usawa.

Mchele. 4.10. Mchoro wa bifurcation

kwa mfumo wa milinganyo ya mstari 4.4

Ikiwa coefficients ya mfumo wa mstari a, b, c, d hutegemea parameta fulani, basi wakati paramu hii inabadilika, maadili pia yatabadilikas , D . Wakati wa kuvuka mipaka, tabia ya picha ya awamu inabadilika kwa ubora. Kwa hiyo, mipaka hiyo inaitwa mipaka ya bifurcation - kwa pande tofauti za mpaka, mfumo una picha mbili za awamu tofauti na, ipasavyo, aina mbili tofauti za tabia.

Mchoro unaonyesha jinsi mabadiliko hayo yanaweza kutokea. Ikiwa tunatenga kesi maalum - asili ya kuratibu - basi ni rahisi kuona kwamba tandiko linaweza kubadilika kuwa nodi, thabiti au isiyo na msimamo wakati wa kuvuka mhimili wa kuratibu. Fundo thabiti linaweza kuingia kwenye tandiko au kwenye mwelekeo thabiti, nk. Kumbuka kwamba mabadiliko ya nodi imara - lengo imara na nodi imara - mtazamo usio na utulivu sio bifurcations, kwani topolojia ya nafasi ya awamu haibadilika. Tutazungumza zaidi kuhusu topolojia ya nafasi ya awamu na mabadiliko ya sehemu mbili katika Mhadhara wa 6.

Wakati wa mabadiliko ya bifurcation, asili ya utulivu wa hatua ya umoja hubadilika. Kwa mfano, mtazamo thabiti kupitia katikati unaweza kugeuka kuwa mtazamo usio na uhakika. Udanganyifu huu unaitwa Mgawanyiko wa Andronov-Hopf kwa majina ya wanasayansi walioichunguza. Wakati wa mgawanyiko huu katika mifumo isiyo ya mstari, mzunguko wa kikomo huzaliwa, na mfumo unakuwa wa kujitegemea (ona Hotuba ya 8).

Mfano. Mfumo wa mmenyuko wa kemikali wa mstari

Dawa X hutiririka kutoka nje kwa kasi isiyobadilika, hubadilika kuwa dutu Y na kwa kasi inayolingana na mkusanyiko wa dutu hii. Y, huondolewa kutoka kwa nyanja ya majibu. Miitikio yote ni ya mpangilio wa kwanza, isipokuwa utitiri wa dutu kutoka nje, ambayo ni ya sifuri. Mpango wa majibu inaonekana kama hii:

(4.14)

na inaelezewa na mfumo wa equations:

(4.15)

Tunapata viwango vilivyosimama kwa kusawazisha pande za kulia na sifuri:

.(4.16)

Hebu fikiria picha ya awamu ya mfumo. Wacha tugawanye equation ya pili ya mfumo (4.16) na ya kwanza. Tunapata:

.(4.17)

Equation (4.17) huamua tabia ya vigezo kwenye ndege ya awamu. Wacha tujenge picha ya awamu ya mfumo huu. Kwanza, hebu tuchore isoclines kuu kwenye ndege ya awamu. Mlinganyo wa isocline ya tangenti wima:

Equation ya isocline ya tangenti mlalo:

Sehemu ya umoja (hali ya kusimama) iko kwenye makutano ya isoclines kuu.

Sasa hebu tuamue kwa pembe gani shoka za kuratibu zinaingiliana na curves muhimu.

Kama x= 0, basi.

Hivyo, tangent ya tangent kwa curves muhimu y=y(x), kukatiza mhimili wa kuratibu x=0, ni hasi katika nusu-ndege ya juu (kumbuka kwamba vigezo x, y kuwa na maadili ya mkusanyiko, na kwa hiyo tunavutiwa tu na roboduara ya juu ya kulia ya ndege ya awamu). Katika kesi hii, tangent ya angle ya tangent huongezeka kwa umbali kutoka kwa asili.

Fikiria mhimili y= 0. Katika hatua ambapo mhimili huu unaingiliana na mikondo muhimu, huelezewa na mlinganyo

Katika tangent ya mteremko wa mikondo muhimu inayovuka mhimili wa abscissa ni chanya na huongezeka kutoka sifuri hadi infinity kwa kuongezeka. x.

Katika .

Kisha, pamoja na ongezeko zaidi, tangent ya pembe ya mwelekeo hupungua kwa thamani kamili, inabaki kuwa hasi na inaelekea -1 kwa x ® ¥ . Kujua mwelekeo wa tangents kwa curves muhimu kwenye isoclines kuu na kwenye axes za kuratibu, ni rahisi kujenga picha nzima ya trajectories ya awamu.

Hebu tuanzishe asili ya utulivu wa hatua ya umoja kwa kutumia njia ya Lyapunov. Kiamuzi cha tabia ya mfumo kina fomu:

.

Kupanua kibainishi, tunapata equation ya tabia ya mfumo: , i.e. Mizizi ya mlingano wa tabia zote mbili ni hasi. Kwa hiyo, hali ya stationary ya mfumo ni nodi imara. Katika kesi hii, mkusanyiko wa dutu hii X huelekea katika hali ya kusimama daima monotonically, mkusanyiko wa dutu Y unaweza kupita kwa min au max. Njia za oscillatory haziwezekani katika mfumo kama huo.

Mfululizo wa Taylor hutumika kama zana madhubuti ya kusoma vitendaji ambavyo ni vya uchanganuzi katika zol ya duara Ili kusoma vitendaji ambavyo ni vya uchanganuzi katika kikoa cha pete, inageuka kuwa inawezekana kuunda upanuzi katika nguvu chanya na hasi (z - zq) ya fomu. ambayo yanajumuisha upanuzi wa Taylor. Mfululizo (1), unaoeleweka kama jumla ya safu mbili, unaitwa safu ya Laurent. Ni wazi kwamba eneo la muunganiko la mfululizo (1) ni sehemu ya kawaida ya maeneo ya muunganiko ya kila mfululizo (2). Tumtafute. Eneo la muunganiko wa safu ya kwanza ni duara ambayo radius imedhamiriwa na fomula ya Cauchy-Hadamard. Ndani ya mduara wa muunganisho, mfululizo (3) hubadilika kuwa kazi ya uchanganuzi, na katika mzunguko wowote wa radius ndogo, huungana. kabisa na kwa usawa. Mfululizo wa pili ni msururu wa nguvu unaohusiana na kibadilikaji. inamaanisha kuwa eneo la muunganisho wa safu (4) ni nje ya duara - Ikiwa basi kuna eneo la kawaida la muunganisho wa safu (3) na (4) - pete ya duara ambayo safu (1) hubadilika kuwa kazi ya uchanganuzi. Kwa kuongeza, katika pete yoyote, inabadilika kabisa na kwa usawa. Mfano 1. Tambua eneo la muunganisho wa safu ya Rad Laurent Pointi pekee za umoja na uainishaji wao M Mkoa wa muunganisho wa safu ya kwanza ni nje ya duara na eneo la muunganisho wa safu ya pili ni mambo ya ndani ya duara Kwa hivyo, mfululizo huu huungana katika miduara ya Nadharia ya 15. Chaguo za kukokotoa f (z), zisizo na utata na zisizo na utata katika pete ya duara zinaweza kuwakilishwa katika pete hii kama jumla ya mfululizo wa viunganishi, viambajengo vya Cn ambavyo vimebainishwa na kukokotwa kwa njia ya kipekee kulingana na fomula. ambapo 7p ni mduara wa radius m. Wacha turekebishe nukta kiholela z ndani ya pete R. Wacha tuunde miduara yenye vituo katika sehemu r, radii ambayo inakidhi ukosefu wa usawa na kuzingatia pete mpya.Kwa kutumia nadharia muhimu ya Cauchy kwa kikoa kilichounganishwa kwa wingi, tuna Tunabadilisha kila moja ya viambatanisho katika jumla (8). Kwa pointi zote £ pamoja na mduara 7d* de sum uhusiano wa mfululizo wa kuunganika kwa usawa 1 1 umeridhika. Kwa hivyo, sehemu ^ inaweza kuwakilishwa katika vi- / "/ Kwa kuzidisha sehemu zote mbili kwa kazi inayoendelea (O na kutekeleza muunganisho wa muda baada ya muda kwenye mduara, tunapata kwamba tunatekeleza ugeuzaji wa kiungo cha pili kwa namna tofauti. Kwa pointi zote £ kwenye duara ir> uhusiano unashikilia. Kwa hivyo, sehemu ^ inaweza kuwakilishwa kama jumla ya Kuzidisha pande zote mbili kwa utendakazi unaoendelea) na kuunganisha kwa muda kwenye mduara 7/, tunapata Kumbuka kwamba viambatanisho katika fomula (10) na (12) ni vitendaji vya uchanganuzi katika pete ya duara. Kwa hivyo, kwa mujibu wa nadharia ya Cauchy, maadili ya viunga vinavyolingana hayatabadilika ikiwa tutabadilisha miduara 7/r na 7r/ na mduara wowote. Hii huturuhusu kuchanganya fomula (10) na (12) Kubadilisha viambatanisho vilivyo upande wa kulia wa fomula (8) na vielezi vyake (9) na (11), mtawalia, tunapata upanuzi unaohitajika. Kwa kuwa z ni kiholela. hatua ya pete, inafuata kwamba mfululizo ( 14) hubadilika hadi kazi f(z) kila mahali kwenye pete hii, na katika pete yoyote mfululizo hubadilika kuwa kazi hii kabisa na kwa usawa. Hebu sasa tuthibitishe kwamba mtengano wa fomu (6) ni wa pekee. Wacha tuchukue kuwa kuna upanuzi mmoja zaidi. Kisha kila mahali ndani ya pete R tutakuwa na Kwenye duara, mfululizo (15) huungana sawasawa. Wacha tuzidishe pande zote mbili za usawa (ambapo m ni nambari isiyobadilika, na tuunganishe safu zote mbili muhula kwa muhula. Kwa sababu hiyo, tunapata upande wa kushoto, na kulia - Sch. Hivyo, (4, = St. m ni nambari ya kiholela, usawa wa mwisho unathibitisha upekee wa upanuzi. Mfululizo (6), ambao vigawo vyake hukokotwa kwa kutumia fomula (7), huitwa mfululizo wa Laurent wa chaguo za kukokotoa f(z) katika pete. seti ya masharti ya safu hii na nguvu zisizo hasi inaitwa sehemu ya kawaida ya safu ya Laurent, na kwa hasi - sehemu yake kuu. Kwa kawaida, ikiwezekana, upanuzi wa Taylor wa vipengele vya msingi hutumiwa. Kulingana na upekee wa upanuzi, mbinu yoyote ya kisheria husababisha matokeo sawa. Mfano 2 Fikiria upanuzi wa mfululizo wa Laurent katika vikoa mbalimbali, ikizingatiwa kuwa f(r) ina nukta mbili za umoja: Kwa hivyo, kuna vikoa vitatu vya mwaka vinavyozingatia nukta r = 0. Katika kila kitendakazi f(r) ni uchanganuzi: a ) pete ya duara ya nje ya kipengee. mduara (Mchoro 27). Wacha tupate upanuzi wa Laurent wa chaguo za kukokotoa /(z) katika kila moja ya maeneo haya. Wacha tuwakilishe /(z) kama jumla ya sehemu msingi a) Mduara Tunabadilisha uhusiano (16) kama ifuatavyo. Kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti ya kuendelea kwa kijiometri, tunapata. Badilisha upanuzi uliopatikana kuwa fomula (17) : Upanuzi huu ni mfululizo wa Taylor wa chaguo za kukokotoa /(z). b) Pete ya chaguo za kukokotoa -r inasalia kuungana katika pete hii, kwa kuwa Msururu (19) wa chaguo za kukokotoa j^j kwa |z| > 1 inatofautiana. Kwa hivyo, tunabadilisha chaguo la kukokotoa /(z) kama ifuatavyo: tena kwa kutumia fomula (19), tunapata kwamba Mfululizo huu unabadilika kwa. Kubadilisha upanuzi (18) na (21) katika uhusiano (20), tunapata c) Nje ya duara kwa chaguo za kukokotoa -z kwa |z| > 2 tofauti, na mfululizo (21) kwa func- Wacha tuwakilishe kazi /(z) katika fomu ifuatayo: /<*> Kwa kutumia fomula (18) na (19), tunapata AU 1 Mfano huu unaonyesha kwamba kwa kazi sawa f(z) upanuzi wa Laurent, kwa ujumla, una umbo tofauti kwa pete tofauti. Mfano 3. Tafuta upanuzi wa mfululizo wa 8 wa Laurent wa mfululizo wa chaguo za kukokotoa Laurent. Pointi pekee za umoja na uainishaji wao katika kikoa cha pete A Tunatumia uwakilishi wa chaguo za kukokotoa f(z) katika fomu ifuatayo: na kubadilisha neno la pili Kwa kutumia formula kwa jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri, tunapata Kubadilisha misemo iliyopatikana kwenye fomula (22), tunayo Mfano 4. Panua kazi katika mfululizo wa Laurent katika eneo zq = 0. Kwa tata yoyote tuna Acha Hii upanuzi ni halali kwa hatua yoyote z Ф 0. Katika kesi hii, eneo la pete linawakilisha ndege nzima tata na hatua moja iliyotupwa z - 0. Eneo hili linaweza kufafanuliwa na uhusiano ufuatao: Kazi hii ni ya uchanganuzi katika eneo Kutoka kwa fomula ( 13) kwa coefficients ya mfululizo wa Laurent, kwa kutumia hoja sawa na katika aya iliyotangulia, mtu anaweza kupata kutofautiana kwa Kouiw. ikiwa kazi f(z) imefungwa kwenye mduara, ambapo M ni ya kudumu), basi pointi za pekee za pekee Hatua zo inaitwa sehemu ya pekee ya kazi f(z) ikiwa kuna kitongoji cha pete cha uhakika ( seti hii wakati mwingine huitwa kitongoji kilichotobolewa cha nukta 2o), ambamo chaguo la kukokotoa f(z) ni la kipekee na la uchanganuzi. Katika hatua zo yenyewe, chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa au halina utata na uchanganuzi. Kulingana na tabia ya kazi /(r) inapokaribia hatua ya zo, aina tatu za alama za umoja zinajulikana. Sehemu iliyotengwa ya umoja inaitwa: 1) inayoweza kutolewa ikiwa kuna kikomo 2) pmusach ikiwa 3) sehemu ya umoja ikiwa kitendakazi f(z) hakina kikomo katika Aina ya nukta iliyotengwa ya umoja inahusiana kwa karibu na asili ya upanuzi wa Laurent wa kazi na kituo cha kuchomwa cha . Nadharia ya 16. Nukta iliyotengwa ya umoja z0 ya chaguo za kukokotoa f(z) ni nukta ya umoja inayoweza kuondolewa ikiwa na iwapo tu upanuzi wa Laurent wa chaguo za kukokotoa f(z) katika kitongoji cha nukta zo hauna sehemu kuu, yaani. ina fomu Hebu zo kuwa removable umoja uhakika. Kisha kuna kikomo, kwa hivyo, chaguo la kukokotoa f(z) limefungwa katika kitongoji cha kiprokolojia cha nukta z. Tunaweka Kwa mujibu wa kukosekana kwa usawa kwa Cauchy Kwa kuwa p inaweza kuchaguliwa kuwa ndogo kiholela, basi coefficients zote kwa nguvu hasi (z) - 20) ni sawa na sifuri: Kinyume chake, acha Laurent upanuzi wa kazi /(r) katika kitongoji cha uhakika zq ina sehemu sahihi tu, yaani, ina fomu (23) na, kwa hiyo, ni. Taylor. Ni rahisi kuona kwamba kwa z -* z0 chaguo la kukokotoa /(z) lina thamani ya kikomo: Nadharia 17. Nukta ya pekee ya zq ya chaguo za kukokotoa f(z) inaweza kuondolewa ikiwa na iwapo tu fomula ya kukokotoa J(z) ni. imepakana katika baadhi ya kitongoji cha kuchomwa cha uhakika zq, Zgmechai si. Acha r iwe sehemu ya umoja inayoweza kutolewa ya chaguo za kukokotoa /(r). Kwa kudhani tunapata kuwa kazi /(r) ni uchanganuzi katika mduara fulani na kituo katika uhakika r. Hii huamua jina la uhakika - removable. Nadharia ya 18. Nukta iliyotengwa ya umoja zq ya chaguo za kukokotoa f(z) ni nguzo ikiwa na iwapo tu sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent wa chaguo za kukokotoa f(z) katika kitongoji cha nukta ina nambari yenye kikomo (na chanya) ya maneno yasiyo ya kawaida, yaani, ina fomu ya 4 Hebu z0 iwe pole. Tangu wakati huo kuna kitongoji kilichotobolewa cha nukta z0 ambamo chaguo la kukokotoa f(z) ni uchanganuzi na halina maana. Kisha katika kitongoji hiki kitendakazi cha uchanganuzi kinafafanuliwa na Kwa hivyo, nukta zq ni nukta ya umoja inayoweza kutolewa (sifuri) ya chaguo za kukokotoa au ambapo h(z) ni kazi ya uchanganuzi, h(z0) Φ 0. Kisha h(zo) Φ 0 pia ni uchanganuzi, basi chaguo la kukokotoa φ ni uchanganuzi katika kitongoji cha nukta zq, na kwa hivyo, kutoka ambapo tunapata kwamba Tuseme kwamba chaguo la kukokotoa f(z) lina upanuzi wa fomu (24) katika kitongoji kilichotobolewa cha. uhakika z. Hii inamaanisha kuwa katika kitongoji hiki chaguo la kukokotoa f(z) ni uchanganuzi pamoja na chaguo la kukokotoa. Kwa chaguo za kukokotoa g(z) upanuzi ni halali, ambapo inaweza kuonekana kuwa zq ni sehemu ya umoja inayoweza kutolewa ya chaguo za kukokotoa g(z) na ipo. Kisha chaguo za kukokotoa katika 0 huelekea kuwa nguzo ya chaguo la kukokotoa. Hapo ni ukweli mwingine rahisi. Hatua Zq ni nguzo ya chaguo za kukokotoa f(z) ikiwa na iwapo tu kazi g(z) = уй inaweza kupanuliwa hadi kazi ya uchanganuzi katika kitongoji cha nukta zq kwa kuweka g(z0) = 0. Mpangilio ya nguzo ya chaguo za kukokotoa f(z) inaitwa mpangilio sufuri wa kitendakazi jfa. Taarifa ifuatayo inafuata kutoka kwa Nadharia 16 na 18. Nadharia ya 19. Sehemu iliyotengwa ya pekee kimsingi ni ya umoja ikiwa na tu ikiwa sehemu kuu ya upanuzi wa Laurent katika kitongoji kilichotobolewa cha sehemu hii ina maneno mengi yasiyo na kikomo. Mfano 5. Hatua ya umoja ya kazi ni zo = 0. Tuna Laurent Series Isolated umoja pointi na uainishaji wao Kwa hiyo, zo = O ni removable umoja uhakika. Upanuzi wa chaguo za kukokotoa /(z) katika mfululizo wa Laurent karibu na nukta sifuri una sehemu sahihi pekee: Mfano7. /(z) = Nukta ya umoja ya kitendakazi f(z) ni zq = 0. Hebu tuzingatie tabia ya kitendakazi hiki kwenye mhimili halisi na wa kufikirika: kwenye mhimili halisi wa x 0, kwenye mhimili wa kufikirika Kwa hivyo, kuna sio kikomo kisicho na kikomo cha f(z) kwa z -* 0 haipo. Hii inamaanisha kuwa nukta r = 0 kimsingi ni sehemu ya umoja ya chaguo za kukokotoa f(z). Hebu tutafute upanuzi wa Laurent wa chaguo za kukokotoa f(z) karibu na nukta sifuri. Kwa tata yoyote C tuna Set. Kisha upanuzi wa Laurent una idadi isiyo na kikomo ya maneno yenye nguvu hasi za z.

Pointi ya pekee

katika hisabati.

1) Sehemu ya umoja ya mkunjo iliyofafanuliwa na mlinganyo F ( x, y) = 0, - uhakika M 0 ( x 0, y 0), ambapo viambajengo vyote viwili vya sehemu ya chaguo za kukokotoa F ( x, y) nenda kwa sifuri:

Ikiwa sio derivatives zote za sehemu ya pili ya chaguo za kukokotoa F ( x, y) katika hatua ya M 0 ni sawa na sifuri, basi O. t. inaitwa mara mbili. Ikiwa, pamoja na derivatives ya kwanza kutoweka kwa uhakika M0, derivatives zote za pili, lakini sio derivatives zote za tatu, hupotea, basi equation inaitwa mara tatu, nk. Wakati wa kusoma muundo wa curve karibu na O.t. mbili, ishara ya usemi ina jukumu muhimu.

Ikiwa Δ> 0, basi nafasi ya wazi inaitwa pekee; kwa mfano, kwenye curve y 2 - x 4 + 4x 2= 0 asili ya kuratibu ni O. t. iliyotengwa (ona. mchele. 1 ) Ikiwa Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 asili ya kuratibu ni nodali O. t. (ona. mchele. 2 ) Ikiwa Δ = 0, basi hatua ya jumla ya curve imetengwa au inaonyeshwa na ukweli kwamba matawi tofauti ya curve yana tangent ya kawaida katika hatua hii, kwa mfano: a) hatua ya 1 - matawi tofauti ya curve ziko kwenye pande tofauti za tanjiti moja ya kawaida na huunda ncha, kama curve y 2 - x 3= 0 (tazama mchele. 3 ,a); b) ncha ya aina ya 2 - matawi tofauti ya curve iko upande mmoja wa tangent ya kawaida, kama curve. (y-x 2)2 - x 5= 0 (tazama mchele. 3 b); c) sehemu ya kujigusa (kwa curve y 2 - x 4= 0 asili ni hatua ya kujigusa; (sentimita. mchele. 3 , V). Pamoja na O. t. iliyoonyeshwa kuna O. t. nyingine nyingi zenye majina maalum; kwa mfano, hatua ya asymptotic ni kipeo cha ond na idadi isiyo na kikomo ya zamu (ona. mchele. 4 ), sehemu ya kukomesha, sehemu ya kona, n.k.

2) Nukta ya umoja ya mlinganyo tofauti ni mahali ambapo nambari na kiashiria cha upande wa kulia wa mlinganyo tofauti hupotea kwa wakati mmoja (Angalia milinganyo ya Tofauti)

ambapo P na Q ni vitendaji vinavyoweza kutofautishwa kila mara. Kwa kuchukulia kuwa O. t. iko kwenye asili ya viwianishi na kwa kutumia fomula ya Taylor (Angalia fomula ya Taylor), tunaweza kuwakilisha equation (1) katika umbo.

wapi P1 ( x, y) na Q 1 ( x, y) - usio na ukomo kwa heshima na

Yaani, ikiwa λ 1 ≠ λ 2 na λ 1 λ 2 > 0 au λ 1 = λ 2, basi O. t. ni nodi; mikondo yote muhimu inayopitia sehemu za kitongoji kidogo cha kutosha cha nodi huingia ndani yake. Ikiwa λ 1 ≠ λ 2 na λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 na β ≠ ​​0, basi hatua ya jumla ni lengo; mikondo yote muhimu inayopitia pointi katika kitongoji kidogo cha kutosha cha lengo huwakilisha ond zenye idadi isiyo na kikomo ya zamu katika kitongoji chochote kidogo cha lengo. Ikiwa, hatimaye, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, basi tabia ya O. t. haijaamuliwa na istilahi za mstari pekee katika upanuzi wa P ( x, y) na Q ( x, y), kama ilivyokuwa katika kesi zote zilizo hapo juu; hapa O. t. inaweza kuwa lengo au kituo, au inaweza kuwa na tabia changamano zaidi. Katika kitongoji cha kituo, curve zote muhimu zimefungwa na zina kitovu ndani yenyewe. Kwa hivyo, kwa mfano, nukta (0, 0) ni nodi ya milinganyo katika" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; ona mchele. 5 , a) na y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; ona mchele. 5 , b), tandiko la mlinganyo y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; sentimita. mchele. 6 ), mkazo wa mlingano y" =(x + y) / (x -y) ( λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; sentimita. mchele. 7 ) na kituo cha mlingano y" = -x/y(λ 1 = -i, λ 2 = i; sentimita. mchele. 8 ).

Ikiwa x, y) na Q ( x, y) uchambuzi, kitongoji cha GP cha juu kinaweza kugawanywa katika mikoa: D 1 - kujazwa na curves muhimu, mwisho wote ni pamoja na GP (mikoa ya mviringo), D 2 - kujazwa na curves muhimu, mwisho mmoja umejumuishwa katika GP. . mchele. 9 ) Ikiwa hakuna curves muhimu iliyojumuishwa katika hatua ya jumla, basi hatua ya jumla inaitwa hatua ya aina imara. Jirani ya oscillator thabiti ina mikondo iliyofungwa iliyo na osmosis ndani yake, kati ya ambayo kuna ond (ona Mtini. mchele. 10 ).

Utafiti wa hesabu za kutofautisha, ambayo ni, kimsingi utafiti wa tabia ya familia za mikondo muhimu katika kitongoji cha hesabu tofauti, hufanya moja ya matawi ya nadharia ya ubora wa equations tofauti na ina jukumu muhimu katika matumizi, haswa katika maswali ya utulivu wa mwendo (kazi za A. M. Lyapunov, A. Poincaré, nk).

3) Sehemu ya pekee ya kitendakazi cha uchanganuzi chenye thamani moja ni hatua ambayo uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa unakiukwa (angalia kazi za Uchanganuzi). Ikiwa kuna kitongoji cha O. t. a, huru kutoka kwa O. t. nyingine, kisha uelekeze A inayoitwa kutengwa O. t. Ikiwa A- nadharia ya jumla iliyotengwa na kuna kikomo a inaitwa nadharia ya jumla inayoweza kutolewa. Kwa kubadilisha ipasavyo ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa katika hatua a (au kuifafanua upya katika hatua hii, ikiwa kazi yake haijafafanuliwa kabisa), yaani, kwa kudhania f(a)= b, inawezekana kufikia hilo a itakuwa hatua ya kawaida ya kazi iliyosahihishwa. Kwa mfano, nukta z= 0 ni O. t. inayoweza kutolewa kwa chaguo za kukokotoa f 1 ( z) = f(z), Kama z≠ 0, na f 1 (0), = 1, nukta z= 0 ni hatua ya kawaida [ f 1 (z) ni uchanganuzi katika hatua hiyo z= 0]. Kama A- O. t. iliyotengwa na a inaitwa nguzo au sehemu isiyo ya kipekee ya utendaji f(z), ikiwa safu ya Laurent) inafanya kazi f(z) karibu na O. t. iliyotengwa haina nguvu hasi z -a, Kama A- inayoondolewa O. t., ina idadi ya mwisho ya digrii hasi z -a, Kama A- pole (katika kesi hii utaratibu wa pole R inafafanuliwa kama kiwango cha juu zaidi cha a - hatua maalum. Kwa mfano, kwa kazi

p = 2, 3, ...)

nukta z= 0 ni nguzo ya utaratibu R, kwa utendaji

nukta z= 0 kimsingi ni sehemu ya umoja.

Kwenye mpaka wa mduara wa muunganisho wa mfululizo wa nishati lazima kuwe na angalau DP moja ya chaguo za kukokotoa inayowakilishwa ndani ya mduara huu na mfululizo wa nishati uliotolewa. Pointi zote za mipaka ya kikoa cha kuwepo kwa kazi ya pekee ya uchambuzi (mpaka wa asili) ni mipaka ya kazi hii. Kwa hivyo, alama zote za mduara wa kitengo | z| = 1 ni maalum kwa kazi

Kwa chaguo za kukokotoa za uchanganuzi zenye thamani nyingi, dhana ya “O. T." ngumu zaidi. Kando na O. t., katika laha mahususi za uso wa Riemann wa chaguo za kukokotoa (yaani, O. t. ya vipengele vya uchanganuzi vyenye thamani moja), kila sehemu ya tawi pia ni O. t. ya chaguo za kukokotoa. Sehemu za tawi zilizotengwa za uso wa Riemann (yaani, sehemu za tawi ambazo katika vitongoji vingine hakuna kazi zingine za O. t. kwenye jani lolote) zimeainishwa kama ifuatavyo. Ikiwa a ni sehemu ya tawi iliyotengwa ya mpangilio kamili na kuna kikomo a, inaitwa nguzo muhimu. Kama A- sehemu iliyotengwa ya tawi ya mpangilio usio na kikomo na a inaitwa transcendental O.t. Sehemu zingine zote za tawi zilizotengwa huitwa nukta muhimu za umoja. Mifano: nukta z= 0 ni hatua muhimu ya kawaida ya kazi f ( z) = logi z na sehemu muhimu kimsingi ya umoja wa chaguo za kukokotoa f (z) = dhambi ln z.

Kila nadharia ya jumla, isipokuwa ile inayoweza kuondolewa, ni kikwazo kwa mwendelezo wa uchanganuzi, ambayo ni, mwendelezo wa uchanganuzi kwenye curve inayopitia shida ya jumla isiyoweza kurekebishwa haiwezekani.

Encyclopedia kubwa ya Soviet. - M.: Encyclopedia ya Soviet. 1969-1978 .

Tazama "hatua ya Umoja" ni nini katika kamusi zingine:

Pointi hapa. Tazama pia nukta ya umoja (milinganyo tofauti). Kipengele au umoja katika hisabati ni hatua ambayo kitu cha hisabati (kawaida ni kazi) hakifafanuliwa au kina tabia isiyo ya kawaida (kwa mfano, hatua ambayo ... ... Wikipedia

Kazi ya uchanganuzi ni hatua ambayo masharti ya uchanganuzi yanakiukwa. Ikiwa kazi ya uchanganuzi f(z) imetolewa katika kitongoji fulani cha nukta z0 kila mahali... Ensaiklopidia ya kimwili

Kazi ya uchanganuzi ni hatua ambayo uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa unakiukwa... Kamusi kubwa ya Encyclopedic

uhakika wa umoja- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamusi ya Kiingereza-Kirusi ya uhandisi wa umeme na uhandisi wa nguvu, Moscow, 1999] Mada za uhandisi wa umeme, dhana za msingi EN nukta moja ... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi

1) Chaguo za kukokotoa za uchanganuzi f(z) ni kikwazo kwa mwendelezo wa uchanganuzi wa kipengele cha chaguo za kukokotoa f(z) cha kigezo changamano z kando ya njia yoyote kwenye ndege ya kigezo hiki. Acha kazi ya uchanganuzi f(z) ifafanuliwe na wengine... ... Encyclopedia ya hisabati

Kazi ya uchambuzi, hatua ambayo uchanganuzi wa kazi unakiukwa. * * * HOJA MOJA HATUA MOJA ya chaguo za kukokotoa za uchanganuzi, mahali ambapo uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa unakiukwa... Kamusi ya encyclopedic

uhakika wa umoja- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. nukta moja vok. singulärer Punkt, m rus. nukta moja, f pranc. uhakika particulier, m; uhakika pekee, m … Masharti ya otomatiki kwa maisha

uhakika wa umoja- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nukta moja vok. singulärer Punkt, m rus. nukta moja, f pranc. uhakika pekee, m … Fizikos terminų žodynas

Dhana za kimsingi na ufafanuzi:

Sufuri ya chaguo za kukokotoa za uchanganuzi f(z) ni nukta “a” ambayo f(a)=0 kwayo.

Sufuri ya mpangilio "n" ya chaguo za kukokotoa f(z) ni nukta "a" ikiwa fn(a)¹0.

Sehemu ya umoja "a" inaitwa sehemu ya pekee ya umoja wa chaguo za kukokotoa f(z) ikiwa kuna ujirani wa sehemu hii ambapo hakuna nukta za umoja isipokuwa "a".

Kuna aina tatu za pointi za pekee za pekee:.

1 pointi za umoja zinazoondolewa;

3 kimsingi alama za umoja.

Aina ya hatua ya umoja inaweza kuamua kulingana na tabia ya kazi iliyotolewa katika hatua ya umoja iliyopatikana, na pia kutoka kwa fomu ya mfululizo wa Laurent uliopatikana kwa kazi katika kitongoji cha uhakika wa umoja uliopatikana.

Kuamua aina ya nukta ya umoja kwa tabia ya chaguo la kukokotoa humo.

1. Pointi za umoja zinazoondolewa.

Sehemu iliyotengwa ya umoja a ya chaguo za kukokotoa f(z) inaitwa inayoweza kutolewa ikiwa kuna kikomo cha mwisho.

2.Nchi.

Sehemu iliyotengwa ya umoja a ya kitendakazi f(z) inaitwa pole ikiwa .

3. Kimsingi pointi za umoja.

Sehemu iliyotengwa ya umoja a ya chaguo za kukokotoa f(z) inaitwa sehemu ya umoja ikiwa hakuna kikomo au kisicho na kikomo.

Uhusiano ufuatao upo kati ya sufuri na nguzo za chaguo la kukokotoa.

Ili nukta a iwe nguzo ya mpangilio n ya kitendakazi f(Z), ni muhimu na ya kutosha kwamba hatua hii iwe sufuri ya mpangilio n kwa chaguo la kukokotoa.

Ikiwa n=1 pole inaitwa rahisi.

Ufafanuzi: Sehemu ya pekee ya asili isiyo na utata inaitwa:

a) inayoweza kutolewa ikiwa sehemu kuu ya mtengano haipo;

b) nguzo, ikiwa sehemu kuu ina idadi ya masharti;

c) hoja ya kimsingi ya umoja ikiwa sehemu kuu ina idadi isiyo na kikomo ya maneno.

a) Kwa hivyo, katika kitongoji cha sehemu ya umoja inayoweza kutolewa, upanuzi una fomu:

inaonyesha utendaji kazi katika sehemu zote za duara |z-a|

Katikati z=a usawa sio kweli, kwa sababu chaguo la kukokotoa katika z=a lina kutoendelea, na upande wa kulia ni endelevu. Ikiwa thamani ya kazi katikati inabadilishwa, ikichukua sawa na thamani ya upande wa kulia, basi pengo litaondolewa - kwa hiyo jina - kuondolewa.

b) Katika kitongoji cha pole ya mpangilio m, upanuzi wa safu ya Laurent una fomu:

c) Karibu na nguzo rahisi

Makato na kanuni za kuzihesabu.

Masalio ya chaguo za kukokotoa za uchanganuzi f(z) katika nukta iliyotengwa ya umoja z 0 ni nambari changamano inayolingana na thamani ya kiunganishi. , ikichukuliwa kwa mwelekeo chanya kando ya mduara L na kituo katika hatua z 0 kikiwa katika kikoa cha uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa f(z) (yaani katika pete 0<|z-z0|

Masalio ya chaguo za kukokotoa f(z) katika sehemu iliyotengwa ya umoja z 0 inaashiria kwa ishara Res f(z 0) au Res (f(z);z 0). Hivyo,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

Ikiwa tutaweka n=-1 katika fomula (22.15.1), tunapata:

C -1 =

au Res f(z 0)= C -1 ,

hizo. masalio ya chaguo za kukokotoa f(z) kuhusiana na nukta ya umoja z 0 ni sawa na mgawo wa neno la kwanza lenye kipeo kipeo hasi katika upanuzi wa chaguo za kukokotoa f(z) katika mfululizo wa Laurent.

Uhesabuji wa makato.

Pointi za kawaida au zinazoondolewa za umoja. Ni wazi, ikiwa z=z 0 ni sehemu ya umoja ya kawaida au inayoweza kutolewa ya kazi f(z), basi Res f(z 0)=0 (upanuzi wa Laurent katika visa hivi hauna sehemu kuu, kwa hivyo c-1=0) .

Pole. Wacha nukta z 0 iwe nguzo rahisi ya kazi f(z). Halafu safu ya Laurent ya chaguo la kukokotoa f(z) karibu na nukta z 0 ina fomu:

Kutoka hapa

Kwa hivyo, tukipitisha usawa huu hadi kikomo katika z --z 0, tunapata

Res f(z0)=

Kimsingi hatua maalum. Ikiwa nukta z 0 ni sehemu ya umoja ya chaguo za kukokotoa za f(z), kisha kukokotoa masalio ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii, mgawo c-1 katika upanuzi wa mfululizo wa Laurent wa chaguo za kukokotoa kwa kawaida huamuliwa moja kwa moja.

Uainishaji wa matukio. Jumla, bidhaa ya matukio, mali zao, uwakilishi wa picha.

Matukio yamegawanywa katika:

1. Nasibu

2. Kutegemewa

3. Haiwezekani

Kuaminika ni tukio ambalo lazima kutokea chini ya hali fulani (usiku hufuata asubuhi).

Tukio la nasibu ni tukio ambalo linaweza kutokea au lisitokee (kufaulu mtihani).

Tukio lisilowezekana ni tukio ambalo halitatokea chini ya hali fulani (kupata penseli ya kijani kutoka kwenye sanduku na nyekundu tu).