У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.

Для успішного вирішеннядиференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої ​​складності. Спочатку відшукуються коріння характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішеннядиференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд


Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ та приватного рішення вихідного однорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А приватне рішення визначається або шляхом невизначених коефіцієнтів при певному виглядіфункції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або шляхом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо


Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннямиПрикладів ми Вам пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай, приватні рішення вибираються з наступних системлінійно незалежних функцій:


Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.

Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади розв'язків.
Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальні рівняння (ДК). Ці два слова зазвичай жахають середньостатистичного обивателя. Диференціальні рівняння здаються чимось позамежним і важким у освоєнні та багатьом студентам. Уууууу… диференціальні рівняння, як мені все це пережити?!

Така думка і такий настрій докорінно невірний, бо насправді ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ – ЦЕ ПРОСТО І НАВІТЬ ЗАХИБНО. Що потрібно знати та вміти, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння? Для успішного вивчення дифурів ви повинні добре вміти інтегрувати та диференціювати. Чим якісніше вивчені теми Похідна функції однієї змінноїі Невизначений інтеграл, тим легше розібратися в диференціальних рівняннях. Скажу більше, якщо у вас більш менш пристойні навички інтегрування, то тема практично освоєна! Чим більше інтегралів різних типівви вмієте вирішувати – краще. Чому? Прийде багато інтегрувати. І диференціювати. Також наполегливо рекомендуюнавчитися знаходити.

У 95% випадків у контрольні роботизустрічаються 3 типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглянемо цьому уроці; однорідні рівнянняі лінійні неоднорідні рівняння. Початківцям вивчати дифури раджу ознайомитися з уроками саме в такій послідовності, причому після вивчення перших двох статей не завадить закріпити свої навички на додатковому практикумі. рівняння, що зводяться до однорідних.

Є ще рідкісні типи диференціальних рівнянь: рівняння у повних диференціалах , рівняння Бернуллі та інших. Найбільш важливими з двох останніх видівє рівняння в повних диференціалах, оскільки крім цього ДК я розглядаю новий матеріал – приватне інтегрування.

Якщо у вас у запасі всього день-два, то для надшвидкої підготовкиє бліц-курсу pdf-форматі.

Отже, орієнтири розставлені – поїхали:

Спочатку згадаємо звичайні рівняння алгебри. Вони містять змінні та числа. Найпростіший приклад: . Що означає вирішити нормальне рівняння? Це означає знайти безліч чисел, які задовольняють даному рівнянню. Легко помітити, що дитяче рівняння має єдине коріння: . Для приколу зробимо перевірку, підставимо знайдений корінь у наше рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, рішення знайдено правильно.

Дифури влаштовані приблизно так само!

Диференціальне рівняння першого порядкув загальному випадку містить:
1) незалежну змінну;
2) залежну змінну (функцію);
3) першу похідну функції: .

У деяких рівняннях 1-го порядку може бути відсутнім «ікс» або (і) «ігрок», але це не суттєво – важливощоб у ДК булаперша похідна , та не булопохідних вищих порядків - і т.д.

Що значить ?Вирішити диференціальне рівняння – це означає знайти безліч усіх функцій, які задовольняють даному рівнянню. Така безліч функцій часто має вигляд (довільна постійна), який називається загальним рішенням диференціального рівняння.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння

Повний боєкомплект. З чого почати Рішення?

Насамперед потрібно переписати похідну трохи в іншому вигляді. Згадуємо громіздке позначення, яке багатьом з вас, напевно, здавалося безглуздим і непотрібним. У дифурах рулить саме воно!

На другому кроці дивимося, чи не можна розділити змінні?Що означає розділити змінні? Грубо кажучи, у лівій частинінам потрібно залишити тільки «Ігреки», а у правій частиніорганізувати тільки «ікси». Поділ змінних виконується за допомогою «шкільних» маніпуляцій: винесення за дужки, перенесення доданків з частини до частини зі зміною знака, перенесення множників з частини до частини за правилом пропорції тощо.

Диференціали і – це повноправні множники та активні учасники бойових дій. У прикладі змінні легко розділяються перекиданням множників за правилом пропорції:

Змінні розділені. У лівій частині – лише «ігреки», у правій частині – лише «ікси».

Наступний етап - інтегрування диференціального рівняння. Все просто, навішуємо інтеграли на обидві частини:

Зрозуміло, що інтеграли треба взяти. У даному випадкувони табличні:

Як ми пам'ятаємо, до будь-якої первісної приписується константа. Тут два інтеграли, але константу достатньо записати один раз (т.к. константа + константа все одно дорівнює іншій константі). Найчастіше її поміщають у праву частину.

Строго кажучи, після того, як взяті інтеграли, диференціальне рівняння вважається вирішеним. Єдине, що у нас «гравець» не виражений через «ікс», тобто рішення представлене у неявномувигляді. Рішення диференціального рівняння у неявному вигляді називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Тобто – це спільний інтеграл.

Відповідь у такій формі цілком прийнятна, але чи немає кращого варіанта? Давайте спробуємо отримати загальне рішення.

Будь ласка, запам'ятайте перший технічний прийом, він дуже поширений і часто застосовується в практичних завданнях: якщо у правій частині після інтегрування з'являється логарифм, то константу у багатьох випадках (але не завжди!) теж доцільно записати під логарифмом.

Тобто, ЗАМІСТЬзаписи зазвичай пишуть .

Навіщо це потрібно? А для того, щоб легше було висловити «гравець». Використовуємо властивість логарифмів . В даному випадку:

Тепер логарифми та модулі можна прибрати:

Функція представлена ​​у явному вигляді. Це і є спільним рішенням.

Відповідь: загальне рішення: .

Відповіді багатьох диференціальних рівнянь досить легко перевірити. У нашому випадку це робиться дуже просто, беремо знайдене рішення та диференціюємо його:

Після чого підставляємо і похідну у вихідне рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, загальне рішення задовольняє рівнянню , що потрібно перевірити.

Надаючи константі різні значення, можна отримати нескінченно багато приватних рішеньдиференціального рівняння. Зрозуміло, кожна з функцій , , і т.д. задовольняє диференційного рівняння.

Іноді загальне рішення називають сімейством функцій. У даному прикладізагальне рішення – це сімейство лінійних функцій, А точніше, сімейство прямих пропорційності.

Після ґрунтовного розжовування першого прикладу доречно відповісти на кілька наївних питань щодо диференціальних рівнянь:

1)У цьому прикладі нам удалося розділити змінні. Чи завжди це можна зробити?Ні не завжди. І навіть частіше змінні не можна розділити. Наприклад, в однорідних рівняннях першого порядкунеобхідно спочатку провести заміну. В інших типах рівнянь, наприклад, у лінійному неоднорідному рівнянні першого порядку, потрібно використовувати різні прийоми та методи для знаходження загального рішення. Рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглядаємо на першому уроці – найпростіший типдиференціальних рівнянь.

2) Чи можна проінтегрувати диференціальне рівняння?Ні не завжди. Дуже легко придумати «наворочене» рівняння, яке не проінтегрувати, крім того, існують інтеграли, що не беруться. Але подібні ДК можна вирішити приблизно за допомогою спеціальних методів. Даламбер і Коші гарантують... …тьху, lurkmore.to недавно начитався, мало не додав «з того світу».

3) У цьому прикладі ми отримали рішення у вигляді загального інтегралу . Чи завжди можна із загального інтеграла знайти загальне рішення, тобто висловити «гравець» у явному вигляді?Ні не завжди. Наприклад: . Ну і як тут висловити «Ігрек»?! У разі відповідь слід записати як загального інтеграла. Крім того, іноді загальне рішення знайти можна, але воно записується настільки громіздко і коряво, що краще залишити відповідь у вигляді загального інтеграла

4) ...мабуть, поки що достатньо. У першому прикладі нам зустрівся ще один важливий момент , але щоб не накрити «чайників» лавиною нової інформації, Залишу його до наступного уроку.

Поспішати не будемо. Ще одне просте ДК і ще один типовий прийом рішення:

Приклад 2

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову

Рішення: за умовою потрібно знайти приватне рішенняДУ, що задовольняє задану початкову умову. Така постановка питання також називається завданням Коші.

Спочатку знаходимо спільне рішення. У рівнянні немає змінної "ікс", але це не повинно бентежити, головне, в ньому є перша похідна.

Переписуємо похідну в потрібному вигляді:

Очевидно, що змінні можна розділити, хлопчики – ліворуч, дівчатка – праворуч:

Інтегруємо рівняння:

Загальний інтеграл отримано. Тут константу я намалював із надрядковою зірочкою, справа в тому, що дуже скоро вона перетвориться на іншу константу.

Тепер пробуємо загальний інтеграл перетворити на загальне рішення (виразити «гравець» у явному вигляді). Згадуємо старе, добре, шкільне: . В даному випадку:

Константа у показнику виглядає якось некошерно, тому її зазвичай спускають із небес на землю. Якщо докладно, відбувається це так. Використовуючи властивість ступенів, перепишемо функцію так:

Якщо це константа, то теж деяка константа, переозначимо її буквою :

Запам'ятайте «знос» константи – це другий технічний прийом, який часто використовують під час вирішення диференціальних рівнянь.

Отже, загальне рішення: . Така ось симпатична родина експоненційних функцій.

На завершальному етапі потрібно знайти приватне рішення, що задовольняє задану початкову умову. Це також просто.

У чому завдання? Необхідно підібрати такезначення константи, щоб виконувалася умова.

Оформити можна по-різному, але найзрозуміліше, мабуть, буде так. У загальне рішення замість «ікса» підставляємо нуль, а замість «гравця» двійку:



Тобто,

Стандартна версія оформлення:

Тепер у загальне рішення підставляємо знайдене значення константи:
- Це і є потрібне нам приватне рішення.

Відповідь: приватне рішення:

Виконаємо перевірку. Перевірка приватного рішення включає два етапи:

Спочатку необхідно перевірити, а чи справді знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову? Замість «ікса» підставляємо нуль і дивимося, що вийде:
– так, дійсно отримано двійку, отже, початкова умова виконується.

Другий етап уже знайомий. Беремо отримане приватне рішення та знаходимо похідну:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Висновок: приватне рішення знайдено правильно.

Переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Переписуємо похідну у потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна поділити змінні? Можна, можливо. Переносимо другий доданок у праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, чи наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Вирішували мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівої частини легко знайти , з інтегралом від котангенсу розправляємось стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функційв минулому році:

У правій частині у нас вийшов логарифм, і, згідно з моєю першою технічною рекомендацією, константу теж слід записати під логарифмом.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки в нас одні логарифми, то їх цілком можна (і потрібно) позбутися. За допомогою відомих властивостеймаксимально «упаковуємо» логарифми. Розпишу дуже докладно:

Упаковка завершена, щоб бути варварською обдертою:

Чи можна висловити «ігрок»? Можна, можливо. Треба звести у квадрат обидві частини.

Але робити це не потрібно.

Третя технічна рада:якщо для отримання загального рішення потрібно зводити у ступінь або добувати коріння, то в більшості випадківслід утриматися від цих дій та залишити відповідь у вигляді загального інтеграла. Справа в тому, що загальне рішення буде виглядати просто жахливо - з великим корінням, знаками та іншим трешем.

Тому відповідь запишемо як загального інтеграла. Хорошим тоном вважається уявити його як , тобто, у правій частині, наскільки можна, залишити лише константу. Робити це не обов'язково, але завжди вигідно порадувати професора;-)

Відповідь:загальний інтеграл:

! Примітка: загальний інтеграл будь-якого рівняння можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо ваш результат не збігся із заздалегідь відомою відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Загальний інтеграл також перевіряється досить легко, головне, вміти знаходити похідну від функції, заданої неявно. Диференціюємо відповідь:

Примножуємо обидва доданки на :

І ділимо на:

Отримано точно вихідне диференціальне рівняння , отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову. Виконати перевірку.

Це приклад для самостійного рішення.

Нагадую, що алгоритм складається із двох етапів:
1) знаходження загального рішення;
2) знаходження необхідного приватного рішення.

Перевірка теж проводиться у два кроки (див. зразок у Прикладі №2), потрібно:
1) переконатися, що знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову;
2) перевірити, що окреме рішення взагалі задовольняє диференціальному рівнянню.

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти окреме рішення диференціального рівняння , що задовольняє початкову умову . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо загальне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали і, отже, рішення спрощується. Розділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл ліворуч – табличний, інтеграл праворуч – беремо методом підведення функції під знак диференціалу:

Загальний інтеграл отримано, чи вдало висловити загальне рішення? Можна, можливо. Навішуємо логарифми на обидві частини. Оскільки вони позитивні, знаки модуля зайві:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення, такі речі треба вже знати)

Отже, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові.
У загальне рішення замість "ікса" підставляємо нуль, а замість "гравця" логарифм двох:

Більш звичайне оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.

Відповідь:приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкову умову:
- Все гуд.

Тепер перевіримо, чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення диференційному рівнянню. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння: - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна зі знайденої похідної висловити диференціал:

Підставимо знайдене приватне рішення та отриманий диференціал у вихідне рівняння :

Використовуємо основну логарифмічну тотожність:

Отримано правильну рівність, отже, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальних і звичніший: із рівняння висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на:

І в перетворене ДК підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну. В результаті спрощень теж має вийти правильна рівність.

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння. Відповідь подати у вигляді загального інтеграла.

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються?

1) Не завжди очевидно (особливо «чайнику»), що змінні можна розділити. Розглянемо умовний приклад: . Тут необхідно провести винесення множників за дужки: і відокремити коріння: . Як діяти далі – зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади у навичках знаходження невизначеного інтегралу, то з багатьма диффурами доведеться туго. До того ж у укладачів збірок і методик популярна логіка «якщо диференціальне рівняння є простим, то нехай хоч інтеграли будуть складнішими».

3) Перетворення з константою. Як всі помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна поводитися досить вільно, і деякі перетворення не завжди зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад: . У ньому доцільно помножити всі складові на 2: . Отримана константа - це теж якась константа, яку можна позначити через: . Так, якщо в правій частині логарифм, то константу доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що з індексами часто не морочаться і використовують одну і ту ж літеру. В результаті запис рішення приймає наступний вигляд:

Що за брехня? Відразу помилки! Строго кажучи – так. Однак з змістовної точки зору – помилок немає, адже в результаті перетворення константи, що варіюється, все одно виходить варіюється константа.

Або інший приклад, припустимо, що в ході вирішення рівняння отримано загальний інтеграл. Така відповідь виглядає негарно, тому у кожного доданка доцільно змінити знак: . Формально тут знову помилка - справа слід було б записати. Але неформально мається на увазі, що «мінус це» – це все одно константа ( яка з тим самим успіхом набуває будь-яких значень!)тому ставити «мінус» не має сенсу і можна використовувати ту ж літеру.

Я намагатимуся уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні.

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння. Виконати перевірку.

Рішення:Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Константу тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

Відповідь:загальний інтеграл:

Перевірка: Диференціюємо відповідь ( неявну функцію):

Позбавляємося дробів, для цього множимо обидва доданки на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 8

Знайти приватне рішення дистанційного керування.
,

Це приклад самостійного рішення. Єдина підказка - тут вийде загальний інтеграл, і, правильніше кажучи, потрібно вимудритися знайти не приватне рішення, а приватний інтеграл . Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Рівняння першого порядку виду a 1 (x) y" + a 0 (x) y = b (x) називається лінійним диференціальним рівнянням. Якщо b (x) ≡ 0 то рівняння називається однорідним, інакше - неоднорідним. Для лінійного диференціального рівняння теорема існування та єдиності має конкретніший вид.

Призначення сервісу. Онлайн калькуляторможна використовувати для перевірки рішення однорідних та неоднорідних лінійних диференціальних рівняньвиду y"+y=b(x) .

=

Використовувати заміну змінних y=u*v
Використовувати метод варіації довільної постійної
Знаходити приватне рішення при y( ) = .

Для отримання рішення вихідний вираз необхідно привести до вигляду: a 1 (x) y" + a 0 (x) y = b (x) . Наприклад, для y"-exp (x) = 2 * y це буде y"-2 * y = exp (x) .

Теорема. Нехай a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) безперервні на відрізку [α,β], a 1 ≠0 для ∀x∈[α,β]. Тоді для будь-якої точки (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] існує єдине рішення рівняння, що задовольняє умові y(x 0) = y 0 і визначене на всьому інтервалі [α,β].
Розглянемо однорідне лінійне диференціальне рівняння a 1 (x) y "+ a 0 (x) y = 0".
Розділяючи змінні, отримуємо , або, інтегруючи обидві частини, Останнє співвідношення, з урахуванням позначення exp(x) = e x записується у формі

Спробуємо тепер знайти рішення рівняння зазначеному вигляді, в якому замість константи C підставлена ​​функція C(x), тобто у вигляді

Підставивши це рішення у вихідне, після необхідних перетворень отримуємо Інтегруючи останнє, маємо

де C1 - деяка нова константа. Підставляючи отриманий вираз для C(x), одержуємо остаточно рішення вихідного лінійного рівняння
.

Приклад. Розв'язати рівняння y" + 2y = 4x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 2y = 0 . Вирішуючи його, отримуємо y = Ce -2 x. Шукаємо тепер рішення вихідного рівняння як y = C(x)e -2 x . Підставляючи y та y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x у вихідне рівняння, маємо C"(x) = 4xe 2 x , звідки C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 і y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x - загальне рішення вихідного рівняння. x) = 2x-1 - рух об'єкта під дією сили b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -Власний рухоб'єкт.

Приклад №2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння першого порядку y +3 ytan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Це неоднорідне рівняння. Зробимо заміну змінних: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x або u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Рішення складається з двох етапів:
1. u(3v tg(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Прирівнюємо u=0, знаходимо рішення для 3v tg(3x)+v" = 0
Подаємо у вигляді: v" = -3v tg(3x)

Інтегуючи, отримуємо:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Знаючи v, Знаходимо u з умови: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Інтегуючи, отримуємо:
З умови y=u v отримуємо:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) або y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Диференціальні рівняння першого порядку, дозволені щодо похідної

Як вирішувати диференціальні рівняння першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння першого порядку, дозволене щодо похідної:
.
Розділивши це рівняння на , при , ми отримаємо рівняння виду:
,
де.

Далі дивимося, чи не належать ці рівняння до одного з наведених нижче типів. Якщо ні, то перепишемо рівняння у формі диференціалів. Для цього пишемо та множимо рівняння на .
.

Отримуємо рівняння у формі диференціалів:
.
Далі дивимося, чи це рівняння не відноситься до одного з, перерахованих нижче типів враховуючи, що і помінялися місцями.

Якщо й цього рівняння не знайдено тип, то дивимося, чи не можна спростити рівняння простою підстановкою. Наприклад, якщо рівняння має вигляд:
,
то помічаємо, що .
.

Тоді робимо підстановку.

Після цього рівняння набуде більш простого вигляду:

;
.
Якщо це не допомагає, то намагаємося знайти інтегруючий множник.
.

Рівняння з змінними, що розділяються

Ділимо на і інтегруємо. При отримуємо:

Рівняння, що призводять до рівнянь з змінними, що розділяються
,
Однорідні рівняння
;
.
Вирішуємо підстановкою:

де - функція від.

Тоді
;
.
Розділяємо змінні та інтегруємо.
;
.
Рівняння, що призводять до однорідних

Вводимо змінні та:

Постійні та вибираємо так, щоб вільні члени звернулися в нуль:

В результаті отримуємо однорідне рівняння у змінних та .

Узагальнені однорідні рівняння

Робимо підстановку.
Отримуємо однорідне рівняння у змінних та .
.
;
.
Лінійні диференціальні рівняння
.

Є три методи розв'язання лінійних рівнянь.
2) Метод Бернуллі.

Шукаємо рішення у вигляді добутку двох функцій та від змінної:
,
Одну з цих функцій ми можемо вибрати довільним чином. Тому як вибираємо будь-яке не нульове рішення рівняння:
.
3) Метод варіації постійної (Лагранжа).

Тут ми спочатку вирішуємо однорідне рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:

де – постійна. Далі ми замінюємо постійну на функцію, яка залежить від змінної:
.
Підставляємо у вихідне рівняння. В результаті одержуємо рівняння, з якого визначаємо .
;
.
Рівняння Бернуллі
.
Підстановка рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння.

Також це рівняння можна розв'язувати методом Бернуллі. Тобто шукаємо рішення у вигляді добутку двох функцій, що залежать від змінної:

Підставляємо у вихідне рівняння: Як вибираємо будь-яке не нульове рішення рівняння:Визначивши , отримуємо рівняння з змінними для , що розділяються .

Рівняння Ріккаті
,
Воно не наважується в
загальному вигляді

. Підстановкою
,
де.

рівняння Ріккаті наводиться до вигляду:
де - Постійна; ;

.

Далі, підстановкою:
.

воно наводиться до вигляду:

Властивості рівняння Ріккаті та деякі окремі випадки його вирішення представлені на сторінці
.
Диференціальне рівняння Ріккаті >>>
.
Рівняння Якобі
.
Вирішується підстановкою:
.

Для знаходження функції найбільш зручним способом є метод послідовного виділеннядиференціалу. Для цього використовують формули:
;
;
;
.

Інтегруючий множник

Якщо диференціальне рівняння першого порядку не наводиться до жодного з перерахованих типів, можна спробувати знайти інтегруючий множник . Інтегруючий множник - це така функція, при множенні на яку диференціальне рівняння стає рівнянням у повних диференціалах. Диференціальне рівняння першого порядку має нескінченну кількість інтегруючих множників. Проте,загальних методів

для знаходження інтегруючого множника немає.

Рівняння, не розв'язані щодо похідної y"

Рівняння, що допускають рішення щодо похідної y"

Спочатку потрібно спробувати вирішити рівняння щодо похідної.

Якщо це можливо, рівняння може бути приведено до одного з перерахованих вище типів.
,
Рівняння, що допускають розкладання на множники Якщо вдасться рівняння розкласти на множники:то завдання зводиться до
;
;

;
послідовному рішенню
більш простих рівнянь:
.
;
.
Вважаємо.

Тоді або .:
Далі інтегруємо рівняння:
В результаті отримуємо вираз другої змінної через параметр.
Більше
;
.

загальні рівняння

або

також вирішуються у параметричному вигляді. Для цього потрібно підібрати таку функцію, щоб з вихідного рівняння можна було виразити або через параметр.

Щоб виразити другу змінну через параметр , інтегруємо рівняння:

Рівняння, дозволені щодо y

Рівняння Клеро

Таке рівняння має загальне рішення

Рівняння Лагранжа
Рішення шукаємо у параметричному вигляді. Вважаємо, де - параметр.
Рівняння, що призводять до рівняння Бернуллі Ці рівняння приводяться до рівняння Бернуллі, якщо шукати їх рішення у параметричному вигляді, ввівши параметр і роблячи підстановку .Використана література:

В.В. Степанов, Курс диференціальних рівнянь, «ЛКІ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з

вищої математики

функція і її приватна похідна по у безперервні в деякій області D на площині містить деяку точку, то існує єдине рішення цього рівняння

задовольняє умові при

Ця теорема буде доведена у § 27 гл. XVI.

Геометричний зміст теореми полягає в тому, що існує і до того ж єдина функція графік якої проходить через точку

З щойно висловленої теореми випливає, що рівняння має нескінченне число різних рішень(наприклад, рішення, графік якого проходить через точку інше рішення, графік якого проходить через точку і т. д., якщо ці точки лежать в області

Умова, що за функція у повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Воно часто записується у вигляді

Визначення 1. Загальним рішенням диференціального рівняння першого ладу називається функція

яка залежить від однієї довільної постійної і задовольняє наступним умовам:

а) вона задовольняє диференціальному рівнянню за будь-якого конкретного значення постійної З;

б) яке б не було початкова умова при можна знайти таке значення , що функція задовольняє цій початковій умові. При цьому передбачається, що значення належать до тієї галузі зміни змінних х і у, в якій виконуються умови теореми існування та єдиності рішення.

2. У процесі пошуку загального рішення диференціального рівняння ми нерідко приходимо до співвідношення виду

не дозволеному щодо в. Дозволивши це співвідношення щодо у, отримуємо загальне рішення. Однак висловити у з співвідношення (2) в елементарних функціяхне завжди виявляється можливим; у разі загальне рішення залишається у неявному вигляді. Рівність виду, що неявно задає загальне рішення, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Визначення 2. Приватним рішенням називається будь-яка функція яка виходить із загального рішення, якщо в останньому довільному постійному С додати певне значенняСпіввідношення називається у разі приватним інтегралом рівняння.

Приклад 1. Для рівняння першого порядку

загальним рішенням буде сімейство функції це можна перевірити простою підстановкою рівняння.

Знайдемо приватне рішення, яке задовольняє наступній початковій умові: при підставі цих значень у формулу отримаємо або, отже, шуканим приватним рішенням буде функція

З точки зору геометричної загальний інтеграл є сімейством кривих на координатної площини, що залежить від однієї довільної постійної (або, як кажуть, від одного параметра С).

Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Приватному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку задану точкуплощині.

Так, у останньому прикладізагальний інтеграл геометрично зображується сімейством гіпербол, а приватний інтеграл, визначений зазначеною початковою умовою, зображується однією з цих гіпербол, що проходить через точку На рис. 251 зображені криві сімейства, що відповідають деяким значенням параметра: і т.д.

Щоб зробити міркування більш наочними, ми будемо надалі називати рішенням рівняння як функцію задовольняє рівнянню, а й відповідну інтегральну криву. У зв'язку з цим ми говоритимемо, наприклад, про рішення, яке проходить через точку .

Зауваження. Рівняння немає рішення, що проходить через точку, що лежить на осі рис. 251), оскільки права частинарівняння при не визначено і, отже, не є безперервною.

Вирішити чи, як часто кажуть, проінтегрувати диференціальне рівняння - означає:

а) знайти його загальне рішення чи загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або

б) знайти те окреме рішення рівняння, яке задовольняє заданим початковим умовам(якщо такі є).

3. Дамо геометричну інтерпретацію диференціального рівняння першого порядку.

Нехай дано диференціальне рівняння, дозволене щодо похідної:

і нехай є спільне рішення даного рівняння. Це загальне рішення визначає сімейство інтегральних кривих на площині.

Рівняння (Г) кожної точки М з координатами х і у визначає значення похідної тобто. кутовий коефіцієнтдотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Таким чином, диференціальне рівняння (Г) дає сукупність напрямків або, як кажуть, визначає поле напрямків на площині

Отже, з геометричної точкиЗавдання інтегрування диференціального рівняння полягає в знаходженні кривих, напрям дотичних до яких збігається з напрямом поля у відповідних точках.

Для диференціального рівняння (1) геометричне місце точок, в яких виконується співвідношення, називається ізоклиною даного диференціального рівняння.

При різних значеннях k отримуємо різні ізокліни. Рівняння ізокліни, що відповідає значенню k, буде, очевидно, побудувавши сімейство ізоклін, можна приблизно побудувати сімейство інтегральних кривих. Кажуть, що, знаючи ізокліни, можна якісно визначити розташування інтегральних кривих на площині.