Який вектор називається поодиноким. Вектори: визначення та основні поняття

Таке поняття, як вектор, розглядається практично у всіх природничих науках, причому він може мати зовсім різне значеннятому дати однозначне визначення вектора для всіх областей неможливо. Але спробуємо розібратися. Отже, вектор – що таке?

Концепція вектора в класичній геометрії.

Вектор у геометрії – відрізок, для якого зазначено, яка з його точок є початком, а яка – кінцем. Тобто, простіше кажучи, вектором називається спрямований відрізок.

Відповідно, позначається вектор (що таке - розглянули вище), як і відрізок, тобто двома великими літерамилатинського алфавіту з додаванням зверху риси чи стрілки, спрямованої праворуч. Також його можна підписати малою (маленькою) літерою латинського алфавітуз межею або стрілкою. Стрілка завжди спрямована праворуч і не змінюється в залежності від розташування вектора.

Таким чином, вектор має напрямок та довжину.

У позначенні вектора міститься його напрям. Виражається це, як у малюнку нижче.

Зміна напряму змінює значення вектора протилежне.

Довжиною вектора називається довжина відрізка, від якого він утворений. Позначається як модуль від вектора. Це показано нижче.

Відповідно, нульовим є вектор, довжина якого дорівнює нулю. З цього випливає, що нульовий вектор є крапкою, причому в ній збігаються точки початку і кінця.

Довжина вектора - величина завжди негативна. Інакше кажучи, якщо є відрізок, то він обов'язково має деяку довжину або є точкою, тоді його довжина дорівнює нулю.

Саме поняття точки є базовим та визначення не має.

Складання векторів

Існують спеціальні формули та правила для векторів, за допомогою яких можна виконати додавання.

Правило трикутника. Для складання векторів за цим правилом достатньо поєднати кінець першого вектора і початку другого, використовуючи при цьому паралельне перенесення, і з'єднати їх. Отриманий третій вектор і дорівнюватиме доданню двох інших.

Правило паралелограма. Для складання за цим правилом необхідно провести обидва вектори з однієї точки, а потім провести з кінця кожного їх інший вектор. Тобто з першого вектора буде проведено другий, а з другого – перший. В результаті вийде нова точкаперетину і утворюється паралелограм. Якщо поєднати точку перетину почав і кінців векторів, то отриманий вектор буде результатом складання.

Подібним чином можна виконувати і віднімання.

Різниця векторів

Аналогічно до складання векторів можна виконати і їх віднімання. Воно базується на принципі, вказаному на малюнку нижче.

Тобто віднімається вектор досить у вигляді вектора, йому протилежного, і зробити розрахунок за принципами складання.

Також абсолютно будь-який ненульовий вектор можна помножити на якесь число k, це змінить його довжину в k разів.

Крім цих, існують інші формули векторів (наприклад, для вираження довжини вектора через його координати).

Розташування векторів

Напевно, багато хто стикався з таким поняттям, як колінеарний вектор. Що таке колінеарність?

Колінеарність векторів – еквівалент паралельності прямих. Якщо два вектори лежать на прямих, які паралельні один одному, або на одній прямій, то такі вектори називаються колінеарними.

Напрямок. Щодо один одного, колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими, це визначається напрямом векторів. Відповідно, якщо вектор направлений з іншим, то вектор, протилежний йому, протилежно спрямований.

На першому малюнку показані два протилежно спрямовані вектори і третій, який не колінеарен ім.

Після введення вищезгаданих властивостей можна дати визначення і рівним векторам - це вектори, які спрямовані в один бік і мають однакову довжинувідрізків, яких вони утворені.

Багато науках застосовується ще й поняття радіус-вектора. Подібний вектор визначає положення однієї точки площини щодо іншої фіксованої точки (часто це початок координат).

Вектори у фізиці

Припустимо, під час вирішення завдання виникла умова: тіло рухається зі швидкістю 3 м/с. Це означає, що тіло рухається з конкретним напрямом по одній прямій, тому змінна буде величиною векторної. Для вирішення важливо знати і значення, і напрямок, оскільки в залежності від розгляду швидкість може дорівнювати і 3 м/с, і -3 м/с.

У загальному випадкувектор у фізиці використовується для вказівки напрямку сили, що діє на тіло, та для визначення рівнодіючої.

При зазначенні цих сил малюнку їх позначають стрілками з підписом вектора з нього. Класично довжина стрілки так само важлива, за допомогою неї вказують, яка сила діє сильніше, проте ця властивість побічна, спиратися на неї не варто.

Вектор у лінійній алгебрі та математичному аналізі

Елементи лінійних просторів також називаються векторами, проте в даному випадку вони є упорядкованою системою чисел, що описують деякі з елементів. Тому напрям у цьому випадку вже не має жодної важливості. Визначення вектора в класичній геометрії та математичному аналізі сильно різняться.

Проектування векторів

Спроектований вектор – що таке?

Досить часто для правильного та зручного розрахунку необхідно розкласти вектор, що знаходиться у двомірному або тривимірному просторі, по осях координат. Ця операція необхідна, наприклад, у механіці при підрахунку сил, які діють тіло. Вектор у фізиці використовується досить часто.

Для виконання проекції достатньо опустити перпендикуляри з початку та кінця вектора на кожну координатних осей, Отримані на них відрізки і будуть називатися проекцією вектора на вісь.

Для підрахунку довжини проекції достатньо помножити його початкову довжину на певну тригонометричну функцію, яка виходить під час вирішення міні-задачи. По суті є прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза є вихідним вектором, один з катетів - проекцією, а інший катет - опущеним перпендикуляром.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про даному розділівищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» і « аналітичний методрішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм рішень практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули- І відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж кращого розумінняматеріалу я постараюся наводити їх понад потребу.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школивам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібникнадасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів з готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобівпропоную знову ж таки власну розробку - програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий із базовими геометричними поняттямиі фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти в двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальної літературиіноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим, що це вектор

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

То були елементарні відомостіпро вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точкизору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть вектор довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все математично коректно – вектор можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з даної множини, який прив'язаний до певній точціплощини чи простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування вектора має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі або по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добутоквекторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний сенс: Нехай деяке тіло зробило шлях вектором , а потім вектором . Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельних векторах. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектор. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні сторони, то вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, сонаправлены і мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більше детальну інформаціюможна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор плоскості єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, справедлива будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, зліва внизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадокдодавання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Переставте доданки місцями і простежте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

Сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежусь одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного просторуможна, можливо єдиним способом розкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, в даному випадку трьох, Векторів: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо в розкладанні відсутній один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформаціюще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно час від часу звертатися до базовому урокудля кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для здачі теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилювикладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарні прикладибазуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати в прямокутної системикоординат. Відкладати крапки на координатної площини, Думаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за потреби ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, Постарайтеся ними не нехтувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще пара важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить достатньо велике числонаприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями в загальному виглядіможна знайти в шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

ВЕКТОР
У фізиці та математиці вектор – це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням та напрямком. У фізиці зустрічається чимало важливих величин, що є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, момент, що обертає, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким як маса, об'єм, тиск, температура і щільність, які можна описати звичайним числом, і називаються вони "скалярами". Векторний запис використовується при роботі з величинами, які неможливо повністю задати за допомогою звичайних чисел. Наприклад, ми хочемо описати положення предмета щодо певної точки. Ми можемо сказати, скільки кілометрів від точки до предмета, але не можемо повністю визначити його місцезнаходження, доки не дізнаємося напрямок, в якому він знаходиться. Таким чином, місцезнаходження предмета характеризується чисельним значенням (відстанню в кілометрах) та напрямком. Графічно вектори зображуються у вигляді спрямованих відрізків прямої певної довжинияк на рис. 1. Наприклад, щоб представити графічно силу п'ять кілограмів, треба намалювати відрізок прямою довжиною п'ять одиниць у бік дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від A до B; якби сила діяла від B до A, то ми б записали або Для зручності вектори зазвичай позначаються напівжирними великими літерами(A, B, C і так далі); вектори A та -A мають рівні чисельні значення, але протилежні у напрямку. Чисельне значення вектора називається модулем чи довжиною і позначається A чи |A|. Це величина, звісно, ​​скаляр. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим та позначається O.

Два вектори називаються рівними (або вільними), якщо їх модулі та напрямки збігаються. У механіці та фізиці цим визначенням, однак, треба користуватися з обережністю, оскільки дві рівних сили, додані до різних точок тіла в загальному випадку будуть призводити до різних результатів. У зв'язку з цим вектори поділяються на "пов'язані" або "ковзаючі", таким чином: Пов'язані вектори мають фіксовані точки застосування. Наприклад, радіус-вектор вказує положення точки щодо деякого фіксованого початку координат. Пов'язані вектори вважаються рівними, якщо у них збігаються не тільки модулі та напрямки, але вони мають і загальну точкупрограми. Зовнішніми векторами називаються рівні між собою вектори, розташовані на одній прямій.
Складання векторів.Ідея складання векторів виникла з того, що ми можемо знайти єдиний вектор, який має той самий вплив, що й два інші вектори разом. Якщо для того, щоб потрапити в деяку точку, нам треба пройти спочатку A кілометрів в одному напрямку і потім B кілометрів в іншому напрямку, то ми могли б досягти нашої кінцевої точки, пройшовши C кілометрів у третьому напрямку (рис. 2). У цьому сенсі можна сказати, що

A+B=C.
Вектор C називається "результуючим вектором" A і B, він задається побудовою, показаною на малюнку; на векторах A і B як на сторонах побудовано паралелограм, а C - діагональ, що з'єднує початок А та кінець В. З рис. 2 видно, що додавання векторів "коммутативно", тобто. A + B = B + A. Аналогічним чином можна скласти кілька векторів, послідовно з'єднуючи їх "безперервним ланцюжком", як показано на рис. 3 для трьох векторів D, E та F. З рис. 3 також видно, що

(D+E)+F=D+(E+F), тобто. додавання векторів асоціативно. Підсумовувати можна будь-яке число векторів, причому вектори необов'язково повинні лежати в одній площині. Віднімання векторів представляється як додавання з негативним вектором. Наприклад, A - B = A + (-B), де, як визначалося раніше, -B - вектор, рівний по модулю, але протилежний за напрямом. Це правило додавання може тепер використовуватися як реальний критерій перевірки, є певна величина вектором чи ні. Переміщення зазвичай підкоряються умовам цього правила; те саме можна сказати і про швидкості; сили складаються так само, як можна було бачити з "трикутника сил". Однак, деякі величини, що мають як чисельні значення так і напрямки, не підкоряються цьому правилу, тому не можуть розглядатися як вектори. Прикладом є кінцеві обертання.
Умноження вектор на скаляр.Твір mA або Am, де m (m № 0) - скаляр, а A - ненульовий вектор, визначається як інший вектор, який у m разів довший за A і має також напрямок що і A, якщо число m позитивно, і протилежне, якщо m негативно, як показано на рис. 4, де m дорівнює 2 та -1/2 відповідно. З іншого боку, 1A = A, тобто. при множенні на 1 вектор не змінюється. Величина -1A - вектор, що дорівнює A за довжиною, але протилежний у напрямку, зазвичай записується як -A. Якщо А - нульовий вектор та (або) m = 0, то mA - нульовий вектор. Множення дистрибутивно, тобто.

Ми можемо складати будь-яку кількість векторів, причому порядок доданків не впливає результат. Вірно і зворотне: будь-який вектор розкладається на дві чи більше "компоненти", тобто. на два або більше вектори, які, будучи складеними, в якості результуючого дадуть вихідний вектор. Наприклад, на рис. 2, A та B - компоненти C. Багато математичні діїз векторами спрощуються, якщо розкласти вектор на три компоненти за трьома взаємно перпендикулярними напрямками. Виберемо праву систему декартових координатз осями Ox, Oy та Oz як показано на рис. 5. Під правою системою координат ми маємо на увазі, що осі x, y і z розташовуються так, як можуть бути розташовані відповідно великий, вказівний та середній пальці правої руки. З однієї правої системи координат можна отримати іншу праву систему координат відповідним обертанням. На рис. 5 показано розкладання вектор A на три компоненти і Вони в сумі складають вектор A , так як

Отже,

Можна було б спочатку скласти і отримати потім додати Проекції вектора А на три координатні осі, позначені Ax, Ay і Az називаються "скалярними компонентами" вектора A:

де a, b і g - кути між A та трьома координатними осями. Тепер введемо три вектори одиничної довжини i, j і k (орти), що мають той самий напрямок, що і відповідні осі x, y і z. Тоді, якщо Ax помножити на i, то отриманий твір - вектор, рівний і

Два вектори рівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх скалярні компоненти. Таким чином, A = B тоді і лише тоді, коли Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Два вектори можна скласти, складаючи їх компоненти:

Крім того, за теоремою Піфагора:

Лінійні функції. Вираз aA + bB, де a та b - скаляри, називається лінійною функцієювекторів A та B. Це вектор, що знаходиться в тій же площині, що A та B; якщо A і B не є паралельними, то при зміні a та b вектор aA + bB буде переміщатися по всій площині (рис. 6). Якщо A, B і C не всі лежать в одній площині, вектор aA + bB + cC (a, b і c змінюються) переміщається по всьому простору. Припустимо, що A, B та C - поодинокі вектори i, j та k. Вектор ai лежить на осі x; вектор ai + bj може переміщатися по всій поверхні xy; вектор ai+bj+ck може переміщатися по всьому простору.

Можна було б вибрати чотири взаємно перпендикулярні вектор i, j, k і l і визначити чотиривимірний вектор як величину A = Axi + Ayj + Azk + Awl
з довжиною

а можна було б продовжувати до п'яти, шести чи будь-якого числа вимірювань. Хоча візуально такий вектор уявити неможливо, жодних математичних труднощів тут немає. Такий запис часто буває корисним; наприклад, стан частинки, що рухається описується шестивимірним вектором P (x, y, z, px, py, pz), компоненти якого - її положення в просторі (x, y, z) і імпульс (px, py, pz). Такий простір називається "фазовим простором"; якщо ми розглядаємо дві частинки, то фазовий простір 12-мірний, якщо три, то 18 і так далі. Число розмірностей можна необмежено збільшувати; при цьому величини, з якими ми матимемо справу, поводяться багато в чому так само, як ті, які ми розглянемо в частині цієї статті, а саме, тривимірні вектори.
Розмноження двох векторів.Правило складання векторів отримано шляхом вивчення поведінки величин, представлених векторами. Немає жодних видимих ​​причин, через які два вектори не можна було б якимось чином перемножити, проте це множення матиме сенс тільки в тому випадку, якщо можна показати його математичну спроможність; крім того, бажано, щоб твір мав певний фізичний зміст. Існують два способи множення векторів, які відповідають цим умовам. Результатом одного з них є скаляр, такий твір називається "скалярним твором" чи " внутрішнім творомдвох векторів і записується AЧB або (A, B). Результатом іншого множення є вектор, званий "векторним твором" або "зовнішнім твором" і записується A*B або []. трьох вимірів, тоді як векторні твори визначені лише для трьох вимірів.
Скалярні твори.Якщо під дією деякої сили F точка, до якої вона прикладена, переміщається на відстань r, то виконана робота дорівнює добутку r та компоненти F у напрямку r. Ця компонента дорівнює F cos бF, rс де бF, rс - кут між F і r, тобто. Виконана робота = Fr cos бF, rс. Це приклад фізичного обгрунтування скалярного твору, визначеного для будь-яких двох векторів A, B за допомогою формули
A * B = AB cos bA, Bс.
Оскільки всі величини правої частини рівняння - скаляри, A*B = B*A; отже, скалярне множення комутативно. Скалярне множення також має властивість дистрибутивності: A*(B + С) = A*B + A*С. Якщо вектори A і B перпендикулярні, то cos бA, Bс дорівнює нулю, і тому A*B = 0, навіть якщо ні A, ні B не дорівнюють нулю. Саме тому ми не можемо поділяти на вектор. Припустимо, що ми розділили обидві частини рівняння A * B = A * C на A. Це дало б B = C, і, якби можна було б виконати поділ, то ця рівність стала б єдиним можливим результатом. Однак, якщо ми перепишемо рівняння A * B = A * C у вигляді A * (B - C) = 0 і пригадаємо, що (B - C) - вектор, то ясно, що (B - C) необов'язково дорівнює нулю і отже, B повинен бути рівним C. Ці суперечливі результати показують, що векторне поділ неможливо. Скалярний добуток дає ще один спосіб запису чисельного значення (модуля) вектора: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
тому

Скалярний твір можна записати і в інший спосіб. Для цього пригадаємо, що: A = Ax i + Ayj + Azk. Зауважимо, що

Тоді,

Оскільки останнє рівняння містить x, y і z як нижні індекси, рівняння, здавалося б, залежить від обраної конкретної системикоординат. Однак це не так, що видно з визначення, яке не залежить від вибраних координатних осей.
Векторні твори.Векторним або зовнішнім твором векторів називається вектор, модуль якого дорівнює творуїх модулів на синус кута, перпендикулярний вихідним векторам і складає разом із ними праву трійку. Цей твір найлегше ввести, розглядаючи співвідношення між швидкістю і кутовою швидкістю. Перша – вектор; ми тепер покажемо, що останню можна інтерпретувати як вектор. Кутова швидкість тіла, що обертається визначається наступним чином: виберемо будь-яку точку на тілі і проведемо перпендикуляр з цієї точки до осі обертання. Тоді кутова швидкість тіла – це число радіан, на які ця лінія повернулася за одиницю часу. Якщо кутова швидкість - вектор, вона повинна мати чисельне значення та напрямок. Чисельне значення виражається в радіанах в секунду, напрямок можна вибрати вздовж осі обертання, можна його визначити, направивши вектор у тому напрямку, в якому рухався б правосторонній гвинт при обертанні разом з тілом. Розглянемо обертання тіла довкола фіксованої осі. Якщо встановити цю вісь всередині кільця, яке у свою чергу закріплено на осі, вставленої всередину іншого кільця, ми можемо надати обертання тілу всередині першого кільця з кутовою швидкістю w1 і потім змусити внутрішнє кільце (і тіло) обертатися з кутовою швидкістю w2. Малюнок 7 пояснює суть справи; кругові стрілки показують напрямки обертання. Це тіло - це тверда сфера з центром Про і радіусом r.

Мал. 7. СФЕРА З ЦЕНТРОМ O, обертається з кутовою швидкістю w1 всередині кільця BC, яке, своєю чергою, обертається всередині кільця DE з кутовою швидкістю w2. Сфера обертається з кутовою швидкістю, рівної сумікутових швидкостей і всі точки на прямій POP знаходяться у стані миттєвого спокою.

Надамо цьому тілу рух, який є сумою двох різних кутових швидкостей. Цей рух досить важко уявити, але досить очевидно, що тіло більше не обертається щодо фіксованої осі. Проте таки можна сказати, що воно обертається. Щоб показати це, виберемо деяку точку P на поверхні тіла, яка в даний момент часу знаходиться на великому колі, що з'єднує точки, в яких дві осі перетинають поверхню сфери. Опустимо перпендикуляри з P на осі. Ці перпендикуляри стануть радіусами PJ і PK кіл PQRS і PTUW відповідно. Проведемо пряму POPу, яка проходить через центр сфери. Тепер точка P, в момент часу, що розглядається, одночасно переміщається по колах, які стикаються в точці P. За малий інтервал часу Dt, P переміщається на відстань

Ця відстань дорівнює нулю, якщо

У цьому випадку точка P знаходиться в стані миттєвого спокою, і точно також всі точки на прямій POP". Решта сфери буде в русі (кола, по яких переміщуються інші точки, не торкаються, а перетинаються). POPу є, таким чином, миттєвою віссю обертання сфери, подібно до того, як колесо, що котиться по дорозі в кожен момент часу, обертається щодо своєї нижньої точки. Чому дорівнює кутова швидкість сфери? , вона переміщається за час Dt на відстань

По колу радіусу r sin w1. За визначенням, кутова швидкість

З цієї формули та співвідношення (1) ми отримаємо

Іншими словами, якщо записати чисельне значення та обрати напрямок кутовий швидкостітак, як це описано вище, ці величини складаються як вектори і можуть бути розглянуті як такі. Тепер можна запровадити векторний твір; розглянемо тіло, що обертається з кутовою швидкістю w. Виберемо будь-яку точку P на тілі та будь-який початок координат О, яке знаходиться на осі обертання. Нехай r – вектор, спрямований від О до P. Точка P рухається по колу зі швидкістю V = wr sin (w, r). Вектор швидкості V є дотичним до кола та вказує у напрямку, показаному на рис. 8.

Це рівняння дає залежність швидкості точки V від комбінації двох векторів w і r. Використовуємо це співвідношення, щоб визначити новий видтвори, та запишемо: V = w * r. Оскільки результатом такого множення є вектор, цей твір названо векторним. Для будь-яких двох векторів A і B, якщо A * B = C, то C = AB sin бA, Bс, і напрям вектора C такий, що він перпендикулярний площині, що проходить через А і B і вказує в напрямку, що збігається з напрямком руху правообертаючого гвинта, якщо він паралельний C і обертається від A до B. Іншими словами, ми можемо сказати, що A, B та C, розташовані в такому порядку, утворюють правий набір координатних осей. Векторний добуток антикоммутативно; вектор B * A має той же модуль, що і A * B, але спрямований протилежний бік: A * B = -B * A. Цей твір дистрибутивний, але не асоціативний; можна довести, що

Подивимося, як записується векторний добуток у термінах компонент та одиничних векторів. Насамперед, для будь-якого вектора A, A * A = AA sin 0 = 0.
Отже, у разі поодиноких векторів i * i = j * j = k * k = 0 і i * j = k, j * k = i, k * i = j. Тоді,

Цю рівність також можна записати у вигляді визначника:

Якщо A * B = 0, або A або B дорівнює 0, або A і B колінеарні. Таким чином, як і у разі скалярного твору, поділ на вектор неможливий. Величина A * B дорівнює площі паралелограма зі сторонами A і B. Це легко бачити, тому що B sin бA, Bс - його висота і A - основа. Існує багато інших фізичних величин, що є векторними творами. Один з найважливіших векторних творів з'являється теоретично електромагнетизму і називається вектором Пойтинга P. Цей вектор задається так: P = E * H, де E і H - вектори електричного і магнітного полів відповідно. Вектор P можна розглядати як заданий потік енергії у ВАТ на квадратний метру будь-якій точці. Наведемо ще кілька прикладів: момент сили F (крутний момент) щодо початку координат, що діє на точку, радіус-вектор якої r визначається як r * F; частка, що знаходиться в точці r, масою m і швидкістю V, має кутовий момент mr * V щодо початку координат; сила, що діє на частинку, що несе електричний заряд через через магнітне поле B зі швидкістю V, є qV * B.
Потрійні твори.З трьох векторів ми можемо сформувати такі потрійні твори: вектор (A * B) * C; вектор (A * B) * C; скаляр (A*B)*C. Перший тип - добуток вектора C і скаляра A * B; про такі твори ми вже говорили. Другий тип називається подвійним векторним твором; вектор A * B перпендикулярний до площини, де лежать A і B, і тому (A * B) * C - вектор, що лежить у площині A і B і перпендикулярний C. Отже, в загальному випадку (A * B) * C не одно A * (B * C). Записавши A, B і C через їх координати (компоненти) по осях x, y і z і помноживши, можна показати, що A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B). Третій тип твору, що виникає при розрахунках грат у фізиці твердого тіла, чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда з ребрами A, B, C. Так як (A * B) * C = A * (B * C), знаки скалярного та векторного множень можна міняти місцями, і твір часто записується як (A B C). Цей твір дорівнює визначнику

Зауважимо, що (A B C) = 0, якщо всі три вектори лежать в одній і тій же площині або якщо А = 0 або (і) В = 0 або (і) С = 0.
ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ВЕКТОРА
Припустимо, що вектор U є функцією однієї скалярної змінної t. Наприклад, U може бути радіус-вектором, проведеним з початку координат до точки, що переміщається, а t - часом. Нехай t зміниться на невелику величину Dt, що призведе до зміни U величину DU. Це показано на рис. 9. Відношення DU/Dt - вектор, спрямований у тому напрямі, як і DU. Ми можемо визначити похідну U по t, як

за умови, що така межа існує. З іншого боку, можна уявити U як суму компонентів по трьох осях і записати

Якщо U – радіус-вектор r, то dr/dt – швидкість точки, виражена як функція часу. Продиференціювавши ще раз, ми отримаємо прискорення. Припустимо, що точка переміщається вздовж кривої, показаної на рис. 10. Нехай s - відстань, пройдена точкою вздовж кривої. Протягом малого інтервалу часу Dt точка пройде відстань Ds по кривій; положення радіус-вектора зміниться на Dr. Отже, Dr/Ds - вектор спрямований як Dr. Далі

Вектор Dr - зміна радіус вектор.

є одиничний вектор, що стосується кривої. Це видно з того, що при наближенні точки Q до точки P PQ наближається до дотичної і Dr наближається до Ds. Формули для диференціювання твору подібні до формул для диференціювання твору скалярних функцій; однак, оскільки векторний добуток антикоммутативно, порядок множення має бути збережений. Тому,

Таким чином, ми бачимо, що якщо вектор є функцією однієї скалярної змінної, то ми можемо уявити похідну майже так само, як у випадку скалярної функції.
Вектор та скалярні поля. Градієнт.У фізиці часто доводиться мати справу з векторними або скалярними величинами, які змінюються від точки до точки у заданій області. Такі області називаються "полями". Наприклад, скаляр може бути температурою чи тиском; вектор може бути швидкістю рухомої рідини або електростатичним полемсистеми зарядів. Якщо ми вибрали деяку систему координат, то будь-якій точці P (x, y, z) у заданій області відповідає деякий радіус-вектор r (= xi + yj + zk) і значення векторної величини U (r) або скаляра f (r) , пов'язані з ним. Припустимо, що U і f визначені області однозначно; тобто. кожній точці відповідає одна і тільки одна величина U або f, хоча різні точкиможуть, звичайно, мати різні значення. Припустимо, що ми хочемо описати швидкість, з якою U і f змінюються при пересуванні по цій галузі. Прості приватні похідні, такі як dU/dx і df/dy, нас не влаштовують, тому що вони залежать від вибраних координатних осей. Однак, можна ввести векторний диференціальний оператор, незалежний від вибору осей координат; цей оператор називається "градієнтом". Нехай ми маємо справу із скалярним полем f. Спочатку як приклад розглянемо контурну карту області. І тут f - висота над рівнем моря; контурні лініїз'єднують точки з одним і тим самим значенням f. Під час руху вздовж будь-якої з цих ліній f не змінюється; якщо рухатися перпендикулярно до цих ліній, то швидкість зміни f буде максимальною. Ми можемо кожній точці зіставити вектор, що вказує величину та напрямок максимальної зміни швидкості f; така карта та деякі з цих векторів показані на рис. 11. Якщо ми зробимо це кожної точки поля, то отримаємо векторне поле, пов'язане зі скалярним полем f. Це поле вектора, званого "градієнтом" f, який записується як grad f або Сf (символ також називається "набла").

У разі трьох вимірювань контурні лінії стають поверхнями. Мале усунення Dr (= iDx + jDy + kDz) призводить до зміни f, яка записується як

де точками позначені члени вищих порядків. Цей вираз можна записати у вигляді скалярного твору

Розділимо праву та ліву частини цієї рівності на Ds, і нехай Ds прагне нуля; тоді

де dr/ds – одиничний вектор у вибраному напрямку. Вираз у круглих дужках – вектор, що залежить від обраної точки. Таким чином, df/ds має максимальне значення, коли dr/ds вказує у тому напрямі, вираз, що стоїть у дужках, є градієнтом. Таким чином,

- Вектор, рівний за величиною і збігається у напрямку з максимальною швидкістюзміни f щодо координат. Градієнт f часто записується як

Це означає, що оператор С існує сам собою. У багатьох випадках він поводиться як вектор і фактично є "векторним диференціальним оператором" - одним із найважливіших диференціальних операторів у фізиці. Незважаючи на те, що містить одиничні вектори i, j і k, його фізичний зміст не залежить від обраної системи координат. Який зв'язок між Сf і f? Насамперед припустимо, що f визначає потенціал у будь-якій точці. При будь-якому малому зміщенні Dr величина f зміниться на

Якщо q - величина (наприклад, маса, заряд), переміщена на Dr, то робота, виконана при переміщенні q на Dr дорівнює

Так як Dr – переміщення, то qСf – сила; -Сf - Напруженість (сила на одиницю кількості), пов'язана з f. Наприклад, нехай U – електростатичний потенціал; тоді E – напруженість електричного поля, Задається формулою E = -СU. Припустимо, що U створюється точковим електричним зарядом q кулонів, поміщеним на початок координат. Значення U у точці P (x, y, z) з радіус-вектором r задається формулою

Де e0 – діелектрична постійна вільного простору. Тому

звідки випливає, що E діє у напрямку r та його величина дорівнює q/(4pe0r3). Знаючи скалярне поле, можна визначити пов'язане з ним векторне поле. Також можливе і протилежне. З точки зору математичної обробки скалярними полямиоперувати легше, ніж векторними, оскільки вони задаються однією функцією координат, тоді як векторне поле вимагає три функції, відповідні компонентам вектора трьох напрямах. Таким чином, виникає запитання: чи дано векторне поле, чи може ми записати пов'язане з ним скалярне поле?
Дивергенція та ротор.Ми бачили результат дії на скалярну функцію. Що станеться, якщо застосувати до вектора? Є дві можливості: нехай U(x, y, z) - вектор; тоді ми можемо утворити векторне та скалярне твори наступним чином:

Перший із цих виразів - скаляр, званий дивергенцією U (позначається divU); друге - вектор, названий ротор U (позначається rotU). Ці диференціальні функції, дивергенція та ротор, широко використовуються в математичної фізики. Уявіть, що U є деяким вектором і що він і його перші похідні безперервні в деякій області. Нехай P - точка в цій галузі, оточена малою замкненою поверхнею S, що обмежує об'єм DV. Нехай n - одиничний вектор, перпендикулярний до цієї поверхні в кожній точці (n змінює напрямок при русі навколо поверхні, але має одиничну довжину); нехай n спрямований назовні. Покажемо, що

Тут S вказує, що ці інтеграли беруться по всій поверхні, da - елемент поверхні S. Для простоти ми виберемо зручну для нас форму S у вигляді невеликого паралелепіпеда (як показано на рис. 12) зі сторонами Dx, Dy та Dz; точка P – центр паралелепіпеда. Обчислимо інтеграл із рівняння (4) спочатку по одній грані паралелепіпеда. Для передньої грані n = i (поодинокий вектор паралельний осі x); Da = DyDz. Вклад в інтеграл від передньої грані дорівнює

На протилежній грані n=-i; ця грань дає внесок в інтеграл

Використовуючи теорему Тейлора, отримаємо загальний внесок від двох граней

Зауважимо, що DxDyDz = DV. Аналогічно можна обчислити внесок від двох інших пар граней. Повний інтеграл дорівнює

і якщо ми покладемо DV(r) 0, то члени більше високого порядкузникнуть. За формулою (2) вираз у дужках - це divU, що доводить рівність (4). Рівність (5) можна довести так само. Скористаємося знову рис. 12; тоді внесок від передньої грані в інтеграл дорівнюватиме

І, використовуючи теорему Тейлора, отримаємо, що сумарний внесок в інтеграл від двох граней має вигляд

тобто. це два члени з виразу для rotU у рівнянні (3). Інші чотири члени вийдуть після обліку вкладів від інших чотирьох граней. Що по суті означають ці співвідношення? Розглянемо рівність (4). Припустимо, що U - швидкість (рідини, наприклад). Тоді nЧU da = Un da, де Un є нормальною компонентоювектор U до поверхні. Тому, Un da ​​- це обсяг рідини, що протікає через da в одиницю часу, а це обсяг рідини, що витікає через S в одиницю часу. Отже,

Швидкість розширення одиниці обсягу навколо точки P. Звідси дивергенція дістала свою назву; вона показує швидкість, з якою рідина розширюється з (тобто. розходиться від) P. Щоб пояснити фізичне значенняротора U, розглянемо інший поверхневий інтегралпо маленькому циліндричному об'єму висотою h, що оточує точку P; плоско-паралельні поверхні можуть бути орієнтовані у будь-якому напрямку, який ми вибираємо. Нехай k -поодинокий вектор перпендикулярний до кожної поверхні, і нехай площа кожної поверхні DA; тоді повний обсяг DV = hDA (рис. 13). Розглянемо тепер інтеграл

Підінтегральний вираз - вже згадуваний потрійний скалярний твір. Цей твір дорівнюватиме нулю на плоских поверхняхде k і n паралельні. На кривій поверхні

Де ds – елемент кривої як показано на рис. 13. Порівнюючи ці рівності із співвідношенням (5), отримуємо, що

Ми, як і раніше, припускаємо, що U - швидкість. Чому в такому випадку дорівнюватиме середня кутова швидкість рідини навколо k? Очевидно, що

якщо DA не дорівнює 0. Це вираз максимально, коли k і rotU вказують в тому самому напрямку; це означає, що rotU - вектор, рівний подвоєної кутової швидкості рідини в точці P. Якщо рідина обертається відносно P, то rotU № 0, і вектори U будуть обертатися навколо P. Звідси виникла назва ротора. Теорема дивергенції (теорема Остроградського – Гаусса) є узагальненням формули (4) для кінцевих обсягів. Вона стверджує, що для деякого об'єму V, обмеженого замкненою поверхнею S,

Вектор - це математичний об'єкт, який характеризується напрямом та величиною. В геометрії вектором називається відрізок прямий на площині або у просторі, який має свій певний напрямок та довжину.

Позначення вектора

Для позначення вектора використовується або одна мала букваабо дві великі, які відповідають початку і кінці вектора, при цьому над літерами зображується горизонтальна рисочка. Перша літера означає початок вектора, друга - кінець (дивіться малюнок 1). На графічному відображенні вектора зображується стрілка, що вказує напрямок.

Що таке координати вектора на площині та у просторі?

Координати вектора - це коефіцієнти єдино можливої ​​лінійної комбінації базисних векторів у вибраній системі координат. Звучить складно, проте насправді досить просто. Розберемо з прикладу.

Допустимо, нам потрібно знайти координати вектора а. Помістимо його в тривимірну систему координат (див. рисунок 2) і виконаємо проекції вектора на кожну вісь. Вектор а в даному випадку запишеться так: a = a x i + a yj a z k, де i, j, k - базисні вектори, a x , a y , a z - коефіцієнти, які і визначають координати вектора а. Сам вираз називатиметься лінійною комбінацією. На площині (у прямокутній системі координат) лінійна комбінація складатиметься з двох базисів та коефіцієнтів.

Відносини векторів

Теоретично векторів існує такий термін, як ставлення векторів. Дане поняття визначає розташування векторів щодо один одного на площині та у просторі. Найбільш відомі окремі випадки відносин векторів:

• колінеарність;
• співспрямованість;
• компланарність;
• рівність.

Колінеарні вектори лежать на одній прямій або паралельні один одному, для сонаправленных векторів характерно однаковий напрямок, для компланарних - розташування в одній площині або в паралельних площинах, рівні векторамають однаковий напрямок та довжину.

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжина, рівної одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. На малюнку Мал. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модуліта однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторірозглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

(1)

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

(2)

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.