Програма певного інтеграла. Обчислення довжини дуги

Головна > Лекція

Лекція 18. Програми певного інтегралу.

18.1. Обчислення площ плоских фігур.

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за осю Ох, тобто. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула.

Площа фігури, обмеженою деякими лініями, може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

приклад.Знайти площу фігури, обмеженою лініями y = x, y = x 2, x = 2.

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:

18.2. Знаходження площі криволінійного сектора.

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд  = f(), де  - довжина радіус – вектора, що сполучає полюс з довільною точкоюкривою, а  - кут нахилу цього радіусу – вектора до полярної осі.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою

18.3. Обчислення довжини дуги кривої.

y y = f(x)

S i y i

Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як
.

Тоді довжина дуги дорівнює
.

З геометричних міркувань:

В той же час

Тоді можна показати, що

Тобто.

Якщо рівняння кривої встановлено параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої, отримуємо

,

де х = (t) та у = (t).

Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) та z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

,  = f().

Приклад:Знайти довжину кола, заданого рівнянням x 2 + y 2 = r 2 .

1 спосіб.Виразимо з рівняння змінну у.

Знайдемо похідну

Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб.Якщо уявити задане рівняння в полярній системікоординат, то отримаємо: r 2 cos 2 + r 2 sin 2 = r 2 , тобто. функція  = f() = r,
тоді

18.4. Обчислення обсягів тел.

Обчислення об'єму тіла за відомим площамйого паралельних перерізів.

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перерізу тіла Q відома як безперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на "шари" поперечними перерізами, що проходять через точки х i розбиття відрізка . Т.к. на якомусь проміжному відрізку розбиття функція Q(x) безперервна, то приймає на ньому найбільше і найменше значення. Позначимо їх відповідно M i та m i .

Якщо на цих найбільшому та найменшому перерізах побудувати циліндри з утворюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно дорівнювати M i x i і mi i x i тут x i = x i - x i -1 .

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбиття, отримаємо циліндри, об'єми яких рівні відповідно
і
.

При прагненні до нуля кроку розбиття  ці суми мають спільну межу:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження обсягу необхідно знати функцію Q(x), що є дуже проблематичним для складних тіл.

Приклад:Знайти об'єм кулі радіусу R.

В поперечних перерізахкулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою
.

Тоді функція площ перерізів має вигляд: Q(x) =
.

Отримуємо об'єм кулі:

Приклад:Знайти обсяг довільної піраміди з висотою Н та площею основи S.

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перерізі отримуємо фігури, подібні до основи. p align="justify"> Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х - відстань від площини перерізу до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подоби у квадраті, тобто.

Звідси отримуємо функцію площ перерізів:

Знаходимо об'єм піраміди:

18.5. Об'єм тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Припустимо, що функція f(x) безперервна на відрізку . Якщо відповідну їй криволінійну трапеціюз основами а і b обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.

y = f(x)

Т.к. кожне переріз тіла площиною x = const є коло радіусу
, то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений за формулою:

18.6. Площа поверхні тіла обертання.

М i B

Визначення: Площею поверхні обертаннякривою АВ навколо цієї осі називають межу, якого прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прагненні до нуля найбільших із довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2, …, Mn. Координати вершин отриманої ламаною мають координати xi і y . При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких дорівнює P i . Ця площа може бути знайдена за формулою:

Тут S i – довжина кожної хорди.

Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа) до відношення
.

Наведемо деякі програми певного інтеграла.

Обчислення площі плоскої фігури

Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою (де
), прямими
,
та відрізком
осі
, обчислюється за формулою

.

Площа фігури, обмеженою кривими
і
(де
) Прямими
і
обчислюється за формулою

.

Якщо крива задана параметричними рівняннями
, то площа криволінійної трапеції, обмеженою цією кривою, прямими
,
та відрізком
осі
, обчислюється за формулою

,

де і визначаються з рівнянь
,
, а
при
.

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданою в полярних координатах рівнянням
та двома полярними радіусами
,
(
), знаходиться за формулою

.

Приклад 1.27.Обчислити площу фігури, обмеженою параболою
і прямий
(Рис 1.1).

	Рішення.Знайдемо точки перетину прямої та параболи. Для цього вирішимо рівняння , . Звідки , . Тоді за формулою (1.6) маємо .

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Якщо крива
на відрізку
- Гладка (тобто похідна
безперервна), то довжина відповідної дуги цієї кривої знаходиться за формулою

.

За параметричного завдання кривої
(
- безперервно диференційовані функції) довжина дуги кривої, що відповідає монотонній зміні параметра від до , обчислюється за формулою

приклад 1.28.Обчислити довжину дуги кривої
,
,
.

Рішення.Знайдемо похідні за параметром :
,
. Тоді за формулою (1.7) отримуємо

.

2. Диференціальне обчислення функцій кількох змінних

Нехай кожній упорядкованій парі чисел
з деякої області
відповідає певній кількість
. Тоді називається функцією двох змінних і ,
-незалежними змінними або аргументами ,
-областю визначення функції, а безліч всіх значень функції - областю її значень і позначають
.

Геометрично область визначення функції зазвичай є деякою частиною площини
, обмежену лініями, які можуть належати або не належати до цієї області.

Приклад 2.1.Знайти область визначення
функції
.

	Рішення.Ця функція визначена у тих точках площині , в яких , або . Точки площини, для яких , утворюють кордон області . Рівняння задає параболу (рис. 2.1; оскільки парабола не належить до області , То вона зображена пунктирною лінією). Далі, легко перевірити безпосередньо, що точки, для яких розташовані вище параболи. Область є відкритою і її можна поставити за допомогою системи нерівностей:

Якщо змінною дати деяке приріст
, а залишити постійною, то функція
отримає приріст
, зване приватним збільшенням функції по змінній :

Аналогічно, якщо змінна отримує приріст
, а залишається постійною, то функція
отримає приріст
, зване приватним збільшенням функції по змінній :

Якщо існують межі:

,

,

вони називаються приватними похідними функції
за змінними і відповідно.

Зауваження 2.1. Аналогічно визначаються приватні похідні функцій будь-якої кількості незалежних змінних.

Зауваження 2.2. Оскільки приватна похідна за будь-якою змінною є похідною за цією змінною за умови, що інші змінні – постійні, всі правила диференціювання функцій однієї змінної застосовні перебування приватних похідних функцій будь-якого числа змінних.

Приклад 2.2.
.

Рішення. Знаходимо:

,

.

Приклад 2.3.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. Знаходимо:

,

,

.

Повним збільшенням функції
називається різниця

Головна частина повного збільшення функції
, що лінійно залежить від прирощень незалежних змінних
і
,називається повним диференціалом функції і позначається
. Якщо функція має безперервні приватні похідні, то повний диференціал існує і дорівнює

,

де
,
- довільні збільшення незалежних змінних, звані їх диференціалами.

Аналогічно, для функції трьох змінних
повний диференціал визначається виразом

.

Нехай функція
має у точці
приватні похідні першого порядку за всіма змінними. Тоді вектор називається градієнтом функції
у точці
і позначається
або
.

Зауваження 2.3. Символ
називається оператором Гамільтона та вимовляється “намбла”.

Приклад 2.4.Знайти градієнт функції у точці
.

Рішення. Знайдемо приватні похідні:

,
,

і обчислимо їх значення у точці
:

,
,
.

Отже,
.

Похідний функції
у точці
за напрямком вектора
називають межу відношення
при
:

, де
.

Якщо функція
диференційована, то похідна у цьому напрямку обчислюється за такою формулою:

,

де ,- кути, який вектор утворює з осями
і
відповідно.

У разі функції трьох змінних
похідна за напрямом визначається аналогічно. Відповідна формула має вигляд

,

де
- напрямні косинуси вектора .

приклад 2.5.Знайти похідну функції
у точці
у напрямку вектора
, де
.

Рішення. Знайдемо вектор
та його напрямні косинуси:

,
,
,
.

Обчислимо значення приватних похідних у точці
:

,
,
;
,
,
.

Підставляючи (2.1), отримуємо

.

Приватними похідними другого порядку називають приватні похідні, взяті від приватних похідних першого порядку:

,

,

,

Приватні похідні
,
називаються змішаними . Значення змішаних похідних рівні тих точках, у яких ці похідні безперервні.

Приклад 2.6.Знайти приватні похідні другого порядку функції
.

Рішення. Обчислимо попередньо приватні похідні першого порядку:

,
.

Продиференціювавши їх ще раз, отримаємо:

,
,

,
.

Порівнюючи останні вирази, бачимо, що
.

Приклад 2.7.Довести, що функція
задовольняє рівняння Лапласа

.

Рішення. Знаходимо:

,
.

,
.

.

Крапка
називається точкою локального максимуму (мінімуму ) функції
якщо для всіх точок
, відмінних від
і тих, що належать досить малій її околиці, виконується нерівність

(
).

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом . Крапка, в якій досягається екстремум функції, називається точкою екстремуму функції .

Теорема 2.1 (Необхідні умови екстремуму ). Якщо точка
є точкою екстремум функції
, Тої або хоча б одна з цих похідних не існує.

Крапки, для яких ці умови виконані, називаються стаціонарними або критичними . Крапки екстремуму завжди є стаціонарними, але стаціонарна точка може і не бути точкою екстремуму. Щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, повинні виконуватись достатні умови екстремуму.

Введемо попередньо такі позначення :

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достатні умови екстремуму ). Нехай функція
двічі диференційована на околиці точки
і крапка
є стаціонарною для функції
. Тоді:

1.Якщо
, то точка
є екстремумом функції, причому
буде точкою максимуму при
(
)і точкою мінімуму при
(
).

2.Якщо
, то в точці

екстремуму немає.

3.Якщо
то екстремум може бути, а може і не бути.

Приклад 2.8.Дослідити на екстремум функцію
.

Рішення. Бо в даному випадкуприватні похідні першого порядку завжди існують, то для знаходження стаціонарних (критичних) точок вирішимо систему:

,
,

звідки
,
,
,
. Таким чином, отримали дві стаціонарні точки:
,
.

,
,
.

Для точки
отримуємо: тобто в цій точці екстремуму немає. Для точки
отримуємо:
, отже

у цій точці дана функціядосягає локального мінімуму: .

Певний інтеграл (ОІ) широко використовується у практичних додатках математики та фізики.

Зокрема, у геометрії за допомогою ОІ знаходять площі простих фігурта складних поверхонь, обсягів тіл обертання та тіл довільної форми, довжин кривих на площині та у просторі.

У фізиці та теоретичної механікиОІ застосовують для обчислення статичних моментів, мас і центрів мас матеріальних кривих та поверхонь, для обчислення роботи змінної сили по криволінійному шляху та ін.

Площа плоскої фігури

Нехай деяка плоска фігура у декартовій прямокутної системикоординат $xOy$ зверху обмежена кривою $y=y_(1) \left(x\right)$, знизу - кривою $y=y_(2) \left(x\right)$, а ліворуч і праворуч вертикальними прямими $ x=a$ та $x=b$ відповідно. В загальному випадкуплоща такої фігури виражається за допомогою ОІ $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x\right)\right )\cdot dx$.

Якщо ж деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ праворуч обмежена кривою $x=x_(1) \left(y\right)$, ліворуч - кривою $x=x_(2) \left(y\right) $, а знизу і зверху горизонтальними прямими $y=c$ і $y=d$ відповідно, то площа такої фігури виражається за допомогою ОІ $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Нехай плоска фігура (криволінійний сектор), що розглядається в полярній системі координат, утворена графіком безперервної функції $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а також двома променями, що проходять під кутами $\phi =\alpha $ і $\phi =\beta$ відповідно. Формула для обчислення площі такого криволінійного сектора має вигляд: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left(\phi \right ) \ cdot d \ phi $.

Довжина дуги кривої

Якщо на відрізку $ \ left [ \ alpha , \; \beta \right]$ крива задана рівнянням $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярній системі координат, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\int \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Якщо на відрізку $\left$ крива задана рівнянням $y=y\left(x\right)$, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Якщо на відрізку $ \ left [ \ alpha , \; \beta \right]$ крива задана параметрично, тобто $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то довжина її дуги обчислюється за допомогою ОІ $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Обчислення об'єму тіла за площами паралельних перерізів

Нехай необхідно знайти обсяг просторового тіла, координати точок якого задовольняють умовам $a\le x\le b$, і для якого відомі площі перерізів $S\left(x\right)$ площинами, перпендикулярними до осі $Ox$.

Формула для обчислення об'єму такого тіла має вигляд $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Об'єм тіла обертання

Нехай на відрізку $ \ left $ задана невід'ємна безперервна функція $ y = y \ left (x \ right) $, що утворює криволінійну трапецію (КрТ). Якщо крутити цю КрТ навколо осі $Ox$, то утворюється тіло, зване тілом обертання.

Обчислення об'єму тіла обертання є окремим випадком обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перерізів. Відповідна формула має вигляд $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ зверху обмежена кривою $y=y_(1) \left(x\right)$, знизу - кривою $y=y_(2) \left(x\right)$ , де $y_(1) \left(x\right)$ і $y_(2) \left(x\right)$ -- невід'ємні безперервні функції, а ліворуч і праворуч вертикальними прямими $x=a$ і $x=b$ відповідно. Тоді об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $Ox$, виражається ОІ $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^(2) \left(x) \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Нехай деяка плоска фігура в декартовій прямокутній системі координат $xOy$ праворуч обмежена кривою $x=x_(1) \left(y\right)$, зліва - кривою $x=x_(2) \left(y\right)$ , де $x_(1) \left(y\right)$ і $x_(2) \left(y\right)$ - невід'ємні безперервні функції, а знизу і зверху горизонтальними прямими $y=c$ і $y= d$ відповідно. Тоді об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо осі $Oy$, виражається ОІ $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площа поверхні тіла обертання

Нехай на відрізку $\left$ задана невід'ємна функція $y=y\left(x\right)$ з безперервною похідною $y"\left(x\right)$. Ця функція утворює КрТ. Якщо крутити цю КрТ навколо осі $Ox $, вона сама утворює тіло обертання, а дуга КрТ - його поверхню.Площа поверхні такого тіла обертання виражається формулою $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Припустимо, що криву $x=\phi \left(y\right)$, де $\phi \left(y\right)$ -- задана на відрізку $c\le y\le d$ невід'ємна функція, що обертають навколо осі $Oy$. У цьому випадку площа поверхні утвореного тіла обертання виражається ОІ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right)\cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

Фізичні програми ОІ

1. Для обчислення пройденого шляху в момент часу $t=T$ при змінній швидкості руху $v=v\left(t\right)$ матеріальної точки, яка почала рух у момент часу $t=t_(0) $, використовують ОІ $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Для обчислення роботи змінної сили $F=F\left(x\right)$, доданої до матеріальної точки, що переміщається по прямолінійному шляхувздовж осі $Ox$ від точки $x=a$ до точки $x=b$ (напрямок дії сили збігається з напрямком руху) використовують ОІ $A=\int \limits _(a)^(b)F\left(x \right)\cdot dx$.
3. Статичні моменти щодо координатних осейматеріальної кривої $y=y\left(x\right)$ на проміжку $\left$ виражаються формулами $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left(x\) right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ і $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, де лінійна щільність $\rho $ цієї кривої вважається постійною.
4. Центр мас матеріальної кривої - це точка, у якій умовно зосереджена вся її маса в такий спосіб, що статичні моменти точки щодо координатних осей дорівнюють відповідним статичним моментам всієї кривої загалом.

Формули для обчислення координат центру мас плоскої кривої мають вигляд $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\) right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ і $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

5. Статичні моменти матеріальної плоскої фігуриу вигляді КрТ щодо координатних осей виражаються формулами $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x\) right)\cdot dx $ і $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. Координати центру мас матеріальної плоскої фігури у вигляді КрТ, утвореної кривою $y=y\left(x\right)$ на проміжку $\left$, обчислюють за формулами $x_(C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $ і $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.