Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії з раннього віку. Одне з самих базових знань цієї області – це знаходження площі різних фігур. У цій статті ми намагатимемося навести всі можливі способи отримання цієї величини, від найпростіших до найскладніших.

Основа

Перша формула, яку вивчають діти у школі, передбачає перебування площі трикутника через довжину його висоти та основи. Висота - це відрізок, проведений з вершини трикутника під прямим кутом до протилежної сторони, яка буде основою. Як знайти площу трикутника за цими величинами?

Якщо V – висота, а O – основа, тоді площа S=V*O:2.

Інший варіант отримання необхідної величини вимагає від нас знання довжин двох сторін, а також величини кута між ними. Якщо у нас L і M – довжини сторін, а Q – кут між ними, тоді ви можете отримати площу за формулою S=(L*M*sin(Q))/2.

Формула Герону

Крім всіх інших відповідей на питання про те, як обчислити площу трикутника, є формула, що дозволяє отримати необхідне значення, знаючи виключно довжини сторін. Тобто, якщо нам відомі довжини всіх сторін, то немає необхідності проводити висоту і обчислювати її довжину. Ми можемо скористатися так званою формулою Герона.

Якщо M, N, L - це довжина сторін, тоді ми можемо знайти площу трикутника, так. P=(M+N+L)/2, тоді необхідна нам величина S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Зрештою, нам залишиться лише вирахувати корінь.

Для прямокутного трикутника формула Герона трохи спрощується. Якщо M, L це катети, тоді S = (P-M) * (P-L).

Кола

Інший спосіб, за допомогою якого можна знайти площу трикутника, передбачає використання вписаних та описаних кіл. Щоб отримати необхідну нам величину за допомогою вписаного кола, нам потрібно дізнатися її радіус. Позначимо його "r". Тоді формула, за якою ми проводитимемо обчислення, набуде наступного вигляду: S=r*P, де P - це половина від суми довжин усіх сторін.

У прямокутному трикутнику ця формула трохи перетворюється. Звичайно, ви можете використовувати і зазначену вище, проте краще взяти для обчислень інший вираз. S=E*W, де E і W - це довжини відрізків, куди ділиться гіпотенуза, точкою дотику кола.

Говорячи про описане коло, знайти площу трикутника, також не складе труднощів. Ввівши позначення R як радіус описаного кола можна отримати наступну формулу, необхідну для обчислення шуканої величини: S= (M*N*L):(4*R). Де три перші величини – це сторони трикутника.

Говорячи про рівносторонній трикутник, за рахунок низки найпростіших математичних перетворень можна отримати німого змінені формули:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S = 3 * 3 1/2 * r 2 .

У всякому разі, будь-яка формула, що дозволяє знайти площу трикутника, може бути змінена відповідно до даних поставленого завдання. Отже всі написані висловлювання є абсолютами. При розв'язанні задач поміркуйте, щоб знайти найбільш вдалий спосіб вирішення.

Координати

При вивченні координатних осей завдання, що стоять перед учнями, ускладнюються. Однак не настільки, щоб впадати у паніку. Для того щоб знайти площу трикутника за координатами вершин, ви можете скористатися все тією самою, але трохи зміненою формулою Герона. Для координат вона набуває наступного вигляду:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

Втім, ніхто не забороняє, використовуючи координати, обчислити довжини сторін трикутника і потім, за формулами, написаними вище, порахувати площу. Для перетворення координат у довжину користуйтеся наступною формулою:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Примітки

У статті використовувалися стандартні позначення величин, що застосовуються за умов більшості завдань. При цьому ступінь "1/2" означає, що вам необхідно витягти корінь із усього виразу під дужками.

При виборі формули будьте уважнішими. Деякі їх втрачають свою актуальність залежно від початкових умов. Наприклад, формула описаного кола. Вона здатна вирахувати вам результат у будь-якому разі, проте може бути така ситуація, коли трикутника із заданими параметрами може взагалі не існувати.

Якщо ви сидите вдома та робите домашнє завдання, тоді можете скористатися онлайн-калькулятором. Багато сайтів надають можливість обчислення різних величин за заданими параметрами, причому не має значення, яким саме. Ви можете вписати початкові дані в поля, і комп'ютер (сайт) порахує за вас результат. Таким чином, ви зможете уникнути помилок, допущених через неуважність.

Сподіваємося наша стаття відповіла всі ваші питання щодо обчислення площі різних трикутників, і вам не доведеться шукати додаткову інформацію в іншому місці. Удачі з навчанням!

Щоб визначити площу трикутника, можна користуватися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак цей метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.

Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника – прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.

Універсальні способи знаходження площі трикутника

У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:

• a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
• r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
• R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
• α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
• β - величина кута між a та c;
• γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
• h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
• p – половина суми сторін a, b та с.

Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.

S = ½ a · b · sin γ

Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.

Площа аналізованої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір півпериметра на радіус згаданого кола.

S = a · b · с/4R

Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола, навколо неї описаної.

Ці формули універсальні, тому що дають можливість визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити за допомогою складніших обчислень, на яких ми докладно зупинятися не станемо.

Площі трикутників зі специфічними властивостями

Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:

Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом розподілу на 2 твори квадрата сторони, а на синус кута γ.

Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів – α. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.

Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач

Нижче наведено формули знаходження площі довільного трикутникаякі підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника незалежно від його властивостей, кутів або розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведено пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах та графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо трикутник має особливі властивості (рівностегновий, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• Формули площі рівностороннього трикутника

Формули площі трикутника

Пояснення до формул:
a, b, c- Довжини сторін трикутника, площа якого ми хочемо знайти
r- радіус вписаного в трикутник кола
R- радіус описаного навколо трикутника кола
h- Висота трикутника, опущена на бік
p- Півпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра)
α - кут, що протилежить стороні a трикутника
β - Кут, що протилежить стороні b трикутника
γ - кут, що протилежить стороні з трикутника
h a, h b , h c- висота трикутника, опущена на бік a, b, c

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, що знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити у потрібні місця правильні формули значення.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена(Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб'є довільний трикутник на два прямокутні. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h, то, очевидно, площа даних трикутників дорівнюватиме рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh)
• Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін на синус кута між ними(Формула 2) (див. приклад розв'язання задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона здається несхожою на попередню, вона легко може бути перетворена в неї. Якщо з кута B опустити висоту на бік b, виявиться, що добуток сторони a на синус кута γ за властивостями синуса у прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що й дасть нам попередню формулу
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твірполовини радіусу вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін(Формула 3), простіше кажучи, потрібно півпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легко запам'ятати)
• Площа довільного трикутника можна знайти, розділивши твір всіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4)
• Формула 5 являє собою знаходження площі трикутника через довжини його сторін та його напівпериметр (половину суми всіх його сторін)
• Формула Герону(6) - це уявлення тієї ж формули без використання поняття напівпериметра, тільки через довжини сторін
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрата сторони трикутника на синуси кутів, що прилягають до цієї сторони, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7)
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів. (Формула 8)
• Якщо відома довжина однієї сторони і величини двох кутів, що прилягають до неї, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цієї сторони, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9)
• Якщо відома лише довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника обернено пропорційна довжинам цих висот, як за Формулою Герону
• Формула 11 дозволяє обчислити площа трикутника за координатами його вершин, які задані у вигляді значень (x; y) кожної з вершин. Зверніть увагу, що значення, що вийшло необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть всіх) вершин можуть знаходитися в області негативних значень

Примітка. Далі наведено приклади розв'язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, схожої на яку тут немає - пишіть про це у форумі. У рішеннях замість символу "квадратний корінь" може застосовуватися функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Іноді для простих підкорених виразів можна використовувати символ √

Завдання. Знайти площу з обох боків та кутку між ними

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення.

Для вирішення цієї задачі використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і дорівнюватиме
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (згідно з формулою) у нас є, нам залишається тільки підставити значення з умови завдання до формули:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставимо вираз значення синуса 60 градусів. Він дорівнюватиме кореню з трьох на два.
S = 15√3/2

Відповідь: 7,5 √3 (залежно від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3/2)

Завдання. Знайти площу рівностороннього трикутника

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3см.

Рішення .

Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3/4*a 2

S = √3/4*3 2

Відповідь: 9 √3 / 4.

Завдання. Зміна площі при зміні довжини сторін

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити у 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення задачі вважатимемо, що довжини сторін відповідно дорівнюють довільним числам a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання задачі, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого вчетверо більше. Співвідношення площ цих трикутників дасть нам відповідь завдання.

Далі наведемо текстове пояснення розв'язання задачі кроків. Однак, в самому кінці, це саме рішення наведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Охочі можуть відразу опуститися донизу рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона так:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника складе:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(Див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 – загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
Тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 чудово витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. п'ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на запитання, задане в задачі, нам достатньо розділити площу трикутника, що вийшов, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вирази один на одного і скоротивши дроб, що вийшов.

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує полупериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони та розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а+в+с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але врятує, якщо забулося, як знаходити півпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони а, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * до * sin γ. Подібним чином слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьох відомих кутах. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на вчетверний радіус описаного кола. У буквеному вираженні це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє уникнути знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Окремий випадок: прямокутний трикутник

Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а та в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що позначає половину.

Окремий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ у √(4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони та кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.

Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на картонному папері

Найпростіша ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складніше виявляється ситуація, у якій жодна із сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умова. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4*14) = 2√(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умова. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Доведеться розв'язати систему із двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 =? а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: 2 + 31 - 360 = 0. Воно дає два значення для «в»: 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, сторону та кут трикутника

Умова. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з його сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30 º.

Рішення. З прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут “γ”. Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.

Відповідь. Шукана сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умова. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут і утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, розділеному на два, тобто 1176 см2.

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .

Формул для обчислення площі трикутника в інтернеті можна знайти понад 10. Чимало з них застосовується в задачах із відомими сторонами та кутами трикутника. Однак є ряд складних прикладів, де за умовою завдання відомі тільки одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного або вписаного кола і ще одна характеристика. У разі просту формулу застосувати не вдасться.

Наведені нижче формули дозволять вирішити 95 відсотків завдань, у яких потрібно знайти площу трикутника.
Перейдемо до розгляду найпоширеніших формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на малюнку нижче

На малюнку і далі у формулах введено класичні позначення всіх його характеристик
a, b, c – сторони трикутника,
R - радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] – висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta, hamma – кути біля вершин.

Основні формули площі трикутника

1. Площа дорівнює половині добутку сторони трикутника на висоту опущеної до цієї сторони. На мові формул це визначення можна записати так

Таким чином, якщо відома сторона та висота – то площа знайде кожен школяр.
До речі, із цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами

2. Якщо врахувати, що висота трикутника через сусідню сторону виражається залежністю

То з першої формули площі слідують однотипні другі

Уважно подивіться на формули – їх легко запам'ятати, оскільки у творі фігурує дві сторони та кут між ними. Якщо правильно позначити сторони та кути трикутника (як на малюнку вище), то отримаємо дві сторони a,b і кут пов'язаний з третьоюЗ (hamma).

3. Для кутів трикутника справедливе співвідношення

Залежність дозволяє застосовувати у обчисленнях наступні формули площі трикутника

Приклади на цю залежність зустрічаються дуже рідко, але пам'ятати що така формула Ви повинні.

4. Якщо відома сторона і два прилеглі кути, то площа знаходиться за формулою

5. Формула площі через бік та котангенс прилеглих кутів наступна

Перестановкою індексів можна отримати залежність інших сторін.

6. Наведена нижче формула площі використовується в задачах, коли вершини трикутника задані на площині координатами. І тут площа дорівнює половині визначника взятого по модулю.

7. Формула Геронузастосовують у прикладах із відомими сторонами трикутника.
Спочатку знаходять півпериметр трикутника

А потім визначають площу за формулою

або

Її часто використовують у коді програм калькуляторів.

8. Якщо відомі всі висоти трикутника, то площа визначають за формулою

Вона складна для обчислення на калькуляторі, однак у пакетах MathCad, Mathematica, Maple площа знаходиться на «разів два».

9. Наступні формули використовують відомі радіуси вписаних та описаних кіл.

Зокрема, якщо відомо радіус і сторони трикутника, або його периметр, то площа обчислюється згідно з формулою

10. У прикладах де задані сторони та радіус або діаметр описаного кола площа знаходять за формулою

11. Наступна формула визначає площу трикутника через сторону та кути трикутника.

Ну і насамкінець - окремі випадки:
Площа прямокутного трикутниказ катетами a та b дорівнює половині їх твору

Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника=

= однієї четвертої добутку квадрату боку на корінь із трійки.