Доказ нерівностей із геометричних міркувань. Доказ та розв'язання нерівностей

Ваша мета:знати методи доказу нерівностей та вміти їх застосовувати.

Практична частина

Поняття доказу нерівності . Деякі нерівності звертаються у вірне числова нерівністьпри всіх допустимих значенняхзмінних чи деякому заданому безлічі значень змінних. Наприклад, нерівності а 2 ³0, ( а–b) 2 ³ 0 , a 2 + b 2 + c 2 " ³ 0 вірні за будь-яких дійсних значень змінних, а нерівність ³ 0 – при будь-яких дійсних невід'ємних значеннях а.Іноді виникає завдання доказу нерівності.

Довести нерівність – означає показати, що ця нерівність звертається у правильну числову нерівність за всіх допустимих значеннях змінних чи заданому безлічі значень цих змінних.

Методи доказу нерівностей.Зауважимо, що загального способу підтвердження нерівностей немає. Однак, деякі з них можна вказати.

1. Метод оцінки знака різниці між лівою та правою частинами нерівності.Складається різницю лівої і правої частин нерівності і встановлюється, позитивна чи негативна ця різниця при аналізованих значеннях змінних (для нестрогих нерівностей треба встановити, неотрицательная чи позитивна ця різниця).

Приклад 1. Для будь-яких дійсних чисел аі bмає місце нерівність

a 2 +b 2 ³ 2 ab. (1)

Доведення. Складемо різницю лівої та правої частин нерівності:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 .

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є числом неотрицательным, то ( a – b) 2 ³ 0, а, отже, a 2 +b 2 ³ 2 abдля будь-яких дійсних чисел аі b.Рівність (1) має місце в тому і тільки в тому випадку, коли а = b.

Приклад 2. Довести, що якщо а³ 0 та b³ 0, то ³ , тобто. середнє арифметичне невід'ємних дійсних чисел аі bне менше їх середнього геометричного.

Доведення. Якщо а³ 0 та b³ 0, то

³ 0. Значить, ³ .

2. Дедуктивний методдокази нерівностей.Сутність цього методу полягає в наступному: за допомогою низки перетворень виводять потрібну нерівність з деяких відомих (опорних) нерівностей. Як опорні можуть використовуватися, наприклад, нерівності: а 2 ³ 0 за будь-якого aÎ R ; (a – b) 2 ³ 0 за будь-яких аі bÎ R ; (а 2 + b 2) ³ 2 abза будь-яких a, bÎ R ; ³ при а ³ 0, b ³ 0.

Приклад 3. Довести, що для будь-яких дійсних чисел аі bмає місце нерівність

а 2 + b 2 + з 2³ ab+bc+ac.

Доведення. З вірних нерівностей ( a – b) 2 ³ 0, ( b – c) 2 ³ 0 та ( c – a) 2 ³ 0 слід, що а 2 + b 2 ³ 2 ab, b 2 + c 2 ³ 2 bc, c 2 + a 2 ³ 2 ac.Склавши почленно всі три нерівності і розділивши обидві частини нового на 2, отримаємо потрібну нерівність.

Вихідна нерівність можна довести і першим способом. Справді, а 2 + b 2 + з 2 –ab – bc – ac = 0,5(2а 2 + 2b 2 + 2з 2 – 2ab – 2bc – 2ac) = = 0,5((a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2)³ 0.

Різниця між а 2 + b 2 + з 2 та ab+bc+acбільше або дорівнює нулю, а це означає, що а 2 + b 2 + з 2³ ab+bc+ac(Рівність справедлива тоді і тільки тоді, коли а = b = с).

3. Метод оцінок за доказом нерівностей.

Приклад 4. Довести нерівність

+ + + … + >

Доведення. Легко помітити, що ліва частина нерівності містить 100 доданків, кожне з яких не менше. У такому разі кажуть, що ліву частину нерівності можна оцінити знизу так:

+ + + … + > = 100 = .

4. Метод повної індукції.Сутність методу полягає у розгляді всіх окремих випадків, що охоплюють умову завдання в цілому.

Приклад 5. Довести, що якщо х > ï уï , то х > у.

Доведення. Можливі два випадки:

а) у³ 0 ; тоді ï уï = у,а за умовою х >ï уï . Значить, х > у;

б) у< 0; тоді ï уï > уі за умовою х >ï уï, отже, х > у.

Практична частина

Завдання 0. Візьміть чистий листпаперу та на ньому запишіть відповіді на всі усні вправи, наведені нижче. Потім свої відповіді звірте з відповідями або короткими вказівками, наведеними в кінці цього навчального елементарубрики «Ваш помічник».

Усні вправи

1. Порівняйте суму квадратів двох нерівних чисел та з їх подвоєним твором.

2. Доведіть нерівність:

а) ;

б) ;

в) ;

3. Відомо, що . Доведіть, що .

4. Відомо, що . Доведіть, що .

Завдання 1.Що більше:

а) 2+11 або 9; г) + або;

б) або +; д) - або;

в) + або 2; е) + 2 або +?

Завдання 2.Доведіть, що за будь-якого дійсного xмає місце нерівність:

а) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

б) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); д) ³ 2 x;

в) ( x– 2) 2 > x(x- 4); е) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Завдання 3.Доведіть, що:

а) x 3+1³ x 2 + x,якщо x³ –1;

б) x 3 + 1 £ x 2 + x,якщо x£ -1 .

Завдання 4.Доведіть, що якщо a ³ 0, b³ 0, з³ 0, d³ 0, то

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ ( ac + bd) 2 .

Завдання 5.Доведіть нерівність, виділивши повний квадрат:

а) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

б) x 2 + y 2 + 2³2( x + y);

в 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

г) x 2 – xy + y 2 ³ 0 ;

д) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2( х+у+z);

e) ( x + l)( x – 2y + l) + y 2 ³ 0 .

Завдання 6.Доведіть, що:

а) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

б) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2у + 1 > 0;

у 3 x 2 + y 2 + 8x + 4y – 2xy + 22 ³ 0;

г) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Завдання 7.Доведіть, що якщо n³ k³ 1, то k(n – k+ 1) ³ n.

Завдання 8.Доведіть, що якщо 4 а + 2b= 1, то a 2 + b 2³ .

Визначте значення аі b,у яких має місце рівність.

Завдання 9.Доведіть нерівність:

а) х 3 + у 3³ х 2 у + ху 2 при x³ 0 та y ³ 0;

б) х 4 + у 4³ х 3 у + ху 3 за будь-яких xі у;

в) х 5 + у 5 ³ х 4 у + ху 4 при x³ 0 та y ³ 0;

г) х n + у n ³ х n-1 у + ху n-1 при x³ 0 та y ³ 0.

Навчальний заклад: МОУ Ліцей №1 м.Комсомольськ-на-Амурі

Керівник: Будлянська Наталія Леонідівна

Якщо ви хочете брати участь у великого життя, то наповнюйте свою голову математикою, поки є можливість. Вона надасть вам згодом величезну допомогу у всій вашій роботі. (М.І. Калінін)

Подання лівої частини нерівності як суми неотрицательных доданків (права частина дорівнює 0) з допомогою тотожностей.

Приклад 1. Довести що для будь-якого ХR

Доведення . 1 спосіб.

2 спосіб.

для квадратичної функції

що означає її позитивність за будь-якого дійсного х.

Приклад 2. Довести, що для будь-яких x та y

Доведення.

Приклад 3. Довести, що

Доведення.

Приклад 4. Довести, що для будь-яких a та b

Доведення.

2. Метод від протилежного

Ось добрий приклад застосування даного методу.

Довести, що з a, b ϵ R.

Доведення.

Припустимо, що.

Але що явно доводить, що наше припущення неправильне.

Ч.Т.Д.

Приклад 5.Довести, що для будь-яких чисел А,В,С справедлива нерівність

Доведення.Очевидно, що цю нерівність достатньо встановити для невід'ємних А, Ві З,тому що матимемо наступні відносини:

, що є обґрунтуванням вихідної нерівності .

Нехай тепер знайшлися такі негативні числа А, Ві З, для яких виконується нерівність

, що неможливо за жодних дійсних А,Ві З. Зроблене вище припущення спростовано, що доводить досліджувану вихідну нерівність.

Використання властивостей квадратного тричлена

Метод заснований на властивості невід'ємності квадратного тричлена, якщо

і.

Приклад 6. Довести, що

Доведення.

Нехай, a=2, 2>0

=>

Приклад 7. Довести, що для будь-яких дійсних х і у має місце бути нерівність

Доведення. Розглянемо ліву частину нерівність як квадратний тричлен щодо х:

, а>0, D

D= => P(x)>0і

вірно за будь-яких дійсних значень хі у.

Приклад 8. Довести, що

на будь-яких дійсних значеннях х і у.

Доведення. Нехай ,

Це означає, що для будь-яких дійсних уі нерівність

виконується за будь-яких дійсних хі у.

Метод введення нових змінних або метод підстановки

Приклад 9. Довести, що для будь-яких невід'ємних чисел х, у, z

Доведення. Скористаємося вірною нерівністю для,

.

Отримуємо досліджувану нерівність

Використання властивостей функцій.

Приклад 10. Доведемо нерівність

для будь-яких а та b.

Доведення. Розглянемо 2 випадки:

• Якщо а = b, то вірно

причому рівність досягається лише за а=b=0.

2) Якщо

, на R =>

()* ()>0, що доводить нерівність

Приклад 11. Доведемо, що для будь-яких

Доведення.

на R.

Якщо, то знаки чисел і збігаються, що означає позитивність досліджуваної різниці =>

Застосування методу математичної індукції

Цей метод застосовується для доказу нерівностей щодо натуральних чисел.

Приклад 12. Довести, що для будь-якого nϵN

• Перевіримо істинність затвердження при

- (Вірно)

2) Припустимо вірність затвердження при

(k>1)

3) Доведемо істинність затвердження за n=k+1.

Порівняємо і: ,

Маємо:

Висновок: твердження правильне для будь-кого nϵN.

Використання чудових нерівностей

• Теорема про середні (нерівність Коші)

• Нерівність Коші – Буняковського

• Нерівність Бернуллі

Розглянемо кожну з перерахованих нерівностей окремо.

Застосування теореми про середні (нерівності Коші)

Середнє арифметичне кількох неотрицательных чисел більше чи дорівнює їх середнього геометричного

, де

Знак рівності досягається тоді і лише тоді, коли

Розглянемо окремі випадки цієї теореми:

• Нехай n = 2, тоді

• Нехай n=2, a>0 тоді

• Нехай n = 3, тоді

Приклад 13. Довести, що для всіх невід'ємних a, b, c виконується нерівність

Доведення.

Нерівність Коші – Буняковського

Нерівність Коші – Буняковського стверджує, що для будь-яких; справедливе співвідношення

Доведена нерівність має геометричну інтерпретацію. Для n=2,3 воно висловлює відомий факт, що скалярне добуток двох векторів на площині і просторі вбирається у добуток їх довжин. Для n=2 нерівність має вигляд: . Для n=3 отримаємо

Приклад 14.

Доведення. Запишемо досліджувану нерівність у такому вигляді:

Це свідомо справжня нерівність, оскільки є окремим випадком нерівності Коші – Буняковського.

Приклад 15. Довести, що для будь-яких a,b,c ϵ R справедлива нерівність

Доведення. Досить записати цю нерівність у вигляді

та послатися на нерівність Коші – Буняковського.

Нерівність Бернуллі

Нерівність Бернуллі стверджує, що х>-1, то для всіх натуральних значень n виконується нерівність

Нерівність може застосовуватися для виразів виду

Крім того, велика група нерівностей може бути легко доведена за допомогою теореми Бернуллі.

Приклад 16.

Доведення. Поклавши х=0,5 тазастосувавши теорему Бернуллі для вираження

Отримаємо потрібну нерівність.

Приклад 17. Довести, що для будь-яких n ϵ N

Доведення.

за теоремою Бернуллі, що й потрібно.

Давида Гільберта запитали про одного його колишніх учнів. "А, такий-то? - Згадав Гільберт. - Він став поетом. Для математики в нього було дуже мало уяви."

: Розширити свої знання у сфері доказу нерівностей Познайомитись з нерівністю Коші. Навчитися застосовувати вивчені методи для доказу нерівностей.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Державна бюджетна загальноосвітня установа

середня загальноосвітня школа №655

Приморського району Санкт-Петербурга

«Доказ нерівностей. Нерівність Коші»

2014р.

Лі Ніна Юріївна

8в клас

Інструкція…………………………………………………………………………………….3

Вступ …………………………………………………………………………………….. 4

Історична довідка………………………………………………………………………..4

Нерівність Коші……………………………………………………………………………5

Доказ нерівностей…………………………………………………………………..7

Висновки дослідження………………………………………………………………………..10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Лі Ніна

м. Санкт-Петербург, ДБОУ ЗОШ №655, 8 клас

«Доказ нерівностей. Нерівність Коші».

керівник: Мороз Юлія Володимирівна, учитель математики

Ціль наукової роботи: Розширити свої знання у сфері доказу нерівностей Познайомитись з нерівністю Коші. Навчитися застосовувати вивчені методи для доказу нерівностей.

ВСТУП

«…основні результати математики найчастіше виражаються не рівностями, а нерівностями».

Е. Беккенбах

Вирішенням нерівностей ми займаємося протягом усього шкільного курсу. Нерівності можна вирішувати графічним та аналітичним способом. Щоб вирішити будь-яку нерівність існує певний алгоритмдій, тому дане завданняє, швидше механічною дією, який вимагає творчого підходу.

Навпаки, підтвердження нерівностей вимагає неформального, варіативного підходу. Тому доказ нерівностей є найцікавішим.

Однак, у шкільному курсіМатематика доказу нерівностей приділяється дуже мало уваги. Доказ нерівностей зводиться одного прийому- оцінці різниці елементів нерівності.Тим часом, на математичних олімпіадах часто зустрічаються завдання на доказ нерівностей із застосуванням інших способів та прийомів (використання опорних нерівностей, метод оцінювання).На олімпіадах для школярів з математики також часто пропонуються нерівності, доказ яких краще виявляє здібності та можливості учнів, ступінь їх інтелектуального розвитку. Крім того, багато завдань підвищеної складності(З різних розділів математики) ефективно вирішуються за допомогою нерівностей.

Актуальність теми «Доказ нерівностей» безперечна, оскільки нерівності відіграють фундаментальну роль більшості розділів сучасної математики, без них не може обійтися ні фізика, ні астрономія, ні хімія. Теорія ймовірності, математична статистика, фінансова математика, економіка – всі ці взаємопов'язані і узагальнюючі одне одного науки й у формулюваннях основних своїх законів, й у методи їх отримання, й у додатках, постійно використовують нерівності.

Докази нерівностей допомагають розвинути навичку осмислення та застосування прийомів доказу нерівностей; вміння застосовувати їх під час виконання різних завдань; вміння аналізувати, узагальнювати та робити висновки; логічно викладати думки; творчо ставиться до справи.

Метою даної є розширення знань у галузі методів і прийомів доказу нерівностей.

Для досягнення цієї мети дослідження ми поставили собі завдання:

• збір інформації з різних джерел про прийоми та методи доказу нерівностей;
• познайомиться з нерівністю Коші;
• Навчиться застосовувати опорні нерівності до підтвердження складніших нерівностей.

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

Поняття «більше» і «менше» поряд із поняттям «рівність» виникли у зв'язку з рахунком предметів та необхідністю порівнювати різні величини. Поняттями нерівності користувалися ще давні греки. Архімед (III ст. до н. е.), займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що «периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших». Інакше висловлюючись, Архімед вказав межі числа π.

У 1557 р., коли Роберт Рекорд вперше ввів знак рівності, він мотивував своє нововведення в такий спосіб: жодні два предмети не можуть бути між собою більш рівними, ніж два паралельних відрізка. Виходячи зі знака рівності Рекорду, інший англійський вчений Гарріот ввів уживані й досі знаки нерівності, обґрунтовуючи нововведення в такий спосіб: якщо дві величини не рівні, то відрізки, що фігурують у знаку рівності, вже не паралельні, а перетинаються. Перетин може мати місце праворуч (>) або зліва (

Незважаючи на те, що знаки нерівності були запропоновані через 74 роки після запропонованого Рекордом знака рівності, вони увійшли у вживання набагато раніше останнього. Одна з причин цього явища корениться в тому, що друкарні застосовували на той час для знаків нерівності латинську літеру, що вже була у них. V, тоді як набірного знака рівності (=) вони були, а виготовляти його тоді - було нелегко.

Знаки ≤ і ≥ запровадив французький математик П. Буге.

НЕРАВЕНСТВО КІШІ

Застосовувані докази нерівностей ідеї майже так само різноманітні, як і самі нерівності. У конкретних ситуаціях загальні методи часто призводять до негарних рішень. Але неочевидне комбінування кількох «базових» нерівностей вдається лише небагатьом. І, крім того, ніщо не заважає нам у кожному конкретному випадку пошукати зручніше, краще рішення, ніж отримане загальним методом. Тому докази нерівностей нерідко відносять до галузі мистецтва. І як у всякому мистецтві тут є свої технічні прийоми, Набір яких дуже широкий і опанувати всі дуже складно.

Однією з таких «базових» нерівностей є нерівність Коші, що вказує на співвідношення двох середніх величин – середнього арифметичного та середнього геометричного. Середнє арифметичне вивчається у шкільному курсі п'ятого класу та виглядає таким чиномСереднє геометричне вперше з'являється в курсі геометрії восьмого класу.. В прямокутному трикутникутакою властивістю володіють три відрізки: два катети та перпендикуляр, опущений з вершини прямого кутана гіпотенузу.

Між цими цими двома величинами існує дивовижне співвідношення, яке досліджували вчені. О. Коші, французький математик, дійшов висновку про те, що середнє арифметичне n невід'ємних чисел завжди не менше середнього геометричного цих чисел.

Поряд із нерівністю Коші корисно знати наслідки з нього:

Рівність досягається за a = b.

Нерівності є вірними, якщо виконуються умови a > 0, b > 0.

Алгебраїчне підтвердження цього не рівності досить просте:

(а – в)² ≥ 0;

Застосуємо формулу «квадрат різниці»:

а² - 2ав + в? ≥0;

Додамо до обох частин нерівності 4ав:

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Застосуємо формулу «квадрат суми»:

(а + в) ² ≥4ав;

Розділимо обидві частини нерівності на 4 :

Бо а і в - Позитивні за умовою, то витягнемо з обох частин нерівності квадратний корінь:

Отримали шуканий вираз.

Розглянемо геометричний доказ:

Дано: ABCD - прямокутний, AD = a, AB = b, AK - бісектриса кута ВАD.

Довести:

Доведення:

1. АК - бісектриса, отже,ВАL = LAD. LAD та BLA – внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних ВС та AD та січній AL, тобто BLA = LAD.
2. В = 90 °, отже, BAL = LAD = 45°, але BLA = LAD, отже, ∆ АВL - рівнобедрений, BL = AB = b.
3. ∆AKD – рівнобедрений, тому що KD┴ AD, DAL = 45 °, отже AD = KD = a.

Очевидно, що , рівність досягається при

a = b , тобто ABCD – квадрат.

замінимо у нерівностіа² на m, b² на n, отримаємо

Або ,

тобто середнє геометричне не більше середнього арифметичного.

ДОВІД НЕРАВЕНСТВ

Спосіб синтезу.

Це метод, заснований на отриманні (синтезуванні) нерівності (яку потрібно обґрунтувати) з опорних (базових) нерівностей та методів їх встановлення.

Розв'яжемо задачу, використовуючи метод синтезу

Завдання 1. Доведіть, що для будь-яких негативних a, b, c справедлива нерівність

Рішення. Запишемо три нерівності, що встановлюють залежність між середнім арифметичним та середнім геометричним двом невід'ємним числам

Перемножимо почленно отримані нерівності, тому що їх ліва та права частини невід'ємні

Задача 2. Застосуємо нерівність Коші до підтвердження цієї нерівності:

Метод використання тотожностей.

Суть способу у тому, що це нерівність шляхом рівносильних перетворень наводиться очевидному тотожності.

Розглянемо розв'язання задачі цим способом.

Завдання. Доведіть, що для будь-яких дійсних чисел a і b справедлива нерівність.

Рішення. Виділимо у лівій частині нерівності повний квадрат

За будь-яких дійсних a і b цей вислів невід'ємний, отже і ця нерівність здійсненна, тобто.

ВИСНОВОК

Дана дослідницька робота була спрямована на вирішення наступних завдань:

• збір інформації та вивчення різних методівта прийомів доказу нерівностей;
• знайомство з чудовою нерівністю Коші, його доказ алгебраїчним та геометричним способом;
• застосування одержаних знань для доказу нерівностей;
• знайомство з методом синтезу та використання тотожностей у вирішенні поставлених завдань.

У процесі вирішення завдань ми досягли поставленої мети нашої дослідницької роботи-знаходження оптимально ефективного методудокази нерівностей.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Алгебра. 8 клас: навч. для учнів загальнообр. учредд./ Ю.Н.Макаричев, Н.Г.Міндюк, К.І.Нешков, І.Є.Феоктистов.-13-е вид.- М.:Мнемозіна,2013.-384с.

1. Алгебра. 8 клас. Дидактичні матеріали. Методичні рекомендації/ І. Є. Феоктистів.-3-е вид., стер.-М.: Мнемозіна, 2013.-173 с.

1. Мордкович О.Г. Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А.Г. Мордкович. - 10-те вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2008. - 215с., З 185-200.

1. Берколайко С.Т. Використання нерівності Коші під час вирішення задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

Рідкісна олімпіада обходиться без завдань, в яких потрібно довести деяку нерівність. Алгебраїчні нерівності доводяться за допомогою різних методів, що ґрунтуються на рівносильних перетворенняхта властивості числових нерівностей:

1) якщо a – b > 0, то a > b; якщо a – b

2) якщо a> b, то b a;

3) якщо a

4) якщо a

5) якщо a 0, то ac

6) якщо a bc; a / c > b / c;

7) якщо a 1

8) якщо 0

Нагадаємо деякі опорні нерівності, які часто використовуються для доказу інших нерівностей:

1) а 2> 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 - 4ac

3) x + 1/x > 2, при x > 0, x + 1 / x –2, при x

4) | a + b | |a| + | b |, | a - b | > |a| – |b|;

5) якщо a > b > 0, то 1/a

6) якщо a > b > 0 і x > 0, то a x > b x , зокрема, для натурального n > 2

a 2 > b 2 і n √ a > n √ b;

7) якщо a > b > 0 і x

8) якщо х > 0, то sin x

Багато завдань олімпіадного рівня, і це не тільки нерівності, ефективно вирішуються за допомогою деяких спеціальних нерівностей, з якими учні школи часто не знайомі. До них, перш за все, слід зарахувати:

• нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним позитивних чисел(Нерівність Коші):

• нерівність Бернуллі:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, де α > -1, n – натуральне число;

• нерівність Коші – Буняковського:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 );

До «найпопулярніших» методів доказу нерівностей можна віднести:

• доказ нерівностей з урахуванням визначення;
• метод виділення квадратів;
• метод послідовних оцінок;
• метод математичної індукції;
• використання спеціальних та класичних нерівностей;
• використання елементів математичного аналізу;
• використання геометричних міркувань;
• ідея посилення та ін.

Завдання з рішеннями

1. Довести нерівність:

а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);

б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 за x > 0, y > 0.

а) Маємо

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

що очевидно.

б) Доведена нерівність після множення обох частин на 2 набуває вигляду

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

або

(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

або

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

що очевидно. Рівність має місце лише за a = b = 1.

в) Маємо

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2+y 2) > 0.

2. Довести нерівність:

а)	a	+	b		>	2 при a>0, b>0;
	b		a

б)	Р	+	Р	+	Р		> 9, де a, b, c – сторони та P – периметр трикутника;
	a		b		c

в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0 де a > 0, b > 0, c > 0.

а) Маємо:

a	+	b	– 2 =	a 2 + b 2 – 2ab	=	(a – b) 2		> 0.
b		a		ab		ab

б ) Доказ цієї нерівності елементарно випливає з наступної оцінки:

b + c	+	a + c	+	a + b	=
a		b		c

=

b

+

c

+

a

+

c

+

a

+

b

=

a

a

b

b

c

c

= (

b

+

a

) + (

c

+

a

) + (

c

+

b

) > 6,

a

b

a

c

b

c

Рівність досягається для рівностороннього трикутника.

в) Маємо:

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) =

= abc (

a

+

b

– 2 +

b

+

c

– 2 +

a

+

c

– 2 ) =

c

c

a

a

b

b

= abc ((

a

+

b

– 2) + (

a

+

c

– 2) + (

b

+

c

– 2) ) > 0,

b

a

c

a

c

b

оскільки сума двох позитивних взаємно зворотних чисел більша або дорівнює 2.

3. Довести, що якщо a + b = 1, має місце нерівність a 8 + b 8 > 1 / 128 .

З умови, що a + b = 1, випливає, що

a2+2ab+b2=1.

Складемо цю рівність з очевидною нерівністю

a 2 - 2ab + b 2 > 0.

Отримаємо:

2a 2 + 2b 2 > 1, чи 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

отримаємо:

8a 4 + 8b 4 > 1, звідки 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Склавши цю нерівність із очевидною нерівністю

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

отримаємо:

128a 8 + 128b 8 > 1 або a 8 + b 8 > 1/128.

4. Що більше е е · π πабо е 2 π?

Розглянемо функцію f(x) = x - π · ln x . Оскільки f'(x) = 1 – π/х , і зліва від точки х = π f'(x) 0 , а праворуч - f'(x) > 0, то f(x)має найменше значенняу точці х = π . Таким чином f(е) > f(π), тобто

е – π · ln е = е – π > π – π · ln π

або

е + π · ln π > 2π .

Звідси отримуємо, що

е е+ π · ln π > е 2 π,

е е· е π · ln π > е 2 π ,

е е · π π > е 2 π.

5. Довести, що

lg (n+1) >	lg 1 + lg 2 +. . . + lg n	.
	n

Використовуючи властивості логарифмів, неважко звести цю нерівність до рівносильної нерівності:

(n + 1) n> n!,

де n! = 1 · 2 · 3 · . . . · N (n-факторіал). Крім того має місце система очевидних нерівностей:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n,

після почленного множення яких безпосередньо отримуємо, що (n + 1) n > n!.

6. Довести, що 2013 2015 · 2015 2013

Маємо:

2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =

2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013

Очевидно, так само можна отримати загальне твердження: для будь-якого натурального n виконується нерівність

(n - 1) n +1 (n + 1) n -1

7. Доведіть, що для будь-якого натурального числа n виконується нерівність:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n – 1	.
1!		2!		3!		n!		n

Оцінимо ліву частину нерівності:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	1 · 2		1 · 2 · 3		1 · 2 · 3 · 4		1 · 2 · 3 · . . . · n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	1 · 2		2 · 3		3 · 4		(n – 1) · n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n – 1		n		n

що й потрібно було довести.

8. Нехай а 1 2, а 2 2, а 3 2,. . . , А n 2 - Квадрати n різних натуральних чисел. Доведіть, що

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	а 1 2			а 2 2			а 3 2			а n 2		2

Нехай найбільше із цих чисел дорівнює m. Тоді

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	а 1 2			а 2 2			а 3 2			а n 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m 2

тому що в праву частинудодано множники, менші 1.Обчислимо праву частину, розклавши кожну дужку на множники:

=	2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (m - 1) 2 · (m + 1)	=	m + 1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . · m 2 Розкривши в лівій частині дужки, отримаємо суму 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + an –1 an) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + an –2 an –1 an) + . . . + a 1 a 2. . . a n. Сума чисел у другій дужці не перевищує (a 1 + . . . + a n) 2 сума в третій дужці не перевищує (a 1 + . . . + a n) 3 і так далі. Отже, весь твір не перевищує 1+1/2+1/4+1/8+. . . + 1 / 2 n = 2 - 1 / 2 n Спосіб 2. Методом математичної індукції доведемо, що для всіх натуральних n правильна нерівність: (1+a 1) . . . (1 + a n) За n = 1 маємо: 1 + a 1 1 . Нехай за n = k має місце:(1 + a 1). . . (1 + a k) 1 +. . . + a k). Розглянемо випадок n=k+1:(1 + a 1). . . (1 + a k )(1 + a k +1 ) (1 + 2(a 1 + . . . + a k ) )(1 + a k +1 ) ≤ 1 + 2(a 1+. . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 · 1/2) = 1 + 2(a 1 + . . . + a k + a k +1). З принципу математичної індукції нерівність доведено. 10. Довести нерівність Бернуллі: (1 + α) n ≥ 1 + nα, де α> -1, n – натуральне число. Скористаємося методом математичної індукції. При n = 1 отримуємо справжню нерівність: 1 + α ≥ 1 + α. Припустимо, що має місце нерівність: (1 + α) n ≥ 1 + nα. Покажемо, що тоді має місце і (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α. Справді, оскільки α > –1 тягне α + 1 > 0, то помножуючи обидві частини нерівності (1 + α) n ≥ 1 + nα на (a + 1), отримаємо (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) або (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 Оскільки nα 2 ≥ 0, отже, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α. Таким чином, згідно з принципом математичної індукції, нерівність Бернуллі справедлива. Завдання без рішень 1. Довести нерівність для позитивних значеньзмінних a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Довести, що за будь-якого a має місце нерівність 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 . 3. Довести, що багаточлен x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 при всіх значеннях x позитивний. 4. Для 0 e довести нерівність (e+ x) e– x > ( e- x) e+ x. 5. Нехай a, b, c – позитивні числа. Доведіть, що a + b + b + c + a + c ≤ 1 + 1 +

МОУ Гришине-Слобідська середня загальноосвітня школа

Програма модуля

«Методи доказу нерівностей»

в рамках елективного курсу

«За сторінками підручника математики»

для учнів 10-11 класів

Склав:

учитель математики

Панкова Є.Ю

Пояснювальна записка

«Математику називають тавтологічною наукою: іншими словами, про математиків кажуть, що вони витрачають час на доказ того, що предмети рівні самі собі. Це твердження дуже неточне з двох причин. По-перше, математика, незважаючи на властиву їй наукова мова, не є наукою; швидше її можна назвати мистецтвом. По-другеосновні результати математики частіше виражаються нерівностями, а чи не рівностями.»

Нерівності використовуються в практичної роботиматематика постійно. Вони застосовуються для отримання ряду цікавих та важливих екстремальних властивостей «симетричних» фігур: квадрата, куба, рівностороннього трикутника, а також для доказу збіжності ітераційних процесів та обчислення деяких меж. Важлива роль нерівностей та у різних питаннях природознавства та техніки.

Завдання на підтвердження нерівностей найважчі та найцікавіші з традиційних. Докази нерівностей вимагають істинної винахідливості, творчості, які роблять математику тим, що захоплює уяву предметом, яким вона є.

Навчання доказам грає велику роль розвитку дедуктивно- математичного мислення та загальних розумових здібностей учнів. Як навчити школярів самостійно проводити докази нерівностей? Відповідь говорить: лише шляхом розгляду багатьох прийомів та методів доказів та регулярного їх застосування.

Застосовувані докази нерівностей ідеї майже так само різноманітні, як і самі нерівності. У конкретних ситуаціях загальні методи часто призводять до негарних рішень. Але неочевидне комбінування кількох «базових» нерівностей вдається лише небагатьом школярам. І, крім того, ніщо не заважає учневі в кожному конкретному випадку пошукати краще рішення, ніж отримане загальним способом. Тому докази нерівностей нерідко відносять до галузі мистецтва. І як у будь-якому мистецтві тут є свої технічні прийоми, набір яких дуже широкий і оволодіти всіма дуже складно, але кожен вчитель має прагне розширення наявного в його запасі математичного інструменту.

Цей модуль рекомендується для учнів 10-11 класів. Тут розглядаються в повному обсязі можливі методи докази нерівностей (не порушено метод заміни змінної, доказ нерівностей з допомогою похідної, метод дослідження та узагальнення, прийом впорядкування). Запропонувати розглянути решту методів можна на другому етапі (наприклад, в 11 класі), якщо даний модуль курсу викличе інтерес у учнів, а також орієнтуючись на успіхи засвоєння першої частини курсу.

		Рівняння та нерівності з параметром.
		Методи доказу нерівностей.
		Рівняння та нерівності, що містять невідоме під знаком модуля.
		Системи нерівностей із двома змінними.

«За сторінками підручника математики»

«Методи доказу нерівностей»

		Вступ.
		Доказ нерівностей виходячи з визначення.
		Метод математичної індукції.
		Застосування класичних нерівностей.
		графічний метод.
		Метод від неприємного.
		Прийом розгляду нерівностей щодо однієї із змінних.
		Ідея посилення.
		Урок – контроль.

Урок 1. Вступ.

Доказ нерівностей - цікава і складна тема елементарної математики. Відсутність єдиного підходудо проблеми доказу нерівностей, призводить до пошуку низки прийомів, придатних для доказу нерівностей певних видів. На даному курсі будуть розглядатися наступні методидокази нерівностей:

Повторення:

Провести докази деяких властивостей.

Класичні нерівності:

1)
(Нерівність Коші)

2)

3)

4)

Історична довідка:

Нерівність (1) називають на честь французького математикаОгюсту Коші. Число
називають середнім арифметичнимчисел a та b;

число
називають середнім геометричнимчисел a та b. Таким чином, нерівність означає, що середнє арифметичне двох позитивних чисел не менше їх середнього геометричного.

Додатково:

Розглянути кілька математичних софізмів з нерівностями.

Математичний софізм- дивовижне твердження, у підтвердженні якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки.

Софізми - це помилкові результати, отримані за допомогою міркувань, які тільки здаються правильними, але обов'язково містять ту чи іншу помилку.

Приклад:

Чотири більше ніж дванадцять

Урок2. Доказ нерівностей виходячи з визначення.

Суть цього методу полягає в наступному: для того, щоб встановити справедливість нерівності F(x,y,z)>S(x,y,z) складають різницю F(x,y,z)-S(x,y,z) і доводять, що вона є позитивною. Застосовуючи цей метод, часто виділяють квадрат, куб суми чи різниці, неповний квадрат суми чи різниці. Це допомагає визначити знак різниці.

приклад. Довести нерівність (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2 x

Доведення:

Розглянемо різницю (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 +2 (x + y) cosx + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + cosx) 2 + cos 2 x 0.

Довести нерівність:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Урок3.Метод математичної індукції.

При доказі нерівностей, куди входять натуральні числачасто вдаються до методу математичної індукції. Метод полягає в наступному:

1) перевіряємо істинність теореми для n=1;

2) допускаємо, що теорема правильна для деякого n=k, і виходячи з цього припущення доводимо істинність теореми для n=k+1;

3) на підставі перших двох кроків та принципу математичної індукції укладаємо, що теорема вірна для будь-якого n.

приклад.

Довести нерівність

Доведення:

1) при n=2 нерівність вірна:

2)Нехай нерівність правильна для n=k тобто.
(*)

Доведемо, що нерівність правильна при n=k+1, тобто.
. Помножимо обидві частини нерівності (*) на
отримаємо 3)З п1.і п.2 робимо висновок, що нерівність правильна для будь-якого n.

Завдання для роботи в класі та вдома

Довести нерівність:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Урок4. Застосування класичних нерівностей.

Суть цього методу полягає в наступному: за допомогою низки перетворень виводять потрібну нерівність за допомогою деяких класичних нерівностей.

приклад.

Довести нерівність:

Доведення:

Як опорну нерівність використовуємо
.

Наведемо цю нерівність до наступного виду:

тоді

Але =
тоді

Довести нерівність:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(для док-ва використовується нерівність
)

2)
(Док-ва використовується нерівність)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (для док-ва використовується нерівність)

4)
(Док-ва використовується нерівність).

Урок5. графічний метод.

Доказ нерівностей графічним методомполягає в наступному: якщо доводимо нерівність f(x)>g(x)(f(x)

1) побудувати графіки функцій y=f(x) та y=g(x);

2) якщо графік функції y = f (x) розташований вище (нижче) графіка функції y = g (x), то доводиться нерівність вірно.

приклад.

Довести нерівність:

cosx
,x0

Доведення:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій y=cosx та

З графіка видно, що з x0 графік функції y=cosx лежить вище графіка функції y= .

Завдання для роботи в класі та вдома.

Довести нерівність:

1)

3)ln(1+x) 0

4)
.

5)

Урок6.Метод від неприємного

Суть цього методу ось у чому: нехай треба довести істинність нерівності F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Припускають неприємне, тобто хоча б одного набору змінних справедливо нерівність F(x,y,z) S(x,y,z) (2). Використовуючи властивості нерівностей, виконують перетворення нерівності (2). Якщо внаслідок цих перетворень виходить хибна нерівність, це означає, що припущення про справедливість нерівності (2) неправильне, тому правильне нерівність (1).

приклад.

Довести нерівність:

Доведення:

Припустимо неприємне, тобто.

Зведемо обидві частини нерівності в квадрат, отримаємо , звідки
і далі

. Але це суперечить нерівності Коші. Значить наше припущення неправильне, тобто справедлива нерівність

Завдання для роботи в класі та вдома.

Довести нерівність:

Урок7. Прийом розгляду нерівностей щодо однієї із змінних.

Суть методу полягає у розгляді нерівності та її вирішення щодо однієї змінної.

приклад.

Довести нерівність:

приклад.

Довести нерівність:

Доведення:

Завдання для роботи в класі та вдома.

Довести нерівність:

1)

2)

3)

Урок9. Урок-контроль знань учнів.

Роботу на цьому уроці можна організувати в парах або якщо велика кількість класу в групах. Наприкінці уроку кожен учень має бути оцінено. Це і є залікова форма за цим курсом. На цю тему не рекомендується проводити контрольну роботу т.к. Доказ нерівностей, як це говорилося в пояснювальній записці, відносять до галузі мистецтва. На початку учням пропонується самим визначити спосіб підтвердження запропонованих нерівностей. Якщо ж у учнів виникнуть труднощі, то вчитель повідомляємо їм раціональний метод, попередивши групу, що це, звичайно, вплине на їх оцінку.

методи Доведеннянерівностей. Це методдоказинерівностейза допомогою введення допоміжних функцій...

Елективний курс з математики нерівності

Елективний курс

Не знайомі, різні методидоказинерівностей, а також застосування нерівностей нерівностейза допомогою методу методдля доказинерівностей, вирішувати задачі...

Елективний курс з математики Нерівності Методи доказів Пояснювальна записка

Елективний курс

Не знайомі, різні методидоказинерівностей, а також застосування нерівностейпри розв'язанні задач... Вміти: проводити оцінку нерівностейза допомогою методуШтурма, застосовувати розглянутий методдля доказинерівностей, вирішувати задачі...

Елективний курс математики Нерівності Методи доказів Пояснювальна записка (1)

Елективний курс

Не знайомі, різні методидоказинерівностей, а також застосування нерівностейпри розв'язанні задач... Вміти: проводити оцінку нерівностейза допомогою методуШтурма, застосовувати розглянутий методдля доказинерівностей, вирішувати задачі...