Тема 6 - багаточлени арифметичні. Завдання для самостійного вирішення

Заочна школа 7 клас. Завдання №2.

Методичний посібник №2.

Теми:

Багаточлени. Сума, різниця та добуток багаточленів;

Розв'язання рівнянь та завдань;

Розкладання багаточленів на множники;

Формули скороченого множення;

Завдання для самостійного вирішення.

Багаточлени. Сума, різниця та добуток багаточленів.

Визначення. Багаточленомназивається сума одночленів.

Визначення. Одночлени, з яких складено багаточлен, називають членами багаточлена.

Розмноження одночлена на багаточлен .

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен член багаточлена та отримані твори скласти.

Множення багаточлена на багаточлен .

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Приклади вирішення завдань:

Спростіть вираз:

Рішення.

Рішення:

Оскільки, за умовою коефіцієнт при повинен дорівнювати нулю, то

Відповідь: -1.

Розв'язання рівнянь та задач.

Визначення . Рівність, що містить змінну, називається рівнянням з однією змінноюабо рівнянням з одним невідомим.

Визначення . Коренем рівняння (рішенням рівняння)називається значення змінної, у якому рівняння звертається у правильне рівність.

Вирішити рівняння - значить знайти безліч коренів.

Визначення. Рівняння виду
, де х змінна, a і b - Деякі числа, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Визначення.

Безлічкоріння лінійного рівняння може:

Приклади вирішення завдань:

Чи є це число 7 коренем рівняння:

Рішення:

Таким чином, х = 7 - корінь рівняння.

Відповідь: так.

Розв'яжіть рівняння:

Рішення:
Відповідь: -12		Відповідь: -0,4

Від пристані до міста вирушив човен зі швидкістю 12км/год, а за півгодини у цьому напрямку вирушив пароплав зі швидкістю 20 км/год. Яка відстань від пристані до міста, якщо пароплав прийшов до міста раніше човна на 1,5 год.

Рішення:

Позначимо за х – відстань від пристані до міста.

	Швидкість (км/год)	Час (год)	Шлях (км)
Човен
Пароплав

За умовою завдання, човен витратив часу на 2 години більше, ніж пароплав (оскільки пароплав вийшов від пристані на півгодини пізніше і прибув до міста на 1,5 год раніше за човен).

Складемо і розв'яжемо рівняння:

60 км - відстань від пристані до міста.

Відповідь: 60 км.

Довжину прямокутника зменшили на 4 см і отримали квадрат, площа якого менша за площу прямокутника на 12см². Знайдіть площу прямокутника.

Рішення:

Нехай х – сторона прямокутника.

	Довжина	Ширина	Площа
Прямокутник			х(х-4)
Квадрат			(х-4)(х-4)

За умовою завдання площа квадрата менша за площу прямокутника на 12см².

Складемо і розв'яжемо рівняння:

7 см – довжина прямокутника.

(см²) – площа прямокутника.

Відповідь: 21 см².

Туристи пройшли запланований маршрут за три дні. У перший день вони пройшли 35% наміченого маршруту, у другий – на 3 км більше, ніж у перший, а в третій – 21 км, що залишилися. Яка довжина маршруту?

Рішення:

Нехай х довжина всього маршруту.

	1 день	2 день	3 день
Довжина колії		0,35х+3
Усього довжина колії становила х км.

Таким чином, складемо і розв'яжемо рівняння:

0,35 х +0,35 х +21 = х

0,7 х + 21 = х

0,3 х = 21

70 км. довжина всього маршруту.

Відповідь: 70 км.

Розкладання багаточленів на множники.

Визначення . Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називають розкладанням на множники.

Винесення загального множника за дужки .

Приклад :

Спосіб угруповання .

Угруповання потрібно проводити так, щоб у кожній групі виявився загальний множник, крім того, після винесення загального множника за дужки в кожній групі, отримані вирази повинні мати загальний множник.

Приклад :

Формули скороченого множення.

Твір різниці двох виразів та його суми дорівнює різниці квадратів цих выражений.

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів, плюс квадрат другого виразу. рішення. 1. Знайдіть залишок під час поділу багаточленах6 - 4х4 + х3 ... не має рішень, а рішеннямидругий служать пари (1; 2) та (2; 1). Відповідь: (1; 2), (2; 1). Завдання для самостійного рішення. Вирішіть систему...

• Прикладна навчальна програма з алгебри та початків аналізу для 10 -11 класів (профільний рівень) Пояснювальна записка

  Програма

  У кожному параграфі надається необхідна кількість завдань для самостійного рішенняу порядку підвищення їх складності. ... алгоритм розкладання багаточленаза ступенями двочлена; багаточлениз комплексними коефіцієнтами; багаточлениіз дійсними...

• Елективний курс «Вирішення нестандартних завдань. 9 клас» Виконав учитель математики

  Елективний курс

  Рівняння рівносильне рівнянню Р(х) = Q(X), де Р(х) і Q(x) – деякі багаточлениз однією змінною х. Перенесення Q (x) в ліву частину ... = . ВІДПОВІДЬ: х1 = 2, х2 = -3, хз =, х4 = . ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ. Розв'язати наступні рівняння: х4 – 8х...

• Програма факультативу з математики для 8 класу

  Програма

  Теорему алгебри, теорему Вієта дляквадратного тричлена та для багаточленадовільного ступеня, теорему про раціональні... матеріал. Надається не тільки список завдань для самостійного рішення, Але і завдання зробити модель-розгортку.

Урок на тему: "Поняття та визначення багаточлена. Стандартний вид багаточлена"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник за підручником Ю.М. Макарічева
Електронний навчальний посібник з підручника Ш.А. Алімова

Ви вже вивчали одночлени в темі: Стандартний вид одночлена. Визначення. приклади. Давайте повторимо основні визначення.

Одночлен- Вираз, що складаються з твору чисел і змінних. Змінні можуть бути зведені у натуральний ступінь. Одночлен не містить жодних інших дій, крім множення.

Стандартний вид одночлена- Такий вид, коли на першому місці стоїть коефіцієнт (числовий множник), а за ним ступеня різних змінних.

Подібні одночлени- Це або однакові одночлени, або одночлени, які відрізняються один від одного на коефіцієнт.

Поняття багаточлена

Багаточлен, як і одночлен, - це узагальнена назва математичних виразів певного виду. Ми вже стикалися з такими узагальненнями раніше. Наприклад, "сума", "твір", "зведення до ступеня". Коли ми чуємо "різницю чисел", нам і на думку не спаде думка про множення або поділ. Також і багаточлен – це вираз строго певного виду.

Визначення багаточлена

Багаточлен- це сума одночленів.

Одночлени, що входять до складу багаточлена, називаються членами багаточлена. Якщо доданків два, то маємо справу з двочленом, якщо три, то з тричленом. Якщо доданків більше кажуть – багаточлен.

Приклади багаточленів.

1) 2аb + 4сd (двульон);

2) 4аb + 3сd + 4x (трьохчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Подивимося уважно останні вираз. За визначенням, багаточлен це - сума одночленів, але в останньому прикладі ми не лише складаємо, а й віднімаємо одночлени.
Щоб внести ясність, розглянемо невеликий приклад.

Запишемо вираз а + b - с(Договоримося, що а ≥ 0, b ≥ 0 та з ≥0) і відповімо питанням: це сума чи різницю? Складно сказати.
Справді, якщо переписати вираз, як а + b + (-с), ми отримаємо суму двох позитивних та одного негативного доданків.
Якщо подивитися на наш приклад, то ми маємо справу саме із сумою одночленів із коефіцієнтами: 3, - 2, 7, -5. У математиці є термін "алгебраїчна сума". Отже, у визначенні многочлена мають на увазі " алгебраїчна сума " .

А ось запис виду 3а: b + 7з багаточленом не є тому, що 3а: b не є одночленом.
Не є багаточленом і запис виду 3b + 2а*(з 2+d), тому що 2а*(з 2+d) - не одночлен. Якщо розкрити дужки, то отриманий вираз буде багаточленом.
3b + 2а * (з 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Ступенем багаточленає найвища міра його членів.
Багаточлен а 3 b 2 +а 4 має п'ятий ступінь, тому що ступінь одночлена а 3 b 2 дорівнює 2 + 3 = 5, а ступінь одночлена а 4 дорівнює 4.

Стандартний вид багаточлену

Багаточлен, який не має подібних членів і записаний у порядку зменшення ступенів членів багаточлена, є багаточленом стандартного виду.

Багаточлен приводять до стандартного вигляду, щоб прибрати зайву громіздкість написання і спростити подальші дії з ним.

Справді, навіщо, наприклад, писати довгий вираз 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, коли його можна записати коротше 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Щоб привести багаточлен до стандартного вигляду, треба:
1. привести всі його члени до стандартного виду,
2. скласти подібні (однакові чи з різним числовим коефіцієнтом) члени. Ця процедура часто називається приведенням подібних.

приклад.
Привести багаточлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 до стандартного вигляду.

Рішення.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14 = 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Визначимо ступеня одночленів, що входять до складу висловлювання, і розставимо їх у порядку спадання.
11а 2 b має третій ступінь, 3 х 5 у 2 має сьомий ступінь, 14 – нульовий ступінь.
Отже, на перше місце ми поставимо 3 х 5 у 2 (7 ступінь), на друге – 12а 2 b (3 ступінь) та на третє – 14 (нульовий ступінь).
У результаті отримаємо багаточлен стандартного виду 3х5 у 2+11а2b+14.

Приклади для самостійного вирішення

Привести до стандартного виду багаточленів.

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50* (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40* (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5аbс + 7аb 2 - 6аbс + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

У цій частині Алгебри 7 клас Ви зможете вивчити шкільні уроки на тему «Многочлени. Арифметичні операції над багаточленами.

Навчальні відео уроки з алгебри 7 клас «Многочлени. Арифметичні операції над багаточленами” викладає вчитель школи “Логос ЛВ” Тарасов Валентин Олексійович. Також можете вивчити інші теми з алгебри

Ступінь як окремий випадок многочлена

На даному уроці будуть розглянуті основні поняття та визначення, підготовлено основу для вивчення складної та об'ємної теми, а саме: ми згадаємо теоретичний матеріал, що стосується ступенів – визначення, властивості, теореми, та вирішимо кілька прикладів для закріплення техніки.

Приведення багаточленів до стандартного вигляду. Типові завдання

На даному уроці ми згадаємо основні визначення даної теми та розглянемо деякі типові завдання, а саме приведення багаточлена до стандартного виду та обчислення чисельного значення при заданих змінних значеннях. Ми вирішимо кілька прикладів, у яких застосовуватиметься приведення до стандартного виду для вирішення різноманітних завдань.

Складання та віднімання багаточленів. Типові завдання

На даному уроці будуть вивчені операції складання та віднімання багаточленів, сформульовані правила для складання та віднімання. Розглянуто приклади та вирішено деякі типові завдання та рівняння, закріплено навички виконання цих операцій.

Множення багаточлена на одночлен. Типові завдання

На даному уроці буде вивчено операцію множення багаточлена на одночлен, що є основою вивчення множення многочленів. Згадаймо розподільний закон множення та сформулюємо правило множення будь-якого багаточлена на одночлен. Також згадаємо деякі властивості ступенів. Крім того, буде сформульовано типові помилки при виконанні різних прикладів.

Розмноження двочленів. Типові завдання

На даному уроці ми познайомимося з операцією множення найпростіших багаточленів – двочленів, сформулюємо правило їх множення. Виведемо деякі формули скороченого множення за допомогою цієї операції. Крім того, вирішимо велику кількість прикладів і типових завдань, а саме завдання на спрощення вираження, обчислювальне завдання та рівняння.

Розмноження тричленів. Типові завдання

На даному уроці ми розглянемо операцію множення тричленів, виведемо правило множення тричленів, насправді, сформулюємо правило множення багаточленів в цілому. Вирішимо кілька прикладів, що стосуються цієї теми, щоб надалі детальніше перейти до множення багаточленів.

Множення багаточлена на багаточлен

На цьому уроці ми згадаємо все, що вже вивчили про множення многочленів, підіб'ємо певний підсумок і сформулюємо загальне правило. Після цього виконаємо низку прикладів для закріплення техніки множення багаточленів.

Розмноження багаточленів у текстових задачах

На цьому уроці ми згадаємо метод математичного моделювання і вирішуватимемо завдання з його допомогою. Ми навчимося складати багаточлени та висловлювання з ними з умови текстового завдання та вирішувати ці завдання, а значить, застосовувати отримані знання про багаточлени у складніших видах роботи.

Розмноження багаточленів у задачах з елементами геометрії

На цьому уроці ми навчимося вирішувати текстові завдання з елементами геометрії, використовуючи метод математичного моделювання. Для цього спочатку згадаємо опорні геометричні факти та етапи розв'язання задач.

Формули скороченого множення. Квадрат суми та квадрат різниці

На цьому уроці ми познайомимося з формулами квадрата суми та квадрата різниці та виведемо їх. Формулу квадрата суми доведемо геометрично. Крім того, вирішимо багато різних прикладів із застосуванням цих формул.

Формули скороченого множення. Різниця квадратів

На цьому уроці ми згадаємо вивчені раніше формули скороченого множення, саме квадрата суми і квадрата різниці. Виведемо формулу різниці квадратів і вирішимо багато різних типових завдань застосування цієї формули. Крім того, вирішимо задачі на комплексне застосування кількох формул.

Формули скороченого множення. Різниця кубів та сума кубів

На цьому уроці ми продовжимо вивчати формули скороченого множення, а саме розглянемо формули різниці та суми кубів. Крім того, ми вирішимо різні типові задачі застосування даних формул.

Спільне застосування формул скороченого множення

Цей відеоурок буде корисним для всіх, хто хоче самостійно пройти тему «Спільне застосування формул скороченого множення». За допомогою цієї відеолекції ви зможете підсумувати, поглибити та систематизувати знання, отримані на минулих уроках. Вчитель навчить вас спільного застосування формул скороченого множення.

Формули скороченого множення у задачах підвищеної складності. Ч.1

На даному уроці ми застосуємо наші знання про багаточлени та формули скороченого множення для вирішення досить складного геометричного завдання. Це дозволить нам закріпити навички роботи з багаточленами.

Формули скороченого множення у задачах підвищеної складності. Ч.2

На цьому уроці ми розглянемо ускладнені завдання застосування формул скороченого множення, виконаємо багато різних прикладів закріплення техніки.

Геометричне завдання на паралелепіпед із застосуванням формули скороченого множення

На цьому відеоуроці всі охочі зможуть вивчити тему «Геометричне завдання на паралелепіпед із застосуванням формули скороченого множення». У результаті заняття учні зможуть потренуватися у використанні формули скороченого множення для паралелепіпеда. Зокрема, вчитель дасть геометричне завдання на паралелепіпед, яке необхідно розібрати та вирішити.

Поділ багаточлена на одночлен

На цьому уроці ми згадаємо правило розподілу одночлена на одночлен і сформулюємо основні опорні факти. Додамо деякі теоретичні відомості до відомих і виведемо правило розподілу многочлена на одночлен. Після цього виконаємо ряд прикладів різної складності для оволодіння технікою поділу багаточлена на одночлен.

Тема урока:

Багаточлени від однієї змінної.

11 клас

Учитель математики

Казанцева М.В.

МБОУ «ЗОШ №110»

Розглянемо багаточлени:

2х 2 - 11х +12

– 14х 5 + 3х 2 – 6х+7

х 6 + 11

Ці багаточлени записані у стандартному вигляді.

Багаточлен стандартного виду не містить подібних членів та записаний у порядку спаду ступенів його членів.

Р(х) = а п х п +а п-1 х п-1 +а п-2 х п-2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

де а 0 , а 1 , а 2 …. а п – деякі числа, причому а п  0, п 

а п х п – старший член багаточлена

а п – коефіцієнт при старшому

члені

п – ступінь багаточлена

а 0 – вільний член багаточлена

Р(х) = а п х п +а п-1 х п-1 +а п-2 х п-2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

Якщо

а п =1 ,

то багаточлен Р(х)- наведений

Приклад: х+3; х 5 +3х 2 -4

а п ≠1 ,

то багаточлен Р (х) - ненаведений

Приклад: 2х 2 +х; -0,5х 7 +3х 3 -11

Теорема 1:

Два багаточлени ( стандартного виду) тотожно рівні, якщо рівні їх ступеня і рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Завдання №1

Знайти числа а та b, якщо багаточлен х 3 + 6х 2 + ах + b дорівнює кубу двочлена х + 2

Операції над багаточленами:

1. Додавання та віднімання.

При складанні (відніманні) двох багаточленів різного ступеня, вийде багаточлен, ступінь якого дорівнює більшому з наявних ступенів.

Завдання №2

Знайдіть суму багаточленів

х+3 та -0,5х 5 +3х 2 -4

Операції над багаточленами:

1. Додавання та віднімання.

При складанні (відніманні) двох многочленів однієї й тієї ж ступеня, вийде многочлен тієї ж чи меншою мірою.

Завдання №3

Знайдіть суму та різницю багаточленів

2х 3 +3х 2 -х та -2х 3 +3х-4

Операції над багаточленами:

2. Твір.

Якщо многочлен р(х) має старший ступінь m, а многочлен s(x) – ступінь n, їх добуток р(х)∙ s(x) має ступінь m+n.

Завдання №4

Знайдіть твір багаточленів

х+3 та -0,5х 5 +3х 2 -4

Операції над багаточленами:

3. Зведення на ступінь.

Якщо многочлен р(х) ступеня m звести ступінь n, то вийде многочлен ступеня mn.

Завдання №5

Зведіть багаточлен

-0,5х 5 +3х 2 -4 у квадрат

Операції над багаточленами:

4. Розподіл багаточлена багаточлен.

Якщо багаточлен р(х) ділиться націло на ненульовий багаточлен s(х), якщо існує такий багаточлен q(х), що виконується тотожність:

p(х) = s(х) · q(х)

р(х) -подільне (або кратне)

s(х) - дільник

q(х) -приватне

Спосіб розподілу куточком

Розділити багаточлен 8х 2 +10х-3 на багаточлен 2х+3

2х+3

– 3

8х 2 +10х-3

–

8х 2 +12х

– 1

4х

– 2х

–

– 2х-3

0

Завдання №6

Розділити багаточлен 6х 3 +7х 2 - 6х +1 на багаточлен 3х -1

Завдання №7

Розділити багаточлен х 3 - 3х 2 + 5х - 15 на багаточлен х – 3

Завдання №8

Розділити багаточлен х 4 + 4 на багаточлен х 2 + 2х + 2

МБОУ «Відкрита (змінна) школа №2» міста Смоленська

Самостійні роботи

на тему: «Многочлени»

7 клас

Виконала

учитель математики

Міщенкова Тетяна Володимирівна

Усна самостійна робота №1 (підготовча)

(Проводиться з метою підготовки учнів до засвоєння нових знань на тему: «Многочлен та його стандартний вид»)

Варіант 1.

а) 1,4а + 1-а 2 – 1,4 + b 2 ;

б) а 3 - 3а +b + 2 ab – x;

в) 2аb + x – 3 ba – x.

Відповідь обґрунтуйте.

a) 2 a – 3 a +7 a;

б) 3х – 1+2х+7;

в) 2х-3у+3x+2 y.

a) 8xx;г) – 2a 2 ba

б) 10nmm;д) 5p 2 * 2p;

у 3aab; e) – 3 p * 1,5 p 3 .

Варіант 2

1. Назвіть подібні доданки у таких виразах:

а) 8,3х - 7 - х 2 + 4 + у 2 ;

б)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

у 3xy + y – 2 xy – y.

Відповідь обґрунтуйте.

2. Наведіть такі члени у виразах:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

б) 5х - 8+4х + 12;

в) 2х - 4у + 7х + 3у.

3. Приведіть одночлени до стандартного вигляду та вкажіть ступінь одночлена:

a) 10aaa;

б) 7mnn;

в) 3 cca;

г) – 5x 2 yx;

д) 8q 2 * 3 q;

е) – 7p * 0>5 q 4 .

Умова самостійної роботи пропонується на екрані або на дошці, але текст до початку самостійної роботи тримається закритим.

Самостійна робота проводиться на початку уроку. Після роботи використовується самоперевірка за допомогою комп'ютера або класної дошки.

Самостійна робота №2

(проводиться з метою закріплення умінь та навичок учнів наводити багаточлен до стандартного вигляду та визначати ступінь багаточлена)

Варіант 1

1. Наведіть багаточлен до стандартного вигляду:

a) x 2 y + yxy;

б) 3x 2 6y 2 - 5x 2 7y;

об 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

г) 1,9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 - 5t 2 - 11t - 3t 2 + 5t +11;

б) x 2 + 5x – 4 – x 3 - 5x 2 + 4x - 13.

4 x 2 - 1 приx = 2.

4. Додаткове завдання.

Замість * запишіть такий член, щоб вийшов багаточлен п'ятого ступеня.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Варіант 2

a) bab + a 2 b;

б) 5x 2 8y 2 + 7x 2 3y;

в 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

г) – 3,1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Наведіть подібні члени та вкажіть ступінь багаточлена:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b - 3b 3 - 8b - 5;

б) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 - 6hc.

3. Знайти значення багаточлена:

2 x 3 + 4 приx=1.

4. Додаткове завдання.

Замість* запишіть такий член, щоб вийшов багаточлен шостого ступеня.

x 3 – x 2 + x + * .

Варіант 3

1. Наведіть багаточлени до стандартного вигляду:

a) 2aa 2 3b + a8b;

б) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

в) 20xy + 5 yx – 17 xy;

г) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Наведіть подібні члени та вкажіть ступінь багаточлена:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 - 11xy + 3y 2 ;

б) 4b 2 + a 2 + 6ab - 11b 2 –7ab 2 .

3. Знайти значення багаточлена:

– 4 y 5 – 3 приy= –1.

4. Додаткове завдання.

Складіть багаточлен третього ступеня, що містить одну змінну.

Усна самостійна робота №3 (підготовча)

(Проводиться з метою підготовки учнів до засвоєння нових знань на тему: «Складання та віднімання багаточленів»)

Варіант 1

a) суму двох виразів 3a+ 1 таa – 4;

б) різницю двох виразів 5x– 2 та 2x + 4.

3. Розкрийте дужки:

a) y – ( y+ z);

б) (x – y) + ( y+ z);

в) (a – b) – ( c – a).

4. Знайти значення виразу:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

б) - 1,5 - (4 - 1,5);

в) (a – b) – ( c – a).

Варіант 2

1. Запишіть у вигляді виразу:

a) суму двох виразів 5a– 3 таa + 2;

б) різницю двох виразів 8y– 1 та 7y + 1.

2. Сформулюйте правило розкриття дужок, перед якими стоять знаки "+" або "-".

3. Розкрийтедужки:

a) a – (b+c);

б) (a – b) + (b+a);

в) (x – y) – ( y – z).

4. Знайти значення виразу:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

б) - 8,1 - (4 - 8,1);

в) 10,4+3x – ( x+10,4) приx=0,3.

Після роботи використовується самоперевірка за допомогою комп'ютера або класної дошки.

Самостійна робота №4

(Проводиться з метою закріплення умінь і навичок складання та віднімання багаточленів)

Варіант 1

a) 5 x– 15у та 8y – 4 x;

б) 7x 2 – 5 x+3 та 7x 2 – 5 x.

2. Спростіть вираз:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* б) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 3х + 1 дорівнювала

9х - 4.

Варіант 2

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 21y – 7xі8x - 4y;

б) 3a 2 + 7a – 5і3a 2 + 1.

2. Спростіть вираз:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* б) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 4х – 5 дорівнювала

9х - 12.

Варіант 3

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 0,5 x+ 6у та 3x – 6 y;

б) 2y 2 +8 y– 11 та 3y 2 – 6 y + 3.

2. Спростіть вираз:

a) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* б) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 7х + 3 дорівнювалаx 2 + 7 x – 15.

Варіант 4

1. Складіть суму та різницю багаточленів і приведіть до стандартного вигляду:

a) 0,3 x + 2 bта 4x – 2 b;

б) 5y 2 – 3 yта 8y 2 + 2 y – 11.

2. Спростіть вираз:

a) (3x - 5y - 8z) - (2x + 7y) + (5z - 11x);

* б) (2x 2 -xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Додаткове завдання.

Запишіть такий багаточлен, щоб його сума з багаточленом 2x 2 + x+ 3 і дорівнювала 2 x + 3.

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Роботу перевіряє вчитель, виявляючи, чи треба займатися додатково на цю тему.

Самостійна робота №5

(Проводиться з метою формування умінь та навичок укладати багаточлен у дужки)

Варіант 1

a , а інший її не містить:

a) ax + ay + x + y;

б) ax 2 + x + a + 1.

Зразок рішення:

m + am + n - an = (m + n) + (am - an).

b

a) bm – bn – m – n;

б) bx + by + x -y.

Зразок рішення:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Варіант 2

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів, один з яких містить літеруb , а інший її не містить:

a) bx + by +2x + 2y;

б) bx 2 - x + a - b.

Зразок рішення:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Подайте багаточлен у вигляді різниці двох багаточленів, перший з яких містить літеруa , а інший – ні (перевірте результат, розкривши подумки дужки):

a) ac - ab - c + b;

б) am + an + m - n;

Зразок рішення:

x + ay - y - ax = (ay - ax) - (-x + y) = (ay - ay) - (y-x).

Варіант 3

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів, один з яких містить літеруb , а інший її не містить:

a) b 3 – b 2 – b+3y – 1;

б) – b 2 - a 2 - 2ab + 2.

Зразок рішення:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Подайте багаточлен у вигляді різниці двох багаточленів, перший з яких містить літеруb , а інший – ні (перевірте результат, розкривши подумки дужки):

a) ab + ac – b – c;

б) 2b + a 2 – b 2 –1;

Зразок рішення:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Варіант 4

(Для сильних учнів, дано без зразка рішення)

1. Подайте багаточлен у вигляді суми двох багаточленів з позитивними коефіцієнтами:

a) ax + by – c – d;

б) 3x –3y +z – a.

2. Подайте вирази будь-яким способом у вигляді різниці двочлена і тричлена:

a) x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 5x - 4;

б) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 -3a +2.

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Після виконання роботи використовується самоперевірка за ключом та самооцінка роботи. Учні, які самостійно впоралися із завданням, віддають зошити на перевірку вчителю.

C амостійна робота №6

(проводиться з метою закріплення та застосування знань та умінь множення одночлена на багаточлен)

Варіант 1

1. Виконайте множення:

a) 3 b 2 (b –3);

б) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Спростіть вирази:

a) 4 (x+1) +(x+1);

б) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Вирішіть рівняння:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Додаткове завдання.

(m+ n) * * = mk + nk.

Варіант 2

1. Виконайте множення:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

б) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Спростіть вирази:

a) (a–2) – 2(a–2);

б) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Розв'яжіть рівняння:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

(b+ c – m) * * = ab + ac – am.

Варіант 3

1. Виконайте множення:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

б) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Спростіть вирази:

a) (x-3) - 3(x-3);

б) 3c (c + d) + 3d (c-d).

3. Розв'яжіть рівняння:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Варіант 4

1. Виконайте множення:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

б)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Спростіть вирази:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

б) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Розв'яжіть рівняння:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Додаткове завдання.

Який одночлен потрібно вписати замість знака *, щоб виконувалася рівність:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C амостійна робота №7

(Проводиться з метою формування умінь та навичок вирішення рівнянь та завдань)

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

+ = 6

Рішення:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Відповідь: 116.

Розв'яжіть рівняння:

+ = 4

2. Розв'яжіть задачу:

На шлях від селища до станції автомобіль витратив на 1:00 менше, ніж велосипедист. Знайдіть відстань від селища до станції, якщо автомобіль проїхав його із середньою швидкістю 60 км/год. А велосипедист 20 км/год.

Варіант 2

1. Використовуючи зразок рішення, виконайте завдання.

Розв'яжіть рівняння:

– = 1

Рішення:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Відповідь: 5.

Розв'яжіть рівняння:

+ = 2

2. Розв'яжіть задачу:

Майстер виготовляє на 8 деталей за годину більше, ніж учень. Учень працював 6 годин, а майстер 8 годин, разом вони виготовили 232 деталі. Скільки деталей за годину виготовив учень?

Вказівки до рішення:

а) заповніть таблицю;

На 8 деталей більше

б) складіть рівняння;

в) розв'яжіть рівняння;

г) зробіть перевірку та запишіть відповідь.

Варіант 3

(Для сильних учнів, дано без зразка)

1. Розв'яжіть рівняння:

– = 2

2. Розв'яжіть задачу:

У їдальню привезли картоплю, упаковану у пакети по 3 кг. Якби він був запакований у пакети по 5 кг, то знадобилося б на 8 пакетів менше. Скільки кілограмів картоплі привезли до їдальні?

Самостійна робота проводиться наприкінці уроку. Після виконання роботи використовується самоперевірка за ключом.

Як домашнє завдання учням пропонується творча самостійна робота:

Придумайте завдання, яке вирішується за допомогою рівняння

30 x = 60(x- 4) і вирішіть її.

Самостійна робота №8

(Проводиться з метою формування умінь та навичок винесення загального множника за дужки)

Варіант 1

а)mx + my; д)x 5 – x 4 ;

б) 5ab – 5 b; е) 4x 3 – 8 x 2 ;

в) - 4mn + n; *ж) 2c 3 + 4c 2 + c;

г) 7ab - 14a 2 ; * з) ax 2 + a 2 .

2. Додаткове завдання.

2 – 2 18 ділиться на 14 років.

Варіант 2

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) 10x + 10y;д) a 4 + a 3 ;

б) 4x + 20y;е) 2x 6 - 4x 3 ;

в) 9 ab + 3b; *ж) y 5 + 3y 6 + 4y 2 ;

г) 5xy 2 + 15y; *з) 5bc 2 + bс.

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 8 5 – 2 11 ділиться на 17 років.

Варіант 3

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) 18ay + 8ax;д) m 6 +m 5 ;

б) 4ab - 16a;е) 5z 4 - 10z 2 ;

в 4mn + 5 n; * ж) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

г) 3x 2 y– 9 x; * з)xy 2 +4 xy.

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 79 2 + 79 * 11 поділяється на 30.

Варіант 4

1. Винесіть загальний множник за дужки (перевірте свої дії множенням):

а) – 7xy + 7 y; д)y 7 - y 5 ;

б) 8mn + 4 n; е) 16z 5 – 8 z 3 ;

в) – 20a 2 + 4 ax; * ж) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

г) 5x 2 y 2 + 10 x; * з)xy +2 xy 2 .

2. Додаткове завдання.

Доведіть, що значення виразу 313 * 299 – 313 2 ділиться на 7.

CАмостійна робота проводиться на початку уроку. Після виконання роботи використовується перевірка ключа.