Як вирішити систему методом крамера приклади. Три випадки при вирішенні систем лінійних рівнянь

Метод Крамера або так зване правило Крамера – це спосіб пошуку невідомих величин із систем рівнянь. Його можна використовувати тільки якщо число значень еквівалентно кількості алгебраїчних рівняньв системі, тобто утворена із системи основна матриця повинна бути квадратною і не містити нульових рядків, а також якщо її детермінант не повинен бути нульовим.

Теорема 1

Теорема КрамераЯкщо головний визначник $ D $ основний матриці, складеної з урахуванням коефіцієнтів рівнянь, не дорівнює нулю, система рівнянь спільна, причому рішення в неї існує єдине. Рішення такої системи обчислюється через так звані формули Крамера для вирішення систем лінійних рівнянь: $x_i = \frac(D_i)(D)$

У чому полягає метод Крамера

Суть методу Крамера наступного:

1. Щоб визначити рішення системи методом Крамера, насамперед обчислюємо головний визначник матриці $D$. Коли обчислений детермінант основний матриці при підрахунку методом Крамера дорівнював нулю, то система не має жодного рішення або має нескінченну кількість рішень. У цьому випадку для знаходження загальної або будь-якої базової відповіді для системи рекомендується застосувати метод Гауса.
2. Потім потрібно замінити крайній стовпець головної матриці на стовпець вільних членів та вирахувати визначник $D_1$.
3. Повторити те саме для всіх стовпців, отримавши визначники від $D_1$ до $D_n$, де $n$ - номер крайнього праворуч стовпця.
4. Після того, як знайдено всі детермінанти $D_1$...$D_n$, можна вирахувати невідомі змінні за формулою $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Прийоми для обчислення визначника матриці

Для обчислення визначника матриці з розмірністю більше ніж 2 на 2 можна використовувати кілька способів:

• Правило трикутників, або правило Саррюса, що нагадує це правило. Суть методу трикутників у цьому, що з обчисленні визначника добутку всіх чисел, з'єднаних малюнку червоною лінією праворуч, записуються зі знаком плюс, проте цифри, з'єднані аналогічно малюнку ліворуч – зі знаком мінус. B те, і інше правило підходить для матриць розміром 3 х 3. У разі правила Саррюса спочатку переписується сама матриця, а поруч із нею поруч переписуються ще раз її перший і другий стовпець. Через матрицю та ці додаткові стовпці проводяться діагоналі, члени матриці, що лежать на головній діагоналі або на паралельній їй записуються зі знаком плюс, а елементи, що лежать на побічній діагоналі або паралельно їй – зі знаком мінус.

Рисунок 1. Правило трикутників для обчислення визначника методу Крамера

• За допомогою методу, відомого як метод Гауса, також іноді цей метод називають зниженням порядку визначника. У цьому випадку матриця перетворюється та наводиться до трикутного виглядуа потім перемножуються всі числа, що стоять на головній діагоналі. Слід пам'ятати, що при такому пошуку визначника не можна примножувати чи ділити рядки чи стовпці на числа без винесення їх як множника чи дільника. У разі пошуку визначника можливо тільки віднімати і складати рядки і стовпи між собою, попередньо помноживши рядок, що віднімається, на ненульовий множник. Також при кожній перестановці рядків або стовпців матриці подекуди слід пам'ятати про необхідність зміни кінцевого знака у матриці.
• При вирішенні методом Крамера СЛАУ з 4 невідомими, найкраще застосовуватиме саме метод Гауса для пошуку та знаходження визначників або визначати детермінант через пошук мінорів.

Вирішення систем рівнянь методом Крамера

Застосуємо метод Крамера для системи з 2 рівнянь та двома шуканими величинами:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Відобразимо її у розширеній формі для зручності:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Знайдемо визначник основної матриці, який також називається головним визначником системи:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Якщо головний визначник не дорівнює нулю, то для вирішення слау методом Крамера необхідно вирахувати ще кілька визначників від двох матриць із заміненими стовпцями основної матриці на рядок вільних членів:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Тепер знайдемо невідомі $x_1$ і $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Приклад 1

Метод Крамера для вирішення СЛАУ з основною матрицею 3 порядку (3 x 3) та трьома шуканими.

Розв'яжіть систему рівнянь:

$\begin(cases) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Порахуємо головний детермінант матриці, користуючись вищевикладеним під пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

А тепер три інші детермінанти:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 $

Знайдемо шукані величини:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Методи Крамераі Гауса– одні з найпопулярніших методів вирішення СЛАУ. До того ж, часом доцільно використовувати саме конкретні методи. Сесія близька, і зараз час повторити або освоїти їх з нуля. Сьогодні розуміємо рішення методом Крамера. Адже рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера – дуже корисна навичка.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Система лінійних рівнянь алгебри – система рівнянь виду:

Набір значень x , При якому рівняння системи звертаються до тотожності, називається рішенням системи, a і b - Речові коефіцієнти. Просту систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими, можна вирішити в умі або висловивши одну змінну через іншу. Але змінних (іксів) у СЛАУ може бути набагато більше двох, і тут простими шкільними маніпуляціями не обійтись. Що ж робити? Наприклад, вирішувати СЛАУ методом Крамера!

Отже, нехай система складається з n рівнянь з n невідомими.

Таку систему можна переписати в матричному вигляді

Тут A - Основна матриця системи, X і B відповідно, матриці-стовпці невідомих змінних та вільних членів.

Рішення СЛАУ методом Крамера

Якщо визначник головної матриці не дорівнює нулю (матриця невироджена), систему можна вирішувати методом Крамера.

Згідно з методом Крамера, рішення знаходиться за формулами:

Тут дельта – визначник головної матриці, а дельта x n-не - визначник, отриманий з визначника головної матриці шляхом заміною n-ного стовпця на стовпець вільних членів.

У цьому полягає вся суть методу Крамера. Підставляючи знайдені за вищенаведеними формулами значення x у шукану систему, переконуємось у правильності (або навпаки) нашого рішення. Щоб Ви швидше вловили суть, наведемо нижче приклад докладного рішенняСЛАУ методом Крамера:

Навіть якщо у Вас не вийде з першого разу, не засмучуйтесь! Небагато практики, і Ви почнете клацати СЛАУ як горішки. Більше того, зараз зовсім необов'язково корпіти над зошитом, вирішуючи громіздкі викладки та списуючи стрижень. Можна легко вирішити СЛАУ методом Крамера в режимі онлайн лише підставивши в готову форму коефіцієнти. Спробувати онлайн калькуляторрішення методом Крамера можна, наприклад, на цьому сайті.

А якщо система виявилася наполегливою і не здається, Ви завжди можете звернутися за допомогою до наших авторів, наприклад, щоб . Будь в системі хоч 100 невідомих, ми обов'язково вирішимо її правильно і точно вчасно!

Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, як кількість незалежних змінних, тобто. має вид

Такі системи лінійних рівнянь називають квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів за незалежних змінних системи(1.5) називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою літерою D. Таким чином,

. (1.6)

Якщо у головному визначнику довільний ( j-ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще nдопоміжних визначників:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Правило КрамераРозв'язання квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і єдине рішення, яке можна знайти за формулами:

(1.8)

приклад 1.5.Методом Крамера вирішити систему рівнянь

.

Обчислимо головний визначник системи:

Оскільки D¹0, система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):

Таким чином,

Події над матрицями

1. Множення матриці на число.Операція множення матриці на число визначається в такий спосіб.

2. Щоб помножити матрицю на число, потрібно її елементи помножити цього числа. Тобто

. (1.9)

приклад 1.6. .

Додавання матриць.

Ця операція вводиться лише матриць однієї й тієї ж порядку.

Для того, щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншої матриці:

(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності та комутативності.

приклад 1.7. .

Розмноження матриць.

Якщо кількість стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці Вдля таких матриць вводиться операція множення:

2

Таким чином, при множенні матриці Арозмірності m´ nна матрицю Врозмірності n´ kми отримуємо матрицю Зрозмірності m´ k. При цьому елементи матриці Зобчислюються за такими формулами:

Завдання 1.8.Знайти, якщо це можливо, добуток матриць ABі BA:

Рішення. 1) Для того, щоб знайти твір AB, необхідно рядки матриці Aпомножити на стовпці матриці B:

2) Твір BAне існує, тому що кількість стовпців матриці Bне збігається з кількістю рядків матриці A.

Зворотна матриця. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом

Матриця A - 1 називається зворотною до квадратної матриці А, якщо виконано рівність:

де через Iпозначається одинична матрицятого ж порядку, що і матриця А:

.

Для того щоб квадратна матрицямала зворотну потребу і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля. Зворотну матрицю знаходять за такою формулою:

, (1.13)

де A ij - алгебраїчні доповненнядо елементів a ijматриці А(зауважимо, що додатки алгебри до рядків матриці Арозташовуються у зворотній матриці як відповідних стовпців).

приклад 1.9.Знайти зворотну матрицю A - 1 до матриці

.

Зворотню матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n= 3 має вигляд:

.

Знайдемо det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Оскільки визначник вихідної матриці відмінний від нуля, зворотна матриця існує.

1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij:

Для зручності знаходження зворотної матриці, Додатки алгебри до рядків вихідної матриці ми розташували у відповідні стовпці.

З отриманих додатків алгебри складемо нову матрицю і розділимо її на визначник det A. Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:

Квадратні системи лінійних рівнянь із відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою зворотної матриці. Для цього систему (1.5) записують у матричному вигляді:

де

Помножуючи обидві частини рівності (1.14) зліва на A - 1, ми отримаємо рішення системи:

, звідки

Таким чином, для того, щоб знайти рішення квадратної системи, Треба знайти зворотну матрицю до основної матриці системи та помножити її праворуч на матрицю-стовпець вільних членів.

Завдання 1.10.Розв'язати систему лінійних рівнянь

за допомогою зворотної матриці.

Рішення.Запишемо систему в матричному вигляді: ,

де - основна матриця системи, - стовпець невідомих та - стовпець вільних членів. Оскільки головний визначник системи , то основна матриця системи Амає зворотну матрицю А-1. Для знаходження зворотної матриці А-1 , обчислимо додатки алгебри до всіх елементів матриці А:

З отриманих чисел складемо матрицю (причому додатки алгебри до рядків матриці Азапишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:

Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):

Таким чином,

Вирішення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків

Нехай дана довільна (не обов'язково квадратна) система лінійних рівнянь:

(1.16)

Потрібно визначити рішення системи, тобто. такий набір змінних , який задовольняє всі рівні системи (1.16). В загальному випадкусистема (1.16) може мати як одне рішення, а й незліченна безлічрішень. Вона може взагалі взагалі не мати рішень.

При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий з шкільного курсуспосіб виключення невідомих, який називається шляхом звичайних жорданових винятків. Суть даного методуполягає в тому, що в одному із рівнянь системи (1.16) одна із змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється інші рівняння системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого висловлювалася змінна, запам'ятовується.

Цей процес повторюється до того часу, поки у системі залишиться одне останнє рівняння. У процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися на вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння із системи виключаються, оскільки вони виконуються за будь-яких значеннях змінних і, отже, не впливають рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яка не може виконуватися за жодних значень змінних (наприклад ), то ми робимо висновок, що система не має рішення.

Якщо в ході вирішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з змінних, що залишилися в ньому. Якщо останньому рівнянні залишилася лише одна змінна, вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще й інші змінні, вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий « Зворотній хід». Знайдену змінну підставляють останнє запам'ятоване рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють передостаннє запам'ятоване рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запам'ятаного рівняння.

В результаті ми отримуємо рішення системи. Це рішеннябуде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші залежатимуть від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожному набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, дозволяють знайти рішення системи залежно від того чи іншого набору параметрів, називаються загальним рішенням системи.

приклад 1.11.

x

Після запам'ятовування першого рівняння і приведення подібних членів у другому та третьому рівнянні ми приходимо до системи:

Висловимо yз другого рівняння і підставимо його до першого рівняння:

Запам'ятаймо друге рівняння, а з першого знайдемо z:

Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо yі z. Для цього спочатку підставимо останнє запам'ятоване рівняння, звідки знайдемо y:

.

Потім підставимо і перше запам'ятоване рівняння звідки знайдемо x:

Завдання 1.12.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.17)

Рішення.Виразимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння

У цій системі перше і друге рівняння суперечать одне одному. Дійсно, висловлюючи y , Отримаємо, що 14 = 17. Дана рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x, y, і z. Отже, система (1.17) несумісна, тобто. немає рішення.

Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.

Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) лише одним вільним членом.

Завдання 1.13.Розв'язати систему лінійних рівнянь шляхом виключення невідомих:

. (1.18)

Рішення.Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге та третє рівняння:

.

Запам'ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени у другому та третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:

Висловлюючи yз першого рівняння та підставляючи його у друге рівняння , ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке впливає рішення системи, і, отже, його з системи виключити.

В останній запам'ятованій рівності змінну zвважатимемо параметром. Вважаємо. Тоді

Підставимо yі zу першу запам'ятану рівність і знайдемо x:

.

Таким чином, система (1.18) має безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t:

(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) тощо. буд. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).

У тому випадку коли вихідна система (1.16) має достатньо велика кількістьрівнянь і невідомих, зазначений спосіб звичайних жорданових винятків є громіздким. Однак, це не так. Достатньо вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці в загальному виглядіта оформити розв'язання задачі у вигляді спеціальних жерданових таблиць.

Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):

, (1.20)
де x j- незалежні (шукані) змінні, a ij- постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m) можуть бути як змінними (залежними), і константами. Потрібно визначити рішень даної системи шляхом виключення невідомих.

Розглянемо наступну операцію, звану надалі «одним кроком звичайних жорданових винятків». З довільного ( r-го) рівності висловимо довільну змінну ( x s) і підставимо у решту рівності. Зрозуміло, це можливо лише в тому випадку, коли a rs¹ 0. Коефіцієнт a rsназивається роздільним (іноді напрямним або головним) елементом.

Ми отримаємо наступну систему:

. (1.21)

З s-го рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s(після того, як буде знайдено решту змінних). S-я рядок запам'ятовується і надалі із системи виключається. Система, що залишилася, міститиме на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.

Обчислимо коефіцієнти одержаної системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r-го рівняння, яке після вираження змінної x sчерез інші змінні виглядатиме так:

Таким чином, нові коефіцієнти r-го рівняння обчислюються за такими формулами:

(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij(i¹ r) довільного рівняння. Для цього підставимо виражену (1.22) змінну x sв i-е рівняння системи (1.20):

Після приведення подібних членів отримаємо:

(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (крім r-го рівняння):

(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь шляхом звичайних жорданових винятків оформляється як таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «жерданових».

Так, задачі (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблиця 1.1 містить лівий заголовний стовпець, який записують праві частини системи (1.20) і верхній заголовний рядок, в який записують незалежні змінні.

Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю Ана матрицю , що складається з елементів верхнього великого рядка, то вийде матриця , що складається з елементів лівого великого стовпця. Тобто, сутнісно, ​​жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь: . Системі (1.21) у своїй відповідає наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Дозволяючий елемент a rs ми виділятимемо жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку жерданових винятків дозвільний елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить роздільний елемент, називають рядком. Стовпець, що містить роздільну здатність, називають роздільною колонкою. При переході від цієї таблиці до наступної таблиці одна змінна ( x s) з точніше великого рядка таблиці переміщається в лівий великий стовпець і, навпаки, один з вільних членів системи ( y r) з лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхній заголовний рядок.

Опишемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів при переході від жерданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що випливає з формул (1.23) та (1.25).

1. Дозволяючий елемент замінюється зворотним числом:

2. Інші елементи роздільної здатності діляться на роздільну здатність і змінюють знак на протилежний:

3. Інші елементи роздільного стовпця поділяються на роздільну здатність:

4. Елементи, що не потрапили в роздільну здатність і роздільний стовпець, перераховуються за формулами:

Остання формула легко запам'ятовується, якщо помітити, що елементи, що становлять дріб , знаходяться на перетині i-ой і r-ой рядків та j-го та s-го стовпців (дозволяє рядка, що дозволяє стовпця і того рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться елемент, що перераховується). Точніше, при запам'ятовуванні формули можна використовувати таку діаграму:

-21 -26 -13 -37

Здійснюючи перший крок жерданових винятків, як дозвільний елемент можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований у стовпцях x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не дорівнюють нулю). Не слід лише вибирати роздільну здатність елемент в останньому стовпці, т.к. потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5 . Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінній x 3 у третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяючий елемент показаний жирним шрифтом). При переході до таблиці 1.4. x 3 з верхнього заголовного рядка змінюється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.

Рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам'ятавши, виключити із таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхньому заголовному рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому доданки кожного рівняння 0 · b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти не обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам'ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленим рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 як дозвільний елемент b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам'ятовуємо перший рядок та виключаємо її з таблиці разом із четвертим стовпцем (з нулем нагорі).

Таблиця 1.5 Таблиця 1.6

З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Послідовно підставляючи вже знайдені змінні в рядки, знаходимо інші змінні:

Таким чином, система має безліч рішень. Змінною x 5 можна надавати довільні значення. Ця змінна виступає у ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи та знайшли її спільне рішення:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Надаючи параметру t різні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (-3; - 1; - 2; 4; 0).

З кількістю рівнянь однаковим з кількістю невідомих з головним визначником матриці, який не дорівнює нулю, коефіцієнтів системи (для подібних рівнянь рішення є і воно лише одне).

Теорема Крамер.

Коли визначник матриці квадратної системи ненульовий, значить, система спільна і в неї є одне рішення і його можна знайти за формулам Крамера:

де Δ - визначник матриці системи,

Δ i- визначник матриці системи, в якому замість i-го стовпця знаходиться стовпець правих частин

Коли визначник системи нульовий, значить система може стати спільною або несумісною.

Цей спосіб зазвичай застосовують для невеликих систем з об'ємними обчисленнями і якщо необхідно визначити одну з невідомих. Складність способу у цьому, що треба обчислювати багато визначників.

Опис методу Крамер.

Є система рівнянь:

Систему 3-х рівнянь можна вирішити шляхом Крамера, який розглянутий вище для системи 2-х рівнянь.

Складаємо визначник із коефіцієнтів у невідомих:

Це буде визначник системи. Коли D≠0, Отже, система спільна. Тепер складемо 3 додаткові визначники:

,,

Вирішуємо систему з формулам Крамера:

Приклади розв'язання систем рівнянь методом Крамера.

Приклад 1.

Дана система:

Вирішимо її методом Крамера.

Спочатку потрібно обчислити визначник матриці системи:

Т.к. Δ≠0, отже, з теореми Крамера система спільна і має одне рішення. Обчислюємо додаткові визначники. Визначник 1 отримуємо з визначника Δ, замінюючи його перший стовпець стовпцем вільних коефіцієнтів. Отримуємо:

Таким же шляхом отримуємо визначник Δ 2 з визначника матриці системи, замінюючи другий стовпець стовпцем вільних коефіцієнтів: