Ранг матриці. Поняття про ранг матриці Як порахувати ранг квадратної матриці

§3. Ранг матриці

Визначення рангу матриці

Лінійно залежні рядки

Елементарні перетворення матриць

Еквівалентні матриці

Алгоритм знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

§4. Визначники першого, другого та третього порядку

Визначник першого порядку

Визначник другого порядку

Визначник третього порядку

Правило Саррюса

§5. Обчислення визначників великих порядків

Алгебраїчне доповнення

Теорема Лапласа

Визначник трикутної матриці

Додаток. Поняття визначника п-го порядку у загальному вигляді.

§ 3. Ранг матриці

Кожну матрицю характеризує деяке число, що має важливе значення під час вирішення систем лінійних рівнянь. Це число називається рангом матриці.

Ранг матрицідорівнює числу її лінійно незалежних рядків (стовпців), через які лінійно виражаються всі інші її рядки (стовпці).

Рядки (стовпці) матриці називаються лінійно залежними, якщо відповідні елементи пропорційні.

Інакше кажучи, елементи одного з лінійно залежних рядків дорівнюють елементам іншого, помноженим на те саме число. Наприклад, рядки 1 та 2 матриці Алінійно залежні, якщо , Де (λ - деяке число).

приклад. Знайти ранг матриці

Рішення.

Другий рядок виходить із першого, якщо його елементи помножити на –3, третій виходить із першого, якщо його елементи помножити на 0, а четвертий рядок не може бути виражений через перший. Виходить, матриця має два лінійно-незалежні рядки, т.к. перший і четвертий рядки не пропорційні, отже, ранг матриці дорівнює 2.

Ранг матриці Апозначається rang Aабо r(A).

З визначення рангу матриці випливає:

1. Ранг матриці вбирається у найменшого її розмірів, тобто. для матриці А m × n .

2. Ранг матриці дорівнює нулю, якщо це нульова матриця.

У випадку визначення рангу матриці досить трудомістко. Для полегшення цього завдання використовують перетворення, що зберігають ранг матриці, які називаються елементарними перетвореннями:

1) відкидання нульового рядка (стовпця);

2) множення всіх елементів рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

3) зміна порядку рядків (стовпців);

4) додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число;

5) транспонування матриці.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна виходить з іншої за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень.

Еквівалентність матриць позначається знаком "~" (еквівалентно).

За допомогою елементарних перетворень будь-яку матрицю можна привести до трикутного вигляду, тоді обчислення її рангу не важко.

Процес обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетвореньрозглянемо з прикладу.

приклад. Знайти ранг матриці

А =

Рішення.

Наше завдання – привести матрицю до трикутного вигляду, тобто. за допомогою елементарних перетворень досягти того, щоб нижче головної діагоналі в матриці були тільки нулі.

1. Розглянемо перший рядок. Якщо елемент а 11 = 0, то при перестановці рядків або стовпців добиваємося того, щоб а 11 ¹ 0. У нашому прикладі поміняємо місцями, наприклад, перший і другий рядки матриці:

А =

Тепер елемент а 11 ¹ 0. Помножуючи перший рядок на відповідні числа і складаючи з іншими рядками, доб'ємося, щоб усі елементи першого стовпця (крім а 11) дорівнювали нулю.

2. Розглянемо тепер другий рядок. Якщо елемент а 22 = 0, то при перестановці рядків або стовпців добиваємося того, щоб а 22 ¹ 0. Якщо елемент а 22 ¹ 0 (а у нас а 22 = –1 ¹ 0), то, помножуючи другий рядок на відповідні числа і складаючи з іншими рядками, досягнемо того, щоб усі елементи другого стовпця (крім а 22) дорівнювали нулю.

3. Якщо в процесі перетворень виходять рядки (стовпці), що повністю складаються з нулів, то відкидаємо їх. У нашому прикладі відкинемо рядки 3-й і 4-й:

Остання матриця має ступінчастий вигляд і містить два рядки. Вони лінійно незалежні, отже, ранг матриці дорівнює 2.

§ 4. Визначники першого, другого та третього порядку

Серед усього різноманіття матриць окремо виділяють квадратні. Цей тип матриць хороший тим, що:

1. Поодинокі матриці – квадратні.

2. Можна множити та складати будь-які квадратні матриці одного порядку, при цьому виходить матриця того ж порядку.

3. Квадратні матриці можна зводити до ступеня.

Крім того, тільки для квадратних матриць може бути обчислений визначник.

Визначник матриці- Це особлива кількість, що обчислюється за деяким правилом. Визначник матриці Апозначається:

Або прямими дужками: ,

Або великою грецькою літерою «дельта»: Δ( A),

Або символом детермінант: det ( A).

Визначником матриці першого порядку А= (а 11) або визначником першого порядку, називається число, що дорівнює елементу матриці:

Δ 1 = =а 11

Визначником матриці другого порядку або визначником другого порядку

приклад:

Визначником матриці третього порядку або визначником третього порядку, називається число, яке обчислюється за формулою:

Визначник третього порядку можна вирахувати, користуючись правилом Саррюса .

Правило Саррюса. До визначника третього порядку праворуч підписують два перші стовпці і зі знаком плюс (+) беруть суму творів трьох елементів, розташованих на головній діагоналі визначника і на «прямих», паралельних головній діагоналі, зі знаком мінус (–) беруть суму творів елементів, розташованих на другий діагоналі і на «прямих», паралельних їй.

приклад:

Легко помітити, що кількість доданків у визначнику збільшується зі збільшенням його порядку. Взагалі у визначнику п-го порядку кількість доданків дорівнює 1 · 2 · 3 · ... · п = п!.

Перевіримо: для Δ 1 число доданків дорівнює 1! = 1,

для Δ 2 число доданків дорівнює 2! = 1 · 2 = 2,

для Δ 3 число доданків дорівнює 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

Звідси випливає, що з визначника 4-го порядку число доданків дорівнює 4! = 1·2·3·4 = 24, отже обчислення такого визначника досить трудомістко, а про визначниках вищого порядку. З огляду на це обчислення визначників великих порядків намагаються звести до обчислення визначників другого або третього порядків.

§ 5. Обчислення визначників великих порядків

Введемо низку понять.

Нехай дана квадратна матриця А n-го порядку:

А =

Мінором M ij елементу a ij називається визначник ( п- 1)-го порядку, отриманої з матриці Авикреслюванням i-його рядка та j-го стовпця.

Наприклад, мінором елемента а 12 матриці третього порядку буде:

Алгебраїчним доповненням А ij елементу a ij називається його мінор, взятий зі знаком (−1) i + j:

А ij = (−1) i + j M ij

Інакше кажучи, А ij = M ij , якщо i+jпарне число,

А ij = − M ij , якщо i+jнепарне число.

приклад. Знайти додатки алгебри елементів другого рядка матриці

Рішення.

За допомогою додатків алгебри можна вираховувати визначники великих порядків, на підставі теореми Лапласа.

Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого його рядка (стовпця) на їх додатки алгебри:

– розкладання по i-му рядку;

( - Розкладання по j-му стовпцю).

приклад. Обчислити визначник матриці розкладанням по першому рядку.

Рішення.

Отже, визначник будь-якого порядку можна звести до обчислення кількох визначників меншого порядку. Очевидно, що для розкладання зручно вибирати рядок або стовпець, що містить якнайбільше нулів.

Розглянемо ще один приклад.

приклад. Обчислити визначник трикутної матриці

Рішення.

Отримали, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі .

Цей важливий висновок дозволяє легко визначити обчислювач будь-якої трикутної матриці. Це корисніше, що за необхідності будь-який визначник можна звести до трикутному виду. У цьому використовуються деякі властивості визначників.

додаток

Поняття визначника п-го порядку у загальному вигляді.

Взагалі можна дати строго визначення для визначника матриці п-го порядку, але цього необхідно запровадити ряд понять.

Перестановкоючисел 1, 2, ..., nназивається будь-яке розташування цих чисел у порядку. В елементарній алгебрі доводиться, що кількість всіх перестановок, які можна утворити з nчисел, що дорівнює 12...n = n!. Наприклад, із трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Кажуть, що у цій перестановці числа iі jскладають інверсію(безлад), якщо i> j, але iстоїть у цій перестановці раніше j, тобто якщо більше число коштує ліворуч від меншого.

Перестановка називається парної(або непарною), якщо у ній відповідно парно (непарно) загальна кількість інверсій.

Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять до іншої, складеної з тих самих nчисел, називається підстановкою n-ого ступеня.

Підстановка, що переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками в загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в перестановках, що розглядаються, називаються відповідними і пишуться одне під іншим. Наприклад, символ

позначає підстановку, в якій 3 переходить до 4, 1 – до 2, 2 – до 1, 4 – до 3. Підстановка називається парною (або непарною), якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки парна (непарно). Будь-яка підстановка n-ой ступеня може бути записана у вигляді

тобто. з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.

Нехай нам дано квадратну матрицю порядку n

Розглянемо всі можливі твори з nелементів цієї матриці, взятих по одному і лише по одному з кожного рядка та кожного стовпця, тобто. творів виду:

,

де індекси q 1 , q 2 ,..., q nстановлять деяку перестановку з чисел
1, 2,..., n. Число таких творів дорівнює числу різних перестановок з nсимволів, тобто. одно n!. Знак твору , дорівнює (-1) q, де qчисло інверсій у перестановці других індексів елементів.

Визначником n-го порядкуназивається алгебраїчна сума всіх можливих творів за nелементів матриці, взятих по одному і лише по одному з кожного рядка та кожного стовпця, тобто. творів виду: . При цьому знак твору дорівнює (–1) q, де q- Число інверсій в перестановці других індексів елементів.

Лінійна алгебра

Раніше для квадратної матриці -го порядку було введено поняття мінору
елемента . Нагадаємо, що так було названо визначника порядку
отриманий з визначника
викреслюванням -й рядки та -го стовпця.

Введемо тепер загальне поняття мінору. Розглянемо деяку, не обов'язково квадратнуматрицю . Виберемо якісь номерів рядків
і номерів стовпців
.

Визначення. Мінором порядку матриці (відповідним обраним рядкам та стовпцям) називається визначник порядку , утворений елементами, які стоять перетині вибраних рядків і стовпців, тобто. число

.

Кожна матриця має стільки мінорів цього порядку , скільки можна вибрати номери рядків
та стовпців
.

Визначення. У матриці розмірів
мінор порядку називається базиснимякщо він відмінний від нуля, а всі мінори порядку
рівні нулю або мінорів порядку
у матриці взагалі ні.

Зрозуміло, що в матриці може бути кілька різних базисних мінорів, але всі базисні мінори мають один і той самий порядок. Справді, якщо всі мінори порядку
рівні нулю, то рівні нулю і всі мінори порядку
, а, отже, і всіх більших порядків.

Визначення. Рангом матриціназивається порядок базисного мінору, чи, інакше, найбільший порядок, котрій існують відмінні від нуля мінори. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг такої матриці, за визначенням, вважають нулем.

Ранг матриці будемо позначати символом
. З визначення рангу слід, що з матриці розмірів
справедливе співвідношення.

Два способи обчислення рангу матриці

а) Метод облямівних мінорів

Нехай у матриці знайдено мінор
-го порядку, відмінний від нуля. Розглянемо лише ті мінори
-го порядку, які містять у собі (окаймляють) мінор
: якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює . В іншому випадку серед мінорів, що обрамляють, знайдеться ненульовий мінор
-го порядку, і процедура повторюється.

Приклад 9 . Знайти ранг матриці методом обрамляють мінорів.

Виберемо мінор другого порядку
. Існує лише один мінор третього порядку, що оздоблює обраний мінор
. Обчислимо його.

Значить, мінор
базисний, а ранг матриці дорівнює його порядку, тобто.

Зрозуміло, що перебирати у такий спосіб мінори у пошуках базисного – завдання, пов'язані з великими обчисленнями, якщо розміри матриці дуже малі. Існує, проте, простіший спосіб знаходження рангу матриці – з допомогою елементарних перетворень.

б) Метод елементарних перетворень

Визначення. Елементарними перетвореннями матриціназивають такі перетворення:

множення рядка на число, відмінне від нуля;

додаток до одного рядка іншого рядка;

перестановку рядків;

такі ж перетворення стовпців.

Перетворення 1 та 2 виконуються поелементно.

Комбінуючи перетворення першого та другого виду, ми можемо до будь-якого рядка додати лінійну комбінацію інших рядків.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

(Без доказу)

Ідея практичного методу обчислення рангу матриці

полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень дану матрицю приводять до вигляду

, (5)

у якому «діагональні» елементи
відмінні від нуля, а елементи, розташовані нижче «діагональних», дорівнюють нулю. Умовимося називати матрицю такого виду трикутної (інакше, її називають діагональною, трапецієподібною або сходовою). Після наведення матриці до трикутного вигляду можна відразу записати, що
.

Справді,
(Тобто елементарні перетворення не змінюють рангу). Але у матриці існує відмінний від нуля мінор порядку :

,

а будь-який мінор порядку
містить нульовий рядок і тому дорівнює нулю.

Сформулюємо тепер практичне правило обчислення рангуматриці за допомогою елементарних перетворень: для знаходження рангу матриці слід за допомогою елементарних перетворень привести її до трикутного вигляду . Тоді ранг матриці дорівнюватиме кількості ненульових рядків в отриманій матриці .

приклад 10. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень

Рішення.

Поміняємо місцями перший і другий рядок (бо перший елемент другого рядка −1 і з ним буде зручно виконувати перетворення). В результаті отримаємо матрицю, еквівалентну даній.

Позначимо -Тот рядок матриці - . Нам необхідно навести вихідну матрицю до трикутного вигляду. Перший рядок вважатимемо провідним, він братиме участь у всіх перетвореннях, але сам залишається без змін.

На першому етапі виконаємо перетворення, що дозволяють отримати в першому стовпці нулі, крім першого елемента. Для цього з другого рядка віднімемо перший, помножений на 2
, до третього рядка додамо перший
, а з третьої віднімемо першу, помножену на 3
Отримуємо матрицю, ранг якої збігається з рангом цієї матриці. Позначимо її тією ж літерою :

.

Оскільки нам необхідно привести матрицю до виду (5), віднімемо з другого рядка другий. При цьому маємо:

.

Отримано матрицю трикутного вигляду, і можна зробити висновок, що
, Т. е. числу ненульових рядків. Коротко розв'язання задачі можна записати так:

Нехай задана деяка матриця:

.

Виділимо у цій матриці довільних рядків та довільних стовпців
. Тоді визначник -го порядку, складений з елементів матриці
, розташованих на перетині виділених рядків та стовпців, називається мінором -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.Рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один із них відмінний від нуля, переходити до розгляду мінорів старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом облямівних мінорів).

Завдання 1.4.Методом обрамляють мінорів визначити ранг матриці
.

.

Розглянемо оздоблення першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямування другого порядку.

Наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо оздоблення третього порядку.

.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При розв'язанні задачі 1.4 можна помітити, що ряд мінерів другого порядку, що облямовують, відмінні від нуля. У цьому має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінором матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисний мінор). Базові рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоча б одну з них можна представити як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, що ґрунтується на використанні його визначення, є надто громіздкою операцією. Особливо це суттєвим для матриць високих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць та елементарних перетворень.

Визначення 1.15.Дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні, тобто.
.

Якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановка рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю;

Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;

Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на те саме число
.

Наслідок теореми 1.5.Якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід навести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної форми.

Визначення 1.16.Трапецієподібною будемо називати таку форму представлення матриці, коли в мінному обрамленні найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, що стоять нижче діагональних, звертаються в нуль. Наприклад:

.

Тут
, елементи матриці
звертаються у нуль. Тоді форма представлення такої матриці буде трапецієподібною.

Як правило, матриці до трапецієподібної форми наводять за допомогою алгоритму Гаусса. Ідея алгоритму Гауса полягає в тому, що, помножуючи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи першого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Потім, помножуючи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної форми.

.

Для зручності застосування алгоритму Гауса можна поміняти місцями перший і третій рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченого вигляду можна продовжити перетворення над стовпцями.










.

Розглянемо матрицю А розміру.

А =
Виділимо в ній рядок і стовпців (
).

Визначення 26:Мінором k-го порядку матриці А називається визначник квадратної матриці, що виходить з цієї виділенням у ній.

рядків і стовпців.

Визначення 27:Рангомматриці називається найбільший із порядків, відмінних від нуля, її мінорів, r(A).

Визначення 28:Мінор, порядок якого збігається з рангом називається базисним мінором.

Твердження:

1. Ранг виражається цілим числом.
)

2. r=0,
коли А – нульова.

Елементарні перетворення матриць.

До елементарних перетворень матриць належать такі:

1) множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на те саме число.

2) додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця) помножені на те саме число;

3) перестановка місцями рядків (стовпців) матриці;

4) відкидання нульового рядка (стовпця);

5) заміна рядків матриці відповідними стовпцями.

Визначення 29:Матриці, що виходять одна з іншої, при елементарних перетвореннях називається еквівалентними матрицями, позначаються “ ~“

Основна властивість еквівалентних матриць: Ранги еквівалентних матриць рівні.

Приклад 18:Обчислитиr(A),

Рішення:Перший рядок помножимо поетапно на (-4) (-2)

(-7) і потім додамо відповідно до другого, третього та четвертого рядків.

~

поміняємо місцями другий і четвертий рядки
другий рядок помножимо на (-2) і додамо до четвертого рядка; складемо другий і третій рядки.

складемо третій та четвертий рядки.

~
відкинемо нульовий рядок

~
r(A)=3
ранг вихідної матриці

дорівнює трьом.

Визначення 30:Назвемо матрицю А ступінчастою, якщо всі елементи головної діагоналі 0, а елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю.

Пропозиція:

1) ранг ступінчастої матриці дорівнює числу її рядків;

2) будь-яка матриця може бути приведена до ступінчастого виду за допомогою елементарних перетворень.

Приклад 19:При яких значеннях  матриця
має ранг, що дорівнює одиниці?

Рішення:Ранг дорівнює одиниці, якщо визначник другого порядку дорівнює нулю, тобто.

§6. Системи лінійних рівнянь загального вигляду.

Система виду
---(9) називається системою загального вигляду.

Визначення 31:Дві системи називаються рівносильними (еквівалентними), якщо кожне рішення першої системи є другою і навпаки.

У системі (1) матрицю А =
назвемо основною матрицею системи, а =
розширеною матрицею системи

Теорема.Кронекера-Капеллі

Для спільності системи (9) необхідний достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто r(A)=r( )

Теорема 1.Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу невідомих, система має єдине рішення.

Теорема 2.Якщо ранг матриці спільної системи менше числа невідомих, то система має безліч рішень.

Правило розв'язання довільної системи лінійних рівнянь:

1)знайти ранги основної та розширеної матриць системи. Якщо
, то система не спільна.

2) Якщо
=r, то система спільна. Знайти який-небудь базисний мінор порядку. Базисним називатимемо мінор, на підставі якого визначався ранг матриці.

Невідомі, коефіцієнти яких входять у базисний мінор, називають головними (базисними) і залишають ліворуч, інші ж невідомі називають вільними і переносять праву частину рівняння.

3)Знайти висловлювання головних невідомих через вільні. Отримано загальне рішення системи.

Приклад 20:Дослідити систему та у разі її спільності знайти чи єдине чи загальне рішення

Рішення: 1) за Т. Кронекера-Капеллі знаходимо ранги розширеної та основної матриць системи:

~
~

~
~
ранг основної матриці дорівнює двом

2) знаходимо ранг розширеної матриці
~
~
~

3) Висновок:
=2, то система спільна.

Але

система невизначена і має безліч рішень.

4) Базисні невідомі і тому що вони належать базисному мінору, а - Вільна невідома.

Нехай =с, де с – будь-яке число.

5)Останній матриці відповідає система

6) Відповідь:

7) Перевірка: у будь-яке з рівнянь вихідної системи, де є всі невідомі, підставляємо знайдені значення.

У цій статті йтиметься про таке поняття, як ранг матриці та необхідні додаткові поняття. Ми наведемо приклади та докази знаходження рангу матриці, а також розповімо, що таке мінор матриці, і чому він такий важливий.

Мінор матриці

Щоб зрозуміти, що таке ранг матриці необхідно розібратися з таким поняттям, як мінор матриці.

Визначення 1

Мінорk-ого порядку матриці - визначник квадратної матриці порядку k×k, яка складена з елементів матриці А, що знаходяться в заздалегідь обраних k-рядках і k-стовпцях, при цьому зберігається положення елементів матриці А.

Простіше кажучи, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з тих елементів, які залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А, то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

З прикладу випливає, що мінори першого порядку матриці А є самі елементи матриці.

Можна навести кілька прикладів мінорів другого порядку. Виберемо два рядки та два стовпці. Наприклад, перший і другий рядок, третій і четвертий стовпець.

За такого вибору елементів мінором другого порядку буде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Іншим мінором 2-го порядку матриці є 0 0 1 1 = 0

Надамо ілюстрації побудови мінорів другого порядку матриці А:

Мінор 3-го порядку виходить, якщо викреслити третій стовпець матриці А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ілюстрація, як виходить мінор 3-го порядку матриці А:

Для цієї матриці мінорів вище 3-го порядку немає, оскільки

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Скільки існує мінорів k-ого порядку для матриці порядку p×n?

Число мінорів обчислюють за такою формулою:

C p k × C n k , де С p k = p ! k! (p - k)! і C n k = n! k! (n - k)! - Число поєднань з p по k, з n по k відповідно.

Після того, як ми визначилися, що таке мінори матриці А можна переходити до визначення рангу матриці А.

Ранг матриці: методи знаходження

Визначення 2

Ранг матриці - Найвищий порядок матриці, відмінний від нуля.

Позначення 1

Rank (A), Rg(A), Rang(A).

З визначення рангу матриці та мінору матриці ставати зрозуміло, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці відмінний від нуля.

Знаходження рангу матриці за визначенням

Визначення 3

Метод перебору мінорів - метод, що ґрунтується на визначенні рангу матриці.

Алгоритм дій способом перебору мінорів :

Необхідно знайти ранг матриці А порядку p× n. За наявності хоча б одного елемента, відмінного від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці ( т.к. є мінор 1-го порядку, який не дорівнює нулю).

Далі слідує перебір мінорів 2-го порядку. Якщо всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. При існуванні хоча б одного не рівного нулю мінору 2-го порядку, необхідно перейти до перебору мінорів 3-го порядку, а ранг матриці, в такому випадку, дорівнюватиме мінімум двом.

Аналогічно поступимо з рангом 3-го порядку: якщо всі мінори матриці дорівнюють нулю, то ранг дорівнюватиме двом. За наявності хоча б одного ненульового мінору 3-го порядку, ранг матриці дорівнює мінімум трьом. І так далі, за аналогією.

Приклад 2

Знайти ранг матриці:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Оскільки матриця ненульова, її ранг мінімум дорівнює одиниці.

Мінор 2-го порядку - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 відмінний від нуля. Звідси випливає, що ранг матриці не менше двох.

Перебираємо мінори 3-го порядку: 3 3 × 5 3 = 1 5 ! 3! (5 - 3)! = 10 шт.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (-1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (-1) × 6 × 1 + (-1) × 0 × 4 + (-2) × 2 × 11 - (-2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (-1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (-1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (-2) × 2 × 3 - (-2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (-7) + (-1) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (-1) × 0 × (-7) + (-2) × (-4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь : Rank (A) = 2.

Знаходження рангу матриці методом облямівних мінорів

Визначення 3

Метод облямівних мінорів - метод, який дозволяє отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Облямовуючий мінор - мінор M o k (k + 1) -го порядку матриці А, який облямовує мінор M порядку k матриці А, якщо матриця, яка відповідає мінору M o k , «містить» матрицю, яка відповідає мінору М.

Простіше кажучи, матриця, яка відповідає мінеру М, що облямовується, виходить з матриці, що відповідає облямовує мінору M o k , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Приклад 3

Знайти ранг матриці:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для знаходження рангу беремо мінор 2-го порядку М = 2 - 1 4 1

Записуємо всі мінори, що облямовують:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Щоб обґрунтувати метод облямівних мінорів, наведемо теорему, формулювання якої не вимагає доказової бази.

Теорема 1

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнює нулю.

Алгоритм дій :

Щоб знайти ранг матриці, необов'язково перебирати всі мінори, достатньо подивитися на облямовувачі.

Якщо мінори, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг матриці нульовий. Якщо існує хоча б один мінор, який не дорівнює нулю, то розглядаємо мінори, що облямовують.

Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) дорівнює двом. За наявності хоча б одного ненульового мінера, що облямовує, то приступаємо до розгляду його облямовують мінорів. І так далі, аналогічно.

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом обрамляють мінорів

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 матриці А не дорівнює нулю, візьмемо мінор 1-го порядку. Почнемо шукати мінер, що облямовує, відмінний від нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Ми знайшли облямівний мінор 2-го порядку не рівний нулю 2 0 4 1 .

Здійснимо перебір обрамляючих мінорів - (їх (4 - 2) × (5 - 2) = 6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Відповідь : Rank(A) = 2

Знаходження рангу матриці методом Гауса (за допомогою елементарних перетворень)

Пригадаємо, що є елементарні перетворення.

Елементарні перетворення:

• шляхом перестановки рядків (стовпців) матриці;
• шляхом множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне ненульове число k;

шляхом додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) елементів, які відповідають іншій стоки (стовпця) матриці, які помножені на довільне число k.

Визначення 5

Знаходження рангу матриці методом Гауса - метод, який ґрунтується на теорії еквівалентності матриць: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливість цього твердження випливає з визначення матриці:

• у разі перестановки рядків чи стовпців матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків або стовпців залишається рівним нулю;
• у разі множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне число k, яке не дорівнює нулю, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, яка помножена на k;

у разі додавання до елементів деякого рядка чи стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка чи стовпця, які помножені на число k, не змінює її визначника.

Суть методу елементарних перетворень : привести матрицю, чий ранг необхідно знайти, до трапецієподібної за допомогою елементарних перетворень.

Для чого?

Ранг матриць такого виду досить легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, у яких є хоча б один ненульовий елемент. А оскільки ранг під час проведення елементарних перетворень не змінюється, це і буде ранг матриці.

Проілюструємо цей процес:

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких більше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k(A) = k

• для прямокутних матриць А порядку p на n, число рядків яких менше числа стовпців:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• для квадратних матриць порядку n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 0 , Rank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Приклад 5

Знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Як вирішити?

Оскільки елемент а 11 відмінний від нуля, необхідно помножити елементи першого рядка матриці А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Додаємо до елементів 2-го рядка відповідні елементи 1-го рядка, які помножені на (-3). До елементів 3-го рядка додаємо елементи 1-го рядка, які помножені на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (-3) 0 + 1 2 (-3) 0 + (-1) (-3) - 1 + 3 (-3) 1 + 1 (-3) - 1 + 1 2 (-3) 2 + (- 1) (-1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (-7) 2 + 1 2 (-7) - 4 + (-1) (-7) 11 + 3 (-7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент а 22 (2) відмінний від нуля, тому ми множимо елементи 2-го рядка матриці А на А (2) на 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (-2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (-2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• До елементів 3-го рядка отриманої матриці додаємо відповідні елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2;
• до елементів 4-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 9 2;
• до елементів 5-го рядка - елементи 2-го рядка, які помножені на 3 2 .

Усі елементи рядків дорівнюють нулю. Таким чином, за допомогою елементарних перетворень ми привели матрицю до трапецеїдального вигляду, звідки видно, що R a n k (A (4)) = 2 . Звідси випливає, що ранг вихідної матриці також дорівнює двом.

Зауваження

Якщо проводити елементарні перетворення, не допускаються наближені значення!

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter