Рівняння висоти трикутника та її довжина. Як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії? Типове завдання із трикутником на площині Рівняння медіан трикутника за координатами його вершин

Що таке функція? Це залежність однієї величини від іншої. У математичній функції найчастіше дві невідомі: незалежна і залежна або х і у відповідно.

Що це означає? Це означає, що х може приймати абсолютно будь-яке значення, а у нього підлаштовуватися, змінюючись відповідно до коефіцієнтів функції.

Існують ситуації, коли функція має кілька змінних. Залежна завжди 1, але факторів, які впливають на неї може бути кілька. Не завжди таку функцію вдається відобразити на графіку. У кращому випадку графічно можна відобразити залежність від 2 змінних.

Як найпростіше уявити залежність у(х)?

Так, дуже просто. Уявіть собі розпещену дитину і багату люблячу матір. Вони разом приходять у магазин і починають клянчити цукерки. Хто знає, скільки цукерок хлопчик вимагатиме сьогодні?

Ніхто, але залежно від кількості цукерок збільшиться сума, яку мати сплатить на касі. У цьому випадку залежною величиною є сума в чеку, а незалежною – кількість цукерок, яку захоче хлопчик сьогодні.

Дуже важливо розуміти, що одному значенню функції у завжди відповідає 1 значення аргументу х. Але, як і з корінням квадратного рівняння, ці значення можуть збігатися.

Рівняння прямої лінії

Навіщо нам потрібне рівняння прямої, якщо ми говоримо про рівняння довжин сторін трикутника?

Та тому, що кожна сторона трикутника це відрізок. А відрізок це обмежена частина прямої. Тобто ми можемо поставити рівняння прямих. А в точках їх перетину обмежити лінії, тим самим обрізавши прямі і перетворивши їх на відрізки.

Рівняння прямої виглядає так:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Рівняння сторін трикутника

Необхідно знайти рівняння довжин сторін трикутника з вершинами в точках А (3,7); В(5,3); З(12;9)

Всі координати позитивні, отже трикутник буде розташований в 1 координатній чверті.

По черзі складемо рівняння кожної з ліній трикутника.

Першою буде лінія АВ. Координати точок підставимо в рівняння прямої на місце х та у. Таким чином, ми отримаємо систему з двох лінійних рівнянь. Вирішивши її можна знайти значення коефіцієнтів для функції:

А (3,7); В(5,3):

З першого рівняння висловимо b і підставимо друге.

Підставимо значення а та знайдемо b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Складемо рівняння прямої.

Аналогічно складемо два рівняння, що залишилися.

В(5,3); З(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\over7)=-(9\over7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

А (3,7); З(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Запишемо рівняння довжин сторін трикутника:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке функція, поговорили у функції прямої лінії та навчилися виводити рівняння сторін трикутника за координатами його вершин.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.8. Усього отримано оцінок: 45.

Приклад. Дано вершини трикутника АВС.
Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ та АС та їх кутові коефіцієнти; 3) Внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01; 4) рівняння висоти CD та її довжину; 5) рівняння кола, для якого висота CD є діаметр; 6) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС.

Довжина сторін трикутника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Відстань d від точки M: d = 10
Дано координати вершин трикутника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Довжина сторін трикутника
Відстань d між точками M 1 (x 1 ; y 1) і M 2 (x 2 ; y 2) визначається за формулою:

8) Рівняння прямої
Пряма, що проходить через точки A 1 (x 1 ; y 1) і A 2 (x 2 ; y 2), представляється рівняннями:

Рівняння прямої AB
або
або y = -3 / 4 x -7 / 4 або 4y + 3x +7 = 0
Рівняння прямої AC
Канонічне рівняння прямої: або
або y = 1 / 2 x + 9 / 2 або 2y -x - 9 = 0
Рівняння прямої BC
Канонічне рівняння прямої: або
або y = -7x + 42 або y + 7x - 42 = 0
3) Кут між прямими
Рівняння прямої AB:y = -3/4 x -7/4
Рівняння прямої AC: y = 1/2 x + 9/2
Кут φ між двома прямими, заданими рівняннями з кутовими коефіцієнтами y = k 1 x + b 1 і y 2 = k 2 x + b 2 обчислюється за формулою:

Кутові коефіцієнти даних прямих рівні -3/4 та 1/2. Скористаємося формулою, причому її праву частину беремо за модулем:

tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.44 0 або 1.107 рад.
9) Рівняння висоти через вершину C
Пряма, що проходить через точку N 0 (x 0 ; y 0) і перпендикулярна до прямої Ax + By + C = 0 має напрямний вектор (A; B) і, отже, представляється рівняннями:

Це рівняння можна знайти й іншим способом. Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт k1 прямий AB.
Рівняння AB: y = -3/4 x -7/4, тобто. k 1 = -3/4
Знайдемо кутовий коефіцієнт k перпендикуляра із умови перпендикулярності двох прямих: k 1 *k = -1.
Підставляючи замість k 1 кутовий коефіцієнт даної прямої, отримаємо:
-3/4 k = -1, звідки k = 4/3
Так як перпендикуляр проходить через точку C (5,7) і має k = 4 / 3, будемо шукати його рівняння у вигляді: y-y 0 = k (x-x 0).
Підставляючи x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 отримаємо:
y-7 = 4/3 (x-5)
або
y = 4 / 3 x + 1 / 3 або 3y -4x - 1 = 0
Знайдемо точку перетину з прямою AB:
Маємо систему із двох рівнянь:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
З першого рівняння виражаємо y і підставимо друге рівняння.
Отримуємо: x = -1; y = -1
D(-1;-1)
9) Довжина висоти трикутника, проведеної з вершини C
Відстань d від точки M 1 (x 1; y 1) до прямої Ax + By + С = 0 дорівнює абсолютному значенню величини:

Знайдемо відстань між точкою C(5;7) та прямою AB (4y + 3x +7 = 0)

Довжину висоти можна обчислити і за іншою формулою, як відстань між точкою C(5;7) та точкою D(-1;-1).
Відстань між двома точками виражається через координати формулою:

5) рівняння кола, для якого висота CD є діаметр;
Рівняння кола радіуса R з центром у точці E(a;b) має вигляд:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Оскільки CD є діаметром шуканого кола, її центр Е є середина відрізка CD. Скориставшись формулами поділу відрізка навпіл, отримаємо:

Отже, Е(2;3) і R = CD / 2 = 5. Використовую формулу, отримуємо рівняння шуканого кола: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) система лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС.
Рівняння прямої AB: y = -3/4 x -7/4
Рівняння прямої AC: y = 1/2 x + 9/2
Рівняння прямої BC: y = -7x + 42

Як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?
Типове завдання із трикутником на площині

Цей урок створено на підході до екватора між геометрією площини та геометрією простору. На даний момент назріла необхідність систематизувати напрацьовану інформацію та відповісти на дуже важливе питання: як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?Складність полягає в тому, що задач з геометрії можна придумати нескінченно багато, і ніякий підручник не вміщує в собі безліч і різноманітність прикладів. Це не похідна функціїз п'ятьма правилами диференціювання, таблицею та кількома технічними прийомами.

Рішення є! Не говоритиму гучних слів про те, що я розробив якусь грандіозну методику, проте, на мою думку, існує ефективний підхід до цієї проблеми, що дозволяє досягти хорошої і відмінної результативності навіть повному чайнику. Принаймні загальний алгоритм вирішення геометричних завдань дуже чітко оформився в моїй голові.

ЩО НЕОБХІДНО знати та вміти
для успішного вирішення задач з геометрії?

Від цього нікуди не подітися - щоб навмання не тикати носом кнопки, потрібно освоїти ази аналітичної геометрії. Тому якщо ви тільки-но приступили до вивчення геометрії або капітально забули її, будь ласка, почніть з уроку Вектори для чайників. Окрім векторів та дій з ними, потрібно знати базові поняття геометрії площини, зокрема, рівняння прямої на площиніта . Геометрія простору представлена статтями Рівняння площини, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину та деякими іншими уроками. Криві лінії та просторові поверхні другого порядку стоять деяким особняком, і специфічних завдань з ними не так багато.

Припустимо, студент вже має елементарні знання та навички вирішення найпростіших завдань аналітичної геометрії. Але ось буває так: читаєш умову завдання, і… хочеться взагалі закрити всю цю справу, закинути в дальній кут і забути, як про страшний сон. Причому це не залежить від рівня вашої кваліфікації, сам іноді стикаюся із завданнями, у яких рішення не очевидно. Як чинити в таких випадках? Не треба боятися завдання, яке вам не зрозуміле!

По перше, слід встановити – це «плоска» чи просторове завдання?Наприклад, якщо умови фігурують вектори з двома координатами, то, зрозуміло, тут геометрія площини. А якщо викладач завантажив вдячного слухача пірамідою, то тут геометрія простору. Результати першого кроку вже непогані, адже вдалося відсікти величезну кількість непотрібної для цього завдання інформації!

Друге. Умова, як правило, стурбує вас деякою геометричною фігурою. Справді, пройдіться коридорами рідного ВНЗ, і ви побачите дуже багато стурбованих осіб.

У «плоських» завданнях, не кажучи про точки і прямі, найбільш популярна фігура – трикутник. Його ми розберемо докладно. Далі йде паралелограм, і значно рідше зустрічаються прямокутник, квадрат, ромб, коло, ін. фігури.

У просторових завданнях можуть літати самі плоскі фігури + самі площини і поширені трикутні піраміди з паралелепіпедами.

Питання друге – чи все ви знаєте про цю фігуру?Припустимо, в умові йдеться про рівнобедрений трикутник, а ви дуже невиразно пам'ятаєте, що це такий за трикутник. Відкриваємо шкільний підручник та читаємо про рівнобедрений трикутник. Що робити... лікар сказав ромб, отже, ромб. Аналітична геометрія є аналітичною геометрією, але завдання допоможуть вирішити геометричні властивості самих фігур, відомі нам зі шкільної програми. Якщо не знати, чому дорівнює сума кутів трикутника, то страждати можна довго.

Третє. Завжди намагайтеся виконувати креслення(на чернетці/чистовику/подумки), навіть якщо цього не потрібно за умовою. У «плоських» завданнях сам Евклід наказав взяти в руки лінійку з олівцем – і не тільки для того, щоб зрозуміти умову, а й з метою самоперевірки. При цьому найбільш зручний масштаб 1 одиниця = 1 см (2 зошити). Вже не будемо міркувати про недбайливих студентів і математиків, що обертаються в трунах – у таких завданнях зробити помилку практично неможливо. Для просторових завдань виконуємо схематичний малюнок, який також допоможе проаналізувати умову.

Креслення або схематичне креслення часто відразу дозволяє побачити шлях вирішення завдання. Звичайно, для цього потрібно знати фундамент геометрії та рубати у властивостях геометричних фігур (див. попередній пункт).

Четверте. Розробка алгоритму розв'язання. Багато завдань геометрії багатоходові, тому рішення і його оформлення дуже зручно розбивати на пункти. Нерідко алгоритм відразу ж спадає на думку, після того як ви прочитали умову або виконали креслення. У разі виникнення труднощів починаємо з ПИТАННЯ задачі. Наприклад, за умовою "потрібно побудувати пряму ...". Тут найлогічне питання таке: «А що достатньо знати, щоб побудувати цю пряму?». Припустимо, «крапка нам відома, потрібно знати напрямний вектор». Запитуємо: «Як знайти цей напрямний вектор? Звідки? і т.д.

Іноді трапляється «затик» – не вирішується завдання і тут. Причини стопора можуть бути такими:

- Серйозний прогалину в елементарних знаннях. Іншими словами, ви не знаєте чи (і) не бачите якоїсь дуже простої речі.

- Незнання властивостей геометричних фігур.

- Завдання трапилося важке. Да так буває. Немає сенсу годинами паритися і збирати сльози в хустку. Зверніться за консультацією до викладача, однокурсників або запитайте на форумі. Причому його постановку краще зробити конкретною – про ту ділянку рішення, яка вам не зрозуміла. Зову у вигляді «Як вирішити завдання?» виглядає не дуже ... і, перш за все, для вашої власної репутації.

Етап п'ятий. Вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо-даємо відповідь. Кожен пункт завдання вигідно перевіряти відразу після його виконання. Це допоможе негайно виявити помилку. Звичайно, ніхто не забороняє швиденько вирішувати завдання цілком, але виникає ризик переписувати все заново (часто кілька сторінок).

Ось, мабуть, всі основні міркування, якими доцільно керуватися під час вирішення завдань.

Практична частина уроку представлена геометрією на площині. Прикладів буде всього два, але мало не здається =)

Пройдемося ниткою алгоритму, який я щойно розглянув у своїй маленькій науковій праці:

Приклад 1

Дано три вершини паралелограма. Знайти вершину.

Починаємо розбиратися:

Крок перший: очевидно, що йдеться про «плоский» завдання

Крок другий: у завданні йдеться про паралелограму. Чи всі пам'ятають таку фігуру паралелограм? Не треба посміхатися, чимало людей здобуває освіту в 30-40-50 і більше років, тому навіть прості факти можуть стертися з пам'яті. Визначення паралелограма зустрічається у Прикладі № 3 уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.

Крок третій: Виконаємо креслення, на якому відзначимо три відомі вершини Цікаво, що нескладно відразу побудувати шукану точку:

Побудувати це, звичайно, добре, але рішення необхідно оформити аналітично.

Крок четвертий: Розробка алгоритму рішення. Перше, що спадає на думку – точку можна знайти як перетин прямих . Їхні рівняння нам невідомі, тому доведеться зайнятися цим питанням:

1) Протилежні сторони паралельні. За точками знайдемо напрямний вектор даних сторін. Це найпростіше завдання, яке розглядалося на уроці Вектори для чайників.

Примітка: коректніше говорити «рівняння прямої, що містить сторону», але тут і далі для стислості я використовуватиму словосполучення «рівняння сторони», «напрямний вектор сторони» і т.д.

3) Протилежні сторони паралельні. По точках знайдемо напрямний вектор цих сторін.

4) Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору

У пунктах 1-2 і 3-4 ми фактично двічі вирішили одне й те саме завдання, воно, до речі, розібрано у прикладі № 3 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. Можна було піти довшим шляхом – спочатку знайти рівняння прямих і лише потім «витягнути» з них напрямні вектори.

5) Тепер рівняння прямих відомі. Залишилося скласти та вирішити відповідну систему лінійних рівнянь (див. приклади № 4, 5 того ж уроку Найпростіші завдання з прямою на площині).

Точку знайдено.

Завдання досить проста і її рішення очевидно, але існує більш короткий шлях!

Другий спосіб вирішення:

Діагоналі паралелограма своєю точкою перетину діляться навпіл. Точку я наголосив, але щоб не захаращувати креслення самі діагоналі не провів.

Складемо рівняння сторони за точками:

Для перевірки слід подумки або на чернетці підставити координати кожної точки в отримане рівняння. Тепер знайдемо кутовий коефіцієнт. Для цього перепишемо загальне рівняння у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Таким чином, кутовий коефіцієнт:

Аналогічно знаходимо рівняння сторін. Не бачу особливого сенсу розписувати те саме, тому одразу наведу готовий результат:

2) Знайдемо довжину сторони. Це найпростіше завдання, розглянуте на уроці Вектори для чайників. Для точок використовуємо формулу:

За цією ж формулою легко знайти довжини інших сторін. Перевірка дуже швидко виконується звичайною лінійкою.

Використовуємо формулу .

Знайдемо вектори:

Таким чином:

До речі, принагідно ми знайшли довжини сторін.

В результаті:

Що ж, схоже на правду, для переконливості до кута можна прикласти транспортир.

Увага! Не плутайте кут трикутника із кутом між прямими. Кут трикутника може бути тупим, а кут між прямими – ні (див. останній пункт статті Найпростіші завдання з прямою на площині). Однак для знаходження кута трикутника можна використовувати і формули вищезгаданого уроку, але шорсткість полягає в тому, що формули завжди дають гострий кут. З їх допомогою я вирішив на чернетці це завдання і отримав результат. А на чистовику довелося б записувати додаткові виправдання, що .

4) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямої.

Стандартне завдання, детально розглянуте у прикладі № 2 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. Із загального рівняння прямої витягнемо напрямний вектор . Складемо рівняння прямої по точці і напрямному вектору:

Як знайти висоту трикутника?

5) Складемо рівняння висоти та знайдемо її довжину.

Від суворих визначень нікуди не подітися, тому доведеться прикрадати зі шкільного підручника:

Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Тобто необхідно скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з вершини до сторони . Це завдання розглянуто в прикладах № 6, 7 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. З рівняння знімаємо вектор нормалі. Рівняння висоти складемо по точці і напрямному вектору:

Зауважте, що координати точки нам не відомі.

Іноді рівняння висоти знаходять із співвідношення кутових коефіцієнтів перпендикулярних до прямих: . У разі , тоді: . Рівняння висоти складемо за точкою та кутовим коефіцієнтом (див. початок уроку Рівняння прямої на площині):

Довжину висоти можна знайти двома способами.

Існує манівець:

а) знаходимо - точку перетину висоти та сторони;
б) знаходимо довжину відрізка по двох відомих точках.

Але на уроці Найпростіші завдання з прямою на площинірозглядалася зручна формула відстані від точки до прямої. Крапка відома: , Рівняння прямої теж відомо: , Таким чином:

6) Обчислимо площу трикутника. У просторі площа трикутника традиційно розраховується за допомогою векторного твору векторівале тут дано трикутник на площині. Використовуємо шкільну формулу:
- Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

В даному випадку:

Як знайти медіану трикутника?

7) Складемо рівняння медіани.

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

а) Знайдемо точку – середину сторони. Використовуємо формули координат середини відрізка. Відомі координати кінців відрізка: , Тоді координати середини: