Зведення на 4 ступінь. Формули ступенів та коренів

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень до ступеня: 28399

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числа в натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

Негативний ступінь -n числа a - це одиниця, поділена на a ступенем n: a -n = .

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Рішення: як було сказано вище, 2 -4 = = = 0.0625.

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

основна ціль

Ознайомити учнів із властивостями ступенів із натуральними показниками та навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема " Ступінь та її властивості "включає три питання:

• Визначення ступеня із натуральним показником.
• Множення та поділ ступенів.
• Зведення у ступінь твору та ступеня.

Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником 1. Наведіть приклад.
2. Сформулюйте визначення ступеня показника 1. Наведіть приклад.
3. Яким є порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
4. Сформулюйте основну властивість ступеня. Наведіть приклад.
5. Сформулюйте правило множення ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
6. Сформулюйте правило поділу ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
7. Сформулюйте правило зведення ступінь твору. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n = a n b n .
8. Сформулюйте правило зведення ступеня до ступеня. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n = m n .

Визначення ступеня.

Ступенем числа aз натуральним показником n, Великим 1, називається добуток n множників, кожен з яких дорівнює а. Ступенем числа аз показником 1 називається саме число а.

Ступінь з основою ата показником nзаписується так: а n. Читається “ ау ступені n”; У n- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням у ступінь .

1. Приклади зведення у ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Збільшення ступенів.

Для будь-якого числа а та довільних чисел m і n виконується:

a m a n = a m + n.

Доведення:

Правило : При множенні ступенів з однаковими основами основи залишають тим самим, а показники ступенів складають.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Варіант 1

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а0 і довільних натуральних чисел m і n таких, що m>n виконується:

a m: a n = a m - n

Доведення:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

за визначенням приватного:

a m: a n = a m - n.

Правило: При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Визначення: Ступінь числа а, не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

т.к. а n: a n = 1 при а0.

а) х 4: х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8: у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7: а = а 7: а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) з 5: з 0 = з 5: 1 = з 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Зведення у ступінь твору.

Для будь-яких а та b і довільного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доведення:

За визначенням ступеня

(ab) n =

Згрупувавши окремо множники а та множники b, отримаємо:

=

Доведена властивість ступеня твору поширюється на ступінь твору трьох та більше множників.

Наприклад:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило: При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник і результат перемножують

1. Звести до ступеня:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 = 2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Зведення у ступінь ступеня.

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n:

(а m) n = а m n

Доведення:

За визначенням ступеня

(а m) n =

Правило: При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

1. Звести до ступеня:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

додаток

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,4 0,4 ​​0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Варіант 3

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Варіант 4

1. Запишіть твір у вигляді ступеня:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Збільшення ступенів.

Варіант 2

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Варіант 3

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у 8 і) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Варіант 4

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів.

можна знайти за допомогою множення. Наприклад: 5+5+5+5+5+5=5х6. Про такий вислів говорять, що суму рівних доданків згорнули у твір. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, отримуємо, що ми розгорнули суму рівних доданків. Аналогічно можна згортати добуток кількох рівних множників 5х5х5х5х5х5=5 6 .

Тобто замість множення шести однакових множників 5х5х5х5х5х5 пишуть 56 і кажуть «п'ять шостою мірою».

Вираз 56 - це ступенем числа, де:

5 - основа ступеня;

6 - показник ступеня.

Дії, за допомогою яких добуток рівних множників згортають у ступінь, називають зведенням у ступінь.

У загальному вигляді ступінь з основою "a" та показником "n" записується так

Звести число a до ступеня n - означає знайти добуток n множників, кожен із яких дорівнює а

Якщо основа ступеня «а» дорівнює 1, то значення ступеня за будь-якого натурального n дорівнює 1. Наприклад, 1 5 =1, 1 256 =1

Якщо звести число «а» звести до перший ступінь, то отримаємо саме число a: a 1 = a

Якщо звести будь-яке число в нульовий ступінь, то результаті обчислень отримаємо один. a 0 = 1

Особливими вважають другий та третій ступінь числа. Для них вигадали назви: другий ступінь називають квадратом числа, третю - кубомцього числа.

У ступінь можна зводити будь-яке число – позитивне, негативне чи нуль. При цьому не користуються такими правилами:

При знаходженні ступеня позитивного числа виходить позитивне число.

При обчисленнях нуля в натуральному ступені одержуємо нуль.

х m · Х n = х m + n

наприклад: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7 + (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Щоб розділити ступеня з однаковими підставамиоснову не міняємо, а показники ступенів віднімаємо :

х m /х n = х m - n , де, m > n,

наприклад: 13 3.8/13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При розрахунках зведення ступеня в ступіньоснову не міняємо, а показники ступенів множимо один на одного.

(У m ) n = у m · n

наприклад: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

наприклад:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При виконанні розрахунків з зведенню у ступінь дробуми на цей ступінь зводимо чисельник і знаменник дробу

(х/у) n = х n / у n

наприклад: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3 .

Послідовність виконання розрахунків при роботі з виразами, що містять ступінь.

При виконанні розрахунків виразів без дужок, але що містять ступеня, в першу чергу виробляють зведення в ступінь, потім дії множення та поділ, і лише потім операції додавання та віднімання.

Якщо необхідно обчислити вираз дужки, що містять, то спочатку в зазначеному вище порядку робимо обчислення в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.

Дуже широко у практичних обчисленнях для спрощення розрахунків використовують готові таблиці ступенів.