Các thuật ngữ tương tự là gì? Giảm các thuật ngữ tương tự (Wolfson G.I.)

Bội số là số chia hết cho số đã cho Không một dâu vêt. Bội số chung nhỏ nhất (LCM) của một nhóm số là số nhỏ nhất có thể chia hết cho mỗi số trong nhóm mà không để lại số dư. Để tìm bội số chung nhỏ nhất, bạn cần tìm các thừa số nguyên tố của các số đã cho. LCM cũng có thể được tính bằng một số phương pháp khác áp dụng cho nhóm từ hai số trở lên.

bước

Chuỗi bội số

Hãy nhìn vào những con số này. Phương pháp được mô tả ở đây được sử dụng tốt nhất khi cho hai số, mỗi số nhỏ hơn 10. Nếu cho trước số lượng lớn, sử dụng phương pháp khác.

• Ví dụ: tìm bội số chung nhỏ nhất của 5 và 8. Đây là những số nhỏ nên bạn có thể sử dụng phương pháp này.

1. Bội số là một số chia hết cho một số đã cho mà không có số dư. Các bội số có thể được tìm thấy trong bảng cửu chương.

   • Ví dụ: các số là bội số của 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Viết dãy số là bội số của số thứ nhất. Thực hiện việc này dưới bội số của số đầu tiên để so sánh hai bộ số.

   • Ví dụ: các số là bội số của 8 là: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 và 64.

3. Tìm số nhỏ nhất có trong cả hai tập hợp bội số. Bạn có thể phải viết một chuỗi dài các bội số để tìm Tổng số. Số nhỏ nhất có trong cả hai bộ bội số là bội số chung nhỏ nhất.

   • Ví dụ, số nhỏ nhất, nằm trong dãy bội số của 5 và 8, là số 40. Do đó, 40 là bội số chung nhỏ nhất của 5 và 8.

   nguyên tố

   1. Hãy nhìn vào những con số này. Phương pháp được mô tả ở đây được sử dụng tốt nhất khi cho trước hai số, mỗi số lớn hơn 10. Nếu cho trước số nhỏ hơn, sử dụng phương pháp khác.

      • Ví dụ: tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 20 và 84. Mỗi số đều lớn hơn 10 nên bạn có thể sử dụng phương pháp này.

   2. Phân tích số đầu tiên thành thừa số nguyên tố. Tức là bạn cần tìm các số nguyên tố sao cho khi nhân với nhau sẽ thu được một số cho trước. Khi bạn đã tìm được các thừa số nguyên tố, hãy viết chúng dưới dạng đẳng thức.

      • Ví dụ, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Và 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Vậy các thừa số nguyên tố của số 20 là các số 2, 2 và 5. Viết chúng dưới dạng biểu thức: .

   3. Phân tích số thứ hai thành thừa số nguyên tố. Làm điều này giống như cách bạn phân tích số đầu tiên, nghĩa là tìm các số nguyên tố mà khi nhân với nhau sẽ thu được số đã cho.

      • Ví dụ, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Và 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Như vậy, các thừa số nguyên tố của số 84 là các số 2, 7, 3 và 2. Viết chúng dưới dạng biểu thức: .

   4. Viết các ước chung của cả hai số. Viết các thừa số như một phép toán nhân. Khi bạn viết từng thừa số, hãy gạch bỏ nó trong cả hai biểu thức (biểu thức mô tả việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố).

      • Ví dụ: cả hai số đều có ước chung là 2, vì vậy hãy viết 2 × (\displaystyle 2\times ) và gạch bỏ 2 trong cả hai biểu thức.
      • Điểm chung của cả hai số là thừa số khác của 2, vì vậy hãy viết 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) và gạch bỏ 2 số thứ hai trong cả hai biểu thức.

   5. Thêm các yếu tố còn lại vào phép tính nhân.Đây là những thừa số không bị gạch bỏ trong cả hai biểu thức, tức là những thừa số không chung cho cả hai số.

      • Ví dụ, trong biểu thức 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Cả hai (2) đều bị gạch bỏ vì chúng là ước chung. Thừa số 5 không bị gạch bỏ nên hãy viết phép nhân như sau: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Trong biểu hiện 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) cả hai (2) cũng bị gạch bỏ. Thừa số 7 và 3 không bị gạch bỏ nên hãy viết phép nhân như sau: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Tính bội chung nhỏ nhất.Để thực hiện việc này, hãy nhân các số trong phép tính nhân bằng văn bản.

      • Ví dụ, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Vậy bội số chung nhỏ nhất của 20 và 84 là 420.

   Tìm các yếu tố chung

   1. Vẽ một lưới giống như trò chơi tic-tac-toe. Một lưới như vậy bao gồm hai đường thẳng song song cắt nhau (vuông góc) với hai đường thẳng song song khác. Điều này sẽ cung cấp cho bạn ba hàng và ba cột (lưới trông rất giống biểu tượng #). Viết số đầu tiên vào dòng đầu tiên và cột thứ hai. Viết số thứ hai vào hàng đầu tiên và cột thứ ba.

      • Ví dụ: tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 18 và 30. Viết số 18 vào hàng đầu tiên và cột thứ hai, đồng thời viết số 30 vào hàng đầu tiên và cột thứ ba.

   2. Tìm ước chung của cả hai số. Viết nó xuống hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Tốt hơn là nên tìm các thừa số nguyên tố, nhưng đây không phải là một yêu cầu bắt buộc.

      • Ví dụ: 18 và 30 là số chẵn nên chúng ước số chung số đó sẽ là 2. Vậy hãy viết số 2 vào hàng đầu tiên và cột đầu tiên.

   3. Chia mỗi số cho ước số thứ nhất. Viết mỗi thương số dưới số thích hợp. Thương số là kết quả của phép chia hai số.

      • Ví dụ, 18 `2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), vậy viết 9 dưới 18.
      • 30 `2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), vậy hãy viết 15 dưới 30.

   4. Tìm ước chung của cả hai thương. Nếu không có ước số đó, hãy bỏ qua hai bước tiếp theo. Ngược lại, viết số chia vào hàng thứ hai và cột đầu tiên.

      • Ví dụ: 9 và 15 chia hết cho 3 nên viết 3 ở hàng thứ hai và cột đầu tiên.

   5. Chia mỗi thương cho ước số thứ hai của nó. Viết kết quả của mỗi phép chia dưới thương số tương ứng.

      • Ví dụ, 9 `3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), vậy hãy viết 3 dưới 9.
      • 15 `3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), nên viết 5 dưới 15.

   6. Nếu cần, hãy thêm các ô bổ sung vào lưới. Lặp lại các bước được mô tả cho đến khi thương số có ước số chung.

   7. Khoanh tròn các số ở cột đầu tiên và hàng cuối cùng của lưới. Sau đó viết các số đã chọn dưới dạng phép nhân.

      • Ví dụ, số 2 và 3 ở cột đầu tiên, còn số 3 và 5 ở hàng cuối cùng, hãy viết phép nhân như sau: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Tìm kết quả của phép nhân các số.Điều này sẽ tính bội số chung nhỏ nhất của hai số đã cho.

      • Ví dụ, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Vậy bội số chung nhỏ nhất của 18 và 30 là 90.

   Thuật toán Euclid

   1. Hãy nhớ các thuật ngữ liên quan đến phép chia. Số bị chia là số được chia. Số chia là số bị chia. Thương số là kết quả của phép chia hai số. Số dư là số còn lại khi chia hai số.

      • Ví dụ, trong biểu thức 15 `6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 là cổ tức
        6 là số chia
        2 là thương số
        3 là số dư.

Hãy tiếp tục cuộc trò chuyện về bội số chung nhỏ nhất mà chúng ta đã bắt đầu trong phần “LCM - bội số chung nhỏ nhất, định nghĩa, ví dụ”. Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các cách tìm LCM của ba số trở lên và chúng ta sẽ xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm LCM của một số âm.

Yandex.RTB RA-339285-1

Tính bội số chung nhỏ nhất (LCM) thông qua GCD

Chúng ta đã thiết lập được mối quan hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất. Bây giờ hãy tìm hiểu cách xác định LCM thông qua GCD. Đầu tiên, hãy tìm hiểu cách thực hiện điều này số dương.

Định nghĩa 1

Bạn có thể tìm bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất bằng công thức LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

ví dụ 1

Bạn cần tìm BCNN của các số 126 và 70.

Giải pháp

Hãy lấy a = 126, b = 70. Hãy thay các giá trị vào công thức tính bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Tìm gcd của các số 70 và 126. Để làm được điều này, chúng ta cần thuật toán Euclide: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó GCD (126 , 70) = 14 .

Hãy tính LCM: LCD(126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời: BCNN(126, 70) = 630.

Ví dụ 2

Tìm số 68 và 34.

Giải pháp

GCD trong trong trường hợp nàyĐiều này không khó vì 68 chia hết cho 34. Hãy tính bội số chung nhỏ nhất bằng công thức: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời: BCNN(68, 34) = 68.

Trong ví dụ này, chúng ta đã sử dụng quy tắc tìm bội chung nhỏ nhất của các số nguyên dương a và b: nếu số thứ nhất chia hết cho số thứ hai thì LCM của các số đó sẽ bằng số thứ nhất.

Tìm LCM bằng cách phân tích số thành thừa số nguyên tố

Bây giờ chúng ta hãy xem phương pháp tìm LCM, dựa trên việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 2

Để tìm bội số chung nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện một số bước đơn giản:

• chúng tôi soạn ra sản phẩm của tất cả thừa số nguyên tố các số mà chúng ta cần tìm LCM;
• chúng tôi loại trừ tất cả các thừa số nguyên tố khỏi các kết quả thu được của chúng;
• tích thu được sau khi loại bỏ thừa số nguyên tố chung sẽ bằng LCM của các số đã cho.

Phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất này dựa trên đẳng thức LCM(a,b) = a · b: GCD(a,b). Nếu bạn nhìn vào công thức, sẽ thấy rõ: tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số tham gia vào quá trình phân tích hai số này. Trong trường hợp này, gcd của hai số tương đương với sản phẩm tất cả các thừa số nguyên tố có mặt đồng thời trong phân tích nhân tử của hai số đã cho.

Ví dụ 3

Chúng ta có hai số 75 và 210. Chúng ta có thể tính chúng như sau: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Nếu tính tích tất cả các thừa số của hai số ban đầu, bạn sẽ nhận được: 2 3 3 5 5 5 7.

Nếu loại trừ thừa số 3 và 5 chung của cả hai số thì ta được tích loại sau: 2 3 5 5 7 = 1050. Sản phẩm này sẽ là LCM của chúng tôi cho các số 75 và 210.

Ví dụ 4

Tìm LCM của các số 441 Và 700 , phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố.

Giải pháp

Hãy tìm tất cả các thừa số nguyên tố của các số đã cho trong điều kiện:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Chúng ta có hai chuỗi số: 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Tích của tất cả các thừa số tham gia phân tích các số này sẽ có dạng: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hãy tìm các yếu tố chung. Đây là số 7. Hãy loại trừ anh ta khỏi tổng sản phẩm: 2 2 3 3 5 5 7 7. Hóa ra là NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời: LỘC(441, 700) = 44.100.

Chúng ta hãy đưa ra một công thức khác của phương pháp tìm LCM bằng cách phân tách các số thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 3

Trước đây, chúng tôi đã loại trừ khỏi tổng số yếu tố chung cho cả hai số. Bây giờ chúng ta sẽ làm khác đi:

• Hãy phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố:
• thêm vào tích các thừa số nguyên tố của số thứ nhất các thừa số còn thiếu của số thứ hai;
• chúng ta thu được tích, đây sẽ là LCM mong muốn gồm hai số.

Ví dụ 5

Hãy quay lại các số 75 và 210 mà chúng ta đã tìm LCM trong một trong các ví dụ trước. Hãy chia chúng thành các yếu tố đơn giản: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Với tích của các thừa số 3, 5 và 5 số 75 cộng các thừa số còn thiếu 2 Và 7 số 210. Chúng tôi nhận được: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Đây là LCM của các số 75 và 210.

Ví dụ 6

Cần tính LCM của các số 84 và 648.

Giải pháp

Hãy phân tích các số từ điều kiện thành các thừa số đơn giản: 84 = 2 2 3 7 Và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Hãy cộng vào tích các thừa số 2, 2, 3 và 7 số 84 thiếu thừa số 2, 3, 3 và
3 số 648. Chúng tôi nhận được sản phẩm 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Đây là bội số chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Trả lời: LCM(84, 648) = 4,536.

Tìm BCNN của ba số trở lên

Bất kể chúng ta đang xử lý bao nhiêu số, thuật toán hành động của chúng ta sẽ luôn giống nhau: chúng ta sẽ lần lượt tìm LCM của hai số. Có một định lý cho trường hợp này.

Định lý 1

Giả sử chúng ta có số nguyên a 1 , a 2 , … , a k. NOC tôi k những số này được tìm bằng cách tính tuần tự m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Bây giờ chúng ta hãy xem cách áp dụng định lý để giải quyết các vấn đề cụ thể.

Ví dụ 7

Bạn cần tính bội chung nhỏ nhất của bốn số 140, 9, 54 và 250 .

Giải pháp

Chúng ta hãy giới thiệu các ký hiệu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Hãy bắt đầu bằng cách tính m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Hãy áp dụng thuật toán Euclide để tính GCD của các số 140 và 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Ta được: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Do đó, m2 = 1.260.

Bây giờ hãy tính toán bằng thuật toán tương tự m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Trong quá trình tính toán chúng ta thu được m 3 = 3 780.

Tất cả những gì chúng ta phải làm là tính m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Chúng tôi làm theo cùng một thuật toán. Chúng ta nhận được m 4 = 94 500.

LCM của bốn số trong điều kiện ví dụ là 94500.

Trả lời: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Như bạn có thể thấy, việc tính toán rất đơn giản nhưng khá tốn công sức. Để tiết kiệm thời gian, bạn có thể đi con đường khác.

Định nghĩa 4

Chúng tôi cung cấp cho bạn thuật toán hành động sau:

• chúng tôi phân tách tất cả các số thành thừa số nguyên tố;
• để tích các thừa số của số thứ nhất ta cộng các thừa số còn thiếu của tích số thứ hai;
• vào sản phẩm thu được ở giai đoạn trước, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu của số thứ ba, v.v.;
• tích kết quả sẽ là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số trong điều kiện.

Ví dụ 8

Bạn cần tìm BCNN của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Giải pháp

Hãy phân tích cả năm số thành thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Các số nguyên tố, tức là số 7, không thể phân tích thành thừa số nguyên tố. Những con số như vậy trùng hợp với sự phân rã của chúng thành các thừa số nguyên tố.

Bây giờ chúng ta hãy lấy tích của các thừa số nguyên tố 2, 2, 3 và 7 của số 84 và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu của số thứ hai. Chúng ta đã phân tách số 6 thành 2 và 3. Những yếu tố này đã có trong tích của số đầu tiên. Vì vậy, chúng tôi bỏ qua chúng.

Chúng tôi tiếp tục thêm các số nhân còn thiếu. Hãy chuyển sang số 48, từ tích của các thừa số nguyên tố mà chúng ta lấy là 2 và 2. Sau đó, chúng ta cộng thừa số nguyên tố của 7 từ số thứ tư và các thừa số của 11 và 13 của số thứ năm. Chúng tôi nhận được: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Đây là bội số chung nhỏ nhất của năm số ban đầu.

Trả lời: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Tìm bội số chung nhỏ nhất của số âm

Để tìm bội số chung nhỏ nhất số âm, những số này trước tiên phải được thay thế bằng những số có dấu hiệu ngược lại, sau đó thực hiện tính toán bằng các thuật toán trên.

Ví dụ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) và LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Những hành động như vậy được cho phép vì thực tế là nếu chúng tôi chấp nhận điều đó Một Và − một- số đối nhau,
thì tập hợp bội của một số Một khớp với tập hợp bội số của một số − một.

Ví dụ 10

Cần tính LCM của số âm − 145 Và − 45 .

Giải pháp

Hãy thay số − 145 Và − 45 đến số đối diện của chúng 145 Và 45 . Bây giờ, bằng cách sử dụng thuật toán, chúng tôi tính toán LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, trước đó đã xác định GCD bằng thuật toán Euclide.

Chúng ta nhận được LCM của các số là −145 và − 45 bằng 1 305 .

Trả lời: LCM (- 145, − 45) = 1.305.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Sự định nghĩa. Số tự nhiên lớn nhất mà a và b chia hết không dư gọi là số tự nhiên lớn nhất ước chung lớn nhất (GCD) những con số này

Hãy tìm ước chung lớn nhất của các số 24 và 35.
Các ước của 24 là các số 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 và các ước của 35 là các số 1, 5, 7, 35.
Ta thấy các số 24 và 35 chỉ có một ước chung là số 1. Những số như vậy được gọi là lẫn nhau.

Sự định nghĩa. Số tự nhiên được gọi là lẫn nhau, nếu ước chung lớn nhất (GCD) của chúng bằng 1.

Ước chung lớn nhất (GCD) có thể được tìm thấy mà không cần viết ra tất cả các ước của các số đã cho.

Phân tích các số 48 và 36, ta có:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Từ các hệ số có trong khai triển của số đầu tiên trong số này, chúng ta gạch bỏ những hệ số không có trong khai triển của số thứ hai (tức là hai số hai).
Các thừa số còn lại là 2 * 2 * 3. Tích của chúng bằng 12. Số này là ước chung lớn nhất của các số 48 và 36. Ước chung lớn nhất của ba số trở lên cũng được tìm thấy.

Để tìm ước chung lớn nhất

2) Từ các hệ số có trong khai triển của một trong các số này, hãy gạch bỏ những hệ số không có trong khai triển của các số khác;
3) tìm tích của các thừa số còn lại.

Nếu tất cả các số đã cho đều chia hết cho một trong số chúng thì số đó là ước chung lớn nhất những con số đã cho.
Ví dụ: ước chung lớn nhất của các số 15, 45, 75 và 180 là số 15, vì tất cả các số khác đều chia hết cho nó: 45, 75 và 180.

Bội số chung nhỏ nhất (LCM)

Sự định nghĩa. Bội số chung nhỏ nhất (LCM) số tự nhiên a và b là số tự nhiên nhỏ nhất chia bội cho cả a và b. Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các số 75 và 60 mà không cần viết bội số của các số này liên tiếp. Để làm điều này, hãy phân tích 75 và 60 thành thừa số nguyên tố: 75 = 3 * 5 * 5 và 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Hãy viết ra các thừa số có trong phép khai triển số đầu tiên và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu 2 và 2 từ phép khai triển số thứ hai (tức là chúng ta kết hợp các thừa số).
Chúng ta nhận được năm thừa số 2 * 2 * 3 * 5 * 5, tích của nó là 300. Số này là bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 60.

Họ cũng tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên.

ĐẾN tìm bội số chung nhỏ nhất một số số tự nhiên cần:
1) phân tích chúng thành thừa số nguyên tố;
2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
3) thêm vào chúng những thừa số còn thiếu từ việc khai triển các số còn lại;
4) tìm tích của các thừa số kết quả.

Lưu ý rằng nếu một trong các số này chia hết cho tất cả các số khác thì số này là bội số chung nhỏ nhất của các số này.
Ví dụ: bội số chung nhỏ nhất của các số 12, 15, 20 và 60 là 60 vì nó chia hết cho tất cả các số đó.

Pythagoras (thế kỷ VI trước Công nguyên) và các học trò của ông đã nghiên cứu câu hỏi về tính chia hết của các số. Con số, bằng tổng Họ gọi tất cả các ước của nó (không tính chính số đó) là số hoàn hảo. Ví dụ: các số 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) là hoàn hảo. Các số hoàn hảo tiếp theo là 496, 8128, 33.550.336. Người Pythagore chỉ biết ba số hoàn hảo đầu tiên. Chiếc thứ tư - 8128 - được biết đến vào thế kỷ thứ nhất. N. đ. Chiếc thứ năm - 33.550.336 - được tìm thấy vào thế kỷ 15. Đến năm 1983, 27 số hoàn hảo đã được biết đến. Nhưng các nhà khoa học vẫn không biết liệu có số hoàn hảo lẻ hay có số hoàn hảo lớn nhất hay không.
Sự quan tâm của các nhà toán học cổ đại đối với số nguyên tố bắt nguồn từ thực tế là bất kỳ số nào cũng là số nguyên tố hoặc có thể được biểu diễn dưới dạng tích. số nguyên tố, tức là các số nguyên tố giống như những viên gạch mà từ đó các số tự nhiên còn lại được xây dựng.
Bạn có thể nhận thấy rằng các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên xuất hiện không đồng đều - ở một số phần của chuỗi có nhiều số nguyên tố hơn, ở những phần khác - ít hơn. Nhưng chúng ta càng tiến xa hơn dãy số, những số nguyên tố ít phổ biến hơn là. Câu hỏi đặt ra: có số nguyên tố cuối cùng (lớn nhất) không? Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên), trong cuốn sách “Các phần tử”, vốn là cuốn sách giáo khoa toán học chính trong hai nghìn năm, đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, tức là đằng sau mỗi số nguyên tố có một số nguyên tố thậm chí còn lớn hơn. con số.
Để tìm số nguyên tố, một nhà toán học Hy Lạp khác cùng thời là Eratosthenes đã nghĩ ra phương pháp này. Anh ấy viết ra tất cả các số từ 1 đến một số nào đó, rồi gạch bỏ một số không phải là số nguyên tố hay hợp số, sau đó gạch bỏ một số tất cả các số đứng sau 2 (các số là bội số của 2, tức là 4, 6, 8, v.v.). Số còn lại đầu tiên sau 2 là 3. Sau đó, sau số 2, tất cả các số đứng sau 3 (các số là bội số của 3, tức là 6, 9, 12, v.v.) đều bị gạch bỏ. cuối cùng chỉ còn lại các số nguyên tố là không vượt qua được.