Làm thế nào để dễ dàng tìm được mẫu số chung của hai số. Các cách tìm bội số chung ít nhất, nok là và tất cả các giải thích

Hãy xem xét ba cách để tìm bội số chung nhỏ nhất.

Tìm bằng bao thanh toán

Cách đầu tiên là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách tính các số đã cho thành thừa số nguyên tố.

Giả sử chúng ta cần tìm LCM của các số: 99, 30 và 28. Để làm điều này, chúng ta phân tích từng số này thành các thừa số nguyên tố:

Để số mong muốn chia hết cho 99, 30 và 28, điều cần thiết và đủ là nó bao gồm tất cả các thừa số nguyên tố của các số chia này. Để làm điều này, chúng ta cần lấy tất cả các thừa số nguyên tố của những số này đến lũy thừa cao nhất và nhân chúng với nhau:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Vậy LCM (99, 30, 28) = 13,860. Không có số nào nhỏ hơn 13,860 chia hết cho 99, 30 hoặc 28.

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của các số đã cho, bạn cần phân tách chúng thành các thừa số nguyên tố, sau đó lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất mà nó xuất hiện và nhân các thừa số này với nhau.

Vì số nguyên tố không có chung thừa số nguyên tố, thì bội số chung nhỏ nhất của chúng bằng tích của các số này. Ví dụ, ba số: 20, 49 và 33 là số nguyên tố. Cho nên

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Điều tương tự cũng nên được thực hiện khi tìm bội số chung ít nhất trong các số nguyên tố. Ví dụ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Tìm theo lựa chọn

Cách thứ hai là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách so khớp.

Ví dụ 1. Khi số lớn nhất trong các số đã cho chia hết cho các số đã cho khác thì CTPT của các số này bằng số lớn hơn của chúng. Ví dụ, đã cho bốn số: 60, 30, 10 và 6. Mỗi số đều chia hết cho 60, do đó:

NOC (60, 30, 10, 6) = 60

Trong các trường hợp khác, để tìm bội số chung nhỏ nhất, quy trình sau được sử dụng:

Xác định số lớn nhất trong các số đã cho.
Tiếp theo, tìm các số là bội số số lớn nhất, nhân nó với số nguyên theo thứ tự tăng dần và kiểm tra xem các số đã cho còn lại có chia hết cho tích thu được hay không.

Ví dụ 2. Cho ba số 24, 3 và 18. Hãy xác định số lớn nhất trong số đó - đây là số 24. Tiếp theo, tìm bội số của 24, kiểm tra xem mỗi số đó có chia hết cho 18 và cho 3 hay không:

24 1 = 24 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 18.

24 2 = 48 - chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 18.

24 3 \ u003d 72 - chia hết cho 3 và 18.

Vậy LCM (24, 3, 18) = 72.

Tìm bằng cách Tìm tuần tự LCM

Cách thứ ba là tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách tìm LCM liên tiếp.

LCM của hai số đã cho bằng tích của những số này chia cho ước chung lớn nhất của chúng.

Ví dụ 1. Tìm ƯCM của hai số đã cho: 12 và 8. Xác định ước chung lớn nhất của chúng: GCD (12, 8) = 4. Nhân các số này:

Chúng tôi chia sản phẩm thành GCD của họ:

Vậy LCM (12, 8) = 24.

Để tìm LCM của ba số trở lên, quy trình sau được sử dụng:

Đầu tiên, LCM của bất kỳ hai trong số các số đã cho được tìm thấy.
Sau đó, LCM của bội số chung ít nhất được tìm thấy và bội số thứ ba số đã cho.
Sau đó, LCM của bội số chung nhỏ nhất kết quả và số thứ tư, v.v.
Vì vậy, tìm kiếm LCM tiếp tục miễn là có số.

Ví dụ 2. Tìm LCM ba dữ liệu số: 12, 8 và 9. LCM của số 12 và 8 mà chúng ta đã tìm thấy trong ví dụ trước (đây là số 24). Vẫn phải tìm bội chung nhỏ nhất của 24 và số đã cho thứ ba - 9. Xác định ước chung lớn nhất của chúng: gcd (24, 9) = 3. Nhân LCM với số 9:

Chúng tôi chia sản phẩm thành GCD của họ:

Vậy LCM (12, 8, 9) = 72.

Khi cộng và trừ các phân số đại số với mẫu số khác nhauđầu tiên các phân số dẫn đến mẫu số chung. Điều này có nghĩa là họ tìm thấy một mẫu số duy nhất, được chia cho mẫu số ban đầu của mỗi phân số đại số là một phần của biểu thức này.

Như bạn đã biết, nếu tử số và mẫu số của một phân số được nhân (hoặc chia) với cùng một số khác 0, thì giá trị của phân số sẽ không thay đổi. Đây là thuộc tính chính của một phân số. Vì vậy, khi các phân số quy về một mẫu số chung, thì thực tế, mẫu số ban đầu của mỗi phân số được nhân với thừa số thành mẫu số chung. Trong trường hợp này, cần phải nhân với thừa số này và tử số của phân số (nó khác nhau đối với mỗi phân số).

Ví dụ, cho tổng các phân số đại số sau:

Nó được yêu cầu để đơn giản hóa biểu thức, tức là, thêm hai phân số đại số. Để làm được điều này, trước hết, cần phải thu gọn các số hạng-phân số về một mẫu số chung. Bước đầu biết đơn thức chia hết cho 3x và 2y. Trong trường hợp này, điều mong muốn là nó nhỏ nhất, tức là tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất cho 3x và 2y.

Đối với các hệ số và biến số, LCM được tìm kiếm riêng biệt. LCM (3, 2) = 6 và LCM (x, y) = xy. Hơn nữa, các giá trị tìm thấy được nhân lên: 6xy.

Bây giờ chúng ta cần xác định xem chúng ta nhân hệ số nào để nhân 3x để được 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Điều này có nghĩa là khi rút gọn phân số đại số đầu tiên xuống một mẫu số chung thì tử số của nó phải được nhân với 2y (mẫu số đã được nhân khi rút gọn mẫu số chung). Thừa số của tử số của phân số thứ hai cũng được tìm kiếm tương tự. Nó sẽ bằng 3x.

Do đó, chúng tôi nhận được:

Hơn nữa, nó đã có thể hoạt động như với các phân số với cùng mẫu số: tử số được thêm vào và một số chung được viết ở mẫu số:

Sau khi biến đổi, một biểu thức đơn giản thu được, là một phân số đại số, là tổng của hai bản gốc:

Phân số đại số trong biểu thức ban đầu có thể chứa mẫu số là đa thức chứ không phải đơn thức (như trong ví dụ trên). Trong trường hợp này, trước khi tìm mẫu số chung, hãy nhân các mẫu số (nếu có thể). Hơn nữa, mẫu số chung được thu thập từ các yếu tố khác nhau. Nếu thừa số ở một số mẫu số ban đầu, thì nó được lấy một lần. Nếu hệ số có các mức độ khác nhau trong các mẫu số ban đầu, sau đó nó được lấy với một mẫu số lớn hơn. Ví dụ:

Ở đây đa thức a 2 - b 2 có thể được biểu diễn dưới dạng tích (a - b) (a + b). Thừa số 2a - 2b được khai triển thành 2 (a - b). Như vậy, mẫu số chung sẽ bằng 2 (a - b) (a + b).

Để giải các ví dụ về phân số, bạn cần tìm được mẫu số chung nhỏ nhất. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết.

Cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất - khái niệm

Mẫu số chung ít nhất (LCD) nói một cách đơn giản là số nhỏ nhất chia hết cho các mẫu số của tất cả các phân số ví dụ này. Nói cách khác, nó được gọi là Đa bội chung Ít nhất (LCM). NOZ chỉ được sử dụng nếu mẫu số của các phân số khác nhau.

Cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất - ví dụ

Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm NOZ.

Tính: 3/5 + 2/15.

Giải pháp (Chuỗi hành động):

Chúng ta nhìn vào mẫu số của các phân số, đảm bảo rằng chúng khác nhau và các biểu thức được rút gọn càng nhiều càng tốt.
Chúng ta tìm thấy số lượng ít hơn, chia hết cho cả 5 và 15. Số này sẽ là 15. Như vậy, 3/5 + 2/15 =? / 15.
Chúng tôi đã tìm ra mẫu số. Cái gì sẽ có trong tử số? Một hệ số nhân bổ sung sẽ giúp chúng tôi tìm ra điều này. Một yếu tố bổ sung là số có được bằng cách chia NOZ cho mẫu số của một phân số cụ thể. Đối với 3/5, thừa số thêm là 3, vì 15/5 = 3. Đối với phân số thứ hai, thừa số thêm là 1, vì 15/15 = 1.
Sau khi tìm ra thừa số bổ sung, chúng tôi nhân nó với tử số của các phân số và cộng các giá trị kết quả. 3/5 + 2/15 = (3 * 3 + 2 * 1) / 15 = (9 + 2) / 15 = 15/11.

Đáp số: 3/5 + 2/15 = 15/11.

Nếu trong ví dụ không phải là 2, mà là 3 hoặc nhiều phân số được cộng hoặc trừ, thì NOZ phải được tìm kiếm cho bao nhiêu phân số như đã cho.

Tính: 1/2 - 5/12 + 3/6

Giải pháp (chuỗi hành động):

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất. Số nhỏ nhất chia hết cho 2, 12 và 6 là 12.
Ta được: 1/2 - 5/12 + 3/6 =? / 12.
Chúng tôi đang tìm kiếm số nhân bổ sung. Đối với 1/2 - 6; cho 5/12 - 1; cho 3/6 - 2.
Ta nhân với các tử số và gán các dấu tương ứng: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Đáp số: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Phép nhân "đan chéo"

Phương pháp ước số chung

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Để xem phương pháp bội số ít phổ biến nhất mang lại bao nhiêu phần trăm chiến thắng, hãy thử tính toán các ví dụ tương tự bằng phương pháp đan chéo.

Mẫu số chung của phân số

Tất nhiên, không có một máy tính. Tôi nghĩ sau đó những bình luận sẽ là thừa.

Xem thêm:

Ban đầu tôi muốn đưa các phương pháp mẫu số chung vào đoạn "Cộng và Trừ các phân số". Nhưng hóa ra có rất nhiều thông tin và tầm quan trọng của nó là rất lớn (xét cho cùng, không chỉ phân số), tốt hơn là nên nghiên cứu vấn đề này một cách riêng biệt.

Vì vậy, giả sử chúng ta có hai phân số với các mẫu số khác nhau. Và chúng tôi muốn đảm bảo rằng các mẫu số trở nên giống nhau. Thuộc tính chính của một phân số có tác dụng giải cứu, để tôi nhắc bạn, nghe như thế này:

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Vì vậy, nếu bạn chọn các thừa số một cách chính xác, mẫu số của các phân số sẽ bằng nhau - quá trình này được gọi là. Và những con số mong muốn, "san bằng" các mẫu số, được gọi.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một số lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Phần trăm thực tế là các biểu thức thông thường có chứa phân số.

Có nhiều cách để tìm số mà mẫu số bằng nhau khi nhân với nhau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét ba trong số chúng - theo thứ tự ngày càng phức tạp và theo một nghĩa nào đó là hiệu quả.

Phép nhân "đan chéo"

Cách đơn giản nhất và đáng tin cậy nhất, được đảm bảo cân bằng các mẫu số. Chúng ta sẽ hành động "trước": chúng ta nhân phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai và nhân thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ trở thành ngang bằng với sản phẩm mẫu số ban đầu. Hãy xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Vâng, nó đơn giản vậy thôi. Nếu bạn mới bắt đầu nghiên cứu về phân số, tốt hơn là nên làm việc với phương pháp này - bằng cách này bạn sẽ đảm bảo mình tránh được nhiều sai lầm và được đảm bảo nhận được kết quả.

Nhược điểm duy nhất phương pháp này- bạn phải đếm rất nhiều, bởi vì các mẫu số được nhân lên "suốt", và kết quả là bạn có thể nhận được rất nhiều những con số lớn. Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Vì trong cả hai trường hợp một mẫu số chia hết cho mẫu số kia mà không có dư nên ta áp dụng phương pháp nhân tử chung. Chúng ta có:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Nhân tiện, tôi lấy các phân số trong ví dụ này để biết lý do. Nếu bạn quan tâm, hãy thử đếm chúng bằng phương pháp đan chéo. Sau khi giảm, các câu trả lời sẽ giống nhau, nhưng sẽ có nhiều công việc hơn.

Đây là điểm mạnh của phương pháp. ước số chung Nhưng, tôi nhắc lại, nó chỉ có thể được sử dụng nếu một trong các mẫu số được chia cho người kia mà không có dư. Điều này xảy ra khá hiếm.

Ít phương pháp phổ biến nhất

Khi chúng ta giảm các phân số về một mẫu số chung, về cơ bản chúng ta đang cố gắng tìm một số chia hết cho mỗi mẫu số. Sau đó, chúng tôi đưa mẫu số của cả hai phân số về số này.

Có rất nhiều số như vậy, và số nhỏ nhất trong số chúng sẽ không nhất thiết phải bằng tích trực tiếp của các mẫu số của các phân số ban đầu, như được giả định trong phương pháp "chéo".

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Con số này nhiều ít sản phẩm hơn 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất

Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Khám phá cùng một số nhân, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung ít nhất, mà nói chung, là một vấn đề không tầm thường;
Từ sự mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Đừng nghĩ rằng những phân số phức tạp trong các ví dụ thực tế sẽ không. Họ đáp ứng mọi lúc, và các nhiệm vụ trên không phải là giới hạn!

Vấn đề duy nhất là làm thế nào để tìm ra NOC này. Đôi khi mọi thứ được tìm thấy trong vài giây, theo nghĩa đen là “bằng mắt thường”, nhưng nhìn chung đây là một bài toán tính toán phức tạp đòi hỏi sự xem xét riêng biệt. Ở đây chúng tôi sẽ không đề cập đến điều này.

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Ban đầu tôi muốn đưa các phương pháp mẫu số chung vào đoạn "Cộng và Trừ các phân số". Nhưng có quá nhiều thông tin và tầm quan trọng của nó cũng rất lớn (xét cho cùng, không chỉ các phân số có mẫu số chung), nên tốt hơn là nên nghiên cứu vấn đề này một cách riêng biệt.

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung?

Mẫu số chung, khái niệm và định nghĩa.

Đây chỉ là một số lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Cách đơn giản nhất và đáng tin cậy nhất, được đảm bảo cân bằng các mẫu số. Chúng ta sẽ hành động "trước": chúng ta nhân phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai và nhân thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng tích của các mẫu số ban đầu. Hãy xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Hạn chế duy nhất của phương pháp này là bạn phải đếm rất nhiều, vì các mẫu số được nhân "trước", và kết quả là có thể thu được những số rất lớn. Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Đây là điểm mạnh của phương pháp chia số chung, nhưng một lần nữa, nó chỉ có thể được áp dụng khi một trong các mẫu số chia cho mẫu số kia mà không có dư. Điều này xảy ra khá hiếm.

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ sự mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Để xem phương pháp bội số ít phổ biến nhất mang lại bao nhiêu phần trăm chiến thắng, hãy thử tính toán các ví dụ tương tự bằng phương pháp đan chéo. Tất nhiên, không có một máy tính. Tôi nghĩ sau đó những bình luận sẽ là thừa.

Đừng nghĩ rằng những phân số phức tạp như vậy sẽ không có trong các ví dụ thực tế. Họ đáp ứng mọi lúc, và các nhiệm vụ trên không phải là giới hạn!

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một số lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Hãy xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ sự mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Xem thêm:

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Một phân số không thay đổi nếu tử số và mẫu số của nó được nhân với cùng một số khác không.

Tại sao phải quy đồng mẫu số về một mẫu số chung? Đây chỉ là một số lý do:

Phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Không có cách nào khác để thực hiện thao tác này;
So sánh phân số. Đôi khi việc giảm xuống một mẫu số chung giúp đơn giản hóa công việc này một cách đáng kể;
Giải quyết vấn đề về cổ phiếu và tỷ lệ phần trăm. Trên thực tế, phần trăm là biểu thức thông thường có chứa phân số.

Phép nhân "đan chéo"

Cách đơn giản nhất và đáng tin cậy nhất, được đảm bảo cân bằng các mẫu số. Chúng ta sẽ hành động "trước": chúng ta nhân phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai và nhân thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Kết quả là, mẫu số của cả hai phân số sẽ bằng tích của các mẫu số ban đầu. Hãy xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Là các thừa số bổ sung, hãy xem xét các mẫu số của các phân số lân cận. Chúng tôi nhận được:

Hạn chế duy nhất của phương pháp này là bạn phải đếm rất nhiều, vì các mẫu số được nhân "trước", và kết quả là có thể thu được những số rất lớn.

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Đó là cái giá của sự tin cậy.

Phương pháp ước số chung

Kỹ thuật này giúp giảm thiểu đáng kể các phép tính, nhưng, thật không may, nó hiếm khi được sử dụng. Phương pháp như sau:

Nhìn vào các mẫu số trước khi bạn chuyển sang "qua" (tức là "đan chéo"). Có lẽ một trong số chúng (cái lớn hơn) chia hết cho cái còn lại.
Số thu được từ một phép chia như vậy sẽ là một thừa số của một phân số có mẫu số nhỏ hơn.
Đồng thời, một phân số có mẫu số lớn không cần phải nhân với bất cứ thứ gì cả - đây là khoản tiết kiệm. Đồng thời, khả năng xảy ra lỗi giảm mạnh.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng phân số thứ hai hoàn toàn không được nhân với bất kỳ thứ gì. Trên thực tế, chúng tôi đã cắt giảm một nửa số lượng tính toán!

Ít phương pháp phổ biến nhất

Ví dụ, đối với mẫu số 8 và 12, số 24 là khá phù hợp, vì 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Số này ít hơn tích của 8 12 = 96.

Số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số được gọi là (LCM) của chúng.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của các số a và b được ký hiệu là LCM (a; b). Ví dụ, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Nếu bạn quản lý để tìm một số như vậy, tổng số lượng phép tính sẽ là tối thiểu. Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị biểu thức:

Lưu ý rằng 234 = 117 2; 351 = 117 3. Thừa số 2 và 3 là nguyên tố (chúng không có ước chung trừ 1) và thừa số 117 là chung. Do đó LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Tương tự, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Yếu tố 3 và 4 là nguyên tố, và yếu tố 5 là chung. Do đó LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Bây giờ chúng ta hãy đưa các phân số về mẫu số chung:

Lưu ý rằng việc phân tích các mẫu số ban đầu trở nên hữu ích như thế nào:

Sau khi tìm thấy các yếu tố giống nhau, chúng tôi ngay lập tức đạt đến bội số chung nhỏ nhất, nói chung, đây là một vấn đề không tầm thường;
Từ sự mở rộng kết quả, bạn có thể tìm ra yếu tố nào bị “thiếu” cho mỗi phân số. Ví dụ: 234 3 \ u003d 702, do đó, đối với phân số đầu tiên, thừa số bổ sung là 3.

Để đưa các phân số về mẫu số chung nhỏ nhất, bạn phải: 1) Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này, nó sẽ là mẫu số chung nhỏ nhất. 2) Tìm thừa số phụ cho mỗi phân số, mà chúng ta chia mẫu số mới cho mẫu số của mỗi phân số. 3) nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số của nó.

Các ví dụ. Rút gọn các phân số sau đến mẫu số chung nhỏ nhất.

Ta tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số: LCM (5; 4) = 20, vì 20 là số nhỏ nhất chia hết cho cả 5 và 4. Ta tìm cho phân số 1 thêm một thừa số 4 (20 : 5 = 4). Đối với phân số thứ 2, cấp số nhân bổ sung là 5 (20 : 4 = 5). Chúng tôi nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 4, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 5. Chúng tôi rút gọn các phân số này đến mẫu số chung nhỏ nhất ( 20 ).

Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số này là 8, vì 8 chia hết cho 4 và chính nó. Sẽ không có hệ số bổ sung nào cho phân số thứ nhất (hoặc bạn có thể nói rằng nó bằng một), đến phân số thứ 2, thừa số bổ sung là 2 (8 : 4 = 2). Ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ 2 với 2. Ta rút gọn các phân số này xuống mẫu số chung nhỏ nhất ( 8 ).

Các phân số này không phải là bất khả quy.

Chúng ta giảm phân số thứ nhất đi 4, và giảm phân số thứ hai đi 2. ( xem ví dụ về các từ viết tắt phân số bình thường: Sơ đồ trang → 5.4.2. Ví dụ về giảm các phân số thông thường). Tìm LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Hệ số nhân bổ sung cho phân số thứ nhất là 5 (80 : 16 = 5). Số nhân bổ sung cho phân số thứ 2 là 4 (80 : 20 = 4). Chúng tôi nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 5, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với 4. Chúng tôi rút gọn các phân số này đến mẫu số chung nhỏ nhất ( 80 ).

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của NOC (5 ; 6 và 15) = LCM (5 ; 6 và 15) = 30. Số nhân bổ sung cho phân số thứ nhất là 6 (30 : 5 = 6), nhân thêm vào phân số thứ 2 là 5 (30 : 6 = 5), cấp số nhân thêm vào phân số thứ 3 là 2 (30 : 15 = 2). Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với 6, tử số và mẫu số của phân số thứ 2 với 5, tử số và mẫu số của phân số thứ 3 với 2. Chúng ta rút gọn các phân số này xuống mẫu số chung nhỏ nhất ( 30 ).

Trang 1 của 1 1