Có nhiều bảng độ số tự nhiên. Không thể liệt kê tất cả. Ở đây chúng tôi đưa ra các ví dụ về một số bảng này và các nhiệm vụ để tìm giá trị từ các bảng như vậy.

Bảng lũy ​​thừa của các số tự nhiên đầu tiên

Hãy bắt đầu với bảng tìm các lũy thừa của các số tự nhiên từ $ 2 $ đến $ 12 $ theo các lũy thừa từ $ 1 $ đến $ 10 $ (Bảng 1). Lưu ý rằng chúng tôi không cho lũy thừa $ 1 $, vì một lũy thừa sẽ bằng chính nó với bất kỳ lũy thừa nào.

Cần tìm các giá trị từ bảng này như sau: Trong cột đầu tiên, chúng ta tìm số có độ mà chúng ta quan tâm. Hãy nhớ số của dòng này. Sau đó, trong số hạng đầu tiên, chúng ta tìm số mũ và nhớ cột tìm được. Giao điểm của hàng và cột tìm được sẽ cho chúng ta câu trả lời.

ví dụ 1

Tìm $ 8 ^ 7 $

Ta tìm số $ 8 $ ở cột đầu tiên: ta được dòng thứ 8.

Chúng tôi thấy rằng số $ 2097152 $ là giao điểm của chúng. Vì thế

Bảng lũy ​​thừa của các số tự nhiên từ $ 1 $ đến $ 100 $

Các bảng độ từ $ 1 $ đến $ 100 $ cũng khá phổ biến. Không thể đưa ra tất cả chúng, vì vậy chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ như bảng cho hình vuông và hình lập phương của các số tự nhiên như vậy (Bảng 2 và Bảng 3).

Những bảng này gợi nhớ đến những bảng cửu chương nổi tiếng, vì vậy chúng tôi nghĩ rằng người đọc sẽ không cảm thấy khó khăn khi sử dụng những bảng này.

Ví dụ 2

một) Giá trị cho trước chúng tôi tìm thấy trong bảng $ 2 $ trong đĩa $ 8 $:

b) Chúng tôi tìm thấy giá trị này trong bảng $ 3 $ trong đĩa $ 3 $:

Bảng bình phương các số tự nhiên từ $ 10 $ đến $ 99 $

Một bảng phổ biến khác là bảng bình phương các số từ $ 10 $ đến $ 99 $ (bảng 4), tức là tất cả các số thập phân.

Cần tìm các giá trị từ bảng này như sau: Trong cột đầu tiên, chúng ta tìm số hàng chục của số mà chúng ta quan tâm. Hãy nhớ số của dòng này. Sau đó, trong số hạng đầu tiên, ta tìm số đơn vị của số lãi và nhớ cột vừa tìm được. Giao điểm của hàng và cột tìm được sẽ cho chúng ta câu trả lời.

Ví dụ 3

Tìm $ 37 ^ 2 $

Ta tìm số $ 3 $ ở cột đầu tiên: ta được dòng thứ 4.

Chúng ta tìm số $ 7 $ ở hàng đầu tiên: chúng ta nhận được cột thứ 8.

Chúng ta thấy rằng tại giao điểm của chúng là số $ 1369 $. Vì thế

Tiếp tục cuộc trò chuyện về mức độ của một con số, việc tìm ra giá trị của mức độ là hợp lý. Quá trình này đã được đặt tên lũy thừa. Trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu cách tính lũy thừa được thực hiện, trong khi chúng ta sẽ đề cập đến tất cả các số mũ có thể có - tự nhiên, số nguyên, hữu tỉ và vô tỉ. Và theo truyền thống, chúng tôi sẽ xem xét chi tiết các giải pháp cho các ví dụ về việc nâng cao số lượng ở nhiều mức độ khác nhau.

Điều hướng trang.

"Lũy thừa" có nghĩa là gì?

Hãy bắt đầu bằng cách giải thích những gì được gọi là lũy thừa. Đây là định nghĩa có liên quan.

Sự định nghĩa.

Luỹ thừa là tìm giá trị lũy thừa của một số.

Do đó, việc tìm giá trị của lũy thừa của a với số mũ r và nâng số a lên lũy thừa của r cũng giống như vậy. Ví dụ: nếu nhiệm vụ là “tính giá trị của lũy thừa (0,5) 5”, thì nó có thể được định dạng lại như sau: “Nâng số 0,5 lên lũy thừa của 5”.

Bây giờ bạn có thể đi thẳng đến các quy tắc mà phép tính lũy thừa được thực hiện.

Nâng một số thành lũy thừa tự nhiên

Trong thực tế, bình đẳng dựa trên thường được áp dụng dưới dạng. Nghĩa là, khi nâng số a lên lũy thừa m / n, thì căn bậc n từ số a đầu tiên được trích ra, sau đó kết quả được nâng lên lũy thừa m.

Hãy xem xét các giải pháp cho các ví dụ về nâng cao thành lũy thừa.

Ví dụ.

Tính giá trị của li độ.

Quyết định.

Chúng tôi đưa ra hai giải pháp.

Cách đầu tiên. Theo định nghĩa của độ với một số mũ phân số. Chúng tôi tính toán giá trị của độ dưới dấu hiệu của gốc, sau đó chúng tôi trích xuất gốc khối lập phương: .

Cách thứ hai. Theo định nghĩa của một bậc với một số mũ phân số và trên cơ sở các tính chất của căn, các bằng nhau sau đây có: . Bây giờ giải nén gốc Cuối cùng, chúng tôi nâng lên thành lũy thừa số nguyên .

Rõ ràng, các kết quả thu được của việc nâng lên thành lũy thừa là trùng hợp.

Trả lời:

Lưu ý rằng số mũ phân số có thể được viết dưới dạng số thập phân hoặc hỗn số, trong những trường hợp này, nó nên được thay thế bằng phân số thông thường tương ứng, sau đó sẽ thực hiện phép lũy thừa.

Ví dụ.

Tính (44,89) 2,5.

Quyết định.

Chúng tôi viết số mũ dưới dạng phần chung(nếu cần, hãy xem bài viết): . Bây giờ chúng ta thực hiện nâng lên thành lũy thừa phân số:

Trả lời:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Cũng cần phải nói rằng việc nâng các số lên lũy thừa hữu tỉ là một quá trình khá tốn công sức (đặc biệt là khi tử số và mẫu số chỉ số phân sốđộ là những con số đủ lớn), thường được thực hiện bằng công nghệ máy tính.

Trong phần kết của đoạn này, chúng ta sẽ tập trung vào việc xây dựng số 0 thành lũy thừa phân số. Chúng tôi đã đưa ra ý nghĩa sau đây cho mức độ phân số 0 của biểu mẫu: vì chúng tôi có , trong khi số 0 đối với lũy thừa m / n không được xác định. Vì vậy, không trong phân số mức độ tích cực bằng 0, chẳng hạn, . Và số 0 trong phân số mức độ tiêu cực không có ý nghĩa, ví dụ, các biểu thức và 0 -4,3 không có ý nghĩa.

Nâng tầm quyền lực phi lý trí

Đôi khi cần phải tìm ra giá trị bậc của một số có số mũ vô tỉ. Đồng thời, trong mục đich thực tiên nó thường là đủ để nhận giá trị của mức độ lên đến một số dấu hiệu. Chúng tôi lưu ý ngay rằng trong thực tế, giá trị này được tính bằng công nghệ máy tính điện tử, vì khi nâng lên ir mức độ hợp lý yêu cầu thủ công một số lượng lớn tính toán rườm rà. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ mô tả trong các điều khoản chung thực chất của hành động.

Để nhận giá trị gần đúng của lũy thừa của một số a với ir chỉ báo hợp lý, một số xấp xỉ thập phân của số mũ được lấy và giá trị của số mũ được tính. Giá trị này là giá trị gần đúng bậc của số a với số mũ vô tỉ. Ban đầu lấy số gần đúng thập phân càng chính xác thì cuối cùng giá trị độ càng chính xác.

Để làm ví dụ, hãy tính giá trị gần đúng của lũy thừa 2 1.174367 .... Hãy lấy xấp xỉ thập phân sau đây của một chỉ số vô tỉ:. Bây giờ chúng ta nâng 2 lên lũy thừa hợp lý là 1,17 (chúng ta đã mô tả bản chất của quá trình này trong đoạn trước), chúng ta nhận được 2 1,17 ≈ 2,250116. Vì vậy, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ví dụ: nếu chúng ta lấy một giá trị gần đúng thập phân chính xác hơn của một số mũ vô tỉ, thì chúng ta sẽ nhận được giá trị chính xác hơn của mức độ ban đầu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Thư mục.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Sách giáo khoa Toán Zh 5 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: một cuốn sách giáo khoa cho 7 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa cho 8 ô. các cơ sở giáo dục.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: sách giáo khoa cho 9 ô. các cơ sở giáo dục.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học (cẩm nang dành cho những người nộp đơn vào các trường kỹ thuật).

Cấp độ đầu tiên

Mức độ và các thuộc tính của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Tại sao cần bằng cấp? Bạn cần chúng ở đâu? Tại sao bạn cần dành thời gian nghiên cứu chúng?

Để tìm hiểu tất cả về các bằng cấp, chúng dùng để làm gì, cách sử dụng kiến ​​thức của bạn trong Cuộc sống hàng ngàyđọc bài báo này.

Và, tất nhiên, biết các bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn giao hàng thành công OGE hoặc SỬ DỤNG và để vào trường đại học trong mơ của bạn.

Đi thôi đi thôi!)

Lưu ý quan trọng! Nếu thay vì các công thức bạn thấy vô nghĩa, hãy xóa bộ nhớ cache của bạn. Để thực hiện việc này, hãy nhấn CTRL + F5 (trên Windows) hoặc Cmd + R (trên Mac).

CẤP ĐỘ ĐẦU TIÊN

Luỹ thừa cũng vậy phép toán như cộng, trừ, nhân hoặc chia.

Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ ngôn ngữ của con người hết sức ví dụ đơn giản. Chú ý. Ví dụ là sơ đẳng, nhưng giải thích những điều quan trọng.

Hãy bắt đầu với phép cộng.

Không có gì để giải thích ở đây. Bạn đã biết tất cả mọi thứ: có tám người chúng tôi. Mỗi người có hai chai cola. Bao nhiêu cola? Đúng vậy - 16 chai.

Bây giờ nhân.

Ví dụ tương tự với cola có thể được viết theo một cách khác:. Các nhà toán học là những người tinh ranh và lười biếng. Đầu tiên họ chú ý đến một số mẫu, sau đó nghĩ ra cách để “đếm” chúng nhanh hơn. Trong trường hợp của chúng tôi, họ nhận thấy rằng mỗi người trong số tám người có số chai cola như nhau và đưa ra một kỹ thuật gọi là phép nhân. Đồng ý, nó được coi là dễ dàng hơn và nhanh hơn.

Vì vậy, để đếm nhanh hơn, dễ dàng hơn và không có sai sót, bạn chỉ cần nhớ bảng cửu chương. Tất nhiên, bạn có thể làm mọi thứ chậm hơn, khó hơn và mắc sai lầm! Nhưng…

Đây là bảng cửu chương. Lặp lại.

Và một cái khác, đẹp hơn:

Và các nhà toán học lười biếng đã nghĩ ra những thủ thuật đếm phức tạp nào khác? Chính xác - nâng một số thành một quyền lực.

Nâng số thành lũy thừa

Nếu bạn cần nhân một số với chính nó năm lần, thì các nhà toán học nói rằng bạn cần nâng số này lên lũy thừa thứ năm. Ví dụ, . Các nhà toán học nhớ rằng hai đến lũy thừa thứ năm là. Và họ giải quyết những vấn đề như vậy trong tâm trí - nhanh hơn, dễ dàng hơn và không có lỗi.

Để làm điều này, bạn chỉ cần nhớ những gì được tô màu trong bảng lũy ​​thừa của các số. Tin tôi đi, nó sẽ giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều.

Nhân tiện, tại sao mức độ thứ hai được gọi là vuông số và thứ ba khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Cao câu hỏi hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối.

Ví dụ thực tế # 1

Hãy bắt đầu với một bình phương hoặc lũy thừa thứ hai của một số.

Hãy tưởng tượng một hồ bơi hình vuông có kích thước từng mét. Hồ bơi ở sân sau của bạn. Trời nóng và tôi thực sự muốn bơi. Nhưng ... một cái hồ bơi không có đáy! Cần phải ốp gạch dưới đáy hồ bơi. Bạn cần bao nhiêu gạch? Để xác định được điều này, bạn cần biết diện tích của đáy bể bơi.

Bạn có thể đếm đơn giản bằng cách chọc ngón tay của mình rằng đáy của hồ bơi bao gồm các khối vuông từng mét. Nếu gạch của bạn là từng mét, bạn sẽ cần những miếng. Thật dễ dàng ... Nhưng bạn đã nhìn thấy một viên gạch như vậy ở đâu? Viên gạch sẽ thay đổi theo từng cm. Và sau đó bạn sẽ bị dày vò khi "đếm bằng ngón tay". Sau đó, bạn phải nhân lên. Vì vậy, ở một bên của đáy hồ bơi, chúng ta sẽ xếp các miếng gạch (miếng) và mặt khác, cũng sẽ xếp gạch. Nhân với, bạn nhận được gạch ().

Bạn có nhận thấy rằng chúng ta nhân cùng một số với chính nó để xác định diện tích của đáy hồ bơi không? Nó có nghĩa là gì? Vì cùng một số được nhân, chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật lũy thừa. (Tất nhiên, khi bạn chỉ có hai số, bạn vẫn cần nhân chúng hoặc nâng chúng lên thành lũy thừa. Nhưng nếu bạn có nhiều chúng, thì việc nâng lên thành lũy thừa sẽ dễ dàng hơn nhiều và cũng ít sai sót trong tính toán hơn. Đối với kỳ thi, điều này rất quan trọng).
Vì vậy, ba mươi đến cấp độ thứ hai sẽ là (). Hoặc bạn có thể nói rằng ba mươi bình phương sẽ là. Nói cách khác, lũy thừa thứ hai của một số luôn có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương. Và ngược lại, nếu bạn nhìn thấy một hình vuông, nó LUÔN là lũy thừa thứ hai của một số nào đó. Hình vuông là hình ảnh của lũy thừa thứ hai của một số.

Ví dụ thực tế cuộc sống # 2

Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn, hãy đếm xem có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ vua bằng cách sử dụng bình phương của số ... Trên một mặt của các ô và cả mặt khác. Để đếm số của chúng, bạn cần nhân tám với tám, hoặc ... nếu bạn nhận thấy bàn cờ là một hình vuông với một cạnh, thì bạn có thể vuông tám. Nhận ô. () Cho nên?

Ví dụ trong cuộc sống thực # 3

Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem lượng nước sẽ phải đổ vào hồ bơi này là bao nhiêu. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ phải không?) Vẽ một cái hồ bơi: một cái đáy có kích thước một mét và sâu một mét và thử tính xem tổng cộng có bao nhiêu hình khối từng mét sẽ lọt vào hồ bơi của bạn.

Chỉ cần chỉ ngón tay của bạn và đếm! Một, hai, ba, bốn… hai mươi hai, hai mươi ba… Nó thành ra bao nhiêu? Không bị lạc? Đếm bằng ngón tay có khó không? Vậy nên! Lấy ví dụ từ các nhà toán học. Họ lười biếng, vì vậy họ nhận thấy rằng để tính thể tích của hồ bơi, bạn cần phải nhân chiều dài, chiều rộng và chiều cao của nó với nhau. Trong trường hợp của chúng tôi, thể tích của hồ bơi sẽ bằng hình khối ... Dễ dàng hơn, phải không?

Bây giờ hãy tưởng tượng các nhà toán học lười biếng và gian xảo như thế nào nếu họ làm điều đó quá dễ dàng. Giảm mọi thứ thành một hành động. Họ nhận thấy rằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau và cùng một số được nhân với chính nó ... Và điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là bạn có thể sử dụng mức độ. Vì vậy, những gì bạn đã từng đếm bằng một ngón tay, chúng thực hiện trong một hành động: ba trong một khối bằng nhau. Nó được viết như thế này:

Chỉ còn lại ghi nhớ bảng độ. Tất nhiên, trừ khi bạn lười biếng và tinh ranh như những nhà toán học. Nếu bạn thích làm việc chăm chỉ và phạm sai lầm, bạn có thể tiếp tục đếm bằng đầu ngón tay của mình.

Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được phát minh ra bởi những người đi giày lười và những người xảo quyệt để giải quyết vấn đề của họ vấn đề cuộc sống, và không để tạo ra vấn đề cho bạn, đây là một vài ví dụ khác từ cuộc sống.

Ví dụ trong cuộc sống thực # 4

Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, bạn kiếm được một triệu nữa cho mỗi triệu. Tức là mỗi triệu của bạn vào đầu mỗi năm sẽ tăng gấp đôi. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm? Nếu bây giờ bạn đang ngồi và "đếm bằng đầu ngón tay", thì bạn là một người rất chăm chỉ và ... ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời trong vài giây, bởi vì bạn là người thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai lần hai ... vào năm thứ hai - điều gì đã xảy ra, thêm hai lần nữa, vào năm thứ ba ... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng con số được nhân với chính nó một lần. Vì vậy, hai đến lũy thừa thứ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và ai tính toán nhanh hơn sẽ nhận được hàng triệu này ... Có đáng để nhớ các con số độ không, bạn nghĩ sao?

Ví dụ trong cuộc sống thực # 5

Bạn có một triệu. Vào đầu mỗi năm, bạn kiếm thêm được hai cho mỗi triệu. Thật tuyệt vời phải không? Cứ một triệu là tăng gấp ba lần. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong một năm? Hãy đếm. Năm đầu tiên - nhân với, sau đó là kết quả khác ... Nó đã nhàm chán rồi, bởi vì bạn đã hiểu mọi thứ rồi: ba nhân với chính nó lần. Vì vậy, lũy thừa thứ tư là một triệu. Bạn chỉ cần nhớ rằng ba đến lũy thừa thứ tư là hoặc.

Bây giờ bạn biết rằng bằng cách nâng một số lên thành lũy thừa, bạn sẽ làm cho cuộc sống của mình dễ dàng hơn nhiều. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những gì bạn có thể làm với bằng cấp và những gì bạn cần biết về chúng.

Thuật ngữ và khái niệm ... để không bị nhầm lẫn

Vì vậy, trước tiên, chúng ta hãy xác định các khái niệm. Bạn nghĩ sao, số mũ là gì? Rất đơn giản - đây là con số “đứng đầu” về sức mạnh của con số. Không khoa học, nhưng rõ ràng và dễ nhớ ...

Đồng thời, cái gì như một cơ sở của mức độ? Đơn giản hơn nữa là con số ở dưới cùng, ở gốc.

Đây là một hình ảnh để bạn chắc chắn.

Vâng và trong nhìn chungđể khái quát và ghi nhớ tốt hơn ... Độ với cơ số "" và số mũ "" được đọc là "độ" và được viết như sau:

Sức mạnh của một số với chỉ số tự nhiên

Có thể bạn đã đoán được: bởi vì số mũ là một số tự nhiên. Có, nhưng là gì số tự nhiên? Sơ cấp! Số tự nhiên là những số được sử dụng để đếm khi liệt kê các mục: một, hai, ba ... Khi chúng ta đếm các mục, chúng ta không nói: "trừ năm", "trừ sáu", "trừ bảy". Chúng tôi cũng không nói "một phần ba" hay "không phẩy năm phần mười". Đây không phải là số tự nhiên. Bạn nghĩ những con số này là gì?

Các số như "trừ năm", "trừ sáu", "trừ bảy" đề cập đến số nguyên. Nói chung, số nguyên bao gồm tất cả các số tự nhiên, các số đối lập với số tự nhiên (nghĩa là, được lấy bằng dấu trừ) và một số. Dễ hiểu là số không - đây là khi không có gì cả. Và số âm ("trừ") có nghĩa là gì? Nhưng chúng được phát minh chủ yếu để biểu thị các khoản nợ: nếu bạn có số dư trên điện thoại của mình bằng đồng rúp, điều này có nghĩa là bạn nợ đồng rúp của nhà điều hành.

Tất cả các phân số là số hữu tỉ. Làm thế nào mà họ đến, bạn có nghĩ? Rất đơn giản. Cách đây vài nghìn năm, tổ tiên của chúng ta đã phát hiện ra rằng họ không có đủ số tự nhiên để đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ… Thật thú vị, phải không?

Còn một số nữa không số vô tỉ. Những con số này là gì? Trong ngắn hạn, vô tận số thập phân. Ví dụ, nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, thì bạn nhận được một số vô tỉ.

Tóm lược:

Hãy xác định khái niệm độ, lũy thừa là một số tự nhiên (nghĩa là số nguyên và số dương).

1. Bất kỳ số nào của lũy thừa đầu tiên đều bằng chính nó:
2. Bình phương một số là nhân nó với chính nó:
3. Lập phương một số là nhân nó với chính nó ba lần:

Sự định nghĩa. Tăng một số lên mức độ tự nhiên có nghĩa là nhân một số với chính nó lần:
.

Thuộc tính bằng cấp

Những tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn ngay bây giờ.

Hãy xem những gì là và ?

A-priory:

Tổng có bao nhiêu cấp số nhân?

Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm các yếu tố vào các yếu tố và kết quả là các yếu tố.

Nhưng theo định nghĩa, đây là mức độ của một số có số mũ, nghĩa là:, được yêu cầu chứng minh.

Ví dụ: Đơn giản hóa biểu thức.

Quyết định:

Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức.

Quyết định:Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết cần phải cùng một cơ sở!
Do đó, chúng tôi kết hợp độ với cơ sở, nhưng vẫn là một yếu tố riêng biệt:

chỉ dành cho các sản phẩm của quyền lực!

Bạn không nên viết điều đó trong bất kỳ hoàn cảnh nào.

2. đó là -lũy thừa thứ của một số

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa của mức độ:

Nó chỉ ra rằng biểu thức được nhân với chính nó một lần, nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của một số:

Trên thực tế, điều này có thể được gọi là "chuẩn bị chỉ báo". Nhưng bạn không bao giờ có thể làm điều này tổng thể:

Hãy nhớ lại các công thức của phép nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần?

Nhưng đó không phải là sự thật, thực sự.

Mức độ có cơ sở âm

Cho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ phải là gì.

Nhưng những gì nên được cơ sở?

Theo độ từ chỉ số tự nhiên cơ sở có thể là bất kỳ số nào. Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, cho dù chúng là số dương, số âm hay số chẵn.

Hãy nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có mức độ tích cực và số âm?

Ví dụ, con số sẽ là số dương hay số âm? NHƯNG? ? Với cách đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: bất kể chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương, kết quả sẽ là số dương.

Nhưng những cái tiêu cực thú vị hơn một chút. Rốt cuộc, chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ năm lớp 6: "một số trừ nhân với một số trừ sẽ cho một cộng". Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với, nó sẽ ra.

Hãy tự mình xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu hiệu gì:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Bạn đã quản lý?

Đây là câu trả lời: Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng tôi chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ, và áp dụng quy tắc thích hợp.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong ví dụ 5), mọi thứ cũng không đáng sợ như có vẻ như: không quan trọng là cơ số bằng bao nhiêu - mức độ bằng nhau, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương.

Chà, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không giống nhau, phải không? Rõ ràng là không, kể từ (bởi vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản như vậy nữa!

6 ví dụ thực hành

Phân tích giải pháp 6 ví dụ

Nếu chúng ta không chú ý đến độ thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Cùng tham khảo chương trình lớp 7 nhé. Vì vậy, hãy nhớ? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là sự khác biệt của các bình phương! Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi cẩn thận xem xét mẫu số. Nó trông rất giống một trong những tử số, nhưng có gì sai? Sai thứ tự các điều khoản. Nếu chúng được hoán đổi, quy tắc có thể áp dụng.

Nhưng làm thế nào để làm điều đó? Nó chỉ ra rằng nó rất dễ dàng: độ chẵn của mẫu số giúp chúng ta ở đây.

Các điều khoản đã thay đổi vị trí một cách kỳ diệu. "Hiện tượng" này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ chẵn: chúng ta có thể tự do thay đổi các dấu hiệu trong ngoặc.

Nhưng điều quan trọng cần nhớ: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

trọn chúng ta đặt tên cho các số tự nhiên, các mặt đối lập của chúng (nghĩa là lấy dấu "") và số.

trọn số dương , và nó không khác gì so với tự nhiên, sau đó mọi thứ trông giống hệt như trong phần trước.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng.

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một:

Như mọi khi, chúng tôi tự hỏi: tại sao lại như vậy?

Hãy xem xét một số quyền lực với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với:

Vì vậy, chúng tôi đã nhân số với và nhận được kết quả giống như nó -. Phải nhân với số nào để không có gì thay đổi? Đúng vậy, trên. Có nghĩa.

Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý:

Hãy lặp lại quy tắc:

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một.

Nhưng có những ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và ở đây, nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở).

Một mặt, nó phải bằng bất kỳ mức độ nào - cho dù bạn nhân số 0 với chính nó bao nhiêu đi nữa, bạn vẫn nhận được số 0, điều này rõ ràng. Nhưng mặt khác, giống như bất kỳ số nào đến độ 0, nó phải bằng nhau. Vậy sự thật của điều này là gì? Các nhà toán học quyết định không tham gia và từ chối nâng số 0 lên lũy thừa. Có nghĩa là, bây giờ chúng ta không chỉ có thể chia cho số 0, mà còn có thể nâng nó lên lũy thừa.

Hãy đi xa hơn nữa. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên bao gồm cả số âm. Để hiểu số mũ âm là gì, hãy làm như trong lần cuối cùng: nhân một số bình thường với cùng một mức độ âm:

Từ đây, thật dễ dàng để thể hiện mong muốn:

Bây giờ chúng tôi mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý:

Vì vậy, hãy xây dựng quy tắc:

Một số đối với lũy thừa âm là nghịch đảo của cùng một số với lũy thừa dương. Nhưng tại cùng một thời điểm cơ sở không được rỗng:(vì không thể chia được).

Hãy tóm tắt:

I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu, sau đó.

II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một:.

III. Một số không bằng 0 với lũy thừa là nghịch đảo của cùng số đó với lũy thừa:.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Như thường lệ, các ví dụ cho quyết định độc lập:

Phân tích các nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Tôi biết, tôi biết, những con số thật đáng sợ, nhưng ở kỳ thi bạn phải sẵn sàng cho bất cứ điều gì! Giải các ví dụ này hoặc phân tích giải pháp của chúng nếu bạn không giải được và bạn sẽ học cách dễ dàng đối phó với chúng trong kỳ thi!

Hãy tiếp tục mở rộng phạm vi số "phù hợp" dưới dạng số mũ.

Bây giờ hãy xem xét số hữu tỉ. Những số nào được gọi là hữu tỉ?

Trả lời: tất cả những gì có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, hơn thế nữa.

Để hiểu những gì là "độ phân số" Hãy xem xét một phân số:

Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên thành lũy thừa:

Bây giờ hãy nhớ quy tắc "mức độ":

Số nào phải được nâng lên thành lũy thừa để có được?

Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ.

Để tôi nhắc bạn: căn bậc hai của một số () là một số mà khi được nâng lên thành lũy thừa thì bằng nhau.

Nghĩa là, căn bậc ba là phép toán nghịch đảo của lũy thừa:.

Hóa ra là như vậy. Rõ ràng là điều này trương hợp đặc biệt có thể được mở rộng:.

Bây giờ thêm tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ nhận ra với quy tắc quyền lực:

Nhưng cơ số có thể là bất kỳ số nào không? Rốt cuộc, không thể trích xuất gốc từ tất cả các số.

Không có!

Hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên mức độ đồng đều là một số dương. Có nghĩa là, không thể rút gốc của một mức độ chẵn từ các số âm!

Và điều này có nghĩa là những con số như vậy không thể được nâng lên thành lũy thừa phân số với mẫu số chẵn, nghĩa là, biểu thức không có ý nghĩa.

Còn biểu hiện thì sao?

Nhưng ở đây một vấn đề nảy sinh.

Số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số khác, được rút gọn, chẳng hạn, hoặc.

Và hóa ra nó tồn tại, nhưng không tồn tại, và đây chỉ là hai bản ghi khác nhau của cùng một con số.

Hoặc một ví dụ khác: một lần, sau đó bạn có thể viết nó ra. Nhưng ngay sau khi chúng tôi viết chỉ báo theo một cách khác, chúng tôi lại gặp rắc rối: (nghĩa là chúng tôi nhận được một kết quả hoàn toàn khác!).

Để tránh những nghịch lý như vậy, hãy xem xét chỉ số mũ cơ số dương với số mũ phân số.

Vì vậy nếu:

• - số tự nhiên;
• là một số nguyên;

Ví dụ:

Các lũy thừa với số mũ hữu tỉ rất hữu ích để biến đổi các biểu thức có gốc, ví dụ:

5 ví dụ thực hành

Phân tích 5 ví dụ để đào tạo

Vâng, bây giờ - khó khăn nhất. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích mức độ với một số mũ không hợp lý.

Tất cả các quy tắc và thuộc tính của độ ở đây hoàn toàn giống như đối với độ với số mũ hữu tỉ, ngoại trừ

Thật vậy, theo định nghĩa, số vô tỷ là số không thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là, số vô tỷ là tất cả các số thực ngoại trừ các số hữu tỉ).

Khi nghiên cứu bằng cấp với một chỉ số tự nhiên, số nguyên và hợp lý, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “phép loại suy” hoặc mô tả nhất định bằng các thuật ngữ quen thuộc hơn.

Ví dụ, một số mũ tự nhiên là một số nhân với chính nó nhiều lần;

...không điện- đây là một số được nhân với chính nó một lần, tức là nó vẫn chưa bắt đầu được nhân, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó, kết quả chỉ là một sự “chuẩn bị nhất định của a number ”, cụ thể là một số;

...độ với số nguyên chỉ báo tiêu cực - cứ như thể một "quá trình ngược" nào đó đã diễn ra, tức là số không được nhân với chính nó mà là số bị chia.

Nhân tiện, trong khoa học, bằng cấp với một chỉ số phức tạp thường được sử dụng, tức là, một chỉ số không chẵn số thực.

Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu những khái niệm mới này tại viện.

CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI ĐÂU! (nếu bạn học cách giải các ví dụ như vậy :))

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

Phân tích các giải pháp:

1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng cao trình độ lên một mức độ:

Bây giờ hãy nhìn vào điểm số. Anh ấy có nhắc nhở bạn điều gì không? Chúng ta nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu số bình phương:

TẠI trường hợp này,

Nó chỉ ra rằng:

Trả lời: .

2. Chúng tôi cho phân số theo số mũ của k Cùng loại: Cả hai số thập phân hoặc cả hai số bình thường. Ví dụ, chúng tôi nhận được:

Trả lời: 16

3. Không có gì đặc biệt, chúng tôi áp dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TRÌNH ĐỘ CAO

Định nghĩa mức độ

Mức độ là một biểu thức của dạng:, trong đó:

• — cơ sở của mức độ;
• - số mũ.

Bậc với số mũ tự nhiên (n = 1, 2, 3, ...)

Nâng một số lên lũy thừa n có nghĩa là nhân số đó với chính nó lần:

Lũy thừa với số mũ nguyên (0, ± 1, ± 2, ...)

Nếu số mũ là sô nguyên dương con số:

cương cứng về không điện:

Biểu thức là không xác định, bởi vì, một mặt, ở bất kỳ mức độ nào là điều này, và mặt khác, bất kỳ số nào ở mức độ thứ đều là mức này.

Nếu số mũ là số nguyên âm con số:

(vì không thể chia được).

Một lần nữa về null: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu, sau đó.

Ví dụ:

Mức độ với số mũ hữu tỉ

• - số tự nhiên;
• là một số nguyên;

Ví dụ:

Thuộc tính bằng cấp

Để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy thử tìm hiểu xem: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng.

Hãy xem: là gì và?

A-priory:

Vì vậy, ở vế phải của biểu thức này, ta thu được sản phẩm sau:

Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số với số mũ, nghĩa là:

Q.E.D.

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Quyết định : .

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Quyết định : Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết phải có cùng một cơ sở. Do đó, chúng tôi kết hợp độ với cơ sở, nhưng vẫn là một yếu tố riêng biệt:

Một lần nữa lưu ý quan trọng: quy tắc này là - chỉ dành cho các sản phẩm của quyền lực!

Tôi không nên viết điều đó trong hoàn cảnh nào.

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa của mức độ:

Hãy sắp xếp lại nó như thế này:

Nó chỉ ra rằng biểu thức được nhân với chính nó một lần, nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ-của một số:

Trên thực tế, điều này có thể được gọi là "chuẩn bị chỉ báo". Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này :!

Hãy nhớ lại các công thức của phép nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng đó không phải là sự thật, thực sự.

Quyền lực với một cơ sở âm.

Cho đến thời điểm này, chúng tôi chỉ thảo luận về những gì nên chỉ báo bằng. Nhưng những gì nên được cơ sở? Theo độ từ Thiên nhiên chỉ báo cơ sở có thể là bất kỳ số nào .

Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, cho dù chúng là số dương, số âm hay số chẵn. Hãy suy nghĩ xem các dấu ("" hoặc "") sẽ có bậc là số dương và số âm nào?

Ví dụ, con số sẽ là số dương hay số âm? NHƯNG? ?

Với cách đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: bất kể chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương, kết quả sẽ là số dương.

Nhưng những cái tiêu cực thú vị hơn một chút. Rốt cuộc, chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ năm lớp 6: "một số trừ nhân với một số trừ sẽ cho một cộng". Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với (), chúng ta nhận được -.

Và tương tự như vậy ad infinitum: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu hiệu sẽ thay đổi. Có thể xây dựng công thức như vậy quy tắc đơn giản:

1. thậm chíđộ, - số tích cực.
2. Số âm được nâng lên số lẻđộ, - số từ chối.
3. Một số dương với bất kỳ lũy thừa nào là một số dương.
4. Bằng không với bất kỳ công suất nào đều bằng không.

Hãy tự mình xác định xem các biểu thức sau sẽ có dấu hiệu gì:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Bạn đã quản lý? Đây là những câu trả lời:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng tôi chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ, và áp dụng quy tắc thích hợp.

Trong ví dụ 5), mọi thứ cũng không đáng sợ như có vẻ như: không quan trọng là cơ số bằng bao nhiêu - mức độ bằng nhau, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Chà, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không giống nhau, phải không? Rõ ràng là không, kể từ (bởi vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản như vậy nữa. Ở đây bạn cần phải tìm ra cái nào ít hơn: hoặc? Nếu bạn nhớ điều đó, điều đó trở nên rõ ràng, có nghĩa là cơ số nhỏ hơn 0. Tức là chúng ta áp dụng quy tắc 2: kết quả sẽ là số âm.

Và một lần nữa chúng tôi sử dụng định nghĩa của độ:

Mọi thứ vẫn như bình thường - chúng tôi viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được:

Trước khi tháo rời quy tắc cuối cùng Hãy xem một vài ví dụ.

Tính giá trị của các biểu thức:

Các giải pháp :

Nếu chúng ta không chú ý đến độ thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Cùng tham khảo chương trình lớp 7 nhé. Vì vậy, hãy nhớ? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là sự khác biệt của các bình phương!

Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi cẩn thận xem xét mẫu số. Nó trông rất giống một trong những tử số, nhưng có gì sai? Sai thứ tự các điều khoản. Nếu chúng bị đảo ngược, có thể áp dụng quy tắc 3. Nhưng làm thế nào để thực hiện điều này? Nó chỉ ra rằng nó rất dễ dàng: độ chẵn của mẫu số giúp chúng ta ở đây.

Nếu bạn nhân nó với, không có gì thay đổi, phải không? Nhưng bây giờ nó trông như thế này:

Các điều khoản đã thay đổi vị trí một cách kỳ diệu. "Hiện tượng" này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ chẵn: chúng ta có thể tự do thay đổi các dấu hiệu trong ngoặc. Nhưng điều quan trọng cần nhớ: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Không thể thay thế nó bằng cách chỉ thay đổi một dấu trừ khó chịu đối với chúng tôi!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng:

Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm mức độ và đơn giản hóa:

Vâng, bây giờ chúng ta hãy mở ngoặc. Sẽ có bao nhiêu chữ cái? nhân với số nhân - nó trông như thế nào? Đây không là gì ngoài định nghĩa của một hoạt động phép nhân: tổng số hóa ra là số nhân. Theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số với số mũ:

Ví dụ:

Mức độ với số mũ vô tỉ

Ngoài thông tin về các mức độ cho mức độ trung bình, chúng tôi sẽ phân tích mức độ bằng một chỉ số bất hợp lý. Tất cả các quy tắc và tính chất của bậc ở đây hoàn toàn giống như đối với bậc có số mũ hữu tỉ, ngoại trừ - xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỉ là những số không thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là , số vô tỉ đều là số thực trừ số hữu tỉ).

Khi nghiên cứu bằng cấp với một chỉ số tự nhiên, số nguyên và hợp lý, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “phép loại suy” hoặc mô tả nhất định bằng các thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, một số mũ tự nhiên là một số nhân với chính nó nhiều lần; một số ở mức độ 0, như nó đã là, một số nhân với chính nó một lần, tức là nó chưa bắt đầu được nhân lên, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó, kết quả chỉ là một nhất định "chuẩn bị một số", cụ thể là một số; một mức độ với một số nguyên âm - nó như thể một “quá trình ngược lại” nào đó đã xảy ra, tức là, số đó không được nhân với chính nó, mà là số bị chia.

Rất khó để hình dung một mức độ với số mũ vô tỉ (cũng như khó hình dung một không gian 4 chiều). Đúng hơn, nó là một đối tượng toán học thuần túy mà các nhà toán học đã tạo ra để mở rộng khái niệm mức độ cho toàn bộ không gian của các con số.

Nhân tiện, khoa học thường sử dụng một mức độ với một số mũ phức tạp, tức là, một số mũ thậm chí không phải là một số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu những khái niệm mới này tại viện.

Vì vậy, chúng ta phải làm gì nếu chúng ta thấy một số mũ vô tỉ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để loại bỏ nó! :)

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

1)

2)

3)

Câu trả lời:

1. Hãy nhớ sự khác biệt của công thức bình phương. Trả lời: .
2. Chúng ta đưa các phân số về cùng một dạng: cả hai số thập phân, hoặc cả hai phân số thông thường. Ví dụ, chúng tôi nhận được:.
3. Không có gì đặc biệt, chúng tôi áp dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TÓM TẮT PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bằngđược gọi là một biểu thức có dạng:, trong đó:

Mức độ với số mũ nguyên

độ, số mũ của nó là một số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Mức độ với số mũ hữu tỉ

độ, chỉ số đó là số âm và số thập phân.

Mức độ với số mũ vô tỉ

số mũ có số mũ là phân số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc căn.

Thuộc tính bằng cấp

Đặc điểm của độ.

• Số âm được nâng lên thậm chíđộ, - số tích cực.
• Số âm được nâng lên số lẻđộ, - số từ chối.
• Một số dương với bất kỳ lũy thừa nào là một số dương.
• Số không ngang bằng với bất kỳ sức mạnh nào.
• Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng nhau.

BÂY GIỜ BẠN CÓ MỘT CÔNG VIỆC ...

Bạn thích bài viết như thế nào? Hãy cho tôi biết trong phần bình luận bên dưới nếu bạn thích hay không.

Hãy cho chúng tôi biết trải nghiệm của bạn với các thuộc tính công suất.

Có lẽ bạn có câu hỏi. Hoặc gợi ý.

Viết các ý kiến.

Và chúc may mắn với kỳ thi của bạn!

Hãy xem xét một dãy số, số đầu tiên là 1 và mỗi số tiếp theo lớn gấp đôi: 1, 2, 4, 8, 16, ... Sử dụng số mũ, nó có thể được viết dưới dạng tương đương: 2 0 , 2 1, 2 2. 2 3, 2 4, ... Nó được gọi là khá mong đợi: một dãy lũy thừa của hai. Có vẻ như không có gì nổi bật trong đó - một chuỗi như một chuỗi, không tốt hơn và không tệ hơn những thứ khác. Tuy nhiên, nó có một số đặc tính rất đáng chú ý.

Không nghi ngờ gì nữa, nhiều độc giả đã gặp cô ấy trong lịch sử cổ điển kể về người phát minh ra cờ vua, người đã yêu cầu người cai trị như một phần thưởng cho ô đầu tiên của bàn cờ một hạt lúa mì, cho ô thứ hai - hai, cho ô thứ ba - bốn, v.v., nhân đôi số hạt mọi lúc. Rõ ràng là tổng số của chúng bằng

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Nhưng vì số lượng này lớn đến khó tin và nhiều lần vượt quá mức thu hoạch ngũ cốc hàng năm trên khắp thế giới, nên hóa ra nhà hiền triết đã lột da cây thước như dính.

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta hãy tự hỏi mình một câu hỏi khác: làm thế nào để tính giá trị của S? Chủ sở hữu máy tính (hoặc hơn nữa là máy tính) có thể dễ dàng thực hiện các phép nhân trong một khoảng thời gian có thể thấy trước, sau đó cộng 64 số kết quả, nhận được câu trả lời: 18.446.744.073.709.551.615. Và vì số lượng phép tính là đáng kể nên xác suất sai là rất lớn cao.

Ai tinh ranh hơn có thể xem trong chuỗi này cấp số nhân. Những người không quen thuộc với khái niệm này (hoặc những người chỉ đơn giản là quên công thức tiêu chuẩn lượng cấp số nhân) có thể sử dụng lập luận sau. Hãy nhân cả hai vế của đẳng thức (1) với 2. Vì khi nhân đôi lũy thừa của hai, số mũ của nó tăng lên 1, chúng ta nhận được

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Bây giờ từ (2) trừ (1). Ở phía bên trái, tất nhiên, nó xuất hiện 2 S – S = S. Ở phía bên phải, sẽ có sự hủy diệt lẫn nhau hàng loạt của hầu hết tất cả các lũy thừa của hai - từ 2 1 đến 2 63, và chỉ còn lại 2 64 - 2 0 \ u003d 2 64 - 1. Vì vậy:

S = 2 64 – 1.

Chà, biểu thức đã được đơn giản hóa đáng kể, và bây giờ, có một máy tính cho phép bạn nâng lên thành lũy thừa, bạn có thể tìm thấy giá trị của đại lượng này mà không gặp phải vấn đề nhỏ nào.

Và nếu không có máy tính - phải làm gì? Nhân trong một cột 64 deuces? Còn thiếu gì nữa! Một kỹ sư giàu kinh nghiệm hoặc một nhà toán học ứng dụng nhân tố chính- thời gian, có thể nhanh chóng ước lượng phản hồi, tức là tìm thấy nó gần đúng với độ chính xác có thể chấp nhận được. Theo quy luật, trong cuộc sống hàng ngày (và trong hầu hết các Khoa học tự nhiên) sai số 2–3% là khá chấp nhận được, và nếu nó không vượt quá 1%, thì điều này thật tuyệt! Nó chỉ ra rằng có thể tính toán các hạt của chúng tôi với một sai số như vậy mà không cần máy tính và chỉ trong vài phút. Thế nào? Bây giờ bạn sẽ thấy.

Vì vậy, cần phải tìm sản phẩm của 64 twos càng chính xác càng tốt (chúng tôi sẽ ngay lập tức loại bỏ đơn vị do không đáng kể). Hãy chia chúng thành một nhóm riêng biệt gồm 4 đôi và 6 nhóm khác gồm 10 đôi. Sản phẩm của hai trong số nhóm riêng biệt bằng 2 4 = 16. Và tích của 10 đôi mỗi nhóm còn lại là 2 10 = 1024 (chắc ai ngờ!). Nhưng năm 1024 là khoảng 1000, tức là 10 3. Cho nên S nên gần với tích của số 16 là 6 số, mỗi số bằng 10 3, tức là. S ≈ 16 10 18 (vì 18 = 3 6). Đúng vậy, sai số ở đây vẫn còn khá lớn: xét cho cùng, 6 lần khi thay 1024 bằng 1000, chúng tôi đã nhầm 1,024 lần, và tổng cộng chúng tôi đã nhầm, như dễ thấy là 1,024 6 lần. Vì vậy, bây giờ - nhân thêm 1,024 sáu lần với chính nó? Không, đi thôi! Được biết, đối với số X, nhỏ hơn 1 nhiều lần, với độ chính xác cao công thức gần đúng sau là hợp lệ: (1 + x) N ≈ 1 + xn.

Do đó 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Do đó, chúng ta cần nhân số 16 10 18 vừa tìm được với số 1.144, thu được 18.304.000.000.000.000.000.000, và điều này khác với câu trả lời đúng nhỏ hơn 1%. Những gì chúng tôi đang tìm kiếm!

Trong trường hợp này, chúng tôi đã rất may mắn: một trong hai lũy thừa (cụ thể là, phần mười) hóa ra rất gần với một trong các lũy thừa của mười (cụ thể là, lũy thừa thứ ba). Điều này cho phép chúng tôi nhanh chóng đánh giá giá trị của bất kỳ lũy thừa nào của hai, không nhất thiết là số 64. Trong số các lũy thừa của các số khác, điều này không phổ biến. Ví dụ, 5 10 khác với 10 7 cũng 1,024 lần, nhưng ... theo một hướng nhỏ hơn. Tuy nhiên, đây là một quả mọng của cùng một trường: vì 2 10 5 10 \ u003d 10 10, thì có bao nhiêu lần 2 10 vượt qua 10 3, cùng số lần 5 10 nhỏ hơn hơn 10 7.

Khác tính năng thú vị của dãy đang được xem xét là bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được xây dựng từ đa dạng quyền hạn của hai, và cách duy nhất. Ví dụ, đối với số năm nay chúng ta có

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Không khó để chứng minh khả năng và sự độc đáo này. Hãy bắt đầu với những cơ hội. Giả sử chúng ta cần biểu diễn dưới dạng một tổng các mức độ khác nhau hai là một số tự nhiên N. Đầu tiên, chúng tôi viết nó dưới dạng tổng N các đơn vị. Vì đơn vị là 2 0 nên ban đầu N có một khoản tiền giống hệt nhau lũy thừa của hai. Sau đó, chúng tôi sẽ bắt đầu ghép nối chúng. Tổng của hai số bằng 2 0 là 2 1 nên kết quả là rõ ràng là ít hơn số hạng bằng 2 1 và có thể là một số 2 0 nếu nó không tìm thấy một cặp. Tiếp theo, chúng tôi kết hợp các số hạng giống nhau 2 1 thành từng cặp, thu được một số thậm chí còn nhỏ hơn 2 2 (ở đây, sự xuất hiện của một lũy thừa không ghép đôi của hai 2 1 cũng có thể xảy ra). Sau đó, chúng tôi lại kết hợp các số hạng bằng nhau theo từng cặp, và cứ tiếp tục như vậy. Không sớm thì muộn, quá trình sẽ kết thúc, bởi vì số lượng quyền hạn giống hệt nhau của hai người giảm đi sau mỗi lần kết hợp. Khi nó trở nên bằng 1 - nó kết thúc. Nó vẫn là để cộng tất cả các lũy thừa chưa được ghép đôi kết quả - và biểu diễn đã sẵn sàng.

Đối với bằng chứng sự độc đáo biểu diễn, thì phương pháp "theo mâu thuẫn" rất phù hợp ở đây. Để cùng một số Nđã có thể trình bày dưới dạng hai các tập hợp các lũy thừa khác nhau của 2 không khớp chính xác (tức là có các lũy thừa của 2 nằm trong một bộ nhưng không nằm trong một bộ khác và ngược lại). Đầu tiên, chúng ta hãy loại bỏ tất cả các lũy thừa phù hợp của hai từ cả hai tập hợp (nếu có). Bạn nhận được hai biểu diễn của cùng một số (nhỏ hơn hoặc bằng N) dưới dạng tổng các lũy thừa khác nhau của hai, và tất cả các bằng cấp trong các bài nộp khác nhau. Trong mỗi biểu diễn, hãy chọn vĩ đại nhất bằng. Nhờ những điều trên, đối với hai đại diện, các mức độ này khác nhau. Biểu diễn mà mức độ này lớn hơn được gọi là Đầu tiên, khác - thứ hai. Vì vậy, hãy để trong biểu diễn đầu tiên, lũy thừa lớn nhất là 2 m, thì trong giây rõ ràng nó không vượt quá 2 m-một . Nhưng kể từ khi (và chúng tôi đã gặp điều này ở trên, đếm các hạt trên bàn cờ), sự bình đẳng

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

sau đó 2 m nghiêm ngặt hơn tổng của tất cả các lũy thừa của hai không vượt quá 2 m-một . Vì lý do này, lũy thừa lớn nhất của hai được bao gồm trong biểu diễn đầu tiên có thể lớn hơn tổng tất cả các lũy thừa của hai bao gồm trong biểu diễn thứ hai. Sự mâu thuẫn!

Trên thực tế, chúng tôi vừa chứng minh khả năng viết các số trong nhị phân hệ thống số. Như bạn đã biết, nó chỉ sử dụng hai chữ số - không và một, và mỗi số tự nhiên được viết trong hệ nhị phân theo một cách duy nhất (ví dụ, năm 2012 được đề cập ở trên - như 11 111 011 100). Nếu chúng ta đánh số các chữ số (chữ số nhị phân) từ phải sang trái, bắt đầu từ số 0, thì số của các chữ số đó trong đó có các đơn vị sẽ chỉ là số mũ của hai số có trong biểu diễn.

IT được biêt đên tài sản tiếp theo tập hợp các lũy thừa nguyên không âm của hai. Hãy tự ý gán một dấu trừ cho một số chúng, tức là từ những dấu dương chúng ta sẽ biến chúng thành dấu âm. Yêu cầu duy nhất là kết quả của cả số dương và số âm là một số vô hạn. Ví dụ: bạn có thể gán dấu trừ cho mỗi lũy thừa thứ năm của hai, hoặc giả sử, chỉ để lại số dương cho các số 2 10, 2 100, 2 1000, v.v. - có bao nhiêu tùy chọn tùy thích.

Đáng ngạc nhiên, bất kỳ trọn số có thể (và hơn nữa, theo một cách duy nhất) được biểu diễn dưới dạng tổng các số hạng khác nhau của chuỗi "dương-âm" của chúng ta. Và không quá khó để chứng minh điều này (ví dụ, bằng cách quy nạp trên số mũ của hai số). ý chính bằng chứng - sự hiện diện của số lượng lớn giá trị tuyệt đối cả điều khoản tích cực và tiêu cực. Hãy thử tự mình chứng minh.

Thật thú vị khi quan sát các chữ số cuối cùng của các thành viên của dãy lũy thừa của hai. Vì mỗi số tiếp theo trong dãy có được bằng cách nhân đôi số trước, chữ số cuối cùng của mỗi số đó hoàn toàn được xác định bởi chữ số cuối cùng ngày trước. Và kể từ khi những con số khác nhau một số giới hạn, dãy các chữ số cuối của lũy thừa hai đơn giản là băt buộcđược định kỳ! Tất nhiên, độ dài của khoảng thời gian không vượt quá 10 (vì đó là số chữ số chúng ta sử dụng), nhưng đây là một giá trị được đánh giá quá cao. Hãy thử đánh giá nó mà không cần viết ra trình tự. Rõ ràng là các chữ số cuối cùng của tất cả các lũy thừa của hai, bắt đầu từ 2 1, thậm chí. Ngoài ra, không thể có số 0 trong số chúng - bởi vì một số kết thúc bằng số 0 chia hết cho 5, không thể nghi ngờ là lũy thừa của hai. Và vì chỉ có bốn chữ số chẵn mà không có số 0, độ dài của dấu chấm không vượt quá 4.

Xác minh cho thấy đây là trường hợp, và chu kỳ xuất hiện gần như ngay lập tức: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - hoàn toàn phù hợp với lý thuyết!

Người ta có thể ước tính thành công không ít khoảng thời gian của cặp chữ số cuối cùng trong một dãy lũy thừa của hai. Vì tất cả các lũy thừa của hai, bắt đầu từ 2 2, đều chia hết cho 4 nên các số tạo thành bởi hai chữ số tận cùng của chúng cũng chia hết cho 4. Không quá số có hai chữ số, chia hết cho 4, chỉ có 25 (đối với các số có một chữ số, chúng ta coi số 0 là chữ số áp chót), nhưng năm số kết thúc bằng 0 phải được ném ra khỏi chúng: 00, 20, 40, 60 và 80. Vậy dấu chấm có thể chứa không quá 25 - 5 = 20 số. Kiểm tra cho thấy rằng đó là, chu kỳ bắt đầu bằng số 2 2 và chứa các cặp số: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36 , 72, 44, 88, 76, 52, và sau đó là 04, v.v.

Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng độ dài của khoảng thời gian cuối cùng m các chữ số của một dãy lũy thừa của hai không vượt quá 4 5 m–1 (hơn nữa, trên thực tế, cô ấy bằng 4 5 m–1, nhưng điều này khó chứng minh hơn nhiều).

Vì vậy, các hạn chế khá nghiêm trọng được áp dụng đối với các chữ số cuối cùng của lũy thừa hai. Và làm thế nào về Đầu tiên những con số? Ở đây tình hình gần như ngược lại. Nó chỉ ra rằng cho không tí nào Tập hợp các chữ số (chữ số đầu tiên không phải là số 0) có lũy thừa là hai bắt đầu bằng tập hợp các chữ số này. Và quyền hạn của hai nhiều vô cùng! Ví dụ, có vô hạn các lũy thừa của hai bắt đầu bằng các chữ số 2012 hoặc, giả sử, 3,333,333,333,333,333,333,333.

Và nếu chúng ta chỉ xem xét một chữ số đầu tiên trong các lũy thừa khác nhau của hai - thì nó có thể nhận những giá trị nào \ u200b \ u200b? Thật dễ dàng để đảm bảo rằng bất kỳ - từ 1 đến 9 bao gồm (tất nhiên, không có số 0 trong số đó). Nhưng cái nào phổ biến hơn và cái nào ít phổ biến hơn? Bằng cách nào đó, không rõ ràng ngay lập tức tại sao một số lại xảy ra thường xuyên hơn một số khác. Tuy nhiên, những phản ánh sâu sắc hơn cho thấy rằng chỉ có một sự xuất hiện tương tự của các con số là không thể mong đợi. Thật vậy, nếu chữ số đầu tiên của bất kỳ lũy thừa nào của hai là 5, 6, 7, 8 hoặc 9, thì chữ số đầu tiên của lũy thừa hai sau nó sẽ là đơn vị! Vì vậy, cần phải có sự “xiên xẹo”, ít nhất là hướng tới sự thống nhất. Vì vậy, khó có khả năng các số liệu còn lại được “đại diện ngang nhau”.

Thực hành (cụ thể là tính toán trực tiếp trên máy tính cho vài chục nghìn lũy thừa đầu tiên của hai) xác nhận mối nghi ngờ của chúng tôi. Đây là tỷ lệ tương đối của các chữ số đầu tiên của lũy thừa hai, được làm tròn đến 4 chữ số thập phân:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Như bạn có thể thấy, với sự tăng trưởng của các số, giá trị này giảm (và do đó cùng một đơn vị có khả năng là chữ số lũy thừa đầu tiên của hai hơn chín lần khoảng 6,5 lần). Nghe thì có vẻ kỳ lạ, nhưng trên thực tế, tỷ lệ tương tự của số chữ số đầu tiên sẽ diễn ra đối với hầu hết mọi dãy độ - không chỉ hai, mà là, ba, năm, tám, và nói chung hầu như bất kỳ số, bao gồm cả những số không phải số nguyên (ngoại lệ duy nhất là một số số "đặc biệt"). Các lý do cho điều này rất sâu sắc và phức tạp, và để hiểu chúng, người ta phải biết logarit. Đối với những người đã quen thuộc với chúng, hãy vén bức màn: hóa ra là phần lũy thừa tương đối của hai, ký hiệu thập phân bắt đầu bằng một số F(vì F= 1, 2, ..., 9) là lg ( F+ 1) - lg ( F), trong đó lg được gọi là lôgarit thập phân, bằng số mũ mà số 10 phải nâng lên để được số dưới dấu của lôgarit.

Sử dụng mối liên hệ giữa các lũy thừa của hai và năm nói trên, A. Kanel đã phát hiện ra một hiện tượng thú vị. Hãy chọn một vài chữ số từ dãy các chữ số đầu tiên của lũy thừa hai (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) hợp đồng và viết chúng vào thứ tự ngược lại. Hóa ra những con số này chắc chắn sẽ đáp ứng cũng liên tiếp, bắt đầu từ một số vị trí, trong dãy các chữ số đầu tiên của lũy thừa năm.

Quyền lực của hai người cũng là một loại "máy phát điện" để sản xuất các những con số hoàn hảo, bằng tổng của tất cả các ước của nó, không bao gồm chính nó. Ví dụ, số 6 có bốn ước: 1, 2, 3 và 6. Hãy bỏ đi một ước mà chính nó bằng số 6. Còn lại ba ước, tổng của chúng chính xác bằng 1 + 2 + 3 = 6. Do đó, 6 là một số hoàn hảo.

Để có một số hoàn hảo, hãy lấy hai lũy thừa liên tiếp của hai: 2 N-1 và 2 N. Giảm giá trị lớn nhất trong số chúng đi 1, ta được 2 N- 1. Hóa ra nếu đây là một số nguyên tố, sau đó nhân nó với lũy thừa của hai trước đó, chúng ta tạo thành một số hoàn hảo 2 N –1 (2N- một). Ví dụ, khi P= 3 ta được số ban đầu là 4 và 8. Vì 8 - 1 = 7 là số nguyên tố nên 4 7 = 28 là số hoàn thiện. Hơn nữa, có lúc Leonhard Euler đã chứng minh rằng tất cả thậm chí những con số hoàn hảo trông như thế này. Những con số hoàn hảo kỳ lạ vẫn chưa được khám phá (và ít người tin vào sự tồn tại của chúng).

Quyền hạn của cả hai có liên quan chặt chẽ đến cái gọi là Số Catalan, mà dãy số có dạng 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... Chúng thường phát sinh khi giải các vấn đề tổ hợp. Ví dụ, có bao nhiêu cách để một lồi có thể N-gon thành tam giác có hai đường chéo không cắt nhau? Tất cả cùng một Euler phát hiện ra rằng giá trị này bằng ( N- 1) số thứ của Catalan (chúng tôi ký hiệu là K n-1), và anh ấy thấy rằng K n = K n-mười bốn N – 6)/N. Dãy số Catalan có nhiều tính chất thú vị, và một trong số đó (chỉ liên quan đến chủ đề của bài viết này) là số thứ tự tất cả các số lẻ của Catalan là lũy thừa của hai!

Sức mạnh của cả hai thường được tìm thấy trong các vấn đề khác nhau, không chỉ trong điều kiện, mà còn trong các câu trả lời. Lấy ví dụ, một thời phổ biến (và vẫn không bị lãng quên) tháp hà nội. Đây là tên của một trò chơi giải đố được phát minh vào thế kỷ 19. Nhà toán học Pháp E. Luca. Nó chứa ba thanh, một trong số đó bị mòn Nđĩa có lỗ ở giữa mỗi đĩa. Đường kính của tất cả các đĩa đều khác nhau và chúng được sắp xếp theo thứ tự giảm dần từ dưới lên trên, tức là đĩa lớn nhất nằm ở dưới cùng (xem hình). Nó thành ra giống như một tháp đĩa.

Yêu cầu chuyển tháp này sang thanh khác, tuân theo các quy tắc sau: chuyển chính xác từng đĩa một (lấy đĩa trên khỏi thanh bất kỳ) và luôn chỉ đặt đĩa nhỏ hơn đĩa lớn hơn, không được đặt ngược lại. Câu hỏi đặt ra là: số bước di chuyển tối thiểu cần thiết cho việc này là bao nhiêu? (Chúng ta gọi một động tác là việc lấy đĩa ra khỏi thanh này và đặt nó lên thanh khác.) Trả lời: nó bằng 2 N- 1, dễ dàng chứng minh bằng quy nạp.

Để cho Nđĩa, số lần di chuyển tối thiểu bắt buộc là X n. Hãy tìm X N+1. Trong quá trình làm việc, sớm muộn gì cũng cần phải lấy đĩa lớn nhất ra khỏi thanh, trên đó tất cả các đĩa đã được đặt ban đầu. Vì đĩa này chỉ có thể được đặt trên một thanh trống (nếu không nó sẽ "ép xuống" một đĩa nhỏ hơn, điều này bị cấm), nên tất cả các phía trên Nđĩa sẽ phải được chuyển sang thanh thứ ba đầu tiên. Điều này sẽ đòi hỏi không ít X n di chuyển. Tiếp theo, chúng tôi chuyển đĩa lớn nhất sang một thanh trống - đây là một động tác khác. Cuối cùng, để "ép" nó từ trên xuống với Nđĩa, một lần nữa nó sẽ mất không ít X n di chuyển. Cho nên, X n +1 ≥Xn + 1 + Xn = 2X n+ 1. Mặt khác, các hành động được mô tả ở trên cho thấy bạn có thể đối phó với nhiệm vụ chính xác như thế nào 2 X n+ 1 lần di chuyển. Do đó, cuối cùng X n +1 =2X n+ 1. Đã nhận mối quan hệ lặp lại, nhưng để đưa nó về dạng "bình thường", chúng ta cũng phải tìm X một . Chà, nó đơn giản như vậy: X 1 = 1 (đơn giản là không thể ít hơn!). Không khó, dựa trên những dữ liệu này, để tìm ra rằng X n = 2N– 1.

Đây là một thử thách thú vị khác:

Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một số (ít nhất hai) số tự nhiên liên tiếp.

Hãy kiểm tra trước số nhỏ nhất. Rõ ràng là số 1 trong hình thức cụ thể không thể tưởng tượng được. Nhưng tất cả các số lẻ lớn hơn 1 đều có thể được đại diện. Thật vậy, bất kỳ số chẵn lớn hơn 1 có thể được viết là 2 k + 1 (k- tự nhiên), là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp: 2 k + 1 = k + (k + 1).

Còn số chẵn thì sao? Một điều dễ nhận thấy là số 2 và số 4 không thể biểu diễn ở dạng bắt buộc. Có lẽ nó giống nhau cho tất cả các số chẵn? Than ôi, số chẵn tiếp theo bác bỏ giả định của chúng tôi: 6 \ u003d 1 + 2 + 3. Nhưng số 8 lại không tự cho mình. Sự thật, số tiếp theo một lần nữa chịu thua cuộc tấn công dữ dội: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, nhưng 16 lại là điều không tưởng.

Chà, thông tin tích lũy được cho phép chúng tôi đưa ra kết luận sơ bộ. Xin lưu ý: không thể được trình bày dưới dạng đã chỉ định chỉ quyền hạn của hai. Điều này có đúng với các con số còn lại không? Hóa ra là có! Thật vậy, hãy xem xét tổng của tất cả các số tự nhiên từ m trước N bao gồm. Vì có ít nhất hai trong số họ trong tổng số, nên N > m. Như đã biết, tổng các số hạng liên tiếp cấp số cộng(và đây là những gì chúng ta đang giải quyết!) bằng tích của nửa tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng và số của chúng. Tổng nửa là ( N + m) / 2, và số lượng các số là N – m+ 1. Do đó, tổng là ( N + m)(N – m+ 1) / 2. Lưu ý rằng tử số chứa hai yếu tố, mỗi yếu tố nghiêm ngặt hơn 1, và độ chẵn lẻ của chúng khác nhau. Nó chỉ ra rằng tổng của tất cả các số tự nhiên từ m trước N bao gồm chia hết cho một số lẻ lớn hơn 1, và do đó không thể là lũy thừa của hai. Vì vậy, bây giờ đã rõ tại sao không thể biểu diễn lũy thừa của hai ở dạng đúng.

Nó vẫn để đảm bảo rằng không phải là sức mạnh của hai có thể được tưởng tượng. Còn với số lẻ thì chúng ta đã xử lý ở trên rồi. Lấy bất kỳ số chẵn nào không phải là lũy thừa của hai. Để lũy thừa lớn nhất của 2 nó chia hết cho 2 một (một- Thiên nhiên). Sau đó, nếu số đó chia cho 2 một, nó sẽ rồi số lẻ một số lớn hơn 1, mà chúng ta sẽ viết ở dạng quen thuộc - dưới dạng 2 k+ 1 (k- cũng tự nhiên). Vì vậy, nói chung, số chẵn của chúng ta, không phải là lũy thừa của hai, là 2 một (2k+ 1). Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai tùy chọn:

1. 2 một+1 > 2k+ 1. Lấy tổng 2 k+ 1 số tự nhiên liên tiếp, Trung bình trong đó bằng 2 một. Dễ dàng nhận thấy rằng ít nhất trong đó bằng 2 a-k, và lớn nhất là 2 một + k và cái nhỏ nhất (và do đó, tất cả những cái khác) là tích cực, tức là thực sự tự nhiên. Vâng, tổng, rõ ràng, chỉ là 2 một(2k + 1).
2. 2 một+1 < 2k+ 1. Lấy tổng 2 một+1 số tự nhiên liên tiếp. Không thể được chỉ định ở đây. Trung bình số, bởi vì số lượng là số chẵn, nhưng chỉ ra một vài phương tiện những con số bạn có thể: hãy để chúng là những con số k và k+ 1. Sau đó ít nhất của tất cả các con số là k+ 1 – 2một(và cũng dương!) và lớn nhất bằng k+ 2một. Tổng của chúng cũng là 2 một(2k + 1).

Đó là tất cả. Vì vậy, câu trả lời là: các số không biểu diễn được là lũy thừa của hai và chỉ chúng.

Và đây là một vấn đề khác (lần đầu tiên được đề xuất bởi V. Proizvolov, nhưng theo một công thức hơi khác):

Thửa vườn được bao bọc bởi hàng rào N ván kiên cố. Theo lệnh của dì Polly, Tom Sawyer quét vôi lại hàng rào, nhưng hệ thống riêng: luôn di chuyển theo chiều kim đồng hồ, đầu tiên bôi trắng một bảng tùy ý, sau đó bỏ qua một bảng và bôi trắng bảng tiếp theo, sau đó bỏ qua hai bảng và bôi trắng bảng tiếp theo, sau đó bỏ qua ba bảng và bôi trắng bảng tiếp theo, v.v., mỗi lần bỏ qua một bảng khác (với một số bảng có thể quét vôi nhiều lần - điều này không làm Tom bận tâm).

Tom nghĩ rằng theo một kế hoạch như vậy, sớm hay muộn tất cả các bảng sẽ được quét vôi trắng, và dì Polly chắc chắn rằng ít nhất một bảng sẽ vẫn chưa được tẩy trắng, bất kể Tom làm việc như thế nào. Theo N là Tom đúng, và theo Dì Polly là gì?

Hệ thống quét vôi được mô tả có vẻ khá hỗn loạn, vì vậy ban đầu có vẻ như đối với bất kỳ (hoặc gần như không tí nào) N mỗi hội đồng quản trị một ngày nào đó sẽ nhận được phần vôi của mình, tức là chủ yếu, đúng Tom. Nhưng ấn tượng đầu tiên là lừa dối, bởi vì thực tế Tom chỉ đúng với những giá trị N, là lũy thừa của hai. Cho người khác N có một bảng sẽ mãi mãi không được tẩy trắng. Việc chứng minh thực tế này khá rườm rà (mặc dù về nguyên tắc, nó không khó). Chúng tôi mời bạn đọc để làm điều đó cho mình.

Đó là những gì chúng là - quyền hạn của hai. Nó trông đơn giản hơn đơn giản, nhưng khi bạn đào ... Và chúng tôi đã chạm vào đây không phải tất cả các đặc tính tuyệt vời và bí ẩn của dãy số này, mà chỉ những đặc tính thu hút sự chú ý của chúng tôi. Người đọc có quyền độc lập tiếp tục nghiên cứu trong lĩnh vực này. Không nghi ngờ gì nữa, chúng sẽ có kết quả.

Số không).
Và không chỉ deuces, như đã lưu ý trước đó!
Muốn biết thêm chi tiết, bạn có thể đọc bài viết của V. Boltyansky "Quyền hạn của hai người thường bắt đầu bằng một?" (“Lượng tử” số 5, 1978), cũng như một bài báo của V. Arnold “Thống kê các chữ số đầu tiên của lũy thừa hai và chia lại thế giới” (“Lượng tử,” số 1, 1998).
Xem bài toán M1599 từ cuốn sách bài toán "Kvant" ("Kvant" số 6 cho năm 1997).
Hiện tại, người ta đã biết 43 số hoàn hảo, trong đó lớn nhất là 2 30402456 (2 30402457 - 1). Nó chứa hơn 18 triệu các chữ số.

Bảng lũy ​​thừa 2 (hai) từ 0 đến 32

Bảng trên, ngoài lũy thừa của hai, cho thấy các số tối đa mà máy tính có thể lưu trữ cho một số bit nhất định. Và cho cả số nguyên và số có dấu.

Trong lịch sử, máy tính sử dụng hệ thống số nhị phân và do đó, lưu trữ dữ liệu. Do đó, bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi các số không và một (bit thông tin). Có một số cách để biểu diễn số dưới dạng một dãy nhị phân.

Hãy xem xét đơn giản nhất trong số chúng - đây là một số nguyên dương. Rồi sao số lượng nhiều hơn chúng ta cần viết, chuỗi bit chúng ta cần càng dài.

Dưới là bảng lũy ​​thừa của số 2. Nó sẽ cung cấp cho chúng ta một biểu diễn về số lượng bit cần thiết mà chúng ta cần để lưu trữ số.

Cách sử dụng bảng lũy ​​thừa của hai?

Cột đầu tiên là Sức mạnh của hai, đồng thời biểu thị số lượng bit đại diện cho số.

Cột thứ hai - giá trị hai lần với sức mạnh tương ứng (n).

Một ví dụ về tìm lũy thừa của một số 2. Chúng tôi tìm thấy số 7 trong cột đầu tiên. Chúng tôi nhìn dọc theo dòng bên phải và tìm giá trị hai đến sức mạnh thứ bảy(2 7) là 128

Cột thứ ba - số lượng tối đa có thể được biểu diễn bằng một số bit nhất định(trong cột đầu tiên).

Ví dụ về xác định số nguyên không dấu lớn nhất. Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trước, chúng ta biết rằng 2 7 = 128. Điều này đúng nếu chúng ta muốn hiểu những gì số lượng, có thể được biểu diễn bằng bảy bit. Nhưng kể từ khi số đầu tiên là số 0, thì số tối đa có thể được biểu diễn bằng bảy bit là 128 - 1 = 127. Đây là giá trị của cột thứ ba.

Sức mạnh của hai (n)	Sức mạnh của hai giá trị 2n	Số tối đa không dấu, được viết bằng n bit	Số đã ký tối đa, được viết bằng n bit
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647