Tìm eigenvector ma trận. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hiệu riêng của ma trận vuông là một ký hiệu mà khi nhân với một ma trận đã cho, sẽ cho kết quả là một vectơ thẳng hàng. Nói một cách đơn giản, khi một ma trận được nhân với một ký hiệu riêng, thì ma trận vẫn giữ nguyên, nhưng được nhân với một số.

Sự định nghĩa

Một ký hiệu riêng là một vectơ khác không V, khi nhân với ma trận vuông M, nó sẽ trở thành chính nó, tăng lên một số λ. Trong ký hiệu đại số, điều này trông giống như:

M × V = λ × V,

trong đó λ là một giá trị riêng của ma trận M.

Coi như ví dụ số. Để tiện cho việc viết, các số trong ma trận sẽ được phân cách bằng dấu chấm phẩy. Giả sử chúng ta có một ma trận:

M = 0; 4;
6; 10.

Hãy nhân nó với một vectơ cột:

V = -2;

Khi nhân một ma trận với một vectơ cột, chúng ta cũng nhận được một vectơ cột. Khắt khe ngôn ngữ toán học công thức nhân ma trận 2 × 2 với một vectơ cột sẽ giống như sau:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 x V11 + M22 x V21.

M11 có nghĩa là phần tử của ma trận M, đứng ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên, và M22 là phần tử nằm ở hàng thứ hai và cột thứ hai. Đối với ma trận của chúng ta, các phần tử này là M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Đối với vectơ cột, các giá trị này là V11 = –2, V21 = 1. Theo công thức này, chúng ta nhận được như sau kết quả của tích của một ma trận vuông với một vectơ:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Để thuận tiện, chúng ta viết vector cột thành một hàng. Vì vậy, chúng tôi đã nhân ma trận vuông với vectơ (-2; 1), kết quả là vectơ (4; -2). Rõ ràng, đây là cùng một vectơ nhân với λ = -2. lambda ở trường hợp này biểu thị giá trị riêng của ma trận.

Ký hiệu riêng của ma trận là một vectơ thẳng hàng, nghĩa là, một đối tượng không thay đổi vị trí của nó trong không gian khi nó được nhân với một ma trận. Khái niệm về tính thẳng hàng trong đại số vector tương tự như thuật ngữ song song trong hình học. Trong giải thích hình học vectơ thẳng hàng- Đây là những đoạn thẳng có hướng song song có độ dài khác nhau. Kể từ thời Euclid, chúng ta biết rằng một dòng có vô số dòng song song với nó, vì vậy logic giả thiết rằng mỗi ma trận có vô số người di cư.

Từ ví dụ trước, có thể thấy rằng cả (-8; 4) và (16; -8) và (32, -16) đều có thể là các eigenvector. Tất cả đều là vectơ thẳng hàng tương ứng với giá trị riêng λ = -2. Khi nhân ma trận ban đầu với các vectơ này, kết quả là chúng ta vẫn nhận được một vectơ khác với vectơ ban đầu 2 lần. Đó là lý do tại sao, khi giải các bài toán tìm một ký hiệu riêng, yêu cầu chỉ tìm các đối tượng vectơ độc lập tuyến tính. Thông thường, đối với một ma trận n × n, có số thứ n các ký tự riêng. Máy tính của chúng tôi được thiết kế để phân tích ma trận vuông bậc hai, vì vậy hầu như luôn luôn tìm thấy hai ký hiệu riêng, ngoại trừ trường hợp chúng trùng nhau.

Trong ví dụ trên, chúng ta đã biết trước ký tự riêng của ma trận gốc và xác định trực quan số lambda. Tuy nhiên, trong thực tế, mọi thứ lại diễn ra theo chiều ngược lại: lúc đầu có các giá trị riêng và chỉ sau đó là các giá trị riêng.

Giải thuật giải thuật

Hãy nhìn vào ma trận ban đầu M một lần nữa và cố gắng tìm cả hai ký hiệu riêng của nó. Vì vậy, ma trận trông giống như:

M = 0; 4;
6; 10.

Để bắt đầu, chúng ta cần xác định giá trị riêng λ, mà chúng ta cần tính định thức của ma trận sau:

(0 - λ); 4;
Số 6; (10 - λ).

Ma trận này thu được bằng cách lấy các phần tử trên đường chéo chính trừ đi λ chưa biết. Yếu tố quyết định được xác định theo công thức chuẩn:

detA = M11 × M21 - M12 × M22
detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

Vì vectơ của chúng ta không được bằng 0, chúng ta coi phương trình kết quả là phụ thuộc tuyến tính và cân bằng detA định thức của chúng ta bằng 0.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Hãy mở rộng dấu ngoặc và nhận được phương trình đặc trưng ma trận:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

Đây là tiêu chuẩn phương trình bậc hai, điều này sẽ được giải quyết về mặt đối tượng phân biệt.

D \ u003d b 2 - 4ac \ u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \ u003d 100 + 96 \ u003d 196

Gốc của số phân biệt là sqrt (D) = 14, do đó λ1 = -2, λ2 = 12. Bây giờ với mỗi giá trị lambda, chúng ta cần tìm một ký tự riêng. Hãy để chúng tôi biểu diễn các hệ số của hệ thống cho λ = -2.

M - λ × E = 2; 4;
6; 12.

Trong công thức này, E là ma trận đơn vị. Dựa trên ma trận thu được, chúng ta sẽ lập hệ Các phương trình tuyến tính:

2x + 4y = 6x + 12y

trong đó x và y là các phần tử của eigenvector.

Hãy thu thập tất cả chữ X ở bên trái và tất cả chữ Y ở bên phải. Rõ ràng - 4x = 8y. Chia biểu thức cho - 4 và được x = -2y. Bây giờ chúng ta có thể xác định eigenvector đầu tiên của ma trận bằng cách lấy bất kỳ giá trị nào của ẩn số (hãy nhớ về tính vô hạn của eigenvector phụ thuộc tuyến tính). Lấy y = 1 thì x = -2. Do đó, ký tự đầu tiên trông giống như V1 = (–2; 1). Trở lại phần đầu của bài viết. Chính đối tượng vectơ này mà chúng tôi đã nhân ma trận để chứng minh khái niệm về một eigenvector.

Bây giờ chúng ta hãy tìm eigenvector cho λ = 12.

M - λ × E = -12; 4
6; -2.

Chúng ta hãy soạn cùng một hệ phương trình tuyến tính;

-12x + 4y = 6x - 2y
-18x = -6y
3x = y.

Bây giờ chúng ta hãy lấy x = 1, do đó y = 3. Như vậy, ký hiệu thứ hai trông giống như V2 = (1; 3). Khi nhân ma trận ban đầu với vector cho trước, kết quả sẽ luôn là cùng một vectơ nhân với 12. Điều này hoàn thành thuật toán giải. Bây giờ bạn biết cách xác định thủ công một ký tự riêng của ma trận.

bản ngã;
dấu vết, nghĩa là tổng các phần tử trên đường chéo chính;
xếp hạng, đó là số tiền tối đa các hàng / cột độc lập tuyến tính.

Chương trình hoạt động theo thuật toán trên, giảm thiểu quá trình giải. Điều quan trọng là chỉ ra rằng trong chương trình lambda được ký hiệu bằng chữ "c". Hãy xem một ví dụ số.

Ví dụ chương trình

Hãy thử xác định các eigenvectors cho ma trận sau:

M = 5; mười ba;
4; 14.

Hãy nhập các giá trị này vào các ô của máy tính và nhận được câu trả lời ở dạng sau:

Hạng ma trận: 2;
Định thức ma trận: 18;
Dấu vết ma trận: 19;
Tính toán Eigenvector: c 2 - 19,00c + 18,00 (phương trình đặc trưng);
Phép tính Eigenvector: 18 (giá trị lambda đầu tiên);
Phép tính Eigenvector: 1 (giá trị lambda thứ hai);
Hệ phương trình của vectơ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
Hệ phương trình vectơ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
Bộ ký hiệu 1: (1; 1);
Bộ ký hiệu 2: (-3,25; 1).

Như vậy, chúng ta đã thu được hai eigenvector độc lập tuyến tính.

Sự kết luận

Đại số tuyến tính và hình học giải tích là các môn học tiêu chuẩn cho bất kỳ sinh viên năm nhất nào chuyên môn kỹ thuật. Một số lượng lớn vectơ và ma trận rất đáng sợ, và rất dễ mắc lỗi trong những phép tính rườm rà như vậy. Chương trình của chúng tôi sẽ cho phép học sinh kiểm tra các phép tính của mình hoặc tự động giải bài toán tìm dấu hiệu riêng. Có những máy tính đại số tuyến tính khác trong danh mục của chúng tôi, hãy sử dụng chúng trong học tập hoặc công việc của bạn.

Cách dán công thức toán học vào trang web?

Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào trang web, thì cách dễ nhất để thực hiện việc này như được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng hình ảnh mà Wolfram Alpha tự động tạo ra. Ngoài sự đơn giản, điều này cách phổ quát sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị của trang web trong công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động trong một thời gian dài (và tôi nghĩ rằng nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng nó đã lỗi thời về mặt đạo đức.

Nếu bạn thường xuyên sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình, thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax, một thư viện JavaScript đặc biệt hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.

Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng mã đơn giản, bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ có trong ngay bây giờ tự động tải xuống từ một máy chủ từ xa (danh sách các máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa lên máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai phức tạp hơn và tốn thời gian hơn và sẽ cho phép bạn tăng tốc tải các trang trên trang web của mình và nếu máy chủ MathJax mẹ tạm thời không khả dụng vì lý do nào đó, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Bất chấp những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên, vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không đòi hỏi kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi, và trong vòng 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.

Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ một máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web MathJax chính hoặc từ trang tài liệu:

Một trong những tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã của trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và hoặc ngay sau thẻ . Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản mới nhất của MathJax. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, thì nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn dán mã thứ hai, thì các trang sẽ tải chậm hơn, nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích con được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích con gần hơn vào đầu mẫu (nhân tiện, điều này không cần thiết, vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy học cú pháp đánh dấu MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng để nhúng các công thức toán học vào các trang web của mình.

Fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, được áp dụng nhất quán không giới hạn số lần. Mỗi lần như vậy được gọi là một lần lặp.

Thuật toán lặp lại để xây dựng một miếng bọt biển Menger khá đơn giản: hình lập phương ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 hình lập phương bằng nhau. Một khối ở giữa và 6 khối liền kề với nó dọc theo các mặt được loại bỏ khỏi nó. Nó chỉ ra một tập hợp bao gồm 20 hình khối nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi hình lập phương này, ta được một tập hợp gồm 400 hình lập phương nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này vô thời hạn, chúng ta nhận được miếng bọt biển Menger.

www.site cho phép bạn tìm thấy. Trang web thực hiện tính toán. Sau một vài giây, máy chủ sẽ phát hành giải pháp chính xác. Phương trình đặc trưng cho ma trận sẽ là biểu thức đại số, được tìm thấy bởi quy tắc tính toán yếu tố quyết định ma trận ma trận, trong khi trên đường chéo chính sẽ có sự khác biệt về giá trị của các phần tử đường chéo và biến. Khi tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến, mỗi phần tử ma trận sẽ được nhân với các phần tử khác tương ứng ma trận. Tìm trong chế độ Trực tuyến chỉ có thể cho hình vuông ma trận. Tìm hoạt động phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđi xuống tính toán tổng đại số sản phẩm của các yếu tố ma trận kết quả của việc tìm ra yếu tố quyết định ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Thao tác này mất nơi đặc biệt trên lý thuyết ma trận, cho phép bạn tìm các giá trị riêng và vectơ bằng cách sử dụng gốc. Tìm kiếm nhiệm vụ phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến là nhân các phần tử ma trận với sự tổng kết sau đó của các sản phẩm này theo một quy luật nhất định. www.site tìm thấy phương trình đặc trưng cho ma trận thứ nguyên nhất định trong chế độ Trực tuyến. phép tính phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđối với một thứ nguyên nhất định, đây là việc tìm một đa thức với hệ số bằng số hoặc ký hiệu được tìm thấy bởi quy tắc tính định thức ma trận- là tổng các tích của các phần tử tương ứng ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Tìm một đa thức liên quan đến một biến cho một hình vuông ma trận, như định nghĩa phương trình đặc trưng cho ma trận, phổ biến trong lý thuyết ma trận. Giá trị của căn của đa thức phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđược sử dụng để xác định eigenvectors và giá trị riêng vì ma trận. Tuy nhiên, nếu yếu tố quyết định ma trận sẽ bằng 0, sau đó phương trình đặc tính ma trận sẽ vẫn tồn tại, không giống như điều ngược lại ma trận. Để tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận hoặc tìm kiếm nhiều thứ cùng một lúc ma trận phương trình đặc trưng, bạn cần phải dành nhiều thời gian và công sức, trong khi máy chủ của chúng tôi sẽ tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Trong trường hợp này, câu trả lời bằng cách tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sẽ đúng và đủ độ chính xác, ngay cả khi các số khi tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sẽ không hợp lý. Trực tuyến www.site các mục ký tự được phép trong các phần tử ma trận, I E phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu chung khi tính toán ma trận phương trình đặc trưng trực tuyến. Sẽ rất hữu ích nếu kiểm tra câu trả lời thu được khi giải bài toán tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sử dụng trang web www.site. Khi thực hiện phép tính một đa thức - phương trình đặc trưng của ma trận, cần phải hết sức chú ý và tập trung cao độ để giải quyết vấn đề này. Đổi lại, trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn kiểm tra quyết định của mình về chủ đề ma trận phương trình đặc trưng trực tuyến. Nếu bạn không có thời gian để kiểm tra lâu các vấn đề đã giải quyết, thì www.site chắc chắn sẽ là một công cụ thuận tiện để kiểm tra khi tìm kiếm và tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến.

". Phần đầu tiên phác thảo những quy định tối thiểu cần thiết để hiểu về phép đo hóa học và phần thứ hai bao gồm những sự kiện mà bạn cần biết để hiểu sâu hơn về các phương pháp phân tích đa biến. Bản trình bày được minh họa bằng các ví dụ được tạo trong sổ làm việc Excel. Matrix.xlsđi kèm với tài liệu này.

Liên kết đến các ví dụ được đặt trong văn bản dưới dạng các đối tượng Excel. Những ví dụ này là trừu tượng về bản chất, chúng không bị ràng buộc với các nhiệm vụ theo bất kỳ cách nào. hóa học phân tích. Ví dụ thực tế việc sử dụng đại số ma trận trong phép đo hóa học được thảo luận trong các văn bản khác dành cho các ứng dụng hóa học khác nhau.

Hầu hết các phép đo được thực hiện trong hóa học phân tích không trực tiếp nhưng gián tiếp. Điều này có nghĩa là trong thí nghiệm, thay vì giá trị của chất phân tích C (nồng độ) mong muốn, người ta thu được một giá trị khác x(tín hiệu) liên quan đến nhưng không bằng C, tức là x(C) ≠ C. Theo quy luật, kiểu phụ thuộc x(C) không được biết đến, nhưng may mắn thay trong hóa học phân tích, hầu hết các phép đo đều theo tỷ lệ. Điều này có nghĩa là khi nồng độ của C trong một lần, tín hiệu X sẽ tăng cùng một lượng., tức là x(một C) = cây rìu(C). Ngoài ra, các tín hiệu cũng có tính cộng tính nên tín hiệu từ mẫu chứa hai chất có nồng độ C 1 và C 2 sẽ là bằng tổng tín hiệu từ mỗi thành phần, tức là x(C1 + C2) = x(C1) + x(C2). Tỷ lệ và cộng gộp cho tuyến tính. Nhiều ví dụ có thể được đưa ra để minh họa nguyên tắc tuyến tính, nhưng đủ để đề cập đến hai ví dụ rõ ràng- sắc ký và quang phổ. Đặc điểm thứ hai vốn có trong thí nghiệm hóa học phân tích là đa kênh. Thiết bị phân tích hiện đại đồng thời đo tín hiệu cho nhiều kênh. Ví dụ, cường độ truyền ánh sáng được đo cho một số bước sóng cùng một lúc, tức là phạm vi. Do đó, trong thử nghiệm, chúng tôi đang xử lý nhiều tín hiệu khác nhau x 1 , x 2 ,...., x n đặc trưng cho tập hợp nồng độ C 1, C 2, ..., C m của các chất có trong hệ đang nghiên cứu.

Cơm. 1 quang phổ

Vì vậy, thí nghiệm phân tích được đặc trưng bởi tính tuyến tính và tính đa chiều. Do đó, sẽ thuận tiện khi coi dữ liệu thực nghiệm là vectơ và ma trận và thao tác chúng bằng cách sử dụng bộ máy đại số ma trận. Hiệu quả của phương pháp này được minh họa bằng ví dụ minh họa trong đó cho thấy ba quang phổ được thực hiện cho 200 bước sóng từ 4000 đến 4796 cm – 1. Ngày thứ nhất ( x 1) và thứ hai ( x 2) phổ thu được đối với các mẫu chuẩn trong đó đã biết nồng độ của hai chất A và B: ở mẫu thứ nhất [A] = 0,5, [B] = 0,1, và ở mẫu thứ hai [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Có thể nói gì về một mẫu mới, chưa biết, phổ của nó được chỉ ra x 3 ?

Hãy xem xét ba quang phổ thực nghiệm x 1 , x 2 và x 3 là ba vectơ có chiều 200. Sử dụng đại số tuyến tính, người ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, vậy mẫu thứ ba hiển nhiên chỉ chứa các chất A và B với nồng độ [A] = 0,5 × 0,1 + 0,2 × 0,3 = 0,11 và [B] = 0,1 × 0,1 + 0,6 × 0,3 = 0,19.

1. Thông tin cơ bản

1.1 Ma trận

Ma trậnđược gọi là một bảng số hình chữ nhật, chẳng hạn

Cơm. 2 ma trận

Các ma trận được ký hiệu bằng các chữ cái in đậm ( Một), và các yếu tố của chúng - tương ứng chữ thường với các chỉ số, tức là một ij. Chỉ số đầu tiên đánh số các hàng và chỉ số thứ hai đánh số các cột. Trong đo lường hóa học, thông thường biểu thị gia trị lơn nhât chỉ mục có cùng chữ cái với chỉ mục đó, nhưng được viết hoa. Do đó, ma trận Một cũng có thể được viết là ( một ij , tôi = 1,..., Tôi; j = 1,..., J). Đối với ma trận ví dụ Tôi = 4, J= 3 và một 23 = −7.5.

Cặp số Tôi và Jđược gọi là số chiều của ma trận và được ký hiệu là Tôi× J. Một ví dụ về ma trận trong phép đo hóa học là một tập hợp các phổ thu được cho Tôi mẫu trên J các bước sóng.

1.2. Các phép toán đơn giản nhất với ma trận

Ma trận có thể nhân với số. Trong trường hợp này, mỗi phần tử được nhân với số này. Ví dụ -

Cơm. 3 Nhân ma trận với một số

Hai ma trận có cùng thứ nguyên có thể là yếu tố khôn ngoan nếp gấp và trừ đi. Ví dụ,

Cơm. 4 Phép cộng ma trận

Kết quả của phép nhân với một số và phép cộng, ta nhận được một ma trận có cùng thứ nguyên.

Ma trận 0 là ma trận bao gồm các số không. Nó được chỉ định O. Hiển nhiên là Một+O = Một, Một−Một = O và 0 Một = O.

Ma trận có thể đổi chỗ. Trong quá trình hoạt động này, ma trận được lật, tức là hàng và cột được hoán đổi vị trí. Chuyển vị được biểu thị bằng dấu gạch ngang, Một"hoặc chỉ mục Một t. Do đó, nếu Một = {một ij , tôi = 1,..., Tôi; j = 1,...,J), sau đó Một t = ( một ji , j = 1,...,J; i = 1, ..., Tôi). Ví dụ

Cơm. 5 Chuyển vị ma trận

Hiển nhiên là ( Một t) t = Một, (Một+B) t = A t + B t.

1.3. Phép nhân ma trận

Ma trận có thể nhân, nhưng chỉ khi chúng có kích thước thích hợp. Tại sao điều này là như vậy sẽ rõ ràng từ định nghĩa. Sản phẩm ma trận Một, kích thước Tôi× K và ma trận B, kích thước K× J, được gọi là ma trận C, kích thước Tôi× J, có phần tử là số

Do đó đối với sản phẩm AB số cột trong ma trận bên trái là cần thiết Một bằng với số hàng trong ma trận bên phải B. Ví dụ về sản phẩm ma trận -

Hình 6 Sản phẩm của ma trận

Quy tắc nhân ma trận có thể được xây dựng như sau. Để tìm một phần tử của ma trận Cđứng ở ngã tư tôi-dòng thứ và j-cột thứ ( c ij) phải được nhân phần tử với phần tử tôi- hàng thứ của ma trận đầu tiên Một trên j-cột thứ của ma trận thứ hai B và cộng lại tất cả các kết quả. Vì vậy, trong ví dụ được hiển thị, phần tử từ hàng thứ ba và cột thứ hai được lấy là tổng của các tích số phần tử của hàng thứ ba Một và cột thứ hai B

Hình 7 Phần tử của tích các ma trận

Sản phẩm của ma trận phụ thuộc vào thứ tự, tức là AB ≠ ba, ít nhất là vì lý do kích thước. Nó được cho là không giao hoán. Tuy nhiên, tích của ma trận là liên kết. Nó có nghĩa là ABC = (AB)C = Một(BC). Hơn nữa, nó cũng có tính phân phối, tức là Một(B+C) = AB+AC. Hiển nhiên là AO = O.

1.4. Ma trận vuông

Nếu số cột của ma trận bằng số hàng của nó ( Tôi = J = N), thì một ma trận như vậy được gọi là vuông. Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ xem xét các ma trận như vậy. Trong số các ma trận này, người ta có thể chọn ra các ma trận có các thuộc tính đặc biệt.

Đơn độc ma trận (ký hiệu là Tôi và đôi khi E) là ma trận trong đó tất cả các phần tử đều bằng 0, ngoại trừ các phần tử có đường chéo bằng 1, tức là

Chắc chắn AI = IA = Một.

Ma trận được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của nó, ngoại trừ các phần tử đường chéo ( một ii) đều bằng không. Ví dụ

Cơm. 8 Ma trận đường chéo

Ma trận Mộtđược gọi là hàng đầu hình tam giác, nếu tất cả các phần tử của nó nằm bên dưới đường chéo đều bằng 0, tức là một ij= 0, lúc tôi>j. Ví dụ

Cơm. 9 Thượng ma trận tam giác

Ma trận tam giác dưới được định nghĩa tương tự.

Ma trận Một triệu tập đối xứng, nếu Một t = Một. Nói cách khác một ij = một ji. Ví dụ

Cơm. 10 Ma trận đối xứng

Ma trận Một triệu tập trực giao, nếu

Một t Một = AA t = Tôi.

Ma trận được gọi là thông thường nếu

1.5. Dấu vết và yếu tố quyết định

Tiếp theo Ma trận vuông Một(ký hiệu là Tr ( Một) hoặc Sp ( Một)) là tổng các phần tử đường chéo của nó,

Ví dụ,

Cơm. 11 Dấu vết ma trận

Hiển nhiên là

Sp (α Một) = α Sp ( Một) và

Sp ( Một+B) = Sp ( Một) + Sp ( B).

Có thể cho thấy rằng

Sp ( Một) = Sp ( Một t), Sp ( Tôi) = N,

và cả điều đó nữa

Sp ( AB) = Sp ( ba).

Nữa đặc điểm quan trọng ma trận vuông là của nó bản ngã(ký hiệu là det ( Một)). Định nghĩa của định thức trong trường hợp chung khá phức tạp, vì vậy chúng tôi sẽ bắt đầu với tùy chọn đơn giản nhất - ma trận Một kích thước (2 × 2). sau đó

Đối với ma trận (3 × 3), định thức sẽ bằng

Trong trường hợp của một ma trận ( N× N) định thức được tính bằng tổng 1 2 3 ... N= N! các điều khoản, mỗi điều khoản trong số đó bằng

Chỉ số k 1 , k 2 ,..., k Nđược định nghĩa là tất cả các hoán vị có thứ tự có thể r số trong tập hợp (1, 2, ..., N). Việc tính toán định thức ma trận là một thủ tục phức tạp, trong thực tế được thực hiện bằng cách sử dụng các chương trình đặc biệt. Ví dụ,

Cơm. 12 Định thức ma trận

Chúng tôi chỉ lưu ý các thuộc tính rõ ràng:

det ( Tôi) = 1, det ( Một) = det ( Một t),

det ( AB) = det ( Một) det ( B).

1.6. Vectơ

Nếu ma trận chỉ có một cột ( J= 1), thì một đối tượng như vậy được gọi là vectơ. Chính xác hơn là một vector cột. Ví dụ

Ví dụ, ma trận bao gồm một hàng cũng có thể được coi là

Đối tượng này cũng là một vectơ, nhưng hàng vector. Khi phân tích dữ liệu, điều quan trọng là phải hiểu chúng ta đang xử lý vectơ nào - cột hoặc hàng. Vì vậy phổ được lấy cho một mẫu có thể được coi là một vectơ hàng. Sau đó, tập hợp các cường độ phổ ở một số bước sóng cho tất cả các mẫu phải được coi là một vectơ cột.

Số chiều của một vectơ là số phần tử của nó.

Rõ ràng là bất kỳ vectơ cột nào cũng có thể được chuyển đổi thành một vectơ hàng bằng cách chuyển vị, tức là

Trong những trường hợp mà dạng của một vectơ không được xác định cụ thể, mà chỉ đơn giản là một vectơ được nói đến, thì chúng có nghĩa là một vectơ cột. Chúng tôi cũng sẽ tuân thủ quy tắc này. Một vectơ được biểu thị bằng một chữ cái in đậm trực tiếp viết thường. Một vectơ không là một vectơ có tất cả các phần tử của chúng bằng không. Nó được ký hiệu 0 .

1.7. Các phép toán đơn giản nhất với vectơ

Vectơ có thể được thêm và nhân với số theo cách giống như ma trận. Ví dụ,

Cơm. 13 Phép toán với vectơ

Hai vectơ x và y triệu tập thẳng hàng, nếu có một số α sao cho

1.8. Sản phẩm của vectơ

Hai vectơ cùng chiều N có thể được nhân lên. Cho có hai vectơ x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t và y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t. Được hướng dẫn bởi quy tắc nhân "hàng theo cột", chúng ta có thể tạo ra hai sản phẩm từ chúng: x t y và xy t. Công việc đầu tiên

triệu tập vô hướng hoặc nội bộ. Kết quả của nó là một con số. Nó cũng sử dụng ký hiệu ( x,y)= x t y. Ví dụ,

Cơm. 14 Sản phẩm bên trong (vô hướng)

Công việc thứ hai

triệu tập bên ngoài. Kết quả của nó là một ma trận thứ nguyên ( N× N). Ví dụ,

Cơm. 15 Sản phẩm bên ngoài

Vectơ, sản phẩm vô hướng cái nào bằng 0 được gọi là trực giao.

1.9. Định mức vectơ

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó được gọi là bình phương vô hướng. Giá trị này

xác định một hình vuông chiều dài vectơ x. Để biểu thị độ dài (còn được gọi là tiêu chuẩn vector) ký hiệu được sử dụng

Ví dụ,

Cơm. 16 Vector định mức

Vectơ độ dài đơn vị (|| x|| = 1) được gọi là chuẩn hóa. Vectơ nonzero ( x ≠ 0 ) có thể được chuẩn hóa bằng cách chia nó cho độ dài, tức là x = ||x|| (x /||x||) = ||x|| e. Đây e = x /||x|| là một vectơ chuẩn hóa.

Các vectơ được gọi là trực chuẩn nếu tất cả chúng đều được chuẩn hóa và trực giao theo cặp.

1.10. Góc giữa các vectơ

Tích vô hướng xác định và mũi tiêmφ giữa hai vectơ x và y

Nếu các vectơ là trực giao thì cosφ = 0 và φ = π / 2, và nếu chúng thẳng hàng thì cosφ = 1 và φ = 0.

1.11. Biểu diễn vectơ của ma trận

Mỗi ma trận Một kích thước Tôi× J có thể được biểu diễn dưới dạng một tập các vectơ

Đây mỗi vectơ một j là một j-vectơ cột và hàng thứ b tôi là một tôi- hàng thứ của ma trận Một

1.12. Vectơ phụ thuộc tuyến tính

Các vectơ có cùng thứ nguyên ( N) có thể được thêm và nhân với một số, giống như ma trận. Kết quả là một vectơ có cùng thứ nguyên. Cho có một số vectơ có cùng thứ nguyên x 1 , x 2 ,...,x K và cùng số lượng các số α α 1, α 2, ..., α K. Véc tơ

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α K x K

triệu tập kết hợp tuyến tính vectơ x k .

Nếu có các số khác không α k ≠ 0, k = 1,..., K, Cái gì y = 0 , thì một tập hợp các vectơ như vậy x k triệu tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu không, các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính. Ví dụ, vectơ x 1 = (2, 2) t và x 2 = (−1, −1) t phụ thuộc tuyến tính, vì x 1 +2x 2 = 0

1.13. Xếp hạng ma trận

Hãy xem xét một tập hợp của K vectơ x 1 , x 2 ,...,x K kích thước N. Hạng của hệ vectơ này là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa. Ví dụ trong bộ

chỉ có hai vectơ độc lập tuyến tính, chẳng hạn x 1 và x 2, vì vậy thứ hạng của nó là 2.

Rõ ràng, nếu có nhiều vectơ trong tập hợp hơn số chiều của chúng ( K>N), thì chúng nhất thiết phải phụ thuộc tuyến tính.

Xếp hạng ma trận(biểu thị bằng thứ hạng ( Một)) là hạng của hệ thống các vectơ mà nó bao gồm. Mặc dù bất kỳ ma trận nào cũng có thể được biểu diễn theo hai cách (vectơ cột hoặc vectơ hàng), điều này không ảnh hưởng đến giá trị xếp hạng, vì

1,14. ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông Mộtđược gọi là không thoái hóa nếu nó có một đảo ngược ma trận Một-1, được xác định bởi các điều kiện

AA −1 = Một −1 Một = Tôi.

Ma trận nghịch đảo không tồn tại cho tất cả các ma trận. Điều kiện cần và đủ để không đồng nhất là

det ( Một) ≠ 0 hoặc xếp hạng ( Một) = N.

Đảo ngược ma trận là một thủ tục phức tạp trong đó có các chương trình đặc biệt. Ví dụ,

Cơm. 17 Đảo ngược ma trận

Chúng tôi đưa ra công thức cho trường hợp đơn giản nhất - ma trận 2 × 2

Nếu ma trận Một và B không thoái hóa, sau đó

(AB) −1 = B −1 Một −1 .

1,15. Ma trận giả nghịch đảo

Nếu ma trận Một là suy biến và ma trận nghịch đảo không tồn tại, thì trong một số trường hợp, người ta có thể sử dụng giả nghịch đảo ma trận, được định nghĩa là một ma trận như vậy Một+ cái đó

AA + Một = Một.

Ma trận giả nghịch đảo không phải là duy nhất và dạng của nó phụ thuộc vào phương pháp xây dựng. Ví dụ cho ma trận hình chữ nhật phương pháp Moore-Penrose có thể được sử dụng.

Nếu số lượng cột ít hơn số dòng, sau đó

Một + =(Một t Một) −1 Một t

Ví dụ,

Cơm. 17a Đảo ngược ma trận giả

Nếu số lượng cột số lượng nhiều hơn dòng, sau đó

Một + =Một t ( AA t) −1

1.16. Nhân một vectơ với một ma trận

Véc tơ x có thể được nhân với một ma trận Một kích thước phù hợp. Trong trường hợp này, vectơ cột được nhân ở bên phải Cây rìu và chuỗi vectơ ở bên trái x t Một. Nếu số chiều của vectơ J và kích thước của ma trận Tôi× J thì kết quả là một vectơ có chiều Tôi. Ví dụ,

Cơm. 18 Phép nhân ma trận vectơ

Nếu ma trận Một- vuông ( Tôi× Tôi), sau đó là vectơ y = Cây rìu có cùng kích thước với x. Hiển nhiên là

Một(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Cây rìu 1 + α 2 Cây rìu 2 .

Do đó có thể coi ma trận là phép biến đổi tuyến tính của vectơ. Đặc biệt x = x, Con bò = 0 .

2. Thông tin bổ sung

2.1. Hệ phương trình tuyến tính

Để cho được Một- kích thước ma trận Tôi× J, một b- vectơ thứ nguyên J. Xem xét phương trình

Cây rìu = b

đối với vectơ x, kích thước Tôi. Về cơ bản, đây là một hệ thống Tôi phương trình tuyến tính với J không xác định x 1 ,...,x J. Một giải pháp tồn tại nếu và chỉ khi

cấp( Một) = xếp hạng ( B) = R,

ở đâu B là ma trận kích thước tăng cường Tôi×( J + 1) bao gồm ma trận Một, được đệm bằng một cột b, B = (Một b). Nếu không, các phương trình không nhất quán.

Nếu một R = Tôi = J, thì giải pháp là duy nhất

x = Một −1 b.

Nếu một R < Tôi, sau đó có rất nhiều các giải pháp khác nhau, có thể được biểu thị dưới dạng kết hợp tuyến tính J−R vectơ. Hệ thống phương trình thuần nhất Cây rìu = 0 với một ma trận vuông Một (N× N) không có giải pháp tầm thường (x ≠ 0 ) nếu và chỉ nếu det ( Một) = 0. Nếu R= xếp hạng ( Một)<N, sau đó có N−R các giải pháp độc lập tuyến tính.

2.2. Dạng song tuyến và bậc hai

Nếu một Một- Cái này Ma trận vuông, một x và y- vectơ có thứ nguyên tương ứng, sau đó là tích vô hướng của dạng x t Ay triệu tập song tuyến tính hình dạng được xác định bởi ma trận Một. Tại x = y biểu hiện x t Cây rìu triệu tập bậc hai biểu mẫu.

2.3. Ma trận xác định dương

Ma trận vuông Một triệu tập tích cực nhất định, nếu đối với bất kỳ vectơ khác không x ≠ 0 ,

x t Cây rìu > 0.

Các từ chối (x t Cây rìu < 0), không tiêu cực (x t Cây rìu≥ 0) và không tích cực (x t Cây rìu≤ 0) ma trận nhất định.

2.4. Phân hủy Cholesky

Nếu ma trận đối xứng Một là xác định dương, thì có một ma trận tam giác duy nhất U với các yếu tố tích cực, mà

Một = U t U.

Ví dụ,

Cơm. 19 Sự phân hủy Cholesky

2.5. phân hủy cực

Để cho được Một là một ma trận vuông không sinh có kích thước N× N. Sau đó, có một cực màn biểu diễn

Một = SR,

ở đâu S là một ma trận đối xứng không âm, và R là một ma trận trực giao. ma trận S và R có thể được định nghĩa một cách rõ ràng:

S 2 = AA t hoặc S = (AA t) ½ và R = S −1 Một = (AA t) −½ Một.

Ví dụ,

Cơm. 20 Phân hủy cực

Nếu ma trận Một là thoái hóa, thì sự phân hủy không phải là duy nhất - cụ thể là: S vẫn một mình, nhưng R có thể có nhiều. Phân rã cực đại diện cho một ma trận Một như một sự kết hợp nén / kéo dài S và quay R.

2.6. Eigenvectors và eigenvalues

Để cho được Một là một ma trận vuông. Véc tơ v triệu tập vector riêng ma trận Một, nếu

Av = λ v,

nơi số λ được gọi là giá trị riêng ma trận Một. Do đó, phép biến đổi mà ma trận thực hiện Một trên vector v, được giảm xuống mức kéo giãn hoặc nén đơn giản với hệ số λ. Hiệu số riêng được xác định theo phép nhân với hằng số α ≠ 0, tức là nếu v là một eigenvector, sau đó là α v cũng là một eigenvector.

2.7. Eigenvalues

Tại ma trận Một, kích thước ( N× N) không thể lớn hơn N giá trị riêng. Họ thỏa mãn phương trình đặc trưng

det ( Một − λ Tôi) = 0,

hiện tại phương trình đại số N-thứ. Đặc biệt, đối với ma trận 2 × 2, phương trình đặc trưng có dạng

Ví dụ,

Cơm. 21 Eigenvalues

Tập hợp các giá trị riêng λ 1, ..., λ N ma trận Một triệu tập quang phổ Một.

Quang phổ có nhiều tính chất khác nhau. Đặc biệt

det ( Một) = λ 1 × ... × λ N, Sp ( Một) = λ 1 + ... + λ N.

Các giá trị riêng của một ma trận tùy ý có thể là số phức, nhưng nếu ma trận là đối xứng ( Một t = Một), thì các giá trị riêng của nó là thực.

2.8. Eigenvectors

Tại ma trận Một, kích thước ( N× N) không thể lớn hơn N eigenvectors, mỗi trong số đó tương ứng với giá trị riêng của nó. Để xác định eigenvector v N bạn cần giải một hệ phương trình thuần nhất

(Một − λ N Tôi)v N = 0 .

Nó có một giải pháp không tầm thường vì det ( MỘT-λ N Tôi) = 0.

Ví dụ,

Cơm. 22 Eigenvectors

Các ký tự riêng của ma trận đối xứng là trực giao.

Eigenvalues (số) và eigenvectors.
Ví dụ giải pháp

Là chính mình

Từ cả hai phương trình, nó theo sau đó.

Hãy đặt sau đó: .

Kết quả là: là eigenvector thứ hai.

Hãy lặp lại điểm quan trọng các giải pháp:

- hệ thống kết quả chắc chắn có quyết định chung(các phương trình phụ thuộc tuyến tính);

- "Y" được chọn sao cho nó là số nguyên và tọa độ "x" đầu tiên là số nguyên, dương và càng nhỏ càng tốt.

- chúng tôi kiểm tra rằng nghiệm cụ thể thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Trả lời .

Các "trạm kiểm soát" trung gian đã khá đủ, vì vậy về nguyên tắc, việc kiểm tra các điểm bằng nhau là không cần thiết.

Trong các nguồn thông tin khác nhau, tọa độ của các eigenvector thường không được viết theo cột mà ở các hàng, ví dụ: (và thành thật mà nói, bản thân tôi đã từng viết chúng thành dòng). Tùy chọn này có thể chấp nhận được, nhưng theo chủ đề biến đổi tuyến tính về mặt kỹ thuật thuận tiện hơn để sử dụng vectơ cột.

Có lẽ giải pháp có vẻ rất dài đối với bạn, nhưng đó chỉ là vì tôi đã nhận xét rất chi tiết về ví dụ đầu tiên.

Ví dụ 2

ma trận

Chúng tôi tự đào tạo! Mẫu gần đúng của thiết kế cuối cùng của nhiệm vụ ở cuối bài học.

Đôi khi bạn cần phải làm nhiệm vụ bổ sung, cụ thể là:

viết phân rã chính tắc của ma trận

Nó là gì?

Nếu các eigenvectors ma trận hình thành nền tảng, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng:

Đâu là một ma trận bao gồm các tọa độ của các eigenvector, - đường chéo ma trận với các giá trị riêng tương ứng.

Sự phân rã ma trận này được gọi là kinh điển hoặc đường chéo.

Hãy xem xét ma trận của ví dụ đầu tiên. Vectơ của riêng cô ấy độc lập tuyến tính(không thẳng hàng) và tạo thành cơ sở. Hãy tạo một ma trận từ tọa độ của chúng:

Trên đường chéo chính ma trận theo thứ tự eigenvalues được định vị và các phần tử còn lại bằng 0:
- một lần nữa tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của thứ tự: "hai" tương ứng với vectơ thứ nhất và do đó nằm ở cột thứ nhất, "ba" - đối với vectơ thứ hai.

Theo thuật toán thông thường để tìm ma trận nghịch đảo hoặc Phương pháp Gauss-Jordan tìm thấy . Không, đó không phải là lỗi đánh máy! - trước mặt bạn là hiếm, như Nhật thực sự kiện khi nghịch đảo khớp với ma trận ban đầu.

Nó vẫn còn để viết phân rã chính tắc của ma trận:

Hệ thống có thể được giải quyết với biến đổi cơ bản và trong các ví dụ sau, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp này. Nhưng ở đây phương pháp “trường học” hoạt động nhanh hơn nhiều. Từ phương trình thứ 3, ta biểu thị: - thay vào phương trình thứ hai:

Vì tọa độ đầu tiên bằng 0, nên chúng ta thu được một hệ, từ mỗi phương trình mà nó theo sau đó.

Và một lần nữa chú ý đến sự hiện diện bắt buộc của một mối quan hệ tuyến tính. Nếu chỉ thu được một dung dịch tầm thường , thì giá trị eigenvalue được tìm thấy không chính xác hoặc hệ thống đã được biên dịch / giải quyết với lỗi.

Tọa độ nhỏ gọn mang lại giá trị

Eigenvector:

Và một lần nữa, chúng tôi kiểm tra xem giải pháp tìm thấy thỏa mãn mọi phương trình của hệ. Trong các đoạn sau và trong các nhiệm vụ tiếp theo, tôi khuyên bạn nên chấp nhận điều ước này như một quy tắc bắt buộc.

2) Đối với giá trị riêng, tuân theo nguyên tắc tương tự, chúng tôi thu được hệ thống tiếp theo:

Từ phương trình thứ hai của hệ ta biểu diễn: - thay vào phương trình thứ ba:

Vì tọa độ "zeta" bằng 0, chúng tôi thu được một hệ thống, từ mỗi phương trình mà nó tuân theo phụ thuộc tuyến tính.

Để cho được

Chúng tôi kiểm tra rằng giải pháp thỏa mãn mọi phương trình của hệ.

Do đó, eigenvector:.

3) Và cuối cùng, hệ thống tương ứng với giá trị của chính nó:

Phương trình thứ hai có vẻ đơn giản nhất, vì vậy chúng tôi biểu diễn nó từ nó và thay thế nó thành phương trình thứ nhất và thứ 3:

Mọi thứ đều ổn - một sự phụ thuộc tuyến tính đã được tiết lộ, mà chúng tôi thay thế vào biểu thức:

Kết quả là, "X" và "Y" được thể hiện thông qua "Z":. Trong thực tế, không nhất thiết phải đạt được chỉ những mối quan hệ như vậy; trong một số trường hợp, việc thể hiện cả thông qua hoặc thông qua sẽ thuận tiện hơn. Hoặc thậm chí là một “đoàn tàu” - ví dụ: “X” đến “Y” và “Y” đến “Z”

Hãy đặt sau đó:

Chúng tôi kiểm tra rằng giải pháp được tìm thấy thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống và viết mã số thứ ba

Trả lời: eigenvectors:

Về mặt hình học, các vectơ này xác định ba hướng không gian khác nhau ("Ở đó và quay lại một lần nữa"), theo đó Chuyển đổi tuyến tính biến đổi vectơ khác không (eigenvector) thành vectơ thẳng hàng với chúng.

Nếu theo điều kiện, nó được yêu cầu để tìm một mở rộng chính tắc, thì điều này có thể xảy ra ở đây, bởi vì các giá trị riêng khác nhau tương ứng với các giá trị riêng độc lập tuyến tính khác nhau. Chúng tôi tạo một ma trận từ tọa độ của chúng, ma trận đường chéo từ liên quan, thích hợp eigenvalues và tìm kiếm ma trận nghịch đảo .

Nếu theo điều kiện thì cần viết ma trận Chuyển đổi tuyến tính trong cơ sở của eigenvectors, sau đó chúng tôi đưa ra câu trả lời trong biểu mẫu. Có một sự khác biệt, và một sự khác biệt đáng kể!Đối với ma trận này là ma trận "de".

Thử thách với nhiều hơn nữa tính toán đơn giản vì quyết định độc lập:

Ví dụ 5

Tìm các ký hiệu riêng của phép biến đổi tuyến tính được cho bởi ma trận

Khi tìm các số của riêng bạn, cố gắng không đưa trường hợp này thành đa thức bậc 3. Ngoài ra, các giải pháp hệ thống của bạn có thể khác với các giải pháp của tôi - không có sự rõ ràng nào ở đây; và các vectơ bạn tìm thấy có thể khác với các vectơ mẫu tỷ lệ với các tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ, và. Sẽ thẩm mỹ hơn khi trình bày câu trả lời dưới dạng, nhưng không sao cả nếu bạn dừng lại ở lựa chọn thứ hai. Tuy nhiên, mọi thứ đều có giới hạn hợp lý, phiên bản trông không tốt cho lắm.

Mẫu cuối cùng gần đúng của bài tập ở cuối bài học.

Làm thế nào để giải quyết vấn đề trong trường hợp có nhiều giá trị riêng?

Thuật toán chung vẫn giữ nguyên, nhưng nó có những đặc thù riêng, và nên giữ một số phần của giải pháp theo phong cách học thuật chặt chẽ hơn:

Ví dụ 6

Tìm eigenvalues và eigenvectors

Quyết định

Tất nhiên, hãy viết hoa cột đầu tiên tuyệt vời:

Và sau khi phân hủy tam thức vuông cho số nhân:

Kết quả là thu được các giá trị riêng, hai trong số đó là bội số.

Chúng ta hãy tìm của riêng chúng ta vectơ:

1) Chúng tôi sẽ đối phó với một người lính đơn độc theo một sơ đồ "đơn giản hóa":

Từ hai phương trình cuối cùng, có thể thấy rõ đẳng thức, hiển nhiên, nên thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

Không có sự kết hợp nào tốt hơn:
Eigenvector:

2-3) Bây giờ chúng tôi loại bỏ một vài lính gác. Trong trường hợp này, nó có thể hai hoặc một eigenvector. Bất kể đa dạng của các gốc, chúng tôi thay thế giá trị trong định thức , mang lại cho chúng tôi những điều sau đây hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Eigenvectors chính xác là các vectơ
hệ thống quyết định cơ bản

Thực ra, trong suốt bài học, chúng tôi chỉ tham gia vào việc tìm kiếm các vectơ của hệ cơ bản. Chỉ trong lúc này thuật ngữ này không đặc biệt bắt buộc. Nhân tiện, những sinh viên khéo léo, những người ngụy trang phương trình thuần nhất, sẽ bị buộc phải hút nó ngay bây giờ.

Hành động duy nhất là loại bỏ các dòng thừa. Kết quả là một ma trận "một x ba" với một "bước" chính thức ở giữa.
- biến cơ bản, - biến tự do. Có hai biến tự do, vì vậy cũng có hai vectơ của hệ thống cơ bản.

Hãy biểu diễn biến cơ bản dưới dạng các biến tự do:. Hệ số 0 ở phía trước của "x" cho phép nó nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị nào (cũng có thể nhìn thấy rõ ràng trong hệ phương trình).

Trong bối cảnh của vấn đề này, sẽ thuận tiện hơn nếu viết giải pháp chung không phải trong một hàng, mà trong một cột:

Cặp này tương ứng với một eigenvector:
Cặp này tương ứng với một eigenvector:

Ghi chú : những người đọc sành sỏi có thể nhận các vectơ này bằng miệng - chỉ bằng cách phân tích hệ thống , nhưng cần có một số kiến thức ở đây: có ba biến, thứ hạng ma trận hệ thống- đơn vị có nghĩa là hệ thống quyết định cơ bản gồm 3 - 1 = 2 vectơ. Tuy nhiên, các vectơ được tìm thấy hoàn toàn có thể nhìn thấy ngay cả khi không có kiến thức này, hoàn toàn ở mức độ trực quan. Trong trường hợp này, vectơ thứ ba sẽ được viết “đẹp hơn”:. Tuy nhiên, một lời cảnh báo, trong một ví dụ khác lựa chọn đơn giản có thể không, đó là lý do tại sao việc đặt chỗ dành cho những người có kinh nghiệm. Bên cạnh đó, tại sao không lấy vectơ thứ ba, chẳng hạn,? Rốt cuộc, tọa độ của nó cũng thỏa mãn mỗi phương trình của hệ, và các vectơ độc lập tuyến tính. Lựa chọn này, về nguyên tắc, là phù hợp, nhưng "quanh co", vì vectơ "khác" là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ cơ bản.

Trả lời: eigenvalues:, eigenvectors:

Một ví dụ tương tự cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 7

Tìm eigenvalues và eigenvectors

Một mẫu gần đúng về hoàn thiện ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng trong cả ví dụ thứ 6 và thứ 7, bộ ba ký tự riêng độc lập tuyến tính thu được, và do đó, ma trận ban đầu có thể được biểu diễn trong phân hủy kinh điển. Nhưng những quả mâm xôi như vậy không xảy ra trong mọi trường hợp:

Ví dụ 8