Hãy dự đoán một điểm NHƯNG trực giao trên cả hai mặt phẳng chiếu:

AA 1 _ | _ P 1; AA 1 ^ P 1 = A 1;

AA 2 _ | _ P 2; AA 2 ^ P 2 \ u003d A 2;

Chiếu tia AA 1 và AA 2 vuông góc với nhau và tạo ra một mặt phẳng chiếu trong không gian AA 1 AA 2, vuông góc với cả hai mặt của hình chiếu. Mặt phẳng này cắt các mặt phẳng chiếu dọc theo các đường thẳng đi qua các hình chiếu của điểm NHƯNG.

Để có bản vẽ phẳng, ta ghép mặt phẳng chiếu ngang P 1 với mặt phẳng trực diện P 2 quay quanh trục P 2 / P 1 (Hình 61, a). Khi đó cả hai hình chiếu của điểm sẽ nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục P 2 / P 1. Thẳng A 1 A 2, kết nối chiều ngang A 1 và trán A 2 phép chiếu điểm được gọi là đường liên lạc theo chiều dọc.

Bản vẽ phẳng kết quả được gọi là bản vẽ phức tạp. Nó là hình ảnh của một vật thể trên một số mặt phẳng kết hợp. Một bản vẽ phức hợp bao gồm hai hình chiếu trực giao nối với nhau được gọi là một hai hình chiếu. Trong hình vẽ này, hình chiếu ngang và hình chiếu trực diện của điểm luôn nằm trên cùng một đường nối thẳng đứng.

Hai hình chiếu trực giao liên kết với nhau của một điểm xác định duy nhất vị trí của nó so với mặt phẳng hình chiếu. Nếu chúng ta xác định được vị trí của điểm một so với các mặt phẳng này (Hình 61, b) chiều cao của nó h (AA 1 = h) và độ sâu f (AA 2 = f ), sau đó các giá trị trong đa rút tồn tại dưới dạng các phân đoạn của đường kết nối dọc. Trường hợp này giúp dễ dàng dựng lại bản vẽ, tức là xác định vị trí của điểm so với các mặt phẳng hình chiếu từ bản vẽ. Để làm được điều này, tại điểm A 2 của bản vẽ chỉ cần khôi phục lại sự vuông góc với mặt phẳng của hình vẽ (coi nó là chính diện) với chiều dài bằng chiều sâu là đủ. f. Điểm cuối của vuông góc này sẽ xác định vị trí của điểm NHƯNG so với mặt phẳng của hình vẽ.

60.gif

Hình ảnh:

61.gif

Hình ảnh:

7. Câu hỏi tự kiểm tra

CÂU HỎI TỰ KIỂM TRA

4. Tên của khoảng cách xác định vị trí của một điểm so với mặt phẳng hình chiếu là gì? P 1, P 2?

7. Cách dựng hình chiếu bổ sung của một điểm trên mặt phẳng P 4 _ | _ P 2 , P 4 _ | _ P 1, P 5 _ | _ P 4?

9. Làm thế nào tôi có thể xây dựng một bản vẽ phức tạp của một điểm theo tọa độ của nó?

33. Các yếu tố của một bản vẽ phức ba hình chiếu của một điểm

§ 33. Các yếu tố của một bản vẽ phức ba hình chiếu của một điểm

Để xác định vị trí của một vật thể hình học trong không gian và thu được thông tin bổ sung về hình ảnh của chúng, có thể cần phải xây dựng phép chiếu thứ ba. Khi đó mặt phẳng hình chiếu thứ ba đặt bên phải người quan sát vuông góc với mặt phẳng hình chiếu ngang đồng thời P 1 và mặt phẳng chính diện của hình chiếu P 2 (Hình 62, a). Theo kết quả của giao điểm của P 2 phía trước và hồ sơ P 3 mặt phẳng chiếu ta nhận được trục mới P 2 / P 3 , nằm trên bản vẽ phức hợp song song với đường liên lạc dọc A 1 A 2(Hình 62, b). Phép chiếu điểm thứ ba NHƯNG- hồ sơ - hóa ra được kết nối với hình chiếu chính diện A 2 một dòng giao tiếp mới, được gọi là ngang

Cơm. 62

Nô-ê. Hình chiếu trực diện và hình chiếu qua của một điểm luôn nằm trên cùng một đường truyền thông nằm ngang. Và A 1 A 2 _ | _ A 2 A 1 và A 2 A 3, _ | _ P 2 / P 3.

Vị trí của một điểm trong không gian trong trường hợp này được đặc trưng bởi vĩ độ- khoảng cách từ nó đến mặt phẳng biên của hình chiếu P 3, mà chúng tôi ký hiệu bằng chữ cái R.

Bản vẽ phức tạp kết quả của một điểm được gọi là ba chiếu.

Trong bản vẽ ba hình chiếu, độ sâu điểm AA 2được chiếu không bị biến dạng trên mặt phẳng P 1 và P 2 (Hình 62, một). Trường hợp này cho phép chúng ta xây dựng hình chiếu thứ ba - trực diện của điểm NHƯNG dọc theo chiều ngang của nó A 1 và trán A 2 phép chiếu (Hình 62, trong).Để làm điều này, thông qua hình chiếu trực diện của điểm, bạn cần vẽ một đường giao tiếp theo chiều ngang A 2 A 3 _ | _A 2 A 1. Sau đó, ở bất kỳ vị trí nào trên bản vẽ, hãy vẽ trục hình chiếu П 2 / П 3 _ | _ A 2 A 3,đo độ sâu f của một điểm trên phương ngang trường hình chiếu và đặt nó dọc theo đường ngang giao tiếp từ trục của hình chiếu P 2 / P 3. Nhận bản chiếu tiểu sử A 3điểm NHƯNG.

Như vậy, trong một bản vẽ phức hợp bao gồm ba hình chiếu trực giao của một điểm, hai hình chiếu nằm trên cùng một đường giao tuyến; các đường giao tiếp vuông góc với các trục hình chiếu tương ứng; hai hình chiếu của một điểm hoàn toàn xác định vị trí của hình chiếu thứ ba của nó.

Cần lưu ý rằng trong các bản vẽ phức tạp, theo quy luật, các mặt phẳng hình chiếu không bị giới hạn và vị trí của chúng được thiết lập bởi các trục (Hình 62, c). Trong trường hợp các điều kiện của bài toán không yêu cầu điều này

Nó chỉ ra rằng hình chiếu của các điểm có thể được đưa ra mà không cần mô tả các trục (Hình 63, a, b). Một hệ thống như vậy được gọi là vô căn cứ. Các đường liên lạc cũng có thể được vẽ bằng một khoảng trống (Hình 63, b).

62.gif

Hình ảnh:

63.gif

Hình ảnh:

34. Vị trí của một điểm trong không gian của một góc ba chiều

§ 34. Vị trí của một điểm trong không gian của một góc ba chiều

Vị trí của các hình chiếu của điểm trong bản vẽ phức phụ thuộc vào vị trí của điểm trong không gian của một góc ba chiều. Hãy xem xét một số trường hợp:

• điểm nằm trong không gian (xem Hình 62). Trong trường hợp này, nó có chiều sâu, chiều cao và chiều rộng;
• điểm nằm trên mặt phẳng chiếu P 1- nó không có chiều cao, P 2 - không có chiều sâu, Pz - không có chiều rộng;
• điểm nằm trên trục của hình chiếu, P 2 / P 1 không có độ sâu và độ cao, P 2 / P 3 - không có độ sâu và vĩ độ và P 1 / P 3 không có độ cao và vĩ độ.

35. Điểm cạnh tranh

§ 35. Điểm cạnh tranh

Hai điểm trong không gian có thể được định vị theo những cách khác nhau. Trong một trường hợp cụ thể, chúng có thể được định vị sao cho các hình chiếu của chúng trên một mặt phẳng hình chiếu nào đó trùng với nhau. Những điểm như vậy được gọi là cạnh tranh. Trên hình. 64, một một bản vẽ phức tạp của các điểm được đưa ra NHƯNG và TẠI. Chúng được đặt sao cho các hình chiếu của chúng trùng với mặt phẳng P 1 [A 1 \ u003d = B 1]. Những điểm như vậy được gọi là cạnh tranh theo chiều ngang. Nếu hình chiếu của các điểm A và B trùng hợp trên máy bay

P 2(Hình 64, b) họ đã gọi cạnh tranh trực diện. Và nếu các phép chiếu của các điểm NHƯNG và TẠI trùng nhau trên mặt phẳng P 3 [A 3 \ u003d = B 3] (Hình 64, c), chúng được gọi là hồ sơ cạnh tranh.

Các điểm cạnh tranh quyết định khả năng hiển thị trong bản vẽ. Các điểm cạnh tranh theo chiều ngang sẽ thấy điểm có chiều cao lớn hơn, điểm cạnh tranh trực diện - điểm có chiều sâu hơn và điểm cạnh tranh có cấu hình - điểm có vĩ độ hơn.

64.gif

Hình ảnh:

36. Thay thế các mặt phẳng chiếu

§ 36. Thay thế các mặt phẳng chiếu

Các thuộc tính của bản vẽ ba hình chiếu của một điểm giúp ta có thể xây dựng hình chiếu thứ ba lên các mặt phẳng hình chiếu khác, được giới thiệu thay vì các hình chiếu đã cho, bằng cách sử dụng các hình chiếu ngang và hình chiếu chính diện của nó.

Trên hình. 65 một hiển thị dấu chấm NHƯNG và các phép chiếu của nó - theo chiều ngang A 1 và trán A 2. Theo điều kiện của bài toán, cần thay các mặt phẳng П 2. Hãy chỉ định mặt phẳng chiếu mới P 4 và đặt nó vuông góc P 1. Tại giao điểm của các mặt phẳng P 1 và P 4 chúng ta nhận được một trục mới P 1 / P 4 . Phép chiếu điểm mới A 4 sẽ nằm trên đường dây liên lạc đi qua một điểm A 1 và vuông góc với trục P 1 / P 4 .

Kể từ khi máy bay mới P 4 thay thế mặt phẳng chiếu trực diện P 2, chiều cao điểm NHƯNGđược mô tả bằng nhau với kích thước đầy đủ và trên mặt phẳng P 2 và trên mặt phẳng P 4.

Trường hợp này cho phép chúng tôi xác định vị trí của hình chiếu A 4, trong hệ thống các mặt phẳng P 1 _|_ P 4(Hình 65, b) trên bản vẽ phức tạp. Để làm điều này, chỉ cần đo chiều cao của điểm trên mặt phẳng được thay thế là đủ

phép chiếu sti P 2, đặt nó trên một đường liên lạc mới từ trục phép chiếu mới - và một phép chiếu mới của điểm A 4 sẽ được xây dựng.

Nếu một mặt phẳng chiếu mới được giới thiệu thay vì mặt phẳng chiếu ngang, tức là P 4 _ | _ P 2 (Hình 66, một), thì trong hệ thống mặt phẳng mới, hình chiếu mới của điểm sẽ nằm trên cùng một đường giao tiếp với hình chiếu chính diện, và A 2 A 4 _ | _. Trong trường hợp này, độ sâu của điểm giống nhau trên mặt phẳng P 1, và trên máy bay P 4. Trên cơ sở này, họ xây dựng A 4(Hình 66, b) trên đường truyền thông A 2 A 4 tại một khoảng cách như vậy từ trục mới P 1 / P 4 bằng bao nhiêu A 1 nằm cách trục P 2 / P 1.

Như đã nói, việc xây dựng các dự báo bổ sung mới luôn gắn với các nhiệm vụ cụ thể. Trong tương lai, một số bài toán về hệ mét và vị trí được giải bằng phương pháp thay thế các mặt phẳng chiếu sẽ được xem xét. Trong các nhiệm vụ mà việc đưa một mặt phẳng bổ sung vào sẽ không cho kết quả mong muốn, một mặt phẳng bổ sung khác được đưa vào, ký hiệu là P 5. Nó được đặt vuông góc với mặt phẳng đã giới thiệu P 4 (Hình 67, a), tức là P 5 P 4 và tạo ra một cấu trúc tương tự như những cấu trúc được xem xét trước đó. Giờ đây, khoảng cách được đo trên giây được thay thế của các mặt phẳng chiếu chính (trong Hình 67, b trên bề mặt P 1) và gửi họ vào một đường dây liên lạc mới A 4 A 5, từ trục hình chiếu mới P 5 / P 4. Trong hệ thống các mặt phẳng P 4 P 5 mới, một bản vẽ hai hình chiếu mới thu được, bao gồm các hình chiếu trực giao A 4 và A 5 , được kết nối bởi một đường dây liên lạc

Khi dựng một điểm theo các tọa độ cho trước, cần phải nhớ rằng, theo đúng quy tắc vẽ, tỷ lệ dọc theo trục Ồ giảm trong 2 lần so với tỷ lệ dọc theo các trục Đơn vị tổ chức và Oz.

1. điểm xây dựng: A (2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3

một) thông thường, trước hết, họ xây dựng hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng Ohu. Đánh dấu điểm x A = 2 và y A = 1 và vẽ các đường thẳng qua chúng song song với các trục Ồ và Đơn vị tổ chức. Giao điểm của chúng có tọa độ là (2;1; 0) điểm được xây dựng A 1 (2; 1; 0)

A (2; 1; 3)

0 y A = 1

x A = 2 tại

A 1 (2; 1; 0) 0 y A = 1tại

X x A \ u003d 2 A 1 (2; 1; 0)

X

b) xa hơn từ điểm A 1 (2; 1; 0) khôi phục vuông góc với mặt phẳng Ohu (vẽ một đường thẳng song song với trục Oz ) và đặt một đoạn bằng ba trên đó: z A = 3.

2. điểm xây dựng: B (3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1

z

y B = - 2

B (3; -2; 1) O tại

B 1 (3; -2) x B \ u003d 3

X

3. Xây dựng một điểm C (-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)

X A \ u003d -2; Y A = 1; Z A = 3

x C \ u003d - 2 C 1 (-2; 1; 0)

y A = 1 y

4.Dan lập phương. A ... D 1, cạnh của ai 1 . Nguồn gốc giống như điểm TẠI, xương sườn VA, CN và BB 1 trùng với tia dương của các trục tọa độ. Gọi tên tọa độ của tất cả các đỉnh khác của hình lập phương. Tính đường chéo của hình lập phương.

z

AB = BC = BB 1 BD 1 = =

B 1 (0; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) = =

A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)

В (0; 0; 0) С (0; 1; 0)

A (1; 0; 0) D (1; 1; 0)

5. điểm lô A (1; 1; -1) và B (1; -1; 1). Đoạn thẳng có cắt trục tọa độ không? mặt phẳng tọa độ? Đoạn thẳng có đi qua gốc tọa độ không? Tìm tọa độ các giao điểm, nếu có. z Các điểm nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ồ.

Đoạn giao với trục Ồ và máy bay hoy tại điểm

B (1; -1; 1)

0(0;0;0)

С (1; 0; 0)

A (1; 1; -1)

6.Tìm khoảng cách giữa hai điểm: A (1; 2; 3) và B (-1; 1; 1).

một)AB = = = = 3

b)С (3; 4; 0) và D (3; -1; 2).

CD = = =

Trong không gian, để xác định tọa độ của giữa đoạn, một tọa độ thứ ba được đưa vào.

B (x B; y B; z B)

Với( ; ; )

A (x A; y A; z A)

7. tìm tọa độ Với điểm giữa của các phân đoạn: một)AB, nếu A (3; - 2; - 7), B (11; - 8; 5),

x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C (7; - 5; - 1)

8. Tọa độ điểm A (x; y; z). Viết tọa độ của các điểm đối xứng với một điểm đã cho đối với:

một) tọa độ mặt phẳng

b)đường tọa độ

trong) nguồn gốc

một) Nếu điểm A 1 đối xứng với cái đã cho so với mặt phẳng tọa độ ho, sau đó sự khác biệt trong
tọa độ của điểm sẽ chỉ nằm trong dấu của tọa độ z: A 1 (x; y; -z).

dấu chấm A 2 Ồ, sau đó A 2 (x; -y; z).

dấu chấm A 3 đối xứng với cái đã cho so với mặt phẳng Ouz, sau đó A 2 (-x; y; z).

b) Nếu điểm A 4 đối xứng với cái đã cho đối với đường tọa độ Ồ, sau đó sự khác biệt trong
tọa độ của điểm sẽ chỉ trong dấu hiệu tọa độ tại và z: A 4 (x; -y; -z).

dấu chấm A 5 OU, sau đó A 5 (-x; y; -z).

dấu chấm A 6 đối xứng với một đối tượng nhất định đối với một đường thẳng Oz, sau đó A 6 (-x; -y; z).

trong) Nếu điểm A 7 đối xứng với điểm đã cho so với điểm gốc, khi đó Đáp án 6 (-x; -y; -z).

CHUYỂN ĐỔI PHỐI HỢP

Sự chuyển đổi từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác được gọi là phép biến đổi hệ tọa độ.

Chúng tôi sẽ xem xét hai trường hợp chuyển đổi hệ tọa độ, và suy ra công thức về sự phụ thuộc giữa tọa độ của một điểm tùy ý của mặt phẳng trong các hệ tọa độ khác nhau. (Kỹ thuật biến đổi hệ tọa độ tương tự như biến đổi đồ thị).

1.Chuyển giao song song. Trong trường hợp này, vị trí của gốc tọa độ thay đổi, trong khi hướng của các trục và tỷ lệ không thay đổi.

Nếu gốc tọa độ đi đến điểm 0 1 với tọa độ 0 1 (x 0; y 0), sau đó cho điểm M (x; y) mối quan hệ giữa hệ tọa độ x0y và x 0 0y 0 được thể hiện bằng các công thức:

x \ u003d x 0 + x "

y = y 0 + y "

Các công thức kết quả cho phép chúng tôi tìm các tọa độ cũ từ các tọa độ mới đã biết. X " và tại" và ngược lại.

y M (x; y) M (x "; y")

0 1 (x 0; y 0), x "

x 0 x "

2.Sự quay của các trục tọa độ. Trong trường hợp này, cả hai trục được quay cùng một góc, trong khi điểm gốc và tỷ lệ không thay đổi.

M (x; y)

y 1 x 1

Tọa độ điểm M trong hệ thống cũ M (x; y) và M (x "; y") - trong cái mới. Khi đó bán kính cực trong cả hai hệ là như nhau, và các góc ở cực tương ứng bằng nhau + và , ở đâu - góc cực trong hệ tọa độ mới.

Theo công thức chuyển từ tọa độ cực sang hình chữ nhật, chúng ta có:

x = rcos ( + ) x = rcos cos - rsin tội

y = rsin ( + ) y = rcos tội + rsin cos

Nhưng rcos = x " và rsin = y ", Đó là lý do tại sao

x \ u003d x "cos - y "tội lỗi

y \ u003d x "sin + y "cos

Trả lời các câu hỏi sau bằng văn bản:

1. Hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng là gì? trong không gian?
2. Trục ứng dụng là gì? Đặt hàng? Abscissa?
3. Kí hiệu cho vectơ đơn vị trên trục tọa độ là gì?
4. Ort là gì?
5. Độ dài của một đoạn thẳng cho trước tọa độ các đầu của nó được tính như thế nào trong một hệ tọa độ hình chữ nhật?
6. Tọa độ của giữa một đoạn được cho bởi tọa độ của các đầu của nó được tính như thế nào?
7. Hệ tọa độ cực là gì?
8. Mối quan hệ giữa tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ hình chữ nhật và hệ tọa độ cực là gì?

Hoàn thành các nhiệm vụ:

1. Điểm cách mặt phẳng tọa độ bao xa A (1; -2; 3)

2. Điểm là bao xa A (1; -2; 3) từ các đường tọa độ một)Đơn vị tổ chức; b) Đơn vị tổ chức; trong)Oz;

3. Tọa độ của các điểm trong không gian cách đều nhau thỏa mãn điều kiện nào:

một) từ hai mặt phẳng tọa độ Ohu và Уz; AB

b) từ cả ba mặt phẳng tọa độ

4. Tìm tọa độ của một điểm M giữa phân khúc AB, A (-2; -4; 1); B (0; -1; 2) và đặt tên cho điểm đối xứng với điểm M, tương đối một) rìu Ồ

b) rìu Đơn vị tổ chức

trong) rìu Oz.

5. Cho một điểm B (4; - 3; - 4). Tìm tọa độ của mặt phẳng vuông góc thả từ một điểm trên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ.

6. trên trục Đơn vị tổ chức tìm một điểm cách đều hai điểm A (1; 2; - 1) và B (-2; 3; 1).

7. Phẳng Ohz tìm điểm cách đều ba điểm A (2; 1; 0); B (-1; 2; 3) và C (0; 3; 1).

8. Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC và khu vực của nó , nếu tọa độ đỉnh : A (-2; 0; 1), B (8; - 4; 9), C (-1; 2; 3).

9. Tìm tọa độ các hình chiếu của điểm A (2; -3; 5); Trong (3; -5;); VỚI(- ; - ; - ).

10. Điểm được cho A (1; -1; 0) và B (-3; - 1; 2). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến các điểm đã cho.

Vectơ TRONG KHÔNG GIAN. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Tất cả các đại lượng liên quan đến vật lý, công nghệ, cuộc sống hàng ngày được chia thành hai nhóm. Những thứ trước đây được đặc trưng đầy đủ bởi giá trị số của chúng: nhiệt độ, chiều dài, khối lượng, diện tích, công việc. Những đại lượng như vậy được gọi là vô hướng.

Các đại lượng khác như lực, tốc độ, độ dịch chuyển, gia tốc, v.v. được xác định không chỉ bởi giá trị số của chúng, mà còn bởi hướng. Các đại lượng này được gọi là vectơ, hoặc vectơ. Một đại lượng vectơ được biểu diễn hình học dưới dạng vectơ.

Véc tơ-đây là một đoạn đường thẳng có hướng, tức là phân đoạn có
chiều dài và hướng xác định.

Điểm là một trong những khái niệm cơ bản của hình học. Trong toán học hiện đại, điểm được gọi là các phần tử có bản chất khác tạo nên không gian, ví dụ, trong không gian Euclide, một điểm là một tập hợp n số có thứ tự.

Trong hình học mô tả, vị trí của một điểm trong không gian có thể được xác định bằng tọa độ của nó. Một đặc điểm đáng chú ý là tọa độ đặc trưng cho khoảng cách của một điểm từ mặt phẳng hình chiếu là cùng tên với trục, điều này không có trong sự hình thành của mặt phẳng hình chiếu này. Vì vậy, việc cắt bỏ một điểm khỏi P 2 được đo bằng tọa độ y và mặt phẳng trực diện của các hình chiếu P 2 chính nó được tạo thành bởi giao điểm của các trục OX và OZ.

Như vậy, ba hình chiếu của một điểm được đặc trưng bởi hai tọa độ, tên của chúng tương ứng với tên của các trục tạo thành mặt phẳng hình chiếu tương ứng: hoành độ - A 1 (X A; Y A); trán - A 2 (X A; Z A); hồ sơ - A 3 (Y A; Z A).

Việc dịch tọa độ giữa các phép chiếu được thực hiện bằng cách sử dụng các đường liên lạc. Như vậy, trong hệ các mặt phẳng chiếu П 1 П 2 tọa độ x chung cho các hình chiếu bằng và phương ngang được phát bởi đường truyền thẳng đứng А 2 А 1 vuông góc với trục OX.

Theo hai phép chiếu này, bạn có thể xây dựng các phép chiếu của một điểm bằng cách sử dụng tọa độ hoặc đồ thị. Về mặt đồ họa, một hình chiếu nghiêng được xây dựng bằng cách tịnh tiến tham số Z với một đường nối ngang được vẽ từ hình chiếu chính diện và tham số Y được chuyển từ hình chiếu ngang bằng cách sử dụng đường thẳng không đổi của hình vẽ k - đường phân giác của góc chia trục : Y 1 OY 3, trên đó đường nối nằm ngang vẽ từ hình chiếu ngang vuông góc với OY 1 thì khúc xạ vuông góc. Trong trường hợp này, một hình vuông được tạo thành tại gốc tọa độ có cạnh bằng tọa độ Y của gốc, đảm bảo chuyển tọa độ Y giữa các hình chiếu ngang và hình chiếu mặt cắt. Trong bảng. Hình 3.1 và 3.2 trình bày các thuật toán tổng quát để dựng điểm A theo tọa độ trong mô hình không gian của hệ ba mặt phẳng hình chiếu P 1 P 2 P 3 và trên hình vẽ phức.

Bảng 3.1

Thuật toán xây dựng hình ảnh trực quan của một điểm theo tọa độ
Mẫu từ	Hình thức đồ họa
1. Dành tọa độ tương ứng của điểm A trên các trục X, Y, Ζ Lấy các điểm A x, A y, A z
2. Hình chiếu ngang A 1 nằm tại giao điểm của các giao tuyến từ các điểm A x và A y vẽ song song với các trục X và Y
3. Hình chiếu chính diện A 2 nằm tại giao điểm của các đường giao tiếp từ các điểm A x và A z, vẽ song song với các trục X và z
4. Hình chiếu bằng A 3 nằm tại giao điểm của các đường giao tiếp từ các điểm A y và A z vẽ song song với các trục Y và z
5. Điểm A nằm ở giao điểm của các đường liên lạc vẽ từ các điểm A 1, A 2 và A 3

Hướng dẫn

Dựng ba mặt phẳng tọa độ để có một điểm quy chiếu tại điểm O. Trong hình vẽ bên, các mặt phẳng hình chiếu có dạng ba trục - ox, oy và oz, với trục oz hướng lên, trục oy hướng sang phải. Để xây dựng trục x cuối cùng, hãy chia đôi góc giữa trục y và trục z (nếu bạn đang vẽ trên một tờ giấy trong lồng, chỉ cần vẽ trục này).

Xin lưu ý rằng nếu tọa độ của điểm A được viết dưới dạng ba trong ngoặc (a, b, c), thì số a đầu tiên là từ mặt phẳng x, b thứ hai là y, c thứ ba là từ z. Đầu tiên lấy tọa độ đầu tiên a và đánh dấu nó trên trục x, sang trái và xuống nếu a là dương, sang phải và lên trên nếu là âm. Đặt tên cho chữ cái B.

Sau đó, vẽ số cuối cùng c lên trên trục z nếu nó là số dương và xuống trục z nếu nó là số âm. Đánh dấu đã nhận chỉ chữ D.

Từ các điểm thu được, hãy vẽ các hình chiếu của điểm mong muốn trên các mặt phẳng. Tức là tại điểm B kẻ hai đường thẳng song song với các trục oy và oz, tại điểm C kẻ các đường thẳng song song với các trục ox và oz, tại điểm D - các đường thẳng song song với ox và oy.

Nếu một trong các tọa độ của điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trong một trong các mặt phẳng hình chiếu. Trong trường hợp này, chỉ cần đánh dấu tọa độ đã biết trên mặt phẳng và tìm chỉ giao điểm của các hình chiếu của chúng. Hãy cẩn thận khi vạch ra các điểm với tọa độ(a, 0, c) và (a, b, 0), đừng quên rằng hình chiếu lên trục x là một góc 45⁰.

Các video liên quan

Nguồn:

• xây dựng theo tọa độ

Mẹo 2: Cách kiểm tra các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng

Dựa vào tiên đề mô tả các tính chất thẳng: bất kể dòng là gì, có điểm thuộc và không thuộc về nó. Do đó, khá hợp lý rằng không phải tất cả điểm sẽ nằm trên một thẳng các dòng.

Bạn sẽ cần

• - cây bút chì;
• - cái thước kẻ;
• - cái bút;
• - sổ tay;
• - máy tính.

Hướng dẫn

Trong trường hợp (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) nhỏ hơn 0 thì điểm K nằm ở phía trên hoặc bên trái của đoạn thẳng. Nói cách khác, chỉ khi một phương trình như (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 là đúng, điểm A, B và K sẽ nằm trên cùng một thẳng.

Trong các trường hợp khác, chỉ có hai điểm(A và B), theo nhiệm vụ, nằm trên thẳng, sẽ thuộc về nó: dòng sẽ không đi qua điểm thứ ba (điểm K).

Xem xét tùy chọn thành viên thứ hai điểm lưu ý: lần này bạn cần kiểm tra xem điểm C (x, y) có thuộc đoạn có điểm cuối B (x1, y1) và A (x2, y2) hay không, có thuộc đoạn không thẳng z

Mô tả các điểm của đoạn đang xét theo phương trình pOB + (1-p) OА = z, với điều kiện 0≤p≤1. OB và OA là các vectơ. Nếu có số p lớn hơn hoặc bằng 0 nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 1 thì pOB + (1-p) OA \ u003d C và điểm C sẽ nằm trên đoạn AB. Nếu không, điểm đã cho sẽ không thuộc phân đoạn này.

Viết đẳng thức pOB + (1-p) OА = С theo chiều kim tọa độ: px1 + (1-p) x2 = x và py1 + (1-p) y2 = y.

Tìm số p từ số thứ nhất và thay giá trị của nó vào đẳng thức thứ hai. Nếu đẳng thức tương ứng với điều kiện 0≤p≤1 thì điểm C thuộc đoạn thẳng AB.

Ghi chú

Hãy chắc chắn rằng các tính toán của bạn là chính xác!

Lời khuyên hữu ích

Để tìm k - hệ số góc của đường thẳng, bạn cần (y2 - y1) / (x2 - x1).

Nguồn:

• Thuật toán kiểm tra xem một điểm có thuộc một đa giác hay không. Phương pháp dò tia năm 2019

Không gian ba chiều bao gồm ba khái niệm cơ bản mà bạn được học dần dần trong chương trình học ở trường: điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Trong quá trình làm việc với một số đại lượng toán học, bạn có thể cần kết hợp các yếu tố này, ví dụ, để xây dựng một mặt phẳng trong không gian từ một điểm và một đường.

Hướng dẫn

Để hiểu thuật toán xây dựng mặt phẳng trong không gian, hãy chú ý đến một số tiên đề mô tả các tính chất của mặt phẳng hoặc các mặt phẳng. Thứ nhất: qua ba điểm không nằm trên một đường thẳng, một mặt phẳng đi qua, và chỉ một. Do đó, để dựng một mặt phẳng, bạn chỉ cần ba điểm thỏa mãn tiên đề về vị trí.

Thứ hai: một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ và chỉ một điểm. Theo đó, có thể dựng một mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm không nằm trên nó. Nếu ngược lại: bất kỳ dòng nào chứa ít nhất hai điểm mà nó đi qua, nếu biết thêm một điểm, không nằm trên dòng này, thì một đoạn thẳng có thể được xây dựng qua ba điểm này, như trong đoạn đầu tiên. Mỗi điểm của đường thẳng này sẽ thuộc mặt phẳng.

Thứ ba: một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau và chỉ một. Các đường giao nhau chỉ có thể tạo thành một điểm chung. Nếu trong không gian, chúng sẽ có vô số điểm chung và do đó tạo thành một đường thẳng. Khi bạn biết hai đường thẳng có giao điểm, bạn có thể dựng nhiều nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng này.

Thứ tư: qua hai đường thẳng song song có thể vẽ một mặt phẳng, và chỉ một. Theo đó, nếu bạn biết rằng các đường thẳng song song, bạn có thể vẽ một mặt phẳng qua chúng.

Thứ năm, có thể vẽ vô số mặt phẳng qua một đường thẳng. Tất cả các mặt phẳng này có thể được coi là chuyển động quay của một mặt phẳng quanh một đường thẳng cho trước, hoặc là vô số mặt phẳng có một đường giao tuyến.

Vì vậy, bạn có thể dựng một mặt phẳng nếu tìm thấy tất cả các yếu tố xác định vị trí của nó trong không gian: ba điểm không nằm trên một đường thẳng, một đoạn thẳng và một điểm không thuộc một đường thẳng, hai giao nhau hoặc hai đường thẳng song song.

Các video liên quan

Bạn có biết rằng cơ thể con người là một nhà máy điện mini? Mỗi chúng ta tạo ra một lượng điện năng nhỏ. Điều này xảy ra cả khi chuyển động và ở trạng thái nghỉ - sau đó, quá trình tạo ra điện xảy ra trong các cơ quan nội tạng, một trong số đó là tim.

Một trong những nghiên cứu y tế có thể xác định tình trạng của tim là điện tâm đồ. Bác sĩ tim mạch sẽ tiến hành đo điện tâm đồ để tìm vị trí của nó trong lồng ngực, tâm nhĩ, van và tâm thất hoạt động như thế nào, hình dạng của chúng và liệu có bất kỳ thay đổi chức năng nào hay không. Một trong những chỉ số điện tâm đồ quan trọng nhất là hướng của trục điện của tim.

Trục của tim là gì và làm thế nào để tìm nó?

Không thể nhìn thấy hoặc chạm vào trục tim (cũng như trục trái đất). Nó chỉ được xác định với sự trợ giúp của máy ghi điện tim, vì nó ghi lại hoạt động điện của tim. Khi các tế bào của cơ tim căng thẳng và thư giãn, tuân theo các xung động đến từ hệ thần kinh, chúng sẽ hình thành một điện trường, trung tâm của nó là EOS (trục điện của tim).

Nhưng nếu bạn nhìn vào tập bản đồ giải phẫu, bạn có thể vẽ một đường thẳng đứng sẽ chia trái tim thành hai phần bằng nhau - đây là cách trục của tim được định vị. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng EOS trùng với cái gọi là trục giải phẫu. Tất nhiên, mỗi người là cá nhân, do đó, trục điện có thể được định vị khác nhau đối với những người khác nhau (ví dụ: nếu chúng ta bắt đầu từ giá trị thống kê tim, thì EOS được đặt theo chiều dọc ở người gầy và theo chiều ngang ở người béo phì người).

Khi nào thì trục tim thay đổi vị trí?

Sau khi chụp điện tâm đồ và tìm hiểu vị trí của EOS, bác sĩ tim mạch có thể cho bạn biết cách thức trong lồng ngực, cơ tim có khỏe mạnh hay không (tim), cách các xung thần kinh truyền đến các phần khác nhau của tim.

Nếu điện tâm đồ cho thấy trục điện ở bên phải hoặc bên trái, điều này sẽ cho bác sĩ biết bất kỳ quá trình bệnh lý nào. Sự lệch sang phải có thể dẫn đến nghi ngờ về vị trí không chính xác của tim (sự dịch chuyển của nó có thể là bẩm sinh hoặc xảy ra do sự giãn nở của động mạch chủ, sự xuất hiện của khối u và các bệnh lý khác). Ngoài ra, độ lệch EOS là một dấu hiệu của các tình trạng đe dọa tính mạng: mất tim, phong tỏa bó His, nhồi máu cơ tim (thành trước của nó).

Nếu EOS bị lệch đáng kể sang bên trái, đây có thể là dấu hiệu của bệnh cơ tim, phì đại một số bộ phận của tim, nhồi máu đỉnh hoặc dị dạng bẩm sinh.

Hiện tại, một số bệnh tim có thể không có triệu chứng. Vì vậy, điều quan trọng là phải khám sức khỏe định kỳ, một trong những thành phần của nó là điện tâm đồ. Xét cho cùng, bệnh dễ phòng hơn. Và bệnh tim là điều bắt buộc phải làm, bởi chúng là mối đe dọa trực tiếp đến tính mạng.

Khoảng thời gian: 1 tiết (45 phút).
Lớp: lớp 6
Công nghệ:

• trình chiếu đa phương tiện Microsoft Office PowerPoint, Notebook;
• sử dụng bảng tương tác;
• tài liệu phát tay dành cho sinh viên được tạo bằng Microsoft Office Word và Microsoft Office Excel.

chú thích:
Về chủ đề “Tọa độ” trong kế hoạch chuyên đề được giao 6 giờ. Đây là bài học thứ tư về chủ đề "Tọa độ". Đến bài học, học sinh đã được làm quen với khái niệm “mặt phẳng tọa độ” và các quy tắc dựng điểm. Việc cập nhật kiến ​​thức được thực hiện dưới hình thức khảo sát trực tiếp. Trong các bài học lặp lại, tất cả học sinh được tham gia vào các hoạt động khác nhau. Trong trường hợp này, tất cả các kênh nhận thức và tái tạo tài liệu đều được sử dụng.
Sự đồng hóa của lý thuyết cũng được kiểm tra trong quá trình làm việc bằng miệng (nhiệm vụ là giải câu đố ô chữ, trong đó 1/4 điểm nằm ở vị trí nào). Đối với học sinh mạnh, các nhiệm vụ bổ sung được cung cấp.
Bài học sử dụng thiết bị đa phương tiện và bảng tương tác để trình bày các bài thuyết trình và tác vụ trong Microsoft Office PowerPoint và Notebook. Để tạo các nhiệm vụ thử nghiệm và tài liệu phát đã được sử dụng: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
Việc sử dụng bảng tương tác mở rộng khả năng trình bày tài liệu. Trong chương trình Notebook, học sinh có thể độc lập di chuyển các đối tượng đến đúng vị trí. Trong chương trình Microsoft Office PowerPoint, có thể thiết lập chuyển động của các đối tượng, do đó, một phút vật lý cho mắt được cung cấp.

Bài học sử dụng:

• kiểm tra bài tập về nhà;
• công việc phía trước;
• việc riêng của học sinh;
• trình bày báo cáo của học sinh;
• thực hiện các bài tập nói và viết;
• công việc của học sinh với bảng tương tác;
• làm việc độc lập.

Đề cương bài học.

Mục tiêu: củng cố kĩ năng tìm toạ độ của điểm đã đánh dấu và dựng điểm theo toạ độ cho trước.
Mục tiêu bài học:
giáo dục:

• khái quát kiến ​​thức, kĩ năng của học sinh về chủ đề “Mặt phẳng tọa độ”;
• kiểm soát trung gian kiến ​​thức và kỹ năng của học sinh;

đang phát triển:

• phát triển năng lực giao tiếp của học sinh;
• phát triển kỹ năng tính toán của học sinh;
• phát triển tư duy logic;
• phát triển hứng thú của học sinh đối với môn học thông qua các hình thức dạy học phi truyền thống;
• phát triển ngôn ngữ toán học, tầm nhìn của học sinh;
• phát triển khả năng làm việc độc lập với sách giáo khoa và tài liệu bổ sung;
• phát triển tình cảm thẩm mỹ của học sinh;

giáo dục:

• giáo dục ý thức tổ chức công việc trong lớp học;
• giáo dục hoạt động nhận thức, tinh thần trách nhiệm, văn hóa giao tiếp;
• giáo dục tính chính xác trong việc thực hiện các công trình xây dựng.

Trong các buổi học.

• Tổ chức thời gian.

Chào học sinh Thông điệp của chủ đề và mục đích của bài học. Kiểm tra sự sẵn sàng làm bài của cả lớp. Nhiệm vụ đặt ra: nhắc lại, khái quát, hệ thống hóa kiến ​​thức về chủ đề đã thông báo.

2. Thực tế hóa kiến ​​thức.

Đếm bằng lời nói.
1) Làm việc cá nhân: một số người làm công việc trên thẻ.

2) Làm việc với cả lớp: tính các ví dụ và tạo một từ. Bảng trên màn hình bảng tương tác, các chữ cái được nhập vào bảng bằng bút lông điện tử từ bảng tương tác.

Học sinh lần lượt lên bảng viết chữ cái. Hóa ra là từ "Prometheus". Một trong những học sinh, người đã chuẩn bị trước một báo cáo, cho biết từ này có nghĩa là gì. (Nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Claudius Ptolemy, người đã sử dụng vĩ độ và kinh độ làm tọa độ vào thế kỷ thứ 2.)

Công việc phía trước.

Nhiệm vụ “Giải câu đố ô chữ” sẽ giúp bạn nhớ các khái niệm cơ bản về chủ đề “Mặt phẳng tọa độ”.
Giáo viên chiếu một ô chữ trên màn hình bảng tương tác và mời học sinh giải. Học sinh sử dụng bút điện tử để viết các từ trong trò chơi ô chữ.
1. Hai đường trục tọa độ tạo thành một tọa độ….
2. Đường toạ độ là toạ độ….
3. Góc nào tạo thành tại giao điểm của các đường tọa độ?
4. Tên của một cặp số xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng?
5. Tên của số đầu tiên là gì?
6. Tên của số thứ hai là gì?
7. Tên của đoạn từ 0 đến 1 là gì?
8. Mặt phẳng tọa độ được chia bởi mấy đường tọa độ?

3. Củng cố kĩ năng và kĩ năng dựng một hình hình học theo tọa độ các đỉnh cho trước của nó.

Xây dựng các hình hình học. Làm việc với SGK vào vở.

• Câu 1054a “Dựng một tam giác nếu biết tọa độ các đỉnh của nó: A (0; -3), B (6: 2), C (5: 2). Xác định tọa độ của các điểm mà các cạnh của tam giác cắt trục x.
• Dựng tứ giác ABCD nếu A (-3; 1), B (1; 1), C (1; -2), D (-3; -2). Xác định dạng của tứ giác. Tìm tọa độ giao điểm của các đường chéo.

4. Tập thể dục cho mắt.

Trên slide, học sinh nên theo dõi chuyển động của vật bằng mắt. Vào cuối phút vật lý, một câu hỏi được đặt ra về các hình dạng hình học thu được do chuyển động của mắt.

5. Kiểm soát khả năng dựng điểm trên mặt phẳng tọa độ theo tọa độ cho trước.

Làm việc độc lập. Hội thi nghệ sĩ.
Tọa độ của các điểm được viết trên trang chiếu. Thẻ cũng được in cho mỗi học sinh. Nếu bạn đánh dấu chính xác các điểm trên mặt phẳng tọa độ và nối chúng một cách tuần tự, thì bạn sẽ có được một bức ảnh. Mỗi học sinh hoàn thành nhiệm vụ một cách độc lập. Sau khi hoàn thành công việc, bản vẽ chính xác sẽ mở ra trên màn hình. Mỗi học sinh nhận được một đánh giá cho công việc độc lập.

6. Bài tập về nhà.

• Số 1054b, Số 1057a.
• Nhiệm vụ sáng tạo: vẽ hình vẽ theo các điểm trên mặt phẳng tọa độ và ghi tọa độ của các điểm này.

7. Tổng kết bài học.

Câu hỏi dành cho sinh viên:

• Mặt phẳng tọa độ là gì?
• Tên của các trục tọa độ OX và OY là gì?
• Góc nào được tạo thành khi các đường tọa độ cắt nhau?
• Tên của một cặp số xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng là gì?
• Tên của số đầu tiên là gì?
• Tên của số thứ hai là gì?

Tài liệu và tài nguyên:

• G.V. Dorofeev, S.B. Suvorova, I.F. Sharygin “Toán học. 6 lớp ”
• Toán học. Lớp 6: Giáo án (theo SGK của G.V. Dorofeev và những người khác)
• http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm