Tích chấm của vectơ

Chúng tôi tiếp tục đối phó với vectơ. Ở buổi học đầu tiên Vectơ cho hình nộm chúng ta đã xem xét khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ và các bài toán đơn giản nhất với vectơ. Nếu bạn truy cập trang này lần đầu tiên từ một công cụ tìm kiếm, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc bài giới thiệu ở trên, bởi vì để tiếp thu tài liệu, bạn cần được hướng dẫn về các thuật ngữ và ký hiệu mà tôi sử dụng, có kiến ​​thức cơ bản về vectơ. và có thể giải quyết các vấn đề cơ bản. Bài học này là sự tiếp nối logic của chủ đề, trong đó tôi sẽ phân tích chi tiết các công việc điển hình có sử dụng tích vô hướng của vectơ. Đây là một công việc RẤT QUAN TRỌNG.. Hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ, chúng có kèm theo một phần thưởng hữu ích - phần luyện tập sẽ giúp bạn củng cố tài liệu đã học và “trở tay” giải các bài toán thường gặp về hình học giải tích.

Cộng vectơ, nhân một vectơ với một số…. Sẽ là ngây thơ nếu nghĩ rằng các nhà toán học không nghĩ ra một cái gì đó khác. Ngoài các hành động đã được xem xét, có một số hoạt động khác với vectơ, cụ thể là: sản phẩm chấm của các vectơ, tích chéo của các vectơ và sản phẩm hỗn hợp của các vectơ. Tích vô hướng của vectơ đã quen thuộc với chúng ta từ thời đi học, hai tích kia theo truyền thống liên quan đến khóa học toán cao hơn. Các chủ đề đơn giản, thuật toán giải nhiều bài toán rập khuôn và dễ hiểu. Điều duy nhất. Có một lượng thông tin kha khá, vì vậy bạn không nên cố gắng nắm vững và giải quyết MỌI THỨ VÀ MỘT LẦN. Điều này đặc biệt đúng với hình nộm, tin tôi đi, tác giả hoàn toàn không muốn cảm thấy giống như Chikatilo từ toán học. À, tất nhiên cũng không phải từ toán học rồi =) Học sinh chuẩn bị kỹ hơn có thể sử dụng tài liệu một cách chọn lọc, theo một nghĩa nào đó, “tiếp thu” những kiến ​​thức còn thiếu, đối với bạn, tôi sẽ là Bá tước Dracula vô hại =)

Cuối cùng, hãy mở cửa một chút và xem điều gì sẽ xảy ra khi hai vectơ gặp nhau….

Định nghĩa tích vô hướng của vectơ.
Các thuộc tính của tích vô hướng. Nhiệm vụ điển hình

Khái niệm về sản phẩm chấm

Đầu tiên về góc giữa các vectơ. Tôi nghĩ mọi người đều hiểu trực quan góc giữa các vectơ là gì, nhưng chỉ trong trường hợp, nhiều hơn một chút. Xem xét các vectơ khác không tự do và. Nếu chúng ta trì hoãn các vectơ này từ một điểm tùy ý, thì chúng ta sẽ có một bức tranh mà nhiều người đã trình bày trong tính chất:

Thú thật, ở đây tôi chỉ mô tả sự việc ở mức độ hiểu biết. Nếu bạn cần một định nghĩa chặt chẽ về góc giữa các vectơ, xin vui lòng tham khảo trong sách giáo khoa, nhưng đối với các nhiệm vụ thực tế, về nguyên tắc, chúng tôi không cần. Ngoài ra Ở ĐÂY VÀ THÊM, đôi khi tôi sẽ bỏ qua các vectơ 0 do ý nghĩa thực tế thấp của chúng. Tôi đã đặt chỗ đặc biệt cho những khách truy cập nâng cao vào trang web, những người có thể khiển trách tôi về sự không đầy đủ về mặt lý thuyết của một số tuyên bố sau đây.

có thể bao gồm các giá trị từ 0 đến 180 độ (từ 0 đến radian). Về mặt phân tích, thực tế này được viết dưới dạng bất đẳng thức kép: hoặc (tính bằng radian).

Trong tài liệu, biểu tượng góc thường bị lược bỏ và viết đơn giản.

Sự định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là một SỐ bằng tích độ dài của các vectơ này và côsin của góc giữa chúng:

Bây giờ đó là một định nghĩa khá nghiêm ngặt.

Chúng tôi tập trung vào thông tin cần thiết:

Chỉ định: tích vô hướng được biểu thị bằng hoặc đơn giản.

Kết quả của hoạt động là một NUMBER: Nhân một vectơ với một vectơ để được một số. Thật vậy, nếu độ dài của vectơ là số, cosin của góc là một số, thì tích của chúng cũng sẽ là một con số.

Chỉ là một vài ví dụ khởi động:

ví dụ 1

Quyết định: Chúng tôi sử dụng công thức . Trong trường hợp này:

Trả lời:

Giá trị cosine có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Tôi khuyên bạn nên in nó - nó sẽ được yêu cầu trong hầu hết các phần của tháp và sẽ được yêu cầu nhiều lần.

Hoàn toàn từ quan điểm toán học, tích vô hướng là không có thứ nguyên, nghĩa là, kết quả, trong trường hợp này, chỉ là một con số và thế là xong. Theo quan điểm của các bài toán vật lý, tích vô hướng luôn có một ý nghĩa vật lý nhất định, nghĩa là sau kết quả phải chỉ ra một đơn vị vật lý nào đó. Ví dụ chính tắc về tính công của một lực có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa nào (công thức chính xác là một tích số chấm). Công của một lực được đo bằng Joules, do đó, câu trả lời sẽ được viết khá cụ thể, ví dụ,.

Ví dụ 2

Tìm nếu , và góc giữa các vectơ là.

Đây là một ví dụ cho việc tự quyết định, câu trả lời nằm ở cuối bài.

Góc giữa vectơ và giá trị sản phẩm chấm

Trong Ví dụ 1, tích vô hướng hóa ra là dương và trong Ví dụ 2, nó hóa ra là âm. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu xem dấu hiệu của tích vô hướng phụ thuộc vào yếu tố nào. Hãy xem công thức của chúng tôi: . Độ dài của các vectơ khác 0 luôn dương:, vì vậy dấu có thể chỉ phụ thuộc vào giá trị của côsin.

Ghi chú: Để hiểu rõ hơn các thông tin dưới đây, tốt hơn hết bạn nên nghiên cứu đồ thị cosin trong sách hướng dẫn Đồ thị và thuộc tính hàm. Xem cách hoạt động của cosine trên phân đoạn.

Như đã lưu ý, góc giữa các vectơ có thể thay đổi trong và các trường hợp sau có thể xảy ra:

1) Nếu mũi tiêm giữa các vectơ vị cay: (từ 0 đến 90 độ), sau đó , và sản phẩm chấm sẽ tích cực đồng đạo diễn, khi đó góc giữa chúng được coi là bằng không và tích vô hướng cũng sẽ là số dương. Kể từ đó, công thức được đơn giản hóa:.

2) Nếu mũi tiêm giữa các vectơ cùn: (từ 90 đến 180 độ), sau đó và tương ứng, sản phẩm chấm là tiêu cực:. Trường hợp đặc biệt: nếu các vectơ chỉ đạo đối lập, thì góc giữa chúng được coi là triển khai: (180 độ). Tích vô hướng cũng âm, vì

Các câu ngược cũng đúng:

1) Nếu, thì góc giữa các vectơ này là góc nhọn. Ngoài ra, các vectơ có tính định hướng.

2) Nếu thì góc giữa các vectơ này là góc tù. Ngoài ra, các vectơ được hướng ngược nhau.

Nhưng trường hợp thứ ba được quan tâm đặc biệt:

3) Nếu mũi tiêm giữa các vectơ thẳng: (90 độ) sau đó và sản phẩm chấm bằng không:. Điều ngược lại cũng đúng: nếu, thì. Câu lệnh thu gọn được xây dựng như sau: Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ đã cho là trực giao. Ký hiệu toán học ngắn gọn:

! Ghi chú : lặp lại cơ sở của logic toán học: biểu tượng hệ quả lôgic hai mặt thường được đọc là "nếu và chỉ khi đó", "nếu và chỉ khi". Như bạn có thể thấy, các mũi tên được hướng theo cả hai hướng - "từ này nối tiếp hướng này, và ngược lại - từ hướng này nối tiếp hướng này." Nhân tiện, sự khác biệt so với biểu tượng theo dõi một chiều là gì? Tuyên bố về biểu tượng chỉ thế thôi rằng "từ cái này theo sau cái này", và không phải thực tế là điều ngược lại là đúng. Ví dụ:, nhưng không phải mọi động vật đều là báo, vì vậy biểu tượng không thể được sử dụng trong trường hợp này. Đồng thời, thay vì biểu tượng có thể sử dụng biểu tượng một mặt. Ví dụ, trong khi giải quyết vấn đề, chúng tôi phát hiện ra rằng chúng tôi kết luận rằng các vectơ là trực giao: - một bản ghi như vậy sẽ đúng, và thậm chí còn thích hợp hơn .

Trường hợp thứ ba có tầm quan trọng thực tế rất lớn., vì nó cho phép bạn kiểm tra xem các vectơ có trực giao hay không. Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này trong phần thứ hai của bài học.

Tính chất sản phẩm chấm

Hãy quay lại tình huống khi hai vectơ đồng đạo diễn. Trong trường hợp này, góc giữa chúng bằng 0 và công thức tích vô hướng có dạng:.

Điều gì xảy ra nếu một vectơ được nhân với chính nó? Rõ ràng là vectơ là đồng hướng với chính nó, vì vậy chúng tôi sử dụng công thức đơn giản ở trên:

Số được gọi là hình vuông vô hướng vectơ, và được ký hiệu là.

Vì vậy, bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đã cho:

Từ đẳng thức này, bạn có thể nhận được công thức tính độ dài của vectơ:

Mặc dù nó có vẻ tối nghĩa, nhưng các nhiệm vụ của bài học sẽ đưa mọi thứ vào đúng vị trí của nó. Để giải quyết vấn đề, chúng ta cũng cần chấm thuộc tính sản phẩm.

Đối với vectơ tùy ý và bất kỳ số nào, các thuộc tính sau là đúng:

1) - có thể thay thế hoặc giao hoán luật tích vô hướng.

2) - phân phối hoặc phân phối luật tích vô hướng. Nói một cách đơn giản, bạn có thể mở dấu ngoặc đơn.

3) - kết hợp hoặc liên kết luật tích vô hướng. Hằng số có thể được lấy ra khỏi tích vô hướng.

Thông thường, các loại tính chất (cũng cần phải chứng minh!) Được học sinh coi là thứ rác rưởi không cần thiết, chỉ cần học thuộc lòng là quên ngay sau kỳ thi. Có vẻ như điều quan trọng ở đây, mọi người đều đã biết từ lớp một rằng tích không thay đổi từ một hoán vị của các thừa số:. Tôi phải cảnh báo bạn, trong toán học cao hơn với cách tiếp cận như vậy rất dễ làm mọi thứ rối tung lên. Vì vậy, ví dụ: thuộc tính giao hoán không hợp lệ cho ma trận đại số. Nó không đúng với tích chéo của các vectơ. Vì vậy, tốt hơn hết là bạn nên đi sâu vào bất kỳ tính chất nào mà bạn sẽ gặp trong quá trình học toán cao hơn để hiểu những gì có thể và không thể làm được.

Ví dụ 3

.

Quyết định:Đầu tiên, hãy làm rõ tình huống với vector. Cái này chủ yếu là gì? Tổng của các vectơ và là một vectơ xác định rõ, được ký hiệu là. Giải thích hình học của các hành động với vectơ có thể được tìm thấy trong bài báo Vectơ cho hình nộm. Ngò tây giống nhau với một vectơ là tổng của các vectơ và.

Vì vậy, theo điều kiện, yêu cầu tìm tích vô hướng. Về lý thuyết, bạn cần áp dụng công thức làm việc , nhưng rắc rối là chúng ta không biết độ dài của các vectơ và góc giữa chúng. Nhưng trong điều kiện, các tham số tương tự được đưa ra cho vectơ, vì vậy chúng ta sẽ đi theo cách khác:

(1) Chúng ta thay thế các biểu thức của vectơ.

(2) Ta mở ngoặc theo quy tắc nhân các đa thức, có thể tìm thấy một câu nói líu lưỡi thô tục trong bài. Số phức hoặc Tích hợp một hàm phân số-hữu tỉ. Mình sẽ không nhắc lại mình =) Nhân tiện, thuộc tính phân phối của tích vô hướng cho phép chúng ta mở ngoặc. Chúng tôi có quyền.

(3) Trong số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chúng ta viết gọn gàng bình phương vô hướng của các vectơ: . Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta sử dụng tính giao hoán của tích vô hướng:.

(4) Dưới đây là các điều khoản tương tự:.

(5) Trong thuật ngữ đầu tiên, chúng ta sử dụng công thức bình phương vô hướng, đã được đề cập cách đây không lâu. Trong thuật ngữ trước, điều tương tự cũng hoạt động:. Số hạng thứ hai được khai triển theo công thức chuẩn .

(6) Thay thế các điều kiện này , và CẨN THẬN thực hiện các phép tính cuối cùng.

Trả lời:

Giá trị âm của tích chấm cho biết góc giữa các vectơ là góc tù.

Nhiệm vụ là điển hình, đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 4

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu biết rằng .

Bây giờ là một nhiệm vụ phổ biến khác, chỉ dành cho công thức độ dài vectơ mới. Các chỉ định ở đây sẽ trùng lặp một chút, vì vậy để rõ ràng, tôi sẽ viết lại nó bằng một chữ cái khác:

Ví dụ 5

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Quyết định sẽ như sau:

(1) Chúng tôi cung cấp biểu thức vectơ.

(2) Chúng tôi sử dụng công thức độ dài :, while chúng tôi có một biểu thức số nguyên là vectơ "ve".

(3) Chúng tôi sử dụng công thức trường cho bình phương của tổng. Hãy chú ý đến cách nó hoạt động một cách tò mò ở đây: - trên thực tế, đây là bình phương của sự khác biệt, và trên thực tế, nó là như vậy. Những người muốn có thể sắp xếp lại các vectơ ở những vị trí: - hóa ra điều tương tự cho đến khi sắp xếp lại các điều khoản.

(4) Những gì tiếp theo đã quen thuộc từ hai bài toán trước.

Trả lời:

Vì chúng ta đang nói về chiều dài, đừng quên chỉ ra thứ nguyên - "đơn vị".

Ví dụ 6

Tìm độ dài của vectơ nếu .

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Chúng tôi tiếp tục ép những thứ hữu ích ra khỏi sản phẩm vô hướng. Hãy xem lại công thức của chúng ta . Theo quy tắc tỷ lệ, chúng tôi đặt lại độ dài của các vectơ về mẫu số của phía bên trái:

Hãy hoán đổi các phần:

Ý nghĩa của công thức này là gì? Nếu biết độ dài của hai vectơ và tích vô hướng của chúng, thì có thể tính cosin của góc giữa các vectơ này, và do đó, chính góc đó.

Tích vô hướng có phải là một số không? Con số. Độ dài vectơ có phải là số không? Các con số. Vì vậy, một phân số cũng là một số. Và nếu côsin của góc được biết: , sau đó sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm được góc: .

Ví dụ 7

Tìm góc giữa các vectơ và, nếu biết rằng.

Quyết định: Chúng tôi sử dụng công thức:

Ở giai đoạn cuối cùng của phép tính, một kỹ thuật đã được sử dụng - loại bỏ tính không hợp lý trong mẫu số. Để loại bỏ tính vô lý, tôi nhân tử số và mẫu số với.

Vì vậy nếu , sau đó:

Giá trị của các hàm lượng giác nghịch đảo có thể được tìm thấy bằng bảng lượng giác. Mặc dù điều này hiếm khi xảy ra. Trong các bài toán về hình học giải tích, một số con gấu vụng về xuất hiện thường xuyên hơn nhiều và giá trị của góc phải được tìm gần bằng máy tính. Trên thực tế, chúng ta sẽ nhìn thấy bức ảnh này một lần nữa và một lần nữa.

Trả lời:

Một lần nữa, đừng quên chỉ định thứ nguyên - radian và độ. Cá nhân, để cố ý "loại bỏ tất cả các câu hỏi", tôi muốn chỉ ra cả hai (tất nhiên, trừ khi, theo điều kiện, yêu cầu trình bày câu trả lời chỉ bằng radian hoặc chỉ độ).

Giờ đây, bạn sẽ có thể tự mình đương đầu với một nhiệm vụ khó khăn hơn:

Ví dụ 7 *

Cho trước là độ dài của các vectơ và góc giữa chúng. Tìm góc giữa các vectơ ,.

Nhiệm vụ không quá khó như đa chiều.
Hãy phân tích thuật toán giải:

1) Theo điều kiện, yêu cầu tìm góc giữa các vectơ và, vì vậy bạn cần sử dụng công thức .

2) Chúng tôi tìm tích vô hướng (xem Ví dụ số 3, 4).

3) Tìm độ dài của vectơ và độ dài của vectơ (xem Ví dụ số 5, 6).

4) Kết thúc của lời giải trùng với ví dụ số 7 - chúng ta biết số, nghĩa là dễ dàng tìm được góc:

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Phần thứ hai của bài dành cho sản phẩm chấm tương tự. Các tọa độ. Nó sẽ thậm chí còn dễ dàng hơn trong phần đầu tiên.

Tích chấm của vectơ,
được cung cấp bởi các tọa độ trong một cơ sở trực chuẩn

Trả lời:

Không cần phải nói, xử lý các tọa độ dễ chịu hơn nhiều.

Ví dụ 14

Tìm tích vô hướng của vectơ và nếu

Đây là một ví dụ tự làm. Ở đây bạn có thể sử dụng tính liên kết của phép toán, nghĩa là không tính, nhưng lấy ngay nhân ba ra khỏi tích vô hướng và nhân với nó cuối cùng. Lời giải và đáp án cuối bài.

Ở cuối đoạn văn, một ví dụ khiêu khích về việc tính độ dài của một vectơ:

Ví dụ 15

Tìm độ dài của vectơ , nếu

Quyết định: một lần nữa phương pháp của phần trước lại tự gợi ý: nhưng có một cách khác:

Hãy tìm véc tơ:

Và chiều dài của nó theo công thức tầm thường :

Sản phẩm vô hướng hoàn toàn không liên quan ở đây!

Lỗi kinh doanh như thế nào khi tính độ dài của một vectơ:
Ngừng lại. Tại sao không tận dụng tính chất độ dài rõ ràng của một vectơ? Có thể nói gì về độ dài của vectơ? Vectơ này dài gấp 5 lần vectơ. Hướng thì ngược lại, nhưng điều đó không quan trọng, bởi vì chúng ta đang nói về độ dài. Rõ ràng, độ dài của vectơ bằng tích mô-đun số trên độ dài vectơ:
- dấu hiệu của mô-đun "ăn" số trừ có thể có của một số.

Như vậy:

Trả lời:

Công thức tính cosin của góc giữa các vectơ được cho bởi tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có đầy đủ thông tin để công thức tính cosin của góc giữa các vectơ biểu thị dưới dạng tọa độ vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ mặt phẳng và, được đưa ra trong cơ sở chính thống, được thể hiện bằng công thức:
.

Cosin của góc giữa các vectơ không gian, được đưa ra trong cơ sở chính thống, được thể hiện bằng công thức:

Ví dụ 16

Ba đỉnh của một tam giác đã cho. Tìm (góc đối đỉnh).

Quyết định: Theo điều kiện, bản vẽ không được yêu cầu, nhưng vẫn:

Góc cần thiết được đánh dấu bằng một vòng cung màu xanh lá cây. Chúng tôi ngay lập tức nhớ lại sự chỉ định của trường về góc: - đặc biệt chú ý đến ở giữa chữ cái - đây là đỉnh của góc mà chúng ta cần. Để ngắn gọn, nó cũng có thể được viết đơn giản.

Từ hình vẽ, ta thấy khá rõ ràng rằng góc của tam giác trùng với góc giữa các vectơ và hay nói cách khác là: .

Nó là mong muốn để học cách thực hiện phân tích được thực hiện trong tinh thần.

Hãy tìm các vectơ:

Hãy tính tích vô hướng:

Và độ dài của các vectơ:

Cosin của một góc:

Đó là thứ tự của nhiệm vụ này mà tôi đề xuất cho các hình nộm. Người đọc nâng cao hơn có thể viết các phép tính "trong một dòng":

Đây là một ví dụ về giá trị cosine "xấu". Giá trị kết quả không phải là giá trị cuối cùng, vì vậy không có nhiều ý nghĩa trong việc loại bỏ tính bất hợp lý ở mẫu số.

Hãy tìm góc độ:

Nếu bạn nhìn vào bản vẽ, kết quả là khá hợp lý. Để kiểm tra góc cũng có thể được đo bằng thước đo góc. Không làm hỏng lớp phủ màn hình =)

Trả lời:

Trong câu trả lời, đừng quên rằng hỏi về góc của tam giác(chứ không phải về góc giữa các vectơ), đừng quên chỉ ra câu trả lời chính xác: và giá trị gần đúng của góc: tìm thấy với một máy tính.

Những người đã tận hưởng quá trình này có thể tính toán các góc và đảm bảo rằng đẳng thức kinh điển là đúng

Ví dụ 17

Một tam giác được cho trong không gian bởi tọa độ các đỉnh của nó. Tìm góc giữa các cạnh và

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài

Một phần nhỏ cuối cùng sẽ được dành cho các phép chiếu, trong đó tích vô hướng cũng “có liên quan”:

Phép chiếu của một vectơ lên ​​một vectơ. Phép chiếu vectơ lên ​​các trục tọa độ.
Vector hướng cosin

Xét các vectơ và:

Chúng tôi chiếu vectơ lên ​​vectơ, vì điều này, chúng tôi bỏ qua phần đầu và phần cuối của vectơ đường vuông góc trên mỗi vectơ (đường chấm màu xanh lá cây). Hãy tưởng tượng rằng các tia sáng đang rơi vuông góc trên một vectơ. Khi đó đoạn (đường màu đỏ) sẽ là "bóng" của vector. Trong trường hợp này, hình chiếu của một vectơ lên ​​một vectơ là CHIỀU DÀI của đoạn thẳng. Tức là DỰ ÁN LÀ MỘT CON SỐ.

NUMBER này được biểu thị như sau:, "vectơ lớn" biểu thị một vectơ CÁI MÀ dự án, "vectơ chỉ số nhỏ" biểu thị vectơ TRÊNđược chiếu.

Bản thân mục nhập có nội dung như thế này: “hình chiếu của vectơ“ a ”lên vectơ“ be ””.

Điều gì xảy ra nếu vectơ "be" là "quá ngắn"? Ta vẽ một đường thẳng chứa véc tơ "be". Và vectơ "a" sẽ được chiếu theo hướng của vectơ "be", đơn giản - trên một đường thẳng có chứa vectơ "be". Điều tương tự cũng sẽ xảy ra nếu vectơ "a" được đặt sang một bên trong vương quốc thứ ba mươi - nó vẫn sẽ dễ dàng được chiếu lên dòng chứa vectơ "be".

Nếu góc giữa các vectơ vị cay(như trong hình), sau đó

Nếu các vectơ trực giao, thì (hình chiếu là một điểm có kích thước được cho là bằng không).

Nếu góc giữa các vectơ cùn(trong hình vẽ, hãy nhẩm sắp xếp lại mũi tên của vectơ), sau đó (cùng độ dài, nhưng lấy dấu trừ).

Đặt các vectơ này từ một điểm:

Rõ ràng, khi di chuyển một vectơ, hình chiếu của nó không thay đổi

Tích vô hướng của vectơ (sau đây viết tắt là văn bản liên doanh). Bạn thân mến! Đề thi môn Toán bao gồm một nhóm các bài toán về giải vectơ. Chúng tôi đã xem xét một số vấn đề. Bạn có thể thấy chúng trong danh mục "Vectors". Nói chung, lý thuyết về vectơ là đơn giản, điều chính là nghiên cứu nó một cách nhất quán. Các phép tính và thao tác với vectơ trong môn toán ở trường rất đơn giản, công thức không phức tạp. Nhìn vào. Trong bài này, chúng tôi sẽ phân tích các nhiệm vụ về liên của vectơ (có trong đề thi). Bây giờ "đắm mình" trong lý thuyết:

H Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ đi các tọa độ ở cuối của nótọa độ tương ứng của điểm bắt đầu của nó

Và xa hơn:

* Độ dài vectơ (môđun) được xác định như sau:

Các công thức này phải được ghi nhớ !!!

Hãy chỉ ra góc giữa các vectơ:

Rõ ràng là nó có thể thay đổi từ 0 đến 180 0(hoặc tính bằng radian từ 0 đến Pi).

Chúng ta có thể rút ra một số kết luận về dấu của tích vô hướng. Độ dài của vectơ là dương, rõ ràng. Vậy dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào giá trị của cosin của góc giữa các vectơ.

Các trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu góc giữa các vectơ là góc nhọn (từ 0 0 đến 90 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị dương.

2. Nếu góc giữa các vectơ là góc tù (từ 90 0 đến 180 0) thì côsin của góc sẽ có giá trị âm.

* Tại 0 độ, nghĩa là khi các vectơ có cùng phương thì cosin bằng một và theo đó, kết quả sẽ là số dương.

Ở 180 o, nghĩa là, khi các vectơ có hướng ngược nhau, thì cosin bằng trừ một,và kết quả sẽ là âm tính.

Bây giờ là ĐIỂM QUAN TRỌNG!

Ở 90 o, nghĩa là, khi các vectơ vuông góc với nhau, cosin bằng 0, và do đó liên doanh bằng không. Thực tế này (hệ quả, kết luận) được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề mà chúng ta đang nói về sự sắp xếp lẫn nhau của các vectơ, kể cả trong các bài toán nằm trong ngân hàng nhiệm vụ mở của toán học.

Chúng ta hình thành phát biểu: tích vô hướng bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ đã cho nằm trên các đường vuông góc.

Vì vậy, công thức của vectơ SP là:

Nếu biết tọa độ của vectơ hoặc tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của chúng, thì chúng ta luôn có thể tìm được góc giữa các vectơ:

Xem xét các nhiệm vụ:

27724 Tìm tích trong của vectơ a và b.

Chúng ta có thể tìm tích vô hướng của vectơ bằng một trong hai công thức:

Góc giữa các vectơ là không xác định, nhưng chúng ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của các vectơ và sau đó sử dụng công thức đầu tiên. Vì điểm đầu của cả hai vectơ đều trùng với gốc tọa độ của các vectơ này bằng tọa độ của các điểm cuối của chúng, nghĩa là

Cách tìm tọa độ của vectơ được mô tả trong.

Chúng tôi tính toán:

Trả lời: 40

Tìm tọa độ của vectơ và sử dụng công thức:

Để tìm tọa độ của một vectơ, cần phải trừ tọa độ đầu tương ứng của nó với tọa độ cuối của vectơ, điều này có nghĩa là

Chúng tôi tính tích vô hướng:

Trả lời: 40

Tìm góc giữa các vectơ a và b. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.

Cho tọa độ của vectơ có dạng:

Để tìm góc giữa các vectơ, chúng ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của các vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ:

Vì thế:

Tọa độ của các vectơ này là:

Hãy cắm chúng vào công thức:

Góc giữa các vectơ là 45 độ.

Trả lời: 45

Do đó, độ dài của một vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các tọa độ của nó
. Tương tự, độ dài của vectơ n chiều được tính
. Nếu chúng ta nhớ lại rằng mỗi tọa độ của vectơ là hiệu giữa tọa độ của điểm cuối và điểm đầu, thì chúng ta sẽ nhận được công thức cho độ dài của đoạn thẳng, tức là Khoảng cách Euclide giữa các điểm.

Sản phẩm vô hướng hai vectơ trên một mặt phẳng là tích độ dài của các vectơ này và côsin của góc giữa chúng:
. Có thể chứng minh rằng tích vô hướng của hai vectơ = (x 1, x 2) và = (y 1, y 2) bằng tổng các tích của các tọa độ tương ứng của các vectơ này:
\ u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

Trong không gian n chiều, tích chấm của vectơ X = (x 1, x 2, ..., x n) và Y = (y 1, y 2, ..., y n) được xác định là tổng của các tích tọa độ tương ứng của chúng: X * Y \ u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Thao tác nhân các vectơ với nhau tương tự như nhân ma trận hàng với ma trận cột. Chúng tôi nhấn mạnh rằng kết quả sẽ là một số, không phải là một vectơ.

Tích vô hướng của vectơ có các tính chất (tiên đề) sau:

1) Tính chất giao hoán: X * Y = Y * X.

2) Thuộc tính phân phối đối với phép cộng: X (Y + Z) = X * Y + X * Z.

3) Với mọi số thực 
.

4)
, nếu X không phải là vectơ 0;
nếu X là một vectơ không.

Một không gian vectơ tuyến tính trong đó tích vô hướng của các vectơ đã cho thỏa mãn bốn tiên đề tương ứng được gọi là Vectơ tuyến tính Euclidkhoảng trống.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi nhân một vectơ bất kỳ với chính nó, ta được bình phương độ dài của nó. Vì vậy, nó khác nhau chiều dài vectơ có thể được định nghĩa là căn bậc hai của bình phương vô hướng của nó:.

Độ dài của vectơ có các tính chất sau:

1) | X | = 0Х = 0;

2) | X | = |  | * | X |, trong đó  là một số thực;

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky);

4) | X + Y |  | X | + | Y | ( bất đẳng thức tam giác).

Góc  giữa các vectơ trong không gian n chiều được xác định dựa trên khái niệm về tích vô hướng. Thật vậy, nếu
, sau đó
. Phân số này không lớn hơn một (theo bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky), vì vậy từ đây bạn có thể tìm được .

Hai vectơ được gọi là trực giao hoặc vuông góc nếu sản phẩm chấm của họ bằng không. Theo định nghĩa của tích chấm rằng vectơ 0 là trực giao với bất kỳ vectơ nào. Nếu cả hai vectơ trực giao đều khác 0, thì nhất thiết cos = 0, tức là =  / 2 = 90 o.

Xem xét lại Hình 7.4. Từ hình vẽ có thể thấy rằng cosin của góc  của độ nghiêng của vectơ so với trục hoành có thể được tính là
, và côsin của góc  của độ nghiêng của vectơ đối với trục tung là
. Những con số này được gọi là cosine hướng. Dễ dàng nhận thấy rằng tổng bình phương của các cosin có phương luôn bằng một: cos 2  + cos 2  = 1. Tương tự, chúng ta có thể đưa ra khái niệm về cosin có hướng cho không gian có chiều cao hơn.

Cơ sở không gian vectơ

Đối với vectơ, người ta có thể định nghĩa các khái niệm kết hợp tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính và Sự độc lập tương tự như cách các khái niệm này được giới thiệu cho các hàng ma trận. Cũng đúng rằng nếu các vectơ phụ thuộc tuyến tính, thì ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác (tức là nó là một tổ hợp tuyến tính của chúng). Tuyên bố ngược cũng đúng: nếu một trong các vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác, thì tất cả các vectơ này trong tổng thể đều phụ thuộc tuyến tính.

Lưu ý rằng nếu trong số các vectơ a l, a 2, ... a m có một vectơ bằng 0 thì tập hợp các vectơ này nhất thiết phải phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, chúng ta nhận được  l a l +  2 a 2 + ... +  m a m = 0, nếu, ví dụ, chúng ta cân bằng hệ số  j với vectơ 0 bằng một, và tất cả các hệ số khác bằng 0. Trong trường hợp này, không phải tất cả các hệ số sẽ bằng 0 ( j ≠ 0).

Ngoài ra, nếu một số vectơ từ tập vectơ phụ thuộc tuyến tính, thì tất cả các vectơ này đều phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, nếu một số vectơ cho vectơ 0 trong tổ hợp tuyến tính của chúng với các hệ số không đồng thời bằng 0, thì các vectơ còn lại nhân với hệ số 0 có thể được cộng vào tổng tích này và nó vẫn sẽ là vectơ 0.

Làm thế nào để xác định xem vectơ có phụ thuộc tuyến tính hay không?

Ví dụ, chúng ta hãy lấy ba vectơ: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) và a 3 = (3, 1, 4, 3). Hãy tạo một ma trận từ chúng, trong đó chúng sẽ là các cột:

Khi đó câu hỏi về sự phụ thuộc tuyến tính sẽ được rút gọn để xác định hạng của ma trận này. Nếu nó hóa ra bằng ba, thì cả ba cột đều độc lập tuyến tính và nếu nó hóa ra nhỏ hơn, thì điều này sẽ chỉ ra sự phụ thuộc tuyến tính của các vectơ.

Vì hạng là 2 nên các vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Lưu ý rằng giải pháp của vấn đề cũng có thể được bắt đầu bằng các lập luận dựa trên định nghĩa của tính độc lập tuyến tính. Cụ thể, lập phương trình vectơ  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, sẽ có dạng l * (1, 0, 1, 5) +  2 * (2, 1, 3, - 2) +  3 * (3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Khi đó ta nhận được một hệ phương trình:

Giải pháp của hệ thống này theo phương pháp Gauss sẽ được rút gọn để có được ma trận cùng bước, chỉ là nó sẽ có thêm một cột - phần tử tự do. Tất cả chúng sẽ bằng 0, vì các phép biến đổi tuyến tính của các số không không thể dẫn đến một kết quả khác. Hệ phương trình đã biến đổi sẽ có dạng:

Giải pháp của hệ thống này sẽ là (-s; -s; s), trong đó s là một số tùy ý; ví dụ, (-1; -1; 1). Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy  l \ u003d -1;  2 \ u003d -1 và  3 \ u003d 1, thì  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \ u003d 0, tức là các vectơ thực sự phụ thuộc tuyến tính.

Từ ví dụ đã giải, rõ ràng là nếu chúng ta lấy số vectơ nhiều hơn số chiều của không gian, thì chúng nhất thiết sẽ phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, nếu chúng ta lấy năm vectơ trong ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một ma trận 4 x 5, hạng của chúng không được lớn hơn bốn. Những thứ kia. số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa vẫn sẽ không nhiều hơn bốn. Hai, ba hoặc bốn vectơ bốn chiều có thể độc lập tuyến tính, nhưng năm hoặc nhiều hơn có thể không. Do đó, không quá hai vectơ có thể độc lập tuyến tính trong mặt phẳng. Ba vectơ bất kỳ trong không gian hai chiều đều phụ thuộc tuyến tính. Trong không gian ba chiều, bốn (hoặc nhiều) vectơ bất kỳ luôn phụ thuộc tuyến tính. Vân vân.

Cho nên kích thước không gian có thể được xác định là số lượng tối đa các vectơ độc lập tuyến tính có thể có trong nó.

Tập hợp n vectơ độc lập tuyến tính của không gian n chiều R được gọi là nền tảng không gian này.

Định lý. Mỗi vectơ không gian tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở và hơn thế nữa theo một cách duy nhất.

Bằng chứng. Cho các vectơ e l, e 2, ... e n tạo thành một cơ sở của một không gian n chiều R. Hãy chứng minh rằng vectơ X bất kỳ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ này. Vì cùng với vectơ X, số vectơ sẽ trở thành (n + 1), (n + 1) vectơ này sẽ phụ thuộc tuyến tính, tức là có các số  l,  2, ...,  n,  không đồng thời bằng 0, sao cho

 l e l +  2 e 2 + ... +  n e n + Х = 0

Trong trường hợp này, 0, bởi vì nếu không chúng ta sẽ nhận được l e l +  2 e 2 + ... +  n e n = 0, trong đó không phải tất cả các hệ số l,  2, ...,  n đều bằng không. Điều này có nghĩa là các vectơ cơ sở sẽ phụ thuộc tuyến tính. Do đó, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình thứ nhất thành :

( l / ) e l + ( 2 / ) e 2 + ... + ( n / ) e n + Х = 0

X \ u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \ u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

trong đó x j = - ( j / ),
.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính là duy nhất. Giả sử ngược lại, tức là rằng có một đại diện khác:

X \ u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Trừ số hạng của nó theo số hạng, biểu thức thu được trước đó:

0 \ u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Vì các vectơ cơ sở là độc lập tuyến tính, chúng tôi nhận được rằng (y j - x j) = 0,
, tức là y j = x j. Vì vậy, biểu thức là như nhau. Định lý đã được chứng minh.

Biểu thức X \ u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n được gọi là phân hủy vectơ X theo cơ sở e l, e 2, ... e n, và các số x l, x 2, ... x n - tọa độ vectơ x đối với cơ sở này, hoặc theo cơ sở này.

Có thể chứng minh rằng nếu các vectơ nnonzero của một không gian Euclid n chiều là trực giao theo từng cặp thì chúng tạo thành một cơ sở. Thật vậy, hãy nhân cả hai vế của phương trình l e l +  2 e 2 + ... +  n e n = 0 với một vectơ e i bất kỳ. Ta nhận được  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) + ... +  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 với i .

Các vectơ e l, e 2, ... e n của dạng không gian Euclid n chiều cơ sở chính thống, nếu các vectơ này trực giao theo cặp và chuẩn của mỗi vectơ trong số chúng bằng một, tức là if e i * e j = 0 for i ≠ ji | e i | = 1 cho i.

Định lý (không cần chứng minh). Mọi không gian Euclid n chiều đều có một cơ sở trực chuẩn.

Một ví dụ về cơ sở trực chuẩn là một hệ thống gồm n vectơ đơn vị e i, trong đó thành phần thứ i bằng một, và các thành phần còn lại bằng không. Mỗi vectơ như vậy được gọi là quả cầu. Ví dụ, vector-orts (1, 0, 0), (0, 1, 0) và (0, 0, 1) tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.