Nghiệm của một hệ hai bất phương trình tuyến tính. Hệ bất đẳng thức tuyến tính

Hãy xem các ví dụ về cách giải một hệ bất phương trình tuyến tính.

4x + 29 \ end (array) \ right. \] "Title =" (! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Để giải một hệ thống, mỗi bất đẳng thức cấu thành của nó là cần thiết. Chỉ có quyết định được thực hiện để viết ra không riêng lẻ mà cùng nhau, kết hợp chúng với một dấu ngoặc nhọn.

Trong mỗi bất phương trình của hệ, chúng ta chuyển ẩn số sang vế này, ẩn số đã biết sang vế ngược dấu:

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Sau khi đơn giản hóa, cả hai phần của bất đẳng thức phải được chia cho số trước x. Chúng ta chia bất phương trình thứ nhất cho một số dương, vì vậy dấu của bất phương trình không thay đổi. Chúng ta chia bất phương trình thứ hai cho một số âm, vì vậy dấu bất đẳng thức phải được đảo ngược:

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Chúng tôi đánh dấu nghiệm của bất phương trình trên các trục số:

Đáp lại, chúng tôi viết ra phần giao nhau của các giải pháp, tức là phần mà bóng mờ nằm ​​trên cả hai dòng.

Đáp số: x∈ [-2; 1).

Hãy loại bỏ phân số trong bất đẳng thức đầu tiên. Để làm điều này, chúng ta nhân cả hai số hạng với số hạng để có mẫu số chung nhỏ nhất là 2. Khi nhân với một số dương, dấu bất đẳng thức không thay đổi.

Mở ngoặc trong bất đẳng thức thứ hai. Tích của tổng và hiệu của hai biểu thức bằng hiệu bình phương của các biểu thức này. Ở phía bên phải là hình vuông của sự khác biệt giữa hai biểu thức.

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Chúng ta chuyển các ẩn số sang một phía, các ẩn số đã biết sang một phía có dấu ngược lại và đơn giản hóa:

Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số trước x. Trong bất đẳng thức đầu tiên, chúng ta chia cho một số âm, vì vậy dấu của bất đẳng thức bị đảo ngược. Ở vế thứ hai, ta chia cho một số dương, dấu bất đẳng thức không thay đổi:

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Cả hai bất đẳng thức đều được đánh dấu là “nhỏ hơn” (không nhất thiết một dấu hiệu là “nhỏ hơn”, dấu hiệu còn lại không nghiêm ngặt, “nhỏ hơn hoặc bằng”). Chúng tôi không thể đánh dấu cả hai giải pháp, nhưng sử dụng quy tắc "". Nhỏ nhất là 1, do đó, hệ thống giảm xuống bất bình đẳng

Chúng tôi đánh dấu giải pháp của nó trên dãy số:

Đáp số: x∈ (-∞; 1].

Chúng tôi mở ngoặc. Trong bất đẳng thức thứ nhất -. Nó bằng tổng các lập phương của các biểu thức này.

Trong thứ hai - tích của tổng và hiệu của hai biểu thức, bằng hiệu của bình phương. Vì ở đây có một dấu trừ phía trước dấu ngoặc, tốt hơn nên mở chúng theo hai giai đoạn: đầu tiên sử dụng công thức, và chỉ sau đó mở dấu ngoặc, thay đổi dấu của mỗi số hạng thành ngược lại.

Chúng ta chuyển các ẩn số sang một phía, các ẩn số đã biết sang một phía có dấu hiệu ngược lại:

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Cả hai đều lớn hơn dấu hiệu. Sử dụng quy tắc “nhiều hơn”, chúng ta giảm hệ bất đẳng thức thành một bất đẳng thức. Số lớn hơn trong hai số là 5, vì vậy

Title = "(! LANG: Được hiển thị bởi QuickLaTeX.com">!}

Chúng tôi đánh dấu nghiệm của bất phương trình trên một trục số và viết ra câu trả lời:

Đáp số: x∈ (5; ∞).

Vì hệ bất phương trình tuyến tính xảy ra trong đại số không chỉ là nhiệm vụ độc lập mà còn trong quá trình giải các loại phương trình, bất phương trình, v.v., nên điều quan trọng là phải tìm hiểu chủ đề này kịp thời.

Lần tới chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về giải hệ bất phương trình tuyến tính trong các trường hợp đặc biệt khi một trong các bất phương trình không có nghiệm hoặc bất kỳ số nào là nghiệm của nó.

Phiếu tự đánh giá: |

xem thêm Giải bài toán lập trình tuyến tính bằng đồ thị, Dạng chuẩn của bài toán lập trình tuyến tính

Hệ thống các ràng buộc cho một bài toán như vậy bao gồm các bất đẳng thức trong hai biến số:
và hàm mục tiêu có dạng F = C 1 x + C 2 y, được tối đa hóa.

Cùng trả lời câu hỏi: cặp số nào ( x; y) là các nghiệm của hệ bất phương trình, tức là chúng có thỏa mãn đồng thời từng bất phương trình không? Nói cách khác, nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống bằng đồ thị?
Trước tiên, bạn cần hiểu nghiệm của một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số là gì.
Để giải một bất phương trình tuyến tính với hai ẩn số có nghĩa là xác định tất cả các cặp giá trị của ẩn số mà bất đẳng thức được thỏa mãn.
Ví dụ, bất đẳng thức 3 x – 5y≥ 42 thỏa mãn các cặp ( x , y): (100, 2); (3, –10), v.v ... Vấn đề là tìm tất cả các cặp như vậy.
Xét hai bất đẳng thức: cây rìu + qua≤ c, cây rìu + qua≥ c. Thẳng cây rìu + qua = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng sao cho tọa độ các điểm của một trong số chúng thỏa mãn bất đẳng thức cây rìu + qua >c, và sự bất bình đẳng khác cây rìu + +qua <c.
Thật vậy, lấy một điểm với tọa độ x = x Số 0; sau đó một điểm nằm trên một đường thẳng và có một abscissa x 0, có một sắp xếp

Hãy để cho sự dứt khoát một& lt0, b>0, c> 0. Tất cả các điểm với abscissa x 0 ở trên P(ví dụ: dấu chấm M), có y M>y 0 và tất cả các điểm dưới điểm P, với abscissa x 0, có yN<y 0. Trong chừng mực x 0 là một điểm tùy ý, khi đó sẽ luôn có các điểm ở một phía của đoạn thẳng mà cây rìu+ qua > c, tạo thành một nửa mặt phẳng và mặt khác, các điểm cây rìu + qua< c.

Bức tranh 1

Dấu bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng phụ thuộc vào các số một, b , c.
Điều này ngụ ý phương pháp sau đây cho giải pháp đồ thị của hệ thống bất phương trình tuyến tính trong hai biến. Để giải quyết hệ thống, bạn cần:

1. Với mỗi bất phương trình, hãy viết phương trình tương ứng với bất phương trình đã cho.
2. Dựng các đường là đồ thị của hàm số đã cho bởi phương trình.
3. Đối với mỗi đường thẳng, xác định nửa mặt phẳng, được cho bởi bất đẳng thức. Để làm điều này, lấy một điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng, thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức. nếu bất phương trình đúng, thì nửa mặt phẳng chứa điểm được chọn là nghiệm của bất phương trình ban đầu. Nếu bất phương trình sai, thì nửa mặt phẳng bên kia đường thẳng là tập nghiệm của bất phương trình này.
4. Để giải một hệ bất phương trình, cần tìm diện tích giao của tất cả các nửa mặt phẳng là nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ.

Khu vực này có thể biến thành trống, khi đó hệ bất phương trình không có lời giải, nó không nhất quán. Nếu không, hệ thống được cho là tương thích.
Các giải pháp có thể là một số hữu hạn và một tập hợp vô hạn. Khu vực có thể là một đa giác khép kín hoặc nó có thể là không giới hạn.

Hãy xem ba ví dụ có liên quan.

Ví dụ 1. Giải hệ thống bằng đồ thị:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• Xét các phương trình x + y – 1 = 0 và –2x – 2y + 5 = 0 tương ứng với các bất phương trình;
• chúng ta hãy xây dựng các đường thẳng cho bởi các phương trình này.

Hình 2

Chúng ta hãy xác định các nửa mặt phẳng được cho bởi các bất đẳng thức. Lấy một điểm tùy ý, cho (0; 0). Coi như x+ y– 1 0, chúng ta thay điểm (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. do đó, trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, x + y – 1 ≤ 0, tức là nửa mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng là nghiệm của bất phương trình bậc nhất. Thay điểm này (0; 0) vào điểm thứ hai, ta được: –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tức là trong nửa mặt phẳng mà điểm (0; 0) nằm, -2 x – 2y+ 5≥ 0, và chúng tôi được hỏi ở đâu -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, do đó, trong một nửa mặt phẳng khác - trong một nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
Tìm giao tuyến của hai nửa mặt phẳng này. Các đường thẳng song song nên các mặt phẳng không cắt nhau ở đâu có nghĩa là hệ bất phương trình này không có nghiệm, không nhất quán.

Ví dụ 2. Tìm lời giải bằng đồ thị cho hệ bất phương trình:

Hình 3
1. Viết các phương trình tương ứng với các bất phương trình và dựng các đoạn thẳng.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Chọn điểm (0; 0), ta xác định được dấu của bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, tức là x + 2y- 2 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng;
0 - 0 - 1 ≤ 0, tức là y –x- 1 ≤ 0 trong nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng;
0 + 2 = 2 ≥ 0, tức là y+ 2 ≥ 0 trong nửa mặt phẳng trên đoạn thẳng.
3. Giao tuyến của ba nửa mặt phẳng này sẽ có diện tích là một tam giác. Không khó để tìm các đỉnh của miền là giao điểm của các đường tương ứng


Vì vậy, NHƯNG(–3; –2), TẠI(0; 1), Với(6; –2).

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ nữa, trong đó miền kết quả của giải pháp của hệ thống không bị giới hạn.

Định nghĩa 1 . tập hợp các điểm trong không gian R n, có tọa độ thỏa mãn phương trình một 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ một N x N = b, được gọi là ( N - 1 ) siêu phẳng có chiều trong N-không gian chiều.

Định lý 1. Siêu phẳng chia tất cả không gian thành hai nửa không gian. Nửa không gian là một tập hợp lồi.

Giao của một số hữu hạn nửa không gian là một tập lồi.

Định lý 2 . Giải bất phương trình tuyến tính với N không xác định

một 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ một N x N b

là một trong những nửa không gian mà toàn bộ không gian được chia bởi siêu phẳng

một 1 X 1 + một 2 X 2 +…+một N x n = b.

Xem xét một hệ thống từ m bất đẳng thức tuyến tính với N không xác định.

Nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ là một nửa không gian nhất định. Nghiệm của hệ thống sẽ là giao của tất cả các nửa không gian. Tập hợp này sẽ đóng và lồi.

Giải hệ bất phương trình tuyến tính

với hai biến

Hãy để một hệ thống được đưa ra m bất đẳng thức tuyến tính hai biến.

Nghiệm của mỗi bất phương trình sẽ là một trong các nửa mặt phẳng mà toàn bộ mặt phẳng được chia bởi đường thẳng tương ứng. Nghiệm của hệ sẽ là giao tuyến của các nửa mặt phẳng này. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng đồ thị trên máy bay X 1 0 X 2 .

37. Biểu diễn của một khối đa diện lồi

Định nghĩa 1. Đã đóng cửa lồi lõm bộ giới hạn trong R n có một số hữu hạn điểm góc, được gọi là lồi N-đa diện đều.

Định nghĩa 2 . Một tập hợp lồi đóng không giới hạn trong R n, mà có một số điểm góc hữu hạn, được gọi là một vùng đa diện lồi.

Định nghĩa 3 . Một loạt các NHƯNGR n được gọi là giới hạn nếu có N-bóng chiều có chứa bộ này.

Định nghĩa 4. Một tổ hợp tuyến tính lồi của các điểm là một biểu thức trong đó t i ,.

Định lý (định lý biểu diễn cho khối đa diện lồi). Bất kỳ điểm nào của khối đa diện lồi đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính lồi của các điểm góc của nó.

38. Diện tích nghiệm của hệ phương trình và bất phương trình.

Hãy để một hệ thống được đưa ra m phương trình tuyến tính và bất phương trình với N không xác định.

Định nghĩa 1 . Chấm R n được gọi là một nghiệm khả vi của hệ nếu tọa độ của nó thỏa mãn các phương trình và bất phương trình của hệ. Tổng của tất cả các giải pháp khả thi được gọi là miền của các giải pháp khả thi (ROA) của hệ thống.

Định nghĩa 2. Một nghiệm khả thi có tọa độ không âm được gọi là một nghiệm có thể chấp nhận được của hệ thống. Tập hợp tất cả các giải pháp có thể chấp nhận được gọi là vùng các giải pháp có thể chấp nhận (DDR) của hệ thống.

Định lý 1 . ODE là một tập con đóng, lồi, có giới hạn (hoặc không có giới hạn) trong R N.

Định lý 2. Một giải pháp chấp nhận được của hệ thống là một tham chiếu nếu và chỉ khi điểm này là điểm góc của ODS.

Định lý 3 (định lý về biểu diễn của ODT). Nếu ODE là một tập có giới hạn, thì bất kỳ giải pháp chấp nhận nào có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính lồi của các điểm góc của ODE (dưới dạng kết hợp tuyến tính lồi của các nghiệm hỗ trợ của hệ thống).

Định lý 4 (định lý về sự tồn tại của một nghiệm hỗ trợ của hệ). Nếu hệ thống có ít nhất một giải pháp chấp nhận được (ODR), thì trong số các giải pháp chấp nhận được có ít nhất một giải pháp tham chiếu.

Chỉ có "X" và chỉ trục abscissa, bây giờ "Y" được thêm vào và trường hoạt động mở rộng ra toàn bộ mặt phẳng tọa độ. Xa hơn trong văn bản, cụm từ "bất đẳng thức tuyến tính" được hiểu theo nghĩa hai chiều, điều này sẽ trở nên rõ ràng sau vài giây.

Ngoài phần hình học giải tích, tài liệu có liên quan đến một số bài toán về giải tích toán học, mô hình toán kinh tế và toán học, vì vậy tôi khuyên các bạn nên học bài giảng này với tất cả sự nghiêm túc.

Bất bình đẳng tuyến tính

Có hai loại bất đẳng thức tuyến tính:

1) Khắt khe bất bình đẳng:.

2) Không nghiêm ngặt bất bình đẳng:.

Ý nghĩa hình học của các bất đẳng thức này là gì? Nếu một phương trình tuyến tính xác định một đường thẳng, thì một bất đẳng thức tuyến tính xác định nửa mặt phẳng.

Để hiểu thông tin dưới đây, bạn cần biết các loại đường trên mặt phẳng và có thể dựng đường. Phần này nếu gặp khó khăn thì đọc phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của hàm- một đoạn văn về một hàm tuyến tính.

Hãy bắt đầu với các bất đẳng thức tuyến tính đơn giản nhất. Giấc mơ màu xanh của bất kỳ kẻ thua cuộc nào là một mặt phẳng tọa độ mà trên đó không có gì cả:

Như bạn đã biết, trục abscissa được cho bởi phương trình - “y” luôn luôn (với bất kỳ giá trị nào của “x”) bằng 0

Hãy xem xét bất đẳng thức. Làm thế nào để hiểu nó một cách không chính thức? "Y" luôn luôn (với bất kỳ giá trị nào của "x") dương. Rõ ràng là bất đẳng thức này xác định nửa mặt phẳng trên, vì tất cả các điểm có "trò chơi" dương đều nằm ở đó.

Trong trường hợp bất đẳng thức không nghiêm ngặt, nửa mặt phẳng trên Ngoài ra trục được thêm vào.

Tương tự: bất đẳng thức thỏa mãn bởi mọi điểm thuộc nửa mặt phẳng dưới, bất đẳng thức không nghiêm tương ứng với nửa mặt phẳng dưới + trục.

Với trục y, cùng một câu chuyện bình thường:

- bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên phải;
- bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên phải, bao gồm cả trục y;
- bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên trái;
- bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng bên trái, bao gồm cả trục y.

Ở bước thứ hai, chúng ta xem xét các bất đẳng thức trong đó thiếu một trong các biến số.

Thiếu "y":

Hoặc thiếu "x":

Những bất bình đẳng này có thể được giải quyết theo hai cách. vui lòng xem xét cả hai cách tiếp cận. Trên đường đi, chúng ta hãy ghi nhớ và củng cố các thao tác học với các bất đẳng thức đã được thảo luận trong bài Phạm vi chức năng.

ví dụ 1

Giải các bất phương trình tuyến tính:

Nó có nghĩa là gì để giải quyết một bất đẳng thức tuyến tính?

Để giải một bất đẳng thức tuyến tính có nghĩa là tìm một nửa mặt phẳng, có điểm thỏa mãn bất đẳng thức đã cho (cộng với dòng chính nó, nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt). Quyết định, thông thường, đồ họa.

Sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện ngay bản vẽ và sau đó nhận xét mọi thứ:

a) Giải bất phương trình

Phương pháp một

Phương pháp này rất giống với câu chuyện với các trục tọa độ, mà chúng ta đã thảo luận ở trên. Ý tưởng là biến đổi bất đẳng thức - để lại một biến ở bên trái mà không có bất kỳ hằng số nào, trong trường hợp này là biến x.

luật lệ: Trong bất đẳng thức, các số hạng được chuyển từ phần này sang phần khác với dấu thay đổi, trong khi dấu của bất đẳng thức chính nó không thay đổi(ví dụ: nếu có một dấu "nhỏ hơn", thì nó sẽ vẫn là "nhỏ hơn").

Chúng tôi chuyển "năm" sang phía bên phải với một sự thay đổi của dấu hiệu:

luật lệ TÍCH CỰC không thay đổi.

Bây giờ vẽ một đường thẳng (đường đứt nét màu xanh lam). Đường thẳng bị đứt vì bất đẳng thức khắt khe, và những điểm thuộc dòng này chắc chắn sẽ không có trong lời giải.

Ý nghĩa của bất đẳng thức là gì? "X" luôn luôn (với bất kỳ giá trị nào của "y") nhỏ hơn. Rõ ràng, khẳng định này được thỏa mãn bởi tất cả các điểm thuộc nửa mặt phẳng bên trái. Về nguyên tắc, nửa mặt phẳng này có thể được tô bóng, nhưng tôi sẽ giới hạn bản thân ở những mũi tên nhỏ màu xanh lam để không biến bức vẽ thành một bảng màu nghệ thuật.

Phương pháp hai

Đây là một cách phổ quát. ĐỌC RẤT KỸ!

Đầu tiên, hãy vẽ một đường thẳng. Để rõ ràng, bạn nên biểu diễn phương trình dưới dạng.

Bây giờ hãy chọn bất kỳ điểm nào của mặt phẳng, không thuộc một đường thẳng. Tất nhiên, trong hầu hết các trường hợp, điểm ngon nhất. Thay tọa độ của điểm này vào bất đẳng thức:

Nhận bất bình đẳng sai(nói một cách dễ hiểu, điều này không thể xảy ra), có nghĩa là điểm không thỏa mãn bất đẳng thức.

Quy tắc quan trọng trong nhiệm vụ của chúng tôi:
không thỏa mãn bất bình đẳng, sau đó TẤT CẢ CÁCđiểm của một nửa mặt phẳng đã cho không hài lòngđến sự bất bình đẳng này.
- Nếu một điểm bất kỳ thuộc nửa mặt phẳng (không thuộc đoạn thẳng) thỏa mãn bất bình đẳng, sau đó TẤT CẢ CÁCđiểm của một nửa mặt phẳng đã cho làm vui lòngđến sự bất bình đẳng này.

Bạn có thể kiểm tra: bất kỳ điểm nào bên phải đường thẳng sẽ không thỏa mãn bất đẳng thức.

Rút ra kết luận gì từ thí nghiệm với dấu chấm? Không có nơi nào để đi, bất đẳng thức được thỏa mãn bởi tất cả các điểm khác - nửa mặt phẳng bên trái (bạn cũng có thể kiểm tra).

b) Giải bất phương trình

Phương pháp một

Hãy biến đổi bất đẳng thức:

luật lệ: Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) với TỪ CHỐI số, trong khi dấu bất đẳng thức THAY ĐỔI ngược lại (ví dụ: nếu có một dấu "lớn hơn hoặc bằng", thì nó sẽ trở thành "nhỏ hơn hoặc bằng").

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với:

Hãy vẽ một đường thẳng (màu đỏ), hơn nữa, hãy vẽ một đường liền nét, vì chúng ta có bất đẳng thức không nghiêm ngặt, và dòng chắc chắn thuộc về giải pháp.

Sau khi phân tích bất đẳng thức thu được, chúng tôi đi đến kết luận rằng nghiệm của nó là nửa mặt phẳng dưới (+ đường thẳng).

Một nửa mặt phẳng thích hợp được làm nở hoặc đánh dấu bằng các mũi tên.

Phương pháp hai

Hãy vẽ một đường thẳng. Ví dụ, chúng ta hãy chọn một điểm tùy ý của mặt phẳng (không thuộc đường thẳng) và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng ta:

Nhận sự bất bình đẳng đúng, thì điểm thỏa mãn bất đẳng thức, và nói chung, TẤT CẢ các điểm thuộc nửa mặt phẳng dưới thỏa mãn bất đẳng thức này.

Ở đây, với điểm thử nghiệm, chúng tôi "đánh trúng" nửa mặt phẳng mong muốn.

Giải pháp cho vấn đề được chỉ ra bằng một đường thẳng màu đỏ và các mũi tên màu đỏ.

Cá nhân tôi, tôi thích giải pháp đầu tiên hơn, vì giải pháp thứ hai là trang trọng hơn.

Ví dụ 2

Giải các bất phương trình tuyến tính:

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Cố gắng giải quyết vấn đề theo hai cách (nhân tiện, đây là một cách tốt để kiểm tra lời giải). Trong câu trả lời ở cuối bài sẽ chỉ có hình vẽ cuối cùng.

Tôi nghĩ rằng sau tất cả các hành động được thực hiện trong các ví dụ, bạn sẽ phải kết hôn với chúng, sẽ không khó để giải bất đẳng thức đơn giản nhất, như, v.v.

Chúng ta chuyển sang việc xem xét trường hợp thứ ba, trường hợp tổng quát, khi cả hai biến số đều tồn tại trong bất đẳng thức:

Ngoài ra, thuật ngữ tự do "ce" có thể bằng không.

Ví dụ 3

Tìm các nửa mặt phẳng ứng với các bất đẳng thức sau:

Quyết định: Điều này sử dụng phương pháp thay thế điểm phổ quát.

a) Hãy xây dựng phương trình của một đường thẳng, trong khi đường thẳng nên được vẽ bằng một đường chấm, vì bất đẳng thức nghiêm ngặt và bản thân đường thẳng sẽ không có trong nghiệm.

Ví dụ, chúng tôi chọn một điểm thực nghiệm của mặt phẳng không thuộc đường thẳng đã cho và thay thế tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng tôi:

Nhận bất bình đẳng sai, do đó điểm và TẤT CẢ các điểm của nửa mặt phẳng này không thỏa mãn bất đẳng thức. Lời giải cho bất phương trình sẽ là một nửa mặt phẳng khác, chúng ta cùng chiêm ngưỡng tia chớp xanh:

b) Hãy giải bất phương trình. Hãy vẽ một đường thẳng trước. Điều này rất dễ thực hiện, chúng ta có một tỷ lệ thuận chính tắc. Đường thẳng được vẽ chắc chắn, vì sự bất bình đẳng không nghiêm ngặt.

Ta chọn một điểm tùy ý của mặt phẳng không thuộc đường thẳng. Tôi muốn sử dụng lại nguồn gốc, nhưng, than ôi, bây giờ nó không phù hợp. Do đó, bạn sẽ phải làm việc với một người bạn gái khác. Ví dụ: lấy một điểm có giá trị tọa độ nhỏ sẽ có lợi hơn. Thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức của chúng ta:

Nhận sự bất bình đẳng đúng, do đó điểm và tất cả các điểm thuộc nửa mặt phẳng đã cho thỏa mãn bất đẳng thức. Nửa mặt phẳng mong muốn được đánh dấu bằng các mũi tên màu đỏ. Ngoài ra, giải pháp bao gồm chính dòng.

Ví dụ 4

Tìm các nửa mặt phẳng tương ứng với các bất đẳng thức:

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Lời giải đầy đủ, bài mẫu hoàn thiện thô và đáp án cuối bài.

Hãy xem xét vấn đề ngược lại:

Ví dụ 5

a) Cho một đoạn thẳng. Định nghĩa nửa mặt phẳng mà điểm nằm, trong khi đường thẳng phải được đưa vào lời giải.

b) Cho một đoạn thẳng. Định nghĩa nửa mặt phẳng mà điểm đó nằm. Dòng chính nó không được bao gồm trong giải pháp.

Quyết định: ở đây không cần hình vẽ và lời giải sẽ mang tính chất phân tích. Không có gì khó:

a) Lập một đa thức phụ và tính giá trị của nó tại điểm:
. Do đó, bất đẳng thức mong muốn sẽ có dấu "nhỏ hơn". Theo điều kiện, dòng được bao gồm trong lời giải, vì vậy bất đẳng thức sẽ không nghiêm ngặt:

b) Viết đa thức và tính giá trị của nó tại điểm:
. Do đó, bất đẳng thức mong muốn sẽ có dấu "lớn hơn". Theo điều kiện, dòng không được bao gồm trong lời giải, do đó, bất đẳng thức sẽ nghiêm ngặt:.

Trả lời:

Ví dụ sáng tạo để tự học:

Ví dụ 6

Cho điểm và một đoạn thẳng. Trong số các điểm được liệt kê, hãy tìm những điểm mà cùng với gốc tọa độ, nằm trên cùng một phía của đường thẳng cho trước.

Gợi ý một chút: trước tiên bạn cần viết một bất đẳng thức xác định nửa mặt phẳng mà gốc tọa độ. Bài giải phân tích và đáp án cuối bài.

Hệ bất đẳng thức tuyến tính

Như bạn hiểu, một hệ thống các bất đẳng thức tuyến tính là một hệ thống bao gồm một số bất đẳng thức. Lol, chà, tôi đưa ra định nghĩa =) Một con nhím là một con nhím, một con dao là một con dao. Nhưng sự thật là - nó hóa ra đơn giản và giá cả phải chăng! Không, thực sự mà nói, tôi không muốn đưa ra một số ví dụ một cách chung chung, vì vậy chúng ta hãy chuyển ngay sang các vấn đề cấp bách:

Nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống bất phương trình tuyến tính?

Giải hệ bất phương trình tuyến tính- nó có nghĩa là tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn cho mỗi hệ bất đẳng thức.

Ví dụ đơn giản nhất, hãy xem xét các hệ thống bất đẳng thức xác định các phần tư tọa độ của một hệ tọa độ hình chữ nhật ("hình vẽ của hai" nằm ở đầu bài học):

Hệ bất đẳng thức xác định phần tư tọa độ đầu tiên (phía trên bên phải). Tọa độ của bất kỳ điểm nào trong quý đầu tiên, ví dụ, vân vân. làm vui lòng cho mỗi bất bình đẳng của hệ thống này.

Tương tự:
- hệ thống bất đẳng thức xác định phần tư tọa độ thứ hai (phía trên bên trái);
- hệ thống bất đẳng thức xác định phần tư tọa độ thứ ba (phía dưới bên trái);
- hệ thống bất phương trình xác định phần tư tọa độ (phía dưới bên phải).

Một hệ bất phương trình tuyến tính có thể không có nghiệm, nghĩa là, trở thành không tương thích. Một lần nữa, ví dụ đơn giản nhất:. Rõ ràng là "x" không thể nhiều hơn ba và nhỏ hơn hai cùng một lúc.

Lời giải cho hệ bất phương trình có thể là một đường thẳng, ví dụ:. Thiên nga, tôm càng, không cần pike, kéo xe theo hai hướng khác nhau. Vâng, mọi thứ vẫn ở đó - giải pháp cho hệ thống này là một đường thẳng.

Nhưng trường hợp phổ biến nhất, khi giải pháp của hệ thống là một số khu vực máy bay. Khu vực quyết định có lẽ vô hạn(ví dụ: tọa độ phần tư) hoặc giới hạn. Miền giới hạn của các giải pháp được gọi là hệ thống giải pháp đa giác.

Ví dụ 7

Giải hệ bất phương trình tuyến tính

Trong thực tế, trong hầu hết các trường hợp, bạn phải giải quyết các bất đẳng thức không nghiêm ngặt, vì vậy họ sẽ nhảy phần còn lại của bài học.

Quyết định: thực tế là có quá nhiều bất bình đẳng không nên đáng sợ. Có thể có bao nhiêu bất phương trình trong một hệ? Có, bao nhiêu tùy thích. Điều chính là tuân thủ một thuật toán hợp lý để xây dựng vùng giải pháp:

1) Đầu tiên, chúng ta giải quyết các bất đẳng thức đơn giản nhất. Các bất đẳng thức xác định phần tư tọa độ đầu tiên, bao gồm cả ranh giới của các trục tọa độ. Đã dễ dàng hơn nhiều, vì khu vực tìm kiếm đã thu hẹp đáng kể. Trong hình vẽ, chúng ta đánh dấu ngay các nửa mặt phẳng tương ứng bằng các mũi tên (mũi tên đỏ và xanh)

2) Bất đẳng thức đơn giản thứ hai - không có "y" ở đây. Thứ nhất, chúng ta xây dựng đường thẳng, và thứ hai, sau khi biến đổi bất đẳng thức về dạng, ngay lập tức ta thấy rằng tất cả các "x" đều nhỏ hơn 6. Chúng ta đánh dấu nửa mặt phẳng tương ứng bằng các mũi tên màu xanh lá cây. Chà, khu vực tìm kiếm thậm chí còn trở nên nhỏ hơn - một hình chữ nhật không bị giới hạn từ phía trên.

3) Ở bước cuối cùng, chúng ta giải các bất đẳng thức “với đầy đủ đạn dược”:. Chúng ta đã thảo luận chi tiết về thuật toán giải trong phần trước. Tóm lại: đầu tiên chúng ta dựng một đường thẳng, sau đó với sự trợ giúp của một điểm thực nghiệm, chúng ta tìm được nửa mặt phẳng mà chúng ta cần.

Các con hãy đứng lên, đứng thành vòng tròn:


Diện tích dung dịch của hệ là một đa giác, trong hình vẽ được khoanh bằng đường đỏ thẫm và tô bóng. Tôi đã tô quá mức một chút =) Trong sổ tay, nó đủ để tô bóng cho khu vực \ u200b \ u200bsolutions, hoặc phác thảo nó đậm hơn bằng một cây bút chì đơn giản.

Bất kỳ điểm nào của đa giác này đều thỏa mãn MỌI bất đẳng thức của hệ (nếu muốn, bạn có thể kiểm tra).

Trả lời: nghiệm của hệ là một đa giác.

Khi tạo một bản sao sạch, sẽ rất tốt nếu bạn mô tả chi tiết những điểm bạn đã tạo đường thẳng (xem bài học Đồ thị và tính chất của hàm), và cách xác định các nửa mặt phẳng (xem đoạn đầu tiên của bài học này). Tuy nhiên, trên thực tế, trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ được ghi nhận chỉ với bản vẽ chính xác. Bản thân các tính toán có thể được thực hiện trên bản nháp hoặc thậm chí bằng miệng.

Ngoài đa giác nghiệm của hệ thống, trong thực tế, mặc dù ít thường xuyên hơn, vẫn có một vùng mở. Hãy tự mình phân tích cú pháp ví dụ sau. Mặc dù, vì mục đích chính xác, không có sự tra tấn nào ở đây - thuật toán xây dựng giống nhau, chỉ là diện tích sẽ không bị giới hạn.

Ví dụ 8

Giải quyết hệ thống

Lời giải và đáp án cuối bài. Bạn rất có thể sẽ có các ký hiệu chữ cái khác cho các đỉnh của vùng kết quả. Điều này không quan trọng, cái chính là tìm các đỉnh một cách chính xác và xây dựng khu vực một cách chính xác.

Không có gì lạ khi trong các nhiệm vụ, yêu cầu không chỉ xây dựng miền nghiệm của hệ mà còn phải tìm tọa độ các đỉnh của miền. Trong hai ví dụ trước, tọa độ của những điểm này là hiển nhiên, nhưng trên thực tế, mọi thứ đều khác xa với băng:

Ví dụ 9

Giải hệ và tìm tọa độ các đỉnh của vùng kết quả

Quyết định: chúng ta sẽ mô tả khu vực các giải pháp của hệ thống này trong hình vẽ. Bất đẳng thức đặt nửa mặt phẳng bên trái với trục y, và không có thêm phần nào ở đây. Sau khi tính toán về một quy trình sạch / dự thảo hoặc suy nghĩ sâu sắc, chúng tôi nhận được khu vực quyết định sau: