Bộ Giáo dục Cộng hòa Belarus

cơ sở giáo dục

Đại học bang Gomel được đặt tên theo F. Skaryna "

Khoa Toán học

Cục MPM

Phép biến đổi giống nhau của biểu thức và phương pháp dạy học sinh cách thực hiện chúng

Người thi hành:

Sinh viên Starodubova A.Yu.

Người giám sát:

Ngọn nến. vật lý và toán học Khoa học, Phó Giáo sư Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Giới thiệu

1 Các dạng biến đổi chính và các giai đoạn nghiên cứu của chúng. Các giai đoạn thành thạo ứng dụng của phép biến hình

Sự kết luận

Văn chương

Giới thiệu

Các phép biến đổi đơn giản nhất của biểu thức và công thức, dựa trên các tính chất của phép toán số học, được thực hiện ở tiểu học và lớp 5 và lớp 6. Việc hình thành các kỹ năng và khả năng thực hiện các phép biến hình diễn ra trong quá trình học đại số. Điều này có liên quan đến cả sự gia tăng mạnh mẽ về số lượng và sự đa dạng của các phép biến đổi được thực hiện, và sự phức tạp của các hoạt động nhằm chứng minh chúng và làm rõ các điều kiện áp dụng, với việc xác định và nghiên cứu các khái niệm tổng quát về đồng nhất, phép biến đổi giống hệt nhau, phép biến đổi tương đương.

1. Các dạng biến đổi chính và các giai đoạn nghiên cứu của chúng. Các giai đoạn thành thạo ứng dụng của phép biến hình

1. Khởi đầu của đại số

Hệ thống biến đổi không phân vùng được sử dụng, được biểu thị bằng các quy tắc để thực hiện các hành động trên một hoặc cả hai phần của công thức. Mục tiêu là đạt được sự thành thạo trong việc thực hiện các nhiệm vụ giải các phương trình đơn giản nhất, đơn giản hóa các công thức xác định các hàm, trong việc thực hiện các phép tính một cách hợp lý dựa trên các thuộc tính của các hành động.

Ví dụ điển hình:

Giải phương trình:

một) ; b); trong) .

Phép biến đổi danh tính (a); tương đương và giống hệt nhau (b).

2. Hình thành kỹ năng vận dụng các dạng phép biến hình cụ thể

Kết luận: các công thức nhân viết tắt; các phép biến đổi kết hợp với lũy thừa; các phép biến đổi liên quan đến các lớp khác nhau của các hàm cơ bản.

Tổ chức một hệ thống biến đổi tổng thể (tổng hợp)

Mục tiêu là hình thành một bộ máy linh hoạt và mạnh mẽ, phù hợp để sử dụng vào việc giải quyết nhiều nhiệm vụ giáo dục.. Việc chuyển sang giai đoạn này được thực hiện trong lần học lại cuối cùng trong quá trình lĩnh hội tài liệu đã biết đã học ở các phần, đối với một số dạng phép biến hình, phép biến đổi biểu thức lượng giác được bổ sung vào các dạng đã học trước đó. Tất cả các phép biến đổi này có thể được gọi là phép biến đổi “đại số” và phép biến đổi “phân tích” bao gồm các phép biến đổi dựa trên các quy tắc phân biệt và tích phân và phép biến đổi các biểu thức có chứa các phép chuyển đổi giới hạn. Sự khác biệt của kiểu này là ở bản chất của tập hợp mà các biến chạy qua trong các đồng nhất (tập hợp hàm nhất định).

Các danh tính đang được nghiên cứu được chia thành hai lớp:

Tôi là danh tính nhân viết tắt hợp lệ trong một vòng giao hoán và danh tính

công bằng trong lĩnh vực này.

II - đồng nhất kết nối các phép toán số học và các hàm cơ bản cơ bản.

2 Đặc điểm của tổ chức hệ thống nhiệm vụ trong nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau

Nguyên tắc cơ bản của việc tổ chức hệ thống nhiệm vụ là trình bày chúng từ đơn giản đến phức tạp.

Chu kỳ tập thể dục- sự kết hợp trong chuỗi các bài tập của một số khía cạnh của nghiên cứu và phương pháp sắp xếp tài liệu. Khi nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau, chu trình của các bài tập được kết nối với việc nghiên cứu một danh tính, xung quanh đó các danh tính khác được nhóm lại, có mối liên hệ tự nhiên với nó. Thành phần của chu trình, cùng với các nhiệm vụ điều hành, bao gồm các nhiệm vụ, yêu cầu công nhận khả năng áp dụng của danh tính được xem xét. Danh tính đang được nghiên cứu được sử dụng để thực hiện các phép tính trên các miền số khác nhau. Nhiệm vụ trong mỗi chu kỳ được chia thành hai nhóm. Đến Đầu tiên bao gồm các nhiệm vụ được thực hiện trong quá trình làm quen ban đầu với danh tính. Chúng dùng làm tài liệu giảng dạy cho nhiều bài học liên tiếp, thống nhất theo một chủ đề.

Nhóm thứ hai bài tập kết nối danh tính đang nghiên cứu với các ứng dụng khác nhau. Nhóm này không tạo thành một thể thống nhất về mặt cấu tạo - các bài tập ở đây nằm rải rác theo các chủ đề khác nhau.

Các cấu trúc được mô tả của chu trình đề cập đến giai đoạn hình thành các kỹ năng áp dụng các phép biến đổi cụ thể.

Ở giai đoạn tổng hợp, các chu trình thay đổi, các nhóm nhiệm vụ được kết hợp theo hướng phức tạp và các chu trình liên quan đến các danh tính khác nhau được hợp nhất, điều này làm tăng vai trò của các hành động nhận biết khả năng áp dụng của một hoặc một danh tính khác.

Ví dụ.

Chu kỳ nhiệm vụ nhận dạng:

Tôi nhóm nhiệm vụ:

a) trình bày dưới dạng một sản phẩm:

b) Kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức:

c) Mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức:

.

d) Tính:

e) Cơ sở hóa:

e) đơn giản hóa biểu thức:

.

Các em vừa được làm quen với việc lập định danh, ghi chép dưới dạng định danh, vừa chứng minh.

Nhiệm vụ a) được kết nối với việc sửa chữa cấu trúc của danh tính đang được nghiên cứu, với việc thiết lập kết nối với các tập hợp số (so sánh cấu trúc dấu hiệu của nhận dạng và biểu thức đang được chuyển đổi; thay thế một chữ cái bằng một số trong danh tính). Trong ví dụ cuối cùng, nó vẫn chưa được giảm xuống dạng đang nghiên cứu. Trong các ví dụ sau (e và g), có một sự phức tạp gây ra bởi vai trò ứng dụng của danh tính và sự phức tạp của cấu trúc dấu hiệu.

Các nhiệm vụ thuộc loại b) nhằm phát triển các kỹ năng thay thế trên. Vai trò của nhiệm vụ c) là tương tự.

Ví dụ về loại d), trong đó yêu cầu chọn một trong các hướng chuyển đổi, hoàn thành việc phát triển ý tưởng này.

Nhiệm vụ của nhóm I là tập trung vào việc nắm vững cấu trúc của danh tính, hoạt động của phép thay thế trong các trường hợp đơn giản nhất, về cơ bản là quan trọng nhất và ý tưởng về khả năng đảo ngược của các phép biến đổi được thực hiện bởi danh tính. Sự phong phú của ngôn ngữ có nghĩa là thể hiện các khía cạnh khác nhau của bản sắc cũng rất quan trọng. Ý tưởng về những khía cạnh này được đưa ra bởi các văn bản của nhiệm vụ.

Nhóm nhiệm vụ II.

g) Sử dụng đồng dạng cho, nhân tử của đa thức.

h) Loại bỏ tính vô tỉ ở mẫu số của phân số.

i) Chứng minh rằng nếu là số lẻ thì nó chia hết cho 4.

j) Hàm được cho bởi biểu thức phân tích

.

Loại bỏ dấu hiệu modulo bằng cách xem xét hai trường hợp:,.

l) Giải phương trình .

Những nhiệm vụ này nhằm mục đích sử dụng đầy đủ nhất có thể và xem xét các chi tiết cụ thể của danh tính cụ thể này, gợi ý hình thành các kỹ năng sử dụng danh tính đang được nghiên cứu cho sự khác biệt của các ô vuông. Mục đích là để hiểu sâu hơn về nhận dạng bằng cách xem xét các ứng dụng khác nhau của nó trong các tình huống khác nhau, kết hợp với việc sử dụng tài liệu liên quan đến các chủ đề khác của khóa học toán học.

hoặc .

Đặc điểm của chu trình công việc liên quan đến danh tính cho các chức năng cơ bản:

1) chúng được nghiên cứu trên cơ sở vật liệu chức năng;

2) danh tính của nhóm đầu tiên xuất hiện sau đó và được nghiên cứu bằng cách sử dụng các kỹ năng đã được hình thành để thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau.

Nhóm nhiệm vụ đầu tiên của chu trình nên bao gồm các nhiệm vụ để thiết lập kết nối giữa các vùng số mới này và vùng ban đầu của các số hữu tỉ.

Ví dụ.

Tính toán:

;

.

Mục đích của những công việc này là để nắm vững các tính năng của bản ghi, bao gồm các ký hiệu của các phép toán và chức năng mới, đồng thời phát triển các kỹ năng nói toán học.

Một phần đáng kể của việc sử dụng các phép biến đổi nhận dạng liên quan đến các hàm cơ bản rơi vào lời giải của các phương trình vô tỷ và siêu nghiệm. Trình tự các bước:

a) tìm một hàm φ mà phương trình đã cho f (x) = 0 có thể được biểu diễn dưới dạng:

b) thay thế y = φ (x) và giải phương trình

c) giải từng phương trình φ (x) = y k, với y k là tập nghiệm của phương trình F (y) = 0.

Khi sử dụng phương pháp được mô tả, bước b) thường được thực hiện ngầm, không giới thiệu ký hiệu cho φ (x). Ngoài ra, học sinh thường lựa chọn các con đường khác nhau dẫn đến việc tìm một đáp án để chọn một phương trình dẫn đến phương trình đại số nhanh hơn và dễ dàng hơn.

Ví dụ. Giải phương trình 4 x -3 * 2 = 0.

2) (2 2) x -3 * 2 x = 0 (bước a)

(2 x) 2 -3 * 2 x = 0; 2x (2x-3) = 0; 2 x -3 = 0. (bước b)

Ví dụ. Giải phương trình:

a) 2 2x -3 * 2 x + 2 = 0;

b) 2 2x -3 * 2 x -4 = 0;

c) 2 2x -3 * 2 x + 1 = 0.

(Đề xuất để tự quyết định.)

Phân loại các nhiệm vụ trong các chu kỳ liên quan đến nghiệm của phương trình siêu việt, bao gồm một hàm số mũ:

1) phương trình rút gọn thành phương trình có dạng a x \ u003d y 0 và có câu trả lời đơn giản, tổng quát ở dạng:

2) phương trình rút gọn thành phương trình có dạng a x = a k, với k là số nguyên hoặc a x = b, trong đó b≤0.

3) phương trình rút gọn thành phương trình có dạng a x = y 0 và yêu cầu phân tích rõ ràng dạng trong đó số y 0 được viết rõ ràng.

Lợi ích to lớn là các nhiệm vụ trong đó các phép biến đổi giống hệt nhau được sử dụng để vẽ đồ thị trong khi đơn giản hóa các công thức xác định hàm.

a) Vẽ đồ thị của hàm số y =;

b) Giải phương trình lgx + lg (x-3) = 1

c) trên tập nào thì công thức lg (x-5) + lg (x + 5) = lg (x 2 -25) là một đồng nhất?

Việc sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau trong tính toán. (J. Mathematics at School, số 4, 1983, trang 45)

Nhiệm vụ số 1. Hàm số được cho bởi công thức y = 0,3x 2 + 4,64x-6. Tìm các giá trị của hàm số tại x = 1,2

y (1,2) = 0,3 * 1,2 2 + 4,64 * 1,2-6 = 1,2 (0,3 * 1,2 + 4,64) -6 = 1,2 (0,36 + 4,64) -6 = 1,2 * 5-6 = 0.

Nhiệm vụ số 2. Tính độ dài chân của một tam giác vuông nếu độ dài cạnh huyền của nó là 3,6 cm và chân kia là 2,16 cm.

Nhiệm vụ số 3. Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật có các kích thước a) 0,64m và 6,25m là bao nhiêu; b) 99,8m và 2,6m?

a) 0,64 * 6,25 \ u003d 0,8 2 * 2,5 2 \ u003d (0,8 * 2,5) 2;

b) 99,8 * 2,6 = (100-0,2) 2,6 = 100 * 2,6-0,2 * 2,6 = 260-0,52.

Những ví dụ này làm cho nó có thể tiết lộ ứng dụng thực tế của các phép biến đổi giống hệt nhau. Học sinh cần được làm quen với các điều kiện về tính khả thi của phép biến đổi. (Xem sơ đồ).

-

hình ảnh của một đa thức, trong đó bất kỳ đa thức nào đều phù hợp với các đường bao tròn. (Sơ đồ 1)

-

điều kiện cho tính khả thi của việc chuyển đổi tích của một đơn thức và một biểu thức cho phép chuyển đổi thành hiệu của các bình phương được đưa ra. (sơ đồ 2)

-

ở đây sự nở ra có nghĩa là các đơn thức bằng nhau và một biểu thức được đưa ra cho phép biến đổi thành hiệu các bình phương. (Sơ đồ 3)

-

một biểu thức cho phép loại bỏ một thừa số chung.

Để hình thành cho học sinh kỹ năng xác định các điều kiện, bạn có thể sử dụng các ví dụ sau:

Biểu thức nào sau đây có thể được biến đổi bằng cách đặt thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc:

2)

3) 0,7a 2 + 0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 + 3x2 + 5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Hầu hết các phép tính trong thực tế không thỏa mãn điều kiện khả thi nên học sinh cần có kỹ năng đưa chúng về dạng phép tính biến đổi. Trong trường hợp này, các nhiệm vụ sau là phù hợp:

khi nghiên cứu việc loại bỏ một thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc:

biểu thức này, nếu có thể, hãy chuyển đổi thành một biểu thức, được mô tả bằng sơ đồ 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 + 3n 6 + n 9;

8) 15ab 2 + 5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Khi hình thành khái niệm "phép biến đổi giống hệt nhau", cần nhớ rằng điều này không chỉ có nghĩa là biểu thức đã cho và biểu thức kết quả là kết quả của phép biến đổi nhận các giá trị bằng nhau cho bất kỳ giá trị nào của các chữ cái có trong nó, mà còn cũng như trong quá trình chuyển đổi giống hệt nhau, chúng ta chuyển từ biểu thức xác định một cách đánh giá sang một biểu thức xác định một cách đánh giá khác cùng một giá trị.

Có thể minh họa sơ đồ 5 (quy tắc biến đổi tích của đơn thức và đa thức) bằng các ví dụ minh họa

0,5a (b + c) hoặc 3,8 (0,7+).

Bài tập rèn luyện dấu ngoặc đơn:

Tính giá trị của biểu thức:

a) 4,59 * 0,25 + 1,27 * 0,25 + 2,3-0,25;

b) a + bc tại a = 0,96; b = 4,8; c = 9,8.

c) a (a + c) -c (a + b) với a = 1,4; b = 2,8; c = 5,2.

Chúng ta hãy minh họa bằng các ví dụ về sự hình thành các kỹ năng và năng lực trong tính toán và các phép biến đổi đồng dạng. (J. Toán học ở trường, số 5, 1984, tr. 30)

1) các kỹ năng và khả năng được thu nhận nhanh hơn và được duy trì lâu hơn nếu sự hình thành của chúng xảy ra trên cơ sở có ý thức (nguyên tắc giáo huấn của ý thức).

1) Có thể xây dựng quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số hoặc trước tiên, sử dụng các ví dụ cụ thể, coi bản chất của việc cộng các phần bằng nhau.

2) Khi tính nhân tử bằng cách lấy nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, điều quan trọng là phải xem nhân tử chung này rồi áp dụng luật phân phối. Khi thực hiện các bài tập đầu tiên, rất hữu ích khi viết mỗi số hạng của đa thức dưới dạng tích, một trong những nhân tử của chúng là chung cho tất cả các số hạng:

3a 3 -15a 2 b + 5ab 2 = a3a 2 -a15ab + a5b 2.

Việc này đặc biệt hữu ích khi một trong các đơn thức của đa thức được lấy ra khỏi dấu ngoặc:

II. Giai đoạn đầu hình thành kỹ năng - làm chủ kỹ năng (bài tập có lời giải chi tiết và có ghi chú)

(câu hỏi về dấu hiệu được giải quyết đầu tiên)

Giai đoạn thứ hai- giai đoạn tự động hóa kỹ năng bằng cách loại bỏ một số thao tác trung gian

III. Điểm mạnh của kỹ năng đạt được là nhờ giải được các ví dụ đa dạng cả về nội dung và hình thức.

Chủ đề: “Đánh giá yếu tố chung”.

1. Viết cấp số nhân còn thiếu thay vào đa thức:

2. Nhân thừa để trước dấu ngoặc là đơn thức có hệ số âm:

3. Nhân tử để đa thức trong ngoặc có hệ số nguyên:

4. Giải phương trình:

IV. Việc hình thành các kỹ năng có hiệu quả nhất trong trường hợp thực hiện bằng miệng một số phép tính hoặc phép biến đổi trung gian.

(bằng miệng);

V. Các kĩ năng và năng lực được hình thành cần nằm trong hệ thống kiến ​​thức, kĩ năng và năng lực đã hình thành trước đó của học sinh.

Ví dụ, khi học phân thức nhân tử bằng cách sử dụng công thức nhân rút gọn, các bài tập sau được cung cấp:

Nhân:

VI. Sự cần thiết phải thực hiện hợp lý các phép tính và các phép biến đổi.

trong)Đơn giản hóa biểu thức:

Tính hợp lý nằm ở chỗ mở ngoặc, bởi vì

VII. Chuyển đổi biểu thức có chứa mức độ.

№1011 (Alg.9) Đơn giản hóa biểu thức:

№1012 (Alg.9) Lấy thừa số từ dưới dấu căn:

№1013 (Alg.9) Nhập hệ số dưới dấu căn:

№1014 (Alg.9) Đơn giản hóa biểu thức:

Trong tất cả các ví dụ, thực hiện sơ bộ hoặc tính thừa số, hoặc lấy ra một thừa số chung, hoặc “xem” công thức rút gọn tương ứng.

№1015 (Alg.9) Rút gọn phân số:

Nhiều học sinh gặp một số khó khăn trong việc biến đổi các biểu thức có chứa căn, đặc biệt là khi khảo sát đẳng thức:

Do đó, hãy mô tả chi tiết các biểu thức của biểu mẫu hoặc hoặc đi đến một mức độ với số mũ hữu tỉ.

№1018 (Alg.9) Tìm giá trị của biểu thức:

№1019 (Alg.9) Đơn giản hóa biểu thức:

2.285 (Scanavi) Đơn giản hóa biểu thức

và sau đó vẽ đồ thị hàm y vì

Số 2.299 (Skanavi) Kiểm tra tính hợp lệ của bình đẳng:

Phép biến đổi các biểu thức có chứa bậc là sự tổng quát các kỹ năng và năng lực có được trong việc nghiên cứu các phép biến đổi đồng dạng của các đa thức.

Số 2.320 (Skanavi) Đơn giản hóa biểu thức:

Trong khóa học Đại số 7, các định nghĩa sau đây được đưa ra.

Def. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với giá trị của các biến được cho là giống hệt nhau.

Def. Bằng nhau, đúng với bất kỳ giá trị nào của các biến được gọi. xác thực.

№94 (Alg.7) Bản sắc có phải là đẳng thức không:

một)

c)

d)

Định nghĩa mô tả: Việc thay thế một biểu thức này bằng một biểu thức khác, giống hệt nó, được gọi là một phép biến đổi giống hệt nhau hoặc chỉ đơn giản là một phép biến đổi của một biểu thức. Phép biến đổi giống hệt biểu thức với biến được thực hiện dựa trên các tính chất của phép toán trên số.

№ (Alg.7) Trong số các biểu thức

tìm những cái giống hệt nhau bằng.

Chủ đề: "Phép biến hình đồng dạng của biểu thức" (câu hỏi phương pháp luận)

Chủ đề đầu tiên của "Đại số-7" - "Biểu thức và phép biến hình" giúp củng cố các kỹ năng tính toán đã học ở lớp 5-6, hệ thống hóa và khái quát các thông tin về các phép biến đổi biểu thức và cách giải phương trình.

Việc tìm giá trị của biểu thức số và bảng chữ cái giúp học sinh có thể nhắc lại quy tắc xử lý với số hữu tỉ. Khả năng thực hiện các phép tính số học với các số hữu tỉ là cơ sở cho toàn bộ khóa học đại số.

Khi xem xét các phép biến đổi của biểu thức một cách chính thức, các kỹ năng hoạt động vẫn ở mức độ đã đạt được ở lớp 5-6.

Tuy nhiên, ở đây sinh viên đã nâng lên một tầm cao mới trong việc nắm vững lý thuyết. Các khái niệm "biểu thức đồng dạng", "đồng dạng", "phép biến hình đồng dạng" được đưa ra, nội dung của chúng sẽ liên tục được phát hiện và đào sâu khi nghiên cứu về các phép biến đổi của các biểu thức đại số khác nhau. Người ta nhấn mạnh rằng cơ sở của các phép biến đổi giống hệt nhau là các thuộc tính của các hành động trên các con số.

Khi học chủ đề “Đa thức”, các kĩ năng về phép biến đổi đồng dạng của các biểu thức đại số được hình thành. Các công thức nhân viết tắt góp phần thúc đẩy quá trình hình thành kỹ năng thực hiện các phép biến đổi giống hệt các biểu thức số nguyên, khả năng áp dụng các công thức cho cả phép nhân viết tắt và phép nhân chia thành nhân tử không chỉ được sử dụng trong biến đổi biểu thức số nguyên mà còn trong các phép toán với phân số, căn, lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Ở lớp 8, các kỹ năng có được về phép biến hình đồng dạng được thực hành về các phép tính với phân số đại số, căn bậc hai và biểu thức chứa bậc với một số mũ nguyên.

Trong tương lai, các phương pháp biến đổi giống hệt nhau được phản ánh trong các biểu thức chứa bậc với số mũ hữu tỉ.

Một nhóm đặc biệt của các phép biến đổi giống hệt nhau là biểu thức lượng giác và biểu thức logarit.

Các kết quả học tập bắt buộc đối với môn đại số ở lớp 7-9 bao gồm:

1) các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức số nguyên

a) mở khung và giá đỡ;

b) giảm các điều khoản tương tự;

c) cộng, trừ và nhân các đa thức;

d) nhân tử của đa thức bằng cách lấy nhân tử chung ra khỏi dấu ngoặc và các công thức nhân rút gọn;

e) nhân tử của một tam thức vuông.

"Toán học ở trường" (B.U.M.) tr.110

2) các phép biến đổi đồng dạng của các biểu thức hữu tỉ: cộng, trừ, nhân và chia phân số, cũng như áp dụng các kỹ năng liệt kê khi thực hiện các phép biến đổi kết hợp đơn giản [tr. 111]

3) Học sinh cần có khả năng thực hiện các phép biến đổi các biểu thức đơn giản có chứa bậc và căn. (trang 111-112)

Các loại nhiệm vụ chính đã được xem xét, khả năng giải quyết cho phép học sinh có được đánh giá tích cực.

Một trong những khía cạnh quan trọng nhất của phương pháp luận để nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau là học sinh phát triển các mục tiêu thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau.

1) - đơn giản hóa giá trị số của biểu thức

2) phép biến đổi nào nên được thực hiện: (1) hoặc (2) Phân tích các phương án này là động lực (tốt nhất là (1), vì ở (2) phạm vi bị thu hẹp)

3) Giải phương trình:

Thừa số trong giải phương trình.

4) Tính toán:

Hãy áp dụng công thức nhân rút gọn:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Tìm giá trị của biểu thức:

Để tìm giá trị, hãy nhân từng phân số với liên từ:

6) Vẽ đồ thị hàm số:

Hãy chọn toàn bộ phần:.

Phòng ngừa lỗi khi thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau có thể thu được bằng các ví dụ khác nhau về việc triển khai chúng. Trong trường hợp này, các kỹ thuật “nhỏ” được thực hiện, với tư cách là các thành phần, được đưa vào một quá trình biến đổi lớn hơn.

Ví dụ:

Tùy thuộc vào hướng của phương trình, một số bài toán có thể được xem xét: từ phải sang trái phép nhân các đa thức; từ trái sang phải - thừa số hóa. Phía bên trái là bội số của một trong các yếu tố ở phía bên phải, v.v.

Ngoài việc thay đổi các ví dụ, bạn có thể sử dụng xin lỗi giữa danh tính và số lượng.

Bí quyết tiếp theo là giải thích danh tính.

Để tăng hứng thú của học sinh, người ta có thể quy việc tìm kiếm nhiều cách khác nhau để giải quyết vấn đề.

Các bài học về nghiên cứu các phép biến hình giống hệt nhau sẽ trở nên thú vị hơn nếu chúng được dành cho tìm giải pháp cho một vấn đề .

Ví dụ: 1) giảm phân số:

3) chứng minh công thức "gốc phức"

Coi như:

Hãy biến đổi vế phải của đẳng thức:

-

tổng của biểu thức liên hợp. Chúng có thể được nhân và chia cho liên hợp, nhưng một phép toán như vậy sẽ dẫn chúng ta đến một phân số có mẫu số là hiệu của các căn.

Lưu ý rằng số hạng đầu tiên trong phần đầu tiên của danh tính là một số lớn hơn số thứ hai, vì vậy bạn có thể bình phương cả hai phần:

Bài thực hành số 3.

Chuyên đề: Các phép biến đổi đồng dạng của biểu thức (kĩ thuật câu hỏi).

Tài liệu: “Hội thảo về MPM”, trang 87-93.

Dấu hiệu của một nền văn hóa cao về các phép tính và các phép biến đổi giống hệt nhau ở học sinh là kiến ​​thức vững chắc về các tính chất và thuật toán của các phép toán trên các giá trị chính xác và gần đúng và khả năng ứng dụng khéo léo của chúng; các phương pháp tính toán và biến đổi hợp lý và xác minh chúng; khả năng chứng minh việc áp dụng các kỹ thuật và quy tắc cho các phép tính và các phép biến đổi, tính tự động của các kỹ năng thực hiện các thao tác tính toán không mắc lỗi.

Học sinh nên bắt đầu phát triển những kỹ năng này từ lớp nào?

Dòng biến đổi đồng dạng của các biểu thức bắt đầu bằng việc sử dụng các phương pháp tính hữu tỉ và bắt đầu bằng việc sử dụng các phương pháp tính hữu tỉ các giá trị của biểu thức số. (lớp 5)

Khi nghiên cứu các chủ đề như vậy trong một khóa học toán học ở trường, cần đặc biệt chú ý đến chúng!

Việc học sinh thực hiện có ý thức các phép biến đổi đồng dạng được tạo điều kiện bởi sự hiểu biết về thực tế là các biểu thức đại số không tồn tại riêng lẻ mà liên kết chặt chẽ với một số tập hợp số, chúng là các bản ghi tổng quát của các biểu thức số. Phép tương tự giữa các biểu thức đại số và số (và các phép biến đổi của chúng) là hợp lý về mặt logic, việc sử dụng chúng trong giảng dạy giúp tránh mắc lỗi cho học sinh.

Các phép biến đổi đồng dạng không phải là một chủ đề riêng của môn toán học ở trường, chúng được nghiên cứu trong suốt quá trình học đại số và đầu phân tích toán học.

Chương trình Toán lớp 1-5 là tài liệu chuyên đề dùng để nghiên cứu các phép biến đổi đồng dạng của biểu thức với một biến.

Trong quá trình học đại số 7 ô. các định nghĩa về nhận dạng và các phép biến đổi nhận dạng được giới thiệu.

Def. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với bất kỳ giá trị nào của các biến, được gọi. bình đẳng như nhau.

Vốn ODA. Một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của các biến được gọi là đồng nhất.

Giá trị của sự đồng nhất nằm ở chỗ nó cho phép một biểu thức nhất định được thay thế bằng một biểu thức khác giống hệt nó.

Def. Việc thay thế một biểu thức này bằng một biểu thức khác, giống hệt nó, được gọi là chuyển đổi danh tính hoặc đơn giản sự biến đổi biểu thức.

Phép biến đổi giống hệt biểu thức với biến được thực hiện dựa trên các tính chất của phép toán trên số.

Các phép biến hình tương đương có thể coi là cơ sở của các phép biến hình đồng dạng.

Vốn ODA. Hai câu, mỗi câu là hệ quả hợp lý của câu kia, được gọi là. tương đương.

Vốn ODA. Câu với các biến A được gọi. hệ quả của câu với các biến B nếu vùng chân lý B là một tập con của miền chân lý A.

Một định nghĩa khác về các câu tương đương có thể được đưa ra: hai câu với các biến là tương đương nếu vùng chân trị của chúng giống nhau.

a) B: x-1 = 0 trên R; A: (x-1) 2 trên R => A ~ B vì vùng chân lý (nghiệm) trùng nhau (x = 1)

b) A: x = 2 trên R; B: x 2 \ u003d 4 trên R => vùng chân trị A: x \ u003d 2; miền chân lý B: x = -2, x = 2; tại vì miền chân lý A nằm trong B thì: x 2 = 4 là hệ quả của câu x = 2.

Cơ sở của các phép biến đổi giống hệt nhau là khả năng biểu diễn cùng một số ở các dạng khác nhau. Ví dụ,

-

một biểu diễn như vậy sẽ giúp ích trong việc nghiên cứu chủ đề "các tính chất cơ bản của một phân số".

Kỹ năng thực hiện các phép biến hình đồng dạng bắt đầu hình thành khi giải các ví dụ tương tự như sau: “Tìm giá trị của biểu thức 2a 3 + 3ab + b 2 với a = 0,5, b = 2/3”, dành cho học sinh lớp 5 và cho phép đưa ra khái niệm tiên tiến về chức năng.

Khi học các công thức của phép nhân viết tắt cần chú ý hiểu sâu và đồng hoá mạnh. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng hình minh họa đồ họa sau:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 a 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

Câu hỏi: Làm thế nào để giải thích cho học sinh bản chất của các công thức trên theo các hình vẽ này?

Một sai lầm phổ biến là nhầm lẫn giữa các biểu thức "tổng bình phương" và "tổng bình phương". Việc giáo viên chỉ ra rằng những biểu thức này khác nhau về thứ tự hành động dường như không đáng kể, vì học sinh tin rằng những hành động này được thực hiện trên cùng một con số và do đó kết quả không thay đổi so với việc thay đổi thứ tự của hành động.

Nhiệm vụ: Soạn các bài tập miệng nhằm phát triển cho học sinh kĩ năng sử dụng chính xác các công thức trên. Làm thế nào để giải thích hai biểu thức này giống nhau và chúng khác nhau như thế nào?

Một loạt các phép biến đổi giống hệt nhau khiến học sinh khó định hướng được mục đích mà chúng đang thực hiện. Kiến thức mờ nhằm mục đích thực hiện các phép biến hình (trong từng trường hợp cụ thể) ảnh hưởng tiêu cực đến nhận thức của các em, là nguồn gốc dẫn đến sai sót lớn của học sinh. Điều này cho thấy rằng việc giải thích cho học sinh các mục tiêu của việc thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau khác nhau là một phần quan trọng của phương pháp luận để nghiên cứu chúng.

Ví dụ về động cơ cho các phép biến đổi giống hệt nhau:

1. đơn giản hóa việc tìm kiếm giá trị số của biểu thức;

2. chọn một phép biến đổi của phương trình không dẫn đến mất căn;

3. khi thực hiện một phép biến đổi, bạn có thể đánh dấu khu vực tính toán của nó;

4. việc sử dụng các phép biến đổi trong tính toán, ví dụ, 99 2 -1 = (99-1) (99 + 1);

Để quản lý quá trình ra quyết định, điều quan trọng là giáo viên phải có khả năng mô tả chính xác bản chất của sai lầm mà học sinh mắc phải. Việc xác định chính xác đặc điểm của lỗi là chìa khóa cho sự lựa chọn chính xác của các hành động tiếp theo mà giáo viên thực hiện.

Ví dụ về lỗi của học sinh:

1. thực hiện phép nhân: học sinh nhận -54abx 6 (7 ô);

2. thực hiện lũy thừa (3x 2) 3, học sinh nhận được 3x 6 (7 ô);

3. biến (m + n) 2 thành đa thức, học sinh nhận m 2 + n 2 (7 ô);

4. giảm phân số mà học sinh nhận được (8 ô);

5. thực hiện phép trừ: , học sinh viết xuống (8 ô)

6. Biểu diễn một phân số dưới dạng phân số, học sinh nhận được: (8 ô);

7. trích xuất căn số học, học sinh nhận được x-1 (9 ô);

8. giải phương trình (9 ô);

9. biến đổi biểu thức, học sinh nhận được: (9 ô).

Sự kết luận

Việc nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với các bộ số đã học ở lớp này hay lớp khác.

Lúc đầu, học sinh nên được yêu cầu giải thích từng bước của sự biến đổi, để hình thành các quy tắc và luật áp dụng.

Trong các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức đại số, hai quy tắc được sử dụng: thay thế và thay thế bằng bằng. Sự thay thế được sử dụng phổ biến nhất, bởi vì công thức đếm dựa trên nó, tức là tìm giá trị của biểu thức a * b với a = 5 và b = -3. Rất thường, học sinh bỏ qua dấu ngoặc khi thực hiện phép nhân, tin rằng dấu nhân là ngụ ý. Ví dụ, có thể ghi như vậy: 5 * -3.

Văn chương

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Các phương pháp hàm và đồ thị để giải các bài toán kiểm tra", Mn .. Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko "Các lỗi điển hình trong thử nghiệm tập trung", Mn .. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Nhiệm vụ-bẫy về thử nghiệm tập trung", Mn .. Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Các phương pháp giải các bài toán lượng giác", Mn .. Aversev, 2005

Biểu thức số và đại số. Chuyển đổi biểu thức.

Một biểu thức trong toán học là gì? Tại sao chuyển đổi biểu thức lại cần thiết?

Câu hỏi, như họ nói, thật thú vị ... Thực tế là những khái niệm này là cơ sở của tất cả toán học. Tất cả toán học bao gồm các biểu thức và các phép biến đổi của chúng. Không rõ ràng lắm? Hãy để tôi giải thích.

Giả sử bạn có một ví dụ xấu xa. Rất lớn và rất phức tạp. Hãy nói rằng bạn giỏi toán và bạn không sợ bất cứ điều gì! Bạn có thể trả lời ngay được không?

Bạn sẽ phải quyết định ví dụ này. Tuần tự, từng bước, ví dụ này đơn giản hóa. Tất nhiên, theo những quy tắc nhất định. Những thứ kia. làm chuyển đổi biểu thức. Làm thế nào bạn thực hiện thành công các phép biến đổi, vì vậy bạn mạnh mẽ trong toán học. Nếu bạn không biết cách thực hiện các phép biến đổi đúng, trong toán học bạn không thể làm không có gì...

Để tránh một tương lai không thoải mái như vậy (hoặc hiện tại ...), bạn không nên hiểu chủ đề này.)

Để bắt đầu, chúng ta hãy tìm hiểu một biểu thức trong toán học là gì. Gì biểu thức số và cái gì biểu thức đại số.

Một biểu thức trong toán học là gì?

Biểu thức trong toán học là một khái niệm rất rộng. Hầu hết mọi thứ chúng ta giải quyết trong toán học là một tập hợp các biểu thức toán học. Mọi ví dụ, công thức, phân số, phương trình, v.v. - tất cả đều bao gồm biểu thức toán học.

3 + 2 là một biểu thức toán học. c 2 - d 2 cũng là một biểu thức toán học. Và một phân số lành mạnh, và thậm chí là một số - tất cả đều là biểu thức toán học. Ví dụ, phương trình là:

5x + 2 = 12

bao gồm hai biểu thức toán học được nối với nhau bằng một dấu bằng. Một biểu thức ở bên trái, biểu thức còn lại ở bên phải.

Nói chung, thuật ngữ biểu thức toán học"được sử dụng thường xuyên nhất để không bị lầm lẫn. Chẳng hạn, họ sẽ hỏi bạn phân số bình thường là gì? Và trả lời như thế nào ?!

Câu trả lời 1: "Đó là ... m-m-m-m ... một điều như vậy ... trong đó ... Tôi có thể viết một phân số tốt hơn không? Bạn muốn cái nào? "

Phương án trả lời thứ hai: "Một phân số bình thường là (vui vẻ và vui vẻ!) biểu thức toán học , bao gồm một tử số và một mẫu số! "

Tùy chọn thứ hai bằng cách nào đó ấn tượng hơn, phải không?)

Với mục đích này, cụm từ " biểu thức toán học "rất tốt. Vừa chính xác vừa chắc chắn. Nhưng để áp dụng vào thực tế, bạn cần phải thành thạo các loại biểu thức cụ thể trong toán học .

Loại cụ thể là một vấn đề khác. Đây là hoàn toàn khác! Mỗi loại biểu thức toán học có của tôi một tập hợp các quy tắc và kỹ thuật phải được sử dụng trong quyết định. Để làm việc với phân số - một tập hợp. Để làm việc với các biểu thức lượng giác - thứ hai. Để làm việc với logarit - thứ ba. Vân vân. Ở đâu đó những quy tắc này trùng khớp, ở đâu đó chúng khác biệt rõ rệt. Nhưng đừng sợ những từ khủng khiếp này. Logarit, lượng giác và những điều bí ẩn khác chúng ta sẽ nắm vững trong các phần liên quan.

Ở đây chúng ta sẽ nắm vững (hoặc - lặp lại, tùy thích ...) hai loại biểu thức toán học chính. Biểu thức số và biểu thức đại số.

Biểu thức số.

Gì biểu thức số? Đây là một khái niệm rất đơn giản. Bản thân cái tên gợi ý rằng đây là một biểu thức với các con số. Nó là vậy đấy. Một biểu thức toán học được tạo thành từ các số, dấu ngoặc và dấu của các phép toán số học được gọi là biểu thức số.

7-3 là một biểu thức số.

(8 + 3.2) 5.4 cũng là một biểu thức số.

Và con quái vật này:

cũng là một biểu thức số, có ...

Một số bình thường, một phân số, bất kỳ ví dụ tính toán nào không có x và các chữ cái khác - tất cả đều là biểu thức số.

tính năng chính số biểu thức trong đó không có chữ cái. Không có. Chỉ số và biểu tượng toán học (nếu cần). Thật đơn giản đúng không?

Và những gì có thể được thực hiện với các biểu thức số? Biểu thức số thường có thể được đếm. Để làm điều này, đôi khi bạn phải mở ngoặc, thay đổi dấu hiệu, viết tắt, hoán đổi các thuật ngữ - tức là làm chuyển đổi biểu thức. Nhưng nhiều hơn về điều đó bên dưới.

Ở đây chúng ta sẽ giải quyết một trường hợp hài hước như vậy khi với một biểu thức số bạn không phải làm bất cứ điều gì. Chà, không có gì cả! Hoạt động tốt đẹp này Không làm gì cả)- được thực thi khi biểu thức không có ý nghĩa.

Khi nào thì một biểu thức số không có ý nghĩa?

Tất nhiên, nếu chúng ta nhìn thấy một số loại abracadabra trước mặt chúng ta, chẳng hạn như

thì chúng ta sẽ không làm gì cả. Vì không rõ phải làm gì với nó. Một số điều vô nghĩa. Trừ khi, để đếm số điểm cộng ...

Nhưng có những biểu hiện bên ngoài khá đàng hoàng. Ví dụ điều này:

(2 + 3): (16 - 2 8)

Tuy nhiên, biểu hiện này cũng không có ý nghĩa! Vì lý do đơn giản là trong dấu ngoặc thứ hai - nếu bạn đếm - bạn nhận được số không. Bạn không thể chia cho số không! Đây là một hoạt động bị cấm trong toán học. Do đó, cũng không cần phải làm gì với biểu thức này. Đối với bất kỳ nhiệm vụ nào có biểu thức như vậy, câu trả lời sẽ luôn giống nhau: "Biểu hiện không có ý nghĩa!"

Để đưa ra một câu trả lời như vậy, tất nhiên, tôi đã phải tính toán những gì sẽ có trong dấu ngoặc. Và đôi khi trong ngoặc ngoặc như vậy ... Chà, chẳng việc gì phải làm cả.

Không có quá nhiều phép toán bị cấm trong toán học. Chỉ có một trong chủ đề này. Chia cho số không. Các lệnh cấm bổ sung phát sinh trong gốc và logarit được thảo luận trong các chủ đề có liên quan.

Vì vậy, một ý tưởng về những gì là biểu thức số- lấy. ý tưởng biểu thức số không có ý nghĩa- đã nhận ra. Hãy đi xa hơn nữa.

Biểu thức đại số.

Nếu các chữ cái xuất hiện trong một biểu thức số, biểu thức này sẽ trở thành ... Biểu thức trở thành ... Có! No trở nên biểu thức đại số. Ví dụ:

5a 2; 3x-2y; 3 (z-2); 3,4m / n; x 2 + 4x-4; (a + b) 2; ...

Các biểu thức như vậy còn được gọi là các biểu thức chữ. Hoặc biểu thức với biến. Nó thực tế giống nhau. Biểu hiện 5a + c, chẳng hạn - cả nghĩa đen và đại số, và biểu thức với các biến.

ý tưởng biểu thức đại số - rộng hơn số. Nó bao gồm và tất cả các biểu thức số. Những thứ kia. một biểu thức số cũng là một biểu thức đại số, chỉ không có các chữ cái. Mỗi con cá trích là một con cá, nhưng không phải con cá nào cũng là cá trích ...)

Tại sao theo nghĩa đen- Rõ ràng. Chà, vì có những chữ cái ... Cụm từ biểu thức với các biến cũng không phải là rất bối rối. Nếu bạn hiểu rằng các con số được ẩn dưới các chữ cái. Tất cả các loại số có thể được ẩn dưới các chữ cái ... Và 5, và -18, và bất cứ điều gì bạn thích. Đó là, một lá thư có thể thay thế cho các số khác nhau. Đó là lý do tại sao các chữ cái được gọi là biến.

Trong biểu thức y + 5, Ví dụ, tại- Biến đổi. Hoặc chỉ cần nói " Biến đổi", không có từ "giá trị". Không giống như năm, là một giá trị không đổi. Hoặc đơn giản - liên tục.

Kỳ hạn biểu thức đại số có nghĩa là để làm việc với biểu thức này, bạn cần sử dụng các luật và quy tắc đại số học. Nếu một Môn số học hoạt động với những con số cụ thể, sau đó đại số học- với tất cả các số cùng một lúc. Một ví dụ đơn giản để làm rõ.

Trong số học, người ta có thể viết rằng

Nhưng nếu chúng ta viết một đẳng thức tương tự thông qua các biểu thức đại số:

a + b = b + a

chúng tôi sẽ quyết định ngay lập tức tất cả các các câu hỏi. Vì tất cả các số Cú đánh. Đối với vô số thứ. Bởi vì dưới những chữ cái một và b bao hàm tất cả các những con số. Và không chỉ các con số, mà ngay cả các biểu thức toán học khác. Đây là cách hoạt động của đại số.

Khi nào thì một biểu thức đại số không có ý nghĩa?

Mọi thứ đều rõ ràng về biểu thức số. Bạn không thể chia cho số không. Và với các chữ cái, liệu có thể tìm ra chúng ta đang chia cho nhau không ?!

Hãy lấy biểu thức biến sau làm ví dụ:

2: (một - 5)

Nó có ý nghĩa không? Nhưng ai biết anh ta? một- bất kỳ số nào...

Bất kỳ, bất kỳ ... Nhưng có một ý nghĩa một, mà biểu thức này một cách chính xác không có ý nghĩa! Và con số đó là bao nhiêu? Đúng! Đó là 5! Nếu biến một thay thế (họ nói - "thay thế") bằng số 5, trong ngoặc đơn, số 0 sẽ xuất hiện. mà không thể bị chia cắt. Vì vậy, nó chỉ ra rằng biểu hiện của chúng tôi không có ý nghĩa, nếu a = 5. Nhưng đối với các giá trị khác một nó có ý nghĩa không? Bạn có thể thay thế các số khác?

Chắc chắn. Trong những trường hợp như vậy, người ta nói một cách đơn giản rằng biểu thức

2: (một - 5)

có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào một, ngoại trừ a = 5 .

Toàn bộ bộ số có thể thay thế vào biểu thức đã cho được gọi là phạm vi hợp lệ biểu thức này.

Như bạn có thể thấy, không có gì khó. Chúng ta nhìn vào biểu thức với các biến và nghĩ: phép toán bị cấm thu được (chia cho 0) ở giá trị nào của biến?

Và sau đó nhớ xem câu hỏi của bài tập. Họ đang hỏi gì vậy?

không có ý nghĩa, giá trị bị cấm của chúng tôi sẽ là câu trả lời.

Nếu họ hỏi giá trị của biến thì biểu thức có ý nghĩa(cảm nhận sự khác biệt!), câu trả lời sẽ là tất cả các số khác ngoại trừ những điều cấm.

Tại sao chúng ta cần ý nghĩa của biểu thức? Anh ấy ở đó, anh ấy không ... Sự khác biệt là gì ?! Thực tế là khái niệm này trở nên rất quan trọng ở trường trung học. Vô cùng quan trọng! Đây là cơ sở cho các khái niệm vững chắc như phạm vi giá trị hợp lệ hoặc phạm vi của một hàm. Nếu không có điều này, bạn sẽ không thể giải được các phương trình hoặc bất phương trình nghiêm trọng. Như thế này.

Chuyển đổi biểu thức. Các phép biến hình nhận dạng.

Chúng ta đã làm quen với biểu thức số và đại số. Hiểu cụm từ "biểu thức không có ý nghĩa" nghĩa là gì. Bây giờ chúng ta cần tìm ra những gì chuyển đổi biểu thức. Câu trả lời là đơn giản, thái quá.) Đây là bất kỳ hành động nào có biểu thức. Và đó là nó. Bạn đã thực hiện các phép biến đổi này kể từ lớp học đầu tiên.

Lấy biểu thức số 3 + 5. Làm thế nào nó có thể được chuyển đổi? Vâng, rất dễ dàng! Tính toán:

Phép tính này sẽ là phép biến đổi của biểu thức. Bạn có thể viết cùng một biểu thức theo một cách khác:

Chúng tôi đã không tính bất cứ điều gì ở đây. Chỉ cần viết ra biểu thức ở một hình thức khác.Đây cũng sẽ là một sự biến đổi của biểu thức. Nó có thể được viết như thế này:

Và đây cũng là sự biến đổi của một biểu thức. Bạn có thể thực hiện nhiều phép biến đổi này tùy thích.

Không tí nào hành động trên một biểu thức không tí nào viết nó ở một dạng khác được gọi là một phép biến đổi biểu thức. Và tất cả mọi thứ. Mọi thứ rất đơn giản. Nhưng có một điều ở đây quy tắc rất quan trọng. Quan trọng đến mức nó có thể được gọi một cách an toàn quy tăc chính tất cả toán học. Phá vỡ quy tắc này tất yếu dẫn đến sai sót. Chúng ta có hiểu không?)

Giả sử chúng tôi đã biến đổi biểu cảm của mình một cách tùy ý, như thế này:

Sự biến đổi? Chắc chắn. Chúng ta đã viết biểu thức ở một dạng khác, điều gì sai ở đây?

Nó không phải như vậy.) Thực tế là các phép biến đổi "sao cũng được" toán học không được quan tâm chút nào.) Tất cả toán học đều được xây dựng dựa trên các phép biến đổi trong đó hình thức thay đổi, nhưng bản chất của biểu thức không thay đổi. Ba cộng năm có thể được viết dưới bất kỳ hình thức nào, nhưng nó phải là tám.

sự biến đổi, những biểu hiện không thay đổi bản chất triệu tập giống hệt nhau.

Một cách chính xác biến đổi giống hệt nhau và cho phép chúng tôi, từng bước, biến một ví dụ phức tạp thành một biểu thức đơn giản, giữ bản chất của ví dụ. Nếu chúng ta mắc sai lầm trong chuỗi biến đổi, chúng ta sẽ thực hiện một phép biến đổi KHÔNG giống nhau, sau đó chúng ta sẽ quyết định nữa ví dụ. Với các câu trả lời khác không liên quan đến câu trả lời đúng.)

Đây là quy tắc chính để giải quyết bất kỳ nhiệm vụ nào: tuân thủ danh tính của các phép biến đổi.

Tôi đã đưa ra một ví dụ với biểu thức số 3 + 5 để rõ ràng hơn. Trong biểu thức đại số, các phép biến đổi giống hệt nhau được đưa ra bởi các công thức và quy tắc. Giả sử có một công thức trong đại số:

a (b + c) = ab + ac

Vì vậy, trong bất kỳ ví dụ nào, chúng ta có thể thay vì biểu thức a (b + c) cảm thấy tự do để viết một biểu thức ab + ac. Và ngược lại. Đây là biến đổi giống hệt nhau. Toán học cho chúng ta một sự lựa chọn trong hai biểu thức này. Và viết cái nào thì tùy vào ví dụ cụ thể.

Một vi dụ khac. Một trong những phép biến đổi cần thiết và quan trọng nhất là tính chất cơ bản của phân số. Bạn có thể xem thêm chi tiết tại liên kết, nhưng ở đây tôi chỉ xin nhắc lại quy tắc: nếu tử số và mẫu số của một phân số được nhân (chia) với cùng một số hoặc một biểu thức không bằng 0, thì phân số đó sẽ không thay đổi. Dưới đây là một ví dụ về các phép biến đổi giống hệt nhau cho thuộc tính này:

Như bạn có thể đoán, chuỗi này có thể được tiếp tục vô thời hạn ...) Một thuộc tính rất quan trọng. Nó cho phép bạn biến tất cả các loại quái vật điển hình thành màu trắng và lông tơ.)

Có nhiều công thức xác định các phép biến đổi giống hệt nhau. Nhưng quan trọng nhất - một số tiền khá hợp lý. Một trong những phép biến đổi cơ bản là thừa số hóa. Nó được sử dụng trong tất cả toán học - từ tiểu học đến nâng cao. Hãy bắt đầu với anh ấy. trong bài học tiếp theo.)

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Những lưu ý quan trọng!
1. Nếu thay vì công thức bạn thấy abracadabra, hãy xóa bộ nhớ cache của bạn. Cách thực hiện trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến trình điều hướng của chúng tôi để có tài nguyên hữu ích nhất cho

Chúng ta thường nghe thấy cụm từ khó chịu này: "Đơn giản hóa biểu thức." Thông thường, trong trường hợp này, chúng ta có một số loại quái vật như sau:

“Có, dễ dàng hơn nhiều,” chúng tôi nói, nhưng câu trả lời như vậy thường không hiệu quả.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn không sợ bất kỳ nhiệm vụ nào như vậy.

Hơn nữa, ở phần cuối của bài học, bản thân bạn sẽ đơn giản hóa ví dụ này thành một số bình thường (đúng!) (Vâng, chết tiệt với những chữ cái này).

Nhưng trước khi bắt đầu bài học này, bạn cần phải đối phó với phân số và nhân tử hóa đa thức.

Do đó, nếu bạn chưa làm điều này trước đây, hãy nhớ nắm vững các chủ đề "" và "".

Đọc? Nếu có, thì bạn đã sẵn sàng.

Đi thôi đi thôi!)

Các thao tác đơn giản hóa biểu thức cơ bản

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích các kỹ thuật chính được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức.

Đơn giản nhất trong số đó là

1. Mang lại tương

Tương tự là gì? Bạn đã trải qua điều này vào năm lớp 7, khi các chữ cái lần đầu tiên xuất hiện trong toán học thay vì các con số.

Giống là các số hạng (đơn thức) có phần chữ cái giống nhau.

Ví dụ, trong tổng, các điều khoản như là và.

Đã nhớ?

Mang tương tự- có nghĩa là thêm một số thuật ngữ tương tự với nhau và nhận được một số hạng.

Nhưng làm thế nào chúng ta có thể ghép các chữ cái lại với nhau? - bạn hỏi.

Điều này rất dễ hiểu nếu bạn tưởng tượng rằng các chữ cái là một số loại đồ vật.

Ví dụ, bức thư là một cái ghế. Sau đó, biểu thức là gì?

Hai cái ghế cộng với ba cái ghế, nó sẽ là bao nhiêu? Đúng vậy, những chiếc ghế:.

Bây giờ hãy thử biểu thức này:

Để không bị nhầm lẫn, hãy để các chữ cái khác nhau biểu thị các đối tượng khác nhau.

Ví dụ, - đây là (như thường lệ) một cái ghế, và - đây là một cái bàn.

ghế bàn ghế bàn ghế

Các số mà các chữ cái trong các thuật ngữ như vậy được nhân lên được gọi là hệ số.

Ví dụ, trong đơn thức hệ số bằng nhau. Và anh ấy bình đẳng.

Vì vậy, quy tắc để mang lại tương tự:

Ví dụ:

Mang tương tự:

Câu trả lời:

2. (và tương tự nhau, do đó, các thuật ngữ này có cùng một phần chữ cái).

2. Thừa số hóa

Điều này thường là phần quan trọng nhất trong việc đơn giản hóa các biểu thức.

Sau khi bạn đã đưa ra những cái tương tự, thường thì biểu thức kết quả là cần thiết phân tích nhân tố, tức là đại diện như một sản phẩm.

Đặc biệt là cái này quan trọng trong phân số: bởi vì để giảm phân số, tử số và mẫu số phải được biểu thị dưới dạng tích.

Bạn đã xem qua các phương pháp chi tiết của biểu thức tính thừa trong chủ đề "", vì vậy ở đây bạn chỉ cần nhớ những gì bạn đã học.

Để làm điều này, hãy giải quyết một vài ví dụ (bạn cần phân tích nhân tử)

Ví dụ:

Các giải pháp:

3. Rút gọn phân số.

Chà, điều gì có thể tốt hơn là gạch bỏ một phần của tử số và mẫu số, và ném chúng ra khỏi cuộc sống của bạn?

Đó là vẻ đẹp của viết tắt.

Nó đơn giản:

Nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống nhau, chúng có thể được rút gọn, nghĩa là bị loại bỏ khỏi phân số.

Quy tắc này tuân theo thuộc tính cơ bản của một phân số:

Đó là, bản chất của hoạt động giảm là Chúng ta chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số (hoặc cho cùng một biểu thức).

Để giảm một phân số, bạn cần:

1) tử số và mẫu số phân tích nhân tố

2) nếu tử số và mẫu số chứa các yếu tố chung, chúng có thể bị xóa.

Ví dụ:

Nguyên tắc, tôi nghĩ, là rõ ràng?

Tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến một sai lầm điển hình trong việc viết tắt. Mặc dù chủ đề này đơn giản, nhưng nhiều người làm sai mọi thứ, không nhận ra rằng cắt- nó có nghĩa là chia tử số và mẫu số bằng cùng một số.

Không viết tắt nếu tử số hoặc mẫu số là tổng.

Ví dụ: bạn cần đơn giản hóa.

Một số làm điều này: điều này hoàn toàn sai.

Một ví dụ khác: giảm.

"Người thông minh nhất" sẽ làm điều này:

Nói cho tôi biết có gì sai ở đây? Có vẻ như: - đây là một hệ số nhân, vì vậy bạn có thể giảm bớt.

Nhưng không: - đây là thừa số của một số hạng trong tử số, nhưng bản thân tử số nói chung không được phân tách thành thừa số.

Đây là một ví dụ khác:.

Biểu thức này được phân tách thành các thừa số, có nghĩa là bạn có thể giảm, nghĩa là, chia tử số và mẫu số cho, sau đó cho:

Bạn có thể chia ngay cho:

Để tránh những sai lầm như vậy, hãy nhớ một cách dễ dàng để xác định xem một biểu thức có được tính nhân tử hay không:

Phép toán số học được thực hiện cuối cùng khi tính giá trị của biểu thức là "chính".

Nghĩa là, nếu bạn thay một số (bất kỳ) số thay vì các chữ cái, và cố gắng tính giá trị của biểu thức, thì nếu hành động cuối cùng là phép nhân, thì chúng ta có một tích (biểu thức được chia thành thừa số).

Nếu hành động cuối cùng là cộng hoặc trừ, điều này có nghĩa là biểu thức không được tính (và do đó không thể giảm).

Để tự khắc phục, một vài ví dụ:

Ví dụ:

Các giải pháp:

4. Phép cộng và phép trừ phân số. Đưa các phân số về mẫu số chung.

Phép cộng và phép trừ các phân số thông thường là một phép toán nổi tiếng: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân mỗi phân số với thừa số còn thiếu và cộng / trừ các tử số.

Xin hãy nhớ:

Câu trả lời:

1. Mẫu số và là mẫu số chung, nghĩa là chúng không có thừa số chung. Do đó, LCM của những con số này bằng tích của chúng. Đây sẽ là mẫu số chung:

2. Mẫu số chung ở đây là:

3. Ở đây, trước hết, chúng ta biến các phân số hỗn hợp thành các phân số không đúng, và sau đó - theo sơ đồ thông thường:

Đó là một vấn đề hoàn toàn khác nếu các phân số chứa các chữ cái, ví dụ:

Hãy bắt đầu đơn giản:

a) Mẫu số không chứa các chữ cái

Ở đây mọi thứ giống như với các phân số thông thường: chúng ta tìm một mẫu số chung, nhân mỗi phân số với thừa số còn thiếu và cộng / trừ các tử số:

bây giờ trong tử số, bạn có thể mang những cái tương tự, nếu có và nhân chúng:

Hãy tự mình thử:

Câu trả lời:

b) Mẫu số chứa các chữ cái

Hãy nhớ nguyên tắc tìm mẫu số chung mà không có chữ cái:

Trước hết, chúng tôi xác định các yếu tố chung;

Sau đó, chúng tôi viết ra tất cả các yếu tố chung một lần;

và nhân chúng với tất cả các yếu tố khác, không phải những yếu tố chung.

Để xác định nhân tử chung của các mẫu số, trước tiên chúng ta phân tích chúng thành các thừa số đơn giản:

Chúng tôi nhấn mạnh các yếu tố chung:

Bây giờ chúng tôi viết ra các yếu tố phổ biến một lần và thêm vào chúng tất cả các yếu tố không phổ biến (không gạch chân):

Đây là mẫu số chung.

Hãy quay lại với các chữ cái. Các mẫu số được đưa ra theo cùng một cách:

Chúng tôi phân tích các mẫu số thành các thừa số;

xác định số nhân chung (giống hệt nhau);

viết ra tất cả các thừa số chung một lần;

Chúng tôi nhân chúng với tất cả các yếu tố khác, không phải những yếu tố thông thường.

Vì vậy, theo thứ tự:

1) phân tích các mẫu số thành các thừa số:

2) xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau):

3) Viết tất cả các thừa số chung một lần và nhân chúng với tất cả các thừa số khác (không gạch chân):

Vì vậy, mẫu số chung là ở đây. Phân số đầu tiên phải được nhân với, phân số thứ hai - với:

Nhân tiện, có một mẹo:

Ví dụ: .

Chúng tôi thấy các yếu tố giống nhau trong các mẫu số, chỉ khác là tất cả với các chỉ số khác nhau. Mẫu số chung sẽ là:

trong phạm vi

trong phạm vi

trong phạm vi

ở mức độ.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Làm thế nào để các phân số có cùng mẫu số?

Hãy nhớ thuộc tính cơ bản của một phân số:

Không ở đâu nói rằng cùng một số có thể được trừ (hoặc thêm) ở tử số và mẫu số của một phân số. Bởi vì nó không phải là sự thật!

Hãy tự xem: lấy bất kỳ phân số nào, chẳng hạn và thêm một số vào tử số và mẫu số, chẳng hạn. Những gì đã được học?

Vì vậy, một quy tắc không thể lay chuyển khác:

Khi đưa các phân số về một mẫu số chung, chỉ sử dụng phép nhân!

Nhưng những gì bạn cần phải nhân lên để có được?

Ở đây và nhân lên. Và nhân với:

Các biểu thức không thể biến thành thừa số sẽ được gọi là "thừa số cơ bản".

Ví dụ, là một yếu tố cơ bản. - quá. Nhưng - không: nó bị phân hủy thành các yếu tố.

Còn biểu hiện thì sao? Nó có phải là tiểu học không?

Không, vì nó có thể được phân tích:

(bạn đã đọc về thừa số hóa trong chủ đề "").

Vì vậy, các yếu tố cơ bản mà bạn phân tích một biểu thức bằng các chữ cái là một yếu tố tương tự của các yếu tố đơn giản mà bạn phân tích các số. Và chúng tôi cũng sẽ làm như vậy với họ.

Chúng ta thấy rằng cả hai mẫu số đều có một thừa số. Nó sẽ đi đến mẫu số chung trong lũy ​​thừa (nhớ tại sao?).

Số nhân là cơ bản và chúng không có điểm chung, có nghĩa là phân số đầu tiên sẽ đơn giản phải được nhân với nó:

Một vi dụ khac:

Quyết định:

Trước khi nhân các mẫu số này một cách hoang mang, bạn cần nghĩ xem nhân chúng như thế nào? Cả hai đều đại diện cho:

Tốt! Sau đó:

Một vi dụ khac:

Quyết định:

Như thường lệ, chúng tôi phân tích các mẫu số. Ở mẫu số đầu tiên, chúng ta chỉ cần đặt nó ra khỏi dấu ngoặc; trong thứ hai - sự khác biệt của các hình vuông:

Dường như không có yếu tố chung. Nhưng nếu bạn nhìn kỹ, chúng đã rất giống nhau ... Và sự thật là:

Vì vậy, chúng ta hãy viết:

Đó là, nó thành ra như thế này: bên trong dấu ngoặc, chúng tôi đã hoán đổi các số hạng, và đồng thời, dấu ở phía trước của phân số đổi thành ngược lại. Hãy lưu ý, bạn sẽ phải làm điều này thường xuyên.

Bây giờ chúng ta đưa về một mẫu số chung:

Hiểu rồi? Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

5. Phép nhân và phép chia phân số.

Chà, phần khó nhất bây giờ đã qua. Và trước mắt chúng ta là điều đơn giản nhất, nhưng đồng thời cũng quan trọng nhất:

Thủ tục

Quy trình tính một biểu thức số là gì? Hãy nhớ rằng, khi xem xét giá trị của một biểu thức như vậy:

Bạn đã đếm chưa?

Nó sẽ hoạt động.

Vì vậy, tôi nhắc bạn.

Bước đầu tiên là tính toán mức độ.

Thứ hai là phép nhân và phép chia. Nếu có một số phép nhân và phép chia cùng một lúc, bạn có thể thực hiện chúng theo thứ tự bất kỳ.

Và cuối cùng, chúng tôi thực hiện cộng và trừ. Một lần nữa, theo bất kỳ thứ tự nào.

Nhưng: biểu thức trong ngoặc đơn được đánh giá không theo thứ tự!

Nếu một số dấu ngoặc được nhân hoặc chia cho nhau, trước tiên chúng ta đánh giá biểu thức trong mỗi dấu ngoặc, sau đó nhân hoặc chia chúng.

Nếu có các dấu ngoặc khác bên trong ngoặc thì sao? Hãy nghĩ xem: một số biểu thức được viết bên trong dấu ngoặc. Điều đầu tiên cần làm khi đánh giá một biểu thức là gì? Đúng vậy, hãy tính dấu ngoặc. Chà, chúng tôi đã tìm ra: đầu tiên chúng tôi tính toán các dấu ngoặc bên trong, sau đó là mọi thứ khác.

Vì vậy, thứ tự của các hành động cho biểu thức ở trên như sau (hành động hiện tại được đánh dấu bằng màu đỏ, tức là hành động mà tôi đang thực hiện ngay bây giờ):

Được rồi, tất cả đều đơn giản.

Nhưng điều đó không giống với một biểu thức với các chữ cái, phải không?

Không, nó giống nhau! Chỉ thay vì các phép toán số học, cần thực hiện các phép toán đại số, nghĩa là các phép toán được mô tả trong phần trước: mang lại tương tự, thêm phân số, giảm phân số, v.v. Sự khác biệt duy nhất sẽ là hành động tính toán các đa thức (chúng ta thường sử dụng nó khi làm việc với phân số). Thông thường, để tính thừa số, bạn cần sử dụng i hoặc đơn giản là lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc.

Thông thường, mục tiêu của chúng ta là biểu thị một biểu thức dưới dạng tích hoặc thương số.

Ví dụ:

Hãy đơn giản hóa biểu thức.

1) Đầu tiên chúng ta đơn giản hóa biểu thức trong ngoặc. Ở đó chúng ta có sự khác biệt của các phân số và mục tiêu của chúng ta là biểu thị nó dưới dạng tích hoặc thương số. Vì vậy, chúng tôi đưa các phân số về một mẫu số chung và thêm:

Không thể đơn giản hóa biểu thức này hơn nữa, tất cả các yếu tố ở đây đều là sơ cấp (bạn có còn nhớ điều này có nghĩa là gì không?).

2) Chúng tôi nhận được:

Nhân các phân số: điều gì có thể dễ dàng hơn.

3) Bây giờ bạn có thể rút ngắn:

Đó là nó. Không có gì phức tạp, phải không?

Một vi dụ khac:

Đơn giản hóa biểu thức.

Đầu tiên, hãy cố gắng giải quyết nó cho chính mình, và chỉ sau đó xem xét các giải pháp.

Quyết định:

Trước hết, hãy xác định thủ tục.

Đầu tiên, hãy cộng các phân số trong ngoặc, thay vì hai phân số, một phân số sẽ ra.

Sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép chia các phân số. Chà, chúng ta cộng kết quả với phân số cuối cùng.

Tôi sẽ đánh số theo sơ đồ các bước:

Cuối cùng, tôi sẽ cung cấp cho bạn hai mẹo hữu ích:

1. Nếu có những cái tương tự thì phải mang ngay. Bất cứ lúc nào chúng ta có những cái tương tự, thì nên mang chúng đi ngay lập tức.

2. Rút gọn phân số cũng vậy: ngay khi có cơ hội rút gọn thì phải sử dụng ngay. Ngoại lệ là các phân số mà bạn cộng hoặc trừ: nếu bây giờ chúng có cùng mẫu số, thì việc giảm bớt sẽ được để sau.

Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn có thể tự giải quyết:

Và đã hứa ngay từ đầu:

Câu trả lời:

Giải pháp (ngắn gọn):

Nếu bạn đối phó với ít nhất ba ví dụ đầu tiên, thì bạn coi như đã nắm vững chủ đề.

Bây giờ để học!

CHUYỂN ĐỔI THỂ HIỆN. TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Các thao tác đơn giản hóa cơ bản:

• Mang lại tương tự: để thêm (bớt) các thuật ngữ giống như, bạn cần thêm hệ số của chúng và gán phần chữ cái.
• Thừa số hóa: lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, áp dụng, v.v.
• Giảm phân số: tử số và mẫu số của một phân số có thể nhân hoặc chia cho cùng một số khác không, từ đó giá trị của phân số không thay đổi.
  1) tử số và mẫu số phân tích nhân tố
  2) Nếu có thừa số chung ở tử số và mẫu số thì có thể gạch bỏ chúng.

  QUAN TRỌNG: chỉ có thể giảm số nhân!

• Phép cộng và phép trừ các phân số:
  ;
• Nhân và chia phân số:
  ;

Chà, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này, thì bạn đang rất tuyệt.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình làm chủ một việc gì đó. Và nếu bạn đã đọc đến cuối, thì bạn đang ở trong 5%!

Bây giờ điều quan trọng nhất.

Bạn đã tìm ra lý thuyết về chủ đề này. Và, tôi nhắc lại, nó ... nó chỉ là siêu! Bạn đã giỏi hơn đại đa số các đồng nghiệp của mình rồi.

Vấn đề là điều này có thể không đủ ...

Để làm gì?

Để vượt qua kỳ thi thành công, để được nhận vào học viện bằng ngân sách và QUAN TRỌNG NHẤT, cho cuộc sống.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn về bất cứ điều gì, tôi sẽ chỉ nói một điều ...

Những người nhận được một nền giáo dục tốt kiếm được nhiều hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Cái chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ vì nhiều cơ hội mở ra trước mắt và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn chăng? Không biết ...

Nhưng hãy nghĩ cho bản thân ...

Cần gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong kỳ thi và cuối cùng ... hạnh phúc hơn?

HÃY ĐIỀN TAY, GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.

Trong kỳ thi, bạn sẽ không được hỏi lý thuyết.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề đúng hạn.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), Bạn chắc chắn sẽ mắc một sai lầm ngớ ngẩn ở đâu đó hoặc đơn giản là bạn sẽ không mắc phải kịp thời.

Nó giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để giành chiến thắng chắc chắn.

Tìm bộ sưu tập ở bất cứ đâu bạn muốn nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các tác vụ của chúng tôi (không cần thiết) và chúng tôi chắc chắn khuyên bạn nên sử dụng chúng.

Để được giúp đỡ trong các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Thế nào? Có hai lựa chọn:

1. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn trong bài viết này -
2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của hướng dẫn - Mua sách giáo khoa - 499 rúp

Có, chúng tôi có 99 bài báo như vậy trong sách giáo khoa và quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ và tất cả các văn bản ẩn trong đó có thể được mở ngay lập tức.

Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong toàn bộ thời gian tồn tại của trang web.

Tóm lại là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Chỉ cần không dừng lại với lý thuyết.

“Đã hiểu” và “Tôi biết cách giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết!

Các số và biểu thức tạo nên biểu thức ban đầu có thể được thay thế bằng các biểu thức giống hệt chúng. Sự biến đổi như vậy của biểu thức ban đầu dẫn đến một biểu thức giống hệt nó.

Ví dụ, trong biểu thức 3 + x, số 3 có thể được thay thế bằng tổng 1 + 2, kết quả là biểu thức (1 + 2) + x giống hệt biểu thức ban đầu. Một ví dụ khác: trong biểu thức 1 + a 5, bậc của số 5 có thể được thay thế bằng một tích giống hệt nó, ví dụ, có dạng a · a 4. Điều này sẽ cho chúng ta biểu thức 1 + a · a 4.

Sự biến đổi này chắc chắn là nhân tạo, và thường là sự chuẩn bị cho một số biến đổi tiếp theo. Ví dụ, trong tổng 4 · x 3 + 2 · x 2, có tính đến các tính chất của bậc, số hạng 4 · x 3 có thể được biểu diễn dưới dạng tích 2 · x 2 · 2 · x. Sau khi biến đổi như vậy, biểu thức ban đầu sẽ có dạng 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Rõ ràng, các số hạng trong tổng kết quả có một thừa số chung là 2 x 2, vì vậy chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi sau - dấu ngoặc. Sau đó, chúng ta sẽ đến với biểu thức: 2 x 2 (2 x + 1).

Cộng và trừ cùng một số

Một phép biến đổi nhân tạo khác của một biểu thức là cộng và trừ cùng một số hoặc biểu thức cùng một lúc. Một phép biến đổi như vậy là giống hệt nhau, vì trên thực tế, nó tương đương với việc thêm số 0, và việc thêm số 0 không làm thay đổi giá trị.

Hãy xem xét một ví dụ. Hãy lấy biểu thức x 2 +2 x. Nếu bạn thêm một vào nó và trừ một, thì điều này sẽ cho phép bạn thực hiện một phép biến đổi tương tự khác trong tương lai - chọn bình phương của nhị thức: x 2 +2 x = x 2 +2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.

Thư mục.

• Đại số học: sách giáo khoa cho 7 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số học. Lớp 7. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 17, thêm. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 trang: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân số.

Tính chất giao hoán của phép cộng: khi các số hạng được sắp xếp lại, giá trị của tổng không thay đổi. Với mọi số a và b, đẳng thức đúng

Tính chất kết hợp của phép cộng: để thêm số thứ ba vào tổng của hai số, bạn có thể cộng tổng của số thứ hai và thứ ba với số đầu tiên. Với mọi số a, b và c thì đẳng thức đúng

Tính chất giao hoán của phép nhân: hoán vị của các thừa số không làm thay đổi giá trị của tích. Với mọi số a, b và c, đẳng thức đúng

Tính chất kết hợp của phép nhân: để nhân tích của hai số với số thứ ba, bạn có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và thứ ba.

Với mọi số a, b và c, đẳng thức đúng

Thuộc tính phân phối: Để nhân một số với một tổng, bạn có thể nhân số đó với từng số hạng và cộng các kết quả. Với mọi số a, b và c thì đẳng thức đúng

Nó theo sau từ các thuộc tính giao hoán và kết hợp của phép cộng mà trong bất kỳ tổng nào, bạn có thể sắp xếp lại các số hạng theo ý muốn và kết hợp chúng trong các nhóm theo cách tùy ý.

Ví dụ 1 Hãy tính tổng 1.23 + 13.5 + 4.27.

Để làm điều này, thật thuận tiện để kết hợp số hạng đầu tiên với số hạng thứ ba. Chúng tôi nhận được:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Nó dựa trên các tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân: trong bất kỳ tích nào, bạn có thể sắp xếp lại các thừa số theo bất kỳ cách nào và tùy ý kết hợp chúng thành các nhóm.

Ví dụ 2 Hãy tìm giá trị của tích 1,8 0,25 64 0,5.

Kết hợp yếu tố đầu tiên với yếu tố thứ tư và yếu tố thứ hai với yếu tố thứ ba, chúng ta sẽ có:

1,8 0,25 64 0,5 \ u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \ u003d 0,9 16 \ u003d 14,4.

Thuộc tính phân phối cũng hợp lệ khi số được nhân với tổng của ba số hạng trở lên.

Ví dụ, đối với bất kỳ số a, b, c và d, đẳng thức là đúng

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

Chúng ta biết rằng phép trừ có thể được thay thế bằng phép cộng bằng cách thêm vào giá trị nhỏ nhất của số đối diện với chuỗi con:

Điều này cho phép biểu thức số dạng a-b được coi là tổng của các số a và -b, biểu thức số dạng a + b-c-d được coi là tổng của các số a, b, -c, -d, v.v. các thuộc tính được coi là của các hành động cũng có giá trị đối với các khoản tiền đó.

Ví dụ 3 Hãy tìm giá trị của biểu thức 3.27-6.5-2.5 + 1.73.

Biểu thức này là tổng của các số 3,27, -6,5, -2,5 và 1,73. Áp dụng tính chất cộng, ta được: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.

Ví dụ 4 Hãy tính tích 36 · ().

Số nhân có thể được coi là tổng của các số và -. Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, chúng ta nhận được:

36 () = 36-36 = 9-10 = -1.

Danh tính

Sự định nghĩa. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với bất kỳ giá trị nào của các biến được cho là giống hệt nhau.

Sự định nghĩa. Một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của các biến được gọi là đồng nhất.

Hãy tìm giá trị của biểu thức 3 (x + y) và 3x + 3y với x = 5, y = 4:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Chúng tôi nhận được cùng một kết quả. Theo thuộc tính phân phối, nói chung, với bất kỳ giá trị nào của các biến, các giá trị tương ứng của biểu thức 3 (x + y) và 3x + 3y là bằng nhau.

Bây giờ hãy xem xét các biểu thức 2x + y và 2xy. Với x = 1, y = 2 chúng nhận các giá trị bằng nhau:

Tuy nhiên, bạn có thể chỉ định các giá trị x và y sao cho các giá trị của các biểu thức này không bằng nhau. Ví dụ: nếu x = 3, y = 4, thì

Biểu thức 3 (x + y) và 3x + 3y đồng dạng bằng nhau, nhưng biểu thức 2x + y và 2xy không đồng dạng.

Đẳng thức 3 (x + y) = x + 3y, đúng với bất kỳ giá trị nào của x và y, là một đồng nhất.

Các bằng số thực cũng được coi là đồng nhất.

Vì vậy, danh tính là sự bình đẳng thể hiện các thuộc tính chính của các hành động trên số:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Các ví dụ khác về danh tính có thể được đưa ra:

a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.

Các phép biến đổi nhận dạng của các biểu thức

Việc thay thế một biểu thức này bằng một biểu thức khác, giống hệt nó, được gọi là một phép biến đổi giống hệt hoặc đơn giản là một phép biến đổi của một biểu thức.

Phép biến đổi giống hệt biểu thức với biến được thực hiện dựa trên các tính chất của phép toán trên số.

Để tìm giá trị của biểu thức xy-xz với các giá trị x, y, z, bạn cần thực hiện ba bước. Ví dụ, với x = 2.3, y = 0.8, z = 0.2, chúng ta nhận được:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Kết quả này có thể đạt được chỉ trong hai bước, sử dụng biểu thức x (y-z), giống hệt như biểu thức xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Chúng tôi đã đơn giản hóa các phép tính bằng cách thay thế biểu thức xy-xz bằng biểu thức giống hệt nhau x (y-z).

Các phép biến đổi đồng dạng của biểu thức được sử dụng rộng rãi trong việc tính giá trị của biểu thức và giải các bài toán khác. Một số phép biến đổi giống hệt nhau đã được thực hiện, ví dụ, rút ​​gọn các số hạng tương tự, mở ngoặc. Nhắc lại các quy tắc để thực hiện các phép biến đổi này:

để mang lại các số hạng tương tự, cần phải cộng hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung;

nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng thì có thể bỏ dấu ngoặc, giữ lại dấu của từng số hạng đặt trong ngoặc;

nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc thì có thể bỏ dấu ngoặc bằng cách thay đổi dấu của từng số hạng đặt trong ngoặc.

Ví dụ 1 Hãy cộng các số hạng tương tự trong tổng 5x + 2x-3x.

Chúng tôi sử dụng quy tắc để giảm các điều khoản thích:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Sự biến đổi này dựa trên thuộc tính phân phối của phép nhân.

Ví dụ 2 Hãy mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức 2a + (b-3c).

Áp dụng quy tắc mở ngoặc trước dấu cộng:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Phép biến đổi được thực hiện dựa trên thuộc tính kết hợp của phép cộng.

Ví dụ 3 Hãy mở rộng dấu ngoặc trong biểu thức a- (4b-c).

Hãy sử dụng quy tắc để mở rộng dấu ngoặc trước dấu trừ:

a- (4b-c) = a-4b + c.

Phép biến đổi được thực hiện dựa trên thuộc tính phân phối của phép nhân và thuộc tính kết hợp của phép cộng. Hãy thể hiện nó. Hãy biểu diễn số hạng thứ hai - (4b-c) trong biểu thức này dưới dạng tích (-1) (4b-c):

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

Áp dụng các thuộc tính này của các hành động, chúng tôi nhận được:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.