Trong video này, chúng ta sẽ xem xét toàn bộ. Các phương trình tuyến tính, được giải bằng cùng một thuật toán - đó là lý do tại sao chúng được gọi là đơn giản nhất.

Để bắt đầu, hãy định nghĩa: phương trình tuyến tính là gì và phương trình nào trong số chúng nên được gọi là đơn giản nhất?

Phương trình tuyến tính là phương trình trong đó chỉ có một biến số và chỉ ở bậc đầu tiên.

Phương trình đơn giản nhất có nghĩa là cấu trúc:

Tất cả các phương trình tuyến tính khác được rút gọn thành những phương trình đơn giản nhất bằng cách sử dụng thuật toán:

1. Mở ngoặc, nếu có;
2. Di chuyển các số hạng có chứa một biến sang một phía của dấu bằng và các số hạng không có biến sang một bên;
3. Chì thích điều khoản bên trái và bên phải của dấu bằng;
4. Chia phương trình kết quả cho hệ số của biến $ x $.

Tất nhiên, thuật toán này không phải lúc nào cũng hữu ích. Thực tế là đôi khi, sau tất cả các lần xử lý này, hệ số của biến $ x $ hóa ra bằng không. Trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn:

1. Phương trình không có nghiệm nào cả. Ví dụ: khi bạn nhận được một cái gì đó như $ 0 \ cdot x = 8 $, tức là bên trái là số 0 và bên phải là số khác 0. Trong video dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số lý do tại sao có thể xảy ra tình trạng này.
2. Giải pháp là tất cả các con số. Trường hợp duy nhất khi điều này là có thể xảy ra là khi phương trình đã được rút gọn thành cấu trúc $ 0 \ cdot x = 0 $. Điều khá hợp lý là cho dù chúng ta thay thế $ x $ nào đi chăng nữa, thì nó vẫn sẽ cho kết quả là "số không bằng không", tức là bình đẳng số đúng.

Và bây giờ chúng ta hãy xem tất cả hoạt động như thế nào trên ví dụ về các vấn đề thực tế.

Ví dụ về giải phương trình

Hôm nay chúng ta giải quyết các phương trình tuyến tính và chỉ những phương trình đơn giản nhất. Nói chung, một phương trình tuyến tính có nghĩa là bất kỳ đẳng thức nào chứa chính xác một biến và nó chỉ ở cấp độ đầu tiên.

Các công trình như vậy được giải quyết theo cùng một cách:

1. Trước hết, bạn cần mở dấu ngoặc, nếu có (như trong ví dụ cuối cùng);
2. Sau đó mang tương tự
3. Cuối cùng, tách riêng biến, tức là mọi thứ được kết nối với biến - các điều khoản chứa nó - được chuyển sang một bên và mọi thứ còn lại không có biến sẽ được chuyển sang bên kia.

Sau đó, như một quy tắc, bạn cần phải đưa ra tương tự ở mỗi bên của đẳng thức kết quả, và sau đó nó vẫn chỉ chia cho hệ số tại "x", và chúng ta sẽ nhận được câu trả lời cuối cùng.

Về lý thuyết, điều này trông đẹp và đơn giản, nhưng trong thực tế, ngay cả học sinh trung học có kinh nghiệm cũng có thể mắc lỗi khó hiểu trong các phương trình tuyến tính khá đơn giản. Thông thường, những sai lầm mắc phải khi mở ngoặc hoặc khi đếm "điểm cộng" và "điểm trừ".

Ngoài ra, sẽ xảy ra trường hợp một phương trình tuyến tính không có nghiệm nào cả, hoặc nghiệm là toàn bộ một trục số, tức là bất kỳ số nào. Chúng ta sẽ phân tích những nét tinh tế này trong bài học hôm nay. Nhưng chúng tôi sẽ bắt đầu, như bạn đã hiểu, với hầu hết nhiệm vụ đơn giản.

Sơ đồ giải phương trình tuyến tính đơn giản

Để bắt đầu, hãy để tôi viết lại toàn bộ sơ đồ giải các phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

1. Mở rộng dấu ngoặc đơn, nếu có.
2. Loại trừ các biến, tức là mọi thứ có chứa "x" được chuyển sang một bên và không có "x" - sang bên kia.
3. Chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự.
4. Chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x".

Tất nhiên, kế hoạch này không phải lúc nào cũng hoạt động, nó có một số tinh vi và thủ thuật nhất định, và bây giờ chúng ta sẽ làm quen với chúng.

Giải các ví dụ thực tế về phương trình tuyến tính đơn giản

Nhiệm vụ 1

Trong bước đầu tiên, chúng ta bắt buộc phải mở dấu ngoặc. Nhưng chúng không có trong ví dụ này, vì vậy chúng ta bỏ qua bước này. Trong bước thứ hai, chúng ta cần phải cô lập các biến. Ghi chú: chúng tôi đang nói chuyện chỉ về các điều khoản riêng lẻ. Cùng viết nào:

Chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự ở bên trái và bên phải, nhưng điều này đã được thực hiện ở đây. Do đó, chúng tôi tiến hành bước thứ tư: chia cho một thừa số:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Đây là câu trả lời.

Nhiệm vụ 2

Trong tác vụ này, chúng ta có thể quan sát các dấu ngoặc, vì vậy hãy mở rộng chúng:

Cả ở bên trái và bên phải, chúng ta thấy cấu trúc gần giống nhau, nhưng chúng ta hãy hành động theo thuật toán, tức là biến trình tự:

Dưới đây là một số như:

Điều này hoạt động ở những gốc rễ nào? Trả lời: cho bất kỳ. Do đó, chúng ta có thể viết $ x $ là một số bất kỳ.

Nhiệm vụ số 3

Phương trình tuyến tính thứ ba đã thú vị hơn:

\ [\ left (6-x \ right) + \ left (12 + x \ right) - \ left (3-2x \ right) = 15 \]

Ở đây có vài dấu ngoặc nhưng không nhân với gì cả, chỉ đứng trước thôi. các dấu hiệu khác nhau. Hãy chia nhỏ chúng:

Chúng tôi thực hiện bước thứ hai mà chúng tôi đã biết:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Hãy tính toán:

Chúng tôi thực hiện bước cuối cùng - chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Những điều cần nhớ khi giải phương trình tuyến tính

Nếu chúng ta bỏ qua các nhiệm vụ quá đơn giản, thì tôi muốn nói như sau:

• Như tôi đã nói ở trên, không phải mọi phương trình tuyến tính đều có nghiệm - đôi khi đơn giản là không có nghiệm nguyên;
• Ngay cả khi có gốc rễ, thì số không cũng có thể xâm nhập vào chúng - không có gì sai với điều đó.

Số 0 là cùng số với các số còn lại, bạn không nên phân biệt nó bằng cách nào đó hoặc cho rằng nếu bạn nhận được số 0 thì bạn đã làm sai điều gì đó.

Một tính năng khác có liên quan đến việc mở rộng dấu ngoặc đơn. Xin lưu ý: khi có dấu "trừ" ở phía trước, chúng tôi loại bỏ nó, nhưng trong ngoặc, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu thành đối nghịch. Và sau đó chúng ta có thể mở nó theo các thuật toán tiêu chuẩn: chúng ta sẽ nhận được những gì chúng ta đã thấy trong các phép tính ở trên.

Hiểu điều này thực tế đơn giản sẽ giúp bạn không mắc phải những sai lầm ngu ngốc và tổn thương ở trường trung học khi việc làm như vậy được coi là đương nhiên.

Giải phương trình tuyến tính phức tạp

Hãy chuyển sang nhiều hơn nữa phương trình phức tạp. Bây giờ các cấu trúc sẽ trở nên phức tạp hơn và một hàm bậc hai sẽ xuất hiện khi thực hiện các phép biến đổi khác nhau. Tuy nhiên, bạn không nên sợ điều này, vì nếu theo chủ ý của tác giả, chúng ta giải một phương trình tuyến tính, thì trong quá trình biến đổi tất cả các đơn thức chứa một hàm bậc hai sẽ nhất thiết bị thu gọn.

Ví dụ 1

Rõ ràng, bước đầu tiên là mở dấu ngoặc. Hãy làm điều này thật cẩn thận:

Bây giờ chúng ta hãy bảo mật:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng, phương trình này không có nghiệm, vì vậy trong đáp án chúng ta viết như sau:

\[\đa dạng \]

hoặc không có rễ.

Ví dụ số 2

Chúng ta thực hiện các bước tương tự. Bước đầu tiên:

Hãy di chuyển mọi thứ với một biến sang trái và không có biến đó - sang phải:

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng, phương trình tuyến tính này không có nghiệm, vì vậy chúng ta viết nó như sau:

\ [\ varnothing \],

hoặc không có rễ.

Các sắc thái của giải pháp

Cả hai phương trình đều được giải hoàn toàn. Với ví dụ về hai biểu thức này, chúng tôi một lần nữa đảm bảo rằng ngay cả trong các phương trình tuyến tính đơn giản nhất, mọi thứ không thể đơn giản như vậy: có thể có một hoặc không, hoặc vô hạn. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét hai phương trình, cả hai đều đơn giản là không có nghiệm nguyên.

Nhưng tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến một thực tế khác: cách làm việc với dấu ngoặc và cách mở chúng nếu có dấu trừ phía trước. Hãy xem xét biểu thức này:

Trước khi mở, bạn cần nhân mọi thứ với "x". Xin lưu ý: nhân từng thuật ngữ riêng lẻ. Bên trong có hai số hạng - tương ứng, hai số hạng và được nhân.

Và chỉ sau khi hoàn thành xong những phép biến đổi tưởng như sơ đẳng, nhưng rất quan trọng và nguy hiểm này, người ta mới có thể mở ngoặc với quan điểm có dấu trừ sau nó. Vâng, có: chỉ bây giờ, khi các phép biến đổi được thực hiện, chúng ta nhớ rằng có một dấu trừ ở phía trước của dấu ngoặc, có nghĩa là mọi thứ xuống chỉ thay đổi dấu hiệu. Đồng thời, các dấu ngoặc tự biến mất và quan trọng nhất là “dấu trừ” phía trước cũng biến mất.

Chúng tôi làm tương tự với phương trình thứ hai:

Không phải ngẫu nhiên mà tôi lại chú ý đến những sự thật nhỏ nhặt, tưởng chừng như không đáng kể này. Vì giải phương trình luôn là một dãy biến đổi cơ bản nơi không có khả năng thực hiện một cách rõ ràng và thành thạo các bước đơn giản dẫn đến việc các em học sinh cấp 3 tìm đến tôi và học cách giải lại những phương trình đơn giản như vậy.

Tất nhiên, sẽ đến ngày bạn trau dồi những kỹ năng này để trở thành chủ nghĩa tự động. Bạn không còn phải thực hiện quá nhiều phép biến đổi mỗi lần, bạn sẽ viết mọi thứ trong một dòng. Nhưng trong khi bạn chỉ đang học, bạn cần phải viết từng hành động riêng biệt.

Giải các phương trình tuyến tính phức tạp hơn

Những gì chúng ta sẽ giải quyết bây giờ khó có thể được gọi là nhiệm vụ đơn giản nhất, nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi.

Nhiệm vụ 1

\ [\ left (7x + 1 \ right) \ left (3x-1 \ right) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Hãy nhân tất cả các phần tử trong phần đầu tiên:

Hãy thực hiện một khóa tu:

Dưới đây là một số như:

Hãy thực hiện bước cuối cùng:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Đây là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi. Và, mặc dù thực tế là trong quá trình giải chúng tôi đã có các hệ số của một hàm bậc hai, tuy nhiên, chúng triệt tiêu lẫn nhau, điều này làm cho phương trình chính xác là tuyến tính, không phải là hình vuông.

Nhiệm vụ 2

\ [\ left (1-4x \ right) \ left (1-3x \ right) = 6x \ left (2x-1 \ right) \]

Hãy thực hiện bước đầu tiên một cách cẩn thận: nhân mọi phần tử trong ngoặc thứ nhất với mọi phần tử trong dấu ngoặc thứ hai. Tổng cộng, bốn số hạng mới sẽ nhận được sau khi biến đổi:

Và bây giờ hãy cẩn thận thực hiện phép nhân trong mỗi số hạng:

Hãy di chuyển các thuật ngữ có "x" sang trái và không có - sang phải:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Chúng tôi đã nhận được một câu trả lời dứt khoát.

Các sắc thái của giải pháp

Nhận xét quan trọng nhất về hai phương trình này là: ngay khi chúng ta bắt đầu nhân các dấu ngoặc trong đó có nhiều hơn một số hạng, thì điều này được thực hiện theo quy tắc sau: chúng ta lấy số hạng đầu tiên từ số hạng đầu tiên và nhân với mỗi phần tử. từ thứ hai; sau đó chúng ta lấy phần tử thứ hai từ phần tử đầu tiên và nhân tương tự với mỗi phần tử từ phần tử thứ hai. Kết quả là, chúng tôi nhận được bốn điều khoản.

Về tổng đại số

Trong ví dụ cuối cùng, tôi muốn nhắc nhở học sinh điều gì là tổng đại số. Trong toán học cổ điển, với $ 1-7 $ chúng ta có nghĩa là một cấu trúc đơn giản: chúng ta trừ bảy cho một. Trong đại số, chúng tôi có ý nghĩa như sau: với số "một", chúng tôi thêm một số khác, cụ thể là "trừ đi bảy." Tổng đại số này khác với tổng số học thông thường.

Ngay sau khi thực hiện tất cả các phép biến đổi, mỗi phép cộng và phép nhân, bạn bắt đầu thấy các cấu trúc tương tự như mô tả ở trên, bạn sẽ không gặp bất kỳ vấn đề nào trong đại số khi làm việc với đa thức và phương trình.

Tóm lại, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ khác thậm chí còn phức tạp hơn những ví dụ mà chúng ta vừa xem xét và để giải quyết chúng, chúng ta sẽ phải mở rộng một chút thuật toán tiêu chuẩn của mình.

Giải phương trình với một phân số

Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, một bước nữa sẽ phải được thêm vào thuật toán của chúng tôi. Nhưng trước tiên, tôi sẽ nhắc thuật toán của chúng tôi:

1. Mở ngoặc.
2. Các biến riêng biệt.
3. Mang tương tự.
4. Chia cho một thừa số.

Than ôi, thuật toán tuyệt vời này, đối với tất cả hiệu quả của nó, không hoàn toàn thích hợp khi chúng ta có các phân số trước mặt. Và trong những gì chúng ta sẽ thấy bên dưới, chúng ta có một phân số ở bên trái và bên phải trong cả hai phương trình.

Làm thế nào để làm việc trong trường hợp này? Vâng, nó rất đơn giản! Để làm điều này, bạn cần thêm một bước nữa vào thuật toán, có thể được thực hiện cả trước hành động đầu tiên và sau hành động đó, cụ thể là loại bỏ các phân số. Do đó, thuật toán sẽ như sau:

1. Loại bỏ phân số.
2. Mở ngoặc.
3. Các biến riêng biệt.
4. Mang tương tự.
5. Chia cho một thừa số.

"Bỏ bớt phân số" nghĩa là gì? Và tại sao có thể làm điều này cả sau và trước bước tiêu chuẩn đầu tiên? Trên thực tế, trong trường hợp của chúng ta, tất cả các phân số đều là số theo mẫu số, tức là ở mọi nơi mẫu số chỉ là một con số. Do đó, nếu chúng ta nhân cả hai phần của phương trình với số này, thì chúng ta sẽ loại bỏ được phân số.

Ví dụ 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Hãy loại bỏ các phân số trong phương trình này:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4\]

Xin lưu ý: mọi thứ được nhân với "bốn" một lần, tức là chỉ vì bạn có hai dấu ngoặc không có nghĩa là bạn phải nhân mỗi dấu ngoặc vuông với "bốn". Cùng viết nào:

\ [\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Bây giờ hãy mở nó ra:

Chúng tôi thực hiện tách biệt một biến:

Chúng tôi thực hiện việc cắt giảm các điều khoản tương tự:

\ [- 4x = -1 \ trái | : \ left (-4 \ right) \ right. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Chúng tôi có quyết định cuối cùng, chúng tôi chuyển sang phương trình thứ hai.

Ví dụ số 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Ở đây chúng tôi thực hiện tất cả các hành động tương tự:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Vấn đề đã được giải quyết.

Trên thực tế, đó là tất cả những gì tôi muốn kể hôm nay.

Những điểm chính

Các phát hiện chính như sau:

• Biết thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính.
• Khả năng mở ngoặc.
• Đừng lo lắng nếu một nơi nào đó bạn có hàm bậc hai, rất có thể, trong quá trình biến đổi tiếp theo, chúng sẽ bị giảm đi.
• Các căn trong phương trình tuyến tính, ngay cả những căn đơn giản nhất, có ba loại: một căn duy nhất, toàn bộ trục số là một căn, không có căn nào cả.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn nắm vững một chủ đề đơn giản, nhưng rất quan trọng để hiểu sâu hơn về tất cả toán học. Nếu điều gì đó không rõ ràng, hãy truy cập trang web, giải quyết các ví dụ được trình bày ở đó. Hãy theo dõi nhé, còn rất nhiều điều thú vị nữa đang chờ bạn!

Với chương trình toán học này, bạn có thể giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai phương pháp biến đổi phương pháp thay thế và cộng.

Chương trình không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề mà còn dẫn giải pháp chi tiết với giải thích các bước giải theo hai cách: phương pháp thay thế và phương pháp cộng.

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học để chuẩn bị cho Công việc kiểm soát và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi, phụ huynh phải kiểm soát lời giải của nhiều bài toán toán và đại số. Hoặc có thể nó quá đắt đối với bạn để thuê một gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng sớm càng tốt? bài tập về nhà toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với một giải pháp chi tiết.

Do đó, bạn có thể thực hiện đào tạo riêng và / hoặc đào tạo họ em trai hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực nhiệm vụ được giải quyết tăng lên.

Quy tắc nhập phương trình

Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \), v.v.

Khi nhập phương trình bạn có thể sử dụng dấu ngoặc. Trong trường hợp này, đầu tiên các phương trình được đơn giản hóa. Các phương trình sau khi đơn giản hóa phải tuyến tính, tức là có dạng ax + by + c = 0 với độ chính xác về bậc của các phần tử.
Ví dụ: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

Trong các phương trình, bạn không chỉ có thể sử dụng số nguyên mà còn có thể sử dụng số phân số dưới dạng số thập phân và phân số chung.

Quy tắc nhập phân số thập phân.
Phần nguyên và phần phân số Phân số thập phân có thể được phân tách bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: 2.1n + 3.5m = 55

Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.
Mẫu số không được âm.
Khi bạn nhập phân số Tử số được ngăn cách với mẫu số bằng một dấu chia: /
Toàn bộ phầnđược phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &

Các ví dụ.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 & 1/8q)

Giải hệ phương trình

Người ta thấy rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết công việc này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

Bạn đã tắt JavaScript trong trình duyệt của mình.
JavaScript phải được bật để giải pháp xuất hiện.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Tại vì Có rất nhiều người muốn giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn xếp hàng.
Sau một vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Làm ơn chờ giây ...

nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, sau đó bạn có thể viết về nó trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định điều gì nhập vào các lĩnh vực.

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp thay thế

Trình tự các thao tác khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế:
1) biểu diễn một biến từ phương trình nào đó của hệ theo phương trình khác;
2) thay thế biểu thức kết quả trong một phương trình khác của hệ thống thay vì biến này;

$$ \ left \ (\ begin (array) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ end (array) \ right. $$

Hãy biểu diễn từ phương trình đầu tiên y qua x: y = 7-3x. Thay biểu thức 7-3x thay cho y vào phương trình thứ hai, ta được hệ:
$$ \ left \ (\ begin (array) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ end (array) \ right. $$

Dễ dàng chỉ ra rằng hệ thống thứ nhất và thứ hai có các giải pháp giống nhau. Trong hệ thứ hai, phương trình thứ hai chỉ chứa một biến. Hãy giải phương trình này:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ Rightarrow -5x + 14-6x = 3 \ Rightarrow -11x = -11 \ Rightarrow x = 1 $$

Thay số 1 thay x vào phương trình y = 7-3x, ta tìm được giá trị tương ứng của y:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ Rightarrow y = 4 $$

Cặp (1; 4) - giải pháp của hệ thống

Hệ phương trình hai biến có cùng nghiệm được gọi là tương đương. Các hệ thống không có giải pháp cũng được coi là tương đương.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách cộng

Hãy xem xét một cách khác để giải hệ phương trình tuyến tính - phương pháp cộng. Khi giải hệ theo cách này, cũng như khi giải bằng phương pháp thay thế, ta chuyển từ hệ đã cho sang hệ khác tương đương với nó, trong đó một phương trình chỉ chứa một biến số.

Trình tự các thao tác khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng:
1) nhân các phương trình của số hạng hệ thống với số hạng, chọn các thừa số để hệ số của một trong các biến trở thành những con số đối lập;
2) thêm số hạng theo số hạng vào phần bên trái và bên phải của các phương trình của hệ thống;
3) giải phương trình kết quả với một biến;
4) tìm giá trị tương ứng của biến thứ hai.

Ví dụ. Hãy giải hệ phương trình:
$$ \ left \ (\ begin (array) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ end (array) \ right. $$

Trong các phương trình của hệ này, các hệ số của y là các số đối nhau. Thêm số hạng theo số hạng vào phần bên trái và bên phải của phương trình, chúng ta thu được phương trình có một biến 3x = 33. Hãy thay một trong các phương trình của hệ, ví dụ phương trình thứ nhất, bằng phương trình 3x = 33. Hãy lấy hệ thống
$$ \ left \ (\ begin (array) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ end (array) \ right. $$

Từ phương trình 3x = 33 ta thấy rằng x = 11. Thay giá trị x này vào phương trình \ (x-3y = 38 \) ta được phương trình với biến y: \ (11-3y = 38 \). Hãy giải phương trình này:
\ (- 3y = 27 \ Mũi tên phải y = -9 \)

Do đó, chúng tôi đã tìm ra lời giải cho hệ phương trình bằng cách thêm: \ (x = 11; y = -9 \) hoặc \ ((11; -9) \)

Lợi dụng thực tế là trong các phương trình của hệ, các hệ số của y là các số đối nhau, chúng tôi đã rút gọn nghiệm của nó thành lời giải hệ thống tương đương(bằng cách tính tổng cả hai phần của mỗi phương trình của chủ đề sim gốc), trong đó một phương trình chỉ chứa một biến.

Sách (SGK) Tóm tắt về Kỳ thi thống nhất và kiểm tra OGE trực tuyến Trò chơi, câu đố Vẽ đồ thị chức năng Từ điển chính tả tiếng Nga Từ điển tiếng lóng của giới trẻ Danh mục các trường phổ thông ở Nga Danh mục các trường trung học ở Nga Danh mục các trường đại học Nga Danh mục nhiệm vụ

Phương trình tuyến tính là một chủ đề khá vô hại và dễ hiểu. toán học trường học. Nhưng, kỳ lạ thay, số lỗi vượt trội khi giải phương trình tuyến tính chỉ ít hơn một chút so với các chủ đề khác - phương trình bậc hai, logarit, lượng giác và những thứ khác. Nguyên nhân của hầu hết các lỗi là các phép biến đổi phương trình giống hệt nhau. Trước hết, đây là sự nhầm lẫn trong các dấu hiệu khi chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, cũng như các lỗi khi làm việc với phân số và tỷ lệ cược phân số. Vâng vâng! Phân số trong phương trình tuyến tính cũng xảy ra! Tất cả xung quanh. Thấp hơn một chút, chúng tôi cũng sẽ phân tích những phương trình độc ác như vậy.)

Chà, chúng ta đừng kéo đuôi con mèo và bắt đầu tìm hiểu nó, phải không? Sau đó, chúng tôi đọc và hiểu.)

Một phương trình tuyến tính là gì? Các ví dụ.

Thông thường, một phương trình tuyến tính có dạng sau:

cây rìu + b = 0,

Trong đó a và b là bất kỳ số nào. Bất cứ thứ gì: số nguyên, phân số, âm, vô tỷ - mọi người đều có thể như vậy!

Ví dụ:

7x + 1 = 0 (ở đây a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (ở đây a = 1, b = -3)

x / 2 - 1,1 = 0 (ở đây a = 1/2, b = -1,1)

Nói chung, bạn hiểu, tôi hy vọng.) Mọi thứ rất đơn giản, giống như trong một câu chuyện cổ tích. Trong thời điểm hiện tại ... Và nếu bạn nhìn kỹ vào kỷ lục chung ax + b = 0 kỹ hơn, nhưng hơi chu đáo? Vì a và b bất kỳ số nào! Và nếu chúng ta có, giả sử, a = 0 và b = 0 (bất kỳ số nào có thể lấy được!), Thì chúng ta sẽ nhận được gì?

0 = 0

Nhưng đó không phải là tất cả niềm vui! Và nếu, giả sử, a = 0, b = -10? Sau đó, nó bật ra một số điều vô nghĩa:

0 = 10.

Đó là điều rất, rất khó chịu và làm xói mòn niềm tin vào toán học đã giành được bằng mồ hôi và máu ... Đặc biệt là trong các bài kiểm tra, kỳ thi. Nhưng trong số những bằng nhau khó hiểu và kỳ lạ này, bạn cũng cần phải tìm x! Mà không tồn tại ở tất cả! Và ở đây, ngay cả những học sinh được chuẩn bị kỹ lưỡng, đôi khi, cũng có thể rơi vào trạng thái sững sờ ... Nhưng đừng lo lắng! TẠI bài học này chúng tôi cũng sẽ xem xét tất cả những điều bất ngờ như vậy. Và x từ các giá trị bằng nhau như vậy chắc chắn sẽ được tìm thấy.) Hơn nữa, x rất đơn giản này được tìm kiếm rất, rất đơn giản. Vâng vâng! Ngạc nhiên nhưng có thật.)

Được rồi, điều đó có thể hiểu được. Nhưng làm thế nào bạn có thể biết bằng cách xuất hiện của nhiệm vụ rằng chúng ta có một phương trình tuyến tính, chứ không phải một số khác? Thật không may, còn lâu mới có thể nhận ra loại phương trình chỉ bằng vẻ bề ngoài. Vấn đề là không chỉ các phương trình có dạng ax + b = 0 được gọi là tuyến tính, mà còn bất kỳ phương trình nào khác, bằng các phép biến đổi giống hệt nhau, theo cách này hay cách khác, đều được rút gọn về dạng này. Làm thế nào để bạn biết nếu nó phù hợp hay không? Cho đến khi bạn gần như giải quyết được ví dụ - hầu như không có gì. Thật khó chịu. Nhưng đối với một số loại phương trình, chỉ cần nhìn thoáng qua là có thể nói chắc chắn nó có tuyến tính hay không.

Để làm điều này, chúng tôi quay lại với cấu trúc tổng thể bất kỳ phương trình tuyến tính nào:

cây rìu + b = 0

Lưu ý rằng trong một phương trình tuyến tính luôn luôn chỉ có biến x ở mức độ đầu tiên và một số con số! Và đó là nó! Không có gì khác. Đồng thời, không có x bình phương, lập phương, dưới gốc, dưới logarit và các phép ngoại lai khác. Và (quan trọng nhất!) Không có phân số với x trong các mẫu số! Nhưng phân số với các số ở mẫu số hoặc phép chia mỗi số- một cách dễ dàng!

Ví dụ:

Đây là một phương trình tuyến tính. Phương trình chỉ chứa x của lũy thừa đầu tiên và các số. Và không có chữ X nào nữa độ cao- trong một hình vuông, trong một khối lập phương, v.v. Đúng, có phân số ở đây, nhưng đồng thời chúng nằm ở mẫu số của phân số chỉ những con số. Cụ thể là hai và ba. Nói cách khác, không có chia cho x.

Và đây là phương trình

Nó không còn có thể được gọi là tuyến tính nữa, mặc dù ở đây, chỉ có các số và x ở mức độ đầu tiên. Vì, trong số những thứ khác, cũng có những phân số với x trong các mẫu số. Và sau khi đơn giản hóa và biến đổi, một phương trình như vậy có thể trở thành bất kỳ thứ gì: tuyến tính và hình vuông - bất kỳ ai.

Làm thế nào để giải quyết các phương trình tuyến tính? Các ví dụ.

Vì vậy, làm thế nào để bạn giải quyết các phương trình tuyến tính? Hãy đọc và ngạc nhiên.) Toàn bộ giải pháp của phương trình tuyến tính chỉ dựa trên hai điều chính. Hãy liệt kê chúng.

1) Một tập hợp các hành động và quy tắc cơ bản của toán học.

Đây là cách sử dụng dấu ngoặc, mở ngoặc, làm việc với phân số, làm việc với số âm, bảng cửu chương, v.v. Những kiến ​​thức và kỹ năng này không chỉ cần thiết cho việc giải hệ phương trình tuyến tính mà cho tất cả các môn toán học nói chung. Và nếu đây là một vấn đề, hãy nhớ lớp học cơ sở. Nếu không, bạn sẽ rất khó khăn ...

2)

Chỉ có hai trong số họ. Vâng vâng! Hơn nữa, những phép biến đổi giống hệt nhau rất cơ bản này làm nền tảng cho lời giải của không chỉ tuyến tính, mà còn nói chung của bất kỳ phương trình toán học nào! Nói cách khác, nghiệm của bất kỳ phương trình nào khác - bậc hai, logarit, lượng giác, vô tỷ, v.v. - như một quy luật, bắt đầu với những phép biến đổi rất cơ bản này. Nhưng lời giải của các phương trình tuyến tính chính xác, trên thực tế, kết thúc trên chúng (các phép biến đổi). Câu trả lời đã sẵn sàng.) Vì vậy, đừng lười biếng và đi dạo qua liên kết.) Hơn nữa, các phương trình tuyến tính cũng được phân tích chi tiết ở đó.

Tôi nghĩ đã đến lúc bắt đầu phân tích các ví dụ.

Để bắt đầu, như một phần khởi động, hãy xem xét một số bài học sơ cấp. Không có bất kỳ phân số và chuông và còi khác. Ví dụ, phương trình này:

x - 2 \ u003d 4 - 5x

Đây là một phương trình tuyến tính cổ điển. Tất cả các x đều lớn nhất đến lũy thừa đầu tiên và không có phép chia cho x ở bất kỳ đâu. Sơ đồ giải trong các phương trình như vậy luôn giống nhau và đơn giản đến mức kinh hoàng: tất cả các số hạng có x phải được thu thập ở bên trái, và tất cả các số hạng không có x (tức là số) phải được thu thập ở bên phải. Vì vậy, chúng ta hãy bắt đầu thu thập.

Để làm điều này, chúng tôi khởi chạy phép biến đổi giống hệt đầu tiên. Chúng ta cần di chuyển -5x sang trái và -2 để di chuyển sang phải. Tất nhiên, với một sự thay đổi của dấu hiệu.) Vì vậy, chúng tôi chuyển:

x + 5x = 4 + 2

Tốt. Một nửa trận chiến đã kết thúc: các chữ x được tập hợp thành một đống, các con số cũng vậy. Bây giờ chúng ta đưa ra những cái tương tự ở bên trái, và chúng ta tính ở bên phải. Chúng tôi nhận được:

6x = 6

Chúng ta thiếu gì bây giờ? hạnh phúc trọn vẹn? Có, sao cho dấu X sạch sẽ vẫn còn ở bên trái! Và sáu can thiệp. Làm thế nào để thoát khỏi nó? Bây giờ chúng ta bắt đầu phép biến đổi giống hệt thứ hai - chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 6. Và - thì đấy! Câu trả lời đã sẵn sàng.)

x = 1

Tất nhiên, ví dụ là khá sơ khai. Đến ý tưởng chung nắm lấy. Vâng, chúng ta hãy làm một cái gì đó quan trọng hơn. Ví dụ, hãy xem xét phương trình sau:

Hãy phân tích chi tiết.) Đây cũng là một phương trình tuyến tính, mặc dù có vẻ như có các phân số ở đây. Nhưng trong phân số có phép chia cho hai và có phép chia cho ba, nhưng không có phép chia nào cho biểu thức có dấu x! Vì vậy, chúng tôi quyết định. Sử dụng tất cả các phép biến đổi giống hệt nhau, vâng.)

Chúng ta sẽ làm gì đầu tiên? Với X - ở bên trái, không có X - ở bên phải? Về nguyên tắc, nó có thể và như vậy. Bay đến Sochi qua Vladivostok.) Hoặc bạn có thể đi con đường ngắn nhất, ngay lập tức sử dụng phương pháp phổ quát và mạnh mẽ. Tất nhiên, nếu bạn biết các phép biến đổi giống hệt nhau.)

Để bắt đầu, tôi yêu cầu Câu hỏi then chốt: Điều gì bạn nhận thấy và không thích nhất về phương trình này? 99 trong số 100 người nói: phân số! Và họ sẽ đúng.) Vì vậy, chúng ta hãy loại bỏ chúng trước. An toàn cho chính phương trình.) Vì vậy, hãy bắt đầu ngay với lần biến đổi giống hệt thứ hai- từ phép nhân. Nhân với vế trái bằng bao nhiêu để mẫu số giảm một cách an toàn? Đúng vậy, gấp đôi. Và mặt phải? Đối với ba! Nhưng ... Toán học là một người phụ nữ thất thường. Cô ấy, bạn biết đấy, chỉ yêu cầu nhân cả hai phần cho cùng một số! Nhân mỗi phần với một số của riêng nó - nó không hoạt động ... Chúng ta sẽ làm gì? Một cái gì đó ... Hãy tìm kiếm một sự thỏa hiệp. Để đáp ứng mong muốn của chúng tôi (loại bỏ phân số) và không vi phạm toán học.) Và hãy nhân cả hai phần với sáu!) Nghĩa là, bằng mẫu số chung tất cả các phân số trong phương trình. Sau đó, trong một cú ngã sà xuống, hai cái sẽ giảm xuống, và ba cái!)

Ở đây chúng tôi nhân lên. Toàn bộ bên trái và toàn bộ bên phải! Do đó, chúng tôi sử dụng dấu ngoặc. Đây là quy trình trông giống như sau:

Bây giờ chúng ta hãy mở các dấu ngoặc đơn này:

Bây giờ, đại diện cho 6 là 6/1, nhân sáu với mỗi phân số ở bên trái và bên phải. Đây là phép nhân phân số thông thường, nhưng, vì vậy, tôi sẽ viết chi tiết:

Và đây - chú ý! Tôi lấy tử số (x-3) trong ngoặc! Tất cả là do khi nhân phân số, tử số được nhân toàn bộ, toàn bộ và hoàn toàn! Và với biểu thức x-3, nó là cần thiết để làm việc như với một cấu trúc vững chắc. Nhưng nếu bạn viết tử số như thế này:

6x - 3,

Nhưng chúng tôi có mọi thứ đúng và chúng tôi cần phải hoàn thành nó. Phải làm gì tiếp theo? Mở ngoặc ở tử số bên trái? Không có trường hợp nào! Bạn và tôi nhân cả hai phần với 6 để loại bỏ phân số, và không phải tắm hơi khi mở ngoặc. Trên sân khấu này chúng tôi cần giảm phân số của chúng tôi. Với một cảm giác hài lòng sâu sắc, chúng tôi giảm tất cả các mẫu số và nhận được phương trình không có bất kỳ phân số, trong một cái thước:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

Và bây giờ các dấu ngoặc còn lại có thể được mở:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Phương trình tiếp tục tốt hơn và tốt hơn! Bây giờ chúng ta nhớ lại một lần nữa sự biến đổi giống hệt đầu tiên. Với một mặt đá, chúng tôi lặp lại câu thần chú từ lớp dưới: với x - ở bên trái, không có x - ở bên phải. Và áp dụng chuyển đổi này:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Chúng tôi đưa ra những cái tương tự ở bên trái và đếm ở bên phải:

13x = 39

Nó vẫn còn để chia cả hai phần cho 13. Tức là, áp dụng phép biến đổi thứ hai một lần nữa. Chúng tôi phân chia và nhận được câu trả lời:

x = 3

Công việc đã hoàn thành. Như bạn thấy, trong phương trình đã cho chúng tôi phải áp dụng phép biến đổi đầu tiên (dịch các số hạng) một lần và phép biến đổi thứ hai hai lần: ở phần đầu của giải pháp, chúng tôi sử dụng phép nhân (với 6) để loại bỏ các phân số và ở cuối giải pháp, chúng tôi sử dụng phép chia (bằng 13) để loại bỏ hệ số đứng trước x. Và nghiệm của bất kỳ phương trình tuyến tính nào (có, bất kỳ!) Bao gồm sự kết hợp của các phép biến đổi tương tự này trong một chuỗi này hay chuỗi khác. Việc bắt đầu chính xác ở đâu phụ thuộc vào phương trình cụ thể. Ở một nơi nào đó sẽ có lợi hơn nếu bắt đầu bằng chuyển nhượng, và ở đâu đó (như trong ví dụ này) - với phép nhân (hoặc phép chia).

Chúng tôi làm việc từ đơn giản đến phức tạp. Hãy xem xét ngay bây giờ thiếc thẳng thắn. Với một loạt các phân số và dấu ngoặc. Và tôi sẽ cho bạn biết cách không làm quá sức.)

Ví dụ, đây là một phương trình:

Chúng tôi nhìn vào phương trình trong một phút, chúng tôi kinh hoàng, nhưng chúng tôi vẫn cố gắng kéo mình lại với nhau! Vấn đề chính là bắt đầu từ đâu? Bạn có thể thêm các phân số ở phía bên phải. Bạn có thể trừ các phân số trong ngoặc đơn. Bạn có thể nhân cả hai phần với một cái gì đó. Hoặc chia sẻ ... Vì vậy, những gì vẫn còn có thể? Trả lời: mọi thứ đều có thể! Toán học không cấm bất kỳ hành động nào được liệt kê. Và bất kể bạn chọn chuỗi hành động và biến đổi nào, câu trả lời sẽ luôn giống nhau - câu trả lời đúng. Tất nhiên, trừ khi ở một số bước, bạn không vi phạm danh tính của các phép biến hình và do đó, không mắc sai lầm ...

Và, để không mắc lỗi, trong những ví dụ lạ mắt như ví dụ này, việc đánh giá nó luôn hữu ích nhất xuất hiện và nghĩ trong đầu: bạn có thể làm gì trong ví dụ để tối đađơn giản hóa nó trong một bước?

Ở đây chúng tôi đang đoán. Ở bên trái là các sáu trong các mẫu số. Cá nhân tôi không thích chúng, nhưng chúng rất dễ loại bỏ. Hãy để tôi nhân cả hai vế của phương trình với 6! Khi đó, số sáu ở bên trái sẽ được giảm đi một cách an toàn, các phân số trong ngoặc sẽ không đi đâu cả. Chà, không có gì to tát. Chúng ta sẽ giải quyết chúng sau một chút.) Nhưng ở bên phải, mẫu số 2 và 3 sẽ giảm xuống. Chính với hành động này (nhân với 6), chúng ta đạt được sự đơn giản hóa tối đa trong một bước!

Sau khi nhân, toàn bộ phương trình ác của chúng ta sẽ trở thành như thế này:

Nếu bạn không hiểu chính xác phương trình này xuất hiện như thế nào, thì bạn chưa hiểu rõ về phân tích của ví dụ trước. Và tôi đã thử, nhân tiện ...

Vì vậy, hãy mở nó:

Bây giờ, bước hợp lý nhất sẽ là tách các phân số ở bên trái và gửi 5x sang bên phải. Đồng thời, chúng tôi đưa ra những cái tương tự ở phía bên phải. Chúng tôi nhận được:

Đã tốt hơn nhiều. Bây giờ phía bên trái đã tự chuẩn bị cho phép nhân. Nhân với vế trái để giảm ngay cả năm và bốn? Ở tuổi 20! Nhưng chúng ta cũng có những mặt trái của phương trình. Do đó, sẽ thuận tiện nhất khi nhân cả hai vế của phương trình không phải với 20 mà với -20. Sau đó, trong một cú ngã sà xuống, các minus sẽ biến mất, và các phân số.

Ở đây chúng tôi nhân lên:

Đối với những người vẫn chưa hiểu bước này, có nghĩa là các bài toán không nằm trong phương trình. Vấn đề là cốt lõi! Chúng tôi nhớ lại Quy tắc vàng mở rộng dấu ngoặc đơn:

Nếu số được nhân với một số biểu thức trong ngoặc, thì số này phải được nhân liên tiếp với từng số hạng của chính biểu thức này. Hơn nữa, nếu số là số dương thì dấu của biểu thức sau khi khai triển được bảo toàn. Nếu âm, chúng được đảo ngược:

a (b + c) = ab + ac

-a (b + c) = -ab-ac

Các minuses biến mất sau khi nhân cả hai phần với -20. Và bây giờ chúng ta tự nhân các dấu ngoặc với các phân số ở bên trái số dương 20. Vì vậy, khi mở những dấu ngoặc này, tất cả các dấu hiệu bên trong chúng được giữ nguyên. Nhưng dấu ngoặc trong tử số của phân số đến từ đâu, tôi đã giải thích chi tiết trong ví dụ trước.

Và bây giờ bạn có thể giảm các phân số:

4 (3-5x) -5 (3x-2) = 20

Mở rộng các dấu ngoặc còn lại. Một lần nữa, chúng tôi mở một cách chính xác. Các dấu ngoặc đầu tiên được nhân với số dương 4 và do đó, tất cả các dấu hiệu được giữ nguyên khi chúng được mở ra. Nhưng dấu ngoặc thứ hai được nhân với từ chối số là -5 và do đó, tất cả các dấu hiệu đều bị đảo ngược:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Có những khoảng trống còn lại. Với x ở bên trái, không có x ở bên phải:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Đó là gần như tất cả. Ở bên trái, bạn cần một dấu X sạch và số -35 cản trở. Vì vậy, chúng tôi chia cả hai phần cho (-35). Tôi nhắc bạn rằng sự chuyển đổi danh tính thứ hai cho phép chúng ta nhân và chia cả hai phần bằng sao cũng được con số. Bao gồm cả âm.) Nếu chỉ không bằng 0! Hãy chia sẻ và nhận được câu trả lời:

X = 2/35

Lần này X hóa ra là phân số. Ổn mà. Ví dụ như vậy.)

Như chúng ta có thể thấy, nguyên tắc giải phương trình tuyến tính (ngay cả những phương trình xoắn nhất) khá đơn giản: chúng ta lấy phương trình ban đầu và bằng các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta tuần tự đơn giản hóa nó cho đến đáp án. Với những điều cơ bản, tất nhiên! Các vấn đề chính ở đây chính là việc không tuân thủ các điều cơ bản (ví dụ, có một dấu trừ trước dấu ngoặc và họ quên thay đổi các dấu hiệu khi mở), cũng như trong số học tầm thường. Vì vậy, đừng bỏ bê những điều cơ bản! Chúng là nền tảng của tất cả phần còn lại của toán học!

Một số thủ thuật trong giải hệ phương trình tuyến tính. Hoặc những dịp đặc biệt.

Mọi thứ sẽ không có gì. Tuy nhiên ... Trong số các phương trình tuyến tính, có những viên ngọc trai buồn cười mà trong quá trình giải chúng có thể dẫn đến một sự sững sờ mạnh mẽ. Thậm chí là một học sinh xuất sắc.)

Ví dụ, đây là một phương trình trông vô hại:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Ngáp dài và hơi buồn chán, chúng tôi thu thập tất cả các chữ X ở bên trái và tất cả các số ở bên phải:

7x-4x-3x = 5-2-3

Chúng tôi đưa ra những cái tương tự, hãy xem xét và nhận được:

0 = 0

Đó là nó! Đã phát hành tiêu điểm primerchik! Tự nó, sự bình đẳng này không gây ra sự phản đối nào: số không thực sự bằng không. Nhưng X đã biến mất! Không một dâu vêt! Và chúng ta phải viết câu trả lời, Cái gì bằng x . Nếu không, quyết định sẽ không được xem xét, có.) Phải làm gì?

Không hoảng loạn! Trong những trường hợp không chuẩn như vậy, hầu hết Khái niệm chung và các nguyên tắc của toán học. Một phương trình là gì? Làm thế nào để giải các phương trình? Nó có nghĩa là gì để giải một phương trình?

Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các các giá trị của biến x, khi được thay thế thành nguyên bản phương trình sẽ cung cấp cho chúng ta bình đẳng chính xác (đồng nhất)!

Nhưng chúng ta có sự bình đẳng chính xác xong rồi! 0 = 0, hay đúng hơn là hư không!) Vẫn còn phải đoán xem tại x nào mà chúng ta nhận được đẳng thức này. Loại x có thể được thay thế thành nguyên bản phương trình nếu, khi thay thế, tất cả vẫn thu nhỏ bằng không? Bạn vẫn chưa hình dung ra sao?

Vâng tất nhiên! X có thể được thay thế không tí nào!!! Hoàn toàn bất kỳ. Bất cứ thứ gì bạn muốn, hãy đặt chúng vào. Ít nhất 1, ít nhất -23, ít nhất 2,7 - bất cứ điều gì! Chúng vẫn sẽ bị giảm bớt và kết quả là sự thật thuần khiết sẽ vẫn còn. Hãy thử nó, thay thế nó và xem cho chính mình.)

Đây là câu trả lời của bạn:

x là số bất kỳ.

Trong ký hiệu khoa học, đẳng thức này được viết như thế này:

Mục nhập này đọc như thế này: "X là bất kỳ số thực nào."

Hoặc ở dạng khác, vào các khoảng thời gian:

Theo ý muốn của bạn, hãy sắp xếp nó. Đây là câu trả lời chính xác và hoàn toàn đầy đủ!

Và bây giờ tôi sẽ chỉ thay đổi một số trong phương trình ban đầu của chúng ta. Hãy giải phương trình này ngay bây giờ:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Chúng tôi lại chuyển các điều khoản, đếm và nhận:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Và bạn thích trò đùa này như thế nào? Có một phương trình tuyến tính bình thường, nhưng có một bình đẳng khó hiểu

0 = 1…

đang nói ngôn ngữ khoa học, chúng tôi có đẳng thức sai. Nhưng trong tiếng Nga thì không đúng. Vớ vẩn. Vớ vẩn.) Cho số không không bằng một!

Và bây giờ một lần nữa chúng ta nghĩ rằng loại x khi thay thế vào phương trình ban đầu sẽ cho chúng ta đúng đẳng thức? Cái mà? Nhưng không có! Dù bạn thay thế X, mọi thứ vẫn sẽ giảm và sẽ có những thứ tào lao.)

Đây là câu trả lời: không có giải pháp.

Trong ký hiệu toán học, một câu trả lời như vậy được tạo ra như thế này:

Nó viết: "X thuộc tập hợp trống."

Các câu trả lời như vậy trong toán học cũng khá phổ biến: không phải lúc nào bất kỳ phương trình nào cũng có gốc về nguyên tắc. Một số phương trình có thể không có gốc. Ở tất cả.

Đây là hai điều ngạc nhiên. Tôi hy vọng rằng bây giờ sự biến mất đột ngột của Xs trong phương trình sẽ không làm bạn bối rối mãi mãi. Trường hợp khá quen thuộc.)

Và sau đó tôi nghe thấy một câu hỏi hợp lý: họ sẽ ở trong OGE hay SỬ DỤNG? Trong kỳ thi, bản thân họ như một nhiệm vụ - không. Quá đơn giản. Nhưng trong OGE hoặc trong các vấn đề văn bản - một cách dễ dàng! Vì vậy, bây giờ - chúng tôi đào tạo và quyết định:

Đáp án (lộn xộn): -2; -một; bất kỳ số nào; 2; không có giải pháp; 13/7.

Mọi thứ đã làm ra? Tốt! Bạn có cơ hội tốt trong kỳ thi.

Một cái gì đó không phù hợp? Hm ... Tất nhiên là buồn. Vì vậy, có những khoảng trống ở đâu đó. Về kiến ​​thức cơ bản hoặc biến đổi giống hệt nhau. Hoặc đó là một vấn đề của sự thiếu chú ý tầm thường. Đọc lại bài. Vì đây không phải là một chủ đề mà người ta có thể làm mà không dễ dàng như vậy trong toán học ...

Chúc may mắn! Cô ấy chắc chắn sẽ mỉm cười với bạn, tin tôi đi!)

Phương trình tuyến tính là phương trình đại số, có tổng bậc của đa thức bằng một. Giải phương trình tuyến tính - một phần chương trình giáo dục, và không phải là khó nhất. Tuy nhiên, một số vẫn gặp khó khăn trong việc phân tích chủ đề này. Chúng tôi hy vọng sẽ đọc vật liệu đã cho, tất cả những khó khăn đối với bạn sẽ chỉ còn là quá khứ. Vì vậy, chúng ta hãy tìm ra nó. cách giải hệ phương trình tuyến tính.

Hình thức chung

Phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng:

• ax + b = 0, trong đó a và b là các số bất kỳ.

Mặc dù a và b có thể là bất kỳ số nào, giá trị của chúng ảnh hưởng đến số nghiệm của phương trình. Có một số trường hợp giải pháp đặc biệt:

• Nếu a = b = 0, phương trình có tập hợp vô hạn các quyết định;
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm;
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình có nghiệm: x = 0.

Trong trường hợp cả hai số đều không có giá trị null, phương trình phải được giải để rút ra biểu thức cuối cùng cho biến.

Làm thế nào để quyết định?

Giải một phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm một biến bằng giá trị của nó. Làm thế nào để làm nó? Vâng, nó rất đơn giản - sử dụng các phép toán đại số đơn giản và tuân theo các quy tắc chuyển. Nếu phương trình xuất hiện trước bạn ở dạng tổng quát, bạn đang gặp may mắn, tất cả những gì bạn cần làm là:

1. Chuyển b sang vế phải của phương trình, không quên đổi dấu (quy tắc chuyển vế!), Như vậy, từ biểu thức có dạng ax + b = 0, ta được biểu thức có dạng ax = -b.
2. Áp dụng quy tắc: để tìm một trong các thừa số (x - trong trường hợp của chúng ta), bạn cần chia tích (-b trong trường hợp của chúng ta) cho một thừa số khác (a - trong trường hợp của chúng ta). Do đó, một biểu thức có dạng sẽ thu được: x \ u003d -b / a.

Đó là tất cả - giải pháp được tìm thấy!

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể:

1. 2x + 4 = 0 - chuyển b bằng trường hợp này 4, bên phải
2. 2x = -4 - chia b cho a (đừng quên dấu trừ)
3. x = -4 / 2 = -2

Đó là tất cả! Lời giải của ta: x = -2.

Như bạn thấy, việc tìm nghiệm của một phương trình tuyến tính với một biến là khá đơn giản, nhưng mọi thứ lại trở nên đơn giản nếu chúng ta may mắn gặp được phương trình ở dạng tổng quát. Trong hầu hết các trường hợp, trước khi giải phương trình theo hai bước nêu trên, cũng cần đưa biểu thức đã có về dạng tổng quát. Tuy nhiên, đây cũng không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt với các ví dụ.

Giải quyết các trường hợp đặc biệt

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét các trường hợp mà chúng tôi đã mô tả ở đầu bài viết và giải thích ý nghĩa của việc có vô số nghiệm và không có nghiệm.

• Nếu a = b = 0, phương trình sẽ có dạng: 0x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng tôi nhận được: 0x = 0. Điều vô nghĩa này có nghĩa là gì, bạn cảm thán! Rốt cuộc, bất kể bạn nhân với số nào, bạn sẽ luôn nhận được số 0! Đúng! Do đó, họ nói rằng phương trình có vô số nghiệm - bất kỳ số nào bạn lấy, đẳng thức sẽ đúng, 0x \ u003d 0 hoặc 0 \ u003d 0.
• Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình sẽ có dạng: 0x + 3 = 0. Ta thực hiện bước đầu tiên, ta được 0x = -3. Lại vô lý! Rõ ràng là sự bình đẳng này sẽ không bao giờ thành sự thật! Đó là lý do tại sao họ nói rằng phương trình không có nghiệm.
• Nếu a ≠ 0, b = 0, phương trình sẽ có dạng: 3x + 0 = 0. Bước đầu tiên, ta được: 3x = 0. Nghiệm là gì? Thật dễ dàng, x = 0.

Khó khăn trong dịch thuật

Các trường hợp cụ thể được mô tả không phải là tất cả những gì mà phương trình tuyến tính có thể làm chúng ta ngạc nhiên. Đôi khi, phương trình nhìn chung rất khó xác định ngay từ cái nhìn đầu tiên. Hãy lấy một ví dụ:

• 12x - 14 = 2x + 6

Đây có phải là một phương trình tuyến tính? Nhưng còn số 0 ở phía bên phải thì sao? Chúng tôi sẽ không vội vàng kết luận, chúng tôi sẽ hành động - chúng tôi sẽ chuyển tất cả các thành phần của phương trình sang bên trái. Chúng tôi nhận được:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Bây giờ trừ lượt like khỏi lượt like, chúng ta nhận được:

• 10x - 20 = 0

Đã học? Phương trình tuyến tính nhất từ ​​trước đến nay! Bài giải của ai: x = 20/10 = 2.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có ví dụ này:

• 12 ((x + 2) / 3) + x) = 12 (1 - 3x / 4)

Vâng, đây cũng là một phương trình tuyến tính, chỉ cần thực hiện thêm các phép biến đổi. Trước tiên, hãy mở rộng dấu ngoặc:

1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - bây giờ thực hiện chuyển:
4. 25x - 4 = 0 - vẫn phải tìm một giải pháp theo sơ đồ đã biết:
5. 25x = 4
6. x = 4/25 = 0,16

Như bạn thấy, mọi thứ đều được giải quyết, điều chính yếu không phải là lo lắng, mà là hành động. Hãy nhớ rằng, nếu phương trình của bạn chỉ chứa các biến bậc nhất và các số, thì đây là một phương trình tuyến tính, bất kể nó trông như thế nào ban đầu, có thể được rút gọn về dạng tổng quát và được giải. Chúng tôi hy vọng mọi thứ đều thuận lợi cho bạn! Chúc may mắn!

Hệ phương trình được sử dụng rộng rãi trong ngành kinh tế tại mô hình toán học các quy trình khác nhau. Ví dụ, khi giải quyết các vấn đề về quản lý và lập kế hoạch sản xuất, các tuyến đường hậu cần ( nhiệm vụ vận chuyển) hoặc vị trí thiết bị.

Hệ phương trình không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực toán học mà còn được sử dụng trong vật lý, hóa học và sinh học khi giải các bài toán tìm quy mô dân số.

Hệ phương trình tuyến tính là một thuật ngữ chỉ hai hoặc nhiều phương trình với một số biến cần tìm một nghiệm chung. Một dãy số như vậy mà tất cả các phương trình đều trở thành bình đẳng thực sự hoặc chứng minh rằng dãy số đó không tồn tại.

Phương trình đường thẳng

Phương trình có dạng ax + by = c được gọi là tuyến tính. Các ký hiệu x, y là ẩn số, giá trị của chúng phải tìm, b, a là hệ số của các biến, c là số hạng tự do của phương trình.
Giải phương trình bằng cách vẽ đồ thị của nó sẽ giống như một đường thẳng, tất cả các điểm của chúng đều là nghiệm của đa thức.

Các loại hệ phương trình tuyến tính

Đơn giản nhất là các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính với hai biến X và Y.

F1 (x, y) = 0 và F2 (x, y) = 0, trong đó F1,2 là các hàm và (x, y) là các biến hàm.

Giải hệ phương trình - nó có nghĩa là tìm các giá trị (x, y) mà hệ thống trở thành bình đẳng thực sự hoặc để xác định rằng không có giá trị nào phù hợp của x và y.

Một cặp giá trị (x, y), được viết dưới dạng tọa độ điểm, được gọi là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Nếu các hệ thống có một giải pháp chung hoặc không có giải pháp nào, chúng được gọi là tương đương.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phần bên phải bằng không. Nếu phần bên phải sau dấu "bằng" có một giá trị hoặc được biểu thị bằng một hàm thì hệ thống đó không thuần nhất.

Số lượng biến có thể nhiều hơn hai, khi đó chúng ta nên nói về một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính có ba biến trở lên.

Đối mặt với các hệ thống, học sinh cho rằng số phương trình nhất thiết phải trùng với số ẩn số, nhưng điều này không phải như vậy. Số lượng phương trình trong hệ không phụ thuộc vào các biến, có thể có một số lượng lớn tùy ý trong số chúng.

Các phương pháp đơn giản và phức tạp để giải hệ phương trình

Không có cách phân tích chung nào để giải quyết hệ thống tương tự, tất cả các phương pháp đều dựa trên giải pháp số. TẠI khóa học ở trường toán học, chẳng hạn như các phương pháp hoán vị, cộng đại số, thay thế, cũng như đồ thị và phương pháp ma trận, giải theo phương pháp Gauss.

Nhiệm vụ chính trong dạy học phương pháp giải là dạy cách phân tích hệ thống một cách chính xác và tìm thuật toán tối ưu giải pháp cho từng ví dụ. Điều chính không phải là ghi nhớ một hệ thống các quy tắc và hành động cho mỗi phương pháp, mà là hiểu các nguyên tắc áp dụng một phương pháp cụ thể.

Các ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính lớp 7 chương trình Trường cấp hai khá đơn giản và được giải thích rất chi tiết. Trong bất kỳ sách giáo khoa nào về toán học, phần này được chú ý đầy đủ. Lời giải của các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp của Gauss và Cramer được nghiên cứu chi tiết hơn trong các khóa học đầu tiên của các cơ sở giáo dục đại học.

Giải pháp của hệ thống theo phương pháp thay thế

Các hành động của phương pháp thay thế nhằm mục đích thể hiện giá trị của một biến cho đến biến thứ hai. Biểu thức được thay thế vào phương trình còn lại, sau đó nó được rút gọn về dạng một biến. Hành động được lặp lại tùy thuộc vào số lượng ẩn số trong hệ thống

Hãy nêu một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính cấp 7 bằng phương pháp thay thế:

Như có thể thấy từ ví dụ, biến x được biểu diễn thông qua F (X) = 7 + Y. Biểu thức kết quả, được thay thế vào phương trình thứ 2 của hệ thay cho X, đã giúp thu được một biến Y trong phương trình thứ 2 . Quyết định ví dụ này không gây khó khăn và cho phép bạn lấy giá trị Y. Bước cuối cùng là kiểm tra các giá trị đã nhận.

Không phải lúc nào cũng có thể giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng cách thay thế. Các phương trình có thể phức tạp và biểu thức của biến dưới dạng ẩn số thứ hai sẽ quá cồng kềnh để tính toán thêm. Khi có nhiều hơn 3 ẩn số trong hệ thống, giải pháp thay thế cũng không thực tế.

Lời giải của một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất:

Giải pháp sử dụng phép cộng đại số

Khi tìm kiếm một lời giải cho các hệ thống bằng phương pháp cộng, phép cộng số hạng và phép nhân các phương trình bằng những con số khác nhau. Mục tiêu cuối cùng của các phép toán là một phương trình có một biến.

Đối với các ứng dụng phương pháp này nó cần thực hành và quan sát. Việc giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng với số biến từ 3 trở lên không phải là điều dễ dàng. Phép cộng đại số rất hữu ích khi phương trình chứa phân số và số thập phân.

Giải thuật hành động:

1. Nhân cả hai vế của phương trình với một số. Kết quả là phép toán số học một trong các hệ số của biến phải bằng 1.
2. Thêm số hạng của biểu thức kết quả theo số hạng và tìm một trong các ẩn số.
3. Thay giá trị kết quả vào phương trình thứ 2 của hệ để tìm biến còn lại.

Phương pháp giải pháp bằng cách giới thiệu một biến mới

Một biến mới có thể được đưa vào nếu hệ thống cần tìm một nghiệm cho không quá hai phương trình, số ẩn số cũng không được nhiều hơn hai.

Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa một trong các phương trình bằng cách đưa vào một biến mới. Phương trình mới được giải đối với ẩn số đã nhập và giá trị kết quả được sử dụng để xác định biến ban đầu.

Ví dụ cho thấy rằng bằng cách đưa vào một biến mới t, có thể giảm phương trình thứ nhất của hệ thống về tiêu chuẩn tam thức vuông. Bạn có thể giải một đa thức bằng cách tìm số phân biệt.

Cần phải tìm giá trị của số phân biệt bằng công thức nổi tiếng: D = b2 - 4 * a * c, trong đó D là phân biệt mong muốn, b, a, c là các cấp số nhân của đa thức. TẠI ví dụ cho trước a = 1, b = 16, c = 39, do đó D = 100. Nếu người phân biệt đối xử Hơn không thì có hai nghiệm: t = -b ± √D / 2 * a, nếu số phân biệt nhỏ hơn 0 thì chỉ có một nghiệm: x = -b / 2 * a.

Giải pháp cho các hệ thống kết quả được tìm thấy bằng phương pháp cộng.

Một phương pháp trực quan để giải quyết các hệ thống

Thích hợp cho hệ có 3 phương trình. Phương pháp là xây dựng trên trục tọa độđồ thị của mỗi phương trình có trong hệ thống. Tọa độ giao điểm của các đường cong và sẽ là giải pháp chung các hệ thống.

Phương pháp đồ họa có một số sắc thái. Hãy xem xét một số ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính một cách trực quan.

Như có thể thấy từ ví dụ, hai điểm được xây dựng cho mỗi dòng, các giá trị của biến x được chọn tùy ý: 0 và 3. Dựa trên các giá trị của x, các giá trị của y được tìm thấy: 3 và 0. Các điểm có tọa độ (0, 3) và (3, 0) được đánh dấu trên đồ thị và nối với nhau bằng một đường thẳng.

Các bước phải được lặp lại cho phương trình thứ hai. Giao điểm của các đường là nghiệm của hệ.

Ví dụ sau cần tìm giải pháp đồ họa hệ phương trình tuyến tính: 0,5x-y + 2 = 0 và 0,5x-y-1 = 0.

Như có thể thấy từ ví dụ, hệ thống không có lời giải, bởi vì các đồ thị song song và không cắt nhau dọc theo toàn bộ chiều dài của chúng.

Các hệ thống từ Ví dụ 2 và 3 tương tự nhau, nhưng khi được xây dựng, rõ ràng là các giải pháp của chúng khác nhau. Cần nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể nói hệ thống có lời giải hay không mà luôn cần phải xây dựng đồ thị.

Ma trận và các loại của nó

Ma trận được sử dụng cho viết tắt hệ phương trình tuyến tính. Một bảng được gọi là một ma trận. Loại đặc biệt chứa đầy các con số. n * m có n - hàng và m - cột.

Ma trận là hình vuông khi số cột và số hàng bằng nhau. Ma trận - vectơ là ma trận một cột với vô hạn số có thể các dòng. Một ma trận với các đơn vị dọc theo một trong các đường chéo và các phần tử khác không được gọi là bản sắc.

Ma trận nghịch đảo là ma trận như vậy, khi nhân với ma trận ban đầu biến thành một đơn vị, ma trận như vậy chỉ tồn tại đối với ma trận bình phương ban đầu.

Quy tắc biến hệ phương trình thành ma trận

Đối với hệ phương trình, hệ số và các thành phần tự do của phương trình được viết dưới dạng số của ma trận, một phương trình là một hàng của ma trận.

Một hàng của ma trận được gọi là khác 0 nếu ít nhất một phần tử của hàng đó không bằng 0. Do đó, nếu trong bất kỳ phương trình nào số lượng biến khác nhau, thì cần phải nhập số 0 vào vị trí của ẩn số bị thiếu.

Các cột của ma trận phải tương ứng chặt chẽ với các biến. Điều này có nghĩa là các hệ số của biến x chỉ có thể được viết trong một cột, ví dụ cột đầu tiên, hệ số của biến y chưa biết - chỉ trong cột thứ hai.

Khi nhân một ma trận, tất cả các phần tử của ma trận đều được nhân tuần tự với một số.

Các tùy chọn để tìm ma trận nghịch đảo

Công thức tìm ma trận nghịch đảo khá đơn giản: K -1 = 1 / | K |, trong đó K -1 - ma trận nghịch đảo và | K | - định thức ma trận. | K | không được bằng 0 thì hệ có nghiệm.

Định thức dễ dàng tính được đối với ma trận hai nhân hai, chỉ cần nhân các phần tử theo đường chéo với nhau. Đối với phương án "ba bằng ba", có công thức | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Bạn có thể sử dụng công thức, hoặc bạn có thể nhớ rằng bạn cần lấy một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột để số cột và số hàng của các phần tử không lặp lại trong sản phẩm.

Lời giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Phương pháp ma trận tìm lời giải có thể giảm bớt các ký hiệu rườm rà khi giải hệ với số lượng lớn biến và phương trình.

Trong ví dụ, a nm là các hệ số của phương trình, ma trận là vectơ x n là các biến và b n là các số hạng tự do.

Giải pháp của các hệ thống theo phương pháp Gauss

TẠI toán học cao hơn Phương pháp Gauss được nghiên cứu cùng với phương pháp Cramer, và quá trình tìm lời giải cho các hệ thống được gọi là phương pháp giải Gauss-Cramer. Những phương pháp này được sử dụng để tìm biến hệ thống với rất nhiều phương trình tuyến tính.

Phương pháp Gauss rất giống với các giải pháp sử dụng các chất thay thế và phép cộng đại số nhưng có hệ thống hơn. Trong khóa học ở trường, giải pháp Gaussian được sử dụng cho các hệ phương trình 3 và 4. Mục đích của phương pháp là đưa hệ về dạng hình thang ngược. Bằng các phép biến đổi đại số và phép thay thế, giá trị của một biến được tìm thấy trong một trong các phương trình của hệ. Phương trình thứ hai là một biểu thức có 2 ẩn số, 3 và 4 - với 3 và 4 biến tương ứng.

Sau khi đưa hệ thống về dạng đã mô tả, giải pháp tiếp theo được rút gọn thành sự thay thế tuần tự các biến số đã biết vào phương trình của hệ thống.

Trong sách giáo khoa lớp 7 ở trường, một ví dụ về giải pháp Gaussian được mô tả như sau:

Như có thể thấy từ ví dụ, ở bước (3) thu được hai phương trình là 3x 3 -2x 4 = 11 và 3x 3 + 2x 4 = 7. Nghiệm của bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn tìm ra một trong các biến x n.

Định lý 5, được đề cập trong văn bản, nói rằng nếu một trong các phương trình của hệ được thay thế bằng một phương trình tương đương, thì hệ kết quả cũng sẽ tương đương với phương trình ban đầu.

Học sinh khó hiểu phương pháp Gauss Trung học phổ thông, nhưng là một trong những cách thú vị nhất để phát triển sự khéo léo của trẻ em đăng ký tham gia chương trình nghiên cứu sâu trong các lớp toán và vật lý.

Để dễ dàng ghi lại các phép tính, thông thường bạn phải làm như sau:

Hệ số phương trình và số hạng tự do được viết dưới dạng ma trận, trong đó mỗi hàng của ma trận tương ứng với một trong các phương trình của hệ thống. tách vế trái của phương trình khỏi vế phải. Chữ số La mã biểu thị số lượng phương trình trong hệ thống.

Đầu tiên, họ viết ra ma trận sẽ hoạt động, sau đó tất cả các hành động được thực hiện với một trong các hàng. Ma trận kết quả được viết sau dấu "mũi tên" và tiếp tục thực hiện các phép toán đại số cần thiết cho đến khi đạt được kết quả.

Kết quả là, một ma trận sẽ thu được trong đó một trong các đường chéo là 1 và tất cả các hệ số khác đều bằng 0, tức là ma trận được rút gọn về một dạng duy nhất. Chúng ta không được quên thực hiện các phép tính với các số của cả hai vế của phương trình.

Ký hiệu này ít rườm rà hơn và cho phép bạn không bị phân tâm khi liệt kê vô số ẩn số.

Việc áp dụng miễn phí bất kỳ phương pháp giải nào sẽ cần sự cẩn thận và một lượng kinh nghiệm nhất định. Không phải tất cả các phương pháp đều được áp dụng. Một số cách tìm giải pháp thích hợp hơn trong một lĩnh vực hoạt động cụ thể của con người, trong khi những cách khác tồn tại cho mục đích học tập.