Phân kỳ hàng. toán học cao hơn

Tổng của tất cả các số tự nhiên là gì? Trực giác cho bạn biết rằng câu trả lời là vô cùng. Trong phân tích toán học, tổng các số tự nhiên là một ví dụ đơn giản của một chuỗi phân kỳ. Tuy nhiên, các nhà toán học và vật lý học đã thấy hữu ích khi đưa ra các giá trị phân số, âm và thậm chí là giá trị 0 cho tổng của các chuỗi như vậy. Mục đích của bài viết của tôi là mong muốn vén bức màn bí mật xoay quanh kết quả tổng kết các chuỗi phân kỳ. Đặc biệt, tôi sẽ sử dụng hàm Sum (một hàm để tìm tổng từng phần, chuỗi, v.v. trong Mathematica), cũng như các chức năng khác trong Ngôn ngữ Wolfram để giải thích theo nghĩa nào đáng xem xét các câu sau:

Tầm quan trọng của việc gắn nhãn công thức bằng các chữ cái A, B, C và D sẽ sớm trở nên rõ ràng với bạn.

Hãy bắt đầu bằng cách nhắc lại khái niệm về một chuỗi hội tụ bằng cách sử dụng cấp tiến hình học giảm vô hạn sau đây.

Thuật ngữ chung của loạt bài, bắt đầu từ N = 0 , được xác định theo công thức:

Bây giờ chúng ta hãy đặt tổng các số hạng của chuỗi từ tôi= 0 lên đến một số giá trị cuối cùng tôi = N.

Số tiền cuối cùng này được gọi là tổng một phần của một chuỗi.

Biểu đồ giá trị của các tổng từng phần như vậy cho thấy rằng giá trị của chúng tiến gần đến số 2 với sự gia tăng N:

Áp dụng chức năng Giới hạn (tìm kiếm giới hạn của một dãy hoặc một hàm tại một điểm), chúng tôi tìm thấy giới hạn của giá trị của các tổng riêng của chuỗi này khi Nđến vô cùng, xác nhận quan sát của chúng tôi.

Hàm Sum cho kết quả tương tự khi chúng ta tính tổng các số hạng của một chuỗi từ 0 đến vô cùng.

Chúng ta nói rằng một chuỗi đã cho (tổng của một cấp tiến bộ hình học giảm vô hạn đã cho) hội tụ và nó là gì Tổng bằng 2.

Nói chung, một chuỗi vô hạn hội tụ nếu chuỗi các tổng riêng phần của nó có xu hướng đến một giá trị nào đó khi số của tổng từng phần tăng lên vô hạn. Trong trường hợp này, giá trị giới hạn của các tổng riêng phần được gọi là tổng chuỗi.

Một chuỗi vô hạn không hội tụ được gọi là khác nhau. Theo định nghĩa, tổng của một chuỗi phân kỳ không thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp tổng từng phần đã thảo luận ở trên. Tuy nhiên, các nhà toán học đã phát triển nhiều cách khác nhau để gán các giá trị số hữu hạn cho các tổng của các chuỗi này. Số tiền này được gọi là chính quy hóa tổng của một chuỗi phân kỳ. Quá trình tính toán các tổng quy định được gọi là chính quy.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ví dụ A từ phần giới thiệu.

"A" là viết tắt của Abel, nhà toán học nổi tiếng người Na Uy, người đã đề xuất một trong những kỹ thuật chính quy hóa chuỗi phân kỳ. Trong cuộc đời ngắn ngủi của mình, ông qua đời khi mới 26 tuổi, Abel đã đạt được những kết quả ấn tượng trong việc giải một số vấn đề toán học khó nhất. Đặc biệt, ông đã chỉ ra rằng lời giải của một phương trình đại số bậc năm không thể tìm thấy trong các căn nguyên, do đó đặt dấu chấm hết cho một vấn đề chưa được giải quyết suốt 250 năm trước ông.

Để áp dụng phương pháp Abel, chúng tôi lưu ý rằng thuật ngữ phổ biến của loạt bài này có dạng:

Điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách tìm một vài giá trị đầu tiên một[N].

Như bạn có thể thấy trong biểu đồ bên dưới, tổng một phần của chuỗi nhận các giá trị bằng 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việc N hoặc lẻ.

Đương nhiên, hàm Sum đưa ra thông báo rằng chuỗi phân kỳ.

Quy định Abel có thể được áp dụng cho loạt bài này theo hai bước. Đầu tiên, chúng ta xây dựng chuỗi lũy thừa tương ứng.

Sau đó, chúng tôi lấy giới hạn của số tiền này là x có xu hướng là 1, chúng tôi lưu ý rằng chuỗi tương ứng hội tụ cho các giá trị x nhỏ hơn nhưng không bằng 1.

Hai bước này có thể được kết hợp với nhau, trên thực tế, tạo thành định nghĩa về tổng của một chuỗi phân kỳ qua Abel.

Chúng ta có thể nhận được câu trả lời tương tự bằng cách sử dụng tùy chọn Regulification cho hàm Sum như sau.

Nghĩa 1 / 2 có vẻ hợp lý, vì nó là giá trị trung bình của hai giá trị, 1 và 0, được coi là tổng một phần của chuỗi này. Ngoài ra, việc chuyển đến giới hạn được sử dụng trong phương pháp này là trực quan, vì khi nào x= 1 chuỗi lũy thừa trùng với chuỗi phân kỳ của chúng ta. Tuy nhiên, Abel đã rất lo lắng vì sự thiếu chặt chẽ vốn có trong phép tính vào thời điểm đó, và bày tỏ mối quan tâm của mình về điều đó:

“Loạt phim khác biệt là phát minh của ma quỷ, và thật xấu hổ khi nhắc đến chúng với bất kỳ loại bằng chứng nào. Với sự giúp đỡ của họ, người ta có thể rút ra bất kỳ kết luận nào mà mình muốn, và đó là lý do tại sao loạt bài này tạo ra quá nhiều lỗi và quá nhiều nghịch lý. (N. H. Abel trong một bức thư gửi cho giáo viên cũ Berndt Holmboy, tháng 1 năm 1826)

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang ví dụ B, trong đó nói rằng:

"B" là viết tắt của Borel, một nhà toán học người Pháp, người đã làm việc trong các lĩnh vực như lý thuyết đo lường và lý thuyết xác suất. Đặc biệt, Borel gắn liền với cái gọi là “định lý con khỉ vô hạn”, trong đó nói rằng nếu một con khỉ trừu tượng ngẫu nhiên chạm vào bàn phím của máy đánh chữ trong một khoảng thời gian vô hạn, thì xác suất anh ta sẽ nhập một số văn bản cụ thể, cho ví dụ, toàn bộ tác phẩm được sưu tầm của William Shakespeare, khác 0.

Để áp dụng phương pháp Borel, chúng tôi lưu ý rằng thuật ngữ phổ biến của loạt bài này có dạng:

Sự điều hòa lỗ khoan có thể được áp dụng cho các chuỗi phân kỳ nhanh theo hai bước. Trong bước đầu tiên, chúng ta tính hàm sinh mũ cho dãy số hạng trong dãy đã cho. Giai thừa ở mẫu số đảm bảo sự hội tụ của chuỗi này cho tất cả các giá trị của tham số t.

Sau đó, chúng tôi thực hiện phép biến đổi Laplace của hàm tạo mũ và tìm kiếm giá trị của nó tại điểm S= 1 .

Các bước này có thể được kết hợp với nhau, kết quả là trên thực tế, chúng tôi nhận được định nghĩa về tổng của một chuỗi phân kỳ qua Borel.

Chúng ta cũng có thể sử dụng các hàm Ngôn ngữ Wolfram chuyên dụng để tìm hàm tạo mũ và biến đổi Laplace:

Trong trường hợp này, câu trả lời có thể nhận được trực tiếp bằng cách sử dụng Sum như sau.

Định nghĩa của tổng Borel là hợp lý, vì nó cho kết quả tương tự như phương pháp tính tổng từng phần thông thường khi áp dụng cho một chuỗi hội tụ. Trong trường hợp này, chúng ta có thể hoán đổi tổng và tích phân, và sau đó xác định hàm Gamma, trong trường hợp đó, chúng ta nhận được rằng tích phân tương ứng sẽ bằng 1 và trên thực tế, vẫn đơn giản là tổng ban đầu của chuỗi:

Tuy nhiên, trong trường hợp dãy số phân kỳ, không thể hoán đổi dấu của tổng và tích phân, điều này dẫn đến những kết quả thú vị mà phương pháp chính quy này mang lại.

Tổng Borel là một phương pháp phổ biến để tính các chuỗi phân kỳ, được sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử. Có một bộ sưu tập lớn các tài liệu về ứng dụng của phép tổng kết Borel.

Ví dụ C nói rằng:

“C” là viết tắt của Cesaro (họ của ông được đánh vần là Cesaro trong tiếng Anh), một nhà toán học người Ý đã có những đóng góp đáng kể cho hình học vi phân, lý thuyết số và vật lý toán học. Cesaro là một nhà toán học giỏi và đã viết khoảng 80 bài báo từ năm 1884 đến năm 1886 trước khi lấy bằng tiến sĩ năm 1887!

Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng thuật ngữ chung của bộ truyện, bắt đầu từ N= 0, có dạng:

Biểu đồ cho thấy sự dao động mạnh của các tổng riêng của chuỗi này.

Phương pháp Cesaro sử dụng một chuỗi các phương tiện số học của các tổng riêng phần của một chuỗi để triệt tiêu dao động, như thể hiện trong đồ thị sau đây.

Nói chính thức, tổng kết bởi Cesarođược định nghĩa là giới hạn của dãy số trung bình cộng của các tổng riêng của dãy. Tính toán giới hạn này cho chuỗi từ ví dụ C, chúng tôi nhận được kết quả mà chúng tôi mong đợi là -1/2 (xem đồ thị ở trên).

Tổng Cesaro có thể nhận được trực tiếp nếu chúng ta sử dụng kiểu chính quy này trong hàm Sum bằng cách chỉ định giá trị thích hợp của tùy chọn Regulization.

Phương pháp tính tổng Cesaro đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết về chuỗi Fourier, trong đó chuỗi dựa trên các hàm lượng giác được sử dụng để biểu diễn các hàm tuần hoàn. Chuỗi Fourier cho một hàm liên tục có thể không hội tụ, nhưng tổng Ces'aro tương ứng (hoặc Ces'aro có nghĩa là nó thường được gọi) sẽ luôn hội tụ về hàm. Kết quả tuyệt đẹp này được gọi là định lý Fejér.

Ví dụ cuối cùng của chúng tôi nói rằng tổng các số tự nhiên là -1/12.

"D" là viết tắt của Dirichlet, một nhà toán học người Đức, người đã có đóng góp to lớn cho lý thuyết số và một số lĩnh vực toán học khác. Bề rộng những đóng góp của Dirichlet có thể được đánh giá đơn giản bằng cách giới thiệu vào Mathematica 10 mã tiếp theo.

Ra // TableForm =

Chính quy Dirichlet lấy tên của nó từ khái niệm "chuỗi Dirichlet", được định nghĩa như sau:

Một trường hợp đặc biệt của chuỗi này là hàm Riemann zeta, có thể được định nghĩa như sau:

Hàm SumConvergence cho chúng ta biết rằng chuỗi này hội tụ nếu phần thực của tham số S sẽ lớn hơn 1.

Tuy nhiên, bản thân hàm Riemann zeta có thể được xác định cho các giá trị khác của tham số S sử dụng quá trình tiếp tục phân tích được biết đến từ lý thuyết về các hàm của một biến số phức tạp. Ví dụ, khi S= -1, chúng tôi nhận được:

Nhưng tại S= -1, dãy số xác định hàm Riemann zeta là dãy số tự nhiên. Từ đây chúng tôi nhận được rằng:

Một cách khác để hiểu kết quả này là đưa tham số vô cực ε vào thuật ngữ chuỗi phân kỳ của chúng ta, và sau đó tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm kết quả bằng cách sử dụng hàm Chuỗi, như được hiển thị bên dưới.

Số hạng đầu tiên trong khai triển ở trên có xu hướng đến vô cùng khi tham số ε tiến về 0, trong khi số hạng thứ ba và tất cả các số hạng tiếp theo có xu hướng bằng không. Nếu chúng ta loại bỏ tất cả các số hạng phụ thuộc vào ε, thì số -1/12 còn lại sẽ chỉ là tổng Dirichlet của chuỗi số tự nhiên. Do đó, tổng Dirichlet thu được bằng cách loại bỏ các số hạng vô cùng nhỏ và vô hạn của khai triển chuỗi được xây dựng theo cách chúng tôi đã mô tả. Điều này mâu thuẫn với thực tế là thông thường chỉ loại bỏ các đại lượng vô cùng nhỏ trong phân tích toán học thông thường, do đó, kết quả của tổng các chuỗi phân kỳ theo Dirichlet không trực quan như vậy.
Stephen Hawking đã áp dụng phương pháp này cho bài toán tính tích phân Feynman trong không-thời gian cong. Bài báo của Hawking mô tả quá trình chính quy hóa zeta một cách rất có hệ thống và nó đã trở nên phổ biến sau khi xuất bản.

Kiến thức của chúng tôi về chuỗi phân kỳ dựa trên những lý thuyết sâu sắc nhất được phát triển bởi một số nhà tư tưởng giỏi nhất trong vài thế kỷ qua. Tuy nhiên, tôi đồng ý với nhiều độc giả, những người cũng như tôi, cảm thấy hơi hiểu lầm khi họ nhìn thấy chúng trong các lý thuyết vật lý hiện đại. Abel vĩ đại có lẽ đã đúng khi gọi những bộ truyện này là “phát minh của quỷ”. Có thể một Einstein tương lai nào đó, với tâm hồn không có đủ mọi nền tảng và thẩm quyền, sẽ loại bỏ niềm tin khoa học đang thịnh hành và cải tổ vật lý cơ bản để không còn chỗ cho các chuỗi phân kỳ trong đó. Nhưng ngay cả khi một lý thuyết như vậy trở thành hiện thực, chuỗi phân kỳ vẫn sẽ cung cấp cho chúng ta một nguồn ý tưởng toán học phong phú, thắp sáng con đường để hiểu sâu hơn về vũ trụ của chúng ta.

Thêm thẻ

Định nghĩa một dãy số và sự hội tụ của nó.

Tiêu chí cần thiết để hội tụ

Cho là một dãy số vô hạn.

Sự định nghĩa. Biểu hiện

, (1)

hoặc, những gì giống nhau, được gọi là chuỗi số và các số https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif "width =" 53 "height =" 31 "> – thành viên của bộ truyện. Một thành viên có số lượng tùy ý được gọi làN-m, hoặc thành viên chung của bộ truyện.

Tự nó, biểu thức (1) không có ý nghĩa số xác định, bởi vì khi tính tổng, mỗi lần chúng ta chỉ xử lý một số hạng tử hữu hạn. Tự nhiên nhất là xác định ý nghĩa của biểu thức này như sau.

Cho dãy (1) đã cho.

Sự định nghĩa. TổngNnhững thành viên đầu tiên của bộ truyện

triệu tập N -th tổng một phần hàng ngang. Chúng tôi tạo thành một chuỗi các tổng từng phần:

font-size: 14.0pt "> Tăng vô hạnNtổng có tính đến số lượng các số hạng ngày càng tăng trong chuỗi. Vì vậy, việc đưa ra định nghĩa như vậy là hợp lý.

Sự định nghĩa. Nếu tồn tại một giới hạn hữu hạn của chuỗi các tổng một phần https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif "width =" 103 "height =" 41 "> thì nó được gọi là Tổng.

Nếu chuỗi https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif "width =" 80 "height =" 31 ">, 2) nếu nó đang dao động. Trong cả hai trường hợp, chuỗi là nói là không có tổng.

ví dụ 1 Hãy xem xét một chuỗi bao gồm các thành viên của một tiến trình hình học:

, (2)

trong đó - được gọi là thành viên đầu tiên của tiến trình và font-size: 14.0pt "> Tổng một phần của chuỗi này tại font-size: 14.0pt"> font-size: 14.0pt "> Từ đây:

1) nếu, thì

font-size: 14.0pt "> tức là chuỗi hình học hội tụ và tổng của nó là.

Đặc biệt, nếu , hàng ngang hội tụ và tổng của nó.

Tại https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif "width =" 307 "height =" 59 src = "> tổng của nó cũng hội tụ.

2) nếu, thì , tức là, chuỗi (2) phân kỳ.

3) nếu, thì hàng (2) trở thành font-size: 14.0pt "> và, tức là loạt phim khác nhau(với font-size: 18.0pt ">).

4) if https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif "width =" 265 "height =" 37 ">. Đối với hàng này

https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif "width =" 253 "height =" 31 src = ">,

tức là..gif "width =" 67 "height =" 41 "> không tồn tại, do đó loạt phim cũng khác nhau(tại ) .

Tính tổng của một chuỗi trực tiếp theo định nghĩa là rất bất tiện do khó tính toán rõ ràng font-size: 14.0pt "> các tổng riêng phần và tìm giới hạn của chuỗi của chúng. Nhưng, nếu xác định rằng chuỗi hội tụ, thì tổng của nó có thể được tính toán một cách gần đúng, bởi vì từ định nghĩa về giới hạn của dãy, nó theo sau đó là đủ lớn. Vì vậy, khi nghiên cứu bộ truyện, chỉ cần

1) biết các kỹ thuật cho phép phát biểu sự hội tụ của một chuỗi mà không cần tìm tổng của nó;

2) có thể xác địnhfont-size: 14.0pt ">. gif" width = "16 height = 24" height = "24"> với độ chính xác nhất định.

Sự hội tụ của chuỗi số được thiết lập với sự trợ giúp của các định lý, được gọi là tiêu chí hội tụ.

Tính năng bắt buộc sự hội tụ

Nếu chuỗi hội tụ, thì số hạng chung của nó có xu hướng bằng 0, tức là font-size: 14.0pt ">. Gif" width = "61 height = 63" height = "63"> khác nhau.

Ví dụ 2 Chứng minh hàng 0 "style =" border-fall: sập ">

;

Quyết định.

A) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif "width =" 176 "height =" 81 src = "> phân kỳ.

và do đó, chuỗi phân kỳ. Khi giải quyết, chúng tôi đã sử dụng điều đáng chú ý thứ hai

giới hạn: (chi tiết xem).

C) font-size: 14.0pt ">, tức là trình tự

- không ngừng

nhỏ. Vì với font-size: 14.0pt "> ~ (xem), thì ~ .

Xem xét điều này, chúng tôi nhận được:

vì vậy chuỗi phân kỳ.

D) font-size: 14.0pt ">,

do đó chuỗi phân kỳ.

Điều kiện là một cần thiết, nhưng không đủđiều kiện hội tụ chuỗi: có một tập hợp các chuỗi mà, nhưng vẫn có sự khác biệt.

Ví dụ 3 Khám phá sự hội tụ của chuỗi font-size: 14.0pt "> Quyết định. thông báo rằng https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif "width =" 119 "height =" 59 src = "> , tức là, điều kiện hội tụ cần thiết được thỏa mãn. tổng một phần

trái ">

- Một lần

vì vậy font-size: 14.0pt "> có nghĩa là chuỗi phân kỳ theo định nghĩa.

Điều kiện đủ để chuỗi dấu dương hội tụ

Để cho được . Sau đó, loạtfont-size: 14.0pt "> Dấu hiệu so sánh

Để cho được và là chuỗi có dấu hiệu dương tính. Nếu thỏa mãn bất đẳng thức cho tất cả, thì sự hội tụ của chuỗi theo sau từ sự hội tụ của chuỗi và từ sự phân kỳ của chuỗi

Dấu hiệu này vẫn hợp lệ nếu bất đẳng thức https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif "width =" 60 "height =" 24 ">, nhưng chỉ bắt đầu từ một số. Nó có thể được hiểu như sau: nếu chuỗi lớn hơn hội tụ, thì chuỗi nhỏ hơn hội tụ tất cả nhiều hơn; nếu chuỗi nhỏ hơn phân kỳ, thì chuỗi lớn hơn cũng phân kỳ.

Ví dụ 4 Khám phá sự hội tụ của hàng 0 "style =" margin-left: 50.4pt; border -ump: sập ">

;

Quyết định.

A) Lưu ý rằng font-size: 14.0pt "> cho tất cả . Chuỗi có một thuật ngữ chung

hội tụ, bởi vì nó là một chuỗi của một cấp tiến hình học với một mẫu số (xem ví dụ 1), vì vậy chuỗi này

hội tụ bằng cách so sánh.

B) So sánh hàng với hàng ..gif "width =" 91 "height =" 29 src = ">. Gif" width = "87" height = "59"> khác nhau, vì vậy chuỗi cũng phân kỳ.

Mặc dù việc xây dựng tiêu chí so sánh đơn giản nhưng trong thực tế, định lý sau đây, là hệ quả của nó, thuận tiện hơn.

Giới hạn dấu hiệu so sánh

Để cho được https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif "width =" 53 "height =" 60 src = "> - chuỗi dương. Nếu tồn tại có hạn và khác không giới hạn, sau đó cả hai hàng và

hội tụ cùng một lúc hoặc phân kỳ cùng một lúc.

Là một chuỗi được sử dụng để so sánh với dữ liệu, một chuỗi có dạng . Một loạt như vậy được gọi là gần Dirichlet. Trong ví dụ 3 và 4, nó đã được chỉ ra rằng chuỗi Dirichlet với và phân kỳ. Có thể cho bây giờ-

nói rằng hàng có font-size: 14.0pt "> .

Nếu, thì hàng triệu tập điều hòa. Chuỗi điều hòa phân kỳ.

Ví dụ 5Điều tra chuỗi hội tụsử dụng tiêu chí so sánh giới hạn, nếu

;

Quyết định. a) Vì https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif "width =" 31 "height =" 23 src = "> đủ lớn và

~, sau đó ~ font-size: 14.0pt "> so sánh với loạt sóng hài nhất định font-size: 14.0pt ">, tức là.

font-size: 14.0pt "> Vì giới hạn là hữu hạn và khác 0 và chuỗi điều hòa phân kỳ, chuỗi này cũng phân kỳ.

B) Đối với https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif "width =" 111 "height =" 31 src = ">. Gif" width = "129" height = "31">. Gif "width =" 129 "height =" 31 src = ">. gif" width = "132" height = "64 src ="> là phần tử chung của chuỗi để so sánh phần này với:

Font-size: 14.0pt "> Chuỗi hội tụ ( Hàng Dirichlet với font-size: 16.0pt ">), vì vậy bộ truyện này cũng hội tụ.

TẠI) , rất nhỏ font-size: 14.0pt "> bạn có thể

được thay thế bằng giá trị tương đương với nó tại(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif "width =" 13 "height =" 21 src = "> với font-size: 20.0pt">). ;

;

Số tiền như vậy được gọi là Hàng vô tận, và các điều khoản của họ là các điều khoản của bộ truyện. (Dấu chấm lửng có nghĩa là số lượng số hạng là vô hạn.) Các lời giải cho các vấn đề toán học phức tạp hiếm khi có thể được biểu diễn dưới dạng chính xác bằng cách sử dụng các công thức. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các giải pháp này có thể được viết dưới dạng chuỗi. Sau khi tìm ra lời giải, các phương pháp của lý thuyết về dãy số cho phép chúng ta ước tính xem phải lấy bao nhiêu số hạng của dãy số để tính toán cụ thể hoặc viết câu trả lời ở dạng thuận tiện nhất. Cùng với chuỗi số, chúng ta có thể coi cái gọi là. hàng chức năng, mà các điều khoản là chức năng. Nhiều hàm có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng chuỗi hàm. Việc nghiên cứu chuỗi số và hàm là một phần quan trọng của giải tích.

Trong ví dụ (1) và (2), tương đối dễ dàng đoán được các số hạng liên tiếp được hình thành theo luật nào. Quy luật hình thành các thành viên của một chuỗi có thể ít rõ ràng hơn nhiều. Ví dụ, đối với sê-ri (3) sẽ trở nên rõ ràng nếu sê-ri này được viết ở dạng sau:

Hội tụ các hàng.

Vì việc bổ sung vô số số hạng của một chuỗi là không thể về mặt vật lý, nên cần phải xác định chính xác điều gì cần được hiểu bằng tổng của một chuỗi vô hạn. Có thể hình dung rằng các phép tính cộng trừ này được thực hiện tuần tự, nối tiếp nhau, chẳng hạn trên máy tính. Nếu các tổng kết quả (tổng từng phần) ngày càng gần với một số nhất định, thì sẽ hợp lý khi gọi số này là tổng của một chuỗi vô hạn. Do đó, tổng của một chuỗi vô hạn có thể được định nghĩa là giới hạn của một chuỗi các tổng riêng phần. Hơn nữa, một chuỗi như vậy được gọi là hội tụ.

Tìm tổng của chuỗi (3) không khó nếu bạn nhận thấy rằng chuỗi đã biến đổi (4) có thể được viết dưới dạng

Tổng từng phần liên tiếp của chuỗi (5) là

vân vân.; bạn có thể thấy rằng tổng từng phần có xu hướng là 1. Do đó, chuỗi này hội tụ và tổng của nó là 1.

Như một ví dụ về chuỗi vô hạn, hãy xem xét phân số thập phân vô hạn. Vì vậy, 0,353535 ... là một phân số thập phân lặp lại vô hạn, là một cách viết nhỏ gọn của chuỗi

Quy luật hình thành các thành viên kế tiếp đã rõ ràng ở đây. Tương tự, 3,14159265 ... có nghĩa là

nhưng quy luật hình thành các thành viên tiếp theo của chuỗi không rõ ràng ở đây: các chữ số tạo thành khai triển thập phân của số P, và rất khó để nói ngay lập tức, ví dụ, chữ số thứ 100.000 là gì, mặc dù về mặt lý thuyết, con số này có thể được tính toán.

Phân kỳ hàng.

Một chuỗi vô hạn không hội tụ được cho là phân kỳ (chuỗi như vậy được gọi là khác nhau). Ví dụ, một hàng

khác nhau, vì tổng một phần của nó là 1/2, 1, 1/2 1/2, 2, .... Những tổng này không có xu hướng là bất kỳ số nào dưới dạng giới hạn, vì bằng cách lấy đủ số hạng của chuỗi, chúng ta có thể tạo ra một phần tổng không có vấn đề lớn như thế nào. Hàng ngang

cũng phân kỳ, nhưng vì một lý do khác: tổng một phần của chuỗi này luân phiên chuyển thành 1, rồi đến 0 và không có xu hướng giới hạn.

Tổng kết.

Để tìm tổng của một chuỗi hội tụ (với độ chính xác cho trước) bằng cách cộng liên tiếp các số hạng của nó, mặc dù về mặt lý thuyết là có thể, nhưng thực tế rất khó thực hiện. Ví dụ, một hàng

hội tụ và tổng của nó trong vòng mười chữ số thập phân là 1,6449340668, nhưng để tính toán nó với độ chính xác này, cần phải lấy khoảng. 20 tỷ thành viên. Các chuỗi như vậy thường được tóm tắt bằng cách chuyển đổi chúng đầu tiên bằng các kỹ thuật khác nhau. Trong trường hợp này, các phương pháp đại số hoặc tính toán được sử dụng; ví dụ, người ta có thể chỉ ra rằng tổng của chuỗi (8) bằng P 2 /6.

Kí hiệu.

Khi làm việc với chuỗi vô hạn, rất hữu ích để có ký hiệu thuận tiện. Ví dụ, tổng cuối cùng của chuỗi (8) có thể được viết dưới dạng

Mục nhập này chỉ ra rằng N liên tiếp được đặt thành 1, 2, 3, 4 và 5 và kết quả được cộng lại:

Tương tự, chuỗi (4) có thể được viết là

trong đó ký hiệu Ґ chỉ ra rằng chúng ta đang xử lý một chuỗi vô hạn, chứ không phải với phần hữu hạn của nó. Kí hiệu S (sigma) được gọi là dấu tổng.

Cấp tiến hình học vô hạn.

Chúng tôi có thể tính tổng chuỗi (4) vì có một công thức đơn giản cho các tổng riêng của nó. Tương tự, người ta có thể tìm tổng của chuỗi (2), hoặc nói chung,

nếu r nhận các giá trị từ –1 đến 1. Trong trường hợp này, tổng của chuỗi (9) bằng 1 / (1 - r); cho các giá trị khác r loạt (9) phân kỳ.

Bạn có thể nghĩ về các số thập phân tuần hoàn như 0,353535 ... như một cách khác để viết một tiến trình hình học vô hạn.

Biểu thức này cũng có thể được viết dưới dạng

trong đó loạt (9) với r= 0,01; do đó, tổng của chuỗi (10) bằng

Theo cách tương tự, bất kỳ phân số thập phân tuần hoàn nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số chung.

Dấu hiệu của sự hội tụ.

Trong trường hợp tổng quát, không có công thức đơn giản nào cho các tổng riêng của một chuỗi vô hạn, vì vậy các phương pháp đặc biệt được sử dụng để thiết lập sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi. Ví dụ, nếu tất cả các số hạng của một chuỗi đều dương, thì có thể chỉ ra rằng chuỗi hội tụ nếu mỗi số hạng của nó không vượt quá số hạng tương ứng của chuỗi khác, được biết là hội tụ. Trong ký hiệu được chấp nhận, điều này có thể được viết như sau: nếu một i 0 và hội tụ, sau đó hội tụ nếu 0 j b n Ј một. Ví dụ, vì chuỗi (4) hội tụ và

thì chúng ta có thể kết luận rằng chuỗi (8) cũng hội tụ. So sánh là phương pháp chính để thiết lập sự hội tụ của nhiều chuỗi bằng cách so sánh chúng với chuỗi hội tụ đơn giản nhất. Đôi khi, các tiêu chí hội tụ đặc biệt hơn được sử dụng (có thể tìm thấy chúng trong tài liệu về lý thuyết chuỗi.) Dưới đây là một vài ví dụ khác về chuỗi hội tụ với các thuật ngữ dương:

So sánh cũng có thể được sử dụng để thiết lập sự khác biệt của một chuỗi. Nếu chuỗi phân kỳ, thì chuỗi cũng phân kỳ nếu 0 J b n Ј một.

Ví dụ về chuỗi phân kỳ là chuỗi

và đặc biệt, kể từ khi loạt sóng hài

Sự khác biệt của chuỗi này có thể được xác minh bằng cách đếm các tổng từng phần sau:

vân vân. Do đó, các tổng riêng phần kết thúc bằng 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j vượt quá tổng riêng của chuỗi phân kỳ (6), và do đó chuỗi (14) phải phân kỳ.

Sự hội tụ tuyệt đối và có điều kiện.

Đối với các dòng như

không thể áp dụng phương pháp so sánh, vì các điều khoản của loạt bài này có các dấu hiệu khác nhau. Nếu tất cả các số hạng của chuỗi (15) là số dương, thì chúng ta sẽ nhận được chuỗi (3), được biết là hội tụ. Có thể thấy rằng điều này cũng ngụ ý sự hội tụ của chuỗi (15). Khi bằng cách thay đổi các dấu của các số hạng phủ định của chuỗi thành các số đối diện, nó có thể được chuyển thành một số hội tụ, họ nói rằng chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.

Chuỗi điều hòa xoay chiều (1) không hội tụ tuyệt đối, vì loạt (14), bao gồm các số hạng giống nhau nhưng chỉ dương, không hội tụ. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của các tiêu chí hội tụ đặc biệt cho chuỗi xen kẽ, người ta có thể chỉ ra rằng chuỗi (1) thực sự hội tụ. Một chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện.

Các phép toán với hàng.

Dựa trên định nghĩa của một chuỗi hội tụ, dễ dàng chứng minh rằng sự hội tụ của nó không bị vi phạm bằng cách xóa hoặc gán một số hạng hữu hạn cho nó, cũng như bằng cách nhân hoặc chia tất cả các số hạng của chuỗi với cùng một số ( tất nhiên, phép chia cho 0 bị loại trừ). Đối với bất kỳ sự sắp xếp lại các số hạng của một chuỗi hội tụ tuyệt đối, sự hội tụ của nó không bị vi phạm và tổng không thay đổi. Ví dụ, vì tổng của chuỗi (2) là 1 nên tổng của chuỗi

cũng bằng 1, vì chuỗi này có được từ chuỗi (2) bằng cách hoán đổi các số hạng lân cận (số hạng thứ nhất với số hạng thứ 2, v.v.). Bạn có thể tùy ý thay đổi thứ tự các điều khoản của một chuỗi hội tụ tuyệt đối, miễn là tất cả các thành viên của chuỗi gốc đều có mặt trong chuỗi mới. Mặt khác, việc sắp xếp lại các số hạng của một chuỗi hội tụ có điều kiện có thể thay đổi tổng của nó và thậm chí làm cho nó phân kỳ. Hơn nữa, các số hạng của một chuỗi hội tụ có điều kiện luôn có thể được sắp xếp lại để nó hội tụ thành bất kỳ tổng nào được xác định trước.

Hai chuỗi hội tụ S một và S b n có thể được thêm (hoặc trừ) số hạng theo số hạng, để tổng của chuỗi mới (cũng hội tụ) được thêm vào tổng của chuỗi ban đầu, trong ký hiệu của chúng tôi

Trong các điều kiện bổ sung, chẳng hạn, nếu cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối, chúng có thể được nhân với nhau, như được thực hiện đối với các tổng hữu hạn và kết quả là chuỗi kép ( xem bên dưới) sẽ hội tụ thành tích của các tổng của chuỗi ban đầu.

Tính tổng.

Mặc dù thực tế là định nghĩa của chúng ta về sự hội tụ của một chuỗi vô hạn có vẻ tự nhiên, nhưng nó không phải là định nghĩa duy nhất có thể. Tổng của một chuỗi vô hạn có thể được xác định theo những cách khác. Ví dụ, hãy xem xét chuỗi (7), có thể được viết ngắn gọn là

Như chúng ta đã nói, tổng một phần của nó nhận các giá trị 1 và 0 lần lượt, và do đó chuỗi không hội tụ. Nhưng nếu chúng ta luân phiên tạo thành các trung bình theo cặp của các tổng một phần của nó (trung bình hiện tại), tức là Nếu chúng ta tính giá trị trung bình đầu tiên của tổng riêng phần thứ nhất và thứ hai, sau đó là giá trị trung bình của phần thứ hai và thứ ba, thứ ba và thứ tư, v.v., thì mỗi trung bình như vậy sẽ bằng 1/2, và do đó giới hạn của số trung bình theo cặp sẽ cũng bằng 1/2. Trong trường hợp này, chuỗi được cho là có thể tính tổng bằng phương pháp đã chỉ định và tổng của nó bằng 1/2. Nhiều phương pháp tính tổng đã được đề xuất để có thể quy tổng cho các lớp khá lớn của chuỗi phân kỳ và do đó sử dụng một số chuỗi phân kỳ trong tính toán. Đối với hầu hết các mục đích, phương pháp tính tổng là hữu ích, tuy nhiên, chỉ khi, được áp dụng cho một chuỗi hội tụ, nó cho tổng cuối cùng của nó.

Chuỗi với các điều khoản phức tạp.

Cho đến nay, chúng ta đã ngầm giả định rằng chúng ta chỉ xử lý các số thực, nhưng tất cả các định nghĩa và định lý đều áp dụng cho các dãy số phức (ngoại trừ các tổng có thể nhận được bằng cách sắp xếp lại các số hạng của dãy số hội tụ có điều kiện không thể nhận các giá trị tùy ý).

các hàng chức năng.

Như chúng ta đã lưu ý, các thành viên của một chuỗi vô hạn không chỉ có thể là số, mà còn là các hàm, ví dụ:

Tổng của một chuỗi như vậy cũng là một hàm mà giá trị của nó tại mỗi điểm nhận được là giới hạn của các tổng riêng phần được tính tại điểm đó. Trên hình. 1 hiển thị đồ thị của một số tổng từng phần và tổng của một chuỗi (với x, thay đổi từ 0 đến 1); s n(x) có nghĩa là tổng của N các thành viên. Tổng của chuỗi là một hàm bằng 1 tại 0 J x x = 1. Chuỗi hàm có thể hội tụ cho các giá trị giống nhau x và không đồng ý với những người khác; trong ví dụ của chúng tôi, chuỗi hội tụ tại –1J x x.

Tổng của một chuỗi hàm có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau. Trong một số trường hợp, điều quan trọng hơn là phải biết rằng tổng từng phần gần (theo nghĩa này hay cách khác) với một số hàm trên toàn bộ khoảng ( một, b) hơn là để chứng minh sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi tại các điểm riêng lẻ. Ví dụ: biểu thị một phần tổng N-thứ tự thông qua s n(x), chúng tôi nói rằng chuỗi hội tụ trong bình phương trung bình thành tổng S(x), nếu

Một chuỗi có thể hội tụ trong bình phương trung bình ngay cả khi nó không hội tụ tại bất kỳ điểm nào. Ngoài ra còn có các định nghĩa khác về sự hội tụ của một chuỗi chức năng.

Một số chuỗi chức năng được đặt tên theo các chức năng mà chúng bao gồm. Ví dụ, chúng ta có thể đưa ra chuỗi lũy thừa và tổng của chúng:

Phần đầu tiên của loạt bài này hội tụ cho tất cả x. Hàng thứ hai hội tụ cho | x| r x r x | Ј 1 nếu r> 0 (ngoại trừ khi r là một số nguyên không âm; trong trường hợp thứ hai, chuỗi kết thúc sau một số số hạng hữu hạn). Công thức (17) được gọi là khai triển của nhị thức với một bậc tùy ý.

Dòng Dirichlet.

Chuỗi Dirichlet là chuỗi hàm có dạng S (1 / a n x), nơi các số một tăng vô thời hạn; Một ví dụ về chuỗi Dirichlet là hàm Riemann zeta

Chuỗi Dirichlet thường được sử dụng trong lý thuyết số.

chuỗi lượng giác.

Đây là tên của chuỗi hàm chứa các hàm lượng giác; chuỗi lượng giác của một loại đặc biệt được sử dụng trong phân tích điều hòa được gọi là chuỗi Fourier. Một ví dụ về chuỗi Fourier là chuỗi

F ( x), có thuộc tính sau: nếu chúng ta lấy tổng một phần cụ thể của chuỗi (18), ví dụ, tổng của ba số hạng đầu tiên của nó, thì sự khác biệt giữa f(x) và tổng một phần này được tính toán cho một số giá trị x, sẽ nhỏ đối với tất cả các giá trị x gần 0. Nói cách khác, mặc dù chúng ta không thể đạt được giá trị gần đúng của hàm f(x) tại bất kỳ điểm cụ thể nào x, khác xa con số 0, thậm chí sử dụng rất nhiều thuật ngữ của bộ truyện, nhưng đối với x gần bằng 0, chỉ một số số hạng của nó cho giá trị gần đúng rất tốt. Các hàng như vậy được gọi là tiệm cận. Trong các phép tính số, chuỗi tiệm cận thường hữu ích hơn chuỗi hội tụ, vì chúng cung cấp một phép gần đúng khá tốt với sự trợ giúp của một số ít số hạng. Chuỗi tiệm cận được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất và vật lý toán học.

Hàng đôi.

Đôi khi bạn phải tính tổng các mảng số hai chiều

Chúng ta có thể tính tổng từng hàng và sau đó cộng các tổng của hàng. Nói chung, chúng tôi không có lý do cụ thể nào để thích hàng hơn cột, nhưng nếu việc tổng kết được thực hiện trên cột trước, kết quả có thể khác. Ví dụ, hãy xem xét hàng đôi

Ở đây, mỗi hàng hội tụ thành một tổng bằng 0, và tổng các tổng của hàng do đó cũng bằng không. Mặt khác, tổng các phần tử của cột đầu tiên là 1 và tất cả các cột khác bằng 0, do đó tổng các tổng trên các cột là 1. Dãy đôi hội tụ "thuận tiện" duy nhất là chuỗi kép hội tụ tuyệt đối. : chúng có thể được tính bằng hàng hoặc cột, cũng như theo bất kỳ cách nào khác và số tiền luôn bằng nhau. Không có định nghĩa tự nhiên nào về sự hội tụ có điều kiện của chuỗi kép.

Định nghĩa cơ bản.

Sự định nghĩa. Tổng các số hạng của một dãy số vô hạn được gọi là chuỗi số.

Đồng thời, những con số
sẽ được gọi là thành viên của chuỗi, và u N là một thành viên chung của bộ truyện.

Sự định nghĩa. Sums
,N = 1, 2, … triệu tập số tiền riêng tư (một phần) hàng ngang.

Như vậy, có thể coi dãy số tổng từng phần của dãy số S 1 , S 2 , …, S N , …

Sự định nghĩa. Hàng ngang
triệu tập hội tụ nếu chuỗi các tổng riêng phần của nó hội tụ. Tổng của chuỗi hội tụ là giới hạn của dãy các tổng riêng phần của nó.

Sự định nghĩa. Nếu chuỗi các tổng từng phần của chuỗi phân kỳ, tức là không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn, khi đó chuỗi được gọi là khác nhau và không có số tiền nào được chỉ định cho anh ta.

thuộc tính hàng.

1) Sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi sẽ không bị vi phạm nếu bạn thay đổi, loại bỏ hoặc thêm một số lượng hữu hạn các số hạng trong chuỗi.

2) Xem xét hai hàng
và
, trong đó C là một số không đổi.

Định lý. Nếu hàng
hội tụ và tổng của nó làS, sau đó là hàng
cũng hội tụ, và tổng của nó là CS. (C  0)

3) Xem xét hai hàng
và
.Tổng hoặc Sự khác biệt những hàng này sẽ được gọi là hàng
, trong đó các phần tử thu được là kết quả của phép cộng (trừ) các phần tử ban đầu với cùng số.

Định lý. Nếu các hàng
và
hội tụ và tổng của chúng tương ứng bằng nhau.Svà , sau đó là hàng
cũng hội tụ và tổng của nó bằngS +  .

Hiệu của hai chuỗi hội tụ cũng sẽ là một chuỗi hội tụ.

Tổng của một chuỗi hội tụ và phân kỳ sẽ là một chuỗi phân kỳ.

Không thể phát biểu tổng quát về tổng của hai chuỗi số phân kỳ.

Khi nghiên cứu chuỗi, hai vấn đề chủ yếu được giải quyết: nghiên cứu sự hội tụ và tìm tổng của chuỗi.

Tiêu chí Cauchy.

(điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ)

Để trình tự
là hội tụ, nó là cần thiết và đủ cho bất kỳ
có một sốN, mà tạiN > Nvà bất kỳP> 0, trong đó p là một số nguyên, bất đẳng thức sau đây sẽ là:

Bằng chứng. (nhu cầu)

Để cho được
, sau đó cho bất kỳ số nào
có số N sao cho bất đẳng thức

được thực hiện cho n> N. Với n> N và bất kỳ số nguyên nào p> 0, bất đẳng thức cũng đúng
. Xét cả hai bất đẳng thức, ta nhận được:

Sự cần thiết đã được chứng minh. Chúng tôi sẽ không xem xét bằng chứng đầy đủ.

Hãy để chúng tôi xây dựng tiêu chí Cauchy cho chuỗi.

Để có một số
hội tụ là cần thiết và đủ cho bất kỳ
có một sốNnhư vậy tạiN> Nvà bất kỳP> 0 sẽ thỏa mãn bất đẳng thức

Tuy nhiên, trong thực tế, việc sử dụng trực tiếp tiêu chí Cauchy không thuận tiện lắm. Do đó, theo quy luật, các tiêu chí hội tụ đơn giản hơn được sử dụng:

1) Nếu hàng
hội tụ, điều cần thiết là thuật ngữ chung u N bị hút về phía không. Tuy nhiên, điều kiện này là không đủ. Chúng ta chỉ có thể nói rằng nếu số hạng chung không có xu hướng bằng 0, thì chuỗi chính xác phân kỳ. Ví dụ, cái gọi là chuỗi điều hòa là phân kỳ, mặc dù thuật ngữ chung của nó có xu hướng bằng không.

Ví dụ.Điều tra sự hội tụ của một chuỗi

Hãy tìm
- tiêu chí cần thiết của sự hội tụ không được thỏa mãn, do đó chuỗi phân kỳ.

2) Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi các tổng riêng phần của nó bị giới hạn.

Tuy nhiên, tính năng này cũng không đủ.

Ví dụ: chuỗi 1-1 + 1-1 + 1-1 +… + (- 1) n +1 +… phân kỳ vì trình tự các tổng từng phần của nó khác nhau do thực tế là

Tuy nhiên, trong trường hợp này, chuỗi các tổng từng phần bị hạn chế, bởi vì
bất cứ gì N.

Chuỗi với các thành viên không tiêu cực.

Khi nghiên cứu các chuỗi có dấu không đổi, chúng ta tự giới hạn mình trong việc xem xét các chuỗi có các số hạng không âm, vì khi đơn giản nhân với -1, các chuỗi này có thể được sử dụng để thu được các chuỗi có số hạng âm.

Định lý. Vì sự hội tụ của chuỗi
với các thuật ngữ không phủ định, điều cần thiết và đủ để các tổng một phần của chuỗi được giới hạn.

Dấu hiệu so sánh của loạt với các thành viên không tiêu cực.

Để có hai hàng
và
tại u N , v N  0 .

Định lý. Nếu một u N  v N bất cứ gì N, thì từ sự hội tụ của chuỗi
theo sau sự hội tụ của chuỗi
, và từ sự phân kỳ của chuỗi
theo sự phân kỳ của chuỗi
.

Bằng chứng. Biểu thị bởi S N và  N tổng một phần của chuỗi
và
. Tại vì theo định lý, chuỗi
hội tụ, khi đó tổng một phần của nó bị giới hạn, tức là cho tất cả N n  M, với M là một số nào đó. Nhưng kể từ khi u N  v N, sau đó S N   N sau đó tổng một phần của chuỗi
cũng bị giới hạn, và điều này là đủ để hội tụ.

Ví dụ.Điều tra chuỗi hội tụ

Tại vì
, và chuỗi điều hòa phân kỳ, sau đó chuỗi phân kỳ
.

Ví dụ.

Tại vì
, và hàng
hội tụ (như một tiến trình hình học giảm dần), sau đó chuỗi
hội tụ quá.

Tiêu chí hội tụ sau cũng được sử dụng:

Định lý. Nếu một
và có một giới hạn
, ở đâuhlà một số khác 0, sau đó là chuỗi
và
hành xử theo cách tương tự trong điều kiện hội tụ.

Dấu hiệu của d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - nhà toán học người Pháp)

Nếu cho một loạt
với các điều khoản tích cực, có một sốq<1, что для всех достаточно больших Nsự bất bình đẳng

sau đó là loạt
hội tụ nếu cho tất cả đủ lớnNđiều kiện

sau đó là loạt
phân kỳ.

Dấu hiệu giới hạn của d'Alembert.

Phép thử d'Alembert giới hạn là hệ quả của phép thử d'Alembert ở trên.

Nếu có một giới hạn
, sau đó tại < 1 ряд сходится, а при  > 1 - phân kỳ. Nếu một = 1, thì câu hỏi về sự hội tụ không thể được trả lời.

Ví dụ. Xác định sự hội tụ của một chuỗi .

Kết luận: chuỗi hội tụ.

Ví dụ. Xác định sự hội tụ của một chuỗi

Kết luận: chuỗi hội tụ.

Dấu hiệu Cauchy. (dấu hiệu cấp tiến)

Nếu cho một loạt
với các thuật ngữ không phủ định, tồn tại một sốq<1, что для всех достаточно больших Nsự bất bình đẳng

sau đó là loạt
hội tụ nếu cho tất cả đủ lớnNsự bất bình đẳng

sau đó là loạt
phân kỳ.

Hậu quả. Nếu có một giới hạn
, sau đó ở <1 ряд сходится, а при >1 hàng phân kỳ.

Ví dụ. Xác định sự hội tụ của một chuỗi
.

Kết luận: chuỗi hội tụ.

Ví dụ. Xác định sự hội tụ của một chuỗi
.

Những thứ kia. Tiêu chí Cauchy không trả lời câu hỏi về sự hội tụ của chuỗi. Hãy để chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện hội tụ cần thiết. Như đã đề cập ở trên, nếu chuỗi hội tụ, thì số hạng chung của chuỗi có xu hướng bằng không.

do đó, điều kiện cần thiết để hội tụ không được thỏa mãn, có nghĩa là chuỗi phân kỳ.

Kiểm tra Cauchy tích phân.

Nếu một (x) là hàm số dương liên tục giảm trên khoảng và
sau đó là tích phân
và
hành xử giống nhau về sự hội tụ.

Hàng biến đổi.

Các hàng xen kẽ.

Một chuỗi xen kẽ có thể được viết là:

ở đâu

Dấu hiệu Leibniz.

Nếu một loạt xen kẽ giá trị tuyệt đốiu tôi giảm bớt
và thuật ngữ chung có xu hướng bằng không
, sau đó chuỗi hội tụ.

Sự hội tụ tuyệt đối và có điều kiện của chuỗi.

Xét một số dãy số xen kẽ (với các số hạng có dấu tùy ý).

(1)

và một chuỗi bao gồm các giá trị tuyệt đối của các số hạng của chuỗi (1):

(2)

Định lý. Sự hội tụ của chuỗi (2) ngụ ý sự hội tụ của chuỗi (1).

Bằng chứng. Chuỗi (2) bên cạnh các cụm từ không âm. Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì theo tiêu chuẩn Cauchy cho bất kỳ > 0, tồn tại một số N sao cho n> N và bất kỳ số nguyên p> 0 nào thì bất đẳng thức sau là đúng:

Theo tính chất của giá trị tuyệt đối:

Tức là, theo tiêu chí Cauchy, sự hội tụ của chuỗi (2) ngụ ý sự hội tụ của chuỗi (1).

Sự định nghĩa. Hàng ngang
triệu tập hoàn toàn hội tụ nếu chuỗi hội tụ
.

Rõ ràng, đối với chuỗi dấu không đổi, khái niệm hội tụ và hội tụ tuyệt đối là trùng nhau.

Sự định nghĩa. Hàng ngang
triệu tập hội tụ có điều kiện, nếu nó hội tụ, và chuỗi
phân kỳ.

Các thử nghiệm của d'Alembert và Cauchy đối với chuỗi xen kẽ.

Để cho được
- nối tiếp xen kẽ.

Dấu hiệu của d'Alembert. Nếu có một giới hạn
, sau đó ở <1 ряд
sẽ hoàn toàn hội tụ, và khi >

Dấu hiệu Cauchy. Nếu có một giới hạn
, sau đó ở <1 ряд
sẽ hoàn toàn hội tụ, và khi > 1 thì chuỗi sẽ phân kỳ. Khi  = 1, dấu không cho ta câu trả lời về sự hội tụ của chuỗi số.

Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối.

1) Định lý. Đối với sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi
cần và đủ để nó có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai chuỗi hội tụ với các số hạng không âm.

Hậu quả. Chuỗi hội tụ có điều kiện là hiệu của hai chuỗi phân kỳ có các số hạng không âm có xu hướng bằng không.

2) Trong một chuỗi hội tụ, bất kỳ nhóm nào các số hạng của chuỗi không thay đổi thứ tự của chúng sẽ bảo toàn độ hội tụ và kích thước của chuỗi.

3) Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối, thì chuỗi có được từ nó bằng bất kỳ hoán vị nào của các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng nhau.

Bằng cách sắp xếp lại các số hạng của một chuỗi hội tụ có điều kiện, người ta có thể thu được một chuỗi hội tụ có điều kiện có tổng bất kỳ được xác định trước, và thậm chí là một chuỗi phân kỳ.

4) Định lý. Với bất kỳ nhóm thành viên nào của một chuỗi hội tụ tuyệt đối (trong trường hợp này, số nhóm có thể là cả hữu hạn và vô hạn, và số thành viên trong một nhóm có thể là hữu hạn hoặc vô hạn), một chuỗi hội tụ sẽ thu được, tổng trong đó bằng tổng của chuỗi ban đầu.

5) Nếu các hàng và hội tụ tuyệt đối và tổng của chúng tương ứng bằng nhau. S và , sau đó là một chuỗi bao gồm tất cả các sản phẩm có dạng
được lấy theo thứ tự bất kỳ, cũng hội tụ tuyệt đối và tổng của nó bằng S - tích của các tổng của chuỗi nhân.

Tuy nhiên, nếu nhân chuỗi hội tụ có điều kiện, thì kết quả có thể là một chuỗi phân kỳ.

Các trình tự chức năng.

Sự định nghĩa. Nếu các thành viên của chuỗi không phải là số, mà là các chức năng từ X, sau đó chuỗi được gọi là chức năng.

Nghiên cứu về sự hội tụ của chuỗi hàm khó hơn nghiên cứu về chuỗi số. Chuỗi chức năng giống nhau có thể, cho các giá trị giống nhau của biến X hội tụ, và ở những nơi khác - phân kỳ. Do đó, câu hỏi về sự hội tụ của chuỗi hàm được rút gọn thành việc xác định các giá trị đó của biến X mà chuỗi hội tụ.

Tập hợp các giá trị như vậy được gọi là vùng hội tụ.

Vì giới hạn của mỗi hàm nằm trong vùng hội tụ của chuỗi là một số nhất định, nên giới hạn của dãy hàm sẽ là một hàm nào đó:

Sự định nghĩa. Trình tự con ( f N (x) } hội tụ hoạt động f(x) trên đoạn, nếu với bất kỳ số nào > 0 và bất kỳ điểm nào X từ đoạn đang xét tồn tại một số N = N (, x) sao cho bất đẳng thức

được thực hiện cho n> N.

Với giá trị đã chọn > 0, mỗi điểm của đoạn tương ứng với một số riêng của nó và do đó, sẽ có vô số số tương ứng với tất cả các điểm của đoạn. Nếu bạn chọn số lớn nhất trong tất cả các số này, thì số này sẽ phù hợp với tất cả các điểm của phân khúc, tức là sẽ là chung cho tất cả các điểm.

Sự định nghĩa. Trình tự con ( f N (x) } hội tụ đồng nhất hoạt động f(x) trên khoảng nếu với bất kỳ số nào > 0 thì tồn tại số N = N () sao cho bất phương trình

được thực hiện cho n> N cho tất cả các điểm của đoạn.

Ví dụ. Xem xét trình tự

Dãy này hội tụ trên toàn bộ trục số thành hàm f(x)=0 , tại vì

Hãy vẽ trình tự này:

sinx

Có thể thấy, khi số lượng ngày càng tăng Nđồ thị trình tự tiếp cận trục X.

các hàng chức năng.

Sự định nghĩa. Số tiền riêng (một phần) phạm vi chức năng
các chức năng được gọi là

Sự định nghĩa. Phạm vi chức năng
triệu tập hội tụỞ điểm ( x = x 0 ) nếu chuỗi các tổng riêng phần của nó hội tụ tại điểm này. Giới hạn trình tự
triệu tập Tổng hàng ngang
tại điểm X 0 .

Sự định nghĩa. Tập hợp tất cả các giá trị X, mà chuỗi hội tụ
triệu tập vùng hội tụ hàng ngang.

Sự định nghĩa. Hàng ngang
triệu tập đồng nhất hội tụ trên một đoạn nếu chuỗi các tổng riêng của chuỗi này hội tụ đồng nhất trên đoạn này.

Định lý. (Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ đồng nhất của một chuỗi)

Để có sự hội tụ đồng đều của chuỗi
cần thiết và đủ cho bất kỳ số nào > 0 có một số như vậyN( ), mà tạiN> Nvà bất kỳ toàn bộ nàoP> 0 bất bình đẳng

sẽ giữ cho tất cả x trên đoạn [một, b].

Định lý. (Kiểm tra độ hội tụ đồng nhất Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - nhà toán học người Đức)

Hàng ngang
hội tụ đồng đều và tuyệt đối trên đoạn [một, b], nếu các mô-đun của các thành viên của nó trên cùng một đoạn không vượt quá các thành viên tương ứng của chuỗi số hội tụ có các phần tử dương:

những thứ kia. có một sự bất bình đẳng:

Họ cũng nói rằng trong trường hợp này, chuỗi chức năng
chuyên ngành chuỗi số
.

Ví dụ.Điều tra chuỗi hội tụ
.

Như
luôn luôn, rõ ràng là
.

Được biết, dòng sóng hài tổng hợp hội tụ khi  = 3> 1, khi đó, theo kiểm định Weierstrass, chuỗi đang nghiên cứu hội tụ đồng nhất và hơn nữa, trong bất kỳ khoảng nào.

Ví dụ.Điều tra chuỗi hội tụ .

Trên đoạn [-1,1] bất đẳng thức
những thứ kia. theo kiểm tra Weierstrass, chuỗi đang nghiên cứu hội tụ trên phân đoạn này và phân kỳ trên các khoảng (-, -1)  (1, ).

Tính chất của dãy đồng quy hội tụ.

1) Định lý về tính liên tục của tổng của một chuỗi.

Nếu các thành viên của bộ truyện
- liên tục trong khoảng [một, b] hàm và chuỗi hội tụ đồng nhất, sau đó tổng của nóS(x) là một hàm liên tục trên khoảng [một, b].

2) Định lý về tích phân theo số hạng của một dãy số.

Hội tụ đồng đều trên đoạn [một, b] chuỗi với các điều khoản liên tục có thể được tích hợp theo từng thuật ngữ trên phân đoạn này, tức là một chuỗi bao gồm các tích phân của các số hạng của nó trong khoảng [một, b], hội tụ thành tích phân của tổng của chuỗi trên đoạn này.

3) Định lý về sự phân biệt theo từng số hạng của một dãy số.

Nếu các thành viên của bộ truyện
hội tụ trên đoạn [một, b] là các hàm liên tục với các đạo hàm liên tục và chuỗi bao gồm các đạo hàm này
hội tụ đồng nhất trên khoảng này thì dãy số đã cho cũng hội tụ đồng nhất và có thể phân biệt theo số hạng.

Dựa trên thực tế rằng tổng của chuỗi là một số hàm của biến X, bạn có thể thực hiện thao tác biểu diễn một hàm dưới dạng một chuỗi (mở rộng một hàm thành một chuỗi), được sử dụng rộng rãi trong tích hợp, phân biệt và các hoạt động khác với các hàm.

Trong thực tế, việc mở rộng các hàm trong một chuỗi lũy thừa thường được sử dụng.

Chuỗi lũy thừa.

Sự định nghĩa. quyền lực tiếp theođược gọi là một loạt

Để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lũy thừa, thuận tiện là sử dụng thử nghiệm d'Alembert.

Ví dụ.Điều tra chuỗi hội tụ

Chúng tôi áp dụng dấu hiệu d'Alembert:

Chúng tôi nhận thấy rằng loạt bài này hội tụ ở
và phân kỳ ở
.

Bây giờ hãy xác định sự hội tụ tại các điểm biên 1 và –1.

Đối với x = 1:
Chuỗi hội tụ theo thử nghiệm Leibniz (xem Hình. Dấu hiệu Leibniz.).

Đối với x = -1:
phân kỳ loạt (loạt sóng hài).

Các định lý Abel.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - nhà toán học người Na Uy)

Định lý. Nếu chuỗi điện
hội tụ tạix = x 1 , sau đó nó hội tụ và hơn nữa, hoàn toàn cho tất cả
.

Bằng chứng. Theo điều kiện của định lý, vì các số hạng của dãy có giới hạn nên

ở đâu k là một số không đổi. Bất đẳng thức sau là đúng:

Từ bất bình đẳng này có thể thấy rằng x< x 1 các giá trị số của các phần tử trong chuỗi của chúng ta sẽ nhỏ hơn (trong mọi trường hợp, không nhiều hơn) so với các phần tử tương ứng của chuỗi ở vế phải của bất đẳng thức đã viết ở trên, tạo thành một cấp số nhân hình học. Mẫu số của sự tiến triển này do điều kiện của định lý nhỏ hơn một, do đó, cấp tiến này là một chuỗi hội tụ.

Do đó, dựa trên bài kiểm tra so sánh, chúng tôi kết luận rằng loạt
hội tụ, có nghĩa là chuỗi
hội tụ một cách tuyệt đối.

Do đó, nếu chuỗi lũy thừa
hội tụ tại một điểm X 1 , sau đó nó hội tụ tuyệt đối tại bất kỳ điểm nào trong khoảng có độ dài 2 tập trung vào một điểm X = 0.

Hậu quả. Nếu tại x = x 1 chuỗi phân kỳ, sau đó phân kỳ cho tất cả
.

Do đó, với mỗi chuỗi lũy thừa tồn tại một số dương R sao cho, với mọi X như vậy mà
chuỗi hội tụ hoàn toàn và cho tất cả
hàng phân kỳ. Trong trường hợp này, số R được gọi là bán kính hội tụ. Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ.

Lưu ý rằng khoảng này có thể được đóng cả một hoặc hai bên, và không đóng.

Bán kính hội tụ có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Ví dụ. Tìm vùng tụ của một chuỗi

Tìm bán kính hội tụ
.

Do đó, chuỗi này hội tụ cho bất kỳ giá trị nào X. Số hạng chung của loạt bài này có xu hướng bằng không.

Định lý. Nếu chuỗi điện
hội tụ cho một giá trị dương x = x 1 , sau đó nó hội tụ đồng nhất trong bất kỳ khoảng nào bên trong
.

Các hành động với chuỗi lũy thừa.

Hàng cho ấm trà. Ví dụ giải pháp

Tất cả những người sống sót chào mừng đến với năm thứ hai! Trong bài học này, hay đúng hơn, trong một loạt bài học, chúng ta sẽ học cách quản lý các hàng. Chủ đề này không khó lắm, nhưng để thành thạo bạn sẽ cần kiến thức từ khóa học đầu tiên, cụ thể là bạn phải hiểu giới hạn là gì, và có thể tìm thấy các giới hạn đơn giản nhất. Tuy nhiên, không sao cả, trong quá trình giải thích tôi sẽ đưa ra những liên kết phù hợp để dẫn đến những bài học cần thiết. Đối với một số độc giả, chủ đề về chuỗi toán học, phương pháp giải, dấu hiệu, định lý có vẻ kỳ lạ, và thậm chí là giả tạo, vô lý. Trong trường hợp này, bạn không cần phải “tải” nhiều, chúng tôi chấp nhận thực tế như hiện tại và chỉ đơn giản là học cách giải quyết các nhiệm vụ thông thường, điển hình.

1) Hàng cho ấm trà và đối với samovars ngay lập tức nội dung :)

Để chuẩn bị cực nhanh cho một chủ đề có một khóa học cấp tốc ở định dạng pdf, với sự trợ giúp của nó, bạn thực sự có thể "nâng cao" việc luyện tập chỉ trong một ngày.

Khái niệm về một dãy số

Nói chung dãy số có thể được viết như thế này:
Đây:
- biểu tượng toán học của tổng;
– thuật ngữ chung của bộ truyện(hãy nhớ thuật ngữ đơn giản này);
- biến - "bộ đếm". Bản ghi có nghĩa là phép tính tổng được thực hiện từ 1 đến “cộng với vô cùng”, tức là trước tiên chúng ta có, sau đó, sau đó, v.v. - đến vô cùng. Một biến hoặc đôi khi được sử dụng thay cho một biến. Tính tổng không nhất thiết phải bắt đầu từ một, trong một số trường hợp, nó có thể bắt đầu từ 0, từ hai hoặc từ bất kỳ số tự nhiên.

Phù hợp với biến "bộ đếm", bất kỳ chuỗi nào cũng có thể được vẽ chi tiết:
- và tương tự như vậy trong đơn vị quảng cáo.

Điều kiện - Cái này CON SỐ, được gọi là các thành viên hàng ngang. Nếu tất cả chúng đều không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), sau đó một loạt như vậy được gọi là dãy số dương.

ví dụ 1

Nhân tiện, đây đã là một nhiệm vụ "chiến đấu" - trong thực tế, thường là yêu cầu ghi lại một số thành viên của bộ truyện.

Đầu tiên và sau đó:
Sau đó, sau đó:
Sau đó, sau đó:

Quá trình có thể được tiếp tục vô thời hạn, nhưng theo điều kiện, bắt buộc phải viết ba số hạng đầu tiên của chuỗi, vì vậy chúng tôi viết ra câu trả lời:

Lưu ý sự khác biệt cơ bản từ dãy số,
trong đó các điều khoản không được tổng hợp, nhưng được coi như vậy.

Ví dụ 2

Viết ra ba số hạng đầu tiên của chuỗi

Đây là một ví dụ để bạn tự giải, đáp án có ở cuối bài.

Ngay cả đối với một chuỗi có vẻ phức tạp, không khó để mô tả nó ở dạng mở rộng:

Ví dụ 3

Viết ra ba số hạng đầu tiên của chuỗi

Trên thực tế, nhiệm vụ được thực hiện bằng miệng: thay thế tinh thần trong thuật ngữ chung của bộ truyệnđầu tiên, sau đó và. Sau cùng:

Để lại câu trả lời như thế này tốt hơn là không nên đơn giản hóa các điều khoản thu được của loạt bài, I E đừng tuân theo hành động:,,. Tại sao? Trả lời theo mẫu dễ dàng và thuận tiện hơn nhiều cho giáo viên kiểm tra.

Đôi khi có một điều ngược lại

Ví dụ 4

Không có thuật toán giải pháp rõ ràng ở đây. bạn chỉ cần nhìn thấy mô hình.
Trong trường hợp này:

Để xác minh, chuỗi kết quả có thể được "vẽ lại" ở dạng mở rộng.

Nhưng ví dụ khó hơn một chút cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 5

Viết tổng dưới dạng thu gọn với một số hạng chung của dãy số

Kiểm tra lại bằng cách viết loạt bài ở dạng mở rộng

Sự hội tụ của chuỗi số

Một trong những mục tiêu chính của chủ đề là kiểm tra một chuỗi để hội tụ. Trong trường hợp này, có thể xảy ra hai trường hợp:

1) Hàng ngangphân kỳ. Điều này có nghĩa là một tổng vô hạn bằng với vô hạn: một trong hai tổng nói chung không tồn tại, chẳng hạn như trong chuỗi
(Nhân tiện, đây là một ví dụ về một chuỗi có các điều khoản phủ định). Một ví dụ điển hình về dãy số phân kỳ đã gặp ở đầu bài học: . Ở đây, rõ ràng là mỗi số hạng tiếp theo của chuỗi lớn hơn số hạng trước đó, do đó và do đó chuỗi khác nhau. Một ví dụ thậm chí còn nhỏ hơn: .

2) Hàng nganghội tụ. Điều này có nghĩa là một tổng vô hạn bằng một số số cuối cùng:. Không có chi: Chuỗi này hội tụ và tổng của nó bằng không. Một ví dụ có ý nghĩa hơn là giảm vô hạn quá trình hình học, chúng tôi biết đến từ khi còn đi học: . Tổng các phần tử của một cấp tiến hình học giảm vô hạn được tính bằng công thức:, thành phần đầu tiên của cấp tiến là ở đâu, và là cơ sở của nó, theo quy tắc, được viết dưới dạng sửa phân số. Trong trường hợp này: , . Như vậy: Một số hữu hạn thu được, có nghĩa là chuỗi hội tụ, điều này cần được chứng minh.

Tuy nhiên, trong phần lớn các trường hợp tìm tổng của chuỗi không đơn giản như vậy, và do đó, trong thực tế, để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi, người ta sử dụng các dấu hiệu đặc biệt, đã được chứng minh về mặt lý thuyết.

Có một số dấu hiệu về sự hội tụ của một chuỗi: tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi, tiêu chí so sánh, tiêu chí của d'Alembert, tiêu chí của Cauchy, dấu hiệu của Leibniz và một số dấu hiệu khác. Khi nào áp dụng dấu hiệu gì? Nó phụ thuộc vào thuật ngữ chung của bộ truyện, nói một cách hình tượng - vào “chất liệu” của bộ truyện. Và rất nhanh thôi chúng tôi sẽ đưa mọi thứ lên kệ.

! Để học thêm, bạn cần hiểu tốt, giới hạn là gì và thật tốt khi có thể bộc lộ sự không chắc chắn của hình thức. Để lặp lại hoặc nghiên cứu tài liệu, hãy tham khảo bài viết Hạn mức. Ví dụ giải pháp.

Một tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi

Nếu chuỗi hội tụ, thì số hạng chung của nó có xu hướng bằng không:.

Điều ngược lại không đúng trong trường hợp chung, tức là nếu, thì chuỗi có thể vừa hội tụ vừa phân kỳ. Và vì vậy dấu hiệu này được sử dụng để biện minh cho phân kỳ hàng ngang:

Nếu thuật ngữ chung của chuỗi không đi đến con số không, sau đó chuỗi phân kỳ

Hay nói ngắn gọn: nếu, thì chuỗi phân kỳ. Đặc biệt, một tình huống có thể xảy ra khi giới hạn hoàn toàn không tồn tại, chẳng hạn như giới hạn. Ở đây, họ ngay lập tức chứng minh sự khác biệt của một chuỗi :)

Nhưng thường thì giới hạn của chuỗi phân kỳ bằng vô cùng, trong khi thay vì "x", nó hoạt động như một biến "động". Hãy làm mới kiến thức của chúng ta: giới hạn với "x" được gọi là giới hạn của hàm và giới hạn với biến "en" - giới hạn của dãy số. Sự khác biệt rõ ràng là biến "en" nhận các giá trị tự nhiên rời rạc (không liên tục): 1, 2, 3, v.v. Nhưng thực tế này ít ảnh hưởng đến các phương pháp giải các giới hạn và các phương pháp tiết lộ độ không đảm bảo.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chuỗi từ ví dụ đầu tiên khác nhau.
Thành viên chung của bộ truyện:

Sự kết luận: hàng ngang phân kỳ

Tính năng cần thiết thường được sử dụng trong các công việc thực tế thực tế:

Ví dụ 6

Chúng ta có đa thức ở tử số và mẫu số. Người đã đọc kỹ và hiểu rõ phương pháp bộc lộ độ không đảm bảo trong bài báo Hạn mức. Ví dụ giải pháp, chắc chắn đã nắm bắt được điều đó khi lũy thừa cao nhất của tử số và mẫu số bình đẳng, thì giới hạn là số cuối cùng .

Chia tử số và mẫu số cho

Chuỗi nghiên cứu phân kỳ, vì tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của chuỗi không được thỏa mãn.

Ví dụ 7

Kiểm tra chuỗi để tìm sự hội tụ

Đây là một ví dụ tự làm. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài

Vì vậy, khi chúng ta được cung cấp BẤT KỲ chuỗi số nào, chủ yếu chúng tôi kiểm tra (tinh thần hoặc trên bản nháp): thuật ngữ phổ biến của nó có xu hướng bằng không? Nếu nó không phấn đấu, chúng tôi rút ra một giải pháp theo ví dụ của các ví dụ số 6, 7 và đưa ra câu trả lời là chuỗi phân kỳ.

Chúng ta đã xem xét những loại chuỗi phân kỳ nào? Rõ ràng ngay lập tức rằng các hàng giống như hoặc phân kỳ. Chuỗi từ các ví dụ số 6, 7 cũng khác nhau: khi tử số và mẫu số chứa đa thức và bậc cao nhất của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc cao nhất của mẫu số. Trong tất cả các trường hợp này, khi giải quyết và thiết kế các ví dụ, chúng tôi sử dụng tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của chuỗi.

Tại sao dấu hiệu được gọi là cần thiết? Hiểu theo cách tự nhiên nhất: để chuỗi hội tụ, cần thiếtđể số hạng chung của nó có xu hướng bằng không. Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng điều này không đủ. Nói cách khác, nếu số hạng chung của chuỗi có xu hướng bằng 0, ĐIỀU NÀY KHÔNG CÓ NGHĨA là chuỗi hội tụ- nó có thể vừa hội tụ vừa phân kỳ!

Gặp:

Hàng này được gọi là loạt sóng hài. Hãy nhớ! Trong số các chuỗi số, anh ấy là một vận động viên ballet sơ cấp. Chính xác hơn là một diễn viên múa ba lê =)

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng , NHƯNG. Trong lý thuyết phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng chuỗi điều hòa phân kỳ.

Bạn cũng nên nhớ khái niệm về chuỗi sóng hài tổng quát:

1) Hàng này phân kỳ tại . Ví dụ, chuỗi phân kỳ,,.
2) Hàng này hội tụ tại . Ví dụ: chuỗi,. Tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng trong hầu hết tất cả các nhiệm vụ thực tế, đối với chúng tôi, điều đó không quan trọng chút nào đối với chúng tôi, ví dụ, chuỗi số là bao nhiêu, thực tế về sự hội tụ của nó là quan trọng.

Đây là những dữ kiện cơ bản từ lý thuyết về chuỗi đã được chứng minh, và khi giải một số ví dụ thực tế, người ta có thể tham khảo một cách an toàn, ví dụ, về sự phân kỳ của chuỗi hoặc sự hội tụ của chuỗi.

Nói chung, vật liệu đang được xem xét rất giống với nghiên cứu về tích phân không đúng, và những người đã nghiên cứu chủ đề này sẽ thấy nó dễ dàng hơn. Vâng, đối với những người chưa học, nó dễ dàng hơn gấp đôi :)

Vì vậy, phải làm gì nếu thuật ngữ chung của chuỗi ĐIÊN 0? Trong những trường hợp như vậy, để giải quyết các ví dụ, bạn cần sử dụng những người khác, hợp lý dấu hiệu hội tụ / phân kỳ:

Tiêu chí so sánh cho chuỗi số dương

Tôi thu hút sự chú ý của bạn rằng ở đây chúng ta chỉ nói về chuỗi số dương (với các thành viên không tiêu cực).

Có hai dấu hiệu so sánh, một trong số chúng tôi sẽ gọi đơn giản là dấu hiệu so sánh, nữa - giới hạn dấu hiệu so sánh.

Đầu tiên hãy xem xét dấu hiệu so sánh hay đúng hơn là phần đầu tiên của nó:

Xét hai chuỗi số dương và. Nêu biêt được, hàng đó là hội tụ và, bắt đầu từ một số nào đó, bất bình đẳng giữ nguyên, sau đó là chuỗi hội tụ quá.

Nói cách khác: Sự hội tụ của một chuỗi với các số hạng lớn hơn ngụ ý sự hội tụ của một chuỗi với các số hạng nhỏ hơn. Trong thực tế, bất đẳng thức thường được thỏa mãn nói chung cho tất cả các giá trị của:

Ví dụ 8

Kiểm tra chuỗi để tìm sự hội tụ

Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra(tinh thần hoặc trên bản nháp) thực hiện:
, có nghĩa là không thể “ra máu với ít máu”.

Chúng tôi xem xét "gói" của chuỗi điều hòa tổng quát và, tập trung vào mức độ cao nhất, chúng tôi tìm thấy một chuỗi tương tự: Theo lý thuyết, người ta biết rằng nó hội tụ.

Đối với mọi số tự nhiên, bất đẳng thức rõ ràng là:

và mẫu số lớn hơn tương ứng với phân số nhỏ hơn:
, có nghĩa là, theo tiêu chí so sánh, loạt bài được nghiên cứu hội tụ cùng với bên cạnh.

Nếu bạn có bất kỳ nghi ngờ nào, thì sự bất bình đẳng luôn có thể được vẽ một cách chi tiết! Hãy để chúng tôi viết ra bất đẳng thức đã xây dựng cho một số số "en":
Nếu, thì
Nếu, thì
Nếu, thì
Nếu, thì
….
và bây giờ khá rõ ràng rằng sự bất bình đẳng giữ cho mọi số tự nhiên "en".

Hãy để chúng tôi phân tích tiêu chí so sánh và ví dụ đã giải quyết theo quan điểm không chính thức. Tuy nhiên, tại sao chuỗi hội tụ? Đây là lý do tại sao. Nếu chuỗi hội tụ, thì nó có một số cuối cùng số lượng : . Và vì tất cả các thành viên của chuỗi nhỏ hơn các thành viên tương ứng của chuỗi, thì chắc chắn rằng tổng của chuỗi không thể lớn hơn một số, và thậm chí nhiều hơn nữa, không thể bằng vô cùng!

Tương tự, chúng ta có thể chứng minh sự hội tụ của chuỗi "tương tự": , , vân vân.

! Ghi chú rằng trong mọi trường hợp, chúng ta có "điểm cộng" ở các mẫu số. Sự hiện diện của ít nhất một dấu trừ có thể làm phức tạp nghiêm trọng việc sử dụng tính năng so sánh. Ví dụ, nếu chuỗi được so sánh theo cùng một cách với một chuỗi hội tụ (viết ra một số bất đẳng thức cho các số hạng đầu tiên), thì điều kiện sẽ không được đáp ứng chút nào! Ở đây, bạn có thể né tránh và chọn để so sánh với một chuỗi hội tụ khác, chẳng hạn, nhưng điều này sẽ dẫn đến sự dè dặt không cần thiết và những khó khăn không cần thiết khác. Do đó, để chứng minh sự hội tụ của một chuỗi, nó dễ dàng hơn nhiều để sử dụng tiêu chí so sánh biên(xem đoạn tiếp theo).

Ví dụ 9

Kiểm tra chuỗi để tìm sự hội tụ

Và trong ví dụ này, tôi khuyên bạn nên tự cân nhắc phần thứ hai của tính năng so sánh:

Nêu biêt được, hàng đó là phân kỳ và bắt đầu từ một số (thường là ngay từ đầu tiên) bất bình đẳng giữ, sau đó chuỗi cũng khác nhau.

Nói cách khác: Sự phân kỳ của chuỗi với các số hạng nhỏ hơn ngụ ý sự phân kỳ của chuỗi với các số hạng lớn hơn.

Những gì nên được thực hiện?
Cần so sánh chuỗi đang nghiên cứu với chuỗi điều hòa phân kỳ. Để hiểu rõ hơn, hãy xây dựng một số bất đẳng thức cụ thể và đảm bảo rằng bất đẳng thức đó là đúng.

Lời giải và thiết kế mẫu cuối bài.

Như đã lưu ý, trong thực tế, tính năng so sánh vừa xem xét hiếm khi được sử dụng. "Workhorse" thực của chuỗi số là tiêu chí so sánh biên và về tần suất sử dụng, chỉ dấu hiệu của d'Alembert.

Dấu hiệu giới hạn so sánh của chuỗi số dương

Xét hai chuỗi số dương và. Nếu giới hạn của tỷ lệ các phần tử chung của các chuỗi này bằng số hữu hạn khác 0: , sau đó cả hai chuỗi hội tụ hoặc phân kỳ cùng một lúc.

Tiêu chí so sánh giới hạn được sử dụng khi nào? Dấu hiệu so sánh giới hạn được sử dụng khi "nhồi" của chuỗi là các đa thức. Một đa thức ở mẫu số hoặc đa thức ở cả tử số và mẫu số. Theo tùy chọn, đa thức có thể ở dưới gốc.

Hãy đối phó với chuỗi mà dấu hiệu so sánh trước đó bị đình trệ.

Ví dụ 10

Kiểm tra chuỗi để tìm sự hội tụ

So sánh chuỗi này với chuỗi hội tụ. Chúng tôi sử dụng phép thử giới hạn để so sánh. Được biết, bộ truyện hội tụ. Nếu chúng tôi có thể chứng minh rằng nó là cuối cùng khác không số, nó sẽ được chứng minh rằng chuỗi cũng hội tụ.

Thu được một số hữu hạn khác 0, có nghĩa là chuỗi đang nghiên cứu hội tụ cùng với bên cạnh.

Tại sao bộ truyện được chọn để so sánh? Nếu chúng tôi đã chọn bất kỳ chuỗi nào khác từ "clip" của chuỗi hài tổng quát, thì chúng tôi đã không thành công trong giới hạn cuối cùng khác không số (bạn có thể thử nghiệm).

Ghi chú: khi chúng tôi sử dụng tính năng so sánh biên, không liên quan, theo thứ tự nào để cấu thành mối quan hệ của các thành viên thông thường, trong ví dụ được xem xét, mối quan hệ có thể được rút ra ngược lại: - điều này sẽ không thay đổi bản chất của vấn đề.