Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

ngân sách nhà nước liên bang cơ sở giáo dục

cao hơn giáo dục nghề nghiệp

“Đại học sư phạm bang Tula. L. N. Tolstoy »

(FGBOU VPO "TSPU được đặt tên theo L. N. Tolstoy")

Khoa Đại số, Giải tích Toán học và Hình học

CÔNG VIỆC KHÓA HỌC

trong chuyên đề "Phương pháp dạy học các môn học: phương pháp dạy học môn toán"

về chủ đề:

“PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ TÍNH CẤU TẠO TRONG LỚP HỌC MÔN TOÁN”

Hoàn thành:

Sinh viên năm 3 của nhóm 120922

Khoa Toán, Lý và Tin học

phương hướng "Sư phạm giáo dục"

cấu hình "Vật lý" và "Toán học"

Nichepurenko Natalya Alexandrovna

Người giám sát:

trợ lý

Rarova E.M.

Tula 2015

Giới thiệu ………………………………………………………………………… ... 3

Chương 1: Các khái niệm cơ bản ………………………………………………………… 6

1.1 Các yếu tố của tổ hợp ……………………………………………………… 6

1.2 Lý thuyết xác suất …………………………………………………………… .8

Chương 2: Các khía cạnh phương pháp của việc nghiên cứu "Lý thuyết xác suất" trong môn học đại số ở trường ……………………………………………………….….24

Chương 3: Một đoạn của một bài học đại số về chủ đề “Lý thuyết xác suất” ……… .32

Sự kết luận

Văn chương

GIỚI THIỆU

Câu hỏi về sự cải tiến giáo dục toán họcở trường trong nước được dàn dựng vào đầu những năm 60 của thế kỷ 20 bởi các nhà toán học lỗi lạc B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markushevich, A.Ya. Khinchin. B.V. Gnedenko viết: “Câu hỏi về việc đưa các yếu tố của kiến ​​thức xác suất-thống kê vào chương trình toán học ở trường đã quá hạn từ lâu và không thể chịu đựng thêm sự chậm trễ. Quy luật xác định cứng nhắc, dựa trên nghiên cứu về giáo dục trường học, chỉ bộc lộ một chiều bản chất của thế giới xung quanh. Bản chất ngẫu nhiên của nhiều hiện tượng của thực tế nằm ngoài sự chú ý của học sinh chúng ta. Do đó, những ý tưởng của họ về bản chất của nhiều quá trình tự nhiên và xã hội là phiến diện và thiếu sót. Khoa học hiện đại. Họ cần được giới thiệu luật thống kê bộc lộ những mối liên hệ nhiều mặt của sự tồn tại của các sự vật và hiện tượng.

TRONG VA. Levin đã viết: “... Văn hóa thống kê cần thiết cho ... hoạt động phải được đưa ra với những năm đầu. Không phải ngẫu nhiên mà ở các nước phát triển rất chú trọng đến điều này: học sinh được làm quen với các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê ngay từ đầu. những năm học và trong suốt khóa đào tạo, họ học các cách tiếp cận thống kê-xác suất để phân tích các tình huống phổ biến gặp phải trong cuộc sống hàng ngày.

Đến cuộc cải cách của những năm 1980, các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê đã được đưa vào chương trình của các lớp chuyên biệt, đặc biệt là vật lý, toán học và khoa học tự nhiên, cũng như trong một khóa học tùy chọn của nghiên cứu toán học.

Xét yêu cầu cấp thiết của việc phát triển phẩm chất tư duy cá nhân của học sinh, tác giả xuất hiện những bước phát triển khóa học bắt buộc về lý thuyết xác suất. Một ví dụ về điều này có thể là khóa học của N.N. Avdeeva về thống kê cho lớp 7 và 9 và một khóa học về các yếu tố của thống kê toán học cho lớp 10 trung học. Ở lớp 10, các bài kiểm tra được thực hiện, kết quả cũng như quan sát của giáo viên và khảo sát ý kiến ​​học sinh cho thấy tài liệu đề xuất khá dễ tiếp cận với học sinh, khiến các em quan tâm lớn trưng bày ứng dụng cụ thể toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn của khoa học và công nghệ.

Quá trình đưa các yếu tố của lý thuyết xác suất vào khóa học bắt buộc Toán học hóa ra rất công việc khó khăn. Có ý kiến ​​cho rằng để đồng nhất các nguyên tắc của lý thuyết xác suất, cần có một kho tư tưởng, ý tưởng, thói quen sơ bộ, khác cơ bản với những nguyên tắc mà học sinh phát triển trong quá trình giáo dục truyền thống như một phần của việc làm quen với quy luật của các hiện tượng điều hòa chặt chẽ. . Vì vậy, theo một số giáo viên - nhà toán học, lý thuyết xác suất nên đưa môn toán vào trường học như phần độc lập, điều này sẽ đảm bảo sự hình thành, hệ thống hóa và phát triển các ý tưởng về bản chất xác suất của các hiện tượng của thế giới xung quanh chúng ta.

Do việc nghiên cứu lý thuyết xác suất gần đây đã được đưa vào chương trình giảng dạy ở nhà trường, nên hiện nay việc triển khai tài liệu này trong sách giáo khoa của nhà trường đang gặp nhiều khó khăn. Ngoài ra, do tính đặc thù của khóa học này, số tài liệu phương pháp luận cũng vẫn còn nhỏ. Theo các cách tiếp cận được nêu trong đại đa số các tài liệu, người ta tin rằng điều chính của nghiên cứu chủ đề này là kinh nghiệm thực tế của sinh viên, do đó, nên bắt đầu luyện tập với các câu hỏi mà nó cần phải tìm. một giải pháp cho vấn đề đặt ra dựa trên bối cảnh của một tình huống thực tế. Trong quá trình học, không nên chứng minh tất cả các định lý, vì thời gian dành cho việc này rất lớn, trong khi nhiệm vụ của môn học là hình thành các kỹ năng hữu ích, và kỹ năng chứng minh định lý không áp dụng cho các kỹ năng đó.

Nguồn gốc của lý thuyết xác suất xảy ra để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi: tần suất xảy ra sự kiện này hoặc sự kiện kia trong một loạt thử nghiệm lớn hơn với các kết quả ngẫu nhiên xảy ra trong cùng điều kiện?

Đánh giá khả năng xảy ra một sự việc, chúng ta thường nói: “Rất có thể xảy ra”, “Chắc chắn sẽ xảy ra”, “Khó xảy ra”, “Sẽ không bao giờ xảy ra”. Bằng cách mua một vé số, bạn có thể thắng, nhưng bạn không thể trúng thưởng; ngày mai vào giờ học toán, bạn có thể bị hoặc không được gọi lên bảng đen; trong cuộc bầu cử tiếp theo, đảng cầm quyền có thể thắng hoặc không.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản.Bạn nghĩ nên có bao nhiêu người nhóm nhất định sao cho ít nhất hai người trong số họ có cùng ngày sinh với xác suất 100% (nghĩa là ngày, tháng không tính năm sinh)? Điều này không có nghĩa là năm nhuận, I E. một năm có 365 ngày. Câu trả lời là hiển nhiên - nên có 366 người trong nhóm. Bây giờ một câu hỏi khác: cần có bao nhiêu người để tìm một cặp vợ chồng có cùng ngày sinh với xác suất 99,9%?Thoạt nhìn, mọi thứ đều đơn giản - 364 người. Trên thực tế, 68 người là đủ!

Ở đây, để thực hiện các phép tính thú vị như vậy vàhãy đưa ra những khám phá bất thường cho bản thân, chúng ta sẽ nghiên cứu phần toán học “Lý thuyết xác suất” như vậy.

Mục đích của khóa học là nghiên cứu nền tảng của lý thuyết xác suất trong khóa học toán học ở trường. Để đạt được mục tiêu này, các nhiệm vụ sau đã được xây dựng:

1. Xem xét các khía cạnh phương pháp luận của nghiên cứu"Lý thuyết về xác suất" trong khóa học đại số trường học.
   1. Làm quen với các định nghĩa và định lý cơ bản về "Lý thuyết xác suất" trong khóa học ở trường.
      1. Coi như giải pháp chi tiết nhiệm vụ về chủ đề của khóa học làm việc.
      2. Xây dựng một phần của bài học về chủ đề của khóa học.

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

1.1 Các yếu tố của tổ hợp

Việc nghiên cứu môn học nên bắt đầu với việc nghiên cứu những điều cơ bản của tổ hợp, và lý thuyết xác suất nên được nghiên cứu song song, vì tổ hợp được sử dụng để tính toán xác suất.Phương pháp tổ hợp được sử dụng rộng rãi trong vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế học và các lĩnh vực kiến ​​thức khác.

Trong khoa học và thực tiễn, thường có những vấn đề, việc giải quyết mà bạn phải thực hiện các kết hợp khác nhau của một số lượng hữu hạn các phần tử.và đếm số lượng kết hợp. Các bài toán như vậy được gọi là các bài toán tổ hợp, và nhánh toán học giải quyết các bài toán này được gọi là tổ hợp.

Tổ hợp là nghiên cứu các cách để đếm số phần tử trong các tập hợp hữu hạn. Các công thức tổ hợp được sử dụng để tính toán xác suất.

Xét một số tập X, gồm n phần tử. Chúng tôi sẽ chọn từ bộ này các tập hợp con có thứ tự khác nhau Y của k phần tử.

Một sự sắp xếp gồm n phần tử của tập X với k phần tử là bất kỳ tập hợp () có thứ tự nào gồm các phần tử của tập X.

Nếu sự lựa chọn các phần tử của tập Y từ X xảy ra với một kết quả trả về, tức là mỗi phần tử của tập X có thể được chọn nhiều lần, sau đó số vị trí từ n đến k được tìm thấy bằng công thức (vị trí có số lần lặp lại).

Nếu lựa chọn được thực hiện mà không có lợi nhuận, tức là mỗi phần tử của tập X chỉ có thể được chọn một lần, khi đó số vị trí từ n đến k được ký hiệu và xác định bằng đẳng thức

(vị trí không lặp lại).

Một trường hợp đặc biệt của vị trí cho n = k được gọi là hoán vị của n phần tử. Số tất cả các hoán vị của n phần tử là

Bây giờ hãy để một tập hợp con không có thứ tự được chọn từ tập X Y (thứ tự của các phần tử trong tập hợp con không quan trọng). Các tổ hợp chập k của n phần tử là tập hợp con của k phần tử khác nhau ít nhất một phần tử. Tổng số tất cả các tổ hợp từ n đến k được ký hiệu và bằng

Các giá trị bằng nhau hợp lệ:,

Khi giải các bài toán tổ hợp sử dụng các quy tắc sau:

Quy tắc tính tổng. Nếu một số đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng bằng m cách và một đối tượng B khác có thể được chọn trong n cách, thì A hoặc B có thể được chọn trong m + n cách.

Quy tắc nhân. Nếu đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng theo m cách và sau mỗi cách chọn đối tượng B như vậy có thể được chọn trong n cách, thì cặp đối tượng (A, B) theo thứ tự xác định có thể được chọn trong m * n các cách.

1.2 Lý thuyết xác suất

Trong cuộc sống hàng ngày, trong thực tế và hoạt động khoa học chúng ta thường quan sát những hiện tượng nhất định, tiến hành những thí nghiệm nhất định.

Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong quá trình quan sát hoặc thử nghiệm được gọi làsự kiện ngẫu nhiên. Ví dụ, một bóng đèn treo dưới trần nhà - không ai biết khi nào nó sẽ cháy hết.Mọi sự kiện ngẫu nhiên- là hệ quả của tác động của rất nhiều biến ngẫu nhiên (lực ném đồng xu, hình dạng của đồng xu, và nhiều hơn thế nữa). Không thể tính đến ảnh hưởng của tất cả những nguyên nhân này đến kết quả, vì số lượng của chúng rất lớn và quy luật hoạt động chưa được biết rõ.Mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi một nhánh toán học đặc biệt được gọi làlý thuyết xác suất.

Lý thuyết xác suất không tự đặt ra nhiệm vụ dự đoán liệu một sự kiện đơn lẻ có xảy ra hay không - đơn giản là nó không thể làm được. Nếu chúng tôi đang nói chuyện về các sự kiện ngẫu nhiên đồng nhất lớn, sau đó chúng tuân theo các quy luật nhất định, cụ thể là các quy luật xác suất.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét việc phân loại các sự kiện.

Phân biệt các sự kiện khớp và không khớp . Các sự kiện được gọi là chung nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia. Nếu không, các sự kiện được gọi là không tương thích. Ví dụ, tung hai xúc xắc. Sự kiện A - ba điểm trên con súc sắc đầu tiên, sự kiện B - ba điểm trên con thứ hai. A và B là các sự kiện chung. Cho cửa hàng nhận một lô giày cùng kiểu dáng và kích thước, nhưng khác màu. Sự kiện A - một hộp được lấy ngẫu nhiên sẽ có giày đen, sự kiện B - hộp sẽ có giày Màu nâu, A và B là các sự kiện không tương thích.

Sự kiện được gọi là thật nếu nó nhất thiết phải xảy ra trong các điều kiện của thí nghiệm đã cho.

Sự kiện được gọi là Không thể nào nếu nó không thể xảy ra trong các điều kiện của thí nghiệm đã cho. Ví dụ, trường hợp một bộ phận tiêu chuẩn được lấy từ một lô các bộ phận tiêu chuẩn là chắc chắn, nhưng một bộ phận không tiêu chuẩn là không thể.

Sự kiện được gọi là có thể hoặc ngẫu nhiên , nếu là kết quả của kinh nghiệm, nó có thể xuất hiện hoặc không. Ví dụ về sự kiện ngẫu nhiên là việc phát hiện ra các khuyết tật của sản phẩm trong quá trình kiểm soát một lô thành phẩm, sự khác biệt giữa kích cỡ của sản phẩm đã chế biến và sản phẩm đã cho, sự cố của một trong các liên kết của hệ thống kiểm soát tự động.

Các sự kiện được gọi làđều có thểnếu, trong các điều kiện của thử nghiệm, không có sự kiện nào trong số này có khả năng xảy ra khách quan hơn các sự kiện khác. Ví dụ: giả sử một cửa hàng được một số nhà sản xuất cung cấp bóng đèn (và với số lượng bằng nhau). Các sự kiện bao gồm việc mua bóng đèn từ bất kỳ nhà máy nào trong số này đều có thể xảy ra như nhau.

Một khái niệm quan trọng lànhóm đầy đủ các sự kiện. Một số sự kiện trong một thử nghiệm nhất định tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nếu ít nhất một trong số chúng nhất thiết phải xuất hiện do kết quả của thử nghiệm. Ví dụ, có mười quả bóng trong một cái bình, trong đó sáu quả bóng màu đỏ và bốn quả bóng màu trắng, năm quả bóng được đánh số. A - sự xuất hiện của một quả bóng màu đỏ trong một hình vẽ, B - sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng, C - sự xuất hiện của một quả bóng với một con số. Sự kiện A, B, C tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện chung.

Sự kiện có thể làđối nghịch, hoặc bổ sung . Sự kiện đối lập được hiểu là sự kiện nhất thiết phải xảy ra nếu chưa xảy ra sự kiện A. Các sự kiện đối lập không tương thích và là sự kiện duy nhất có thể xảy ra. Chúng tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Ví dụ, nếu một lô sản phẩm được sản xuất bao gồm những mặt hàng tốt và bị lỗi, thì khi một mặt hàng bị loại bỏ, nó có thể trở thành sự kiện tốt - sự kiện A hoặc bị lỗi - sự kiện.

Hãy xem xét một ví dụ. Họ ném một con xúc xắc (tức là một khối lập phương nhỏ, trên các mặt của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 bị loại ra). Khi một con xúc xắc được ném vào mặt trên một điểm, hai điểm, ba điểm, v.v. có thể rơi ra ngoài. Mỗi kết quả này là ngẫu nhiên.

Một thử nghiệm như vậy đã được thực hiện. Xúc xắc được ném 100 lần và quan sát xem biến cố "6 điểm rơi trên con xúc xắc" xảy ra bao nhiêu lần. Hóa ra trong loạt thí nghiệm này, "sáu" đã rơi ra 9 lần. Con số 9, cho biết sự kiện được đề cập đã xảy ra bao nhiêu lần trong thử nghiệm này, được gọi là tần suất của sự kiện này và tỷ lệ giữa tần suất với Tổng số các phép thử, bằng nhau, được gọi là tần suất tương đối của sự kiện này.

Nói chung, hãy để một thử nghiệm nhất định được thực hiện lặp đi lặp lại trong cùng một điều kiện, đồng thời, mỗi lần thử đều được xác định xem sự kiện mà chúng ta quan tâm có xảy ra hay không. MỘT. Xác suất của một biến cố được ký hiệu là P. Khi đó xác suất của biến cố A sẽ được ký hiệu là: P (A).

Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Xác suất sự kiện Một bằng tỷ lệ của số trường hợp m thuận lợi cho anh ta, trong tổng số N các trường hợp duy nhất có thể, như nhau và không tương thích với số n, tức là

Do đó, để tìm xác suất sự kiện được yêu cầu:

1. xem xét các kết quả thử nghiệm khác nhau;
2. tìm một tập hợp các trường hợp duy nhất, có thể xảy ra như nhau và không tương thích, tính tổng số của chúng n, số trường hợp m thuận lợi cho sự kiện này;
3. thực hiện một phép tính công thức.

Theo công thức, xác suất của một sự kiện là một số không âm và có thể thay đổi từ 0 đến 1, tùy thuộc vào tỷ lệ của số trường hợp thuận lợi trong tổng số trường hợp:

Hãy xem xét thêm một ví dụ.Có 10 quả bóng trong một hộp. 3 trong số đó là màu đỏ, 2 màu xanh lá cây, còn lại là màu trắng. Tìm xác suất để một quả bóng được rút ra ngẫu nhiên có màu đỏ, xanh lục hoặc trắng. Sự xuất hiện của màu đỏ, xanh lá cây và bóng trắng tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Hãy biểu thị sự xuất hiện của quả bóng màu đỏ - sự kiện A, sự xuất hiện của quả bóng màu xanh lá cây - sự kiện B, sự xuất hiện của quả bóng màu trắng - sự kiện C. Sau đó, theo công thức đã viết ở trên, chúng ta thu được:

Lưu ý rằng xác suất xuất hiện của một trong hai sự kiện không tương thích từng cặp bằng tổng xác suất của những sự kiện này.

Tần số tương đốisự kiện A là tỷ lệ giữa số thí nghiệm dẫn đến sự kiện A trên tổng số thí nghiệm. Sự khác biệt giữa tần suất tương đối và xác suất nằm ở chỗ xác suất được tính mà không có sản phẩm trực tiếp của các thử nghiệm và tần suất tương đối - sau khi trải nghiệm.

Vì vậy, trong ví dụ trên, nếu 5 quả bóng được lấy ra từ hộp một cách ngẫu nhiên và 2 quả bóng chuyển sang màu đỏ, thì tần số tương đối của sự xuất hiện của một quả bóng màu đỏ là:

Có thể thấy, giá trị này không trùng với xác suất tìm được. Khi đủ số lượng lớn Trong các thí nghiệm đã thực hiện, tần số tương đối ít thay đổi, dao động xung quanh một số. Con số này có thể được coi là xác suất của sự kiện.

xác suất hình học.Định nghĩa cổ điển của xác suất giả định rằng số lượng kết quả cơ bản chắc chắn điều này cũng hạn chế ứng dụng của nó trong thực tế.

Trong trường hợp thử nghiệm với bất tận số lượng kết quả, sử dụng định nghĩa của xác suất hình học - đạt được một điểm trong một khu vực.

Khi xác định hình học xác suất giả định rằng có một khu vực N và nó có diện tích nhỏ hơn M. Đến khu vực N ném một điểm ngẫu nhiên (điều này có nghĩa là tất cả các điểm trong khu vực N là “bình đẳng” đối với việc đánh vào một điểm được ném ngẫu nhiên ở đó).

Sự kiện A - “điểm ném vào khu vực M ”. Vùng M được gọi là một sự kiện tốt lành MỘT.

Xác suất bắn trúng bất kỳ phần nào của khu vực N tỷ lệ thuận với số đo của bộ phận này và không phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của nó.

Diện tích được bao phủ bởi xác suất hình học có thể là:

1. phân khúc (số đo là chiều dài)
2. hình hình học trên một mặt phẳng (diện tích là thước đo)
3. cơ thể hình học trong không gian (thước đo là thể tích)

Hãy để chúng tôi xác định xác suất hình học cho trường hợp hình phẳng.

Cho diện tích M là một phần của khu vực N. Sự kiện A bao gồm việc đánh một quả ném ngẫu nhiên vào khu vực N điểm vào khu vực M. xác suất hình học sự kiện A được gọi là tỷ lệ diện tích M đến khu vực khu vực N :

Trong trường hợp này, xác suất của một điểm được ném ngẫu nhiên chạm vào ranh giới của vùng được coi là bằng không.

Hãy xem xét một ví dụ: Một chiếc đồng hồ cơ có mặt số 12 giờ bị hỏng và ngừng hoạt động. Tìm xác suất để kim giờ bị đơ lúc 5 giờ nhưng không đơ lúc 8 giờ.

Quyết định. Số lượng kết quả là vô hạn, chúng tôi áp dụng định nghĩa của xác suất hình học. Do đó, khu vực từ 5 đến 8 giờ là một phần của khu vực của toàn bộ mặt số.

Hoạt động trên các sự kiện:

Sự kiện A và B được gọi là bình đẳng nếu sự xuất hiện của sự kiện A kéo theo sự xuất hiện của sự kiện B và ngược lại.

Liên hiệp hoặc tổng hợp sự kiện được gọi là sự kiện A, có nghĩa là sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện.

Giao lộ hoặc sản phẩm sự kiện được gọi là sự kiện A, bao gồm việc thực hiện tất cả các sự kiện.

A = ∩

Sự khác biệt Sự kiện A và B được gọi là sự kiện C, có nghĩa là sự kiện A xảy ra, nhưng sự kiện B không xảy ra.

C = A \ B

Ví dụ:

A + B - “cán 2; 4; 6 hoặc 3 điểm "

A ∙ B - "Đã mất 6 điểm"

A-B - "giảm 2 và 4 điểm"

Thêm vào biến cố A được gọi là biến cố, nghĩa là biến cố A không xảy ra.

kết quả sơ cấpkinh nghiệm được gọi là kết quả của kinh nghiệm loại trừ lẫn nhau và kết quả của kinh nghiệm là một trong những sự kiện này xảy ra, bất kể sự kiện A là gì, theo kết quả cơ bản đã xảy ra, người ta có thể đánh giá liệu sự kiện này xảy ra hay xảy ra. không xảy ra.

Tổng của tất cả các kết quả cơ bản của kinh nghiệm được gọi làkhông gian của các sự kiện sơ cấp.

Tính chất xác suất:

Thuộc tính 1. Nếu tất cả các trường hợp đều thuận lợi cho sự kiện đã cho Một , thì sự kiện này phải xảy ra. Do đó, sự kiện được đề cập là thật

Tài sản 2. Nếu không có trường hợp nào thuận lợi cho sự kiện này Một , thì sự kiện này không thể xảy ra do kết quả của thử nghiệm. Do đó, sự kiện được đề cập là Không thể nào và xác suất xuất hiện của nó, vì trong trường hợp này m = 0:

Thuộc tính 3. Xác suất xuất hiện của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một.

Thuộc tính 4. Xác suất của sự kiện ngược lại xảy ra được xác định giống như xác suất xuất hiện của sự kiện MỘT :

ở đâu (n - m ) là số trường hợp có lợi cho sự xuất hiện của sự kiện ngược lại. Do đó, xác suất của sự kiện ngược lại xảy ra bằng hiệu giữa sự thống nhất và xác suất của sự kiện xảy ra MỘT :

Phép cộng và nhân các xác suất.

Sự kiện A được gọi là trương hợp đặc biệt sự kiện B, nếu khi A xảy ra, B cũng xảy ra. A đó là trường hợp đặc biệt của B, ta viết A ⊂ B.

Sự kiện A và B được gọi là bình đẳng nếu mỗi cái là một trường hợp đặc biệt của cái kia. Đẳng thức của các biến cố A và B được viết A = B.

Tổng Sự kiện A và B được gọi là sự kiện A + B, xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các sự kiện xảy ra: A hoặc B.

Định lý bổ sung 1. Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

P = P + P

Lưu ý rằng định lý đã xây dựng có giá trị đối với bất kỳ số lượng sự kiện không tương thích nào:

Nếu các sự kiện ngẫu nhiên tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích, thì đẳng thức

P + P +… + P = 1

công việc Biến cố A và B được gọi là biến cố AB, xảy ra nếu và chỉ khi đồng thời xảy ra cả hai biến cố: A và B. Các sự kiện ngẫu nhiên A và B được gọi là chung nếu cả hai sự kiện này có thể xảy ra trong một thử nghiệm nhất định.

Định lý bổ sung 2. Xác suất của tổng các sự kiện chung được tính bằng công thức

P = P + P-P

Ví dụ về các bài toán về định lý cộng.

1. Trong kỳ thi hình học, học sinh nhận được một câu hỏi trong danh sách đề thi. Xác suất để đây là một câu hỏi nội tiếp đường tròn là 0,2. Xác suất đây là câu hỏi Hình bình hành là 0,15. Không có câu hỏi nào liên quan đến hai chủ đề này cùng một lúc. Tìm xác suất để sinh viên đó đạt được câu hỏi thuộc một trong hai chủ đề này trong kỳ thi.

Quyết định. Xác suất tổng của hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố này: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Đáp số: 0,35.

1. TẠI trung tâm mua sắm hai máy bán hàng tự động giống hệt nhau bán cà phê. Xác suất để máy hết cà phê vào cuối ngày là 0,3. Xác suất để cả hai máy hết cà phê là 0,12. Tìm xác suất để đến cuối ngày còn lại cà phê ở cả hai máy bán hàng tự động.
   Quyết định. Xem xét các sự kiệnA - "cà phê sẽ kết thúc ở máy thứ nhất", B - "cà phê sẽ kết thúc ở máy thứ hai". sau đó A B - "cà phê sẽ kết thúc ở cả hai máy bán hàng tự động", A + B - "cà phê sẽ kết thúc ở ít nhất một máy bán hàng tự động".Theo điều kiện P (A) = P (B) = 0,3; P (A B) = 0,12.
   Các sự kiện A và B là chung, xác suất của tổng của hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của các sự kiện này mà không có xác suất của tích của chúng:
   P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (A B) \ u003d 0,3 + 0,3 - 0,12 \ u003d 0,48.

Do đó, xác suất của trường hợp ngược lại, cà phê sẽ còn lại trong cả hai máy, bằng 1 - 0,48 = 0,52.

Đáp số: 0,52.

Các biến cố A và B được gọi là sống độc lập nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không làm thay đổi xác suất xuất hiện của cái kia. Sự kiện A được gọi là phụ thuộc từ sự kiện B nếu xác suất của sự kiện A thay đổi tùy thuộc vào sự kiện B có xảy ra hay không.

Xác suất có điều kiện P (A | B ) sự kiện A được gọi là xác suất được tính với điều kiện sự kiện B xảy ra. Tương tự như vậy, thông qua P (B | A ) được biểu thị xác suất có điều kiện sự kiện B, với điều kiện là A đã xảy ra.

Đối với các sự kiện độc lập theo định nghĩa

P (A | B) = P (A); P (B | A) = P (B)

Định lý nhân cho các sự kiện phụ thuộc

Xác suất của sản phẩm của các sự kiện phụ thuộcbằng tích xác suất của một trong số chúng với xác suất có điều kiện của xác suất còn lại, với điều kiện là điều đầu tiên xảy ra:

P (A ∙ B) = P (A) ∙ P (B | A) P (A ∙ B) = P (B) ∙ P (A | B)

(tùy thuộc vào sự kiện nào xảy ra trước).

Hệ quả của định lý:

Định lý nhân cho các sự kiện độc lập. Xác suất tạo ra các sự kiện độc lập bằng tích các xác suất của chúng:

P (A ∙ B) = P (A) ∙ P (B)

Nếu A và B độc lập thì các cặp (;), (; B), (A;) cũng độc lập.

Ví dụ về các nhiệm vụ trong định lý nhân:

1. Nếu kiện tướng A. chơi trắng thì thắng kiện tướng B. với xác suất 0,52. Nếu A. chơi đen thì A. đánh B. với xác suất là 0,3. Các kiện tướng A. và B. chơi hai ván, và trong ván thứ hai, họ đổi màu các quân cờ. Tìm xác suất để A. thắng cả hai lần.

Quyết định. Cơ hội giành chiến thắng trong trò chơi đầu tiên và thứ hai là độc lập với nhau. Xác suất của tích của các sự kiện độc lập bằng tích của các xác suất của chúng: 0,52 0,3 = 0,156.

Đáp số: 0,156.

1. Cửa hàng có hai máy thanh toán. Mỗi lỗi trong số chúng đều có thể bị lỗi với xác suất 0,05, không phụ thuộc vào ô tô khác. Tìm xác suất để ít nhất một ô tô có thể sử dụng được.

Quyết định. Tìm xác suất để cả hai dữ liệu tự động bị lỗi. Các sự kiện này là độc lập, xác suất tích của chúng bằng tích các xác suất của các sự kiện này: 0,05 0,05 = 0,0025.
Một sự kiện bao gồm thực tế là ít nhất một automaton có thể sử dụng được thì ngược lại. Do đó, xác suất của nó là 1 - 0,0025 = 0,9975.

Đáp số: 0,9975.

Công thức xác suất đầy đủ

Hệ quả của các định lý cộng và nhân các xác suất là công thức cho tổng xác suất:

Xác suất P (A) sự kiện A, chỉ có thể xảy ra khi một trong các sự kiện (giả thuyết) B xảy ra 1, V 2, V 3… V n , tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo từng cặp, bằng tổng tích các xác suất của mỗi sự kiện (giả thuyết) B 1, V 2, V 3,…, V n về các xác suất có điều kiện tương ứng của sự kiện A:

P (A) \ u003d P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + .. . + P (В n)  P (A | B n)

Hãy xem xét một ví dụ:Dây chuyền tự động tạo ra pin. Xác suất để một viên pin thành phẩm bị lỗi là 0,02. Trước khi đóng gói, mỗi viên pin đi qua một hệ thống kiểm soát. Xác suất hệ thống từ chối pin kém là 0,99. Xác suất hệ thống từ chối nhầm một pin tốt là 0,01. Tìm xác suất để một pin được chọn ngẫu nhiên sẽ bị loại.

Quyết định. Tình huống pin bị từ chối có thể phát sinh do các sự kiện: A - "pin thực sự bị lỗi và bị từ chối một cách công bằng" hoặc B - "pin tốt nhưng bị từ chối do nhầm lẫn." Đây là các sự kiện xung khắc, xác suất tổng của chúng bằng tổng xác suất của các sự kiện này. Chúng ta có:

P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) \ u003d 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Đáp số: 0,0296.

Chương 2: Các khía cạnh phương pháp luận của việc nghiên cứu "lý thuyết xác suất" trong khóa học đại số ở trường

Năm 2003, một quyết định đã được đưa ra để đưa các yếu tố của lý thuyết xác suất vào môn toán học của một trường phổ thông (thư hướng dẫn số 03-93in / 13-03 ngày 23 tháng 9 năm 2003 của Bộ Giáo dục Liên bang Nga “ Về việc đưa các yếu tố của tổ hợp, thống kê và lý thuyết xác suất vào nội dung giáo dục toán ở tiểu học ”,“ Toán học ở trường ”, số 9 năm 2003). Vào thời điểm này, các yếu tố của lý thuyết xác suất đã có mặt ở nhiều dạng khác nhau trong các sách giáo khoa đại số học nổi tiếng trong hơn mười năm. các lớp học khác nhau(ví dụ, I.F. “Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 7-9 của các cơ sở giáo dục” do G.V. Dorofeev biên tập; “Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa cho lớp 10–11 của các cơ sở giáo dục” G.V. Dorofeev, L. V. Kuznetsova, E.A. Sedova ”), và dưới dạng các thiết bị hỗ trợ giảng dạy riêng biệt. Tuy nhiên, việc trình bày tài liệu về lý thuyết xác suất trong đó, như một quy luật, không có tính hệ thống và các giáo viên thường không đề cập đến những phần này, không đưa chúng vào chương trình giảng dạy. Tài liệu được Bộ Giáo dục thông qua năm 2003 quy định việc đưa các phần này vào các khóa học ở trường dần dần, theo từng giai đoạn, tạo điều kiện cho cộng đồng giảng dạy chuẩn bị cho những thay đổi tương ứng.

Trong năm 2004–2008 Một số sách giáo khoa đang được xuất bản để bổ sung cho sách giáo khoa đại số hiện có. Đây là các ấn phẩm của Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Lý thuyết xác suất và thống kê", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Lý thuyết xác suất và thống kê: Hướng dẫn của giáo viên", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Đại số: các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất: SGK. Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 7-9. giáo dục phổ thông các tổ chức ”, Tkacheva M.V., Fedorova N.E. “Yếu tố thống kê và xác suất: Proc. Phụ cấp cho 7-9 ô. giáo dục phổ thông thể chế." Họ cũng đi ra để giúp đỡ các giáo viên. dạy học. Trong một số năm, tất cả các đồ dùng dạy học này đã được thử nghiệm trong các trường học. Trong điều kiện khi giai đoạn chuyển tiếp đưa vào chương trình giảng dạy ở trường học đã kết thúc, và các phần thống kê và lý thuyết xác suất đã thay thế chương trình giảng dạy Lớp 7-9, cần phân tích và hiểu về tính nhất quán của các định nghĩa và chỉ định chính được sử dụng trong các sách giáo khoa này.

Tất cả những sách giáo khoa này được tạo ra trong bối cảnh không có truyền thống dạy các phần toán này ở trường. Sự vắng mặt này, dù vô tình hay cố ý, đã kích động các tác giả của sách giáo khoa so sánh chúng với sách giáo khoa hiện có cho các trường đại học. Sau này, tùy thuộc vào các truyền thống được thiết lập trong các chuyên ngành riêng lẻ Trung học phổ thông thường được cho phép vì sự mâu thuẫn về mặt thuật ngữ đáng kể và sự khác biệt trong việc chỉ định các khái niệm và công thức cơ bản. Phân tích nội dung của các sách giáo khoa trên cho thấy ngày nay các em đã kế thừa những đặc điểm này từ sách giáo khoa phổ thông. Với hơn chính xác, có thể lập luận rằng sự lựa chọn của một Tài liệu giáo dục theo các phần toán học mới vào trường, liên quan đến khái niệm "ngẫu nhiên", xảy ra trong khoảnh khắc này theo cách ngẫu nhiên nhất, cho đến tên và chỉ định. Vì vậy, các nhóm tác giả của các sách giáo khoa hàng đầu về lý thuyết xác suất và thống kê đã quyết định tham gia nỗ lực của họ dưới sự bảo trợ của Viện Giáo dục Mở Mátxcơva để phát triển các quan điểm nhất trí về việc thống nhất các định nghĩa và ký hiệu chính được sử dụng trong sách giáo khoa về lý thuyết xác suất. và số liệu thống kê.

Hãy phân tích phần giới thiệu chủ đề "Lý thuyết xác suất" trong sách giáo khoa của nhà trường.

đặc điểm chung:

Nội dung đào tạo về chủ đề "Các yếu tố của Lý thuyết Xác suất", nổi bật trong "Chương trình dành cho các cơ sở giáo dục Toán học", cung cấp phát triển hơn nữaở học sinh khả năng toán học của họ, định hướng nghề nghiệp, liên quan đáng kể đến toán học, chuẩn bị cho việc học tại một trường đại học. Tính cụ thể về nội dung toán học của chủ đề đang xét giúp có thể cụ thể hóa nhiệm vụ chính đã chọn nghiên cứu sâu toán học như sau.

1. Tiếp tục bộc lộ nội dung toán học như một hệ thống kiến ​​thức suy luận.

Xây dựng hệ thống định nghĩa về các khái niệm cơ bản;

Tiết lộ các thuộc tính bổ sung của các khái niệm đã giới thiệu;

Thiết lập các kết nối giữa các khái niệm đã được giới thiệu và các khái niệm đã nghiên cứu trước đó.

2. Hệ thống hóa một số cách giải bài toán xác suất; tiết lộ thành phần hoạt động của việc tìm kiếm giải pháp cho các vấn đề thuộc một số loại nhất định.

3. Tạo điều kiện để học sinh hiểu và nắm được ý chính ý nghĩa thực tế lý thuyết xác suất bằng cách phân tích các sự kiện lý thuyết cơ bản. Để tiết lộ những ứng dụng thực tế của lý thuyết được nghiên cứu trong chủ đề này.

Việc đạt được các mục tiêu giáo dục đã đặt ra sẽ được tạo điều kiện thuận lợi bằng giải pháp của các nhiệm vụ sau:

1. Hình thành ý tưởng về các cách khác nhau để xác định xác suất của một sự kiện (thống kê, cổ điển, hình học, tiên đề)

2. Hình thành kiến ​​thức về các phép toán cơ bản về sự kiện và khả năng áp dụng chúng để mô tả một số sự kiện thông qua các sự kiện khác.

3. Để tiết lộ bản chất của lý thuyết cộng và nhân các xác suất; xác định giới hạn của việc sử dụng các định lý này. Chỉ ra các ứng dụng của chúng để lấy ra các công thức xác suất đầy đủ.

4. Xác định các thuật toán tìm xác suất của các sự kiện a) theo định nghĩa cổ điển của xác suất; b) về lý thuyết cộng và nhân; c) theo công thức xác suất toàn phần.

5. Hình thành một đơn thuốc cho phép bạn lựa chọn một cách hợp lý một trong các thuật toán khi giải một bài toán cụ thể.

Tận tụy Mục tiêu giáo dụcđể nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất, chúng tôi sẽ bổ sung việc thiết lập các mục tiêu phát triển và giáo dục.

Mục tiêu phát triển:

• hình thành ở học sinh niềm yêu thích môn học, xác định và phát triển năng lực toán học;
• trong quá trình học tập để phát triển các lĩnh vực lời nói, tư duy, cảm xúc và động cơ cụ thể;
• Học sinh độc lập tìm ra những cách giải quyết vấn đề và nhiệm vụ mới; ứng dụng kiến ​​thức trong các tình huống và hoàn cảnh mới;
• phát triển khả năng giải thích các sự kiện, mối liên hệ giữa các hiện tượng, chuyển đổi vật chất từ ​​hình thức biểu diễn này sang hình thức biểu diễn khác (bằng lời nói, ký hiệu, hình ảnh);
• dạy học chứng minh sự vận dụng đúng đắn các phương pháp, thấy được tính logic của suy luận, sự giống nhau và khác nhau của các sự vật hiện tượng.

Mục tiêu giáo dục:

• hình thành ở học sinh những tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ, hệ thống quan điểm về thế giới, khả năng tuân theo các chuẩn mực hành vi trong xã hội;
• hình thành nhu cầu của cá nhân, động cơ hành vi xã hội, các hoạt động, giá trị và định hướng giá trị;
• giáo dục con người có khả năng tự giáo dục và tự giáo dục.

Hãy cùng phân tích sách giáo khoa đại số lớp 9 "Đại số: các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất" Makarychev Yu.N.

Sách giáo khoa này dành cho học sinh từ lớp 7-9, nó bổ sung cho các sách giáo khoa: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Đại số 7", "Đại số 8", "Đại số 9", do Telyakovsky S.A biên tập.

Cuốn sách bao gồm bốn đoạn văn. Mỗi đoạn có thông tin lý thuyết và các bài tập liên quan. Ở cuối đoạn văn, các bài tập lặp lại được đưa ra. Đối với mỗi đoạn, các bài tập bổ sung có mức độ phức tạp cao hơn được đưa ra so với các bài tập chính.

Theo “Chương trình dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông”, 15 giờ được dành cho việc nghiên cứu chủ đề “Lý thuyết xác suất và thống kê” trong môn đại số của trường.

Tài liệu về chủ đề này thuộc chủ đề lớp 9 và được trình bày thành các đoạn văn sau:

§3 "Phần tử của tổ hợp" gồm 4 điểm:

Ví dụ về các bài toán tổ hợp.Trên ví dụ đơn giản Giải các bài toán tổ hợp bằng phương pháp liệt kê các biến thể có thể có được chứng minh. Phương pháp này được minh họa bằng cách xây dựng một cây các phương án khả thi. Quy tắc nhân được coi là.

Hoán vị. Bản thân khái niệm và công thức đếm các hoán vị được giới thiệu.

Phòng ở. Khái niệm được giới thiệu trên một ví dụ cụ thể. Công thức cho số lượng vị trí được bắt nguồn.

Sự kết hợp. Khái niệm và công thức của số tổ hợp.

Mục đích của phần này là cung cấp cho học sinh những cách khác nhau để mô tả tất cả các sự kiện cơ bản có thể có trong nhiều loại khác nhau trải nghiệm ngẫu nhiên.

§4 "Thông tin ban đầu từ lý thuyết xác suất".

Việc trình bày tài liệu bắt đầu với việc xem xét thí nghiệm, sau đó các khái niệm về "sự kiện ngẫu nhiên" và "tần suất tương đối của một sự kiện ngẫu nhiên" được giới thiệu. Một định nghĩa thống kê và cổ điển của xác suất được giới thiệu. Đoạn văn kết thúc với điểm "cộng và nhân các xác suất." Các định lý về phép cộng và nhân các xác suất được xem xét, các khái niệm liên quan của các sự kiện không tương thích, ngược chiều, độc lập được giới thiệu. Tài liệu này dành cho những học sinh yêu thích và có năng khiếu về toán học và có thể được sử dụng để công việc cá nhân hoặc tại các hoạt động ngoại khóa với học sinh.

Nguyên tắc sách này được đưa ra trong một số bài báo của Makarychev và Mindyuk ("Các yếu tố của tổ hợp trong khóa học đại số trường học", "Thông tin ban đầu từ lý thuyết xác suất trong khóa học đại số trường học"). Và cũng có một số nhận xét quan trọng về hướng dẫn này có trong bài viết của Studenetskaya và Fadeeva, sẽ giúp tránh những sai lầm khi làm việc với giáo trình này.
Mục đích: chuyển từ mô tả định tính các sự kiện sang mô tả toán học.

Chủ đề "Lý thuyết xác suất" trong sách giáo khoa của Mordkovich A.G., Semenov P.V. dành cho lớp 9-11.

Hiện tại, một trong những bộ sách giáo khoa hiện có trong nhà trường là sách giáo khoaMordkovich A.G., Semenov P.V. "Sự kiện, xác suất, xử lý thống kê dữ liệu", nó cũng có các chương bổ sung cho lớp 7-9. Hãy phân tích nó.

Theo Chương trình Làm việc Đại số, 20 giờ được phân bổ cho việc nghiên cứu chủ đề “Các yếu tố của tổ hợp, thống kê và lý thuyết xác suất”.

Tài liệu về chủ đề "Lý thuyết xác suất" được tiết lộ trong các đoạn văn sau:

§ 1. Đơn giản nhất vấn đề tổ hợp. Quy tắc nhân và cây các biến thể. Hoán vị.Nó bắt đầu với một bài toán tổ hợp đơn giản, sau đó xem xét một bảng các phương án có thể, trong đó chỉ ra nguyên tắc của quy tắc nhân. Sau đó, cây của các biến thể và hoán vị có thể được xem xét. Sau tài liệu lý thuyết có các bài tập cho mỗi mục phụ.

§ 2. Lựa chọn một số phần tử. Sự kết hợp.Đầu tiên, một công thức được dẫn xuất cho 2 phần tử, sau đó cho ba phần tử và sau đó là một công thức chung cho n phần tử.

§ 3. Các sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của chúng.Định nghĩa cổ điển của xác suất được giới thiệu.

Ưu điểm của sổ tay này là nó là một trong số ít có chứa các đoạn văn liên quan đến bảng và cây của các biến thể. Những điểm này là cần thiết vì chính các bảng và cây tùy chọn dạy cho học sinh về cách trình bày và phân tích ban đầu của dữ liệu. Cũng trong sách giáo khoa này, công thức kết hợp được giới thiệu thành công trước tiên cho hai phần tử, sau đó cho ba phần tử và tổng quát hóa cho n phần tử. Về tổ hợp, tài liệu được trình bày thành công. Mỗi đoạn có chứa các bài tập, cho phép bạn củng cố tài liệu. Nhận xét về hướng dẫn này có trong bài báo của Studenetskaya và Fadeeva.

Ở lớp 10, ba đoạn văn được đưa ra về chủ đề này. Trong phần đầu tiên của chúng “Quy tắc nhân. Hoán vị và thừa số ”, ngoài quy tắc nhân, trọng tâm chính được đặt vào việc suy ra hai đồng dạng tổ hợp cơ bản từ quy tắc này: cho số hoán vị và số tập con có thể có của tập hợp bao gồm N các yếu tố. Đồng thời, thừa tử ra đời như một cách thuận tiện để rút gọn câu trả lời trong nhiều bài toán tổ hợp cụ thể trước khi có khái niệm "hoán vị". Trong đoạn văn thứ hai lớp 10 “Lựa chọn nhiều yếu tố. Hệ số nhị thức ”được coi là các bài toán tổ hợp cổ điển liên quan đến việc lựa chọn đồng thời (hoặc tuần tự) một số phần tử từ một tập hợp hữu hạn cho trước. Điều quan trọng nhất và thực sự mới đối với trường phổ thông Nga là đoạn cuối cùng "Các sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của chúng." Nó được coi là sơ đồ xác suất cổ điển, phân tích các công thức P (A + B) + P (AB) = P (A) + P (B), P () = 1- P (A), P (A) = 1- P () và cách sử dụng chúng. Đoạn văn kết thúc với sự chuyển đổi sang các lần lặp lại độc lập của bài kiểm tra với hai kết quả. Đây là mô hình xác suất quan trọng nhất theo quan điểm thực tế (thử nghiệm Bernoulli), có một số lượng ứng dụng đáng kể. Tài liệu sau này hình thành sự chuyển tiếp giữa nội dung của tài liệu giáo dục lớp 10 và lớp 11.

Ở lớp 11, chuyên đề "Các yếu tố của lý thuyết xác suất" được dành cho hai đoạn văn trong sách giáo khoa và sách bài tập. TẠIPhần 22 đề cập đến xác suất hình học, § 23 lặp lại và mở rộng kiến ​​thức về các thử nghiệm lặp lại độc lập với hai kết quả.

Chương 3: Một đoạn của một bài học đại số về chủ đề "Lý thuyết xác suất"

Lớp: 11

Chủ đề bài học: "Phân tích nhiệm vụ C6".

Dạng bài: giải quyết vấn đề.

UUD hình thành

Nhận thức: phân tích,

rút ra kết luận, so sánh các đối tượng theo các phương pháp hành động;

Quy định: xác định mục tiêu, vấn đề, đưa ra các phiên bản, lập kế hoạch hoạt động;

Giao tiếp: bày tỏ ý kiến ​​của bạn, sử dụng lời nói có nghĩa là;

Cá nhân: nhận thức được cảm xúc của mình, phát triển thái độ tôn trọng các bạn cùng lớp

Kết quả theo kế hoạch

Chủ đề: khả năng sử dụng một công thức để giải quyết các vấn đề để tính xác suất.

Siêu chủ đề: khả năng đưa ra các giả thuyết, giả thiết, xem

các cách khác nhau để giải quyết vấn đề.

Cá nhân: khả năng diễn đạt chính xác suy nghĩ của một người, hiểu ý nghĩa

nhiệm vụ được giao.

Nhiệm vụ: Mỗi nhóm học sinh đến rạp chiếu phim hoặc đến rạp hát, trong khi có khả năng một trong số chúng có thể đi xem cả rạp chiếu phim và rạp hát. Được biết, có không quá 2/11 tổng số học sinh trong đoàn đã đến tham quan rạp hát nam và không quá 2/5 tổng số học sinh trong đoàn đã đến tham quan rạp hát nam. rạp chiếu phim đã ở trong rạp chiếu phim.
a) Có thể có 9 học sinh trong nhóm nếu biết thêm rằng có tổng số 20 học sinh trong nhóm?
b) Số học sinh nam lớn nhất có thể có trong nhóm là bao nhiêu nếu biết thêm rằng có 20 học sinh trong nhóm?
c) Tỷ lệ học sinh nữ trong tổng số học sinh của nhóm nhỏ nhất mà không có điều kiện bổ sung của điểm a) và b) là bao nhiêu?

Phân tích cú pháp tác vụ:

Đầu tiên, hãy đối phó với điều kiện:

(Song song với lời giải thích, giáo viên vẽ lại mọi thứ trên bảng đen).

Giả sử chúng ta có rất nhiều chàng trai đã đi xem phim và rất nhiều chàng trai đã đi xem phim. Tại vì người ta nói rằng họ đều đi, sau đó cả nhóm hoặc là trong bộ những chàng trai đã đi xem phim, hoặc trong bộ những chàng trai đã đi xem phim. Nơi mà các tập hợp này giao nhau là gì?

Có nghĩa là những người này đã đến rạp chiếu phim và rạp hát cùng một lúc.

Được biết, các chàng trai đến rạp không quá 2/11 tổng số các bạn đến rạp. Giáo viên yêu cầu một học sinh vẽ hình này trên bảng.

Và lẽ ra có thể có nhiều nam sinh đi xem phim hơn - không quá 2/5 tổng số học sinh trong nhóm.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp.

a) Chúng tôi có 9 học sinh nam, tổng số học sinh, hãy biểu thị N = 20, tất cả các điều kiện phải được đáp ứng. Nếu chúng ta có 9 trai, gái tương ứng thì 11. Mục a) có thể được giải trong hầu hết các trường hợp bằng phép liệt kê.

Giả sử rằng các chàng trai của chúng ta chỉ đi xem phim hoặc đến rạp hát.

Và các cô gái đi đi lại lại. (Màu xanh lam cho thấy nhiều bé trai và màu đen cho bé gái)

Vì chúng tôi chỉ có 9 chàng trai và, theo điều kiện, đã đến nhà hát ít con trai hơn, chúng tôi giả định rằng 2 cậu bé đã đến rạp hát và 7 cậu bé đến rạp chiếu phim. Và hãy xem điều kiện của chúng tôi có được đáp ứng không nhé.

Hãy kiểm tra nó trước trên ví dụ về nhà hát. Chúng tôi lấy số lượng các chàng trai đã đến rạp chiếu phim với tất cả những người đã đến rạp hát và cộng với số lượng các bé gái và so sánh giá trị này với:. Nhân giá trị này với 18 và với 5:.

Do đó phân số là 7/18 2/5. Do đó, điều kiện được đáp ứng cho rạp chiếu phim.

Bây giờ chúng ta hãy xem liệu điều kiện này có được đáp ứng cho rạp chiếu phim hay không. Độc lập, sau đó một học sinh viết bài giải lên bảng.

Trả lời: Nếu nhóm gồm 2 nam sinh chỉ đến rạp hát, 7 nam sinh chỉ đến xem rạp chiếu phim và 11 nữ sinh đi xem cả rạp hát và rạp chiếu phim thì thỏa mãn điều kiện của bài toán. Điều này có nghĩa là trong một nhóm 20 học sinh có thể có 9 nam sinh.

b) Giả sử có từ 10 bé trai trở lên. Sau đó có 10 cô gái hoặc ít hơn. Rạp chỉ có không quá 2 bé trai tham gia, vì nếu có 3 bé trai trở lên thì tỷ lệ bé trai trong rạp sẽ không ít = mà nhiều hơn.

Tương tự, không quá 7 cậu bé đến rạp chiếu phim, bởi vì sau đó ít nhất một cậu bé không đến thăm rạp hát hoặc rạp chiếu phim, điều này mâu thuẫn với điều kiện.

Trong đoạn trước, người ta chỉ ra rằng có thể có 9 nam sinh trong một nhóm 20 học sinh. Vì vậy, số học sinh nam lớn nhất trong nhóm là 9 em.

c) Giả sử một cậu bé nào đó đã đến cả rạp hát và rạp chiếu phim. Nếu thay vì anh ta có hai chàng trai trong nhóm, một trong số họ chỉ đến thăm rạp hát và người kia chỉ đến rạp chiếu phim, thì tỷ lệ trẻ em trai trong cả rạp hát và rạp chiếu phim sẽ không đổi và tổng tỷ lệ trẻ em gái. sẽ trở nên nhỏ hơn. Do đó, để ước tính tỷ lệ bé gái nhỏ nhất trong nhóm, chúng ta có thể giả định rằng mỗi chàng trai hoặc chỉ đến rạp hát hoặc chỉ đến rạp chiếu phim.

Hãy để trong nhóm những cậu bé đã đến thăm nhà hát, những cậu bé đã đến thăm rạp chiếu phim, và d các cô gái.

Hãy để chúng tôi ước tính tỷ lệ trẻ em gái trong nhóm này. Giả sử rằng tất cả các cô gái đều đến rạp hát và rạp chiếu phim là 0, vì tỷ lệ của họ trong nhóm sẽ không thay đổi so với điều này, và tỷ lệ trong rạp hát và rạp chiếu phim sẽ không giảm.

Nếu nhóm gồm 2 nam sinh chỉ đến rạp, 6 nam chỉ đến xem rạp và 9 nữ nhóm bằng nhau.

Trong cuộc sống hàng ngày, trong hoạt động thực tiễn và khoa học, chúng ta thường quan sát những hiện tượng nhất định, tiến hành những thí nghiệm nhất định. Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong quá trình quan sát hoặc thí nghiệm được gọi là sự kiện ngẫu nhiên. Ví dụ, một bóng đèn treo dưới trần nhà - không ai biết khi nào nó sẽ cháy hết. Mỗi sự kiện ngẫu nhiên là hệ quả của tác động của rất nhiều biến ngẫu nhiên (lực ném đồng xu, hình dạng của đồng xu, v.v.). Không thể tính đến ảnh hưởng của tất cả những nguyên nhân này đến kết quả, vì số lượng của chúng rất lớn và quy luật hoạt động chưa được biết rõ. Mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi một nhánh toán học đặc biệt gọi là lý thuyết xác suất. Lý thuyết xác suất không tự đặt ra nhiệm vụ dự đoán liệu một sự kiện đơn lẻ có xảy ra hay không - đơn giản là nó không thể làm được. Nếu chúng ta đang nói về các sự kiện ngẫu nhiên đồng nhất lớn, thì chúng tuân theo các mẫu nhất định, cụ thể là các mẫu xác suất. Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét việc phân loại các sự kiện. Phân biệt các sự kiện chung và không chung. Các sự kiện được gọi là chung nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia. Nếu không, các sự kiện được gọi là không tương thích. Ví dụ, hai con xúc xắc được tung. Sự kiện A - ba điểm trên con súc sắc đầu tiên, sự kiện B - ba điểm trên con thứ hai. A và B là các sự kiện chung. Cho cửa hàng nhận một lô giày cùng kiểu dáng và kích thước, nhưng khác màu. Sự kiện A - một hộp được lấy ngẫu nhiên sẽ có giày đen, sự kiện B - hộp sẽ có giày nâu, A và B là các sự kiện không tương thích. Một sự kiện được gọi là chắc chắn nếu nó nhất thiết phải xảy ra trong các điều kiện của một thử nghiệm nhất định. Một sự kiện được cho là không thể xảy ra nếu nó không thể xảy ra trong các điều kiện của kinh nghiệm đã cho. Ví dụ, trường hợp một bộ phận tiêu chuẩn được lấy từ một lô các bộ phận tiêu chuẩn là chắc chắn, nhưng một bộ phận không tiêu chuẩn là không thể. Một sự kiện được gọi là có thể xảy ra hoặc ngẫu nhiên nếu do kinh nghiệm, nó có thể xảy ra hoặc không. Ví dụ về sự kiện ngẫu nhiên là việc phát hiện ra các khuyết tật của sản phẩm trong quá trình kiểm soát một lô thành phẩm, sự khác biệt giữa kích cỡ của sản phẩm đã chế biến và sản phẩm đã cho, sự cố của một trong các liên kết của hệ thống kiểm soát tự động. Các sự kiện được cho là có khả năng xảy ra như nhau nếu trong các điều kiện của thử nghiệm, không có sự kiện nào trong số này có khả năng xảy ra một cách khách quan hơn các sự kiện khác. Ví dụ: giả sử một cửa hàng được một số nhà sản xuất cung cấp bóng đèn (và với số lượng bằng nhau). Các sự kiện bao gồm việc mua bóng đèn từ bất kỳ nhà máy nào trong số này đều có thể xảy ra như nhau. Một khái niệm quan trọng là nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Một số sự kiện trong một thử nghiệm nhất định tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nếu ít nhất một trong số chúng nhất thiết phải xuất hiện do kết quả của thử nghiệm. Ví dụ, có mười quả bóng trong một cái bình, trong đó sáu quả bóng màu đỏ và bốn quả bóng màu trắng, năm quả bóng được đánh số. A - sự xuất hiện của một quả bóng màu đỏ trong một trận hòa, B - sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng, C - sự xuất hiện của một quả bóng có một con số. Các sự kiện A, B, C tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện chung. Sự kiện có thể ngược lại, hoặc bổ sung. Sự kiện đối lập được hiểu là sự kiện nhất thiết phải xảy ra nếu chưa xảy ra sự kiện A. Các sự kiện đối lập không tương thích và là sự kiện duy nhất có thể xảy ra. Chúng tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh. Ví dụ, nếu một lô sản phẩm được sản xuất bao gồm các mặt hàng tốt và bị lỗi, thì khi một mặt hàng bị loại bỏ, nó có thể trở thành sự kiện tốt - sự kiện A hoặc bị lỗi - sự kiện. Hãy xem xét một ví dụ. Họ ném một con xúc xắc (tức là một khối lập phương nhỏ, trên các mặt của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 bị loại ra). Khi ném một con xúc xắc, một điểm, hai điểm, ba điểm, v.v. có thể rơi vào mặt trên của nó. Mỗi kết quả này là ngẫu nhiên. Một thử nghiệm như vậy đã được thực hiện. Xúc xắc được ném 100 lần và quan sát xem biến cố "6 điểm rơi trên con xúc xắc" xảy ra bao nhiêu lần. Hóa ra trong loạt thí nghiệm này, "sáu" đã rơi ra 9 lần. Số 9, cho biết số lần sự kiện được đề cập đã xảy ra trong thử nghiệm này, được gọi là tần suất của sự kiện này và tỷ lệ của tần suất trên tổng số thử nghiệm, bằng nhau, được gọi là tần suất tương đối của sự kiện này. biến cố. Nói chung, hãy để một thử nghiệm nhất định được thực hiện lặp đi lặp lại trong cùng các điều kiện và mỗi lần thử là cố định xem sự kiện A mà chúng ta quan tâm có xảy ra hay không. Xác suất của sự kiện được biểu thị bằng chữ cái La tinh viết hoa P. Khi đó xác suất của biến cố A sẽ được ký hiệu là: P (A). Định nghĩa cổ điển của xác suất: Xác suất của một sự kiện A bằng tỷ số giữa số trường hợp m có lợi cho nó, trong tổng số n của các trường hợp duy nhất có thể, như nhau và không tương thích, với số n, tức là Do đó, để tìm xác suất của một sự kiện, cần phải: xem xét các kết quả thử nghiệm khác nhau; tìm tổng của các trường hợp duy nhất có thể, bằng nhau và không tương thích, tính tổng số n của chúng, số trường hợp m có lợi cho biến cố đã cho; thực hiện một phép tính công thức. Theo công thức, xác suất của một sự kiện là một số không âm và có thể thay đổi từ 0 đến một, tùy thuộc vào tỷ lệ của số trường hợp thuận lợi trong tổng số trường hợp: Hãy xem xét một ví dụ khác. Có 10 quả bóng trong một hộp. 3 trong số đó là màu đỏ, 2 màu xanh lá cây, còn lại là màu trắng. Tìm xác suất để một quả bóng được rút ra ngẫu nhiên có màu đỏ, xanh lục hoặc trắng. Sự xuất hiện của các quả bóng màu đỏ, xanh lá cây và trắng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện. Hãy biểu thị sự xuất hiện của quả bóng màu đỏ - sự kiện A, sự xuất hiện của quả bóng màu xanh lá cây - sự kiện B, sự xuất hiện của quả bóng màu trắng - sự kiện C. Sau đó, theo công thức đã viết ở trên, chúng ta thu được:; ; Lưu ý rằng xác suất xuất hiện của một trong hai sự kiện không tương thích từng cặp bằng tổng xác suất của những sự kiện này. Tần suất tương đối của sự kiện A là tỷ số giữa số trải nghiệm dẫn đến sự kiện A trên tổng số trải nghiệm. Sự khác biệt giữa tần suất tương đối và xác suất nằm ở chỗ xác suất được tính mà không có sản phẩm trực tiếp của các thử nghiệm và tần suất tương đối - sau khi trải nghiệm. Vì vậy, trong ví dụ trên, nếu 5 quả bóng được lấy ra từ hộp một cách ngẫu nhiên và 2 quả bóng chuyển sang màu đỏ, thì tần số tương đối của sự xuất hiện của quả bóng màu đỏ là: Như bạn thấy, giá trị này không trùng với xác suất tìm thấy. Với một số lượng đủ lớn các thí nghiệm được thực hiện, tần số tương đối ít thay đổi, dao động xung quanh một số. Con số này có thể được coi là xác suất của sự kiện. xác suất hình học. Định nghĩa cổ điển của xác suất giả định rằng số lượng kết quả cơ bản là hữu hạn, điều này cũng hạn chế ứng dụng của nó trong thực tế. Trong trường hợp có một bài kiểm tra với vô số kết quả, định nghĩa xác suất hình học được sử dụng - đánh vào một điểm trong một khu vực. Khi xác định xác suất hình học, người ta giả định rằng có một vùng N và một vùng nhỏ hơn M. Một điểm được ném ngẫu nhiên vào vùng N (điều này có nghĩa là tất cả các điểm trong vùng N đều “bằng nhau” về mặt nhận được một điểm ném ngẫu nhiên tại đó). Biến cố A - "điểm ném trúng vùng M". Diện tích M được gọi là thuận lợi với biến cố A. Xác suất lọt vào một phần bất kỳ của khu vực N tỉ lệ với số đo của phần này và không phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của nó. Diện tích được bao phủ bởi xác suất hình học có thể là: một đoạn (số đo là chiều dài) một hình hình học trên mặt phẳng (số đo là diện tích) một thể hình học trong không gian (số đo là thể tích) Hãy xác định xác suất hình học cho trường hợp của một hình phẳng. Gọi diện tích M là một phần của diện tích N. Biến cố A bao gồm việc ném một chất điểm ngẫu nhiên vào khu vực N trong khu vực M. Xác suất hình học của biến cố A là tỷ số giữa diện tích của khu vực M thành khu vực khu vực N: Trong trường hợp này, xác suất của một điểm ném ngẫu nhiên vào biên giới của khu vực được coi là bằng không. Hãy xem xét một ví dụ: Một chiếc đồng hồ cơ có mặt số 12 giờ bị hỏng và ngừng hoạt động. Tìm xác suất để kim giờ bị đơ lúc 5 giờ nhưng không đơ lúc 8 giờ. Quyết định. Số lượng kết quả là vô hạn, chúng tôi áp dụng định nghĩa của xác suất hình học. Do đó, khu vực từ 5 đến 8 giờ là một phần của khu vực của toàn bộ mặt số. Các phép toán trên sự kiện: Sự kiện A và B được gọi là bằng nhau nếu sự xuất hiện của sự kiện A kéo theo sự xuất hiện của sự kiện B và ngược lại. Một liên hợp hoặc tổng các sự kiện là một sự kiện A, có nghĩa là sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện. A = Giao điểm hoặc sản phẩm của các sự kiện được gọi là sự kiện A, bao gồm việc thực hiện tất cả các sự kiện. A =? Sự khác biệt giữa sự kiện A và B được gọi là sự kiện C, có nghĩa là sự kiện A xảy ra, nhưng sự kiện B. không xảy ra C = AB Ví dụ: A + B - “2 rơi ra; 4; 6 hoặc 3 điểm ”A B -“ 6 điểm được tung ra ”A - B -“ 2 và 4 điểm được tung ra ”Một sự kiện bổ sung cho sự kiện A là một sự kiện có nghĩa là sự kiện A không xảy ra. Kết quả cơ bản của kinh nghiệm là những kết quả của kinh nghiệm loại trừ lẫn nhau và do kết quả của kinh nghiệm mà một trong những sự kiện này xảy ra, bất kể sự kiện A là gì, bằng kết quả cơ bản đã xảy ra, người ta có thể đánh giá liệu sự kiện này xảy ra hay không xảy ra. Tổng thể của tất cả các kết quả cơ bản của kinh nghiệm được gọi là không gian của các sự kiện cơ bản. Các tính chất của xác suất: Tính chất 1. Nếu mọi trường hợp đều thuận lợi cho biến cố A cho trước thì biến cố này chắc chắn xảy ra. Do đó, sự kiện đang xét là chắc chắn, và xác suất xảy ra của nó, vì trong trường hợp này là Tính chất 2. Nếu không có trường hợp nào thuận lợi cho sự kiện A này, thì sự kiện này không thể xảy ra do kết quả của thực nghiệm. Do đó, sự kiện đang xét là không thể xảy ra, và xác suất xuất hiện của nó, vì trong trường hợp này m = 0: Tính chất 3. Xác suất xuất hiện của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một. Tính chất 4. Xác suất xảy ra biến cố ngược lại được xác định giống như xác suất xuất hiện biến cố A: trong đó (n-m) là số trường hợp có lợi cho biến cố ngược lại. Do đó, xác suất của sự kiện ngược lại xảy ra bằng hiệu giữa một và xác suất của sự kiện xảy ra A: Phép cộng và phép nhân các xác suất. Biến cố A được gọi là trường hợp đặc biệt của biến cố B nếu khi A xảy ra thì B cũng xảy ra, việc A là trường hợp đặc biệt của B nên ta viết A? B. Các sự kiện A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi sự kiện là một trường hợp đặc biệt của sự kiện kia. Ta viết đẳng thức của các biến cố A và B là A \ u003d B. Tổng các biến cố A và B là biến cố A + B, xảy ra nếu và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố xảy ra: A hoặc B. Định lý cộng xác suất 1. Xác suất xảy ra một trong hai sự kiện xung khắc bằng tổng xác suất của các sự kiện này. P = P + P và chỉ khi xảy ra đồng thời cả hai sự kiện: A và B. Các sự kiện ngẫu nhiên A và B được gọi là chung nếu cả hai sự kiện này có thể xảy ra trong một thử nghiệm nhất định. Định lý cộng 2. Xác suất của tổng các biến cố chung được tính bằng công thức P = P + P-P Ví dụ về các nhiệm vụ trong định lý cộng. Trong phần thi hình học, học sinh nhận được một câu hỏi trong danh sách các đề thi. Xác suất để đây là một câu hỏi nội tiếp đường tròn là 0,2. Xác suất đây là câu hỏi Hình bình hành là 0,15. Không có câu hỏi nào liên quan đến hai chủ đề này cùng một lúc. Tìm xác suất để sinh viên đó đạt được câu hỏi thuộc một trong hai chủ đề này trong kỳ thi. Quyết định. Xác suất tổng của hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố này: 0,2 + 0,15 = 0,35. Đáp số: 0,35. Hai máy bán hàng tự động giống hệt nhau bán cà phê trong trung tâm mua sắm. Xác suất để máy hết cà phê vào cuối ngày là 0,3. Xác suất để cả hai máy hết cà phê là 0,12. Tìm xác suất để đến cuối ngày còn lại cà phê ở cả hai máy bán hàng tự động. Quyết định. Xét các sự kiện A - "cà phê sẽ kết thúc ở máy thứ nhất", B - "cà phê sẽ kết thúc ở máy thứ hai". Sau đó A B - "cà phê sẽ kết thúc ở cả hai máy bán hàng tự động", A + B - "cà phê sẽ kết thúc ở ít nhất một máy bán hàng tự động". Theo điều kiện P (A) = P (B) = 0,3; P (A B) = 0,12. Các sự kiện A và B là chung, xác suất của tổng hai sự kiện chung bằng tổng xác suất của các sự kiện này mà không có xác suất tích của chúng: P (A + B) = P (A) + P (B) ? P (A B) = 0,3 + 0,3? 0,12 = 0,48. Do đó, xác suất của trường hợp ngược lại, bao gồm cả cà phê vẫn còn trong cả hai máy, bằng 1? 0,48 = 0,52. Đáp số: 0,52. Các sự kiện của sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu sự xuất hiện của một trong số chúng không làm thay đổi xác suất xảy ra của sự kiện kia. Sự kiện A được cho là phụ thuộc vào sự kiện B nếu xác suất của sự kiện A thay đổi tùy thuộc vào việc sự kiện B có xảy ra hay không. Xác suất có điều kiện P (A | B) của một sự kiện A là xác suất được tính toán giả sử rằng sự kiện B đã xảy ra. Tương tự, P (B | A) biểu thị xác suất có điều kiện của một sự kiện B, với điều kiện A đã xảy ra. Đối với các sự kiện độc lập, theo định nghĩa, P (A | B) = P (A); P (B | A) = P (B) Định lý nhân cho các sự kiện phụ thuộc Xác suất của tích các sự kiện phụ thuộc bằng tích be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Đáp số: 0,0296.

Năm 2003, một quyết định đã được đưa ra để đưa các yếu tố của lý thuyết xác suất vào môn toán của trường phổ thông (thư hướng dẫn số 03-93in / 13-03 ngày 23 tháng 9 năm 2003 của Bộ Giáo dục Liên bang Nga “Về việc đưa các yếu tố của tổ hợp, thống kê và lý thuyết xác suất vào nội dung giáo dục toán học tiểu học”, “Toán học ở trường”, số 9 năm 2003). Vào thời điểm này, các yếu tố của lý thuyết xác suất đã có mặt ở nhiều dạng khác nhau trong các sách giáo khoa đại số học nổi tiếng dành cho các lớp học khác nhau trong hơn mười năm (ví dụ, I.F. “Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 7-9 của các cơ sở giáo dục” được biên tập bởi G.V. Dorofeev; “Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa dành cho lớp 10-11 của các cơ sở giáo dục phổ thông" G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova "), và dưới dạng đồ dùng dạy học riêng biệt. Tuy nhiên, việc trình bày tài liệu về lý thuyết xác suất trong đó, như một quy luật, không có tính hệ thống và các giáo viên thường không đề cập đến những phần này, không đưa chúng vào chương trình giảng dạy. Tài liệu được Bộ Giáo dục thông qua năm 2003 quy định việc đưa các phần này vào các khóa học ở trường dần dần, theo từng giai đoạn, tạo điều kiện cho cộng đồng giảng dạy chuẩn bị cho những thay đổi tương ứng. Năm 2004-2008 Một số sách giáo khoa đang được xuất bản để bổ sung cho sách giáo khoa đại số hiện có. Đây là các ấn phẩm của Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Lý thuyết xác suất và thống kê", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Lý thuyết xác suất và thống kê: Hướng dẫn của giáo viên", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Đại số: các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất: SGK. Phụ cấp cho học sinh 7-9 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức ”, Tkacheva M.V., Fedorova N.E. “Yếu tố thống kê và xác suất: Proc. Phụ cấp cho 7-9 ô. giáo dục phổ thông thể chế." Đồ dùng dạy học cũng có sẵn để trợ giúp giáo viên. Trong một số năm, tất cả các đồ dùng dạy học này đã được thử nghiệm trong các trường học. Trong điều kiện giai đoạn chuyển tiếp đưa vào chương trình giảng dạy ở trường học đã kết thúc và các phần thống kê và lý thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình giảng dạy của các lớp 7-9, hãy phân tích và hiểu về tính nhất quán của các định nghĩa và ký hiệu chính được sử dụng trong các sách giáo khoa này bắt buộc. Tất cả những sách giáo khoa này được tạo ra trong bối cảnh không có truyền thống dạy các phần toán này ở trường. Sự vắng mặt này, dù vô tình hay cố ý, đã kích động các tác giả của sách giáo khoa so sánh chúng với sách giáo khoa hiện có cho các trường đại học. Loại thứ hai, tùy thuộc vào truyền thống đã được thiết lập trong các chuyên ngành riêng của giáo dục đại học, thường cho phép có sự mâu thuẫn về mặt thuật ngữ và sự khác biệt đáng kể trong việc chỉ định các khái niệm và công thức cơ bản. Phân tích nội dung của các sách giáo khoa trên cho thấy ngày nay các em đã kế thừa những đặc điểm này từ sách giáo khoa phổ thông. Với mức độ chính xác cao hơn, có thể lập luận rằng việc lựa chọn tài liệu giáo dục cụ thể cho các phần toán học mới cho nhà trường, liên quan đến khái niệm "ngẫu nhiên", hiện đang diễn ra theo cách ngẫu nhiên nhất, cho đến tên và ký hiệu. Vì vậy, các nhóm tác giả của các sách giáo khoa hàng đầu về lý thuyết xác suất và thống kê đã quyết định tham gia nỗ lực của họ dưới sự bảo trợ của Viện Giáo dục Mở Mátxcơva để phát triển các quan điểm nhất trí về việc thống nhất các định nghĩa và ký hiệu chính được sử dụng trong sách giáo khoa về lý thuyết xác suất. và số liệu thống kê. Hãy phân tích phần giới thiệu chủ đề "Lý thuyết xác suất" trong sách giáo khoa của nhà trường. Đặc điểm chung: Nội dung dạy học chủ đề “Các yếu tố của lý thuyết xác suất”, nổi bật trong “Chương trình các cơ sở giáo dục phổ thông môn Toán”, đảm bảo phát triển hơn nữa năng lực toán học của học sinh, hướng tới các nghề có liên quan nhiều đến toán học. , và chuẩn bị cho việc học tại một trường đại học. Tính cụ thể của nội dung toán học của chủ đề đang được xem xét giúp cho việc cụ thể hóa nhiệm vụ chính đã được xác định là nghiên cứu sâu về toán học như sau. 1. Tiếp tục bộc lộ nội dung toán học như một hệ thống kiến ​​thức suy luận. - xây dựng hệ thống định nghĩa về các khái niệm cơ bản; - xác định các thuộc tính bổ sung của các khái niệm được giới thiệu; - để thiết lập các kết nối giữa các khái niệm được giới thiệu và các khái niệm đã nghiên cứu trước đó. 2. Hệ thống hóa một số cách giải bài toán xác suất; tiết lộ thành phần hoạt động của việc tìm kiếm giải pháp cho các vấn đề thuộc một số loại nhất định. 3. Tạo điều kiện cho sinh viên hiểu và lĩnh hội được ý chính về ý nghĩa thực tiễn của lý thuyết xác suất thông qua việc phân tích các dữ kiện lý thuyết chính. Để tiết lộ những ứng dụng thực tế của lý thuyết được nghiên cứu trong chủ đề này. Việc đạt được các mục tiêu giáo dục đã đặt ra sẽ được tạo điều kiện thuận lợi bởi giải pháp của các nhiệm vụ sau: 1. Hình thành ý tưởng về các cách khác nhau để xác định xác suất của một sự kiện (thống kê, cổ điển, hình học, tiên đề) 2. Hình thành kiến ​​thức về các thao tác cơ bản trên các sự kiện và khả năng áp dụng chúng để mô tả một số sự kiện thông qua các sự kiện khác. 3. Để tiết lộ bản chất của lý thuyết cộng và nhân các xác suất; xác định giới hạn của việc sử dụng các định lý này. Chỉ ra các ứng dụng của chúng để lấy ra các công thức xác suất đầy đủ. 4. Xác định các thuật toán tìm xác suất của các sự kiện a) theo định nghĩa cổ điển của xác suất; b) về lý thuyết cộng và nhân; c) theo công thức 0,99 + 0,98P (A | Bn) Xét một ví dụ: Một dây chuyền tự động sản xuất pin. Xác suất để một viên pin thành phẩm bị lỗi là 0,02. Trước khi đóng gói, mỗi viên pin đi qua một hệ thống kiểm soát. Xác suất hệ thống từ chối pin kém là 0,99. Xác suất hệ thống từ chối nhầm một pin tốt là 0,01. Tìm xác suất để một pin được chọn ngẫu nhiên sẽ bị loại. Quyết định. Tình huống pin bị từ chối có thể phát sinh do các sự kiện sau: A - “pin thực sự bị lỗi và bị loại khá” hoặc B - “pin tốt nhưng bị từ chối do nhầm lẫn”. Đây là các sự kiện xung khắc, xác suất tổng của chúng bằng tổng xác suất của các sự kiện này. Ta có: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,02P (A | B3) +… + P (Bn) P (A | B2) + P (B3) P (A | B1 ) + P (B2) xác suất của một trong số chúng bằng xác suất có điều kiện của xác suất còn lại, với điều kiện điều đầu tiên xảy ra: P (A B) = P (A) P (B | A) P (A B) = P ( B) P (A | B) (tùy thuộc vào sự kiện nào xảy ra trước). Hệ quả từ định lý: Định lý nhân cho các biến cố độc lập. Xác suất của một tích của các sự kiện độc lập bằng tích các xác suất của chúng: P (A B) = P (A) P (B) Nếu A và B độc lập thì các cặp cũng độc lập: (;), (; BA;). Ví dụ về các nhiệm vụ trong định lý nhân: Nếu kiện tướng A. chơi màu trắng thì ông ta thắng kiện tướng B. với xác suất 0,52. Nếu A. chơi đen thì A. đánh B. với xác suất là 0,3. Các kiện tướng A. và B. chơi hai ván, và trong ván thứ hai, họ đổi màu các quân cờ. Tìm xác suất để A. thắng cả hai lần. Quyết định. Cơ hội giành chiến thắng trong trò chơi đầu tiên và thứ hai là độc lập với nhau. Xác suất của tích của các sự kiện độc lập bằng tích của các xác suất của chúng: 0,52 0,3 = 0,156. Đáp số: 0,156. Cửa hàng có hai máy thanh toán. Mỗi lỗi trong số chúng đều có thể bị lỗi với xác suất 0,05, không phụ thuộc vào ô tô khác. Tìm xác suất để ít nhất một ô tô có thể sử dụng được. Quyết định. Tìm xác suất để cả hai dữ liệu tự động bị lỗi. Các sự kiện này là độc lập, xác suất tích của chúng bằng tích các xác suất của các sự kiện này: 0,05 0,05 = 0,0025. Một sự kiện bao gồm thực tế là ít nhất một automaton có thể sử dụng được thì ngược lại. Do đó, xác suất của nó là 1? 0,0025 = 0,9975. Đáp số: 0,9975. Công thức xác suất toàn phần Hệ quả của các định lý cộng và nhân các xác suất là công thức xác suất toàn phần: Xác suất P (A) của biến cố A, chỉ có thể xảy ra nếu một trong các biến cố (giả thuyết) B1, B2, B3 ... Bn xảy ra, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo từng cặp, bằng tổng tích các xác suất của mỗi sự kiện (giả thuyết) B1, B2, B3, ..., Bn và các xác suất có điều kiện tương ứng của sự kiện A: P (A) = P (B1) của tổng xác suất. 5. Hình thành một đơn thuốc cho phép bạn lựa chọn một cách hợp lý một trong các thuật toán khi giải một bài toán cụ thể. Các mục tiêu giáo dục được lựa chọn để nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất sẽ được bổ sung bằng cách thiết lập các mục tiêu phát triển và giáo dục. Phát triển mục tiêu: hình thành ở học sinh niềm yêu thích môn học, xác định và phát triển năng lực toán học; trong quá trình học tập để phát triển các lĩnh vực lời nói, tư duy, cảm xúc và động cơ cụ thể; Học sinh độc lập tìm ra những cách giải quyết vấn đề và nhiệm vụ mới; ứng dụng kiến ​​thức trong các tình huống và hoàn cảnh mới; phát triển khả năng giải thích các sự kiện, mối liên hệ giữa các hiện tượng, chuyển đổi vật chất từ ​​hình thức biểu diễn này sang hình thức biểu diễn khác (bằng lời nói, ký hiệu, hình ảnh); dạy học chứng minh sự vận dụng đúng đắn các phương pháp, thấy được tính logic của suy luận, sự giống nhau và khác nhau của các sự vật hiện tượng. Mục tiêu giáo dục: hình thành ở học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ, hệ thống quan điểm về thế giới, khả năng tuân theo các chuẩn mực hành vi trong xã hội; hình thành nhu cầu của cá nhân, động cơ của hành vi xã hội, hoạt động, giá trị và định hướng giá trị; giáo dục con người có khả năng tự giáo dục và tự giáo dục. Hãy cùng phân tích sách giáo khoa đại số lớp 9 "Đại số: các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất" Makarychev Yu.N. Sách giáo khoa này dành cho học sinh từ lớp 7-9, nó bổ sung cho các sách giáo khoa: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Đại số 7", "Đại số 8", "Đại số 9", do Telyakovsky S.A biên tập. Cuốn sách bao gồm bốn đoạn văn. Mỗi đoạn có thông tin lý thuyết và các bài tập liên quan. Ở cuối đoạn văn, các bài tập lặp lại được đưa ra. Đối với mỗi đoạn, các bài tập bổ sung có mức độ phức tạp cao hơn được đưa ra so với các bài tập chính. Theo “Chương trình dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông”, 15 giờ được dành cho việc nghiên cứu chủ đề “Lý thuyết xác suất và thống kê” trong môn đại số của trường. Tài liệu về chủ đề này thuộc chủ đề lớp 9 và được trình bày thành các đoạn văn sau: §3 "Phần tử của tổ hợp" gồm 4 điểm: Các ví dụ về các bài toán tổ hợp. Các ví dụ đơn giản chứng minh lời giải của các bài toán tổ hợp bằng cách liệt kê các phương án khả thi. Phương pháp này được minh họa bằng cách xây dựng một cây các phương án khả thi. Quy tắc nhân được coi là. Hoán vị. Bản thân khái niệm và công thức đếm các hoán vị được giới thiệu. Phòng ở. Khái niệm được giới thiệu trên một ví dụ cụ thể. Công thức cho số lượng vị trí được bắt nguồn. Sự kết hợp. Khái niệm và công thức của số tổ hợp. Mục đích của phần này là cung cấp cho học sinh những cách khác nhau để mô tả tất cả các sự kiện cơ bản có thể có trong các loại trải nghiệm ngẫu nhiên khác nhau. §4 "Thông tin ban đầu từ lý thuyết xác suất". Việc trình bày tài liệu bắt đầu với việc xem xét thí nghiệm, sau đó các khái niệm về "sự kiện ngẫu nhiên" và "tần suất tương đối của một sự kiện ngẫu nhiên" được giới thiệu. Một định nghĩa thống kê và cổ điển của xác suất được giới thiệu. Đoạn văn kết thúc với điểm "cộng và nhân các xác suất." Các định lý về phép cộng và nhân các xác suất được xem xét, các khái niệm liên quan của các sự kiện không tương thích, ngược chiều, độc lập được giới thiệu. Tài liệu này được thiết kế dành cho những học sinh yêu thích và có năng khiếu về toán học và có thể được sử dụng cho công việc cá nhân hoặc trong các hoạt động ngoại khóa với học sinh. Các khuyến nghị về phương pháp luận cho sách giáo khoa này được đưa ra trong một số bài báo của Makarychev và Mindyuk (“Các yếu tố tổ hợp trong khóa học đại số trường học”, “Thông tin ban đầu từ lý thuyết xác suất trong khóa học đại số trường học”). Và cũng có một số nhận xét quan trọng về hướng dẫn này có trong bài viết của Studenetskaya và Fadeeva, sẽ giúp tránh những sai lầm khi làm việc với giáo trình này. Mục đích: chuyển từ mô tả định tính các sự kiện sang mô tả toán học. Chủ đề "Lý thuyết xác suất" trong sách giáo khoa của Mordkovich A.G., Semenov P.V. dành cho lớp 9-11. Hiện tại, một trong những sách giáo khoa hiện có trong trường là sách giáo khoa của Mordkovich A.G., Semenov P.V. "Sự kiện, xác suất, xử lý số liệu thống kê", nó còn có thêm chương dành cho lớp 7-9. Hãy phân tích nó. Theo Chương trình Làm việc Đại số, 20 giờ được phân bổ cho việc nghiên cứu chủ đề “Các yếu tố của tổ hợp, thống kê và lý thuyết xác suất”. Tài liệu về chủ đề "Lý thuyết xác suất" được trình bày trong các đoạn văn sau: § 1. Các bài toán tổ hợp đơn giản nhất. Quy tắc nhân và cây các biến thể. Hoán vị. Nó bắt đầu với một bài toán tổ hợp đơn giản, sau đó xem xét một bảng các phương án có thể, trong đó chỉ ra nguyên tắc của quy tắc nhân. Sau đó, cây của các biến thể và hoán vị có thể được xem xét. Sau phần tài liệu lý thuyết là phần bài tập cho từng tiểu mục. § 2. Lựa chọn một số phần tử. Sự kết hợp. Đầu tiên, công thức cho 2 phần tử được hiển thị, sau đó cho ba phần tử và sau đó là công thức chung cho n phần tử. § 3. Các sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của chúng. Định nghĩa cổ điển của xác suất được giới thiệu. Ưu điểm của sổ tay này là nó là một trong số ít có chứa các đoạn văn liên quan đến bảng và cây của các biến thể. Những điểm này là cần thiết vì chính các bảng và cây tùy chọn dạy cho học sinh về cách trình bày và phân tích ban đầu của dữ liệu. Cũng trong sách giáo khoa này, công thức kết hợp được giới thiệu thành công trước tiên cho hai phần tử, sau đó cho ba phần tử và tổng quát hóa cho n phần tử. Về tổ hợp, tài liệu được trình bày thành công. Mỗi đoạn có chứa các bài tập, cho phép bạn củng cố tài liệu. Nhận xét về hướng dẫn này có trong bài báo của Studenetskaya và Fadeeva. Ở lớp 10, ba đoạn văn được đưa ra về chủ đề này. Trong phần đầu tiên của chúng “Quy tắc nhân. Hoán vị và thừa số ”, ngoài quy tắc nhân, trọng tâm chính là suy ra hai phép đồng dạng tổ hợp cơ bản từ quy tắc này: cho số hoán vị và cho số tập con có thể có của một tập hợp gồm n phần tử. Đồng thời, thừa tử ra đời như một cách thuận tiện để rút gọn câu trả lời trong nhiều bài toán tổ hợp cụ thể trước khi có khái niệm "hoán vị". Trong đoạn văn thứ hai lớp 10 “Lựa chọn nhiều yếu tố. Hệ số nhị thức ”được coi là các bài toán tổ hợp cổ điển liên quan đến việc lựa chọn đồng thời (hoặc tuần tự) một số phần tử từ một tập hợp hữu hạn cho trước. Điều quan trọng nhất và thực sự mới đối với trường phổ thông Nga là đoạn cuối cùng "Các sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của chúng." Nó được coi là sơ đồ xác suất cổ điển, phân tích các công thức P (A + B) + P (AB) = P (A) + P (B), P () = 1-P (A), P (A) = 1- P () và cách sử dụng chúng. Đoạn văn kết thúc với sự chuyển đổi sang các lần lặp lại độc lập của bài kiểm tra với hai kết quả. Đây là mô hình xác suất quan trọng nhất theo quan điểm thực tế (thử nghiệm Bernoulli), có một số lượng ứng dụng đáng kể. Tài liệu sau này hình thành sự chuyển tiếp giữa nội dung của tài liệu giáo dục lớp 10 và lớp 11. Ở lớp 11, chuyên đề "Các yếu tố của lý thuyết xác suất" được dành cho hai đoạn văn trong sách giáo khoa và sách bài tập. § 22 đề cập đến các xác suất hình học, § 23 lặp lại và mở rộng kiến ​​thức về các phép thử lặp lại độc lập với hai kết quả.

Các sự kiện xảy ra trong thực tế hoặc trong trí tưởng tượng của chúng ta có thể được chia thành 3 nhóm. Đây là những sự kiện nhất định phải xảy ra, những sự kiện không thể xảy ra và những sự kiện ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên, tức là các sự kiện có thể xảy ra hoặc không. Bài viết này sẽ được trình bày trong tóm lược các công thức lý thuyết xác suất và các ví dụ về giải các bài toán trong lý thuyết xác suất, sẽ nằm trong nhiệm vụ thứ 4 của phần SỬ DỤNG trong toán học (cấp độ hồ sơ).

Tại sao chúng ta cần lý thuyết xác suất

Về mặt lịch sử, nhu cầu nghiên cứu những vấn đề này xuất hiện vào thế kỷ 17 liên quan đến sự phát triển và chuyên nghiệp hóa của bài bạc và sự ra đời của sòng bạc. Đó là một hiện tượng thực tế cần phải học tập và nghiên cứu.

Chơi bài, xúc xắc, cò quay đã tạo ra các tình huống trong đó bất kỳ sự kiện nào trong một số hữu hạn các sự kiện có thể xảy ra như nhau đều có thể xảy ra. Cần phải đưa ra các ước tính bằng số về khả năng xảy ra một sự kiện.

Vào thế kỷ 20, hóa ra khoa học tưởng như phù phiếm này lại đóng vai trò vai trò quan trọng trong kiến ​​thức về các quá trình cơ bản xảy ra trong microworld. Lý thuyết xác suất hiện đại được tạo ra.

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất là các sự kiện và xác suất của chúng. Nếu sự kiện phức tạp, thì nó có thể được chia thành các thành phần đơn giản, dễ dàng tìm thấy xác suất của sự kiện đó.

Tổng các sự kiện A và B được gọi là sự kiện C, bao gồm thực tế là sự kiện A hoặc sự kiện B hoặc các sự kiện A và B xảy ra cùng một lúc.

Tích của các sự kiện A và B là sự kiện C, bao gồm thực tế là cả sự kiện A và sự kiện B đã xảy ra.

Sự kiện A và B được cho là không tương thích nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc.

Một sự kiện A được cho là không thể xảy ra nếu nó không thể xảy ra. Một sự kiện như vậy được biểu thị bằng ký hiệu.

Một sự kiện A được gọi là chắc chắn nếu nó chắc chắn sẽ xảy ra. Một sự kiện như vậy được biểu thị bằng ký hiệu.

Cho mỗi sự kiện A được gán một số P (A). Số P (A) này được gọi là xác suất của biến cố A nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với sự tương ứng như vậy.

Một trường hợp cụ thể quan trọng là tình huống khi có các kết quả cơ bản có khả năng xảy ra như nhau, và tùy ý của các kết quả này tạo thành các sự kiện A. Trong trường hợp này, xác suất có thể được đưa ra bởi công thức. Xác suất được giới thiệu theo cách này được gọi là xác suất cổ điển. Nó có thể được chứng minh rằng các thuộc tính 1-4 giữ trong trường hợp này.

Các vấn đề trong lý thuyết xác suất, được tìm thấy trong kỳ thi toán học, chủ yếu liên quan đến xác suất cổ điển. Các nhiệm vụ như vậy có thể rất đơn giản. Đặc biệt đơn giản là các vấn đề trong lý thuyết xác suất trong phiên bản demo. Có thể dễ dàng tính toán số lượng kết quả thuận lợi, số lượng tất cả các kết quả được viết trực tiếp trong điều kiện.

Chúng tôi nhận được câu trả lời theo công thức.

Một ví dụ về một nhiệm vụ trong kỳ thi toán học để xác định xác suất

Có 20 cái bánh nướng trên bàn - 5 cái với bắp cải, 7 cái với táo và 8 cái với cơm. Marina muốn ăn một chiếc bánh. Xác suất để cô ấy lấy chiếc bánh gạo là bao nhiêu?

Quyết định.

Tổng cộng có 20 kết quả cơ bản tương đương, tức là Marina có thể nhận bất kỳ kết quả nào trong số 20 chiếc bánh. Nhưng chúng ta cần ước tính xác suất mà Marina sẽ lấy miếng gạo, tức là, A là lựa chọn của miếng gạo. Điều này có nghĩa là chúng ta có tổng cộng 8 kết quả thuận lợi (chọn bánh gạo). Khi đó xác suất sẽ được xác định theo công thức:

Sự kiện độc lập, đối lập và tùy ý

Tuy nhiên, các nhiệm vụ phức tạp hơn bắt đầu xuất hiện trong ngân hàng nhiệm vụ mở. Do đó, chúng ta hãy thu hút sự chú ý của người đọc đến các câu hỏi khác được nghiên cứu trong lý thuyết xác suất.

Các sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của mỗi sự kiện trong số chúng không phụ thuộc vào việc liệu sự kiện kia có xảy ra hay không.

Sự kiện B bao gồm thực tế là sự kiện A đã không xảy ra, tức là sự kiện B ngược lại với sự kiện A. Xác suất của sự kiện ngược lại bằng một trừ đi xác suất của sự kiện trực tiếp, tức là .

Các định lý, công thức cộng và nhân

Đối với các sự kiện A và B tùy ý, xác suất của tổng các sự kiện này bằng tổng các xác suất của chúng mà không có xác suất của chúng sự kiện chung, I E. .

Đối với các sự kiện độc lập A và B, xác suất của tích của các sự kiện này bằng tích các xác suất của chúng, tức là trong trường hợp này .

2 câu cuối cùng được gọi là các định lý cộng và nhân các xác suất.

Không phải lúc nào việc đếm số lượng kết quả cũng đơn giản như vậy. Trong một số trường hợp cần sử dụng các công thức tổ hợp. Điều quan trọng nhất là đếm số lượng sự kiện đáp ứng các điều kiện nhất định. Đôi khi những tính toán như vậy có thể trở thành những nhiệm vụ độc lập.

Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh vào 6 ghế trống? Học sinh đầu tiên sẽ thi bất kỳ vị trí nào trong số 6 vị trí. Mỗi lựa chọn này tương ứng với 5 cách xếp học sinh thứ hai. Đối với học sinh thứ ba có 4 vị trí miễn phí, đối với học sinh thứ tư - 3, đối với học sinh thứ năm - 2, học sinh thứ sáu sẽ chiếm vị trí duy nhất còn lại. Để tìm số lượng tất cả các lựa chọn, bạn cần tìm sản phẩm, được ký hiệu bằng ký hiệu 6! và đọc "sáu giai thừa".

TẠI trường hợp chung câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi công thức cho số hoán vị của n phần tử. Trong trường hợp của chúng tôi,.

Bây giờ hãy xem xét một trường hợp khác với học sinh của chúng tôi. Có bao nhiêu cách xếp được 2 học sinh vào 6 ghế trống? Học sinh đầu tiên sẽ thi bất kỳ vị trí nào trong số 6 vị trí. Mỗi lựa chọn này tương ứng với 5 cách xếp học sinh thứ hai. Để tìm số lượng tất cả các tùy chọn, bạn cần tìm sản phẩm.

Trong trường hợp tổng quát, câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi công thức về số vị trí của n phần tử của k phần tử

Trong trường hợp của chúng ta .

Và trường hợp cuối cùng từ loạt bài này. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong số 6 học sinh? Học sinh thứ nhất có thể được chọn theo 6 cách, học sinh thứ hai trong 5 cách và học sinh thứ ba trong 4 cách. Nhưng trong số các lựa chọn này, ba sinh viên giống nhau xảy ra 6 lần. Để tìm số lượng tất cả các tùy chọn, bạn cần tính giá trị:. Trong trường hợp tổng quát, câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi công thức về số lượng kết hợp của các phần tử theo các phần tử:

Trong trường hợp của chúng ta .

Ví dụ về việc giải các bài toán trong kỳ thi môn toán để xác định xác suất

Nhiệm vụ 1. Từ bộ sưu tập, ed. Yashchenko.

Có 30 cái bánh trên một đĩa: 3 cái với thịt, 18 cái với bắp cải và 9 cái với anh đào. Sasha chọn ngẫu nhiên một chiếc bánh. Tìm xác suất để anh ta hái được một quả anh đào.

.

Đáp số: 0,3.

Vấn đề 2. Từ bộ sưu tập, ed. Yashchenko.

Trong mỗi lô 1000 bóng đèn, trung bình có 20 bóng đèn bị lỗi. Tìm xác suất để một bóng đèn được chọn ngẫu nhiên từ một lô là tốt.

Bài giải: Số bóng đèn có thể sử dụng được là 1000-20 = 980 bóng đèn. Khi đó xác suất để một bóng đèn được lấy ngẫu nhiên từ lô có thể sử dụng được là:

Đáp số: 0,98.

Xác suất để sinh viên U. giải đúng hơn 9 bài toán trong một bài kiểm tra toán là 0,67. Xác suất để U. giải đúng hơn 8 bài toán là 0,73. Tìm xác suất để U. giải đúng 9 bài toán.

Nếu chúng ta hình dung một trục số và đánh dấu các điểm 8 và 9 trên đó, thì chúng ta sẽ thấy rằng điều kiện “U. giải đúng chính xác 9 bài toán ”được đưa vào điều kiện“ U. giải đúng hơn 8 bài toán ", nhưng không áp dụng cho điều kiện" W. giải đúng hơn 9 vấn đề.

Tuy nhiên, điều kiện “U. giải đúng hơn 9 bài toán "được chứa trong điều kiện" U. giải đúng hơn 8 vấn đề. Do đó, nếu chúng ta chỉ định các sự kiện: “W. giải đúng chính xác 9 bài toán "- thông qua A," U. giải đúng hơn 8 vấn đề "- đến B," U. giải đúng hơn 9 bài toán ”đến C. Khi đó giải pháp sẽ như sau:

Đáp số: 0,06.

Trong phần thi hình học, học sinh trả lời một câu hỏi trong danh sách các đề thi. Xác suất đây là một câu hỏi lượng giác là 0,2. Xác suất đây là câu hỏi Góc ngoài là 0,15. Không có câu hỏi nào liên quan đến hai chủ đề này cùng một lúc. Tìm xác suất để sinh viên đó đạt được câu hỏi thuộc một trong hai chủ đề này trong kỳ thi.

Chúng ta hãy nghĩ về những sự kiện mà chúng ta có. Chúng tôi được đưa ra hai sự kiện không tương thích. Có nghĩa là, câu hỏi sẽ liên quan đến chủ đề "Lượng giác", hoặc chủ đề "Góc ngoài". Theo định lý xác suất, xác suất của các sự kiện xung khắc bằng tổng các xác suất của mỗi sự kiện, ta phải tìm tổng các xác suất của các sự kiện này, nghĩa là:

Đáp số: 0,35.

Căn phòng được chiếu sáng bởi một chiếc đèn lồng với ba ngọn đèn. Xác suất để một bóng đèn bị cháy trong một năm là 0,29. Tìm xác suất để trong vòng một năm có ít nhất một bóng đèn không cháy hết.

Hãy xem xét các sự kiện có thể xảy ra. Chúng tôi có ba bóng đèn, mỗi bóng đèn có thể cháy hoặc không cháy độc lập với bất kỳ bóng đèn nào khác. Đây là những sự kiện độc lập.

Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra các biến thể của các sự kiện như vậy. Chúng tôi chấp nhận ký hiệu: - bóng đèn sáng, - bóng đèn bị cháy. Và ngay lập tức tiếp theo, chúng tôi tính xác suất của một sự kiện. Ví dụ: xác suất của một sự kiện trong đó ba sự kiện độc lập"Bóng đèn bị cháy", "bóng đèn bật", "bóng đèn bật": trong đó xác suất của sự kiện "bóng đèn bật" được tính bằng xác suất của sự kiện ngược lại với sự kiện "bóng đèn tắt", cụ thể là: .

Tất cả các cuốn sách có thể được tải xuống miễn phí và không cần đăng ký.

MỚI. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Turbin A.F. Sổ tay lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Xuất bản lần thứ 2. sửa lại cộng. 1985 640 trang djvu. 13,2 MB.
Cuốn sổ tay là một ấn bản mở rộng và sửa đổi của cuốn sách "Sổ tay Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học" do V. S. Korolyuk chủ biên, nhà xuất bản Naukova Dumka xuất bản năm 1978. Xét về phạm vi bao quát của các ý tưởng chính, phương pháp và kết quả cụ thể của lý thuyết xác suất hiện đại, lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên và một phần thống kê toán học, Sổ tay là ấn phẩm duy nhất thuộc loại này.
Đối với các nhà khoa học và kỹ sư.

Tải xuống

MỚI. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Tính xác suất. 1969 432 trang pdf. 12,6 MB.
Cuốn sách này, được viết bởi một nhóm các nhà toán học và giáo dục nổi tiếng người Mỹ, là phần giới thiệu sơ đẳng về lý thuyết xác suất và thống kê - những nhánh của toán học ngày càng được sử dụng nhiều hơn trong khoa học và thực tế. Được viết bằng một ngôn ngữ sống động và sống động, nó chứa nhiều ví dụ được lấy phần lớn từ lĩnh vực của cuộc sống hàng ngày. Mặc dù thực tế để đọc cuốn sách là đủ kiến ​​thức toán học trong tập trong trường, nhưng đó là một lời giới thiệu hoàn toàn đúng về lý thuyết xác suất. Tôi đọc trong cuốn sách này những gì tôi chưa từng thấy ở người khác.

. . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. 2004 460 trang djvu. 6,7 MB.
Từ nhà xuất bản:
Before you - một cuốn sách giáo khoa mở rộng về lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Tài liệu truyền thống được bổ sung với các câu hỏi như xác suất của sự kết hợp các sự kiện ngẫu nhiên, bước đi ngẫu nhiên, biến đổi tuyến tính vectơ ngẫu nhiên, xác định số xác suất không cố định của các trạng thái của quá trình Markov rời rạc, ứng dụng các phương pháp tối ưu hóa để giải các bài toán thống kê toán học, mô hình hồi quy. Sự khác biệt chính giữa cuốn sách được đề xuất với các sách giáo khoa và sách chuyên khảo nổi tiếng về lý thuyết xác suất và thống kê toán học nằm ở việc nó tập trung vào việc sử dụng liên tục máy tính cá nhân khi nghiên cứu tài liệu. Bài thuyết trình có kèm theo nhiều ví dụ giải pháp của các vấn đề được xem xét trong môi trường của gói Mathcad và STATISTICA. Cuốn sách được viết trên cơ sở hơn ba mươi năm kinh nghiệm của các tác giả trong việc giảng dạy các bộ môn lý thuyết xác suất, toán thống kê và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên cho sinh viên các chuyên ngành của các cơ sở giáo dục đại học. Nó được quan tâm thực tế cho cả sinh viên và giáo sư đại học, và cho tất cả những ai quan tâm đến việc áp dụng các phương pháp thống kê-xác suất hiện đại.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Agekyan. Lý thuyết xác suất cho các nhà chiêm tinh và vật lý. 260 trang, kích thước 1.7 Mb. Cuốn sách chứa các tài liệu theo cách được các nhà vật lý và thiên văn học sử dụng trong quá trình xử lý các kết quả đo lường. Một cuốn sách hữu ích để tính toán sai số.

Tải xuống

I.I. Bavrin. Lý thuyết xác suất thống kê toán học. 2005 năm. 161 trang djv. 1.7 MB.
Các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kê toán học được phác thảo trong các ứng dụng vật lý, hóa học, sinh học, địa lý, sinh thái học, các bài tập cho làm việc độc lập Tất cả các khái niệm và điều khoản cơ bản được minh họa bằng các ví dụ và nhiệm vụ được phân tích
Đối với sinh viên khoa học tự nhiên đại học sư phạm Có thể được sử dụng bởi sinh viên từ các trường đại học khác

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Borodin A. N. Khóa học sơ cấp về lý thuyết xác suất và thống kê toán học. 1999 224 trang djvu. 3,6 MB.
Sách trình bày có hệ thống các phần chính của khóa học sơ cấp về lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Đối với các phần truyền thống, một phần mới đã được thêm vào - "Quy trình ước lượng đệ quy", do tầm quan trọng đặc biệt của quy trình này đối với các ứng dụng. Tài liệu lý thuyết kèm theo số lượng lớn các ví dụ và nhiệm vụ từ các lĩnh vực kiến ​​thức khác nhau.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Lý thuyết xác suất. Thống kê toán học. 2005 năm. 296 trang djvu. 2,8 MB.
Phần đầu tiên đề cập đến các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, sử dụng các cấu trúc toán học tương đối đơn giản, tuy nhiên, phần trình bày dựa trên cấu trúc tiên đề do Viện sĩ A. N. Kolmogorov đề xuất. Phần thứ hai nêu các khái niệm cơ bản của thống kê toán học. Các vấn đề phổ biến nhất về ước lượng các tham số chưa biết và kiểm tra các giả thuyết thống kê được xem xét, và các phương pháp chính cho giải pháp của chúng được mô tả. Mỗi vị trí nhất định được minh họa bằng các ví dụ. Toàn bộ tài liệu được trình bày tương ứng với tiêu chuẩn giáo dục của tiểu bang.
Sinh viên, nghiên cứu sinh và giáo sư đại học, nhà nghiên cứu thuộc các chuyên ngành khác nhau và những người muốn có ý tưởng đầu tiên về lý thuyết xác suất và thống kê toán học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

V.N. Vapnik. Khôi phục sự phụ thuộc vào dữ liệu thực nghiệm. Năm 1979 449 trang djvu. 6,3 MB.
Chuyên khảo được dành cho vấn đề khôi phục sự phụ thuộc từ dữ liệu thực nghiệm. Nó khám phá một phương pháp giảm thiểu rủi ro trên các mẫu có kích thước hạn chế, theo đó, khi khôi phục sự phụ thuộc hàm, người ta nên chọn một hàm thỏa mãn một sự thỏa hiệp nhất định giữa giá trị đặc trưng cho "độ phức tạp" của nó và giá trị đặc trưng cho mức độ sự gần đúng của nó với tổng dữ liệu thực nghiệm. Việc áp dụng phương pháp này cho ba vấn đề chính của khôi phục phụ thuộc được xem xét: vấn đề nhận dạng mẫu học, phục hồi hồi quy và giải thích kết quả của các thí nghiệm gián tiếp. Nó chỉ ra rằng có tính đến khối lượng dữ liệu thực nghiệm hạn chế cho phép giải quyết các vấn đề về nhận dạng mẫu với kích thước lớn của không gian đặc trưng, ​​khôi phục các phụ thuộc hồi quy trong trường hợp không có mô hình của hàm được khôi phục và có được các giải pháp ổn định cho các vấn đề không chính xác của diễn giải kết quả của các thí nghiệm gián tiếp. Các thuật toán tương ứng để khôi phục các phụ thuộc được đưa ra.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

A.I. Volkovets, A.B. Gurinovich. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học. Ghi chú bài giảng. 2003 84 trang PDF. 737 Kb.
Phần tóm tắt bài giảng môn học "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" bao gồm 17 bài giảng về các chủ đề được xác định theo chương trình làm việc điển hình để học chuyên ngành này. Mục đích của nghiên cứu là nắm vững các phương pháp cơ bản của mô tả và phân tích chính thức các hiện tượng ngẫu nhiên, xử lý và phân tích kết quả của các thí nghiệm vật lý và số. Để theo học ngành này, học sinh cần có kiến ​​thức thu được trong quá trình học các phần "Dãy số", "Tập hợp và các phép toán trên chúng", "Phép tính vi phân và tích phân" của khóa học Toán cao hơn.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Volodin. Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học. 2004 257 trang, Kích thước 1.4 Mb. PDF. Theorver nhấn mạnh các phương pháp xây dựng mô hình xác suất và việc triển khai các phương pháp này trên nhiệm vụ thực tế Khoa học tự nhiên. Trong thống kê, trọng tâm là các phương pháp tính toán rủi ro của các quy tắc thống kê cụ thể.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Wentzel, Ovtcharov. Lý thuyết xác suất và các ứng dụng kỹ thuật của nó. năm 2000. 480 trang djvu. 10,3 MB.
Cuốn sách trình bày một cách hệ thống các cơ sở của lý thuyết xác suất từ ​​quan điểm ứng dụng thực tế của chúng trong các chuyên ngành: điều khiển học, Ứng dụng toán học, máy tính, hệ thống điều khiển tự động, lý thuyết về cơ chế, kỹ thuật vô tuyến, lý thuyết độ tin cậy, vận tải, thông tin liên lạc, v.v. Mặc dù có nhiều lĩnh vực ứng dụng thuộc về nhưng tất cả chúng đều được thấm nhuần với một cơ sở phương pháp luận duy nhất.
Đối với sinh viên của các cơ sở giáo dục kỹ thuật cao hơn. Nó có thể hữu ích cho các giáo viên, kỹ sư và nhà khoa học thuộc nhiều đối tượng khác nhau, những người trong các hoạt động thực tế của họ phải đối mặt với nhu cầu đặt ra và giải quyết các vấn đề liên quan đến phân tích các quá trình ngẫu nhiên.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Wentzel, Ovtcharov. Lý thuyết xác suất. 1969 365 trang djvu. 8,3 MB.
Cuốn sách là tổng hợp các nhiệm vụ và bài tập. Mọi vấn đề đều có câu trả lời, và hầu hết đều có giải pháp.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. BÀI GIẢNG- ÔN TẬP VỀ LÝ THUYẾT TĂNG CƯỜNG CÓ CÁC YẾU TỐ TỔ HỢP VÀ THỐNG KÊ TOÁN. Hướng dẫn. Năm 1979 113 trang djvu. 1,3 MB.
Cuốn sách được người đọc quan tâm là sách bài tập thực hành cho môn học "Lý thuyết xác suất". Cuốn sách gồm ba chương, lần lượt được chia thành các đoạn văn. Ở đầu mỗi đoạn, thông tin lý thuyết chính được đưa ra càng ngắn gọn càng tốt, sau đó các ví dụ điển hình được phân tích chi tiết, và cuối cùng, các vấn đề cho giải pháp độc lập được đề xuất, cung cấp câu trả lời và hướng dẫn. Sổ tác vụ cũng chứa các văn bản công việc trong phòng thí nghiệm, việc thực hiện sẽ giúp sinh viên bán thời gian hiểu rõ hơn các khái niệm cơ bản của thống kê toán học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Gmurman. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học. 2003 480 trang DJVU. 5,8 MB.
Cuốn sách cơ bản gồm toàn bộ tài liệu của chương trình lý thuyết xác suất và toán thống kê. sự chú ý lớn dành cho các phương pháp thống kê xử lý dữ liệu thực nghiệm. Cuối mỗi chương đều có vấn đề với câu trả lời. Nó dành cho sinh viên đại học và những người sử dụng các phương pháp xác suất và thống kê trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kolmogorov. Lý thuyết xác suất. Kích thước 2.0 Mb.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kibzun và cộng sự. Lý thuyết về xác suất và thống kê toán học. Uch. phụ cấp. Khóa học cơ bản với các ví dụ và nhiệm vụ. Kích thước 1,7 Mb. djvu. 225 tr.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

M. Katz. Tính độc lập thống kê trong lý thuyết xác suất, phân tích và lý thuyết số. 152 trang djv. 1,3 MB.
Cuốn sách được trình bày rất dễ tiếp cận và hình thức hấp dẫnứng dụng một số ý tưởng của lý thuyết xác suất trong các lĩnh vực toán học khác. Phần chính của cuốn sách được dành cho khái niệm độc lập thống kê.
Cuốn sách sẽ hữu ích và thú vị cho các bạn sinh viên, nhà toán học, vật lý, kỹ sư.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

M. Katz. Xác suất và các câu hỏi liên quan trong vật lý. 408 trang djv. 3,8 MB.
Tác giả quen thuộc với độc giả Liên Xô từ bản dịch tác phẩm "Độc lập thống kê trong lý thuyết xác suất, phân tích và lý thuyết số" (IL, 1963). Của anh ấy một cuốn sách mới chủ yếu dành riêng cho một trong những những nhiệm vụ thú vị nhất vật lý: để mô tả cách một hệ gồm một số lượng rất lớn các hạt (chất khí trong một bình) đạt đến trạng thái cân bằng, và để giải thích làm thế nào mà quá trình này không thể thuận nghịch theo thời gian phù hợp với tính thuận nghịch theo thời gian của các phương trình ban đầu. . Sự chú ý lớn nhất được dành cho khía cạnh xác suất của vấn đề; Các mô hình thống kê được coi là bắt chước các đặc điểm chính của vấn đề. Hai chương đầu tiên cũng được quan tâm độc lập - bằng cách sử dụng các ví dụ được lựa chọn tốt, tác giả chỉ ra cách khái niệm xác suất phát sinh trong toán học và nhiệm vụ vật lý và bộ máy phân tích nào được sử dụng bởi lý thuyết xác suất. Ấn bản này bao gồm các bài báo của Katz và các tác giả khác liên quan đến các vấn đề được nêu trong cuốn sách.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kendall. Stuart. Phân tích thống kê đa biến và chuỗi thời gian. 375 trang DJVU. 8,2 MB.
Cuốn sách là tập cuối cùng của một khóa học ba tập về thống kê của M. Kendall và A. Stewart, tập đầu tiên được xuất bản vào năm 1966 với tiêu đề "Lý thuyết về sự phân bố:", và tập thứ hai - vào năm 1973 dưới tên tiêu đề "Các suy luận và kết nối thống kê".
Cuốn sách gồm các thông tin về phân tích phương sai, thiết kế thí nghiệm, lý thuyết khảo sát mẫu, phân tích đa chiều và chuỗi thời gian.
Giống như hai tập đầu tiên, cuốn sách chứa đựng nhiều khuyến nghị và ví dụ thực tế về ứng dụng của chúng, và phần trình bày kết hợp ít nhiều chi tiết dẫn xuất các kết quả chính với một bảng liệt kê tương đối ngắn gọn. một số lượng lớn nhiều thông tin riêng tư.
Cuốn sách sẽ thu hút sự quan tâm của các sinh viên đại học và sau đại học chuyên về thống kê toán học, cũng như nhiều nhà khoa học đang xử lý các ứng dụng của nó.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kendall. Stuart. LÝ THUYẾT VỀ PHÂN PHỐI. Tập 1. 590 trang 10.3 Mb. 6,1 MB.
Nội dung: Phân bố tần số. Các biện pháp về vị trí và độ phân tán. Khoảnh khắc và bán bất biến. Các chức năng đặc trưng. các bản phân phối tiêu chuẩn. Tính xác suất. Xác suất và suy luận thống kê. Lựa chọn ngẫu nhiên. sai số tiêu chuẩn. Các phân bố lấy mẫu chính xác. Sự phân bố mẫu gần đúng. Sự phân bố mẫu gần đúng. Thống kê thứ tự. Phân phối chuẩn đa biến và các dạng bậc hai. Phân phối liên quan đến bình thường.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kendall. Stuart. KẾT LUẬN VÀ MỐI QUAN HỆ THỐNG KÊ. Tập 2. 900 trang djvu. 10,3 MB.
Cuốn sách bao gồm các thông tin về lý thuyết ước lượng, kiểm định giả thuyết, phân tích tương quan, hồi quy, phương pháp phi tham số, phân tích tuần tự.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

N.Sh. Kremer. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học. Sách giáo khoa. Lần xuất bản thứ 2, đã sửa đổi. cộng. 2004 575 trang djvu. 12,2 MB.
Đây không chỉ là một cuốn sách giáo khoa, mà còn là một hướng dẫn ngắn gọn để giải quyết vấn đề. Các cơ sở đã nêu của lý thuyết xác suất và thống kê toán học đi kèm với một số lượng lớn các bài toán (bao gồm cả các bài toán kinh tế), được đưa ra với các giải pháp và cho công việc độc lập. Đồng thời, trọng tâm là các khái niệm cơ bản của khóa học, ý nghĩa lý thuyết và xác suất và ứng dụng của chúng. Các ví dụ được đưa ra về việc sử dụng các phương pháp xác suất và toán học-thống kê trong các bài toán xếp hàng và các mô hình thị trường tài chính.
Dành cho sinh viên và nghiên cứu sinh của các chuyên ngành và lĩnh vực kinh tế, cũng như các giáo sư đại học, nhà nghiên cứu và nhà kinh tế.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Kobzar A.I. Thống kê toán học ứng dụng. Đối với các kỹ sư và nhà khoa học. 2006 814 trang djvu. 7.7 MB.
Cuốn sách bàn về cách phân tích các quan sát bằng phương pháp thống kê toán học. Nhất quán bằng ngôn ngữ mà chuyên gia có thể tiếp cận - không phải nhà toán học, phương pháp hiện đại phân tích phân bố xác suất, đánh giá các tham số phân phối, kiểm định các giả thuyết thống kê, đánh giá mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên, lập kế hoạch thực nghiệm thống kê. Sự chú ý chủ yếu được chú ý đến việc giải thích các ví dụ về việc áp dụng các phương pháp thống kê toán học hiện đại.
Cuốn sách dành cho các kỹ sư, nhà nghiên cứu, nhà kinh tế, bác sĩ, nghiên cứu sinh và sinh viên muốn thu mức độ chuyên nghiệp sử dụng toàn bộ kho vũ khí thống kê toán học hiện đại để giải quyết các vấn đề ứng dụng của chúng.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

M.L. Krasnov. Lý thuyết xác suất. Sách giáo khoa. năm 2001. 296 trang djvu. 3,9 MB.
Khi nghiên cứu các hiện tượng khác nhau trong tự nhiên và xã hội, nhà nghiên cứu phải đối mặt với hai loại thí nghiệm - thí nghiệm có kết quả dự đoán rõ ràng trong các điều kiện nhất định và thí nghiệm có kết quả không thể dự đoán rõ ràng trong điều kiện do nhà nghiên cứu kiểm soát, nhưng người ta chỉ có thể thực hiện giả định về phổ của các kết quả có thể có. Trong trường hợp đầu tiên, người ta nói về các hiện tượng xác định, trong trường hợp thứ hai - các hiện tượng mang nhân vật ngẫu nhiên. Đồng thời, chúng có nghĩa là tiên nghiệm (trước, trước khi thí nghiệm được thực hiện hoặc quan sát hiện tượng hoàn thành) trong trường hợp đầu tiên chúng ta có thể dự đoán kết quả, nhưng không phải trong trường hợp thứ hai. Đối với những gì tiếp theo, điều gì đã gây ra sự khó đoán định đó không quan trọng - các quy luật tự nhiên cơ bản của hiện tượng đang nghiên cứu hay sự không đầy đủ của thông tin về các quá trình gây ra hiện tượng này. Một tình huống quan trọng là sự hiện diện của thực tế không thể đoán trước được. Lý thuyết xác suất, nền tảng của phần này, được thiết kế để cho phép nhà nghiên cứu mô tả các thí nghiệm và hiện tượng đó và cung cấp cho anh ta một công cụ đáng tin cậy để nghiên cứu thực tế trong các tình huống mà mô tả xác định là không thể.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

E.L. Kuleshov. Lý thuyết xác suất. Bài giảng cho các nhà vật lý. 2002 116 trang djvu. 919 Kb.
Dành cho học sinh cuối cấp.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Lazakovich, Stashulenok, Yablonsky. Khóa học lý thuyết xác suất. Hướng dẫn. 2003 322 trang PDF. 2,9 MB.
Sổ tay đào tạo dựa trên tỷ lệ hàng năm các bài giảng của các tác giả trong một số năm cho sinh viên Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Belarus. Cuốn sách gồm các phần sau: không gian xác suất, tính độc lập, biến ngẫu nhiên, đặc điểm số biến ngẫu nhiên, hàm đặc trưng, ​​định lý giới hạn, nguyên tắc cơ bản của lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, các yếu tố của thống kê toán học và ứng dụng, chứa các bảng về phân phối xác suất chính và giá trị của một số chúng. Hầu hết các chương đều có phụ lục, trong đó có các tài liệu và chủ đề hỗ trợ cho việc tự học.
Phần trình bày có kèm theo một số lượng lớn các ví dụ, bài tập và bài toán minh họa các khái niệm cơ bản và giải thích các ứng dụng có thể có của các tuyên bố đã được chứng minh.
Dành cho sinh viên các chuyên ngành toán học của các trường đại học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Lý thuyết xác suất Loev M. Năm 1962 449 trang djvu. 6,2 MB.
Cuốn sách là một khóa học có hệ thống sâu rộng về lý thuyết xác suất hiện đại, được viết ở trình độ lý thuyết cao. Trên cơ sở lý thuyết độ đo, tác giả nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên, các biến ngẫu nhiên và trình tự của chúng, hàm phân phối và hàm đặc trưng, ​​các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất và các quá trình ngẫu nhiên. Bản trình bày được kèm theo một số lượng lớn các nhiệm vụ mức độ khác nhau nỗi khó khăn.
Cuốn sách dành cho sinh viên đại học và sau đại học - những nhà toán học nghiên cứu lý thuyết.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Lvovsky B.N. Phương pháp thống kê để xây dựng công thức thực nghiệm: Proc. phụ cấp. Lần xuất bản thứ 2, đã sửa đổi. cộng. 1988 239 trang djvu. 2.3 MB.
Ấn bản thứ 2 của sổ tay này phác thảo các phương pháp chính để xử lý dữ liệu thử nghiệm. Các phương pháp xử lý sơ bộ kết quả quan sát được mô tả chi tiết. Các phương pháp thống kê để xây dựng công thức thực nghiệm, phương pháp Khả năng xảy ra tối đa, phương pháp phương tiện và phân tích đồng dạng được xem xét. Phương pháp lập kế hoạch và xử lý các thí nghiệm tích cực được đề cập. Các vấn đề cơ bản của phân tích phân tán được đưa ra.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Yu.D. Maksimov biên tập. Các nhánh xác suất của toán học. Sách giáo khoa. năm 2001. 581 trang djvu. 7.4 MB.
Phần:!. Lý thuyết xác suất. 2. Thống kê toán học. 3. Lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên. 4. Lý thuyết về xếp hàng.
Giáo trình cho cử nhân kỹ thuật sai.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Maksimov Yu.D. Toán học. Vshusk 9. Lý thuyết xác suất. Tóm tắt chi tiết. Sổ tay Phân phối Liên tục Một Chiều. 2002 98 trang djv. 4,3 MB.
Sách hướng dẫn phù hợp với tiêu chuẩn giáo dục của nhà nước và chương trình hiện hành của môn "Toán" dành cho cử nhân học trong tất cả các lĩnh vực kinh tế kỹ thuật nói chung. loạt bài tóm tắt cơ bản trong toán học do nhà xuất bản SPBPU xuất bản). Ngược lại với phần tóm tắt tham khảo, đây là các chứng minh về định lý và dẫn xuất của các công thức bị bỏ qua trong phần tóm tắt tham khảo và một cuốn sách tham khảo về phân phối liên tục một chiều. dành cho sinh viên năm thứ hai của các khoa kỹ thuật tổng hợp và chuyên ngành kinh tế. Nó cũng có thể được sử dụng cho hướng "Vật lý kỹ thuật".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

J. Neveu. Cơ sở toán học lý thuyết xác suất. 1969 310 trang djv. 3.0 MB.
Tác giả cuốn sách được biết đến với công trình nghiên cứu ứng dụng các phương pháp phân tích hàm và lý thuyết đo lường vào các câu hỏi của lý thuyết xác suất. Cuốn sách được viết một cách thành thạo chứa một phần nhỏ gọn và đồng thời giải thích đầy đủ các cơ sở của lý thuyết xác suất. Bao gồm rất nhiều bổ sung hữu ích va bai tập.
Cuốn sách có thể phục vụ một cuốn sách giáo khoa tốt dành cho sinh viên và nghiên cứu sinh muốn nghiên cứu nghiêm túc lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên, và là một cuốn sách tham khảo tuyệt vời dành cho các chuyên gia.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Đ.T. Viết. Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học. 2004 256 trang djvu. 1,4 MB.
Cuốn sách này là một khóa học các bài giảng về lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Phần đầu của cuốn sách bao gồm các khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết xác suất, chẳng hạn như sự kiện ngẫu nhiên, xác suất, hàm ngẫu nhiên, tương quan, xác suất có điều kiện, quy luật số lớn và định lý giới hạn. Phần thứ hai của cuốn sách được dành cho thống kê toán học, nó đặt ra những điều cơ bản) của phương pháp chọn mẫu, lý thuyết về ước lượng và kiểm định giả thuyết. Việc trình bày tài liệu lý thuyết đi kèm với việc xem xét một số lượng lớn các ví dụ và nhiệm vụ, và được thực hiện bằng ngôn ngữ chặt chẽ, dễ tiếp cận, nếu có thể.
Được thiết kế cho sinh viên kinh tế và trường đại học kỹ thuật.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Poddubnaya O.N. Bài giảng lý thuyết xác suất. 2006 125 trang pdf. 2.0 Mb.
Được viết rõ ràng. Ví dụ, lợi thế của khóa học bao gồm thực tế là các tuyên bố lý thuyết được giải thích bằng các ví dụ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov. Lý thuyết xác suất. Các khái niệm cơ bản. Định lý giới hạn. các quá trình ngẫu nhiên. Năm 1967 498 trang djvu. 7.6 MB.
Cuốn sách được viết bởi các nhà toán học nổi tiếng của Mỹ và dành cho một trong những hướng hiện đại quan trọng trong lý thuyết xác suất, vốn chưa được phản ánh đầy đủ trong các tài liệu bằng tiếng Nga. Các tác giả hướng đến các kết quả có ý nghĩa, thay vì tính tổng quát tối đa, và xem xét một số ví dụ và ứng dụng. Cuốn sách kết hợp thành công trình độ trình bày khoa học cao, đồng thời, khả năng tiếp cận cho đối tượng học sinh.
Dành cho các chuyên gia lý thuyết xác suất, nhà vật lý, kỹ sư, nghiên cứu sinh và sinh viên đại học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Poincare A. Lý thuyết xác suất. 1999 284 trang djv. 700 Kb.
Cuốn sách là một trong những phần của quá trình các bài giảng của A. Poincaré. Nó thảo luận cả những nền tảng chung của lý thuyết xác suất và các vấn đề phi truyền thống mà thực tế không có trong bất kỳ khóa học nào. Các ứng dụng khác nhau cho vật lý, toán học và cơ học được xem xét.
Cuốn sách hữu ích với nhiều đối tượng độc giả - nhà vật lý, toán học, sử học khoa học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Pyt'ev Yu. P. Shishmarev IA Một khóa học về lý thuyết xác suất và thống kê toán học dành cho các nhà vật lý. Proc. phụ cấp. Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcova 1983. 256 trang djvu. 4,6 MB.
Cuốn sách dựa trên một khóa học sáu tháng của các bài giảng, đọc bởi các tác giả tại Khoa Vật lý. Nhiều không gian được đưa ra cho lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên: Markov và tĩnh. Sự trình bày này chặt chẽ về mặt toán học, mặc dù không dựa trên việc sử dụng tích phân Lebesgue. Phần của khóa học dành cho thống kê toán học bao gồm các phần tập trung vào các ứng dụng cho các nhiệm vụ tự động hóa việc lập kế hoạch, phân tích và giải thích các thí nghiệm vật lý. Lý thuyết thống kê của phức hợp đo lường và tính toán "máy tính + dụng cụ" được trình bày, giúp cải thiện đáng kể các thông số của thiết bị thí nghiệm thực bằng cách xử lý dữ liệu trên máy tính. Các yếu tố lý thuyết bao gồm kiểm tra thống kê giả thuyết được sử dụng trong bài toán giải thích dữ liệu thực nghiệm.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Saveliev. lý thuyết sơ cấp xác suất. Giáo trình, Đại học Bang Novosibirsk, 2005.
Phần 1 dành cho lý thuyết. Kích thước 660 Kb. Phần 2 dành cho việc phân tích các ví dụ. Kích thước 810 Kb. Phần 3. Tích phân Riemann và Stieltjes. 240 trang djvu. 5,0 Mb. Phần 3 của sổ tay hướng dẫn chi tiết các yếu tố của vi sai và Tích phân tích, được sử dụng trong Phần I. Tài liệu tổng hợp từ sách hướng dẫn của tác giả "Bài giảng về phân tích toán học, 2.1 "(Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1973) và" Tích hợp các chức năng có thể đo lường đồng nhất "(Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1984). Đối tượng chính là tích phân Stieltjes. Nó được định nghĩa là một hàm tuyến tính có giới hạn trên không gian của các hàm không có gián đoạn phức tạp, được xem xét trong Phần 1. Tích phân Stieltjes được sử dụng rộng rãi không chỉ trong lý thuyết xác suất mà còn trong hình học, cơ học và các lĩnh vực toán học khác. Phụ lục ở phần 3 của sổ tay bổ sung phụ lục ở phần 2. Để hoàn chỉnh, một số chỗ từ phần 1 được lặp lại ở phần 3. Phần phụ lục giữ lại phần đánh số trang và các đoạn của sách hướng dẫn của tác giả "Các bài giảng về giải tích toán học".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống phần 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải phần 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống phần 3

Savrasov Yu.S. Các giải pháp tối ưu. Bài giảng các phương pháp xử lý đo lường. năm 2000. 153 trang djvu. 1,1 Mb.
Các phương pháp xử lý phép đo cung cấp chiết xuất hoàn chỉnh nhất được xem xét. thông tin hữu ích về các thông số đo được hoặc các hiện tượng quan sát được. Các phương pháp được trình bày liên quan đến lĩnh vực lý thuyết xác suất, thống kê toán học, lý thuyết quyết định, lý thuyết tiện ích, lý thuyết lọc cho hệ thống động lực với thời gian rời rạc. Tài liệu của cuốn sách dựa trên các bài giảng của tác giả trong những năm 1994-1997. sinh viên năm thứ ba khoa cơ bản "Vật lý phóng xạ" của Viện Vật lý và Công nghệ Matxcova. Với hình thức đề xuất, cuốn sách sẽ hữu ích cho học sinh thể chất và chuyên ngành kỹ thuật, kỹ sư trong lĩnh vực radar, xử lý thông tin và hệ thống điều khiển tự động.
Nhiều ví dụ đã được phân tích.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tải xuống

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. Lý thuyết xác suất. Sách giáo khoa. năm 2009. 201 trang PDF. 2.1 MB.
Sách giới thiệu các khái niệm và phương pháp cơ bản của lý thuyết xác suất. Các phương pháp đã cho được minh họa bằng các ví dụ điển hình. Mỗi chủ đề kết thúc với phần thực hành để tự hình thành kỹ năng sử dụng các phương pháp của lý thuyết xác suất trong giải các bài toán ngẫu nhiên.
Đối với sinh viên đại học.
Ví dụ trong sách giáo khoa: tung đồng xu là một trải nghiệm, rơi đầu hay sấp là một sự kiện; rút một lá bài từ bộ bài ưu tiên - kinh nghiệm, sự xuất hiện của bộ đồ màu đỏ hoặc đen - các sự kiện; giảng bài là một trải nghiệm, sự hiện diện của một sinh viên tại một bài giảng là một sự kiện.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Sekey. Nghịch lý của lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Kích thước 3,8 Mb. djv. 250 trang

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Sevastyanov B.A. Khóa học Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Sách giáo khoa. Năm 1982 255 trang djvu. 2,8 MB.
Cuốn sách được viết dựa trên quá trình một năm bài giảng của tác giả trong một số năm tại Bộ môn Toán của Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Matxcova. Các khái niệm và sự kiện cơ bản của lý thuyết xác suất được giới thiệu ban đầu cho một lược đồ hữu hạn. Kỳ vọng toán học thường được định nghĩa theo cùng một cách với tích phân Lebesgue, nhưng người đọc không được mong đợi là có bất kỳ kiến ​​thức nào trước đó về tích phân Lebesgue.
Cuốn sách gồm các phần sau: kiểm định độc lập và chuỗi Markov, định lý giới hạn của Moivre - Laplace và Poisson, biến ngẫu nhiên, đặc trưng và hàm sinh, luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, các khái niệm cơ bản của thống kê toán học, kiểm định các giả thuyết thống kê, ước lượng thống kê, khoảng tin cậy.
Dành cho sinh viên đại học, cao đẳng kỹ thuật học lý thuyết xác suất.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

MỘT. Sobolevsky. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học cho các nhà vật lý. 2007 47 trang djv. 515 Kb.
Giáo trình có nội dung trình bày những kiến ​​thức cơ bản của lý thuyết xác suất và toán thống kê dành cho sinh viên chuyên ngành lý thuyết Vật lý. Cùng với chất liệu cổ điển (lược đồ kiểm tra độc lập Bernoulli, hữu hạn chuỗi đồng nhất Markov, các quá trình khuếch tán), sự chú ý đáng kể được chú ý đến các chủ đề như lý thuyết về độ lệch lớn, khái niệm entropy trong Các tùy chọn khác nhau, luật ổn định và phân phối xác suất giảm dần, phép tính vi phân ngẫu nhiên. Sách giáo khoa dành cho sinh viên chuyên về các phần lý thuyết và vật lý toán học.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tải xuống

Tarasov L. V. Các mẫu của thế giới xung quanh. Trong 3 cuốn sách. 2004 djvu.
1. Cơ hội, sự cần thiết, xác suất. 384 trang 6.8 Mb.
Cuốn sách này là một khá phổ biến và đồng thời giới thiệu chi tiết khoa học nghiêm ngặt về lý thuyết xác suất, bao gồm phân tích chi tiết của những vấn đề đang được xem xét, những khái quát rộng của kế hoạch triết học, những lạc đề của bản chất lịch sử. Cuốn sách có tính chất giáo dục được xác định rõ ràng; tài liệu của nó có cấu trúc chặt chẽ, được xây dựng trên cơ sở dựa trên bằng chứng, được cung cấp với một số lượng lớn các biểu đồ và sơ đồ; một số lượng đáng kể các vấn đề ban đầu được đưa ra, một số trong số đó được giải quyết trong cuốn sách, và một số được đưa ra cho người đọc để có giải pháp độc lập. Cuốn sách là một tác phẩm đã hoàn thành và đồng thời là cuốn đầu tiên trong bộ ba tập của tác giả.
2. Xác suất trong xã hội hiện đại. 360 trang 4,5 Mb.
Cuốn sách này chứng minh vai trò cơ bản của lý thuyết xác suất trong xã hội hiện đại, dựa trên nền tảng công nghệ thông tin. Cuốn sách là một cuốn sách khá phổ biến đồng thời giới thiệu một cách khoa học chi tiết về nghiên cứu hoạt động và lý thuyết thông tin. Nó có tính chất giáo dục được xác định rõ ràng; tài liệu của nó có cấu trúc chặt chẽ, được xây dựng trên cơ sở dựa trên bằng chứng, được cung cấp với một số lượng lớn các biểu đồ và sơ đồ; một số nhiệm vụ đáng kể được đưa ra, một số nhiệm vụ được giải quyết trong cuốn sách, và một số nhiệm vụ được đưa ra cho người đọc để có giải pháp độc lập.
3. 440 trang 7,5 Mb. Sự tiến hóa của kiến ​​thức khoa học tự nhiên.
Ở đây, dưới hình thức phổ biến và được hệ thống hóa, sự phát triển của các bức tranh khoa học tự nhiên của thế giới được phân tích: từ chương trình khoa học cổ xưa với bức tranh cơ học, sau đó đến bức tranh điện từ, và cuối cùng là bức tranh đương đại. Sự chuyển đổi từ các quy định năng động (được xác định một cách chặt chẽ) sang các quy luật thống kê (xác suất) được chứng minh khi sự hiểu biết khoa học về thế giới xung quanh dần dần sâu sắc hơn. Sự phát triển của các khái niệm vật lý lượng tử, vật lý hạt cơ bản và vũ trụ học được xem xét đầy đủ chi tiết. Tóm lại, các ý tưởng về sự tự tổ chức của các hệ thống không cân bằng mở (sự xuất hiện của các cấu trúc tiêu tán) được thảo luận.
Dành cho nhiều đối tượng độc giả, và chủ yếu dành cho học sinh phổ thông (bắt đầu từ lớp 9), cũng như học sinh các trường kỹ thuật và các cơ sở giáo dục đại học.

Việc nghiên cứu các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất bắt đầu từ lớp 7. Việc đưa thông tin cơ bản từ thống kê và lý thuyết xác suất vào khóa học đại số là nhằm phát triển ở sinh viên những kỹ năng quan trọng trong xã hội hiện đại như hiểu và giải thích kết quả của các nghiên cứu thống kê, được trình bày rộng rãi trên các phương tiện truyền thông. phương tiện thông tin đại chúng. Trong sách giáo khoa phổ thông hiện đại, khái niệm xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên được giới thiệu dựa trên Trải nghiệm sống và trực giác của học sinh.

Tôi muốn lưu ý rằng ở lớp 5-6, học sinh đã có ý tưởng về các sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của chúng, vì vậy ở lớp 7-9 có thể nhanh chóng làm quen với những điều cơ bản của lý thuyết xác suất, mở rộng phạm vi của thông tin báo cáo cho họ.

Tổ chức giáo dục của chúng tôi đang thử nghiệm chương trình " trường tiểu học Thế kỷ 21". Và là một giáo viên dạy Toán, tôi quyết định tiếp tục thử nghiệm dự án này ở các lớp 5-6. Khóa học được thực hiện trên cơ sở bộ giáo dục và phương pháp luận của M.B. Volovich “Toán học. 5-6 lớp. Trong sách giáo khoa “Toán học. Lớp 6 ”6 giờ được phân bổ để nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất. Ở đây chúng tôi đưa ra những thông tin sơ bộ đầu tiên về các khái niệm như thử nghiệm, xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, các sự kiện nhất định và không thể xảy ra. Nhưng điều quan trọng nhất mà học sinh phải học là với số lần thử ít, không thể đoán trước được kết quả của một biến cố ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu có nhiều bài kiểm tra, thì kết quả trở nên khá dễ đoán. Để học sinh biết rằng có thể tính được xác suất của một sự kiện xảy ra, một công thức được đưa ra để tính xác suất của một sự kiện xảy ra khi tất cả các kết quả đang xét là “bằng nhau”.

Môn học: Khái niệm "xác suất". Những sự kiện ngẫu nhiên.

Mục tiêu bài học:

• để cung cấp cho người quen về khái niệm "thử nghiệm", "kết quả", "sự kiện ngẫu nhiên", "sự kiện nhất định", "sự kiện không thể xảy ra", để đưa ra ý tưởng ban đầu về "xác suất của một sự kiện" là , để hình thành khả năng tính toán xác suất của một sự kiện;
• phát triển khả năng xác định độ tin cậy, không thể xảy ra của các sự kiện;
• tăng tính tò mò.

Trang thiết bị:

1. M.B. Volovich Toán học, lớp 6, M.: Ventana-Graf, 2006.
2. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk Các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất, Moscow: Education, 2008.
3. Đồng xu 1 rúp, xúc xắc.

THỜI GIAN LỚP HỌC

I. Thời điểm tổ chức

II. Thực tế kiến ​​thức của học sinh

Giải quyết rebus:

(Xác suất)

III. Giải thích về vật liệu mới

Nếu một đồng xu, ví dụ, một đồng rúp, được tung lên và được phép rơi xuống sàn, thì chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: “đồng xu rơi xuống đầu” và “đồng xu rơi lên”. Trường hợp một đồng xu rơi xuống mép, lăn lên tường và tựa vào nó là trường hợp rất hiếm và thường không được xem xét.
Từ lâu ở Nga họ chơi trò "tung" - họ tung đồng xu nếu cần giải quyết một vấn đề gây tranh cãi mà không có giải pháp rõ ràng là công bằng, hoặc họ chơi một kiểu giải thưởng nào đó. Trong những tình huống này, họ dùng đến sự may rủi: một số nghĩ đến việc mất "đầu", số khác - "đuôi".
Việc tung đồng xu đôi khi được sử dụng ngay cả khi giải quyết các vấn đề rất quan trọng.
Ví dụ, trận bán kết giải vô địch châu Âu năm 1968 giữa hai đội Liên Xô và Ý đã kết thúc với tỷ số hòa. Người chiến thắng không được tiết lộ dù trong hiệp phụ hay trong loạt sút luân lưu. Sau đó, người chiến thắng sẽ được quyết định bởi cơ hội của Bệ hạ. Họ ném một đồng xu. Vụ kiện thuận lợi cho người Ý.
Trong cuộc sống hàng ngày, trong hoạt động thực tiễn và khoa học, chúng ta thường quan sát những hiện tượng nhất định, tiến hành những thí nghiệm nhất định.
Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong quá trình quan sát hoặc thử nghiệm được gọi là sự kiện ngẫu nhiên.
Mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi một nhánh toán học đặc biệt được gọi là lý thuyết xác suất.

Hãy chi tiêu kinh nghiệm 1: Petya tung đồng xu lên 3 lần. Và cả 3 lần “con đại bàng” đều rơi ra - đồng xu rơi với quốc huy. Đoán nếu nó có thể?
Trả lời: Có thể. "Đại bàng" và "đuôi" rơi ra hoàn toàn do tình cờ.

Kinh nghiệm 2: (học sinh làm việc theo cặp) Tung đồng xu 1 rúp 50 lần và đếm bao nhiêu lần đồng xu này xuất hiện. Ghi kết quả vào vở.
Trong lớp, hãy tính xem tất cả học sinh đã tiến hành bao nhiêu thí nghiệm và tổng số đề mục là bao nhiêu.

Kinh nghiệm 3: Cùng một đồng xu đã được tung lên 1000 lần. Và cả 1000 lần "đại bàng" bị ngã. Đoán nếu nó có thể?
Hãy thảo luận về kinh nghiệm này.
Tung đồng xu được gọi là kiểm tra. Mất "đầu" hoặc "đuôi" - kết cục(kết quả) của thử nghiệm. Nếu thử nghiệm được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện, thì thông tin về kết quả của tất cả các thử nghiệm được gọi là số liệu thống kê.
Thống kê nắm bắt dưới dạng một con số m kết quả (kết quả) mà chúng tôi quan tâm và tổng số N các bài kiểm tra.
Sự định nghĩa: Mối quan hệ được gọi là tần số thống kê kết quả của sự quan tâm đối với chúng tôi.

Vào thế kỷ 18, một nhà khoa học người Pháp, thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg, Buffon, để kiểm tra tính đúng đắn của việc tính toán xác suất rơi của "đại bàng", đã tung một đồng xu 4040 lần. "Eagle" rơi ra 2048 lần.
Vào thế kỷ 19, nhà khoa học người Anh Pearson đã tung đồng xu 24.000 lần. "Đại bàng" ngã xuống 12.012 lần.
Hãy để chúng tôi thay thế vào công thức, cho phép chúng tôi tính toán tần suất thống kê xuất hiện của kết quả mà chúng tôi quan tâm, m= 12 012, N= 24,000, ta được = 0,5005.

Hãy xem xét ví dụ về việc tung một con xúc xắc. Chúng ta sẽ giả định rằng khuôn này có hình dạng bình thường và được làm bằng vật liệu đồng nhất, và do đó, khi nó được ném, cơ hội nhận được bất kỳ số điểm nào từ 1 đến 6 trên mặt trên của nó là như nhau. Họ nói rằng có sáu kết quả có khả năng như nhau của thử thách này: điểm danh 1, 2, 3, 4, 5 và 6.

Xác suất của một sự kiện dễ tính nhất nếu tất cả N các kết quả có thể có là "ngang nhau" (không cái nào có lợi thế hơn cái khác).
Trong trường hợp này, xác suất P tính theo công thức R=, ở đâu N là số lượng các kết quả có thể xảy ra.
Trong ví dụ về tung đồng xu, chỉ có hai kết quả (“đầu” và “đuôi”), tức là P= 2. Xác suất Rđầu đề bằng.
Kinh nghiệm 4: Xác suất để khi ném một con xúc xắc, nó sẽ xuất hiện:
a) 1 điểm; b) nhiều hơn 3 điểm.
Đáp án: a), b).

Sự định nghĩa: Nếu một sự kiện luôn xảy ra trong các điều kiện đang xem xét, thì nó được gọi là thật. Xác suất của một sự kiện nhất định xảy ra là 1.

Có những sự kiện, trong những điều kiện đang xem xét, không bao giờ xảy ra. Ví dụ, Pinocchio, theo lời khuyên của cáo Alice và mèo Basilio, đã quyết định chôn những đồng tiền vàng của mình trong cánh đồng Phép màu để một cây tiền sẽ xuất hiện từ chúng. Xác suất để những đồng tiền họ trồng sẽ mọc ra một cái cây là bao nhiêu? Xác suất để một cây tiền mọc lên từ những đồng xu do Pinocchio trồng là 0.

Sự định nghĩa: Nếu một sự kiện không bao giờ xảy ra trong các điều kiện đang xem xét, thì nó được gọi là Không thể nào. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là 0.

IV. Phút giáo dục thể chất

"Giấc mơ kỳ diệu"

Mọi người đều có thể nhảy, chạy, nhảy và chơi,
Nhưng không phải ai cũng biết cách thư giãn, nghỉ ngơi.
Họ có một trò chơi như vậy, rất dễ dàng, đơn giản.
Chuyển động chậm lại, căng thẳng biến mất,
Và nó trở nên rõ ràng: thư giãn là dễ chịu.
Lông mi rụng, mắt nhắm lại
Chúng tôi bình tĩnh nghỉ ngơi, chúng tôi chìm vào giấc ngủ với một giấc mơ kỳ diệu.
Hít thở dễ dàng, đều, sâu.
Sự căng thẳng đã bay biến và toàn bộ cơ thể được thư giãn.
Giống như chúng ta đang nằm trên bãi cỏ ...
Trên thảm cỏ xanh mướt ...
Giờ nắng ấm rồi, tay ta cũng ấm.
Bây giờ nắng nóng hơn, đôi chân của chúng tôi ấm áp.
Thở dễ dàng, tự do, sâu.
Môi ấm, mềm nhưng không hề thấy mệt.
Môi hơi hé mở và thoải mái một cách dễ chịu.
Và cái lưỡi ngoan ngoãn của chúng ta đã quen với việc được thả lỏng ”.
To hơn, nhanh hơn, tràn đầy năng lượng hơn:
“Thật tuyệt khi được nghỉ ngơi, và bây giờ là lúc thức dậy.
Nắm chặt các ngón tay của bạn thành một nắm đấm
Và ấn nó vào ngực của bạn - như thế!
Kéo dài, mỉm cười, hít thở sâu, thức dậy!
Hãy mở to mắt - một, hai, ba, bốn!
Các em nhỏ đứng lên hát theo với cô giáo phát âm:
"Chúng tôi vui vẻ, vui vẻ trở lại và sẵn sàng cho các lớp học."

V.Củng cố

Nhiệm vụ 1:

Sự kiện nào sau đây là chắc chắn và sự kiện nào là không thể xảy ra:

a) Ném hai con súc sắc. Giảm 2 điểm. (thật)
b) Ném hai con súc sắc. Giảm 1 điểm. (Không thể nào)
c) Ném hai con súc sắc. Giảm 6 điểm. (thật)
d) Ném hai con súc sắc. Số điểm đạt được ít hơn 13. (hợp lệ)

Nhiệm vụ 2:

Hộp gồm 5 cây bút chì màu xanh lá cây, 5 màu đỏ và 10 màu đen. Có 1 cây bút chì. So sánh xác suất của các sự kiện sau đây bằng cách sử dụng các biểu thức: có nhiều khả năng xảy ra hơn, ít khả năng xảy ra hơn, khả năng xảy ra như nhau.

a) Bút chì hóa ra có màu;
b) cây bút chì chuyển sang màu xanh lục;
c) cái bút chì màu đen.

Trả lời:

a) có khả năng như nhau;
b) nhiều khả năng bút chì hóa ra màu đen;
c) có khả năng như nhau.

Nhiệm vụ 3: Petya lăn một con súc sắc 23 lần. Tuy nhiên, 1 điểm lăn 3 lần, 2 điểm lăn 5 lần, 3 điểm lăn 4 lần, 4 điểm lăn 3 lần, 5 điểm lăn 6 lần. Trong các trường hợp khác, 6 điểm giảm. Khi thực hiện nhiệm vụ, hãy làm tròn số thập phân đến hàng trăm.

1. Tính tần suất thống kê xuất hiện của số điểm cao nhất, xác suất để 6 điểm rơi ra và giải thích tại sao tần suất thống kê khác hẳn với xác suất xuất hiện của 6 điểm theo công thức.
2. Tính tần suất xuất hiện thống kê của một số điểm chẵn, xác suất để số chẵn và giải thích tại sao tần suất thống kê lại khác đáng kể so với xác suất của một số điểm chẵn được tìm thấy bởi công thức.

Nhiệm vụ 4:Để trang trí cây thông Noel, họ đã mang theo một chiếc hộp chứa 10 quả bóng màu đỏ, 7 màu xanh lá cây, 5 màu xanh lam và 8 quả bóng vàng. Một quả bóng được rút ra ngẫu nhiên từ hộp. Xác suất để nó là: a) đỏ; b) vàng; c) đỏ hay vàng?

VI. Bài tập về nhà

1. Người ta lấy ra 1 viên bi từ hộp đựng bi xanh đỏ rồi cho vào hộp lại. Có thể coi việc lấy bi ra khỏi hộp là một phép thử được không? Kết quả của bài kiểm tra có thể là gì?
2. Một hộp chứa 2 bi đỏ và 8 bi xanh.

a) Tìm xác suất để một bi được lấy ra ngẫu nhiên có màu đỏ.
b) Tìm xác suất để một quả bóng được rút ra ngẫu nhiên có màu xanh.
c) Hai viên bi được lấy ngẫu nhiên từ hộp. Nó có thể bật ra rằng cả hai quả bóng đều màu đỏ?

VII. Kết quả

- Bạn đã học được nhiều thông tin nhất từ ​​lý thuyết xác suất - sự kiện ngẫu nhiên là gì và tần suất thống kê của kết quả thử nghiệm, cách tính xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên với các kết quả có khả năng xảy ra như nhau. Nhưng chúng ta phải nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể đánh giá kết quả của các thử nghiệm với một kết quả ngẫu nhiên và tìm xác suất của một sự kiện ngay cả với một số lượng lớn các thử nghiệm. Ví dụ, không thể tìm thấy xác suất mắc bệnh cúm: quá nhiều yếu tố mỗi lần ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện này.