Công thức xác suất toàn phần: lý thuyết và các ví dụ về giải bài toán. Công thức xác suất tổng và công thức Bayes

Hãy để một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện được xem xét (không tương thích theo từng cặp, được gọi là giả thuyết) và nếu một sự kiện chỉ có thể xảy ra khi một trong các giả thuyết này xuất hiện, thì xác suất của sự kiện được tính bằng công thức xác suất tổng:

,

xác suất của giả thuyết là ở đâu. .

là xác suất có điều kiện của sự kiện theo giả thuyết này. Nếu trước khi thử nghiệm, xác suất của các giả thuyết là Công thức Bayes:

.

Công thức Bayes giúp ta có thể đánh giá quá cao xác suất của các giả thuyết, có tính đến kết quả đã biết của thí nghiệm.

ví dụ 1

Có ba lọ giống hệt nhau. Trong các quả bóng màu trắng đầu tiên và màu đen; trong thứ hai - trắng và đen; trong thứ ba chỉ có bóng trắng. Ai đó ngẫu nhiên đến gần một trong những chiếc lọ và lấy một quả bóng từ nó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Quyết định.

Hãy để sự kiện là sự xuất hiện của một quả bóng trắng. Chúng tôi đưa ra các giả thuyết: - sự lựa chọn của chiếc bình đầu tiên;

- sự lựa chọn của bình thứ hai;

- sự lựa chọn của bình thứ ba;

,

, , ;

theo công thức xác suất tổng

Ví dụ 2

Có hai bình: trong bình thứ nhất có các quả bóng trắng và bình đen, trong bình thứ hai có các bình đen. Một quả bóng được chuyển từ bình thứ nhất sang bình thứ hai; các quả bóng được xáo trộn và sau đó một quả bóng được chuyển từ bình thứ hai sang bình thứ nhất. Sau đó, một bi được lấy ngẫu nhiên từ bình thứ nhất. Tìm xác suất để anh ta là người da trắng.

Quyết định.

Các giả thuyết: - thành phần của các viên bi trong bình thứ nhất không thay đổi;

- trong bình thứ nhất, một quả bóng màu đen được thay bằng một quả bóng màu trắng;

- trong bình thứ nhất, một quả bóng màu trắng được thay bằng một quả bóng màu đen;

;

Lời giải kết quả cho biết xác suất vẽ được bi trắng không thay đổi nếu tỉ lệ bi trắng và bi đen trong cả hai bình là như nhau .

Trả lời: .

Ví dụ 3

Thiết bị bao gồm hai nút, hoạt động của mỗi nút chắc chắn cần thiết cho hoạt động của toàn bộ thiết bị. Độ tin cậy (xác suất hoạt động không có lỗi trong thời gian) của nút thứ nhất bằng nút thứ hai. Thiết bị được kiểm tra theo thời gian, kết quả là nó không hoạt động theo đúng yêu cầu (không thành công). Tìm xác suất để chỉ có nút đầu tiên bị lỗi và nút thứ hai đang hoạt động.

Quyết định.

Trước khi thử nghiệm, có thể có bốn giả thuyết:

- cả hai nút đều hoạt động;

- nút đầu tiên bị lỗi, nút thứ hai có thể sử dụng được;

- thứ nhất có thể sử dụng được, thứ hai từ chối;

- cả hai nút đều không thành công;

Xác suất giả thuyết:

Một sự kiện đã được quan sát - thiết bị bị lỗi:

Theo công thức Bayes:

Lặp lại các thí nghiệm

Nếu các thí nghiệm độc lập được thực hiện trong cùng các điều kiện và trong mỗi điều kiện đó, một sự kiện xuất hiện với xác suất, thì xác suất sự kiện đó sẽ xảy ra đúng một lần trong các thí nghiệm này được biểu thị bằng công thức:

,

Xác suất để xảy ra ít nhất một sự kiện trong các thí nghiệm độc lập trong cùng điều kiện bằng:

.

Xác suất để một sự kiện xảy ra a) ít hơn một lần; b) nhiều hơn một lần; c) ít nhất một lần; d) không quá một lần chúng ta tìm thấy tương ứng, trừ các công thức:

Định lý lặp lại tổng quát

Nếu các thí nghiệm độc lập được thực hiện trong các điều kiện khác nhau và xác suất của một sự kiện trong thí nghiệm thứ-là, thì xác suất để sự kiện đó xuất hiện trong các thí nghiệm này đúng một lần bằng hệ số trong khai triển lũy thừa của hàm sinh

, ở đâu .

ví dụ 1

Thiết bị bao gồm 10 nút. Độ tin cậy (xác suất hoạt động không có lỗi theo thời gian) cho mỗi nút . Các nút bị lỗi độc lập với nhau. Tìm xác suất để trong thời gian:

a) ít nhất một nút bị lỗi;

b) chính xác một nút sẽ bị lỗi;

c) chính xác hai nút sẽ bị lỗi;

d) ít nhất hai nút sẽ bị lỗi.

Quyết định.

Ví dụ 2

Một bình đựng 30 viên bi trắng và 15 bi đen. 5 viên bi được lấy ra liên tiếp, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được lấy ra và các bóng trong bình được trộn lẫn. Xác suất để 3 trong 5 quả bóng được rút ra có màu trắng là bao nhiêu?

Quyết định.

Xác suất để rút được một quả bóng màu trắng, có thể được coi là như nhau trong cả 5 lần thử: sau đó là xác suất để không lấy được một quả bóng màu trắng. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng tôi nhận được:

Ví dụ 3

Một đồng xu được tung tám lần. Xác suất để nó lộn ngược sáu lần là bao nhiêu?

Quyết định.

Chúng tôi có một chương trình thử nghiệm Bernoulli. Xác suất Ge xuất hiện trong một lần thử , sau đó

Đáp số: 0,107.

Ví dụ 4

Bốn phát đạn độc lập được bắn và - xác suất bắn trúng mục tiêu là giá trị trung bình của các xác suất

Tìm xác suất: .

Quyết định.

Theo công thức Bernoulli, chúng ta có

Ví dụ 5

Có năm trạm mà thông tin liên lạc được duy trì. Thông tin liên lạc theo thời gian bị gián đoạn do sự giao thoa của khí quyển. Do khoảng cách giữa các trạm với nhau, sự gián đoạn liên lạc với mỗi trạm xảy ra độc lập với các trạm khác với xác suất 0,2. Tìm xác suất để liên lạc được duy trì với nhiều nhất hai trạm tại một thời điểm nhất định.

Quyết định.

Sự kiện - có một kết nối với không quá hai trạm.

Đáp số: 0,72.

Ví dụ 6

Hệ thống các trạm radar giám sát một nhóm đối tượng, bao gồm mười đơn vị. Mỗi đối tượng có thể bị mất (không kể những đối tượng khác) với xác suất 0,1. Tìm xác suất để ít nhất một trong hai đồ vật bị mất.

Quyết định.

Xác suất mất ít nhất một đối tượng có thể được tìm thấy bằng công thức:

nhưng sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng xác suất của sự kiện ngược lại - không một đối tượng nào bị mất - và trừ nó cho một

Đáp số: 0,65.

Các biến thể của nhiệm vụ cho công việc kiểm soát số 5

lựa chọn 1

1. Hai con xúc xắc được ném. Tìm xác suất để tổng các điểm cuộn được là 7.

2. Cho là ba sự kiện tùy ý. Viết biểu thức cho các sự kiện mà trong số ba sự kiện này, có ít nhất hai sự kiện đã xảy ra.

3. Một đồng xu được tung 5 lần. Tìm xác suất để "quốc huy" xuất hiện: a) ít nhất hai lần, b) ít nhất hai lần.

4. Có 2 lọ đựng giống nhau. Bình thứ nhất chứa 3 bi trắng và 5 bi đen, bình thứ hai chứa 3 bi trắng và 7 bi đen. Một quả bóng được rút ra từ một lọ được chọn ngẫu nhiên. Xác định xác suất để quả bóng
đen.

5. 18 đội tham dự giải vô địch bóng đá quốc gia Mỗi đội gặp nhau trên các sân bóng 2 lần. Có bao nhiêu trận đấu được chơi trong một mùa giải?

Lựa chọn 2

1. Khi gọi đến một số điện thoại, chủ thuê bao quên mất 3 số cuối, chỉ nhớ các số này khác nhau nên gọi ngẫu nhiên. Tìm xác suất để các chữ số đúng được quay.

2. Có đúng không .

3. Tìm xác suất để biến cố xảy ra ít nhất 2 lần trong 4 lần thử độc lập nếu xác suất biến cố xảy ra trong một lần thử là 0,6.

4. Các thiết bị điện được cung cấp cho cửa hàng bởi ba nhà máy. Nguồn cung cấp đầu tiên 50%, thứ hai - 20%, thứ ba - 30% tất cả các sản phẩm. Xác suất chế tạo thiết bị có chất lượng cao nhất của mỗi nhà máy tương ứng là:. Xác định xác suất để thiết bị mua ở cửa hàng có chất lượng cao nhất.

5. Các chữ cái mã Morse được hình thành như một chuỗi các dấu chấm và
dấu gạch ngang. Có bao nhiêu chữ cái khác nhau có thể được tạo thành bằng cách sử dụng 5
nhân vật?

Lựa chọn 3

1. Trong hộp có 10 quả bóng được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy ra một quả bóng. Xác suất để số bi được rút ra không vượt quá 10.

2. Bình đẳng có đúng không ?

3. Xác suất biến cố xảy ra ít nhất một lần trong ba lần thử là 0,936. Tìm xác suất biến cố xảy ra trong một lần thử.

4. Có ba lọ giống nhau. Bình thứ nhất chứa 5 bi trắng và 5 bi đen, bình thứ hai chứa 3 bi trắng và 2 bi đen, bình thứ ba chứa 7 bi trắng và 3 bi đen. Một quả bóng được rút ra từ một lọ được chọn ngẫu nhiên. Xác định xác suất để bi có màu trắng.

5. Có bao nhiêu cách để 12 người ngồi vào một bàn có 12 con dao kéo.

Lựa chọn 4

1. 6 nam và 4 nữ làm việc trong xưởng. 7 người được chọn ngẫu nhiên theo số lượng nhân sự. Tìm xác suất để trong số những người được chọn có 3 nữ.

2. Chứng minh rằng .

3. Đặt xác suất để một bộ phận được lấy ngẫu nhiên không theo tiêu chuẩn là 0,1. Tìm xác suất để trong 5 bộ phận được lấy ngẫu nhiên có không quá 2 bộ phận không đạt tiêu chuẩn.

4. Có ba lọ giống nhau. Bình thứ nhất chứa 3 quả trắng và 3 quả đen, bình thứ hai chứa 2 quả trắng và 6 quả đen, và bình thứ ba chứa 5 quả trắng và 2 quả đen. Một quả bóng được rút ra từ một lọ được chọn ngẫu nhiên. Xác định xác suất để quả bóng có màu đen.

5. Phải lập lịch tàu chạy các ngày trong tuần. Đồng thời quy định: 2 chuyến mỗi ngày khởi hành trong 3 ngày, 1 chuyến mỗi ngày trong 2 ngày, 3 chuyến mỗi ngày trong 2 ngày. Có bao nhiêu lịch trình khác nhau có thể được thực hiện?

Lựa chọn 5

1. Một khối lập phương, tất cả các mặt đều được sơn, được cắt thành 64 khối có cùng kích thước, sau đó được trộn với nhau. Tìm xác suất để một hình lập phương được lấy ngẫu nhiên có hai mặt được tô màu.

2. Chứng minh rằng .

3. Cho xác suất tivi phải sửa chữa trong thời gian bảo hành là 0,2. Tìm xác suất để trong thời gian bảo hành trong tổng số 6 TV: a) có không quá 1 chiếc phải sửa chữa, b) có ít nhất 1 chiếc không phải sửa chữa.

4. Các bộ phận cùng loại được sản xuất trên ba dây chuyền tự động. Do sự rối loạn của máy móc nên có thể sinh ra các phế phẩm: dòng thứ nhất với xác suất 0,02; lần thứ hai - với xác suất 0,01; thứ ba - với xác suất 0,05. Dòng đầu tiên cho 70%, dòng thứ hai - 20%, dòng thứ ba - 10% của tất cả các sản phẩm. Xác định xác suất kết hôn.

5. Trong một bình đựng các quả bóng màu trắng và đen. Có bao nhiêu cách chọn trong số các viên bi, trong đó có các viên màu trắng. (Các quả bóng của mỗi màu được đánh số.)

Tùy chọn 6

1. Có 12 quả bóng trong một lọ: 3 quả bóng trắng, 4 quả bóng đen và 5 quả bóng đỏ. Xác suất để rút được một quả bóng màu đỏ từ cái lọ là bao nhiêu?

2. Chứng minh rằng.

3. Xác suất trúng thưởng của một tờ vé số là. Tìm xác suất để trúng ít nhất 2 vé trong tổng số 6 vé.

4. Trong hai hộp có các bộ phận cùng loại: trong hộp thứ nhất 8 chiếc còn dùng được và 2 chiếc bị lỗi, chiếc thứ hai 6 chiếc còn dùng được và 4 chiếc bị lỗi. Hai vật phẩm được lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất và một vật phẩm từ hộp thứ hai. Các phần, hỗn hợp, được đặt trong hộp thứ ba, từ đó một phần được lấy ngẫu nhiên. Xác định xác suất để mặt hàng này là đúng.

5. Có bao nhiêu cách chọn 2 quân bích từ bộ bài 36 quân?

Lựa chọn 7

1. Có 15 quả bóng trong bình với các số từ 1 đến 15. Tính xác suất để rút được quả bóng có số 18 là bao nhiêu?

2. Chứng minh rằng.

3. Xác suất bắn trúng mỗi lần bắn là 0,4. Tìm xác suất tiêu diệt được đối tượng nếu trong trường hợp này cần ít nhất 3 viên đạn và bắn được 15 viên.

4. Hai bình giống nhau chứa các quả bóng trắng và đen. Người ta chuyển một quả bóng từ bình thứ nhất sang bình thứ hai. Trong bình thứ hai, các bi được trộn lẫn với nhau và một bi được chuyển sang bình thứ nhất. Sau đó, một quả bóng được rút ra từ chiếc lọ đầu tiên. Tìm xác suất để quả bóng có màu trắng.

5. Hai số được chọn liên tiếp từ tập hợp không thay thế. Có bao nhiêu tập hợp như vậy trong đó số thứ hai lớn hơn số thứ nhất?

Lựa chọn 8

1. Có một hình tròn bên trong hình elip. Tìm xác suất để một điểm rơi vào vòng giới hạn bởi hình elip và hình tròn.

2. Cho là ba sự kiện tùy ý. Tìm biểu thức cho các sự kiện: a) các sự kiện và đã xảy ra, nhưng sự kiện đó không xảy ra; b) Có đúng 2 sự kiện đã xảy ra.

3. Tìm xác suất để trong một gia đình có ít nhất 6 người con
2 cô gái. (Xác suất sinh con trai và con gái được coi là như nhau).

4. Có hai cái lọ. Bình thứ nhất chứa 3 bi trắng và 5 bi đen, bình thứ hai chứa 4 bi trắng và 6 bi đen. Hai quả cầu được chuyển từ bình thứ nhất sang bình thứ hai mà không cần tìm. Các quả bóng trong bình thứ hai được trộn kỹ và một quả bóng được lấy ra từ nó. Tìm xác suất để quả bóng
trắng.

5. Có bao nhiêu cách có thể đánh dấu các đỉnh của một tam giác đã cho bằng cách sử dụng các chữ cái ?

Tùy chọn 9

1. Từ năm chữ cái của bảng chữ cái đã tách, từ "cuốn sách" được tạo thành. Một đứa trẻ không biết đọc đã phân tán những chữ cái này rồi ghép chúng lại với nhau theo thứ tự ngẫu nhiên. Tìm xác suất để anh ta lại lấy được từ "sách".

2. Tìm tất cả các sự kiện sao cho , ở đâu và là một số sự kiện.

3. Trong số 15 tờ vé số, có 4 tờ trúng thưởng, xác suất để trong 6 tờ vé số được chọn ngẫu nhiên có hai tờ trúng thưởng là bao nhiêu?

4. Có ba lọ giống nhau. Bình thứ nhất chứa 4 bi trắng và 2 bi đen, bình thứ hai chứa 3 bi trắng và 3 bi đen, bình thứ ba chứa 1 bi trắng và 5 bi đen. Từ bình thứ hai và thứ ba, không cần nhìn, hai quả cầu được chuyển sang bình thứ nhất. Các quả bóng trong bình thứ nhất được xáo trộn và hai quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để chúng có màu trắng.

5. Trong số năm người chơi cờ, phải cử hai người tham gia giải đấu. Điều này có thể được thực hiện bằng bao nhiêu cách?

Lựa chọn 10

1. Từ một bộ bài 52 lá, ba lá được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để đó là một ba, một bảy và một con át.

2. Hai khối trùng lặp và được cho trước. Ghi lại sự kiện hệ thống hoạt động tốt.

3. Để báo hiệu một vụ tai nạn, hai thiết bị báo hiệu hoạt động độc lập được lắp đặt. Xác suất để thiết bị phát tín hiệu hoạt động trong trường hợp xảy ra tai nạn là 0,95 đối với thiết bị thứ nhất và 0,9 đối với thiết bị thứ hai. Tìm xác suất để chỉ có một thiết bị phát tín hiệu hoạt động trong trường hợp xảy ra tai nạn.

4. Trên ba dây chuyền tự động, các bộ phận cùng tên được sản xuất. Dòng đầu tiên cho 70%, dòng thứ hai - 20%, dòng thứ ba - 10% của tất cả các sản phẩm. Xác suất nhận được phế phẩm trên mỗi dây chuyền lần lượt là: 0,02; 0,01; 0,05. Phần may mắn hóa ra lại bị lỗi. Xác định xác suất để bộ phận đó được tạo ra trên dòng đầu tiên.

5. 10 điểm được chọn trên vòng tròn. Có bao nhiêu hợp âm có thể được vẽ với các điểm kết thúc tại các điểm này.

Lựa chọn 11

1. Trong một bình đựng các quả bóng màu trắng, đen và đỏ. Ba quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Xác suất để chúng có màu khác nhau là bao nhiêu.

2. Bình đẳng có đúng không ?

3. Bộ phận kiểm tra kỹ thuật kiểm tra sản phẩm về độ chuẩn. Xác suất để mặt hàng đó đạt tiêu chuẩn là 0,9. Tìm xác suất để chỉ có một trong hai sản phẩm được kiểm tra là đạt tiêu chuẩn.

4. Ba người bắn độc lập với nhau vào mục tiêu, mỗi người bắn một phát. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người bắn thứ nhất là 0,4, của người thứ hai - 0,6 và của người thứ ba - 0,7. Sau khi bắn vào mục tiêu, hai quả trúng đích đã được tìm thấy. Xác định xác suất để chúng thuộc mũi tên thứ nhất và thứ ba.

5. Có bao nhiêu cách có thể xếp 5 quả bóng đỏ, 4 quả đen và 5 quả bóng trắng thành 1 hàng sao cho các quả bóng nằm ở các cạnh có cùng màu?

Lựa chọn 12

1. Một cuộc họp có 25 người tham dự, trong đó có 5 nữ, chọn một đoàn đại biểu gồm 3 người. Coi rằng mỗi người trong số những người có mặt với xác suất như nhau đều có thể được bầu. Tìm xác suất để đoàn đi gồm 2 nữ và một nam.

3. Tìm xác suất cho trước các xác suất , .

4. Mã 1111 với xác suất 0,2, mã 0000 với xác suất 0,3 và mã 1001 với xác suất 0,5 có thể được truyền trên kênh liên lạc. Do ảnh hưởng của nhiễu, xác suất nhận đúng từng chữ số (0 hoặc 1) của mã là 0,9 và các chữ số bị bóp méo độc lập với nhau. Tìm xác suất để mã 1111 được truyền đi nếu mã 1011 ở thiết bị nhận.

5. Một người đi bộ có thể chọn bao nhiêu con đường khác nhau nếu anh ta quyết định đi bộ 9 dãy nhà, 5 trong số đó về phía Tây, 4 đường về phía Bắc.

Lựa chọn 13

1. Một nhóm gồm 10 nam và 10 nữ được chia ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau. Tìm xác suất để ở mỗi bộ phận nam và nữ đều như nhau.

2. và là một số sự kiện. Sự bình đẳng có đúng không ?

3. Tìm xác suất cho trước các xác suất, .

4. Có thể truyền mã 1234 với xác suất 0,6 và mã 4321 với xác suất 0,4 trên đường liên lạc. Mã được hiển thị trên bảng điểm, có thể làm sai lệch các con số. Xác suất lấy 1 ăn 1 là 0,8 và lấy 1 ăn 4 là 0,2. Xác suất lấy 4 ăn 4 là 0,9 và lấy 4 ăn 1 là 0,1. Xác suất lấy 2 lấy 2 và 3 lấy 3 là 0,7. Xác suất lấy 2 lấy 3 và 3 lấy 2 là 0,3. Người điều hành đã chấp nhận mã 4231. Xác định xác suất để nhận được mã:
a) 1234; b) 4321.

5. Giữa ba người - cần phải chia 15 đối tượng khác nhau và anh ta phải nhận được 2 đối tượng, - 3, và - 10. Có bao nhiêu cách phân phối này.

Lựa chọn 14

1. Có 4 mặt hàng bị lỗi trong một lô 10 mặt hàng. Chọn ngẫu nhiên
5 mặt hàng. Xác định xác suất để trong 5 sản phẩm đó có ba sản phẩm bị lỗi.

2. Chứng minh rằng,, tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.

3. Học sinh biết 20 trong số 25 câu hỏi của chương trình. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được 2 câu hỏi mà giám khảo đưa ra.

4. Có 4 lô bộ phận. Trong đợt đầu tiên có 3% hôn nhân, trong đợt thứ hai -4%, trong đợt thứ ba và thứ tư không có hôn nhân. Xác suất để lấy một bộ phận bị lỗi nếu một bộ phận được lấy từ một lô được chọn ngẫu nhiên là bao nhiêu? Xác suất bộ phận lấy ra thuộc lô đầu tiên nếu nó bị lỗi là bao nhiêu?

5. Học sinh phải vượt qua 4 kỳ thi trong vòng 10 ngày. Bạn có thể lên lịch cho anh ấy bằng bao nhiêu cách?

Lựa chọn 15

1. Có 50 chỗ ngồi trong hội trường. Tìm xác suất để trong 10 người thì có 5 người chiếm những nơi nhất định, nếu những nơi đó bị họ chiếm một cách ngẫu nhiên.

2. Chứng minh rằng .

3. Ba người bắn độc lập vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người bắn thứ nhất là 0,75, của người thứ hai - 0,8, của người thứ ba - 0,9. Tìm xác suất để cả ba mũi tên đều trúng đích.

4. Từ một bình đựng 4 bi đen 6 bi trắng bị mất một bi không rõ màu. Để xác định thành phần của các viên bi trong bình, người ta lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ đó ra. Hóa ra chúng có màu trắng. Tìm xác suất để bi trắng bị mất.

5. Có bao nhiêu cách xếp 7 cuốn sách trên một kệ nếu hai cuốn sách nhất định phải luôn đứng cạnh nhau.

4. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,7. Xác định xác suất để sáu lần bắn độc lập có năm lần trúng đích.

5. Có 7 chỗ ngồi trên ô tô. Có bao nhiêu cách có thể 7 người lên ô tô này nếu chỉ có 3 người ngồi được ghế lái.

Lựa chọn 18

1. Để thực hành công việc cho 30 sinh viên, 15 địa điểm đã được cung cấp ở Moscow, 8 ở Taiga và 7 ở Novosibirsk. Xác suất để hai sinh viên cụ thể sẽ được thực tập ở cùng một thành phố là bao nhiêu?

2. Cho là ba sự kiện tùy ý. Tìm biểu thức cho các sự kiện bao gồm những gì đã xảy ra từ: a) only; b) chỉ một sự kiện.

3. Có 6 quả bóng trắng và 8 quả bóng đen trong một hộp. Hai quả bóng được lấy ra khỏi hộp (mà không trả lại quả bóng đã lấy ra vào hộp). Tìm xác suất để cả hai bi đều màu trắng.

3. Trong hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 10 bi đen, trong hộp thứ hai có 8 bi trắng và
4 quả bóng đen. Một quả bóng được lấy từ mỗi hộp. Xác suất để cả hai quả bóng đều màu trắng là bao nhiêu?

4. 25 động cơ đang được thử nghiệm. Xác suất hoạt động không hỏng hóc của mỗi động cơ là như nhau và bằng 0,95. Xác định số động cơ bị lỗi có thể xảy ra nhiều nhất.

5. Tanya có 20 điểm, Natasha có 30. Trong bao nhiêu cách có thể đổi một điểm của Tanya lấy một điểm của Natasha?

Lựa chọn 20

1. Ném 4 viên xúc xắc. Tìm xác suất để mọi người được số điểm như nhau.

2. Các sự kiện và nếu có, có phải khớp nhau không?

3. Ba người bắn độc lập vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người bắn thứ nhất là 0,75, của người thứ hai - 0,8. cho thứ ba - 0,9. Xác định xác suất để ít nhất một người bắn trúng mục tiêu.

4. Một lô bóng bán dẫn đang được thử nghiệm. Xác suất hoạt động không hỏng hóc của mỗi bóng bán dẫn là 0,92. Xác định có bao nhiêu bóng bán dẫn cần được kiểm tra để có thể ghi lại ít nhất một lần hỏng hóc với xác suất ít nhất là 0,95.

5. Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số nếu mỗi chữ số trong một số bất kỳ được dùng không quá 1 lần?

Ví dụ 1. Một công ty sản xuất máy tính mua các bộ phận giống nhau từ ba nhà cung cấp. Cung cấp đầu tiên 50% tất cả các thành phần, thứ hai - 20%, thứ ba - 30% của các bộ phận.
Được biết, chất lượng của các bộ phận được cung cấp là khác nhau, và trong các sản phẩm của nhà cung cấp thứ nhất, tỷ lệ sai hỏng là 4%, thứ hai - 5%, thứ ba - 2%. Xác định xác suất để một bộ phận được chọn ngẫu nhiên từ tất cả các bộ phận nhận được sẽ bị lỗi.

Quyết định. Hãy xác định các sự kiện: A - "bộ phận được chọn bị lỗi", H i - "bộ phận đã chọn được nhận từ nhà cung cấp thứ i", i = 1, 2, 3 Các giả thuyết H 1, H 2, H 3 dạng a hoàn thành nhóm các sự kiện không tương thích. Theo điều kiện
P (H1) = 0,5; P (H2) = 0,2; P (H3) = 0,3
P (A | H 1) = 0,04; P (A | H2) = 0,05; P (A | H 3) = 0,02

Theo công thức xác suất toàn phần (1.11), xác suất của biến cố A bằng
P (A) = P (H 1) P (A | H 1) + P (H 2) P (A | H 2) + P (H 3) P (A | H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02 = 0,036
Xác suất để một bộ phận được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi là 0,036.

Giả sử sự kiện A đã xảy ra trong các điều kiện của ví dụ trước: phần được chọn hóa ra bị lỗi. Xác suất nó được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên là bao nhiêu? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi công thức Bayes.
Chúng tôi bắt đầu phân tích xác suất chỉ với các giá trị sơ bộ, tiên nghiệm của xác suất của các sự kiện. Sau đó, một thử nghiệm đã được thực hiện (một phần đã được chọn) và chúng tôi nhận được thông tin bổ sung về sự kiện mà chúng tôi quan tâm. Với thông tin mới này, chúng tôi có thể tinh chỉnh các giá trị của các xác suất trước đó. Các giá trị mới của xác suất của các sự kiện giống nhau sẽ là xác suất hậu thử nghiệm (sau thực nghiệm) của các giả thuyết (Hình 1.5).

Sơ đồ đánh giá lại giả thuyết
Để biến cố A chỉ được thực hiện cùng với một trong các giả thuyết H 1, H 2,…, H n (nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích). Chúng tôi biểu thị xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết P (H i) xác suất có điều kiện của biến cố A - P (A | H i), i = 1, 2,…, n. Nếu thử nghiệm đã được thực hiện và kết quả của nó là sự kiện A đã xảy ra, thì xác suất hậu nghiệm của các giả thuyết sẽ là xác suất có điều kiện P (H i | A), i = 1, 2,…, n. Trong ký hiệu của ví dụ trước, P (H 1 | A) là xác suất để bộ phận được chọn, hóa ra là bị lỗi, được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên.
Chúng ta quan tâm đến xác suất của biến cố H k | A Xét sự xuất hiện chung của biến cố H k và A, tức là biến cố AH k. Xác suất của nó có thể được tìm thấy theo hai cách, sử dụng các công thức nhân (1.5) và (1.6):
P (AHk) = P (Hk) P (A | Hk);
P (AH k) = P (A) P (H k | A).

Cân bằng các vế phải của các công thức này
P (H k) P (A | H k) = P (A) P (H k | A),

do đó xác suất hậu nghiệm của giả thuyết H k là

Mẫu số là tổng xác suất của biến cố A. Thay P (A) giá trị của nó theo công thức xác suất toàn phần (1.11), ta được:
(1.12)
Công thức (1.12) được gọi là Công thức Bayes và được sử dụng để đánh giá lại xác suất của các giả thuyết.
Trong các điều kiện của ví dụ trước, chúng tôi tìm xác suất để bộ phận bị lỗi được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên. Chúng ta hãy tóm tắt trong một bảng các xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết P (H i) mà chúng ta đã biết theo điều kiện, các xác suất có điều kiện P (A | H i) các xác suất chung được tính toán trong quá trình giải P (AH i) = P (H i) P (A | H i) và được tính theo công thức (1.12) a xác suất sau P (H k | A), i, k = 1, 2,…, n (Bảng 1.3).

Bảng 1.3 - Đánh giá lại các giả thuyết

Giả thuyết Xin chào	Xác suất
	Trước P (H i)	Có điều kiện P (A | H i)	Chung P (AH i)	A posteriori P (H i | A)
1	2	3	4	5
H 1 - phần nhận được từ nhà cung cấp đầu tiên	0.5	0.04	0.02
H 2 - phần nhận được từ nhà cung cấp thứ hai	0.2	0.05	0.01
H 3 - phần nhận được từ nhà cung cấp thứ ba	0.3	0.02	0.006
Tổng	1.0	-	0.036	1

Hãy xem xét hàng cuối cùng của bảng này. Cột thứ hai chứa tổng xác suất của các sự kiện không tương thích H 1, H 2, H 3 tạo thành một nhóm hoàn chỉnh:
P (Ω) = P (H 1 + H 2 + H 3) = P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
Trong cột thứ tư, giá trị trong mỗi hàng (xác suất chung) nhận được theo quy tắc nhân xác suất với giá trị tương ứng trong cột thứ hai và thứ ba, và ở hàng cuối cùng, 0,036 là tổng xác suất của sự kiện A. (theo công thức xác suất toàn phần).
Trong cột 5, xác suất sau của các giả thuyết được tính bằng công thức Bayes (1.12):

Các xác suất đặt sau P (H 2 | A) và P (H 3 | A) được tính tương tự, với tử số của phân số là xác suất chung được ghi trong các hàng tương ứng của cột 4 và mẫu số là tổng xác suất của sự kiện A được ghi ở hàng cuối cùng của cột 4.
Tổng xác suất của các giả thuyết sau thí nghiệm bằng 1 và được ghi ở dòng cuối cùng của cột thứ năm.
Vì vậy, xác suất bộ phận bị lỗi được nhận từ nhà cung cấp thứ nhất là 0,555. Xác suất sau thực nghiệm lớn hơn xác suất tiên nghiệm (do lượng cung lớn). Xác suất sau thực nghiệm mà bộ phận bị lỗi nhận được từ nhà cung cấp thứ hai là 0,278 và cũng lớn hơn phần trước khi thực nghiệm (do số lượng lớn loại bỏ). Xác suất sau thực nghiệm mà một bộ phận bị lỗi được lấy từ nhà cung cấp thứ ba là 0,167.

Ví dụ # 3. Có ba cái lọ giống hệt nhau; bình thứ nhất chứa hai quả bóng màu trắng và một quả bóng màu đen; trong thứ hai, ba màu trắng và một màu đen; trong thứ ba - hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen. Đối với thí nghiệm, một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng được lấy ra khỏi nó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.
Quyết định. Hãy xem xét ba giả thuyết: H 1 - bình thứ nhất được chọn, H 2 - bình thứ hai được chọn, H 3 - bình thứ ba được chọn và biến cố A - bi trắng được lấy ra.
Vì các giả thuyết đều có khả năng xảy ra như nhau theo điều kiện của vấn đề, nên

Các xác suất có điều kiện của sự kiện A theo các giả thuyết này tương ứng bằng:
Theo công thức xác suất tổng

Ví dụ # 4. Có 19 khẩu súng trường trong kim tự tháp, 3 trong số đó có ống ngắm quang học. Người bắn, bắn từ súng trường có ống ngắm quang học, có thể bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,81 và bắn từ súng trường không có ống ngắm quang học, với xác suất 0,46. Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu bằng cách bắn từ một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.
Quyết định.Ở đây bài kiểm tra đầu tiên là lựa chọn ngẫu nhiên súng trường, bài kiểm tra thứ hai là bắn mục tiêu. Hãy xem xét các sự kiện sau: A - người bắn sẽ bắn trúng mục tiêu; H 1 - người bắn sẽ sử dụng một khẩu súng trường có ống ngắm quang học; H 2 - người bắn sẽ sử dụng một khẩu súng trường không có ống ngắm quang học. Chúng tôi sử dụng công thức xác suất tổng. Chúng ta có

Xét rằng các súng trường được chọn lần lượt và sử dụng công thức xác suất cổ điển, ta được: P (H 1) = 3/19, P (H 2) = 16/19.
Xác suất có điều kiện được đưa ra trong bài toán: P (A | H 1) = 0; 81 và P (A | H 2) = 0; 46. Vì thế,

Ví dụ số 5. Từ một bình đựng 2 bi trắng và 3 bi đen, người ta lấy ngẫu nhiên hai bi và thêm vào bình 1 bi trắng. Tìm xác suất để một bi được lấy ra ngẫu nhiên có màu trắng.
Quyết định. Biến cố “một bi trắng được rút ra” sẽ được ký hiệu là A. Biến cố H 1 - hai bi trắng được rút ngẫu nhiên; H 2 - hai quả bóng đen được rút ngẫu nhiên; H 3 - một bi trắng và một bi đen đã được rút ra. Sau đó, xác suất của các giả thuyết đưa ra

Xác suất có điều kiện theo các giả thuyết này tương ứng bằng: P (A | H 1) = 1/4 - xác suất để vẽ được một quả bóng trắng nếu hiện tại có một quả bóng trắng và ba quả bóng đen trong bình, P (A | H 2) = 3/4 - xác suất để rút được một quả bóng trắng nếu hiện có ba quả bóng trắng và một quả bóng đen trong bình, P (A | H 3) = 2/4 = 1/2 - xác suất để rút ra một quả bóng trắng nếu lúc này trong bình có hai viên bi trắng và một bi đen có hai bi đen. Theo công thức xác suất tổng

Ví dụ số 6. Hai phát súng được bắn vào mục tiêu. Xác suất để bắn trúng lần đầu tiên là 0,2, với lần thứ hai là 0,6. Xác suất tiêu diệt mục tiêu với một lần trúng đích là 0,3, với hai quả - 0,9. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
Quyết định. Cho sự kiện A là mục tiêu bị phá hủy. Để làm được điều này, chỉ cần bắn một trong hai phát hoặc bắn trúng mục tiêu liên tiếp với hai phát mà không bỏ sót. Hãy đưa ra các giả thuyết: H 1 - cả hai lần bắn đều trúng đích. Khi đó P (H 1) = 0,2 0,6 = 0; 12. H 2 - lần đầu tiên hoặc lần thứ hai bị trượt. Khi đó P (H 2) \ u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \ u003d 0,56. Giả thuyết H 3 - cả hai lần bắn đều bị trượt - không được tính đến, vì xác suất tiêu diệt mục tiêu bằng không. Khi đó các xác suất có điều kiện tương ứng bằng nhau: xác suất tiêu diệt mục tiêu trong điều kiện cả hai lần bắn thành công là P (A | H 1) = 0,9, và xác suất tiêu diệt mục tiêu trong điều kiện chỉ có một lần bắn thành công là P ( A | H 2) = 0,3. Khi đó xác suất tiêu diệt mục tiêu theo công thức xác suất toàn phần bằng.

Hệ quả của cả hai định lý chính - định lý cộng xác suất và định lý nhân xác suất - là cái gọi là công thức xác suất toàn phần.

Hãy để yêu cầu xác định xác suất của một số sự kiện có thể xảy ra cùng với một trong các sự kiện:

tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích. Chúng tôi sẽ gọi những sự kiện này là giả thuyết.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này

, (3.4.1)

những thứ kia. xác suất của một sự kiện được tính bằng tổng các tích của xác suất của mỗi giả thuyết và xác suất của sự kiện theo giả thuyết này.

Công thức (3.4.1) được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Bằng chứng. Vì các giả thuyết tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nên sự kiện chỉ có thể xuất hiện kết hợp với bất kỳ giả thuyết nào sau đây:

Vì các giả thuyết không nhất quán, các kết hợp cũng không tương thích; áp dụng định lý cộng cho chúng, chúng ta nhận được:

Áp dụng định lý nhân vào biến cố, ta được:

,

Q.E.D.

Ví dụ 1. Có ba cái lọ giống hệt nhau; bình thứ nhất chứa hai quả bóng màu trắng và một quả bóng màu đen; trong thứ hai - ba màu trắng và một màu đen; trong thứ ba - hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen. Một người nào đó chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc lọ và lấy một quả bóng từ nó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Quyết định. Hãy xem xét ba giả thuyết:

Lựa chọn của chiếc bình đầu tiên,

Lựa chọn bình thứ hai,

Lựa chọn của chiếc bình thứ ba

và sự kiện là sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng.

Vì các giả thuyết, tùy theo điều kiện của bài toán, đều có khả năng xảy ra như nhau, nên

.

Các xác suất có điều kiện của sự kiện theo các giả thuyết này tương ứng bằng nhau:

Theo công thức xác suất tổng

.

Ví dụ 2. Ba phát đạn đơn được bắn vào một máy bay. Xác suất bắn trúng của lần đầu tiên là 0,4, với lần thứ hai - 0,5, với lần thứ ba là 0,7. Ba cú đánh rõ ràng là đủ để vô hiệu hóa một chiếc máy bay; với một lần bắn trúng máy bay với xác suất 0,2, hai lần trúng đích xác suất 0,6. Tìm xác suất để sau ba lần bắn máy bay ngừng hoạt động.

Quyết định. Hãy xem xét bốn giả thuyết:

Không một quả đạn nào bắn trúng máy bay,

Một quả đạn trúng máy bay

Máy bay bị trúng hai quả đạn.

Ba quả đạn trúng máy bay.

Sử dụng các định lý cộng và nhân, chúng ta tìm xác suất của các giả thuyết sau:

Các xác suất có điều kiện của sự kiện (hỏng máy bay) theo các giả thuyết này là:

Áp dụng công thức xác suất tổng, ta được:

Lưu ý rằng giả thuyết đầu tiên không thể được đưa vào xem xét, vì thuật ngữ tương ứng trong công thức xác suất tổng sẽ biến mất. Điều này thường được thực hiện khi áp dụng công thức xác suất toàn phần, không xem xét nhóm hoàn chỉnh các giả thuyết không nhất quán, mà chỉ những giả thuyết trong số đó có thể xảy ra một sự kiện nhất định.

Ví dụ 3. Hoạt động của động cơ được điều khiển bởi hai bộ điều chỉnh. Cần xem xét một khoảng thời gian nhất định, trong thời gian đó cần thiết để đảm bảo động cơ hoạt động không gặp sự cố. Nếu cả hai bộ điều chỉnh đều có mặt, thì động cơ bị lỗi với xác suất, nếu chỉ bộ thứ nhất hoạt động, với xác suất, nếu chỉ bộ thứ hai hoạt động, nếu cả hai bộ điều chỉnh đều hỏng, với xác suất. Điều đầu tiên trong số các cơ quan quản lý có độ tin cậy, điều thứ hai -. Tất cả các yếu tố không độc lập với nhau. Tìm tổng độ tin cậy (xác suất vận hành không hỏng hóc) của động cơ.

Trang hữu ích? Lưu hoặc nói với bạn bè của bạn

Tuyên bố chung của vấn đề là gần đúng * như sau:

Một cái lọ đựng $ K $ quả bóng trắng và $ N-K $ quả bóng đen (tổng số quả bóng $ N $). Các quả bóng $ n $ được lấy ra một cách ngẫu nhiên và không cần thay thế. Tìm xác suất để chọn đúng $ k $ bi trắng và $ n-k $ bi đen.

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, xác suất mong muốn được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức xác suất siêu đại (xem phần giải thích):

$$ P = \ frac (C_K ^ k \ cdot C_ (N-K) ^ (n-k)) (C_N ^ n). \ qquad (1) $$

* Hãy để tôi giải thích "xấp xỉ" có nghĩa là gì: các quả bóng có thể được lấy ra không phải từ bình mà từ rổ, hoặc chúng có thể không phải là màu đen và trắng, mà là màu đỏ và màu xanh lá cây, lớn và nhỏ, v.v. Điều chính là chúng là HAI loại, sau đó bạn xem xét một loại có điều kiện là "quả bóng trắng", loại thứ hai - "quả bóng đen" và thoải mái sử dụng công thức để giải (tất nhiên là sửa văn bản đúng chỗ :) ).

Video Hướng dẫn và Mẫu Excel

Xem video của chúng tôi về cách giải các bài toán về quả bóng trong giản đồ xác suất siêu đại, học cách sử dụng Excel để giải các bài toán thường gặp.

Tệp tính toán Excel từ video có thể được tải xuống miễn phí và được sử dụng để giải quyết các vấn đề của bạn.

Ví dụ về giải pháp cho các vấn đề về lựa chọn bóng

ví dụ 1 Một bình đựng 10 viên bi trắng và 8 bi đen. 5 quả bóng được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có đúng 2 bi trắng.

Thay vào công thức (1) các giá trị sau: $ K = 10 $, $ N-K = 8 $, tổng $ N = 10 + 8 = 18 $, chọn $ n = 5 $ bi, $ k = 2 $ trong số đó phải là màu trắng và tương ứng, $ n-k = 5-2 = 3 $ màu đen. Chúng tôi nhận được:

$$ P = \ frac (C_ (10) ^ 2 \ cdot C_ (8) ^ (3)) (C_ (18) ^ 5) = \ frac (45 \ cdot 56) (8568) = \ frac (5) (17) = 0,294. $$

Ví dụ 2 Một bình đựng 5 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ. Xác suất để rút được ngẫu nhiên cả hai bi trắng là bao nhiêu?

Ở đây các quả bóng không phải là đen và trắng, mà là đỏ và trắng. Nhưng điều này hoàn toàn không ảnh hưởng đến quá trình ra quyết định và câu trả lời.

Thay vào công thức (1) các giá trị sau: $ K = 5 $ (bi trắng), $ N-K = 5 $ (bi đỏ), tổng $ N = 5 + 5 = 10 $ (tổng số bi trong bình), chọn $ n = 2 $ bi, trong đó phải có $ k = 2 $ trắng và theo đó $ n-k = 2-2 = 0 $ đỏ. Chúng tôi nhận được:

$$ P = \ frac (C_ (5) ^ 2 \ cdot C_ (5) ^ (0)) (C_ (10) ^ 2) = \ frac (10 \ cdot 1) (45) = \ frac (2) (9) = 0,222. $$

Ví dụ 3 Có 4 quả bóng trắng và 2 quả bóng đen trong một rổ. 2 quả bóng được lấy từ rổ. Xác suất để chúng có cùng màu là bao nhiêu?

Ở đây, nhiệm vụ trở nên phức tạp hơn một chút, và chúng tôi sẽ giải quyết nó từng bước. Nhập sự kiện mong muốn
$ A = $ (Các quả bóng cùng màu được chọn) = (Chọn 2 quả bóng trắng hoặc 2 quả bóng đen).
Hãy biểu diễn sự kiện này dưới dạng tổng của hai sự kiện không tương thích: $ A = A_1 + A_2 $, trong đó
$ A_1 = $ (2 quả bóng trắng được chọn),
$ A_2 = $ (2 bi đen được chọn).

Hãy ghi giá trị của các tham số: $ K = 4 $ (bóng trắng), $ N-K = 2 $ (bóng đen), tổng $ N = 4 + 2 = 6 $ (tổng số bóng trong rổ). Chọn $ n = 2 $ quả bóng.

Đối với sự kiện $ A_1 $, $ k = 2 $ trong số chúng phải có màu trắng và theo đó, $ n-k = 2-2 = 0 $ màu đen. Chúng tôi nhận được:

$$ P (A_1) = \ frac (C_ (4) ^ 2 \ cdot C_ (2) ^ (0)) (C_ (6) ^ 2) = \ frac (6 \ cdot 1) (15) = \ frac (2) (5) = 0,4. $$

Đối với sự kiện $ A_2 $, $ k = 0 $ trắng và $ n-k = 2 $ đen phải được chọn từ những quả bóng đã chọn. Chúng tôi nhận được:

$$ P (A_2) = \ frac (C_ (4) ^ 0 \ cdot C_ (2) ^ (2)) (C_ (6) ^ 2) = \ frac (1 \ cdot 1) (15) = \ frac (1) (15). $$

Khi đó xác suất của sự kiện mong muốn (các quả bóng cùng màu được vẽ) là tổng các xác suất của các sự kiện này:

$$ P (A) = P (A_1) + P (A_2) = \ frac (2) (5) + \ frac (1) (15) = \ frac (7) (15) = 0,467. $$

Có ba chiếc bình trông giống hệt nhau; bình thứ nhất đựng 2 bi trắng và 1 bi đen; trong bình thứ hai có 3 bi trắng và 1 bi đen; trong cái thứ ba có 2 viên bi trắng và 2 viên bi đen.

Một người nào đó chọn ngẫu nhiên một trong những chiếc lọ và lấy một quả bóng từ nó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Hãy xem xét ba giả thuyết:

H1-lựa chọn của chiếc bình đầu tiên

H2-lựa chọn của bình thứ hai

H3-lựa chọn của chiếc bình thứ ba

một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích.

Gọi biến cố A là sự xuất hiện của một quả bóng trắng. Tại vì các giả thuyết, theo điều kiện của bài toán đều có thể xảy ra như nhau, khi đó Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1 \ 3

Các xác suất có điều kiện của biến cố A theo các giả thuyết này lần lượt bằng: Р (А / Н1) = 2 \ 3; P (A / H2) = 3 \ 4; P (A / H3) \ u003d 1/2.

Theo công thức xác suất tổng

P (A) = 1 \ 3 * 3 \ 2 + 1 \ 3 * 3 \ 4 + 1 \ 3 * 1 \ 2 = 23 \ 36

Trả lời: 23/36

P.2. Định lý giả thiết.

Một hệ quả của định lý nhân và công thức xác suất tổng là cái gọi là định lý giả thuyết, hay công thức Bayes (Bayes).

Hãy đặt nhiệm vụ sau đây.

Có một nhóm đầy đủ các giả thuyết không tương thích H1, H2,. . Hn. Xác suất của những giả thuyết này trước khi thí nghiệm đã biết và tương ứng bằng Р (Н1), Р (Н2)…, Р (Нn). Một thí nghiệm đã được thực hiện, kết quả là sự xuất hiện của một số sự kiện A. Câu hỏi đặt ra là, xác suất của các giả thuyết nên được thay đổi như thế nào khi có sự xuất hiện của sự kiện này?

Ở đây, về bản chất, chúng ta đang nói về việc tìm xác suất có điều kiện P (H1 / A) cho mỗi giả thuyết.

Từ định lý nhân ta có:

P (A * Hi) = P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi), (i = 1,2,3, .n) hoặc, loại bỏ phía bên trái Nutrend enduro bcaa Mua 120 viên.

P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi), (i = 1,2,., N)

Khi nào P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ÷ P (A), (i = 1,2,3,. N)

Biểu diễn với P (A) sử dụng tổng xác suất, chúng ta có

P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ÷ ∑P (Hi) P (A \ Hi), (i = 1,2,3,. N) (2)

Công thức (2) được gọi là công thức Bays hoặc định lý giả thiết

Ví dụ 2. trong một nhà máy, 30% sản phẩm được sản xuất bằng máy I, 25% sản phẩm được sản xuất bằng máy II, số sản phẩm còn lại được sản xuất bằng máy III. Đối với máy I, 1% sản lượng của nó bị lỗi, đối với máy II - 1,5%, đối với máy III - 2%, một đơn vị sản xuất được chọn ngẫu nhiên bị lỗi. Xác suất nó được sản xuất bằng máy I là bao nhiêu?

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu cho các sự kiện.

A - sản phẩm đã chọn bị lỗi

H1-sản phẩm do máy I sản xuất

H2 - sản phẩm do máy II sản xuất

H3 - sản phẩm do máy III sản xuất

P (H1) = 0,30; P (H2) = 0,25; P (H3) = 0,45

P (A / H1) \ u003d 0,01,

P (A / H2) \ u003d 0,015

P (A / H3) \ u003d 0,02

P (A) \ u003d 0,01 * 0,30 + 0,015 * 0,25 + 0,02 * 0,45 \ u003d 0,015,

P (H1 / A) = 0,01 * 0,30 ÷ 0,015 = 0,20

Trả lời: 20% tổng số phế phẩm do máy I sản xuất.

§chín. Công thức Bernoulli

Luật số lớn

Cho A là một sự kiện ngẫu nhiên đối với một số kinh nghiệm σ. Chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến việc liệu sự kiện A xảy ra hay không xảy ra do kết quả của thí nghiệm, vì vậy chúng ta sẽ theo quan điểm sau: không gian của các sự kiện cơ bản gắn với trải nghiệm σ chỉ bao gồm hai phần tử - A và A. Hãy biểu thị xác suất của các phần tử này lần lượt qua p và q, (p + q = 1).

Bây giờ chúng ta giả sử rằng thí nghiệm σ trong các điều kiện không thay đổi được lặp lại một số lần nhất định, ví dụ, 3 lần. Chúng ta hãy đồng ý coi việc thực hiện ba lần của σ là một thử nghiệm mới η. Nếu như trước đây, chúng ta chỉ quan tâm đến sự bắt đầu hoặc không bắt đầu của A., thì rõ ràng chúng ta nên giả định rằng không gian của các sự kiện cơ bản tương ứng với thử nghiệm η bao gồm tất cả các chuỗi có thể có độ dài 3: (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A), có thể được tạo từ A và A.

Mỗi trình tự này có nghĩa là một hoặc chuỗi khác xảy ra hoặc không xảy ra các sự kiện A trong ba thử nghiệm σ, ví dụ, chuỗi (A, A, A) có nghĩa là A xảy ra trong thử nghiệm đầu tiên và A xảy ra trong thử nghiệm thứ hai và thứ ba. Hãy để chúng tôi xác định những xác suất nào nên được chỉ định cho mỗi trình tự (1)

Điều kiện mà cả ba lần thử nghiệm σ đều được thực hiện trong các điều kiện không thay đổi phải có nghĩa như sau: kết quả của mỗi lần trong ba lần thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả đã diễn ra trong hai lần thử nghiệm kia. Những thứ kia. bất kỳ sự kết hợp nào của các kết quả của ba thí nghiệm là một bộ ba của các sự kiện độc lập. Trong trường hợp này, điều tự nhiên là gán cho một sự kiện cơ bản (A, A, A) một xác suất bằng p * q * q, cho một sự kiện (A, A, A), xác suất q * y * y , vân vân.

Điều đó. chúng ta đến với mô tả sau đây về mô hình xác suất cho thử nghiệm η (tức là, cho việc thực hiện ba lần thử nghiệm σ). Không gian Ω của các sự kiện cơ bản là một tập hợp từ 2 đến 3 chuỗi. (một). Mỗi dãy được liên kết như một xác suất với số p với lũy thừa của k, q với lũy thừa của e, trong đó các số mũ xác định bao nhiêu lần ký hiệu A và A xuất hiện trong biểu thức của dãy số này.

Các mô hình xác suất thuộc loại này được gọi là lược đồ Bernoulli. Trong trường hợp tổng quát, lược đồ Bernoulli được xác định bởi giá trị của các số n và p, trong đó n là số lần lặp lại thí nghiệm ban đầu σ (trong thí nghiệm trước, chúng tôi coi n = 3), và p là xác suất của sự kiện A trong mối quan hệ với thực nghiệm σ.

Định lý 1. Gọi xác suất của biến cố A bằng p, và gọi Pmn là xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập, biến cố này xảy ra m lần.

Khi đó công thức Bernoulli là hợp lệ.

Pmn = Cn với công suất m * P với công suất m * q với công suất n-m

Đồng xu được tung 10 lần. Xác suất để quốc huy xuất hiện đúng 3 lần là bao nhiêu?

Trong trường hợp này, việc mất quốc huy được coi là thành công, xác suất p của biến cố này trong mỗi thí nghiệm là 1 \ 2.

Do đó: Р10,3 = С10 ở độ 3 * (1 \ 2) ở độ 3 * (1 \ 2) ở độ 7 = 10 * 9 * 8 ÷ 1 * 2 * 3 * (1 ÷ 2 ở độ 10 ) = 15 \ 128

Trả lời: 15 \ 128

Với một số lượng lớn các thử nghiệm, tần suất tương đối của sự xuất hiện của một sự kiện khác rất ít so với xác suất của sự kiện này. Công thức toán học của phát biểu định tính này được đưa ra bởi định luật số lớn Bernoulli, đã được Chebyshev tinh chỉnh.

Định lý 2. Cho xác suất của biến cố A trong thử nghiệm p bằng p và thực hiện một chuỗi gồm n lần lặp lại độc lập của thử nghiệm này.

Chúng ta biểu thị cho m số lần thử nghiệm trong đó biến cố A. Khi đó, với bất kỳ số dương α nào, bất đẳng thức sau đây là:

3 (| m \ n-p |> α)

Ý nghĩa của bất đẳng thức này là biểu thức m ÷ n bằng tần suất tương đối của sự kiện A trong một loạt thí nghiệm và | m \ n-p |> α có nghĩa là độ lệch của giá trị tương đối này so với giá trị lý thuyết p. Bất đẳng thức | m \ n-p |> α có nghĩa là độ lệch lớn hơn α. Nhưng ở một giá trị không đổi của α, khi n tăng lên, vế phải của bất đẳng thức (3) có xu hướng bằng không. Nói cách khác, chuỗi trong đó độ lệch của tần số thực nghiệm so với tần số lý thuyết là một phần nhỏ của tất cả các chuỗi thử nghiệm có thể có.

Khẳng định do Bernoulli thu được tuân theo định lý: với các điều kiện của định lý, với bất kỳ giá trị nào của α> 0, chúng ta có