Xác định các đặc điểm của một hàm ngẫu nhiên từ kinh nghiệm. Đặc điểm số của một hàm ngẫu nhiên

Bỏ qua một chức năng ngẫu nhiên X (t)đã tiến hành P các thí nghiệm độc lập (quan sát) và kết quả là thu được P triển khai của một hàm ngẫu nhiên (Hình 15.4.1).

Cơm. 15.4.1

Cần phải tìm các ước lượng cho các đặc tính của một hàm ngẫu nhiên: kỳ vọng toán học của nó m x (t), sự phân tán D x (t) và hàm tương quan Kx (t, t).

Để làm điều này, hãy xem xét một loạt các phần của một hàm ngẫu nhiên cho các mốc thời gian

và đăng ký các giá trị được hàm chấp nhận X (t) vào những thời điểm này. Đến từng khoảnh khắc /, t2, ..., t m sẽ phù hợp P các giá trị hàm ngẫu nhiên.

Giá trị /, Tôi, t m thường được đặt cách đều nhau; Giá trị của khoảng giữa các giá trị lân cận được chọn tùy thuộc vào loại đường cong thực nghiệm để các điểm được chọn có thể được sử dụng để khôi phục lại khóa học chính của đường cong. Nó thường xảy ra rằng khoảng thời gian giữa các giá trị liền kề tđược đặt bất kể các tác vụ xử lý theo tần suất hoạt động của thiết bị ghi (ví dụ: theo nhịp độ của máy quay phim).

Giá trị đã đăng ký X (t)được nhập vào một bảng, mỗi hàng tương ứng với một triển khai nhất định và số cột bằng số giá trị tham chiếu của đối số (Bảng 15.4.1).

Bảng 15.4.1



x2 (?2)	x 2 U k)	X 2 (ti)	x 2 (Jm)

			%tôi(tm)

X „(t 2)	X „(tk)	X „ (?,)

Trong bảng 15.4.1, dòng thứ i chứa các giá trị của hàm ngẫu nhiên được quan sát trong quá trình triển khai / -th (thử nghiệm / -th) với các giá trị đối số, / 2, ..., t m. Biểu tượng Xj ( 4) giá trị tương ứng với nhận thức thứ i tại thời điểm này t k.

Vật chất kết quả không là gì ngoài kết quả P thí nghiệm trên hệ thống t biến ngẫu nhiên

và được xử lý theo cùng một cách (xem tiểu mục 14.3). Trước hết, ước tính cho các kỳ vọng toán học được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức

sau đó - cho các phương sai

và cuối cùng là những khoảnh khắc tương quan

Trong một số trường hợp, thuận tiện khi tính toán ước lượng cho phương sai và mô men tương quan là sử dụng mối quan hệ giữa mô men ban đầu và mô men trung tâm và tính toán chúng bằng các công thức:

Khi sử dụng các phiên bản mới nhất của công thức, để tránh sự khác biệt giữa các số gần nhau, bạn nên di chuyển trước điểm gốc dọc theo trục tọa độ gần với kỳ vọng toán học hơn.

Sau khi các đặc điểm này được tính toán, có thể sử dụng một loạt các giá trị m x (t (), m x (t 2), m x (t m), xây dựng sự phụ thuộc m x (t)(Hình 15.4.1). Sự phụ thuộc được xây dựng theo một cách tương tự O X (/). Chức năng của hai đối số Kx (t, t ")được tái tạo bởi các giá trị của nó trong một lưới điểm hình chữ nhật. Nếu cần, tất cả các hàm này được tính gần đúng bằng một số biểu thức phân tích.

15,5. Phương pháp xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên đã biến đổi từ các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên ban đầu

Trong phần trước, chúng ta đã làm quen với phương pháp xác định trực tiếp các đặc trưng của một hàm ngẫu nhiên từ kinh nghiệm. Phương pháp này không phải lúc nào cũng được sử dụng. Đầu tiên, việc thiết lập các thí nghiệm đặc biệt được thiết kế để nghiên cứu các hàm ngẫu nhiên mà chúng ta quan tâm có thể rất phức tạp và tốn kém.

Thứ hai, chúng ta thường cần điều tra các chức năng ngẫu nhiên đặc trưng cho các lỗi của dụng cụ, thiết bị ngắm, hệ thống điều khiển, v.v., những thứ chưa tồn tại mà chỉ đang được thiết kế hoặc phát triển. Trong trường hợp này, việc nghiên cứu các lỗi này thường được thực hiện một cách chính xác nhằm lựa chọn hợp lý các thông số thiết kế của hệ thống sao cho chúng dẫn đến sai số tối thiểu.

Rõ ràng là trong trường hợp này, một nghiên cứu trực tiếp về các hàm ngẫu nhiên đặc trưng cho hoạt động của hệ thống là không khả thi, và trong một số trường hợp là không thể. Trong những trường hợp như vậy, các phương pháp nghiên cứu hàm ngẫu nhiên không trực tiếp mà gián tiếp được sử dụng làm phương pháp làm việc chính. Chúng tôi đã sử dụng các phương pháp gián tiếp tương tự trong nghiên cứu các biến ngẫu nhiên: một số chương của khóa học -10,11,12 của chúng tôi - được dành để tìm luật phân phối và các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên một cách gián tiếp, theo luật phân phối và các đặc trưng số của các biến ngẫu nhiên khác liên quan đến chúng. Sử dụng các phương pháp hoàn toàn tương tự, có thể xác định các đặc điểm của hàm ngẫu nhiên một cách gián tiếp, theo các đặc điểm của các hàm ngẫu nhiên khác gắn liền với chúng. Sự phát triển của các phương pháp gián tiếp đó là nội dung chính của lý thuyết ứng dụng của các hàm ngẫu nhiên.

Bài toán điều tra gián tiếp các hàm ngẫu nhiên trong thực tế thường phát sinh dưới dạng sau.

Cơm. 15.5.1

Có một số hệ thống động NHƯNG; bởi "hệ thống động", chúng tôi có nghĩa là bất kỳ thiết bị, tầm nhìn, cơ chế đếm, hệ thống điều khiển tự động, v.v. Hệ thống này có thể là cơ, điện hoặc chứa bất kỳ yếu tố nào khác. Chúng ta sẽ hình dung hoạt động của hệ thống như sau: một số dữ liệu đầu vào được nhận liên tục ở đầu vào của hệ thống; hệ thống xử lý chúng và liên tục tạo ra một số kết quả. Hãy đồng ý gọi dữ liệu đến đầu vào của hệ thống là "tác động", và kết quả đầu ra là "phản ứng" của hệ thống đối với tác động này. Các ảnh hưởng có thể bao gồm thay đổi điện áp, tọa độ góc và tuyến tính của một số đối tượng, tín hiệu hoặc lệnh được cung cấp cho hệ thống điều khiển, v.v. Theo cách tương tự, phản ứng của hệ có thể được phát triển dưới dạng này hay dạng khác: dưới dạng ứng suất, chuyển vị góc, v.v. Ví dụ, đối với một ống ngắm bắn trên không, tác động là tọa độ góc của mục tiêu chuyển động, được đo liên tục trong quá trình theo dõi, phản lực là góc dẫn. Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất: khi hệ thống nhập NHƯNG chỉ một hành động được áp dụng, đó là một hàm của thời gian x (/); phản ứng của hệ thống với tác động này là một chức năng khác của thời gian tại(/). Sơ đồ vận hành hệ thống NHƯNG quy ước được hiển thị trong Hình. 15.5.1. Chúng tôi sẽ nói rằng hệ thống NHƯNG thực hiện một số chuyển đổi trên hành động đầu vào, do đó hàm x (f) chuyển đổi sang một chức năng khác tại(/). Chúng tôi viết sự biến đổi này một cách tượng trưng dưới dạng:

sự biến đổi NHƯNG có thể thuộc bất kỳ loại nào và bất kỳ phức tạp nào. Trong các trường hợp đơn giản nhất, đây là ví dụ, nhân với một hệ số nhất định (bộ khuếch đại, cơ chế nhân), phân biệt hoặc tích hợp (thiết bị phân biệt hoặc tích hợp). Tuy nhiên, trong thực tế, các hệ thống thực hiện các phép biến đổi đơn giản như vậy ở dạng thuần túy hầu như không bao giờ gặp phải; như một quy luật, hoạt động của hệ thống được mô tả bằng các phương trình vi phân, và phép biến đổi NHƯNG rút gọn thành việc giải một phương trình vi phân liên quan đến hành động x (/) với phản ứng y (tôi).

Trong việc nghiên cứu một hệ thống động, vấn đề chính được giải quyết trước hết: đối với một hành động nhất định x (t) xác định phản ứng của hệ thống y (t). Tuy nhiên, để nghiên cứu đầy đủ về hệ thống và đánh giá các phẩm chất kỹ thuật của nó, cách tiếp cận cơ bản như vậy là không đủ. Trong thực tế, hành động x (/) không bao giờ đến đầu vào của hệ thống ở dạng thuần túy của nó; nó luôn bị bóp méo bởi một số lỗi ngẫu nhiên (nhiễu loạn), do đó một chức năng không xác định thực sự ảnh hưởng đến hệ thống x (t), và hàm ngẫu nhiên X (t) Theo đó, hệ thống phát triển như một phản ứng, một hàm ngẫu nhiên Y (t), cũng khác với phản ứng lý thuyết y (/) (Hình 15.5.2).

Cơm. 15.5.2

Câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên: sự biến dạng ngẫu nhiên của phản ứng hệ thống sẽ lớn đến mức nào khi có nhiễu ngẫu nhiên ở đầu vào của nó? Và xa hơn: các tham số hệ thống nên được chọn như thế nào để những biến dạng này là nhỏ nhất?

Giải pháp của những vấn đề như vậy không thể đạt được bằng các phương pháp của lý thuyết xác suất cổ điển; bộ máy toán học phù hợp duy nhất cho mục đích này là bộ máy của lý thuyết các hàm ngẫu nhiên.

Trong hai nhiệm vụ được đặt ra ở trên, đương nhiên, nhiệm vụ đầu tiên - trực tiếp - đơn giản hơn. Hãy xây dựng nó như sau.

Đầu vào của hệ thống động lực NHƯNGđến một chức năng ngẫu nhiên X (1 ); hệ thống đưa nó vào một phép biến đổi đã biết, do đó một hàm ngẫu nhiên xuất hiện ở đầu ra của hệ thống:

Các đặc điểm của hàm ngẫu nhiên đã biết X (t): kỳ vọng toán học và hàm tương quan. Cần phải tìm các đặc điểm tương tự của một hàm ngẫu nhiên Y (t). Tóm lại, theo các đặc điểm đã cho của một hàm ngẫu nhiên ở đầu vào của một hệ thống động, hãy tìm các đặc điểm của một hàm ngẫu nhiên ở đầu ra.

Vấn đề đặt ra có thể được giải quyết chính xác trong một cụ thể, nhưng rất quan trọng đối với thực tiễn, trường hợp: khi biến đổi NHƯNG thuộc về lớp của cái gọi là biến đổi tuyến tính và theo đó là hệ thống NHƯNG thuộc về lớp hệ thống tuyến tính.

Phòng thí nghiệm số 4

QUY TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA CHÚNG

4.1. MỤC ĐÍCH CÔNG VIỆC

Làm quen với các khái niệm cơ bản của lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên. Thực hiện các phép đo đặc trưng mômen và ước lượng PDF các giá trị tức thời của các quá trình ngẫu nhiên. Phân tích loại hàm tự tương quan (ACF) và mật độ phổ công suất (PSD) của một quá trình ngẫu nhiên. Khảo sát các phép biến đổi của một quá trình ngẫu nhiên bằng các chuỗi không quán tính đứng yên và phi tuyến tính.

4.2. DỮ LIỆU LÝ THUYẾT

Sự kiện ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên

Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong một số trải nghiệm được gọi là sự kiện ngẫu nhiên và đặc trưng xác suất thực hiện

. Giá trị ngẫu nhiên(SV)

có thể nhận một giá trị duy nhất

từ một số bộ

; giá trị này được gọi là hiện thực của RV đã cho. có thể là, ví dụ, một tập hợp các số thực

hoặc một tập hợp con của nó. Nếu tập hợp là hữu hạn hoặc có thể đếm được (CV rời rạc), chúng ta có thể nói về xác suất

triển khai sự kiện, bao gồm việc chấp nhận giá trị bởi một biến ngẫu nhiên, tức là trên tập giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc, phân phối xác suất. Nếu tập hợp là không thể đếm được (ví dụ: toàn bộ dòng thực), thì mô tả đầy đủ về biến ngẫu nhiên sẽ cho Chức năng phân phối,được xác định bởi biểu thức

ở đâu
. Nếu hàm phân phối là liên tục và có thể phân biệt được thì người ta có thể xác định phân phối mật độ xác suất(PRD), còn được gọi tắt là mật độ xác suất
(và đôi khi chỉ là mật độ):

, trong đó
.

Rõ ràng, hàm phân phối là một hàm không âm không giảm với các tính chất
,
. Do đó,
PDF là một hàm không tiêu cực đáp ứng điều kiện bình thường hóa
.

Đôi khi chúng được giới hạn trong các đặc tính số của một biến ngẫu nhiên, thường là khoảnh khắc. Sơ cấp khoảng khăc -th order (thời điểm ban đầu thứ)

đâu là đường ngang và
là ký hiệu tượng trưng của toán tử tích phân tính trung bình nhóm. Thời điểm bắt đầu đầu tiên
, gọi là kỳ vọng toán học hoặc trung tâm phân phối.

Trung tâm thời điểm đặt hàng thứ (thời điểm trung tâm thứ)

Thời điểm trung tâm phổ biến nhất là thời điểm trung tâm thứ hai, hoặc sự phân tán

Thay vì phân tán, người ta thường vận hành độ lệch chuẩn(RMS) biến ngẫu nhiên
.

^ Hình vuông giữa, hoặc khoảnh khắc ban đầu thứ hai
, có liên quan đến phương sai và kỳ vọng toán học:

Hệ số được sử dụng để mô tả dạng PDF sự bất đối xứng
và hệ số kurtosis
(đôi khi kurtosis được đặc trưng bởi giá trị
).

Phân phối bình thường, hoặc Gaussian (Gaussian) với PDF thường được sử dụng.

ở đâu và - các tham số phân phối (kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn, tương ứng). Đối với phân phối Gaussian
,
.

Hai biến ngẫu nhiên và đặc trưng chung mật độ phân phối
. Các đặc điểm số của mật độ khớp là ban đầu và trung tâm Trộn khoảnh khắc

,
,

ở đâu và là các số nguyên dương tùy ý;
và - kỳ vọng toán học của CB x và y.

Mômen hỗn hợp bậc hai được sử dụng phổ biến nhất là thời điểm ban đầu ( tương quan khoảng khăc):

và trung tâm ( hiệp phương sai khoảnh khắc, hoặc hiệp phương sai)

Đối với một cặp biến ngẫu nhiên Gaussian, PDF khớp hai chiều có dạng

ở đâu , - độ lệch chuẩn;
- kỳ vọng toán học; – Hệ số tương quan là thời điểm hiệp phương sai chuẩn hóa

Ở hệ số tương quan bằng không, rõ ràng là

I E. không liên quan Biến ngẫu nhiên Gaussian sống độc lập.
^

quy trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên là một chuỗi các biến ngẫu nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần bởi một số biến (thường là thời gian). Có thể chuyển từ mô tả một biến ngẫu nhiên sang mô tả một quá trình ngẫu nhiên bằng cách xem xét các phân phối chung của hai, ba hoặc nhiều giá trị của quá trình tại một số thời điểm khác nhau. Đặc biệt, xem xét quy trình kịp thời phần(tại

), chúng tôi thu được hàm phân phối khớp theo chiều và mật độ phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên

…

, được xác định bởi biểu thức

Quá trình ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn chắc chắn, nếu có người ta có thể viết PDF chung của nó cho bất kỳ lựa chọn thời điểm nào
.

Thông thường, khi mô tả một quá trình ngẫu nhiên, người ta có thể tự giới hạn mình trong một tập hợp các thời điểm ban đầu hỗn hợp của nó (nếu chúng tồn tại, tức là các tích phân tương ứng hội tụ)

và những khoảnh khắc trung tâm hỗn hợp

cho số nguyên không âm
và nói chung.

Trong trường hợp chung, các mômen của PDF khớp phụ thuộc vào vị trí của các phần trên trục thời gian và được gọi là chức năng thời điểm. Thời điểm trung tâm hỗn hợp thứ hai được sử dụng phổ biến nhất

được gọi là hàm tự tương quan hay hàm tự tương quan (ACF). Nhớ lại rằng ở đây và bên dưới sự phụ thuộc vào thời gian không được chỉ ra một cách rõ ràng, cụ thể là, các hàm của thời gian là
,
và
.

Hai quá trình ngẫu nhiên có thể được coi là cùng nhau
và
; việc xem xét như vậy giả định trước mô tả của chúng ở dạng PDF đa chiều chung, cũng như ở dạng tập hợp tất cả các khoảnh khắc, bao gồm cả những khoảnh khắc hỗn hợp. Thông thường, mômen trung tâm hỗn hợp thứ hai được sử dụng trong trường hợp này.

được gọi là hàm tương quan chéo
.

Trong số tất cả các quy trình ngẫu nhiên, SP được chọn riêng mà PDF theo chiều chung không thay đổi với sự thay đổi đồng thời (dịch chuyển) của tất cả các phần thời gian theo cùng một giá trị. Các quy trình như vậy được gọi là cố định theo nghĩa hẹp hoặc cố định nghiêm ngặt.

Thông thường, một lớp rộng hơn của các quá trình ngẫu nhiên với các đặc tính ổn định bị suy yếu được xem xét. Liên doanh được gọi là cố định theo nghĩa rộng, nếu lực cắt đồng thời của các mặt cắt không chỉ thay đổi các mômen của nó không cao hơn thứ hai gọi món. Trong thực tế, điều này có nghĩa là SP đứng yên theo nghĩa rộng nếu nó có các hằng số trung bình(kỳ vọng toán học) và sự phân tán
, trong khi ACF chỉ phụ thuộc vào sự khác biệt giữa các trường hợp của thời gian, nhưng không phụ thuộc vào vị trí của chúng trên trục thời gian:

1)
,

2) ,
.

thông báo rằng
, ngụ ý là hằng số của phương sai.

Dễ dàng xác minh rằng một quá trình đứng yên theo nghĩa hẹp cũng là đứng yên theo nghĩa rộng. Tuyên bố ngược nói chung là không đúng, mặc dù có những quá trình mà sự ổn định theo nghĩa rộng bao hàm sự ổn định theo nghĩa hẹp.

Các bài đọc PDF theo chiều chung
Quá trình Gaussian, được thực hiện trong các phần thời gian, có dạng

, (4.1)

ở đâu là định thức của một ma trận vuông bao gồm các hệ số tương quan theo cặp của các bài đọc;
- phần bù đại số của một phần tử ma trận này.

PDF Gaussian chung cho bất kỳ hoàn toàn được xác định bởi các kỳ vọng toán học, phương sai và hệ số tương quan của các mẫu, tức là, hàm thời điểm không cao hơn bậc thứ hai. Nếu quy trình Gauss là dừng theo nghĩa rộng, thì tất cả các kỳ vọng toán học đều giống nhau, tất cả các phương sai (và do đó RMS) đều bằng nhau và hệ số tương quan chỉ được xác định bằng cách các phần thời gian cách xa nhau. Sau đó, rõ ràng, PDF (4.1) sẽ không thay đổi nếu tất cả các phần thời gian được dịch chuyển sang trái hoặc sang phải cùng một lượng. Do đó nó theo sau đó một quá trình Gaussian đứng yên theo nghĩa rộng cũng đứng yên theo nghĩa hẹp(đứng yên).

Trong số các quy trình ngẫu nhiên tĩnh tại nghiêm ngặt, một lớp hẹp hơn thường được phân biệt khoa trương các quá trình ngẫu nhiên. Đối với các quy trình ergodic, các khoảnh khắc được tìm thấy bằng cách lấy trung bình trên toàn bộ tập hợp bằng với các khoảnh khắc tương ứng được tìm thấy bằng cách lấy trung bình theo thời gian:

(nơi đây là ký hiệu tượng trưng của toán tử tính trung bình thời gian).

Đặc biệt, đối với một quy trình ergodic, kỳ vọng toán học, phương sai và ACF tương ứng là

Tính sai lệch rất được mong muốn, vì nó có thể thực tế đo lường (ước lượng) các đặc tính số của một quá trình ngẫu nhiên. Thực tế là thường chỉ có một (mặc dù có lẽ khá lâu) một quá trình thực hiện ngẫu nhiên có sẵn cho một người quan sát. Về bản chất, Ergodicity có nghĩa là nhận thức duy nhất này là đại diện đầy đủ của toàn bộ quần thể.

Việc đo các đặc tính của một quá trình ergodic có thể được thực hiện bằng các thiết bị đo đơn giản; vì vậy, nếu quá trình là một hiệu điện thế phụ thuộc vào thời gian, thì vôn kế điện từ của hệ thống đo kỳ vọng toán học của nó (thành phần không đổi), vôn kế của hệ thống điện từ hoặc nhiệt điện, được kết nối qua điện dung phân tách (để loại trừ thành phần không đổi), đo giá trị bình phương trung bình căn của nó (RMS). Thiết bị, sơ đồ khối của nó được hiển thị trong hình. 4.1, cho phép bạn đo các giá trị của hàm tự tương quan cho các . Bộ lọc thông thấp đóng vai trò của một bộ tích hợp ở đây, tụ điện thực hiện quá trình định tâm, vì nó không vượt qua thành phần dòng điện một chiều. Thiết bị này được gọi là máy đo tương quan.

Cơm. 4.1

Điều kiện đủ cho tính ổn định của quá trình ngẫu nhiên tĩnh là điều kiện
, cũng như kém mạnh mẽ hơn Tình trạng trơn trượt
.
^

Các thuật toán rời rạc để ước tính các tham số SP

Các biểu thức trên để tìm ước lượng các tham số của SP và hàm tương quan có giá trị trong thời gian liên tục. Trong phòng thí nghiệm này (cũng như trong nhiều hệ thống và thiết bị kỹ thuật hiện đại), các tín hiệu tương tự được tạo ra và xử lý bởi các thiết bị kỹ thuật số, dẫn đến nhu cầu sửa đổi một số biểu thức tương ứng. Đặc biệt, để xác định ước tính của kỳ vọng toán học, biểu thức được sử dụng trung bình mẫu

ở đâu
là chuỗi các bài đọc của quá trình ( vật mẫuâm lượng
). Ước tính phương sai là phương sai mẫu, được xác định bởi biểu thức

Ước lượng của hàm tự tương quan, còn được gọi là tương quan, được tìm thấy là

Ước tính mật độ phân phối xác suất của giá trị tức thời của SSP là biểu đồ cột. Để tìm nó, phạm vi giá trị SP có thể được chia thành các khoảng có chiều rộng bằng nhau, sau đó cho mỗi khoảng thứ, số lượng các mẫu mẫu có trong đó. Biểu đồ là một tập hợp các số
, thường được thể hiện dưới dạng sơ đồ lưới mắt cáo. Số khoảng thời gian cho một cỡ mẫu nhất định được chọn dựa trên sự thỏa hiệp giữa độ chính xác ước tính và độ phân giải (mức độ chi tiết) của biểu đồ.
^

Lý thuyết tương quan-phổ của các quá trình ngẫu nhiên

Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến các đặc tính thời điểm của bậc một và bậc hai, xác định tính chất của tính đứng yên theo nghĩa rộng, thì việc mô tả SP tĩnh được thực hiện ở cấp độ của hàm tự tương quan.

và mật độ phổ công suất

, được kết nối bởi một cặp biến đổi Fourier ( Định lý Wiener – Khinchin):

,
.

Rõ ràng, SPM không tiêu cực hàm số. Nếu quá trình có kỳ vọng toán học khác 0, thì triệu hồi và được thêm vào PSD
.

Đối với một quy trình thực, ACF và SPM thậm chí là các chức năng thực.

Đôi khi bạn có thể tự giới hạn mình trong các đặc điểm số - khoảng tương quan và độ rộng hiệu quả của phổ. ^ Khoảng tương quan được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt, các định nghĩa sau đây được biết đến

Chúng tôi đã có nhiều dịp để thấy các đặc tính số cơ bản của biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất quan trọng như thế nào: kỳ vọng toán học và phương sai đối với một biến ngẫu nhiên, kỳ vọng toán học và ma trận tương quan đối với hệ thống các biến ngẫu nhiên. Nghệ thuật sử dụng các đặc trưng số, bỏ càng xa càng tốt các quy luật phân phối, là cơ sở của lý thuyết xác suất ứng dụng. Bộ máy của đặc điểm số là một bộ máy rất linh hoạt và mạnh mẽ, nó tương đối dễ dàng để giải quyết nhiều vấn đề thực tế.

Một bộ máy hoàn toàn tương tự được sử dụng trong lý thuyết về các chức năng ngẫu nhiên. Đối với các hàm ngẫu nhiên, các đặc trưng cơ bản đơn giản nhất cũng được giới thiệu, tương tự như các đặc tính số của biến ngẫu nhiên, và các quy tắc vận hành với các đặc trưng này được thiết lập. Một bộ máy như vậy hóa ra lại đủ để giải quyết nhiều vấn đề thực tế.

Ngược lại với các đặc tính số của các biến ngẫu nhiên, đại diện cho các số nhất định, các đặc điểm của hàm ngẫu nhiên, trong trường hợp tổng quát, không phải là số, mà là hàm.

Kỳ vọng toán học của một hàm ngẫu nhiên được định nghĩa như sau. Hãy xem xét một phần của một hàm ngẫu nhiên cho cố định. Trong phần này chúng ta có biến ngẫu nhiên thông thường; Hãy để chúng tôi xác định kỳ vọng toán học của nó. Rõ ràng, trong trường hợp chung, nó phụ thuộc vào, tức là, nó là một chức năng nhất định:

. (15.3.1)

Do đó, kỳ vọng toán học của một hàm ngẫu nhiên là một hàm không ngẫu nhiên, với mỗi giá trị của đối số, bằng kỳ vọng toán học của phần tương ứng của hàm ngẫu nhiên.

Về mặt ý nghĩa, kỳ vọng toán học của một hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó, xung quanh đó các triển khai cụ thể của hàm ngẫu nhiên khác nhau theo những cách khác nhau.

Trên hình. 15.3.1, các đường mỏng hiển thị các thực hiện của một hàm ngẫu nhiên, đường dày cho thấy kỳ vọng toán học của nó.

Phương sai của một hàm ngẫu nhiên được xác định theo cách tương tự.

Phương sai của một hàm ngẫu nhiên là một hàm không ngẫu nhiên có giá trị của mỗi hàm bằng phương sai của phần tương ứng của hàm ngẫu nhiên:

. (15.3.2)

Phương sai của một hàm ngẫu nhiên ở mỗi đặc trưng cho sự lan truyền của các thực nghiệm có thể có của một hàm ngẫu nhiên so với giá trị trung bình, nói cách khác, “mức độ ngẫu nhiên” của một hàm ngẫu nhiên.

Rõ ràng, có một chức năng không tiêu cực. Trích xuất căn bậc hai từ nó, chúng ta nhận được một hàm - độ lệch chuẩn của một hàm ngẫu nhiên:

. (15.3.3)

Kỳ vọng toán học và phương sai là những đặc điểm rất quan trọng của một hàm ngẫu nhiên; tuy nhiên, những đặc điểm này không đủ để mô tả các tính năng chính của một hàm ngẫu nhiên. Để xác minh điều này, hãy xem xét hai hàm ngẫu nhiên và được mô tả trực quan bởi các nhóm triển khai trong Hình. 15.3.2 và 15.3.3.

Các hàm ngẫu nhiên và có các kỳ vọng và phương sai toán học xấp xỉ giống nhau; tuy nhiên, đặc tính của các hàm ngẫu nhiên này rất khác nhau. Một hàm ngẫu nhiên (Hình 15.3.2) được đặc trưng bởi một sự thay đổi dần dần, trơn tru. Ví dụ, nếu tại một thời điểm, một hàm ngẫu nhiên nhận một giá trị cao hơn đáng kể so với giá trị trung bình, thì rất có thể tại thời điểm đó, nó cũng sẽ nhận một giá trị lớn hơn giá trị trung bình. Một hàm ngẫu nhiên được đặc trưng bởi sự phụ thuộc rõ rệt giữa các giá trị của nó đối với các giá trị khác nhau. Ngược lại, một hàm ngẫu nhiên (Hình 15.3.3) có đặc tính dao động mạnh với các dao động ngẫu nhiên, không đều. Một hàm ngẫu nhiên như vậy được đặc trưng bởi sự phân rã nhanh chóng của sự phụ thuộc giữa các giá trị của nó khi khoảng cách o giữa chúng tăng lên.

Rõ ràng, cấu trúc bên trong của cả hai quá trình ngẫu nhiên là hoàn toàn khác nhau, nhưng sự khác biệt này không được nắm bắt bởi kỳ vọng toán học hoặc phương sai; để mô tả nó, nó là cần thiết để duy trì một đặc tính đặc biệt. Đặc tính này được gọi là hàm tương quan (hay nói cách khác là hàm tự tương quan). Hàm tương quan đặc trưng cho mức độ phụ thuộc giữa các phần của một hàm ngẫu nhiên liên quan đến khác nhau.

Giả sử có một hàm ngẫu nhiên (Hình 15.3.4); xem xét hai phần của nó liên quan đến các thời điểm khác nhau: và, tức là, hai biến ngẫu nhiên và. Rõ ràng là đối với các giá trị và giá trị gần và có liên quan chặt chẽ với nhau: nếu giá trị đã nhận một giá trị nào đó, thì giá trị có xác suất cao sẽ nhận một giá trị gần với nó. Rõ ràng là với sự gia tăng khoảng thời gian giữa các phần, sự phụ thuộc của các đại lượng và nói chung sẽ giảm đi.

Mức độ phụ thuộc của các đại lượng và phần lớn có thể được đặc trưng bởi mômen tương quan của chúng; rõ ràng, nó là một hàm của hai đối số và. Hàm này được gọi là hàm tương quan.

Do đó, hàm tương quan của một hàm ngẫu nhiên là một hàm không ngẫu nhiên của hai đối số, mà đối với mỗi cặp giá trị, bằng mômen tương quan của các phần tương ứng của hàm ngẫu nhiên:

, (15.3.4)

, .

Hãy quay lại các ví dụ về hàm ngẫu nhiên và (Hình 15.3.2 và 15.3.3). Bây giờ chúng ta thấy rằng, với cùng kỳ vọng và phương sai toán học, các hàm ngẫu nhiên và có các hàm tương quan hoàn toàn khác nhau. Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên giảm từ từ khi khoảng thời gian tăng lên; ngược lại, hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên giảm nhanh khi khoảng này tăng lên.

Chúng ta hãy tìm hiểu những gì hàm tương quan chuyển sang khi các đối số của nó giống nhau. Giả sử, chúng ta có:

, (15.3.5)

tức là tại, hàm tương quan chuyển thành phương sai của một hàm ngẫu nhiên.

Do đó, nhu cầu về sự phân tán như một đặc tính riêng biệt của một hàm ngẫu nhiên biến mất: chỉ cần coi kỳ vọng toán học và hàm tương quan của nó là những đặc điểm chính của một hàm ngẫu nhiên là đủ.

Vì thời điểm tương quan của hai biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào trình tự mà các biến này được xem xét, nên hàm tương quan là đối xứng đối với các đối số của nó, tức là không thay đổi khi các đối số được đảo ngược:

. (15.3.6)

Nếu chúng ta mô tả hàm tương quan như một bề mặt, thì bề mặt này sẽ đối xứng với mặt phẳng thẳng đứng đi qua đường phân giác của góc (Hình 15.3.5).

Lưu ý rằng các thuộc tính của hàm tương quan tuân theo tự nhiên từ các thuộc tính của ma trận tương quan của hệ thống các biến ngẫu nhiên. Thật vậy, chúng ta hãy thay thế một hàm xấp xỉ ngẫu nhiên bằng một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Với sự tăng và giảm tương ứng trong khoảng thời gian giữa các đối số, ma trận tương quan của hệ thống, là một bảng gồm hai đầu vào, trong giới hạn biến thành một hàm của hai đối số thay đổi liên tục, có các tính chất tương tự. Thuộc tính đối xứng của ma trận tương quan đối với đường chéo chính chuyển thành thuộc tính đối xứng của hàm tương quan (15.3.6). Trên đường chéo chính của ma trận tương quan là phương sai của các biến ngẫu nhiên; tương tự, tại, hàm tương quan biến thành một phương sai.

Trong thực tế, nếu yêu cầu xây dựng một hàm tương quan của một hàm ngẫu nhiên, người ta thường tiến hành như sau: người ta đặt một số giá trị cách đều nhau của đối số và xây dựng ma trận tương quan của hệ kết quả các biến ngẫu nhiên. Ma trận này chỉ là một bảng các giá trị hàm tương quan cho một lưới hình chữ nhật các giá trị đối số trên một mặt phẳng. Hơn nữa, bằng cách nội suy hoặc xấp xỉ, người ta có thể xây dựng một hàm gồm hai đối số.

Thay vì hàm tương quan, bạn có thể sử dụng hàm tương quan chuẩn hóa:

, (15.3.7)

là hệ số tương quan của các giá trị ,. Hàm tương quan chuẩn hóa tương tự như ma trận tương quan chuẩn hóa của hệ thống các biến ngẫu nhiên. Tại, hàm tương quan chuẩn hóa là bằng thống nhất.

Nhận xét sơ bộ. Tìm hình ảnh Fourier từ d-chức năng.

Rõ ràng, phép biến đổi Fourier ngược cũng đúng:

Cũng như:

1. Hãy để quá trình là một hằng số x (t) = Ao. Như nó đã được làm rõ trước đó, hàm tương quan của một quá trình như vậy là Chúng ta hãy tìm mật độ phổ của quá trình bằng cách biến đổi Fourier trực tiếp của hàm R (t):

Phổ của quá trình bao gồm một đỉnh duy nhất của kiểu hàm xung nằm ở điểm gốc. Do đó, nếu chỉ có một tần số trong quá trình w= 0, điều này có nghĩa là toàn bộ sức mạnh của quá trình được tập trung ở tần số này, điều này xác nhận dạng của hàm S (w). Nếu hàm ngẫu nhiên chứa một thành phần không đổi, tức là giá trị trung bình sau đó S (w) sẽ có sự gián đoạn tại điểm gốc và sẽ được đặc trưng bởi sự hiện diện d-chức năng tại một điểm w=0.

2. Đối với hàm điều hòa X = A o sin (w 0 t + j) chức năng tương quan:

Mật độ quang phổ là

Lịch trình S (w) sẽ có hai cực đại của loại hàm xung nằm đối xứng với gốc tọa độ tại w =+w 0 và w =-w 0. Điều này cho thấy rằng sức mạnh của quá trình tập trung ở hai tần số + w 0 và - w 0 .

Nếu một hàm ngẫu nhiên có các thành phần hài, thì mật độ phổ có sự gián đoạn tại các điểm w= ± w 0 và được đặc trưng bởi sự hiện diện của hai hàm delta nằm tại những điểm này.

Tiếng ồn trắng . Nhiễu trắng được hiểu là một quá trình ngẫu nhiên có cùng mật độ phổ ở mọi tần số từ - ¥ đến + ¥: S ( w) = Chòm sao.

Ví dụ về một quá trình như vậy theo các giả thiết nhất định là nhiễu nhiệt, bức xạ vũ trụ, v.v ... Hàm tương quan của quá trình như vậy bằng

Theo cách này R (t) là hàm xung định vị tại gốc tọa độ.

Quá trình này là một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên, vì bất cứ gì t¹0 không có mối tương quan giữa các giá trị tiếp theo và trước đó của hàm ngẫu nhiên. Một quá trình với mật độ quang phổ như vậy là không thực tế về mặt vật lý, bởi vì nó tương ứng với phương sai lớn vô hạn và bình phương trung bình của một biến ngẫu nhiên:

Quá trình như vậy tương ứng với nguồn có công suất lớn vô hạn và nguồn có năng lượng lớn vô hạn.

2. Nhiễu trắng với băng thông hạn chế. Quá trình như vậy được đặc trưng bởi mật độ phổ của dạng

S (w) = C tại ½w½<w N

S (w)= 0 lúc ½w½> wn.

ở đâu (- w N w n) băng thông cho mật độ phổ.

Đây là một quá trình ngẫu nhiên, mật độ phổ của nó thực tế không đổi trong dải tần số có thể ảnh hưởng đến hệ thống điều khiển đang được xem xét, tức là trong dải tần số mà hệ thống truyền qua. Chế độ xem đường cong S(w) bên ngoài phạm vi này không quan trọng, bởi vì phần đường cong tương ứng với các tần số cao hơn sẽ không ảnh hưởng đến hoạt động của hệ thống. Quá trình này tương ứng với hàm tương quan

Sự phân tán của quá trình là

5. Tín hiệu đầu vào điển hình của hệ thống servo. Như một tín hiệu điển hình, một tín hiệu được lấy, biểu đồ của nó được thể hiện trong Hình 63. Tốc độ quay của trục dẫn động của hệ thống servo không đổi trong một số khoảng thời gian t1, t2,...

Sự chuyển đổi từ giá trị này sang giá trị khác là tức thời. Khoảng thời gian tuân theo luật phân phối Poisson. Gia trị được ki vọng

Hình 63. Tín hiệu điển hình

Biểu đồ thuộc loại này thu được trong giá trị gần đúng đầu tiên khi theo dõi ra đađằng sau một mục tiêu di động. Các giá trị tốc độ không đổi tương ứng với chuyển động của mục tiêu trên một đường thẳng. Sự thay đổi dấu hiệu hoặc độ lớn của tốc độ tương ứng với sự điều động của mục tiêu.

Để cho m là số lần thay đổi tốc độ trung bình trong 1 s. sau đó T = 1 / m sẽ là giá trị trung bình của những khoảng thời gian mà vận tốc góc duy trì giá trị không đổi của nó. Áp dụng cho ra đa giá trị này sẽ là thời gian trung bình mà mục tiêu di chuyển trên một đường thẳng. Để xác định hàm tương quan, cần tìm giá trị trung bình của sản phẩm

Khi tìm giá trị này, có hai trường hợp.

1. Điểm trong thời gian t và t + t thuộc cùng một khoảng. Khi đó tích trung bình của vận tốc góc sẽ bằng bình phương trung bình của vận tốc góc hoặc độ phân tán:

2. Khoảnh khắc trong thời gian t và t + t thuộc các khoảng khác nhau. Khi đó tích trung bình của các vận tốc sẽ bằng 0, vì các đại lượng W (t) và W (t + t)đối với các khoảng thời gian khác nhau có thể được coi là các đại lượng độc lập:

Hàm tương quan là:

trong đó, R 1 - xác suất tìm thấy các điểm thời gian t và t + t trong cùng một khoảng thời gian, và R 2 = 1- R 1 là xác suất tìm thấy chúng trong các khoảng thời gian khác nhau.

Hãy để chúng tôi ước tính giá trị của Р 1. Xác suất xuất hiện sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian nhỏ Dt tỷ lệ với khoảng thời gian này và bằng mDt hoặc Dt / T. Xác suất không thay đổi tốc độ trong cùng một khoảng thời gian sẽ bằng 1-Dt / T. Trong khoảng thời gian t, xác suất không thay đổi tốc độ tức là xác suất tìm thấy các thời điểm t và t + t trong một khoảng thời gian tốc độ không đổi sẽ bằng tích của xác suất không thay đổi tốc độ trong mỗi khoảng thời gian cơ bản Dt, bởi vì những sự kiện này là độc lập. Đối với một khoảng hữu hạn, chúng ta thu được rằng số khoảng bằng t / Dt và

Vượt qua giới hạn, chúng tôi nhận được

o chức năng ngẫu nhiên là một hàm X (t) có giá trị với bất kỳ giá trị nào của đối số t là một biến ngẫu nhiên.

Nói cách khác, một hàm ngẫu nhiên là một hàm, do kết quả của kinh nghiệm, có thể ở dạng này hoặc dạng cụ thể khác, trong khi không biết trước là dạng nào.

o Dạng cụ thể được lấy bởi một biến ngẫu nhiên do kết quả của thử nghiệm được gọi là thực hiện một chức năng ngẫu nhiên.

Tại vì trong thực tế, đối số t thường là tạm thời nhất, sau đó hàm ngẫu nhiên được gọi là quá trình ngẫu nhiên.

Hình bên cho thấy một số triển khai của một số quá trình ngẫu nhiên.

Nếu chúng ta cố định giá trị của đối số t, thì hàm ngẫu nhiên X (t) sẽ biến thành một biến ngẫu nhiên, được gọi là phần của một chức năng ngẫu nhiên, tương ứng với thời gian t. Chúng tôi giả định rằng sự phân bố của mặt cắt ngang là liên tục. Khi đó X (t) với t cho trước được xác định bởi mật độ phân phối p (x; t).

Rõ ràng, p (x; t) không phải là một đặc trưng toàn diện của hàm ngẫu nhiên X (t), vì nó không biểu thị sự phụ thuộc giữa các phần của X (t) tại các thời điểm t. Một mô tả đầy đủ hơn được cung cấp bởi chức năng - mật độ phân phối liên kết của một hệ thống các biến ngẫu nhiên , trong đó t 1 và t 2 là các giá trị tùy ý của đối số t của hàm ngẫu nhiên. Một đặc tính hoàn chỉnh hơn của hàm ngẫu nhiên X (t) sẽ được đưa ra bởi mật độ phân phối tương thích của hệ thống ba biến ngẫu nhiên, v.v.

o Họ nói rằng một quá trình ngẫu nhiên có đơn đặt hàng n, nếu nó hoàn toàn được xác định bởi mật độ phân bố tương thích của n phần tùy ý của quá trình, tức là hệ thống gồm n biến ngẫu nhiên, trong đó X (t i) là mặt cắt ngang của quá trình tương ứng với thời điểm t i, nhưng không được xác định bằng cách xác định phân phối chung của ít hơn n mặt cắt.

o Nếu mật độ phân bố chung của hai phần tùy ý của quá trình hoàn toàn xác định nó, thì quá trình như vậy được gọi là Markovian.

Cho có một hàm ngẫu nhiên X (t). Vấn đề nảy sinh khi mô tả nó với sự trợ giúp của một hoặc nhiều đặc điểm không ngẫu nhiên. Là người đầu tiên trong số họ, điều đương nhiên là phải có chức năng - kỳ vọng toán học của một quá trình ngẫu nhiên. Thứ hai được coi là độ lệch chuẩn của quá trình ngẫu nhiên .

Những đặc điểm này là một số chức năng của t. Đầu tiên là quỹ đạo trung bình cho tất cả các hiện thực hóa có thể xảy ra. Thứ hai đặc trưng cho sự phân tán có thể có của các thực hiện của hàm ngẫu nhiên xung quanh quỹ đạo trung bình. Nhưng những đặc điểm này vẫn chưa đủ. Điều quan trọng là phải biết sự phụ thuộc của các giá trị X (t 1) và X (t 2). Sự phụ thuộc này có thể được đặc trưng bằng cách sử dụng hàm tương quan hoặc mômen tương quan.

Giả sử có hai quy trình ngẫu nhiên, một số cách triển khai được thể hiện trong các hình.

Các quá trình ngẫu nhiên này có các kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn xấp xỉ giống nhau. Tuy nhiên, chúng là các quá trình khác nhau. Bất kỳ sự thực hiện nào đối với một hàm ngẫu nhiên X 1 (t) sẽ thay đổi từ từ các giá trị của nó với sự thay đổi trong t, điều này không thể nói về hàm ngẫu nhiên X 2 (t). Đối với quy trình đầu tiên, sự phụ thuộc giữa các phần X 1 (t) và sẽ lớn hơn sự phụ thuộc của các phần X 2 (t) và quy trình thứ hai, tức là giảm chậm hơn , với Δt tăng dần. Trong trường hợp thứ hai, quá trình "quên" quá khứ của nó nhanh hơn.