Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích lý thuyết, sau đó chúng ta sẽ giải quyết một vài ví dụ để củng cố tài liệu về khai triển một hàm hữu tỉ phân số thành tổng các phân số đơn giản. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn phương pháp hệ số bất định và phương pháp giá trị một phần, cũng như sự kết hợp của chúng.

Các phân số đơn giản nhất thường được gọi là phân số cơ bản.

Có những điều sau đây các loại phân số đơn giản:

trong đó A, M, N, a, p, q là các số và phân biệt của mẫu số trong phân số 3) và 4) nhỏ hơn 0.

Chúng được gọi là phân số của loại thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư, tương ứng.

Tại sao phải chia nhỏ phân số thành những phân số đơn giản?

Hãy đưa ra một phép loại suy toán học. Thường thì bạn phải đơn giản hóa hình thức của một biểu thức để bạn có thể thực hiện một số hành động với nó. Vì vậy, việc biểu diễn một hàm hữu tỉ phân số dưới dạng tổng của các phân số đơn giản là giống nhau. Nó được sử dụng để mở rộng các hàm thành chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent và tất nhiên, để tìm tích phân.

Ví dụ, nó yêu cầu phải tích phân của một hàm hợp lý phân số. Sau khi phân tích tích phân thành các phân số đơn giản, mọi thứ giảm thành các tích phân khá đơn giản

Nhưng về tích phân ở phần khác.

Thí dụ.

Chia nhỏ một phân số thành đơn giản nhất.

Dung dịch.

Nói chung, tỉ số của đa thức được chia thành phân số đơn giản nếu bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số. Nếu không, trước hết, đa thức tử số được chia cho đa thức mẫu số, và chỉ khi đó hàm hữu tỉ phân số đúng mới bị phân tích.

Hãy thực hiện phép chia cho một cột (góc):

Do đó, phân số ban đầu sẽ có dạng:

Như vậy, chúng ta sẽ phân tích thành các phân số đơn giản

Thuật toán của phương pháp hệ số không xác định.

Trước hết, phân tích mẫu số.

Trong ví dụ của chúng tôi, mọi thứ đều đơn giản - chúng tôi lấy x ra khỏi dấu ngoặc.


Thứ hai, phân số được khai triển được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản với hệ số không chắc chắn.

Ở đây nó đáng xem xét các loại biểu thức mà bạn có thể có ở mẫu số.

Lý thuyết đủ rồi, thực hành vẫn rõ ràng hơn.

Đã đến lúc quay lại ví dụ. Phân số được phân tích thành tổng của các phân số đơn giản nhất của loại thứ nhất và thứ ba với các hệ số A, B và C không xác định.


Thứ ba, chúng tôi đưa tổng thu được của các phân số đơn giản với hệ số không xác định về một mẫu số chung và nhóm các số hạng trong tử số với cùng lũy ​​thừa x.



Đó là, chúng tôi đi đến phương trình:


Đối với x khác không, đẳng thức này rút gọn thành đẳng thức của hai đa thức


Và hai đa thức bằng nhau nếu và chỉ khi các hệ số ở cùng lũy ​​thừa giống nhau.

Thứ tư, chúng ta quy đổi các hệ số theo cùng lũy ​​thừa của x.

Trong trường hợp này, chúng ta thu được một hệ phương trình đại số tuyến tính với hệ số vô định dưới dạng ẩn số:


Thứ năm, chúng tôi giải hệ phương trình kết quả theo bất kỳ cách nào (nếu cần, xem bài viết) mà bạn thích, chúng tôi tìm hệ số không xác định.


Ở vị trí thứ sáu, viết ra câu trả lời.

Xin đừng lười biếng, hãy kiểm tra câu trả lời của bạn bằng cách giảm phần mở rộng kết quả xuống một mẫu số chung.

Phương pháp hệ số không xác định là một phương pháp phổ biến để chia nhỏ các phân số thành các phân số đơn giản.

Sẽ rất thuận tiện khi sử dụng phương pháp giá trị từng phần nếu mẫu số là tích của các thừa số tuyến tính, nghĩa là nó giống như

Hãy xem một ví dụ để chỉ ra những ưu điểm của phương pháp này.

Thí dụ.

Mở rộng một phân số đơn giản nhất.

Dung dịch.

Vì bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số nên ta không phải chia. Chúng ta chuyển sang phân tích mẫu số thành thừa số.

Trước tiên, hãy lấy x ra khỏi dấu ngoặc.

Chúng ta tìm các căn của một tam thức bình phương (ví dụ, theo định lý Vieta):

Do đó, tam thức bình phương có thể được viết dưới dạng

Nghĩa là, mẫu số sẽ có dạng

Với một mẫu số cho trước, phân số ban đầu được chia thành tổng của ba phân số đơn giản loại đầu tiên với các hệ số không xác định:

Chúng tôi giảm số tiền kết quả xuống một mẫu số chung, nhưng ở tử số, chúng tôi không mở ngoặc và không đưa ra các giá trị tương tự cho A, B và C (ở giai đoạn này, nó chỉ là sự khác biệt so với phương pháp hệ số không xác định):

Vì vậy, chúng tôi đã đi đến bình đẳng:

Và bây giờ, để tìm các hệ số không xác định, chúng ta bắt đầu thay thế bằng "giá trị riêng" bình đẳng kết quả, tại đó mẫu số bằng 0, nghĩa là x = 0, x = 2 và x = 3 cho ví dụ của chúng ta.

Tại x = 0 ta có:

Tại x = 2 ta có:

Tại x = 3 ta có:

Câu trả lời:

Như bạn thấy, sự khác biệt giữa phương pháp hệ số bất định và phương pháp giá trị từng phần chỉ nằm ở cách tìm ẩn số. Các phương pháp này có thể được kết hợp với nhau để đơn giản hóa việc tính toán.

Hãy xem xét một ví dụ.

Thí dụ.

Mở rộng một biểu thức hợp lý theo phân số thành các phân số đơn giản.

Dung dịch.

Vì bậc của đa thức tử số nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số và mẫu số đã được phân số nên biểu thức ban đầu sẽ được biểu diễn dưới dạng tổng các phân số đơn giản có dạng sau:

Chúng tôi đưa đến một mẫu số chung:

Công bằng các tử số.

Rõ ràng, các số không của mẫu số là các giá trị x = 1, x = -1 và x = 3. Chúng tôi sử dụng phương pháp giá trị từng phần.

Tại x = 1 ta có:

Tại x = -1 ta có:

Tại x = 3 ta có:

Nó vẫn còn để tìm ra điều chưa biết và

Để làm điều này, chúng tôi thay thế các giá trị tìm được thành bằng nhau của các tử số:

Sau khi mở ngoặc và giảm các số hạng tương tự cho cùng một lũy thừa của x, chúng ta đi đến đẳng thức của hai đa thức:

Ta quy đồng các hệ số tương ứng với các lũy thừa, từ đó lập hệ phương trình tìm ẩn số còn lại và. Ta nhận được một hệ gồm năm phương trình với hai ẩn số:

Từ phương trình đầu tiên ta tìm được ngay, từ phương trình thứ hai

Kết quả là, chúng ta thu được một khai triển thành các phân số đơn giản:

Ghi chú.

Nếu chúng ta ngay lập tức quyết định áp dụng phương pháp hệ số bất định, thì chúng ta sẽ phải giải một hệ năm phương trình đại số tuyến tính với năm ẩn số. Việc sử dụng phương pháp giá trị từng phần giúp dễ dàng tìm giá trị của ba trong năm ẩn số, điều này giúp đơn giản hóa rất nhiều giải pháp tiếp theo.

Xin gửi lời chào đến tất cả các bạn thân mến!

Chà, xin chúc mừng! Chúng tôi đã đạt được tài liệu chính một cách an toàn trong tích phân các phân số hữu tỉ - phương pháp hệ số không xác định. Vĩ đại và hùng mạnh.) Bệ hạ và sức mạnh là gì? Và nó nằm ở tính linh hoạt của nó. Nó có ý nghĩa để biết, phải không? Tôi cảnh báo bạn rằng sẽ có một số bài học về chủ đề này. Đối với chủ đề là rất dài, và tài liệu là vô cùng quan trọng.)

Tôi phải nói ngay rằng trong bài học hôm nay (và những bài tiếp theo nữa) chúng ta sẽ không đề cập nhiều đến tích hợp như ... giải hệ phương trình tuyến tính! Vâng vâng! Vì vậy, những người gặp vấn đề với hệ thống, ma trận lặp, định thức và phương pháp Cramer. Và đối với những đồng chí gặp rắc rối với ma trận, tệ nhất là tôi nên làm mới bộ nhớ của họ ít nhất là phương pháp "trường học" để giải hệ - phương pháp thay thế và phương pháp cộng / trừ từng số hạng.

Để bắt đầu làm quen, chúng ta cùng nhau tua lại bộ phim một chút. Chúng ta hãy quay lại các bài học trước và phân tích tất cả các phân số mà chúng ta đã tích hợp trước đó. Trực tiếp, không có bất kỳ phương pháp của hệ số không xác định! Đây rồi, những phân số này. Tôi đã sắp xếp chúng thành ba nhóm.

Nhóm 1

Ở mẫu số - hàm tuyến tính tự nó hoặc trong phạm vi. Nói một cách ngắn gọn, mẫu số là tích giống hệt nhau dấu ngoặc của biểu mẫu (Hà).

Ví dụ:

(x + 4) 1 = (x + 4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x + 5) 3 = (2x + 5) (2x + 5) (2x + 5)

Và như thế. Nhân tiện, đừng để dấu ngoặc đơn đánh lừa bạn. (4x + 5) hoặc (2x + 5) 3 với hệ số k nội bộ. Về bản chất, dấu ngoặc đơn giống nhau (Hà). Đối với điều này là hầu hết k từ các dấu ngoặc như vậy luôn luôn có thể được lấy ra.

Như thế này:

Đó là tất cả.) Và nó không quan trọng chính xác là gì trong tử số - chỉ dx hoặc một số loại đa thức. Chúng tôi luôn mở rộng tử số theo lũy thừa của dấu ngoặc (x-a), biến một phân số lớn thành tổng các phân số nhỏ, đưa (nếu cần) một dấu ngoặc dưới vi phân và tích phân.

Nhóm 2

Những phân số này có điểm gì chung?

Và điểm chung là ở tất cả các mẫu số là tam thức vuôngcây rìu 2 + bx+ c. Nhưng không chỉ, cụ thể là trong một bản sao duy nhất. Và nó không quan trọng ở đây cho dù đối tượng phân biệt là tích cực hay tiêu cực.

Các phân số như vậy luôn được tích hợp theo một trong hai cách - hoặc bằng cách mở rộng tử số theo lũy thừa của mẫu số, hoặc bằng cách lấy một bình phương đầy đủ ở mẫu số và sau đó thay đổi biến số. Tất cả phụ thuộc vào sự tích hợp cụ thể.

Nhóm 3

Đây là những phân số tồi tệ nhất để tích phân. Mẫu số là một tam thức bình phương không thể phân tích được và thậm chí ở mức độ N. Nhưng một lần nữa, trong một bản sao duy nhất. Vì ngoài phân thức, không có thừa số nào khác ở mẫu số. Các phân số như vậy được tích hợp hơn. Trực tiếp hoặc rút gọn thành nó sau khi chọn bình phương đầy đủ ở mẫu số và sau đó thay đổi biến số.

Tuy nhiên, thật không may, tất cả sự đa dạng phong phú của các phân số hữu tỉ không chỉ giới hạn ở ba nhóm được xem xét này.

Nhưng nếu mẫu số là nhiều dấu ngoặc đơn? Ví dụ, một cái gì đó như:

(x-1) (x + 1) (x + 2)

Hoặc đồng thời dấu ngoặc (Hà) và một tam thức vuông, một cái gì đó giống như (x-10) (x 2 -2x + 17)? Và trong những trường hợp tương tự khác? Ở đây, nó là trong những trường hợp như vậy để giải cứu. phương pháp hệ số không xác định!

Tôi phải nói ngay rằng: hiện tại, chúng tôi sẽ chỉ làm việc với Chính xác phân số. Những giá trị mà bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Làm thế nào để đối phó với phân số không đúng được mô tả chi tiết trong phân số. Cần chọn phần nguyên (đa thức). Bằng cách chia góc của tử số cho mẫu số hoặc bằng cách mở rộng tử số - như bạn muốn. Và ngay cả ví dụ cũng được tháo rời. Và bạn bằng cách nào đó tích phân đa thức. Không phải nhỏ rồi.) Nhưng chúng ta cũng sẽ giải các ví dụ về phân số không đúng!

Bây giờ chúng ta hãy làm quen với nhau. Không giống như hầu hết các sách giáo khoa về toán cao hơn, chúng ta sẽ không bắt đầu làm quen với một lý thuyết khô khan và nặng nề về định lý cơ bản của đại số, định lý Bezout, về sự khai triển một phân số hữu tỉ thành tổng của những phân số đơn giản nhất (sẽ tìm hiểu thêm về các phân số này ở phần sau) và tẻ nhạt khác, nhưng chúng tôi sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản.

Ví dụ, chúng ta cần tìm tích phân không xác định sau:

Đầu tiên hãy nhìn vào tích hợp. Mẫu số là tích của ba dấu ngoặc:

(x-1) (x + 3) (x + 5)

Và tất cả các dấu ngoặc nhiều. Do đó, công nghệ cũ của chúng tôi với việc mở rộng tử số theo lũy thừa của mẫu số không hoạt động lần này: dấu ngoặc nào nên được đánh dấu trong tử số? (x-1)? (x + 3)? Nó không rõ ràng ... Việc lựa chọn hình vuông đầy đủ ở mẫu số cũng không có trong máy tính tiền: có một đa thức ngày thứ bađộ (nếu bạn nhân tất cả các dấu ngoặc). Để làm gì?

Khi nhìn vào phân số của chúng ta, một ham muốn hoàn toàn tự nhiên nảy sinh ... Không thể cưỡng lại được! Từ phần lớn của chúng tôi, khó chịu tích hợp, bằng cách nào đó làm cho ba cái nhỏ. Ít nhất là như thế này:

Tại sao loại hình này được tìm kiếm? Và tất cả bởi vì ở dạng này, phân số ban đầu của chúng ta đã Thoải máiđể tích hợp! Cộng mẫu số của từng phân số nhỏ và chuyển tiếp.)

Nó thậm chí có thể có được một sự phân hủy như vậy? Tin tức là tốt! Định lý tương ứng của toán học cho biết: vâng bạn có thể! Sự phân hủy như vậy tồn tại và là duy nhất.

Nhưng có một vấn đề: các hệ số NHƯNG, TẠI và TỪ chúng tôi từ biệt chúng tôi không biết. Và bây giờ nhiệm vụ chính của chúng ta sẽ chỉ là xác định chúng. Tìm xem các chữ cái của chúng ta bằng nhau NHƯNG, TẠI và TỪ. Do đó tên, phương thức không chắc chắn các hệ số. Hãy bắt đầu cuộc hành trình tuyệt vời của chúng tôi!

Vì vậy, chúng ta có sự bình đẳng, từ đó chúng ta bắt đầu nhảy:

Hãy đưa cả ba phân số ở bên phải về một mẫu số chung và cộng:

Bây giờ bạn có thể loại bỏ các mẫu số một cách an toàn (vì chúng giống nhau) và chỉ cần cân bằng các tử số. Mọi thứ vẫn như bình thường

bước tiếp theo mở tất cả các dấu ngoặc(hệ số NHƯNG, TẠI và TỪ từ biệt tốt hơn nên để bên ngoài)

Và bây giờ (quan trọng!), Chúng tôi xây dựng toàn bộ cấu trúc của chúng tôi ở bên phải theo thâm niên: đầu tiên chúng tôi thu thập tất cả các thành viên có x 2 trong một đống, sau đó - chỉ với x và cuối cùng, chúng tôi thu thập các thành viên miễn phí. Trên thực tế, chúng ta chỉ cần đưa ra những cái tương tự và nhóm các số hạng theo lũy thừa của x.

Như thế này:

Và bây giờ chúng tôi hiểu kết quả. Ở bên trái là đa thức ban đầu của chúng ta. Mức độ thứ hai. Tử số của tích phân của chúng tôi. Đúng nữa một số đa thức bậc hai. Mũi hệ số chưa biết. Sự bình đẳng này phải có giá trị đối với tất cả các giá trị x hợp lệ. Các phân số ở bên trái và bên phải là như nhau (theo điều kiện của chúng tôi)! Điều này có nghĩa là họ tử số và (tức là đa thức của chúng ta) cũng giống nhau. Vì vậy, các hệ số với cùng lũy ​​thừa của x những đa thức này phải có bình đẳng!

Chúng tôi bắt đầu với mức độ cao nhất. Từ quảng trường. Hãy xem chúng ta có những loại hệ số nào tại X 2 bên trái và bên phải. Ở bên phải, chúng ta có tổng các hệ số A + B + C, và ở bên trái - một deuce. Vì vậy, chúng tôi có phương trình đầu tiên.

Chúng tôi viết ra:

A + B + C = 2

Có. Phương trình đầu tiên được thực hiện.)

Sau đó, chúng ta đi theo một quỹ đạo giảm dần - chúng ta xem xét các số hạng với x ở mức độ đầu tiên. Ở bên phải tại x chúng ta có 8A + 4B + 2C. Tốt. Và chúng ta có gì với x ở bên trái? Hm ... Ở bên trái, không có chữ X nào cả! Chỉ có 2x 2 - 3. Làm thế nào để được? Rất đơn giản! Điều này có nghĩa là hệ số tại x bên trái chúng ta có bằng không! Chúng ta có thể viết mặt trái của chúng ta như thế này:

Vậy thì sao? Chúng tôi có mọi quyền.) Từ đây, phương trình thứ hai trông giống như sau:

8 Một+4 B+2 C = 0

Thực tế là vậy. Nó vẫn để đánh đồng các điều khoản miễn phí:

15A-5B-3C = -3

Nói một cách ngắn gọn, sự cân bằng các hệ số ở cùng lũy ​​thừa của x xảy ra theo sơ đồ sau:

Tất cả ba điểm bình đẳng của chúng ta phải được thỏa mãn đồng thời. Do đó, chúng tôi tập hợp một hệ thống từ các phương trình đã viết của chúng tôi:

Hệ thống không phải là khó nhất đối với một học sinh siêng năng - ba phương trình và ba ẩn số. Quyết định như bạn muốn. Bạn có thể sử dụng phương pháp Cramer thông qua ma trận với định thức, bạn có thể sử dụng phương pháp Gauss, thậm chí bạn có thể sử dụng phép thay thế trường học thông thường.

Để bắt đầu, tôi sẽ giải hệ này theo cách mà sinh viên văn hóa thường giải hệ như vậy. Cụ thể là phương pháp Cramer.

Chúng tôi bắt đầu giải pháp bằng cách biên dịch ma trận hệ thống. Tôi nhắc bạn rằng ma trận này chỉ là một bảng được tạo thành từ hệ số cho ẩn số.

Cô ấy đây rồi:

Trước hết, chúng tôi tính toán yếu tố quyết định ma trận hệ thống. Hoặc, ngắn gọn, định danh hệ thống. Nó thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp ∆ ("delta"):

Tuyệt vời, yếu tố quyết định hệ thống không phải là 0 (-48≠0) . Từ lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính, điều này có nghĩa là hệ thống của chúng tôi tương thích và có một giải pháp duy nhất.

Bước tiếp theo là tính toán yếu tố quyết định của ẩn số ∆A, ∆B, ∆C. Tôi nhắc bạn rằng mỗi định thức trong số ba định thức này được lấy từ định thức chính của hệ thống bằng cách thay thế các cột có hệ số cho các ẩn số tương ứng bằng một cột các số hạng tự do.

Vì vậy, chúng tôi tạo ra các yếu tố quyết định và xem xét:

Tôi sẽ không giải thích chi tiết kỹ thuật tính toán các định thức bậc ba ở đây. Và đừng hỏi. Điều này đã khá lệch so với chủ đề sẽ được.) Ai là người trong chủ đề, anh ta hiểu nó nói về cái gì. Và, có lẽ, bạn đã đoán chính xác cách tôi tính toán ba yếu tố quyết định này.)

Vậy là xong.)

Đây là cách sinh viên có văn hóa thường quyết định các hệ thống. Nhưng ... Không phải tất cả học sinh đều là bạn của các yếu tố quyết định. Không may. Đối với một số người, những khái niệm đơn giản về toán học cao cấp này mãi mãi vẫn là một chữ cái Trung Quốc và một con quái vật bí ẩn trong sương mù ...

À, đặc biệt là đối với những học sinh vô văn hóa như vậy, tôi đề xuất một cách giải quen thuộc hơn - phương pháp khử liên tiếp các ẩn số. Trên thực tế, đây là một phương pháp thay thế “trường học” tiên tiến. Chỉ có nhiều bước hơn.) Nhưng bản chất là như nhau. Trước hết, tôi sẽ loại trừ biến TỪ. Đối với điều này tôi sẽ bày tỏ TỪ từ phương trình đầu tiên và thay thế vào phương trình thứ hai và thứ ba:

Chúng tôi đơn giản hóa, cung cấp những cái tương tự và có một hệ thống mới, đã có hai không xác định:

Giờ đây, trong hệ thống mới này, cũng có thể biểu diễn một trong các biến theo dạng khác. Nhưng những sinh viên chú ý nhất có thể sẽ nhận thấy rằng các hệ số ở phía trước của biến B – đối nghịch. Hai và trừ hai. Do đó, sẽ rất thuận tiện nếu cộng cả hai phương trình với nhau để loại bỏ biến TẠI và chỉ để lại lá thư NHƯNG.

Chúng tôi thêm các phần bên trái và bên phải, tinh thần giảm 2B và -2B và giải phương trình chỉ với NHƯNG:

Có. Hệ số đầu tiên được tìm thấy: A = -1/24.

Xác định hệ số thứ hai TẠI. Ví dụ, từ phương trình hàng đầu:

Từ đây chúng tôi nhận được:

Xuất sắc. Hệ số thứ hai cũng được tìm thấy: B = -15/8 . Vẫn còn một lá thư TỪ. Để xác định nó, chúng tôi sử dụng phương trình cao nhất, trong đó chúng tôi biểu diễn nó thông qua NHƯNG và TẠI:

Vì thế:

OK, tất cả đã kết thúc. Tỷ lệ cược không xác định được tìm thấy! Nó không quan trọng nếu nó thông qua Cramer hoặc thông qua thay thế. Vấn đề chính, bên phải tìm.)

Vì vậy, việc khai triển một phân số lớn thành tổng các phân số nhỏ của chúng ta sẽ trông như thế này:

Và đừng nhầm lẫn bởi các hệ số phân số thu được: trong thủ tục này (phương pháp tính hệ số không xác định), đây là sự xuất hiện phổ biến nhất. :)

Và bây giờ chúng tôi rất muốn kiểm tra xem chúng tôi đã tìm đúng các hệ số của mình chưa Một, B và TỪ. Vì vậy, bây giờ chúng ta lấy một bản nháp và ghi nhớ lớp 8 - chúng ta cộng lại cả ba phân số nhỏ của chúng ta.

Nếu chúng ta nhận được phân số lớn ban đầu, thì mọi thứ đều ổn. Không, nó có nghĩa là đánh bại tôi và tìm kiếm lỗi lầm.

Mẫu số chung hiển nhiên sẽ là 24 (x-1) (x + 3) (x + 5).

Đi:

Đúng!!! Nhận phân số ban đầu. Đó là những gì cần được kiểm tra. Mọi thứ đều tốt. Vì vậy, xin đừng đánh tôi.)

Và bây giờ chúng ta quay trở lại tích phân ban đầu của chúng ta. Nó không trở nên dễ dàng hơn trong thời gian đó, vâng. Nhưng bây giờ phân số của chúng ta đã được chia nhỏ thành một tổng nhỏ, việc tích hợp nó đã trở thành một niềm vui thực sự!

Xem cho chính mình! Chúng tôi chèn phần mở rộng của mình vào phần tích phân ban đầu.

Chúng tôi nhận được:

Chúng ta sử dụng các tính chất của tuyến tính và chia tích phân lớn của chúng ta thành tổng các tích phân nhỏ, chúng ta lấy ra tất cả các hằng số bên ngoài dấu hiệu của tích phân.

Chúng tôi nhận được:

Và kết quả là ba tích phân nhỏ đã được lấy một cách dễ dàng .

Chúng tôi tiếp tục tích hợp:

Đó là tất cả.) Và đừng hỏi tôi trong bài học này rằng logarit đến từ đâu trong câu trả lời! Ai nhớ thì mình thuộc đối tượng rồi sẽ hiểu hết. Và ai không nhớ - chúng tôi đi dọc theo các liên kết. Tôi không chỉ mặc chúng vào.

Câu trả lời cuối cùng:

Đây là một bộ ba tuyệt đẹp: ba logarit - một kẻ hèn nhát, một người từng trải và một kẻ ngu ngốc. :) Và hãy thử, đoán một câu trả lời xảo quyệt như vậy ngay lập tức! Có. Cái gì, như thế nào và ở đâu.

Như một bài tập rèn luyện, tôi đề nghị bạn thực hành phương pháp tích phân số sau:

Thực hành, tìm tích phân, đừng lấy nó làm công việc! Bạn sẽ nhận được câu trả lời như sau:

Phương pháp của hệ số không xác định là một điều mạnh mẽ. Nó tiết kiệm ngay cả trong tình huống vô vọng nhất, khi bạn vẫn chuyển đổi phân số, v.v. Và ở đây, một số độc giả chú ý và quan tâm có thể có một số câu hỏi:

- Điều gì sẽ xảy ra nếu đa thức ở mẫu số không được nhân tử?

- Làm thế nào để tìm một khai triển của một phân số hữu tỉ lớn thành một tổng nhỏ? Dưới mọi hình thức? Tại sao ở cái này mà không phải cái kia?

- Nếu khai triển mẫu số có nhiều thừa số thì sao? Hoặc dấu ngoặc trong lũy ​​thừa như (x-1) 2? Tìm sự phân hủy ở dạng nào?

- Điều gì xảy ra nếu ngoài dấu ngoặc đơn dạng (x-a), mẫu số đồng thời chứa một tam thức bình phương không phân biệt? Giả sử x 2 + 4x + 5? Tìm sự phân hủy ở dạng nào?

Chà, đã đến lúc tìm hiểu kỹ lưỡng chân mọc ra từ đâu. trong bài học tiếp theo.)

Tích phân của một hàm phân số-hữu tỉ.
Phương pháp hệ số không xác định

Chúng tôi tiếp tục làm việc về tích phân phân số. Chúng ta đã coi tích phân của một số dạng phân số trong bài rồi, và bài này xét ở khía cạnh nào đó có thể coi là phần tiếp nối. Để hiểu thành công tài liệu, cần có các kỹ năng tích phân cơ bản, vì vậy nếu bạn mới bắt đầu học tích phân, tức là bạn là một ấm trà, thì bạn cần bắt đầu với bài Không xác định, không thể thiếu. Ví dụ giải pháp.

Thật kỳ lạ, bây giờ chúng ta sẽ không đề cập nhiều đến việc tìm tích phân như ... giải các hệ phương trình tuyến tính. Trong kết nối này mạnh mẽ Tôi khuyên bạn nên ghé thăm bài học Cụ thể, bạn cần phải thông thạo các phương pháp thay thế (phương pháp “trường học” và phương pháp cộng (trừ) từng số hạng của hệ phương trình).

Một hàm hợp lý phân số là gì? Nói một cách dễ hiểu, hàm phân số-hữu tỉ là một phân số ở tử số và mẫu số của chúng là đa thức hoặc tích của đa thức. Đồng thời, phân số cũng phức tạp hơn so với những phân số được thảo luận trong bài báo. Tích phân một số phân số.

Tích hợp của hàm phân số-hữu tỉ chính xác

Ngay ví dụ và một thuật toán điển hình để giải tích phân của một hàm hữu tỉ phân số.

ví dụ 1

Bước 1.Điều đầu tiên chúng ta LUÔN LUÔN làm khi giải một tích phân của một hàm phân số hữu tỉ là đặt câu hỏi sau: phân số có đúng không? Bước này được thực hiện bằng miệng và bây giờ tôi sẽ giải thích cách thực hiện:

Đầu tiên hãy nhìn vào tử số và tìm ra bằng cấp cao cấpđa thức:

Lũy thừa cao nhất của tử số là hai.

Bây giờ hãy nhìn vào mẫu số và tìm ra bằng cấp cao cấp mẫu số. Cách rõ ràng là mở dấu ngoặc và đưa ra các thuật ngữ tương tự, nhưng bạn có thể làm điều đó dễ dàng hơn, trong mỗi dấu ngoặc đơn tìm mức độ cao nhất

và nhân nhẩm: - như vậy, bậc cao nhất của mẫu số bằng ba. Rõ ràng là nếu chúng ta thực sự mở ngoặc, thì chúng ta sẽ không nhận được độ lớn hơn ba.

Sự kết luận: Công suất cao nhất của tử số NGHIÊM TÚC nhỏ hơn lũy thừa cao nhất của mẫu số thì phân số đúng.

Nếu trong ví dụ này, tử số chứa đa thức 3, 4, 5, v.v. độ, thì phân số sẽ là Sai lầm.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét các hàm hợp lý phân số thích hợp. Trường hợp tử số lớn hơn hoặc bằng tử số thì chúng ta sẽ phân tích ở cuối bài.

Bước 2 Hãy phân tích mẫu số. Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:

Nói chung, đây đã là một sản phẩm của các yếu tố, nhưng, tuy nhiên, chúng ta tự hỏi: liệu có thể mở rộng điều gì khác không? Đối tượng của tra tấn, tất nhiên, sẽ là tam thức bình phương. Chúng tôi giải phương trình bậc hai:

Số phân biệt lớn hơn 0, có nghĩa là tam thức thực sự được nhân tử hóa:

Quy tắc chung: MỌI THỨ mà ở mẫu số CÓ THỂ được tính thừa - thừa số

Hãy bắt đầu đưa ra quyết định:

Bước 3 Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng ta khai triển tích phân thành tổng các phân số đơn giản (cơ bản). Bây giờ nó sẽ được rõ ràng hơn.

Hãy xem xét chức năng tích hợp của chúng tôi:

Và, bạn biết đấy, một ý nghĩ trực quan bằng cách nào đó đã lướt qua rằng sẽ thật tuyệt nếu biến phân số lớn của chúng ta thành một số phân số nhỏ. Ví dụ, như thế này:

Câu hỏi đặt ra, liệu nó có thể làm được điều này không? Hãy thở phào nhẹ nhõm, định lý tương ứng của các trạng thái phân tích toán học - NÓ CÓ THỂ. Sự phân hủy như vậy tồn tại và là duy nhất.

Chỉ có một cách bắt, các hệ số chúng tôi từ biệt chúng ta không biết, do đó có tên - phương pháp của hệ số không xác định.

Bạn đoán nó, các cử chỉ tiếp theo như vậy, không ca ngợi! sẽ nhằm mục đích chỉ HỌC chúng - để tìm ra chúng bằng gì.

Hãy cẩn thận, tôi giải thích chi tiết một lần!

Vì vậy, hãy bắt đầu nhảy từ:

Ở phía bên trái, chúng tôi đưa biểu thức về một mẫu số chung:

Bây giờ chúng ta loại bỏ các mẫu số một cách an toàn (vì chúng giống nhau):

Ở phía bên trái, chúng tôi mở dấu ngoặc, trong khi chúng tôi chưa chạm vào các hệ số chưa biết:

Đồng thời nhắc lại quy tắc nhân các đa thức. Khi tôi là một giáo viên, tôi đã học cách nói thẳng quy tắc này: Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của một đa thức với mỗi số hạng của đa thức kia.

Từ quan điểm của một lời giải thích rõ ràng, tốt hơn là đặt các hệ số trong dấu ngoặc (mặc dù cá nhân tôi không bao giờ làm điều này để tiết kiệm thời gian):

Chúng tôi soạn một hệ phương trình tuyến tính.
Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm các bằng cấp cao cấp:

Và chúng tôi viết các hệ số tương ứng trong phương trình đầu tiên của hệ thống:

Hãy nhớ rõ sắc thái sau. Điều gì sẽ xảy ra nếu bên phải hoàn toàn không tồn tại? Nói xem, nó sẽ hiển thị mà không có bất kỳ hình vuông nào? Trong trường hợp này, trong phương trình của hệ thống, cần phải đặt số 0 ở bên phải:. Tại sao không? Và bởi vì ở phía bên phải, bạn luôn có thể quy rất bình phương này với số 0: Nếu không có biến hoặc (và) số hạng tự do ở phía bên phải, thì chúng ta đặt các số không ở phía bên phải của các phương trình tương ứng của hệ thống.

Chúng tôi viết các hệ số tương ứng trong phương trình thứ hai của hệ thống:

Và cuối cùng là nước khoáng, chúng tôi tuyển chọn những thành viên miễn phí.

Ơ, ... tôi nói đùa. Bỏ chuyện cười sang một bên - toán học là một môn khoa học nghiêm túc. Trong nhóm của viện chúng tôi, không ai cười khi phó giáo sư nói rằng cô ấy sẽ phân tán các thành viên theo một dãy số và chọn người lớn nhất trong số họ. Hãy nghiêm túc đi. Dù ... ai đời xem đến cuối bài này vẫn sẽ lặng lẽ mỉm cười.

Hệ thống đã sẵn sàng:

Chúng tôi giải quyết hệ thống:

(1) Từ phương trình thứ nhất, ta biểu diễn và thay nó vào phương trình thứ 2 và thứ 3 của hệ. Trên thực tế, có thể diễn đạt (hoặc một chữ cái khác) từ một phương trình khác, nhưng trong trường hợp này, sẽ có lợi nếu diễn đạt nó từ phương trình thứ nhất, vì ở đó tỷ lệ cược nhỏ nhất.

(2) Chúng tôi trình bày các số hạng tương tự trong phương trình thứ 2 và thứ 3.

(3) Chúng tôi thêm số hạng phương trình thứ 2 và thứ 3 theo số hạng, đồng thời thu được đẳng thức, từ đó nó theo sau

(4) Chúng tôi thay thế vào phương trình thứ hai (hoặc thứ ba), từ đó chúng tôi thấy rằng

(5) Chúng tôi thay thế và vào phương trình đầu tiên, nhận được.

Nếu bạn gặp bất kỳ khó khăn nào với các phương pháp giải hệ thống, hãy giải quyết chúng trên lớp. Làm thế nào để giải quyết một hệ thống phương trình tuyến tính?

Sau khi giải quyết hệ thống, luôn hữu ích khi thực hiện kiểm tra - thay thế các giá trị tìm được trong mỗi phương trình của hệ thống, kết quả là mọi thứ sẽ "hội tụ".

Gần đến nơi. Các hệ số được tìm thấy, trong khi:

Một công việc sạch sẽ giống như sau:

Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của nhiệm vụ là soạn (chính xác!) Và giải (chính xác!) Một hệ phương trình tuyến tính. Và ở giai đoạn cuối, mọi thứ không quá khó khăn: chúng ta sử dụng các tính chất của tuyến tính của tích phân bất định và tích phân. Tôi thu hút sự chú ý của bạn đến thực tế là dưới mỗi tích phân trong số ba tích phân, chúng ta có một hàm phức "tự do", tôi đã nói về các tính năng của tích phân của nó trong bài học Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định.

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời:

Tích phân ban đầu đã được nhận, có nghĩa là tích phân đã được tìm thấy một cách chính xác.
Trong quá trình xác minh, cần phải đưa biểu thức về một mẫu số chung, và điều này không phải ngẫu nhiên. Phương pháp hệ số không xác định và đưa biểu thức về mẫu số chung là các hành động nghịch biến nhau.

Ví dụ 2

Tìm tích phân bất định.

Hãy quay lại phân số từ ví dụ đầu tiên: . Dễ dàng nhận thấy rằng ở mẫu số tất cả các thừa số đều KHÁC NHAU. Câu hỏi đặt ra, phải làm gì nếu, ví dụ, một phân số như vậy được đưa ra: ? Ở đây chúng ta có độ ở mẫu số, hoặc theo thuật ngữ toán học, nhiều yếu tố. Ngoài ra, còn có một tam thức bình phương bất phân (có thể dễ dàng xác minh rằng phân biệt của phương trình là số âm, vì vậy không thể tính tam thức theo bất kỳ cách nào). Để làm gì? Khai triển thành tổng các phân số cơ bản sẽ giống như với các hệ số chưa biết ở đầu hoặc một số cách khác?

Ví dụ 3

Gửi một chức năng

Bước 1. Kiểm tra xem chúng ta có một phân số đúng không
Công suất cao nhất của tử số: 2
Mẫu số cao nhất: 8
, vì vậy phân số là đúng.

Bước 2 Có thể tính bất cứ điều gì ở mẫu số không? Rõ ràng là không, mọi thứ đã được bày sẵn. Ba thức bình phương không khai triển thành tích vì những lý do trên. Tốt. Ít việc hơn.

Bước 3 Hãy biểu diễn một hàm phân số-hữu tỉ dưới dạng tổng của các phân số cơ bản.
Trong trường hợp này, sự phân hủy có dạng sau:

Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:
Khi phân tích một hàm phân số-hữu tỉ thành tổng các phân số cơ bản, có thể phân biệt ba điểm cơ bản:

1) Nếu mẫu số chứa hệ số “cô đơn” ở bậc đầu tiên (trong trường hợp của chúng tôi), thì chúng tôi đặt một hệ số không xác định ở trên cùng (trong trường hợp của chúng tôi). Ví dụ số 1,2 chỉ bao gồm các yếu tố "cô đơn" như vậy.

2) Nếu mẫu số chứa nhiều nhân, sau đó bạn cần phải phân rã như sau:
- tức là, sắp xếp tuần tự qua tất cả các độ của "x" từ độ đầu tiên đến độ thứ n. Trong ví dụ của chúng tôi, có hai yếu tố: và, hãy xem xét lại sự phân tách mà tôi đã đưa ra và đảm bảo rằng chúng được phân tách chính xác theo quy tắc này.

3) Nếu mẫu số chứa đa thức bậc hai bất phân (trong trường hợp của chúng ta), thì khi khai triển ở tử số, bạn cần viết một hàm tuyến tính với hệ số không xác định (trong trường hợp của chúng ta là với hệ số không xác định và).

Trên thực tế, cũng có trường hợp thứ 4, nhưng tôi sẽ giữ im lặng về nó, vì trong thực tế nó là cực kỳ hiếm.

Ví dụ 4

Gửi một chức năng dưới dạng tổng của các phân số sơ cấp với hệ số chưa biết.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.
Tuân thủ nghiêm ngặt thuật toán!

Nếu bạn đã tìm ra các nguyên tắc mà bạn cần để phân tích một hàm phân số-hữu tỉ thành một tổng, thì bạn có thể bẻ khóa hầu hết mọi tích phân của loại đang được xem xét.

Ví dụ 5

Tìm tích phân bất định.

Bước 1. Rõ ràng, phân số là đúng:

Bước 2 Có thể tính bất cứ điều gì ở mẫu số không? Có thể. Đây là tổng của các hình khối . Nhân mẫu số bằng cách sử dụng công thức nhân rút gọn

Bước 3 Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi khai triển tích phân thành tổng các phân số cơ bản:

Lưu ý rằng đa thức là không thể thay đổi (kiểm tra xem số phân biệt là âm), vì vậy ở trên cùng, chúng tôi đặt một hàm tuyến tính với các hệ số chưa biết, và không chỉ một chữ cái duy nhất.

Chúng ta đưa phân số về một mẫu số chung:

Hãy tạo và giải quyết hệ thống:

(1) Từ phương trình thứ nhất, ta biểu diễn và thay thế vào phương trình thứ hai của hệ (đây là cách hợp lý nhất).

(2) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong phương trình thứ hai.

(3) Chúng tôi cộng các phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống theo số hạng.

Về nguyên tắc, tất cả các tính toán tiếp theo là bằng miệng, vì hệ thống này rất đơn giản.

(1) Chúng ta viết ra tổng các phân số phù hợp với các hệ số vừa tìm được.

(2) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân bất định. Điều gì đã xảy ra trong tích phân thứ hai? Bạn có thể tìm thấy phương pháp này trong đoạn cuối của bài học. Tích phân một số phân số.

(3) Một lần nữa chúng ta sử dụng các thuộc tính của tuyến tính. Ở tích phân thứ ba, chúng ta bắt đầu chọn một hình vuông đầy đủ (đoạn áp chót của bài Tích phân một số phân số).

(4) Chúng tôi lấy tích phân thứ hai, trong tích phân thứ ba, chúng tôi chọn hình vuông đầy đủ.

(5) Ta lấy tích phân thứ ba. Sẳn sàng.

BỘ KHOA HỌC VÀ GIÁO DỤC CỘNG HÒA BASHKORTO STAN

Cao đẳng Kiến trúc và Kỹ thuật Xây dựng GAOU SPO Bashkir

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

giáo viên dạy toán Bashkir

Cao đẳng Kiến trúc và Xây dựng

UFA

2014

Giới thiệu ___________________________________________________3

Chương TÔI. Các khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng phương pháp hệ số không xác định ______________________________________________4

Chương II. Tìm kiếm lời giải các bài toán về đa thức bằng phương pháp hệ số bất định _______________________________7

2.1. Tính nhân tử một đa thức _____________________ 7

2.2. Nhiệm vụ với các tham số__________________________________ 10

2.3. Giải phương trình ____________________________________14

2.4. Phương trình hàm _____________________________19

Kết luận_________________________________________________23

Danh sách tài liệu tham khảo ____________________________24

Đăng kí ________________________________________________25

Giới thiệu.

Công việc này được dành cho các khía cạnh lý thuyết và thực tiễn của việc đưa phương pháp hệ số vô định vào môn toán học ở trường. Mức độ liên quan của chủ đề này được xác định bởi các trường hợp sau đây.

Sẽ không ai tranh cãi với thực tế rằng toán học với tư cách là một khoa học không đứng yên một chỗ, nó phát triển liên tục, xuất hiện những nhiệm vụ mới có độ phức tạp cao hơn thường gây ra những khó khăn nhất định, vì những nhiệm vụ này thường gắn liền với nghiên cứu. Trong những năm gần đây, các bài toán như vậy đã được đề xuất tại các cuộc thi Olympic toán học cấp trường, học khu và các nước cộng hòa, chúng cũng có sẵn trong các phiên bản USE. Do đó, một phương pháp đặc biệt đã được yêu cầu cho phép giải quyết ít nhất một số trong số chúng một cách nhanh chóng, hiệu quả và hợp lý nhất. Trong tác phẩm này, nội dung của phương pháp hệ số bất định được trình bày một cách dễ hiểu, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học, từ những câu hỏi trong chương trình phổ thông cho đến những phần nâng cao nhất của nó. Trong đó, các ứng dụng của phương pháp hệ số bất định trong giải các bài toán về tham số, phân số hữu tỉ và hàm số là đặc biệt thú vị và hiệu quả; họ có thể dễ dàng quan tâm đến bất kỳ ai quan tâm đến toán học. Mục đích chính của công việc đề xuất và lựa chọn các vấn đề là cung cấp nhiều cơ hội để mài giũa và phát triển khả năng tìm ra các giải pháp ngắn và phi tiêu chuẩn.

Tác phẩm này gồm có hai chương. Phần đầu tiên đề cập đến các khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng

phương pháp hệ số bất định, ở khía cạnh thứ hai - thực tiễn và phương pháp luận của việc sử dụng như vậy.

Phụ lục của công việc bao gồm các điều kiện của các nhiệm vụ cụ thể cho các giải pháp độc lập.

Chương Tôi . Các khía cạnh lý thuyết của việc sử dụng phương pháp hệ số bất định

"Con người ... được sinh ra để làm chủ,

chủ nhân, vua của thiên nhiên, nhưng sự khôn ngoan,

mà anh ta nên cai trị không được trao cho anh ta

từ khi sinh ra: nó có được bằng cách học hỏi "

N.I. Lobachevsky

Có nhiều cách và phương pháp khác nhau để giải các bài toán, nhưng một trong những phương pháp tiện lợi nhất, hiệu quả nhất, nguyên bản, tao nhã và đồng thời rất đơn giản và dễ hiểu đối với mọi người là phương pháp hệ số bất định. Phương pháp hệ số bất định là một phương pháp dùng trong toán học để tìm hệ số của biểu thức, dạng đã biết trước.

Trước khi xem xét việc áp dụng phương pháp hệ số không xác định để giải các dạng bài toán, chúng tôi xin giới thiệu một số thông tin lý thuyết.

Hãy để chúng được trao

Một N (x) = một 0 x N + một 1 x n-1 + một 2 x n-2 + ··· + một n-1 x + một N

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

đa thức liên quan đến X với bất kỳ tỷ lệ nào.

Định lý. Hai đa thức phụ thuộc vào một và của cùng một đối số giống hệt nhau nếu và chỉ khiN = m và các hệ số tương ứng của chúng làmột 0 = b 0 , một 1 = b 1 , một 2 = b 2 ,··· , một N -1 = b m -1 , một N = b m và t. d.

Rõ ràng, các đa thức bằng nhau nhận mọi giá trị X các giá trị giống nhau. Ngược lại, nếu giá trị của hai đa thức bằng nhau thì mọi giá trị X, sau đó là đa thức bằng nhau, nghĩa là, hệ số của chúng có cùng lũy ​​thừaX cuộc thi đấu.

Vì vậy, ý tưởng áp dụng phương pháp hệ số bất định để giải các bài toán như sau.

Hãy cho chúng tôi biết rằng kết quả của một số phép biến đổi là thu được một biểu thức có dạng nhất định và chỉ các hệ số trong biểu thức này là chưa biết. Khi đó các hệ số này được ký hiệu bằng các chữ cái và được coi là ẩn số. Sau đó, một hệ phương trình được biên soạn để xác định những ẩn số này.

Ví dụ, trong trường hợp đa thức, các phương trình này được cấu tạo bởi điều kiện là sự bằng nhau của các hệ số với cùng một lũy thừa X cho hai đa thức bằng nhau.

Chúng tôi sẽ chỉ ra những điều trên bằng những ví dụ cụ thể sau đây, và chúng tôi sẽ bắt đầu với những gì đơn giản nhất.

Vì vậy, ví dụ, trên cơ sở xem xét lý thuyết, phần

có thể được biểu diễn dưới dạng tổng

, ở đâu một , b và c - các hệ số cần xác định. Để tìm chúng, chúng tôi đánh đồng biểu thức thứ hai với biểu thức đầu tiên:

=

và loại bỏ mẫu số và thu thập ở bên trái các số hạng có cùng lũy ​​thừa X, chúng tôi nhận được:

(một + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Vì bình đẳng cuối cùng phải giữ cho tất cả các giá trị X, sau đó là các hệ số có cùng lũy ​​thừaX phải và trái phải giống nhau. Do đó, ba phương trình thu được để xác định ba hệ số chưa biết:

a + b + c = 2

b - c = - 5

một= 1, khi nào một = 1 , b = - 2 , c = 3

Do đó,

=
,

hiệu lực của bình đẳng này dễ dàng xác minh trực tiếp.

Hãy cũng tưởng tượng một phân số

như một + b
+ c
+ d
, ở đâu một , b , c và d- hệ số hữu tỉ chưa biết. Công thức biểu thức thứ hai với biểu thức đầu tiên:

một + b
+ c
+ d
=
hoặc, Loại bỏ mẫu số, loại bỏ, nếu có thể, các thừa số hợp lý từ các dấu hiệu của gốc rễ và đưa các số hạng giống như ở phía bên trái, chúng ta nhận được:

(một- 2 b + 3 c ) + (- a + b +3 d )
+ (a + c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Nhưng sự bình đẳng như vậy chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp các số hạng hữu tỉ của cả hai phần và các hệ số tại cùng một căn bằng nhau. Do đó, bốn phương trình thu được để tìm các hệ số chưa biết một , b , c và d :

một- 2b + 3c = 1

- a + b +3 d = 1

a + c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, khi nào thì một = 0 ; b = - ; c = 0 ; d=, đó là
= -
+
.

Chương II. Tìm kiếm giải pháp cho các vấn đề với đa thức phương pháp hệ số bất định.

“Không có gì góp phần vào việc đồng hóa chủ thể

chúng ta làm thế nào để hành động với anh ấy trong các tình huống khác nhau "

Viện sĩ B.V. Gnedenko

2. 1. Phân thức một đa thức thành nhân tử.

Các phương pháp tính nhân tử cho đa thức:

1) lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc; 2) phương pháp phân nhóm; 3) ứng dụng của các công thức nhân cơ bản; 4) giới thiệu các thuật ngữ bổ trợ; 5) biến đổi sơ bộ của một đa thức nhất định với sự trợ giúp của các công thức khác nhau; 6) khai triển bằng cách tìm nghiệm nguyên của một đa thức đã cho; 7) phương pháp giới thiệu tham số; 8) phương pháp hệ số bất định.

Bài toán 1. Chia đa thức thành nhân tử thực X 4 + X 2 + 1 .

Dung dịch. Không có căn nào trong số các ước của số hạng tự do của đa thức này. Chúng ta không thể tìm thấy gốc của một đa thức bằng các phương tiện cơ bản khác. Do đó, không thể thực hiện khai triển theo yêu cầu bằng cách tìm nghiệm nguyên của đa thức này trước tiên. Nó vẫn còn để tìm kiếm một giải pháp cho vấn đề bằng cách đưa ra các thuật ngữ bổ trợ hoặc bằng phương pháp hệ số không xác định. Hiển nhiên là X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Các tam thức bình phương thu được không có căn, và do đó không thể được phân tích thành các thừa số tuyến tính thực.

Phương pháp được mô tả là đơn giản về mặt kỹ thuật, nhưng khó do tính nhân tạo của nó. Thật vậy, rất khó để đưa ra các điều khoản phụ trợ bắt buộc. Chỉ một phỏng đoán đã giúp chúng tôi tìm ra sự phân hủy này. Nhưng mà

Có nhiều cách đáng tin cậy hơn để giải quyết những vấn đề như vậy.

Người ta có thể tiến hành như sau: giả sử rằng đa thức đã cho mở rộng thành một tích

(X 2 + một X + b )(X 2 + c X + d )

hai tam thức vuông với hệ số nguyên.

Do đó, chúng ta sẽ có

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + một X + b )(X 2 + c X + d )

Nó vẫn còn để xác định các hệ sốmột , b , c và d .

Nhân các đa thức ở vế phải của hằng đẳng thức cuối cùng, ta được:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + một c + d ) X 2 + (quảng cáo + bc ) x + bd .

Nhưng vì chúng ta cần vế phải của đẳng thức này biến thành cùng một đa thức ở vế trái, chúng ta yêu cầu các điều kiện sau phải được đáp ứng:

a + c = 0

b + một c + d = 1

quảng cáo + bc = 0

bd = 1 .

Kết quả là một hệ bốn phương trình với bốn ẩn sốmột , b , c và d . Có thể dễ dàng tìm thấy các hệ số từ hệ thống nàymột = 1 , b = 1 , c = -1 và d = 1.

Bây giờ vấn đề đã được giải quyết hoàn toàn. Chúng tôi có:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Bài toán 2. Phân thức đa thức thành nhân tử thực X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Dung dịch. Chúng tôi biểu diễn đa thức này dưới dạng

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + một )(X 2 + bx + c) , ở đâu một , b và Với - hệ số chưa xác định. Vì hai đa thức giống hệt nhau nếu và chỉ khi các hệ số có cùng lũy ​​thừaX bằng nhau, sau đó, tương ứng với các hệ số, tạiX 2 , X và các điều khoản miễn phí, chúng tôi nhận được một hệ thống ba phương trình với ba ẩn số:

a + b= - 6

ab + c = 14

AC = - 15 .

Lời giải của hệ thống này sẽ được đơn giản hóa rất nhiều nếu chúng ta tính đến rằng số 3 (ước của số hạng tự do) là căn của phương trình này, và do đó,một = - 3 ,

b = - 3 và Với = 5 .

sau đó X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Phương pháp áp dụng hệ số không xác định, so với phương pháp đưa ra các thuật ngữ phụ ở trên, không có gì là giả tạo, trái lại nó đòi hỏi áp dụng nhiều điều khoản lý thuyết và kèm theo những tính toán khá lớn. Đối với đa thức bậc cao, phương pháp tính hệ số không xác định này dẫn đến hệ phương trình cồng kềnh.

2.2 Nhiệm vụ và với các tham số.

Trong những năm gần đây, các tác vụ với các tham số đã được đề xuất trong các biến thể USE. Giải pháp của họ thường gây ra những khó khăn nhất định. Khi giải các bài toán về tham số, cùng với các phương pháp khác, có thể vận dụng hiệu quả phương pháp hệ số bất định. Chính phương pháp này đã giúp bạn giải chúng dễ dàng hơn rất nhiều và nhanh chóng có đáp án.

Nhiệm vụ 3. Xác định các giá trị của tham số một phương trình 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + một - 3 = 0 có đúng hai nghiệm nguyên.

Dung dịch. 1 phương pháp. Với sự trợ giúp của một đạo hàm.

Chúng tôi biểu diễn phương trình này dưới dạng hai hàm

2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – một .

f (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X- 3 và φ ( X ) = – một .

Khám phá chức năngf (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 với sự trợ giúp của đạo hàm và xây dựng đồ thị của nó theo sơ đồ (Hình 1).

f ( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Hàm không chẵn cũng không lẻ.

3. Tìm các điểm tới hạn của hàm số, các khoảng tăng và giảm, cực trị của nó. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , vì vậy chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm tới hạn của hàm bằng cách giải phương trình f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - 2 bằng định lý liên kết với định lý Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ tối đa - min +

2 3 x

f / (x)> 0 cho tất cả X< - 2 và X > 3 và hàm liên tục tại các điểmx =- 2 và X = 3, do đó, nó tăng trên mỗi khoảng thời gian (- ; - 2] và [3; ).

f / (x ) < 0 tại - 2 < X< 3, do đó, nó giảm trong khoảng [- 2; 3 ].

X = - 2 điểm tối đa, vì tại thời điểm này, dấu của đạo hàm thay đổi từ"+" thành "-".

f (- 2) = 2 (- 8) - 3 4 - 36 (- 2) - 3 = - 16 - 12 + 72 - 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 là điểm cực tiểu, vì lúc này dấu của đạo hàm thay đổi"-" thành "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84.

Đồ thị của hàm φ (X ) = – một là đường thẳng song song với trục x và đi qua điểm có tọa độ (0; – một ). Đồ thị có hai điểm chung tại -một= 41, tức là a =- 41 và - một= - 84, tức là một = 84 .

tại

41 φ ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2 x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 cách. Phương pháp hệ số bất định.

Vì theo điều kiện của bài toán, phương trình này chỉ có hai nghiệm nguyên nên việc hoàn thành đẳng thức là hiển nhiên:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + một – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + một – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Bây giờ cân bằng các hệ số ở cùng một lũy thừa X, chúng tôi thu được một hệ phương trình

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = một – 3 .

Từ hai phương trình đầu tiên của hệ ta tìm đượcb 2 + b – 6 = 0, đồng thời b 1 = - 3 hoặc b 2 = 2. Giá trị tương ứngVới 1 và Với 2 dễ dàng tìm thấy từ phương trình đầu tiên của hệ thống:Với 1 = 9 hoặc Với 2 = - 11. Cuối cùng, giá trị mong muốn của tham số có thể được xác định từ phương trình cuối cùng của hệ thống:

một = b 2 c + 3 , một 1 = - 41 hoặc một 2 = 84.

Trả lời: phương trình này có đúng hai khác nhau

gốc tại một= - 41 và một= 84 .

Nhiệm vụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của tham sốmột , mà phương trìnhX 3 + 5 X 2 + Ồ + b = 0

với hệ số nguyên có ba nghiệm nguyên khác nhau, một trong số đó là - 2.

Dung dịch. 1 phương pháp. Thay thế X= - 2 ở vế trái của phương trình, chúng ta nhận được

8 + 20 – 2 một + b= 0, có nghĩa là b = 2 một – 12 .

Vì số - 2 là căn, bạn có thể lấy ra nhân tử chung X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ồ + (2 một – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Ồ + (2 một – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (một – 6)(x +2) - 2(một – 6)+ (2 một - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (một – 6) ) .

Theo điều kiện, có thêm hai nghiệm nguyên của phương trình. Do đó, hệ số phân biệt của yếu tố thứ hai là tích cực.

D =3 2 - 4 (một – 6) = 33 – 4 một > 0, đó là một < 8,25 .

Có vẻ như câu trả lời sẽ là a = tám . Nhưng khi thay số 8 vào phương trình ban đầu, ta được:

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

tức là phương trình chỉ có hai nghiệm nguyên phân biệt. Nhưng tại a = 7 thực sự có ba gốc khác nhau.

2 cách. Phương pháp hệ số bất định.

Nếu phương trình X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = 0 có một gốc X = - 2, sau đó bạn luôn có thể chọn sốc và d vì vậy mà cho tất cảX bình đẳng là đúng

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = (X + 2)(X 2 + Với x + d ).

Để tìm sốc và d mở dấu ngoặc ở phía bên phải, đưa ra các điều khoản tương tự và nhận được

X 3 + 5 X 2 + Ồ + b = X 3 + (2 + Với ) X 2 +(2 với + d ) X + 2 d

Cân bằng các hệ số tại các lũy thừa tương ứng X chúng tôi có một hệ thống

2 + Với = 5

2 Với + d = một

2 d = b , ở đâu c = 3 .

Do đó, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 hoặc

d < 2,25, vì vậy d (- ; 2 ].

Điều kiện của bài toán được thỏa mãn bởi giá trị d = một . Giá trị mong muốn cuối cùng của tham sốmột = 7.

A n e t: khi nào a = 7 phương trình này có ba nghiệm khác nhau.

2.3. Nghiệm của phương trình.

“Hãy nhớ rằng khi bạn giải quyết những vấn đề nhỏ, bạn

chuẩn bị cho bản thân để giải quyết vấn đề lớn và khó khăn

nhiệm vụ. ”

Viện sĩ S.L. Sobolev

Khi giải một số phương trình, cần thể hiện sự tháo vát và thông minh, áp dụng các kỹ thuật đặc biệt. Sở hữu nhiều phương pháp biến đổi khác nhau và khả năng tiến hành suy luận logic có tầm quan trọng lớn trong toán học. Một trong những thủ thuật này là thêm và trừ một số biểu thức hoặc số được chọn tốt. Tất nhiên, bản thân thực tế đã nêu thì ai cũng biết - khó khăn chính là nhìn thấy trong một cấu hình cụ thể những phép biến đổi của phương trình mà nó thuận tiện và thích hợp để áp dụng nó.

Trên một phương trình đại số đơn giản, chúng tôi minh họa một phương pháp không chuẩn để giải phương trình.

Bài toán 5. Giải phương trình

=
.

Dung dịch. Nhân cả hai vế của phương trình này với 5 và viết lại như sau

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 hoặc
= 0

Chúng tôi giải các phương trình kết quả bằng phương pháp hệ số không xác định

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + à + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + một c + d ) X 2 + (quảng cáo + bc ) x ++ bd

Cân bằng các hệ số tại X 3 , X 2 , X và các điều khoản miễn phí, chúng tôi nhận được hệ thống

a + c = -1

b + một c + d = 0

quảng cáo + bc = -7

bd = -3, từ đó chúng tôi tìm thấy:một = -2 ; b = - 1 ;

Với = 1 ; d = 3 .

Vì thế X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X- 1 = 0 hoặc X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
không có rễ.

Tương tự, chúng tôi có

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

ở đâu X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Câu trả lời: X 1,2 =

Bài toán 6. Giải phương trình

= 10.

Dung dịch. Để giải phương trình này, cần phải chọn các sốmột và b sao cho tử số của cả hai phân số đều giống nhau. Do đó, chúng tôi có một hệ thống:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Vì vậy, nhiệm vụ là chọn các sốmột và b , mà sự bình đẳng

(a + 6) X 2 + Ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Bây giờ, theo định lý về đẳng thức của đa thức, điều cần thiết là vế phải của đẳng thức này biến thành cùng một đa thức nằm ở vế trái.

Nói cách khác, các mối quan hệ phải giữ

a + 6 = 1

một = 5 + 2 b

– 5 = b , từ đó chúng tôi tìm thấy các giá trịmột = - 5 ;

b = - 5 .

Với những giá trị nàymột và b bình đẳng một + b = - 10 cũng hợp lệ.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X- 5 = 0 hoặc X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Câu trả lời: X 1,2 =
, X 3,4 =

Bài toán 7. Giải phương trình

= 4

Dung dịch. Phương trình này phức tạp hơn các phương trình trước và do đó chúng tôi nhóm nó theo cách X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Từ điều kiện đẳng thức của hai đa thức

Ồ 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

chúng ta thu được và giải hệ phương trình với hệ số chưa biếtmột và b :

một = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , ở đâu a = 1 , b = - 4 .

Đa thức - 3 - 6X + cx 2 + 8 cx và X 2 + 21 + 12 d – dx giống hệt nhau chỉ khi

Với = 1

8 Với - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Với = 1 , d = - 2 .

Đối với các giá trịa = 1 , b = - 4 , Với = 1 , d = - 2

bình đẳng
= - 4 là công bằng.

Kết quả là, phương trình này có dạng sau:

= 0 hoặc
= 0 hoặc
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Từ các ví dụ được xem xét, có thể thấy rõ việc sử dụng khéo léo phương pháp hệ số bất định như thế nào,

giúp đơn giản hóa lời giải của một phương trình khá phức tạp, bất thường.

2.4. Phương trình hàm số.

“Mục đích cao nhất của toán học ... bao gồm

để tìm thứ tự ẩn trong

hỗn loạn bao quanh chúng ta

N. Wiener

Phương trình hàm là một loại phương trình rất tổng quát, trong đó một số hàm là hàm mong muốn. Phương trình hàm theo nghĩa hẹp của từ này được hiểu là các phương trình trong đó các hàm mong muốn được liên kết với các hàm đã biết của một hoặc nhiều biến bằng cách sử dụng phép toán tạo thành một hàm phức. Một phương trình hàm cũng có thể được coi là một biểu thức của một thuộc tính đặc trưng cho một loại hàm cụ thể

[ví dụ, phương trình hàm f ( x ) = f (- x ) đặc trưng cho lớp của các hàm chẵn, phương trình hàmf (x + 1) = f (x ) là lớp các hàm có chu kỳ 1, v.v.].

Một trong những phương trình hàm đơn giản nhất là phương trìnhf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Các nghiệm liên tục của phương trình hàm này có dạng

f (x ) = Cx . Tuy nhiên, trong lớp các hàm không liên tục, phương trình hàm này cũng có các nghiệm khác. Phương trình hàm được coi là được kết nối

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

các giải pháp liên tục, tương ứng, có dạng

e cx , TỪlnx , x α (x > 0).

Do đó, các phương trình hàm này có thể dùng để xác định các hàm số mũ, logarit và lũy thừa.

Được sử dụng rộng rãi nhất là các phương trình trong đó các hàm phức tạp mà các hàm mong muốn là các hàm bên ngoài. Ứng dụng lý thuyết và thực tế

chính những phương trình như vậy đã thúc đẩy các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu chúng.

Ví dụ, tại sự liên kết

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I. Lobachevskyđược sử dụng khi xác định góc của song song trong hình học của mình.

Trong những năm gần đây, các bài toán liên quan đến giải phương trình hàm số thường được đưa ra tại các kỳ thi Olympic toán học. Lời giải của họ không yêu cầu kiến ​​thức vượt ra ngoài phạm vi chương trình toán của các trường phổ thông. Tuy nhiên, việc giải phương trình hàm thường gây ra những khó khăn nhất định.

Một trong những cách tìm nghiệm của phương trình hàm là phương pháp hệ số bất định. Nó có thể được sử dụng khi sự xuất hiện của phương trình có thể được sử dụng để xác định dạng tổng quát của hàm mong muốn. Trước hết, điều này áp dụng cho những trường hợp khi các nghiệm của phương trình cần được tìm kiếm giữa các hàm toàn phần hoặc phân số-hữu tỉ.

Hãy để chúng tôi giải thích bản chất của kỹ thuật này bằng cách giải quyết các vấn đề sau.

Nhiệm vụ 8. Chức năngf (x ) được xác định với mọi x thực và thỏa mãn với mọiX R tình trạng

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Tìm thấyf (x ).

Dung dịch. Vì ở vế trái của phương trình này trên biến độc lập x và các giá trị của hàmf chỉ các phép toán tuyến tính mới được thực hiện và vế phải của phương trình là hàm bậc hai, đương nhiên giả sử rằng hàm mong muốn cũng là bậc hai:

f (X) = cây rìu 2 + bx + c , ở đâumột, b, c - các hệ số được xác định, tức là các hệ số chưa được xác định.

Thay hàm vào phương trình, chúng ta đi đến nhận dạng:

3(cây rìu 2 + bx+ c) – 2(một(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

cây rìu 2 + (5 b + 4 một) x + (c – 2 một – 2 b) = x 2 .

Hai đa thức sẽ giống hệt nhau nếu chúng bằng nhau

các hệ số ở cùng lũy ​​thừa của biến:

một = 1

5b + 4một = 0

c– 2 một – 2 b = 0.

Từ hệ thống này, chúng tôi tìm thấy các hệ số

một = 1 , b = - , c = , cũngthỏa mãnbình đẳng

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 trên tập hợp tất cả các số thực. Đồng thời, cóx 0 Nhiệm vụ 9. Chức năngy =f(x) với mọi x là xác định, liên tục và thỏa mãn điều kiệnf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Tìm hai hàm như vậy.

Dung dịch. Hai hành động được thực hiện trên chức năng mong muốn - hoạt động biên dịch một hàm phức tạp và

phép trừ. Cho rằng vế phải của phương trình là một hàm tuyến tính, điều tự nhiên là giả sử rằng hàm mong muốn cũng là tuyến tính:f(x) = ax +b , ở đâumột vàb là các hệ số không xác định. Thay thế chức năng này thànhf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+, là nghiệm của phương trình hàmf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Sự kết luận.

Kết luận, cần lưu ý rằng công trình này chắc chắn sẽ góp phần vào việc nghiên cứu sâu hơn một phương pháp ban đầu và hiệu quả để giải các bài toán khác nhau, là những bài toán có độ khó tăng dần và đòi hỏi kiến ​​thức sâu rộng về toán học phổ thông và văn hóa logic cao. Tất cả những ai muốn tự mình đào sâu kiến ​​thức về toán học cũng sẽ tìm thấy trong bài báo này, tài liệu để phản ánh và các nhiệm vụ thú vị, giải pháp sẽ mang lại lợi ích và sự hài lòng.

Trong tác phẩm, trong khuôn khổ chương trình học hiện có và ở dạng dễ tiếp cận để nhận thức hiệu quả, phương pháp hệ số không xác định được trình bày, góp phần làm sâu sắc thêm môn toán nhà trường.

Tất nhiên, tất cả các khả năng của phương pháp hệ số không xác định không thể được chỉ ra trong một tác phẩm. Trên thực tế, phương pháp vẫn cần phải nghiên cứu và tìm hiểu thêm.

Danh sách các tài liệu đã sử dụng.

Glazer G.I. Lịch sử toán học ở trường.-M.: Giáo dục, 1983.

Gomonov S.A. Phương trình hàm số học môn toán // Toán học ở trường. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh .. Sách hướng dẫn toán học.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Phương trình đại số của các cấp độ tùy ý.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Giới thiệu cơ bản về phương trình hàm. - Xanh Pê-téc-bua. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.

Sách hướng dẫn toán học Modenov V.P. Ch.-M.: Đại học Tổng hợp Moscow, 1977.

Modenov V.P. Các vấn đề với các tham số.-M.: Exam, 2006.

Potapov M.K., Alexandrov V.V., Pasichenko P.I. Đại số và phân tích các hàm cơ bản. - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A .. Có thể giải dễ hơn // Toán học ở trường. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Khai triển đa thức 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 đối với cấp số nhân với hệ số nguyên.

5. Ở giá trị nào một X 3 + 6X 2 + Ồ+ 12 trên X+ 4 ?

6. Giá trị nào của tham sốmột phương trìnhX 3 +5 X 2 + + Ồ + b = 0 với hệ số nguyên có hai nghiệm nguyên khác nhau, trong đó một nghiệm nguyên bằng 1 ?

7. Trong số các căn của một đa thức X 4 + X 3 – 18X 2 + Ồ + b với hệ số nguyên có ba số nguyên bằng nhau. Tìm giá trị b .

8. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số một, theo đó phương trình X 3 – 8X 2 + à +b = 0 với các hệ số nguyên có ba nghiệm nguyên khác nhau, trong đó một nghiệm nguyên bằng 2.

9. Ở những giá trị nào một và b chia không có phần dư X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ồ + b trên X 2 – 3X + 2 ?

10. Nhân tử các đa thức:

một)X 4 + 2 X 2 – X + 2 Trong)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Giải các phương trình:

một)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Tìm thấy f (X) .

13. Chức năng tại= f (X) cho tất cả Xđược xác định, liên tục và thỏa mãn điều kiện f ( f (X)) = f (X) + X. Tìm hai hàm như vậy.

Phương pháp này có thể áp dụng để giảm thiểu các hàm đại số logic của bất kỳ số lượng biến nào.

Hãy xem xét trường hợp ba biến. Một hàm Boolean trong DNF có thể được biểu diễn dưới dạng tất cả các thành viên liên hợp có thể có trong một DNF:

trong đó kн (0,1) là các hệ số. Phương pháp này bao gồm việc chọn các hệ số sao cho kết quả DNF là nhỏ nhất.

Nếu bây giờ chúng ta đặt tất cả các giá trị có thể có của các biến từ 000 đến 111, thì chúng ta nhận được 2 n (2 3 = 8) phương trình để xác định các hệ số k:

Xem xét các tập hợp mà hàm nhận giá trị 0, xác định các hệ số bằng 0 và xóa chúng khỏi phương trình, ở phía bên phải của chúng là 1. Trong số các hệ số còn lại trong mỗi phương trình, một hệ số tương đương với một, xác định kết hợp của xếp hạng nhỏ nhất. Các hệ số còn lại được tính bằng 0. Vì vậy, các hệ số đơn vị k xác định dạng tối thiểu tương ứng.

Thí dụ. Giảm thiểu một chức năng nhất định

nếu các giá trị được biết:
;
;
;
;
;
;
;
.

Dung dịch.

Sau khi xóa các hệ số bằng không, chúng ta nhận được:

=1;

=1;

=1;

=1.

Tương đương với hệ số thống nhất , tương ứng với kết hợp của thứ hạng nhỏ nhất và chuyển bốn phương trình cuối cùng thành 1, và trong phương trình đầu tiên, nên cân bằng hệ số thành 1 . Phần còn lại của các hệ số được đặt thành 0.

Câu trả lời: loại chức năng thu nhỏ.

Cần lưu ý rằng phương pháp hệ số bất định có hiệu quả khi số lượng biến nhỏ và không vượt quá 5-6.

Khối đa chiều

Hãy xem xét một biểu diễn đồ họa của một hàm dưới dạng một khối lập phương nhiều chiều. Mọi đỉnh N-dimensional cube có thể được đặt tương ứng với các đơn vị cấu thành.

Tập hợp con của các đỉnh được đánh dấu là một ánh xạ lên N-khối lập phương có chiều của hàm Boolean từ N các biến trong SDNF.

Để hiển thị chức năng từ N các biến được trình bày trong bất kỳ DNF nào, cần phải thiết lập sự tương ứng giữa các biến nhỏ và các phần tử của nó N-lập phương thứ nguyên.

Hạng nhỏ nhất (n-1) -th
có thể được coi là kết quả của việc dán hai minitherms N-thứ hạng, tức là

=

Trên N-dimensional cube, điều này tương ứng với việc thay thế hai đỉnh chỉ khác nhau về giá trị tọa độ X tôi nối các đỉnh này với một cạnh (cạnh được cho là bao phủ các đỉnh đến nó).

Do đó, miniterms ( N-1) -thứ tự tương ứng với các cạnh của hình lập phương n chiều.

Tương tự, sự tương ứng của các điều khoản nhỏ ( N-2) mặt bậc thứ N-dimensional cube, mỗi trong số đó bao gồm bốn đỉnh (và bốn cạnh).

Các yếu tố N-dimensional cube, được đặc trưng bởi S phép đo được gọi là S-khối.

Vì vậy, các đỉnh là 0 hình lập phương, các cạnh là 1 hình lập phương, các mặt là 2 hình lập phương, v.v.

Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng miniterm ( n-S) xếp hạng trong DNF cho hàm N các biến được hiển thị S-cube và mỗi S-cube bao gồm tất cả các hình khối có chiều thấp hơn chỉ được kết nối với các đỉnh của nó.

Thí dụ. Trên hình. lập bản đồ cho trước

Đây miniterms
và
tương ứng với 1 khối ( S= 3-2 = 1) và thu nhỏ X 3 ánh xạ tới 2 khối ( S=3-1=2).

Vì vậy, bất kỳ DNF nào cũng ánh xạ tới N-bộ khối lập phương chiều S-cubes bao gồm tất cả các đỉnh tương ứng với các thành phần của đơn vị (0-cube).

Thành phần. Đối với các biến X 1 ,X 2 ,…X N biểu hiện
được gọi là thành phần của đơn vị, và
- thành phần của số không ( có nghĩa là , hoặc ).

Thành phần hợp nhất (không) này chỉ chuyển thành hợp nhất (không) với một bộ giá trị biến tương ứng với nó, có được nếu tất cả các biến được coi là bằng một (không) và phủ định của chúng - bằng không (một) .

Ví dụ: đơn vị cấu thành
tương ứng với tập hợp (1011), và thành phần không
- bộ (1001).

Vì SD (K) NF là một đơn vị (kết hợp) của các thành phần của sự thống nhất (không), có thể lập luận rằng hàm Boolean mà nó đại diện f(x 1 , x 2 ,…, x N) trở thành một (không) chỉ cho các bộ giá trị biến x 1 , x 2 ,…, x N tương ứng với các bản sao này. Trên các bộ khác, hàm này chuyển thành 0 (một).

Khẳng định ngược lại cũng đúng, trên đó cách biểu diễn dưới dạng một công thức bất kỳ một hàm boolean được xác định bởi một bảng.

Để làm được điều này, cần phải viết các liên kết (liên hợp) của các hợp thành của một (không) tương ứng với các tập giá trị biến mà trên đó hàm nhận giá trị bằng một (không).

Ví dụ, hàm được cho bởi bảng

trao đổi thư tín

Các biểu thức kết quả có thể được chuyển đổi sang dạng khác dựa trên các thuộc tính của logic đại số.

Câu lệnh ngược cũng đúng: nếu một số bộ S-cubes bao gồm tập hợp tất cả các đỉnh tương ứng với các giá trị đơn vị của hàm, sau đó tách ra tương ứng với các S-cubes of miniterms là biểu thức của hàm đã cho trong DNF.

Người ta nói rằng một bộ S-cubes (hoặc miniterms tương ứng với chúng) tạo thành một lớp phủ của hàm. Mong muốn về một hình thức tối thiểu được hiểu một cách trực quan là sự tìm kiếm một trang bìa như vậy, số S-các ống sẽ nhỏ hơn và kích thước của chúng S- hơn. Bìa tương ứng với hình dạng tối thiểu được gọi là bìa tối thiểu.

Ví dụ, đối với hàm tại=
phạm vi bảo hiểm tương ứng với hình thức không tối thiểu:

gạo a) tại=,

một lớp phủ trong hình b) tại=
, gạo c) tại=
tối thiểu.

Cơm. Chức năng bao phủ tại=:

a) không tối thiểu; b), c) tối thiểu.

Ánh xạ chức năng đang bật N- chiều rõ ràng và đơn giản với N3. Một khối lập phương bốn chiều có thể được mô tả như trong Hình, hiển thị các chức năng của bốn biến và vùng phủ tối thiểu của nó tương ứng với biểu thức tại=

Sử dụng phương pháp này cho N> 4 đòi hỏi những công trình phức tạp đến nỗi nó mất hết những ưu điểm của nó.